Mov Amortiguado

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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ARMADAS ESPE SEDE LATACUNGA INFORME DE LABORATORIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DATOS INFORMATIVOS: Docente: Ing. Ibeth Delgado Montenegro Integrantes: Balseca Cristina Torres Bryan Palma Bryan Cobo Bryan

UNIDAD: 1 TEMA: Aplicación de ecuaciones dierenciales: Mo!imiento Amortiguado

Fecha e rea!"#ac"$n e !a %r&ct"ca: 1"#11#$%1" Fecha e entrega e !a %r&ct"ca: $#$%1"

LATACUNGA ' ECUADOR 

1

CAP(TULO I GENERALIDADES )*)

Te+a

Aplicación de ecuaciones dierenciales: Mo!imiento Amortiguado

)*,

Intro-cc"$n

'l presente traba(o comien)a con el ob(eti!o de ormular un modelo matem*tico+ el cu*l puede deducirse de !arios enómenos. ,in embargo+ e-aminaremos con mayor  detalle una aplicación+ el mo!imiento de una masa unida a un resorte. '-pondremos el procedimiento de obtención de la ecuación dierencial y su posterior resolución+ centr*ndonos en un sistema !ibratorio masaresorte. /as ormas de esta ecuación dierencial de segundo orden surgen en el an*lisis de problemas en di!ersas *reas de la ciencia y la ingenier0a es por eso nuestro inters en estudiarla. 2tro moti!o para nuestro traba(o es dar a conocer 3ue el mo!imiento armónico no e-iste en realidad al menos 3ue se est en un medio al !ac0o+ cada mo!imiento de este tipo es amortiguado+ cuando menos habr0a una uer)a de resistencia debido al medio 3ue rodea al ob(eto. /a masa podr0a estar suspendida en un medio !iscoso o conectado a un sistema amortiguador. 'n nuestro proyecto utili)aremos como medios !iscosos agua y aceite+ para calcular la constante de amortiguamiento y comprobar la !eracidad de nuestros datos y el modelo matem*tico ormulado.

)*.

Pro/!e+a

4Cómo aecta la constante de amortiguamiento en un sistema masaresorte5

)*0

1-st"2"cac"$n

/uego de haber estudiado teóricamente lo reerente a modelamiento matem*tico+ es  prudente !er su aplicación pr*ctica+ y es para esto 3ue nos !imos en la necesidad de  buscar un enómeno el cual pueda ser modelado de la manera m*s acertada posible+ en este caso nos enocamos en un sistema de masa resorte con una uer)a de amortiguamiento. Con este se pretende 3ue nuestros compa6eros de tercer ni!el Mecatrónica cono)can acerca del modelamiento de un sistema amortiguado+ y 3ue dicho contenido les sea de utilidad en el transcurso de su carrera y en su !ida  proesional.

2

)*3

O/4et"5os

O/4et"5o Genera! Deducir un modelo matem*tico mediante ecuaciones dierenciales para la representación del mo!imiento amortiguado

O/4et"5os Es%ec62"cos •

Deinir mediante una ecuación dierencial+ todos los par*metros necesarios

•

 para 3ue e-ista un mo!imiento amortiguado. Construir una ma3ueta para reali)ar una pr*ctica del enómeno de

•

mo!imiento amortiguado. Comprobar mediante simulaciones en un programa los !alores calculados y resultantes de la pr*ctica.

)*7

8"%$tes"s

/a constante de amortiguamiento tiene incidencia directo en el tiempo de oscilación de un sistema masa resorte sometido a un l03uido amortiguador.

3

CAPITULO II MARCO TEORICO .*)* De2"n"c"$n e +o5"+"ento a+ort"g-ao Para identiicar los conceptos de mo!imiento amortiguado se debe conocer   pre!iamente deiniciones de mo!imiento armónico y oscilatorio. 'l mo!imiento armónico simple es un mo!imiento periódico+ oscilante con respecto a un punto i(o central. 7n claro e(emplo de este mo!imiento es el sistema masa resorte+ en el cual se une una masa a un resorte y se separa al resorte de su posición de e3uilibrio para 3ue comience su oscilación. Por lo tanto+ un mo!imiento amortiguado+ se deinir como un mo!imiento oscilatorio+ en el cual e-ista un elemento 3ue rene paulatinamente este mo!imiento para as0 llegar a un momento en el 3ue no e-ista mo!imiento. 8ablando sobre mo!imientos oscilatorios+ el mo!imiento amortiguado es una aplicación pr*ctica de mo!imiento armónico simple+ ya 3ue est* basado en  par*metros reales a dierencia del mo!imiento armónico simple 3ue centra su an*lisis en par*metros ideales. /a dierencia entre estos dos tipos de mo!imientos oscilatorios se puede apreciar  claramente en sus gr*icas 9espacio  tiempo+ las cuales se presentar*n a continuación:

F"g-ra 9): ;raica 9espacio < tiempo de un mo!imiento armónico simple.

