GUíA
esperanza y distribución bin0mial
1 V 7 1 A 1 1 3 M 8 5 0 M 3 C I U G
MATEMÁTICA - programa 3º medio
a a d n o i o d i c c e n d r i i a o a c o o t m d u e a d a i d a l e y s a d e s l i e e e l d a b l a c b i l i d b i i a b p r o o r a a L o P V b a p r o
d d a n i d l i ó a b u c i ó b i a l o o b r t r r i i m p o s z a r e d i y i n A d a n z i ó n b ó n n d e i ó a y o a a ó r s c e c n c i ó ó e n F u u n i e i b i u E s p t r i r u n f M y d i s
¿Qué aprenderemos hoy?
CONTENIDOS -
En esta sesión aprenderemos a determinar e interpretar la esperanza matemática de un experimento aleatorio o de una variable aleatoria asociada al mismo. También También determinaremos probabilidades de experimentos dicotómicos mediante la distribución binomial. Finalmente, aplicaremos estos conocimientos a la resolución de ejercicios tipo PSU. P SU.
Esperanza matemática. Distribución binomial.
sección 1 1:: tiica t teemá t Espera nza ma La esperanza matemática es el valor esperado que se obtiene al realizar reali zar un experimento aleatorio una gran cantidad de veces.
ESPERANZA MA MATEMÁTICA TEMÁTICA Sea el conjunto { x 1, x 2, x 3,…, x n} de todos los resultados posibles de una variable aleatoria X asociada asociada al espacio muestral de un experimento aleatorio. La esperanza matemática o valor esperado de X , E ( X ),), se calcula de la siguiente manera E ( X ) = P ( X = = x 1) x 1 + P ( X = = x 2) x 2 + P ( X = = x 3) x 3 +…+ P ( X = = x n) x n •
1
2
•
•
•
¿Cómo podrían interpretar interpretar la esperanza matemática matemática basados basados en la fórmula presentada para calcularla? calcularla?
guia de ejercitación
2
¿Cuál es la esperanza matemática para el resultado del lanzamiento de un dado común?
La esperanza matemática surgió a partir de los juegos de azar y es un indicador para saber si es conveniente participar
en alguno de ellos.
3
Para financiar su gira de estudios, dos terceros medios de un liceo, A y B, promocionan rifas, las que se describen a continuación.
¡Tercero Medio B presenta un espectacular sorteo del que debes ser parte! ¡Tercero Medio A los invita a participar en su gran sorteo! Son 50 números y uno de ellos se ganará un único premio en dinero. Premio único: $ 110.000 Valor del boleto: $ 2.600
Son tres premios en dinero que se sortearán en el siguiente orden: 1. $ 25.000 2. $ 35.000 3. $ 50.000 Valor del boleto: $ 2.800
¡Anímate y participa!
Junto a su profesor, basándose en el concepto de esperanza, determinen y justifiquen en cuál de los dos sorteos es más conveniente participar.
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MATEMÁTICA - programa 3º medio
4
En los juegos de azar, un precio justo es el que se obtiene mediante la esperanza matemática de dicho juego. ¿Cuál es el precio justo que se debería cobrar en los casos anteriores? ¿Qué ocurre en dicha s ituación?
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Desde el punto de vista de las ganancias, ¿es conveniente para los cursos cobrar $ 2.000 por cada uno de sus boletos?
Justifiquen y propongan una generalización basados en la esperanza matemática.
Desa fí o De manera optativa, respondan la siguiente pregunta aplicando lo aprendido durante la clase. Consideren que este caso requiere utilizar muchos contenidos vistos dura nte el curso, con un tiempo estimado de resolución de 10 minutos. Para un experimento se define la variable aleatoria X , la que puede tomar los valores {1, 3, b, 7} y cuya función de x + a 29 probabilidad f viene dada por la expresión f ( x ) = , con a y b números enteros. Si el valor esperado para X es ,
¿cuáles son los valores de a y de b?
4
24
6
guia de ejercitación
sección 2: Dis tribución binomia l 1
Recordemos uno de los experimentos que nos ha acompañado durante estas sesiones: el lanzamiento de una moneda tres veces consecutivas. Realicen un diagrama de árbol con todos los resultados posibles de este experimento. ¿Cuál
es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras?
2
Existe una manera de determinar la probabilidad de la pregunta anterior mediante el triángulo de Pascal. Completen la información de este triángulo en la figura adjunta y discutan con su profesor el método de utilización e interpretación,
destacando en qué casos se puede aplicar.
