1
CÁLCULO I Ing. Eléctrica - Electrónica - Electromecánica Semestre 2 / 2015 2015 Preparación para el primer parcial
Santiago Relos P.
Cochabamba- Enero 2016
2
CÁLCULO I Facultad de Ciencias y Tecnología Tecnología DOCENTE: Magister Santiago Relos P. Fecha:........................... CI.: ......................... Apellidos:.....................................................Nombres:....................... Tiempo: 80 minutos 1. a) (Axiomas de orden) Probar que si x > y y 0 > z entonces xz < yz b) (Límite) Describa gràficamente el hecho de que l´ l ´ım ım f ( x) = L x→ p c) (Límite) ¿Para que valores a y b la siguiente función es continua en R , ( x) f (
=
ax 2 + 6a2 x + 3, 6ax 3 + 8 x2 + 8
x < 6 x 6
≥
2. (Signos) Determinar intervalos intervalos donde f ( x) es positiva y donde es negativa. x + 1 x2
− − x
+
1 x
−1
+
1.
3. (Funciones) Un vidrio rectangular de 141 cm por 194 cm, se rompe en una esquina, según una recta como se ve en el gráfico, gráfico, (un triángulo triángulo rectángul rectánguloo de catetos catetos 26 y 21 cm.). Con un punto ( x, y) de la recta se construye un rectángulo. Hallar en área de dicho rectángulo en térmios de x . 4. a) (Límite) Calcular: L =
l´ım ım x→−1
√ 2 x
l´ım ım →2
+
+
√
√
4 + 3sen x cos2 − 3cos x sen2 − 4 + sen x cos2 − cos x sen2 tan (−3 x + 6)
c) (Límite notable) Calcular: l´ım ım →∞
x
5. (Derivada implícita) tan 10 x6 y3
=
3 x2 − 4 x + 1 3 x2 − 3 x + 6
(10 (10 x)2 y
x+5
Elegido entre aproximadamente:9.41e aproximadamente:9.41e +38Posibilidades 1
1
5 x + 7
+
b) (Límite trigonométrico) Calcular:
x
√ − 4 x − 3 − 5 x3 5 x2 2 x3 − 5 x2 − 5 x 2
Por S.Relos AMARU-SOFT AMARU-SOFT (fase alpha),23-Jan-2016 alpha),23-Jan-2016 16:55:33, Tiempo:0.58 Segundos
3
Soluciones 2 1. a) (Axiomas de orden) Probar que si x > y y 0 > z entonces xz < yz Sol.: De las hipótesis se tiene x − y ∈ R y − z ∈ R . Puesto que el producto de números positivos es también positivo se tiene − z( x − y) ∈ R , de esto el resultado sigue. +
+
+
b) (Límite) Describa gràficamente el hecho de que l´ l´ım ım f ( x) = L x→ p Sol.: La gráfica de f tiene tiene a lo sumo una discontinuidad de salto cero en x = p. c) (Límite) ¿Para que valores a y b la siguiente función es continua en R, ( x) = f (
Sol.: a =
ax 2 + 6a2 x + 3, 6ax 3 + 8 x2 + 8
x < 6 x 6
≥
√
1260 ± 1629792 . 72
2. (Signos) Determinar intervalos intervalos donde f ( x) es positiva positiva y donde es negativa. x + 1 x2
+
1
− − x x − 1 {−∞, −1, 0, 1, ∞}.
+
1.