5
MATEMÁTICA - programa 3º medio
Supongamos que Pauline tiene que rendir una prueba de selección múltiple de 6 preguntas, cada una de la cuales tiene 4 opciones disponibles en cada pregunta, siendo solo una de ellas la alternativa correcta. Por desgracia, ella no alcanzó a estudiar por lo que va a responder esta prueba al azar.
6
3
¿Cuál es la probabilidad teórica de responder correctamente todas las preguntas de la prueba?
4
¿Cuál es la probabilidad teórica de responder incorrectamente todas las preguntas de la prueba?
5
Como habrás visto, las probabilidades anteriores son sencillas de calcular mediante un procedimiento visto en
sesiones anteriores. Sin embargo, ¿cómo determinarían la probabilidad de responder exactamente 4 preguntas de esta prueba en forma correcta? Discutan y planteen la resolución de este problema junto a su profesor.
guia de ejercitación
6
Junto a su profesor, conversen sobre la situación anterior y relaciónenla con la distribución binomial, cuya fórmula se entregará en la presentación de la clase. Discutan las condiciones necesarias para poder emplearla en un problema.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
CONDICIONES (1)
(2) Donde p es ____________________________________, q es __________________________________________, n es _________________________________________ y k es __________________________________________.
7
(3)
________________________________________ ________________________________________ ________________________________________. ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________. ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________.
¿Cuál es la probabilidad teórica de responder correctamente solamente una de estas preguntas?
7
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sección 3: pregunta s de model a miento
Tiempo estimado 20 minutos
a continuación se presentan cinco preguntas tipo psu, las que serán desarrolladas conjuntamente por ustedes y su profesor. si tienes cualquier duda acerca de estos contenidos, consulta a tu profesor, ¡ahora es el momento!
1
En el experimento de lanzar un dado de ocho caras se define la variable aleatoria X como el número de divisores primos que tiene el número obtenido. Si las caras del dado están enumeradas del 1 al 8 y cada cara tiene igual probabilidad de resultar, ¿cuál es el valor esperado de la variable X ?
2
A)
7 8
B)
1
C)
9 8
D)
3 2
E)
5 2
Un juego consiste en lanzar un dado común hasta que salga un número par o hasta completar tres lanzamientos. Si sale par en el primer lanzamiento, se ganan $ 200; si sale par en el segundo lanzamiento, se ganan $ 400; y si sale par en el tercer lanzamiento, se ganan $ 500. Si no sale par en ningún lanzamiento, se pierden $ 600. ¿Cuál es la cantidad de dinero que se espera ganar al jugar una gran c antidad de veces? A) B) C) D) E)
8
$ 38,4 $ 83,3 $ 187,5 $ 212,5 $ 337,5
guia de ejercitación
3
4
Si se lanza una moneda siete veces consecutivas, la probabilidad de obtener a lo más cuatro caras es A)
1 128
B)
127 128
C)
98 128
D)
35 128
E)
99 128
Si se lanza una moneda 10 veces consecutivas, ¿cuál es la probabilidad de que salgan exactamente 4 sellos? A)
105 512
B)
210 512
C)
128 512
D)
105 256
E)
100 512
9
MATEMÁTICA - programa 3º medio
5
Una urna contiene 35 bolitas, donde 14 son de color rojo y el resto son azules, todas de igual peso y tamaño. Si un experimento consiste en sacar bolitas al azar de la urna, una a una y con reposición, entonces
( )( ) ( )
al sacar 15 bolitas, la probabilidad de obtener nueve de color azul es
II)
al sacar 12 bolitas, la probabilidad de obtener seis de color rojo es
III)
al sacar 20 bolitas, la probabilidad de obtener solo una bolita roja es igual a la probabilidad de obtener solo una bolita azul.
Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E)
10
15 3 9 2 6 • • . 9 5 5
I)
solo I. solo I y II. solo I y III. solo II y III. I, II y III.
12 6 6 • . 6 25
( )( )
guia de ejercitación
sección 4: pregunta s el ementa l es
Tiempo estimado minutos
Es momento de poner a prueba tus conocimientos y habilidades sobre estos contenidos. A continuación debes contestar cinco ejercicios de dificultad fácil, los que son útiles para medir qué tanto has entendido y aprendido durante esta sesión.
6
Sea X una variable aleatoria cuyo recorrido es el conjunto de números reales { x 1, x 2, x 3, x 4}. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I)
7
II) III)
Si todos los valores que puede tomar X tienen la misma probabilidad, entonces el valor esperado de X es igual al promedio de todos los valores del recorrido de X . El valor esperado para X es positivo. El valor de esperado para X coincide con algún valor de X .
A) B) C) D) E)
Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III I, II y III
En un grupo hay 24 personas, de las cuales 8 prefieren leer literatura chilena y el resto prefiere leer novelas europeas. Se escogen al azar dos personas del grupo, una tras otra y sin reposición, y se define la variable aleatoria X como la cantidad de personas escogidas que leen literatura chilena. ¿Cuál es el valor esperado de X ? A)
4 9
B)
10 23
C)
7 69
D)
32 69
E)
2 3
11
MATEMÁTICA - programa 3º medio
8
9
Una urna contiene 6 bolitas, cada una grabada con una de las letras de la palabra GEOIDE. Si se escogen 2 bolitas al azar de manera simultánea y se define la variable aleatoria X como el número de vocales extraídas, entonces el valor esperado de X es A)
3 4
B)
4 3
C)
1 3
D)
2
E)
3 2
Lorena participa en una competencia que consta de 25 pruebas, en la que compite junto a otros cinco participantes. Si todos los participantes tienen igual probabilidad de ganar cada una de las pruebas, ¿cuál es la probabilidad de que Lorena pierda en 18 de estas? 5 6
18
A)
( ) 5 6
18
1 6
7
B)
( ) ( ) 25 5 • 18 6
1
C)
( )( ) 25 5 • 18 6
18
D)
25 1 • 18 6
18
E)
10
1 6
7
5 6
7
( )( ) ( ) •
( )( ) ( ) •
La probabilidad de que un estudiante cualquiera de un preuniversitario logre ingresar a la universidad es de un 88%. Si se escoge al azar un grupo de 8 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que solo dos de ellos entren a la universidad? A) B) C) D) E)
12
•
14 • (0,88)2 • (0,12)2 28 • (0,88)2 • (0,12)6 28 • (0,88)6 • (0,12)2 56 • (0,88)2 • (0,12)6 56 • (0,88)6 • (0,12)2
guia de ejercitación
sección 5: pregunta s intermedia s
Tiempo estimado minutos
Es tiempo de enfrentarse a cinco ejercicios de dificultad media, los que están presentes en mayor medida en la PSU. ¡Anímate a resolverlos!
11
Una urna contiene 6 cartas numeradas, tres cartas con el número 2, dos cartas con el número 6 y una carta con el número 3, todas de la misma forma y tamaño. Si se saca una carta de la urna al azar y se define la variable aleatoria X como el número de la carta extraída, el valor esperado de X es A) B) C) D) E)
12
Si para una variable aleatoria X se define la función de probabilidad f tal que f (t ) = {3, 4, 5}, entonces el valor esperado para X es A) B) C) D) E)
13
2 2,5 3 3,5 4 7 – t , con t en el conjunto 9
3 3,6 3,7 4 4,7
En el experimento de lanzar dos dados comunes 120 veces consecutivas, se define la variable aleatoria X como el número de veces en las cuales el producto entre los resultados de los dos dados es un número primo. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa a P ( X > 0)? 5 6
120
( )
A)
1–
B)
1 – 120 • 5 6
1 6
120
5 6
120
( )
120
C)
( )
D)
1–
E)
1 – 120 •
1 6
120
( )
( )
13
MATEMÁTICA - programa 3º medio
14
15
14
En una pecera hay cuatro bolitas rojas y dos azules, todas de igual peso y tamaño. Un experimento consiste en extraer cinco bolitas al azar, una a una y con reposición y se define la variable aleatoria X como el número de bolitas rojas que se extrae. Entonces, P ( X = 3) es igual a A)
80 243
B)
8 27
C)
8 243
D)
163 243
E)
19 27
Un test de preguntas con alternativas se responder al azar. Se puede determinar la probabilidad de responder exactamente 6 preguntas de manera correcta, si se sabe que: (1) (2)
Cada pregunta consta de 5 alternativas. Solo una de las alternativas de cada pregunta es la correcta.
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.
guia de ejercitación
sección 6: pregunta s a va nza da s
Tiempo estimado minutos
Finalmente, te presentamos cinco ejercicios de dificultad alta, los que requieren que pongas a prueba todas tus capacidades y, en algunas ocasiones, otros contenidos que no son propios de la sesión pero que son claves al momento de la resolución. ¡Mucha concentración y a resolver!