Sol.: Puntos clave:Puntos clave:Puntos Clave =
+
−∞ −1
−
+
0
+
1
∞
3. (Funciones) Un vidrio rectangular de 141 cm por 194 cm, se rompe en una esquina, según una recta como se ve en el gráfico, gráfico, (un triángulo triángulo rectángulo rectángulo de catetos catetos 26 y 21 cm.). Con un punto ( x, y) de la recta se construye un rectángulo. Hallar en área de dicho rectángulo en térmios de x . 1 A( x) = (− x + 141)(26 x + 3528) 21 y 21 (141, 194) 26 ( x, y)
x 2
Por S.Relos AMARU-SOFT AMARU-SOFT (fase alpha),23-Jan-2016 alpha),23-Jan-2016 16:55:33, Tiempo:0.58 Segundos
4 4. a) (Límite) Calcular: L =
Sol.: L=
l´ım ım x→−1
√ 2 x
√ − 4 x − 3 − 5 x3 5 x2 2 x3 − 5 x2 − 5 x 2 +
+
5 x + 7
+
−√ 8
11 2 b) (Límite trigonométrico) Calcular: l´ım ım →2
x
√
√
4 + 3sen x cos2 − 3cos x sen2 − 4 + sen x cos2 − cos x sen2 tan (−3 x + 6)
1 6 c) (Límite notable) Calcular: Sol.: L = −
l´ım ım →∞
x 1
Sol.: L = e − 6 5. (Derivada implícita) tan 10 x6 y3
y
=
=
3 x2 − 4 x + 1 3 x2 − 3 x + 6
x+5
(10 (10 x)2 y
(10 x)2 y 2 x y − sec2 10 x6 y3 60 x5 y3 −2 ln (10 x) + sec2 10 x6 y3 30 x6 y2
5
CÁLCULO I Facultad de Ciencias y Tecnología Tecnología DOCENTE: Magister Santiago Relos P. Fecha:........................... CI.: ......................... Apellidos:.....................................................Nombres:....................... Tiempo: 80 minutos 1. a) (Axiomas de orden) Probar que si x 0 entonces x 2 > 0 y con esto probar que 1 > 0. b) (Derivada) Describa una función continua en un dominio cuya derivada en algún punto de dicho dominio no exista. c) (Límite) ¿Para que valores a y b la siguiente función es continua en R, ( x) = f (
ax 2 + 4a2 x + 4, 4ax 3 + 2 x2 + 2
x < 6 x 6
≥
2. (Signos) Determinar intervalos intervalos donde f ( x) es positiva positiva y donde es negativa. x + 3 x2
−
+
3 − − 1. x x − 3
3. (Area) Un alambre de 21 cm. de longitud se corta en dos pedazos. Con una de ellas se construye un triángulo equilátero y con la otra un cuadrado. Determinar la suma de Areas en función del lado del: (a) triángulo, (b) cuadrado. Hallar también sus dominios. 4. a) (Límite) Calcular: L
=
√ √ 2 9 x − 6 x − 5 − x3 l´ l´ım ım √ √ →2 −6 x2 39 − 3 x 3
x
3
+
11 + 9 +
b) (Límite trigonométrico) Calcular:
sen (−7 x − 49) 49) + sen (4 x + 28) 28) l´ım ım x→−7 sen (− x) cos (7) − cos (− x) sin (7) c) (Límite notable) Calcular: l´ım ım →∞
x
5. (Derivada implícita)
− − 2 +2 y2
(7 y)10 x
6 x2 − 2 x − 3 6 x2 − 3 x + 6 +
8sen y5
−6 x
=
5
+
x 3
Elegido entre aproximadamente:1.4e aproximadamente:1.4e+34Posibilidades 3
3
Por S.Relos AMARU-SOFT AMARU-SOFT (fase alpha),23-Jan-2016 alpha),23-Jan-2016 16:55:31, Tiempo:0.66 Segundos
6
Soluciones 4 1. a) (Axiomas de orden) Probar que si x 0 entonces x 2 > 0 y con esto probar que 1 > 0. Sol.: Se analiza dos casos (i) x ∈ R , en este caso ( x)( x) = x2 ∈ R . (ii) si − x ∈ R entonces (− x)(− x) = x2 ∈ R por tanto x 2 > 0. b) (Derivada) Describa una función continua en un dominio cuya derivada en algún punto de dicho dominio no exista. 1 1 Sol.: Por ejemplo f ( x) = x es continua en x = , pero en tal punto no tiene derivada. x − 2 2 c) (Límite) ¿Para que valores a y b la siguiente función es continua en R , +
+
+
+
( x) f (
Sol.: a =
=
ax 2 + 4a2 x + 4, 4ax 3 + 2 x2 + 2
x < 6 x 6
≥
√
828 ± 692304 . 48
2. (Signos) Determinar intervalos intervalos donde f ( x) es positiva y donde es negativa. x + 3
− x2
+
3 − − 1. x x − 3
Sol.: Puntos clave:Puntos clave:Puntos Clave ={−∞, 0, 1, 2.0801, 3, ∞}.