16
Se realiza un experimento aleatorio el cual arroja tres posibles resultados, {a, b, a • b}, con a y b números enteros 1 mayores que 1, y se define la variable aleatoria X como el resultado obtenido del experimento. Si P ( X = a) = a y 1 P ( X = b) = , ¿cuál de las siguientes expresiones representa el valor esperado de X ? b A) B) C) D) E)
2 + (a + b) 2 + ab – (a + b) 1 + ab + (a + b) 1 + (a + b) – ab 2 + ab
17 Sea X una variable aleatoria cuyo recorrido corresponde al conjunto M = {1, a, 5, 7, 9}. Se puede determinar el valor esperado de la variable X , si se sabe que:
(1) (2)
El valor de a es 3. P ( X = x ) = p, con x en el conjunto M y p una constante real positiva.
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.
15
MATEMÁTICA - programa 3º medio
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En una caja se tienen ocho tarjetas, de igual forma y tamaño, cada una con una letra con las cuales se forma la palabra BINOMIAL. Un experimento consiste en extraer cinco tarjetas al azar, una a una y con reposición, y se define la variable aleatoria X como el número de letras I que se obtienen. Si f es la función de probabilidad asociada a X , entonces f (3) es A)
9 1024
B)
45 512
C)
5 32
D)
27 512
E)
81 1024
El último examen de Javiera consiste en 20 preguntas de verdadero o falso. Si Javiera, por tiempo, decide contestar al azar dicho examen, ¿cuál es la probabilidad de que un cuarto de las preguntas las conteste correctamente? 1 20 • 2 5
20
A)
( )( ) 20 1 • 4 2
20
B)
( )( ) 20 1 • 4 5
5
C)
20 1 • 5 4
5
D) E)
16
3 4
15
3 4
15
( )( ) ( ) •
( )( ) ( ) 1 2
5
( )
•
guia de ejercitación
20
Un juego de azar consiste en lanzar tres monedas de manera simultánea, donde el jugador que lanza las monedas gana solo si obtiene tres caras o tres sellos y pierde en cualquier otro caso. Si Alejandra decide realizar n veces el juego, con n > 5, ¿cuál es la probabilidad de que gane en cinco ocasiones? 5 8
5
1 4
n–5
1 4
5
n–5
A)
(5) ( ) (8)
B)
(5) ( ) ( )
C)
(5) ( ) ( )
n
•
n
•
n
1 4
•
5
3 4
n
•
3 4
•
•
3 4
n–5
7 8
n–5
n–5
D)
( ) ( )
E)
(5) ( ) ( ) n
•
•
1 8
5
5
•
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MATEMÁTICA - programa 3º medio
Compruebo lo aprendido A continuación encontrarás una lista con los conocimientos y habilidades que se han medido con la ejercitación de esta sesión, indicando las preguntas que tienen relación con dicho punto. Marca aquellos aspectos en los que hayas logrado progresar y refuerza en casa los que aún no has podido desarrollar. Determino la esperanza matemática de un experimento o de una variable aleatoria asociada a este e interpreto el significado de su valor (preguntas 1, 2, 6, 7, 8, 11, 12, 16 y 17). Comprendo la distribución binomial y las condiciones que deben cumplirse para poder aplicarla dentro un experimento y la utilizo para establecer la probabilidad de un determinado evento dentro de este (preguntas 3, 4, 5, 9, 10, 13, 14, 15, 18, 19 y 20).
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guia de ejercitación
tabla de corrección
Ítem
Alternativa
Habilidad
Dificultad estimada
1
Aplicación
Media
2
Aplicación
Media
3
Comprensión
Media
4
Aplicación
Media
5
ASE
Media
6
Comprensión
Fácil
7
Aplicación
Fácil
8
Aplicación
Fácil
9
Comprensión
Fácil
10
Aplicación
Fácil
11
Aplicación
Media
12
Aplicación
Media
13
Aplicación
Media
14
Aplicación
Media
15
ASE
Media
16
Aplicación
Difícil
17
ASE
Difícil
18
Aplicación
Difícil
19
Aplicación
Difícil
20
Aplicación
Difícil
19
_____________________________________________________ Han colaborado en esta edición: Directora Académica Paulina Núñez Lagos Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional Katherine González Terceros Coordinadora PSU Francisca Carrasco Fuenzalida Equipo Editorial Rodrigo Cortés Ramírez Pablo Echeverría Silva Marcelo Gajardo Vargas Andrés Grandón Guzmán Equipo Gráfco y Diagramación Cynthia Ahumada Pérez Daniel Henríquez Fuentes Vania Muñoz Díaz Tania Muñoz Romero Elizabeth Rojas Alarcón Equipo de Corrección Idiomática Paula Santander Aguirre Imágenes Banco Archivo Cpech El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para utilizar las distintas obras con copyright que aparecen en esta publicación. En caso de presentarse alguna omisión o error, será enmendado en las siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias.
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