−
−
+
0
−∞
−
+
2.0801
1
∞
3
3. (Area) Un alambre de 21 cm. de longitud se corta en dos pedazos. Con una de ellas se construye un triángulo equilátero y con la otra un cuadrado. Determinar la suma de Areas en función del lado del: (a) triángulo, (b) cuadrado. Hallar también sus dominios. Sol.: (a) A ( x)
=
√
√
9 3 2 63 441 x − x + , dominio=[0,7], (b) A ( y) + 16 4 8 16
49 3 , dominio=[0,5.25]. 4
4. a) (Límite) Calcular: L =
√ 2 √ 9 x − 6 x − 5 − x3 l´ l´ım ım √ √ →2 −6 x2 39 − 3 x x
3
+
3
11 + 9 +
152/3 Sol.: L = − √ = −1.3954 19 b) (Límite trigonométrico) Calcular: sen (−7 x − 49) 49) + sen (4 x + 28) 28) l´ım x→−7 sen (− x) cos (7) − cos (− x) sin (7) Sol.: L = 3. 4
Por S.Relos AMARU-SOFT AMARU-SOFT (fase alpha),23-Jan-2016 alpha),23-Jan-2016 16:55:31, Tiempo:0.66 Segundos
=
1+
√
√
4 3 2 14 3 y − y + 9 3
7 c) (Límite notable) Calcular: l´ım ım →∞
x 1
Sol.: L = e 2 5. (Derivada implícita)
− − 2 +2 y2
(7 y)10 x
6 x2 − 2 x − 3 6 x2 − 3 x + 6
+
8sen y5
−6 x
=
x 3 2+
y =
2
3 x2 − 20 x ln (7 y) (7 y)10 x 2 y 10 x2 2 y2 ) 2 y2 4 5 4 y ln (7 y) + ( + 40 y cos y
10 x2 +
(7 y)
5
+
+
y
8
CÁLCULO I Facultad de Ciencias y Tecnología Tecnología DOCENTE: Magister Santiago Relos P. Fecha:........................... CI.: ......................... Apellidos:.....................................................Nombres:....................... Tiempo: 80 minutos a x + by ≤ c implica x ≥ 1. a) (Axiomas de orden) Para que valores de a : Si ax
c
− by . a
g( x)
1 b) (Límite) ¿Cuales son las condiciones con diciones sobre sob re l´ım ım 1 + para que el resultado pueda ser e?. x→∞ g( x) c) (Límite) ¿Para que valores a y b la siguiente función es continua en R ,
( x) f (
=
ax 2 + 3a2 x + 2, 3ax 3 + 2 x2 + 7
x < 7 x 7
≥
2. (Signos) Determinar intervalos intervalos donde f ( x) es positiva y donde es negativa. f ( x)
=
− x 8 1 +
+
4
+
( x + 1)2
4.
3. (Area) Un alambre de 53 cm. de longitud se corta en dos pedazos. Con una de ellas se construye un triángulo equilátero y con la otra un cuadrado. Determinar la suma de Areas en función del lado del: (a) triángulo, (b) cuadrado. Hallar también sus dominios. 4. a) (Límite) Calcular: L
=
l´ l´ım ım x→2
√
b) (Límite trigonométrico) Calcular: l´ım →2
x
√
2 x2 + 4 x − 2 − 2 x + 10 √ 3 2 √ 3 2 x + 2 − 5 x
√
√
25 + 2sen x cos2 − 2cos x sen2 − 25 − 4sen x cos2 + 4cos x sen2 tan (− x + 2)
c) (Límite notable) Calcular: l´ım →∞
x
5. (Derivada implícita) tan 5 x4 y3
=
(5 (5 x)4 y
3 x2 + 5 x − 2 3 x2 − 4 x + 6
6 x−4
Elegido entre aproximadamente:3.76e aproximadamente:3.76e +32Posibilidades 5 5
Por S.Relos AMARU-SOFT AMARU-SOFT (fase alpha),23-Jan-2016 alpha),23-Jan-2016 16:55:29, Tiempo:0.26 Segundos
9
Soluciones 6 c
− by
a x + by ≤ c implica x ≥ 1. a) (Axiomas de orden) Para que valores de a: Si ax . a Sol.: a < 0 1 g( x) b) (Límite) ¿Cuales son las condiciones sobre l´ l´ım ım 1 + para que el resultado pueda ser e?. x→∞ g( x) Sol.: l´ım ım g( x) = ∞. x→∞ c) (Límite) ¿Para que valores a y b la siguiente función es continua en R,
( x) = f (
√
ax 2 + 3a2 x + 2, 3ax 3 + 2 x2 + 7
x < 7 x 7
≥
980 ± 969052 Sol.: a = . 42 2. (Signos) Determinar intervalos intervalos donde f ( x) es positiva positiva y donde es negativa. f ( x) =
− x 8 1 +
+
4 ( x + 1)2
+
4.
Sol.: Puntos clave:Puntos clave:Puntos Clave ={−∞, −1, 0, ∞}. +
+
+
−∞ −1
0
Función factorizada, posiblemente sin simplificar f ( x) =
∞
x2 (4 x + 4)
( x + 1) ( x + 1)2
3. (Area) Un alambre de 53 cm. de longitud se corta en dos pedazos. Con una de ellas se construye un triángulo equilátero y con la otra un cuadrado. Determinar la suma de Areas en función del lado del: (a) triángulo, (b) cuadrado. Hallar también sus dominios. √ √ 9 3 2 159 2809 4 3 2 x − x+ y − Sol.: (a) A( x) = , dominio=[0,17.6667], (b) A( y) = 1 + + 16 4 8 16 9 √ √ 106 3 2809 3 y+ , dominio=[0,13.25]. 9 36 4. a) (Límite) Calcular: √ 2 √ 2 x + 4 x − 2 − 2 x + 10 L = l´ l´ım ım √ 3 2 √ 3 x→2 2 x + 2 − 5 x
√ 100 5 √ 3
Sol.: L=
= 6 .2026 14 b) (Límite trigonométrico) Calcular:
l´ım ım →2
x
Sol.: L = − 6
√
√
25 + 2sen x cos2 − 2cos x sen2 − 25 − 4sen x cos2 + 4cos x sen2 tan (− x + 2)
3 5
Por S.Relos AMARU-SOFT AMARU-SOFT (fase alpha),23-Jan-2016 alpha),23-Jan-2016 16:55:29, Tiempo:0.26 Segundos
10 c) (Límite notable) Calcular: l´ım ım →∞
x
Sol.: L = e 9 5. (Derivada implícita) tan 5 x4 y3
y
=
=
3 x2 + 5 x − 2 3 x2 − 4 x + 6
6 x−4
(5 (5 x)4 y (5 x)4 y 4 x y − sec2 5 x4 y3 20 x3 y3 −4 ln (5 x) + sec2 5 x4 y3 15 x4 y2
11
CÁLCULO I Facultad de Ciencias y Tecnología Tecnología DOCENTE: Magister Santiago Relos P. Fecha:........................... CI.: ......................... Apellidos:.....................................................Nombres:....................... Tiempo: 80 minutos 1. a) (Axiomas de orden) Probar que si x > y y 0 > z entonces xz < yz b) (Límite) Describa gràficamente el hecho de que l´ l´ım ım f ( x) = L x→ p c) (Continuidad) Considere la función: e− x/3
f ( x)
=
−
x2
si x ∈ [−4, −2)
− 3 x
+
∈ (−2, 1]
4 si
x
Grafique la función y luego analice la continuidad. 2. (Signos) Determinar intervalos intervalos donde f ( x) es positiva positiva y donde es negativa. f ( x)
=
6
− x − 3 (
9
x + 3)2
+
3.
3. (Funciones) Un vidrio rectangular de 95 cm por 146 cm, se rompe en una esquina, según una recta como se ve en el gráfico, gráfico, (un triángulo triángulo rectángulo rectángulo de catetos catetos 49 y 40 cm.). Con un punto ( x, y) de la recta se construye un rectángulo. Hallar en área de dicho rectángulo en térmios de x . 4. a) (Límite) Calcular: L
=
√ 2 4 x l´ l´ım ım √ →2 2 x
b) (Límite trigonométrico) Calcular: l´ım ım →2
x
√
3 x − 3 − 7 x + 5 √ 3 3 x + 4 − − x + 10 +
√
√
1 + 5sen x cos2 − 5cos x sen2 − 1 − sen x cos2 + cos x sen2 tan (5 x − 10) 10)
c) (Límite notable) Calcular: l´ım ım →∞
x
5. (Derivada implícita) tan 10 x8 y8
=
− −
3 x2 + 6 x − 6 3 x2 − 4 x + 3
(10 (10 x)8 y
4 x+1
Elegido entre aproximadamente:3.83e aproximadamente:3.83e+35Posibilidades 7 7
Por S.Relos AMARU-SOFT AMARU-SOFT (fase alpha),23-Jan-2016 alpha),23-Jan-2016 16:55:28, Tiempo:0.27 Segundos
12
Soluciones 8 1. a) (Axiomas de orden) Probar que si x > y y 0 > z entonces xz < yz Sol.: De las hipótesis se tiene x − y ∈ R y − z ∈ R . Puesto que el producto de números positivos es también positivo se tiene − z( x − y) ∈ R , de esto el resultado sigue. +
+
+
b) (Límite) Describa gràficamente el hecho de que l´ l ´ım ım f ( x) = L x→ p Sol.: La gráfica de f tiene tiene a lo sumo una discontinuidad de salto cero en x = p. c) (Continuidad) Considere la función: e− x/3
f ( x)
=
−
x2
si x ∈ [−4, −2)
− 3 x
+
∈ (−2, 1]
4 si
x
Grafique la función y luego analice la continuidad. Sol.: Discontinua en x = −2 y
6.25
x 0 2 1 −4Amaru-Soft,−Escala x 1:1, y 1:0.64
2. (Signos) Determinar intervalos intervalos donde f ( x) es positiva y donde es negativa. f ( x)
=
6
− x − 3 (
9
x + 3)2
+
3.
Sol.: Puntos clave:Puntos clave:Puntos Clave ={−∞, −5, −3, 0, 3, ∞}.
+
−∞ −5
−
− −3
Función factorizada, posiblemente sin simplificar f ( x) =
− 0
+
3
∞
x2 (3 x + 15) 15)
( x − 3) ( x + 3)2
3. (Funciones) Un vidrio rectangular de 95 cm por 146 cm, se rompe en una esquina, según una recta como se ve en el gráfico, gráfico, (un triángulo triángulo rectángul rectánguloo de catetos catetos 49 y 40 cm.). Con un punto ( x, y) de la recta se construye un rectángulo. Hallar en área de dicho rectángulo en térmios de x . 8
Por S.Relos AMARU-SOFT AMARU-SOFT (fase alpha),23-Jan-2016 alpha),23-Jan-2016 16:55:28, Tiempo:0.27 Segundos
13 A( x)
49
1 (− x + 95)(49 x + 3880) 40 y 40 (95, 146)
=
( x, y)
x
4. a) (Límite) Calcular: L
=
√ 2 4 x l´ım √ →2 2
√
3 x − 3 − 7 x + 5 √ 3 3 x + 4 − − x + 10 +
x
√ 3
18 64 Sol.: L= √ = 3.3036 5 19 b) (Límite trigonométrico) Calcular: l´ım →2
x
√
√
1 + 5sen x cos2 − 5cos x sen2 − 1 − sen x cos2 + cos x sen2 tan (5 x − 10) 10)
3 5 c) (Límite notable) Calcular: Sol.: L = −
l´ım ım →∞
x 20
Sol.: L = e − 3
5. (Derivada implícita) tan 10 x8 y8
y
=
=
− −
3 x2 + 6 x − 6 3 x2 − 4 x + 3
4 x+1
(10 (10 x)8 y
(10 x)8 y 8 x y − sec2 10 x8 y8 80 x7 y8 −8 ln (10 x) + sec2 10 x8 y8 80 x8 y7
14
CÁLCULO I Facultad de Ciencias y Tecnología Tecnología DOCENTE: Magister Santiago Relos P. Fecha:........................... CI.: ......................... Apellidos:.....................................................Nombres:....................... Tiempo: 80 minutos 1. a) (Axiomas de orden) Probar que si x 0 entonces x 2 > 0 y con esto probar que 1 > 0. b) (Límite) Describa gràficamente el hecho de que l´ l ´ım ım f ( x) = L x→ p c) (Límite) ¿Para que valores a y b la siguiente función es continua en R , ( x) f (
=
ax + b + 4, x < 6 b + 7ax 2 x 6
≥
2. (Signos) Determinar intervalos intervalos donde f ( x) es positiva y donde es negativa. f ( x)
=
− x 9 3 − ( +
6
x
+
− 1)2
9.
3. (Volumen) Un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 22 cm. de radio y 19 cm. de altura. Al tanque entra agua a cierta velocidad. Hallar el volumen de agua en cierto instante en función de su (a) radio, (b) altura. 4. a) (Límite) Calcular: L = l´ım
√
√
2 x2 + 5 x + 5 − 4 x3 − x 2 − x + 37 2 x3 + 4 x2 + x + 2
→−2
x
b) (Límite trigonométrico) Calcular: l´ım →2
√
x
√
4 + 4sen x cos2 − 4cos x sen2 − 4 + 2sen x cos2 − 2cos x sen2 tan (4 x − 8)
c) (Límite notable) Calcular: l´ım ım →∞
x
5. (Derivada implícita)
2 +4 y2
(7 y)7 x
4 x2 + x − 6 4 x2 + 3 x − 6
+
9sen y4
2 x+5
=
x 10
Elegido entre aproximadamente:1.32e aproximadamente:1.32e +32Posibilidades 9
9
Por S.Relos AMARU-SOFT AMARU-SOFT (fase alpha),23-Jan-2016 alpha),23-Jan-2016 16:55:26, Tiempo:0.42 Segundos
15
Soluciones 10 1. a) (Axiomas de orden) Probar que si x 0 entonces x 2 > 0 y con esto probar que 1 > 0. Sol.: Se analiza dos casos (i) x ∈ R , en este caso ( x)( x) = x2 ∈ R . (ii) si − x ∈ R entonces (− x)(− x) = x 2 ∈ R por tanto x 2 > 0. b) (Límite) Describa gràficamente el hecho de que l´ l´ım ım f ( x) = L x→ p Sol.: La gráfica de f tiene tiene a lo sumo una discontinuidad de salto cero en x = p. c) (Límite) ¿Para que valores a y b la siguiente función es continua en R, +
+
+
+
( x) = f (
ax + b + 4, x < 6 b + 7ax 2 x 6
≥
2 . 123
Sol.: b cualquier número, a =
2. (Signos) Determinar intervalos intervalos donde f ( x) es positiva positiva y donde es negativa. f ( x) =
− x 9 3 − ( +
x
6
− 1)2
+
9.
Sol.: Puntos clave:Puntos clave:Puntos Clave ={−∞, −3, −1.9149, 0, 1, 1.9149, ∞}.
−
+
−∞ −3
−
+
0
−1.9149
Función factorizada posiblemente, sin simplificar f ( x) =
−
1.9149
1 x 9 x2
( x +
+
∞
− 33 3) ( x − 1)2
3. (Volumen) Un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 22 cm. de radio y 19 cm. de altura. Al tanque entra agua a cierta velocidad. Hallar el volumen de agua en cierto instante en función de su (a) radio, (b) altura. 19πr 3 484πh3 Sol.: (a) , (b) (b) , 66 1083 4. a) (Límite) Calcular: L
Sol.: L=
=
l´ım ım →−2
x
√
√
2 x2 + 5 x + 5 − 4 x3 − x 2 − x + 37 2 x3 + 4 x2 + x + 2
−√ 3
1 3 b) (Límite trigonométrico) Calcular: l´ım →2
x
Sol.: L = − 10
√
√
4 + 4sen x cos2 − 4cos x sen2 − 4 + 2sen x cos2 − 2cos x sen2 tan (4 x − 8)
1 8
Por S.Relos AMARU-SOFT AMARU-SOFT (fase alpha),23-Jan-2016 alpha),23-Jan-2016 16:55:26, Tiempo:0.42 Segundos
16 c) (Límite notable) Calcular: l´ım ım →∞
x 1
Sol.: L = e − 2 5. (Derivada implícita)
2 +4 y2
(7 y)7 x
4 x2 + x − 6 4 x2 + 3 x − 6
+
9sen y4
2 x+5
=
x 10 2+
y =
7 x2 +
(7 y)
2
10 x9 − 14 x ln (7 y) (7 y)7 x 4 y 7 x2 4 y2 ) 4 y2 3 4 8 y ln (7 y) + ( + 36 y cos y
+
y
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CÁLCULO I Facultad de Ciencias y Tecnología Tecnología DOCENTE: Magister Santiago Relos P. Fecha:........................... CI.: ......................... Apellidos:.....................................................Nombres:....................... Tiempo: 80 minutos 1. a) (Axiomas de orden) Probar que si x > y y 0 > z entonces xz < yz 1 g( x) b) (Límite) ¿Cuales son las condiciones sobre l´ l´ım ım 1 + para que el resultado pueda ser e?. x→∞ g( x) c) (Límite) ¿Para que valores a y b la siguiente función es continua en R,
( x) = f (
ax 2 + 6a2 x + 4, 3ax 3 + 6 x2 + 7
x < 4 x 4
≥
2. (Signos) Determinar intervalos intervalos donde f ( x) es positiva positiva y donde es negativa. 5 4 f ( x) = 4 x2 − 4 x + 3 − + . x + 1 x + 2 3. (Construcción de funciones) Considere la función: 1 x x + si x ∈ [0, 6] 2 f ( x) = − 392 ( x − 8) si x ∈ [6, 8] (a) Sea (a, b) un punto de la gráfica de f con a ∈ (0 , 6), con este punto se construye un rectángulo de lados paralelos a los ejes tal que los otros dos vértices estén en el eje x y cuarto vértice en la recta. Determinar el área del rectángulo en términos de a. (b) Resolver el inciso (a) cuando a ∈ (6, 8).
4. a) (Límite) Calcular:
√
√
4 x2 − 6 x + 4 − 3 x + 38 √ 3 2 √ 3 4 x − 5 − 2 x + 15
l´ım x→−2 b) (Límite trigonométrico) Calcular: sen (−2 x + 2) + sen (−3 x + 3) l´ım ım x→1 sen (3 x) cos (3) − cos (3 x) sin (3) c) (Límite notable) Calcular: 3 x2 − x−2 4 3 2 −2 x − x + x + x + 3 l´ım ım x→∞ −2 x4 − x3 + 3 x2 + 2 x − 2 L
5. (Derivada implícita) tan 2 x2 y3
=
=
(2 (2 x)3 y
Elegido entre aproximadamente:1.39e aproximadamente:1.39e+36Posibilidades 11 11
Por S.Relos AMARU-SOFT AMARU-SOFT (fase alpha),23-Jan-2016 alpha),23-Jan-2016 16:55:25, Tiempo:1.3 Segundos
18
Soluciones 12 1. a) (Axiomas de orden) Probar que si x > y y 0 > z entonces xz < yz Sol.: De las hipótesis se tiene x − y ∈ R y − z ∈ R . Puesto que el producto de números positivos es también positivo se tiene − z( x − y) ∈ R , de esto el resultado sigue. +
+
+
1 g( x) b) (Límite) ¿Cuales son las condiciones sobre l´ l´ım ım 1 + para que el resultado pueda ser e?. x→∞ g( x) Sol.: l´ım ım g( x) = ∞. x→∞ c) (Límite) ¿Para que valores a y b la siguiente función es continua en R ,
( x) f (
=
ax 2 + 6a2 x + 4, 3ax 3 + 6 x2 + 7
x < 4 x 4
≥
√
176 ± 40480 Sol.: a = . 48 2. (Signos) Determinar intervalos intervalos donde f ( x) es positiva y donde es negativa. f ( x)
=
4 x2 − 4 x + 3 −
5 x + 1
+
4 x + 2
.
Sol.: Puntos clave:Puntos clave:Puntos Clave ={−∞, −2.118, −2, −1, 0, 0.11803, ∞}. +
−
−
+
−∞ −2.118−2
−
−1
Paso intermedio, posiblemente sin simplificar f ( x) =
+
0.11803 0 x2
∞
4 x2 + 8 x − 1 ( x + 1) ( x + 2)
3. (Construcción de funciones) Considere la función: f ( x)
si x ∈ [0, 6]
√
√
x x +
=
1 2
− −
39 ( x 8) si x ∈ [6, 8] 2
(a) Sea (a, b) un punto de la gráfica de f con a ∈ (0, 6), con este punto se construye un rectángulo de lados paralelos a los ejes tal que los otros dos vértices estén en el eje x y cuarto vértice en la recta. Determinar el área del rectángulo en términos de a. (b) Resolver el inciso (a) cuando a ∈ (6, 8). 1 4a + 104 (a − 6) A(a) = −a a + 26 78
4. a) (Límite) Calcular: L = l´ım
→−2
x
√ 3
4 x2 − 6 x + 4 − 3 x + 38 √ 3 2 √ 3 4 x − 5 − 2 x + 15
25 121 Sol.: L= √ = 1.8216 12 32 12
Por S.Relos AMARU-SOFT AMARU-SOFT (fase alpha),23-Jan-2016 alpha),23-Jan-2016 16:55:25, Tiempo:1.3 Segundos
19 b) (Límite trigonométrico) Calcular: sen (−2 x + 2) + sen (−3 x + 3) l´ım ım x→1 sen (3 x) cos (3) − cos (3 x) sin (3) 5 Sol.: L = − . 3 c) (Límite notable) Calcular: l´ım ım x→∞ 3
Sol.: L = e 2 5. (Derivada implícita) tan 2 x2 y3
y
=
− −
2 x4
2 x4
x 3
− − x3
2 + x
+
2 + 3 x
+
3 x2 − x−2
−
x + 3
2 x 2
(2 (2 x)3 y
=
(2 x)3 y 3 x y − sec2 2 x2 y3 4 x1 y3 −3 ln (2 x) + sec2 2 x2 y3 6 x2 y2
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CÁLCULO I Facultad de Ciencias y Tecnología Tecnología DOCENTE: Magister Santiago Relos P. Fecha:........................... CI.: ......................... Apellidos:.....................................................Nombres:....................... Tiempo: 80 minutos 1. a) (Axiomas de orden) Probar que si x 0 entonces x 2 > 0 y con esto probar que 1 > 0. b) (Límite) Describa gràficamente grà ficamente el hecho de que q ue l´ım ım f ( x) = L x→ p c) (Continuidad) Considere la función: f ( x)
5sen( x) si x ∈ [−5, −2) x + 2 si x ∈ (−2, 1]
−
=
Grafique la función y luego analice la continuidad. 2. (Signos) Determinar intervalos intervalos donde f ( x) es positiva y donde es negativa. f ( x)
=
−5 x2 − 3
+
1 x +
4 − . 1 x − 2
3. (Area) Un alambre de 33 cm. de longitud se corta en dos pedazos. Con una de ellas se construye un triángulo equilátero y con la otra un cuadrado. Determinar la suma de Areas en función del lado del: (a) triángulo, (b) cuadrado. Hallar también sus dominios. 4. a) (Límite) Calcular: L =
√ 2 −3 x l´ l´ım ım √ →2 2 x
b) (Límite trigonométrico) Calcular: l´ım →4
x
√
6 x + 3 − x3 − 5 √ 3 3 9 x − 23 − 9 x − 5 +
√
√
1 + 4sen x cos4 − 4cos x sen4 − 1 − 3sen x cos4 + 3cos x sen4 tan (−4 x + 16) 16)
c) (Límite notable) Calcular: l´ım ım x→∞ 5. (Derivada implícita) tan 6 x9 y6
=
2 x4
2 x3
− 2 x4 − 2 x3
2 + x
2 x + 1 2 + 2 x + 3 x + 1 +
(6 (6 x)6 y
−3 x2 −2 x−3
Elegido entre aproximadamente:3.2e aproximadamente:3.2e +32Posibilidades 13 13
Por S.Relos AMARU-SOFT AMARU-SOFT (fase alpha),23-Jan-2016 alpha),23-Jan-2016 16:55:24, Tiempo:1.4 Segundos
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Soluciones 14 1. a) (Axiomas de orden) Probar que si x 0 entonces x 2 > 0 y con esto probar que 1 > 0. Sol.: Se analiza dos casos (i) x ∈ R , en este caso ( x)( x) = x2 ∈ R . (ii) si − x ∈ R entonces (− x)(− x) = x 2 ∈ R por tanto x 2 > 0. b) (Límite) Describa gràficamente gr àficamente el e l hecho de que l´ım ım f ( x) = L x→ p Sol.: La gráfica de f tiene tiene a lo sumo una discontinuidad de salto cero en x = p. c) (Continuidad) Considere la función: +
+
+
+
f ( x)
=
5sen( x) si x ∈ [−5, −2) x + 2 si x ∈ (−2, 1]
−
Grafique la función y luego analice la continuidad. Sol.: No continua en x = −2
y
0
−2
−5
5
Amaru-Soft, Escala x 1:1, y 1:0.4
x
1
−5
2. (Signos) Determinar intervalos intervalos donde f ( x) es positiva positiva y donde es negativa. f ( x)
−5 x2 − 3
=
+
1 x +
4 − . 1 x − 2
Sol.: Puntos clave:Puntos clave:Puntos Clave ={−∞, −1, −0.78452, 0, 1.7845, 2, ∞}.
−
−
+
−∞ −−10.78452
−
+
0
Paso intermedio, posiblemente sin simplificar f ( x) =
2 1.7845 x2
− ∞
5 x2 + 5 x + 7 ( x + 1) ( x − 2)
−
3. (Area) Un alambre de 33 cm. de longitud se corta en dos pedazos. Con una de ellas se construye un triángulo equilátero y con la otra un cuadrado. Determinar la suma de Areas en función del lado del: (a) triángulo, (b) cuadrado. Hallar también sus dominios. √ √ √ 9 3 2 99 1089 4 3 2 22 3 + x − x+ y − y+ Sol.: (a) A ( x) = , dominio=[0,11], (b) A ( y) = 1 + 16 4 8 16 9 3 √ 121 3 , dominio=[0,8.25]. 4
14
Por S.Relos AMARU-SOFT AMARU-SOFT (fase alpha),23-Jan-2016 alpha),23-Jan-2016 16:55:24, Tiempo:1.4 Segundos
22 4. a) (Límite) Calcular: L =
√ 2 −3 x l´ l´ım ım √ →2 2 x
132/3 Sol.: L = − √ = −3.192 3 b) (Límite trigonométrico) Calcular: l´ım ım →4
x
√
6 x + 3 − x3 − 5 √ 3 3 9 x − 23 − 9 x − 5 +
√
√
1 + 4sen x cos4 − 4cos x sen4 − 1 − 3sen x cos4 + 3cos x sen4 tan (−4 x + 16) 16)
7 8 c) (Límite notable) Calcular: Sol.: L = −
l´ım x→∞ 3
Sol.: L = e 4 5. (Derivada implícita) tan 6 x9 y6
y
=
=
2 x4
2 x4
2 x3
− − 2 x3
2 + x 2 + 2 x
2 x + 1 + 3 x + 1
+
−3 x2 −2 x−3
(6 (6 x)6 y (6 x)6 y 6 x y − sec2 6 x9 y6 54 x8 y6 −6 ln (6 x) + sec2 6 x9 y6 36 x9 y5
Hecho con LATEX