4

F"g-ra 9,: ;raica espacio tiempo de un mo!imiento amortiguado. .*,* De2"n"c"$n e %ar&+etros  +oe!ac"$n e !a ec-ac"$n "2erenc"a! e! +o5"+"ento a+ort"g-ao* Para poder reali)ar una modelación adecuada sobre el mo!imiento amortiguado+ se debe inicialmente reali)ar un an*lisis gr*ico 3ue generalice este enómeno+  por lo tanto se ha reali)ado un sistema masa resorte con l03uidos amortiguadores+ as0:

F"g-ra 9.: =isuali)ación es3uem*tica de un mo!imiento amortiguado. 2bser!amos en la igura anterior 3ue en el sistema masa resorte se encuentran deinidas la masa >m?+ el coeiciente de !iscosidad o amortiguamiento >b? y >@? 3ue es el coeiciente de restitución del resorte. Deinidos estos par*metros puntuales tenemos las siguientes particularidades: •

/a uer)a !iscosa es proporcional a la relación entre el coeiciente de !iscosidad >b? y la !elocidad de la part0cula >!?:  F v =−b∗ v ;)< 'l signo negati!o de la ecuación nos indica 3ue la uer)a !iscosa o amortiguadora 9uer)a 3ue e(erce el l03uido amortiguador+ siempre se opone

•

a la dirección del mo!imiento. /a uer)a implicada en el resorte+ se deinir* mediante la ley de 8oo@e 3ue nos indica 3ue la uer)a recuperadora del resorte ser* igual a la relación entre la longitud del resorte >-? y el coeiciente de restitución >@?.

5

 F r =−k ∗ x

;,<

Al igual 3ue en la ecuación anterior+ el signo negati!o indica 3ue la uer)a de restitución del resorte ser* siempre contraria al mo!imiento del mismo. •

Para relacionar las ecuaciones 1 y $+ se utili)a los conocimientos de la tercera ley de eton:

∑ F  =m∗a  y

;.ra !e e Ne=ton<*

 F v + F r =m∗a b∗v + k ∗ x + m∗a=0 Por deinición se conoce 3ue la !elocidad >!? de una part0cula se deine mediante la primera deri!ada del espacio >-? con respecto al tiempo y la aceleración >a? de una part0cula est* dada por la segunda deri!ada del espacio con respecto al tiempo+ as0: v=

dx dt 

a=

d  x

2

2

d t 

eempla)amos las deiniciones en la ecuación principal y obtenemos lo siguiente: 2

b∗dx m∗d  x + + k ∗ x =0 2 dt  d t  Para simpliicar nuestra ecuación dierencial encontrada+ procedemos a di!idirla para la masa ya 3ue mediante esta di!isión se puede hacer dos reempla)os+ los cuales permitir*n resol!er m*s *cilmente nuestra ecuación dierencial: b m 2 ∗dx ∗d  x m m  k  + + ∗ x =0 2 dt  m d t  'ntonces como:

6

ω0 =

γ =

√

 k  m

b 2m

eempla)amos las deiniciones en la ecuación y obtenemos: 2

 dx d  x + ω02 x =0 2 γ   + 2 dt  d t 

;Ec-ac"$n genera! e +o5"+"ento

a+ort"g-ao<* .*.* Reso!-c"$n e !a ec-ac"$n "2erenc"a! %!anteaa* Conocemos por deinición 3ue la ecuación dierencial encontrada mediante modelación+ es una ecuación dierencial lineal de segundo orden+ por lo tanto debemos sustituir la deri!ada del espacio con respecto al tiempo por una !ariable cual3uiera+ en este caso se utili)ar* >m?+ para 3ue nos 3uede lo siguiente: m=

m

2

dx dt  2

+ 2 γm+ ωo =0

Podemos obser!ar 3ue luego del reempla)o nos 3ueda una ecuación de segundo grado+ dicha ecuación podemos resol!er mediante el mtodo de la órmula general para llegar a la e-presión siguiente: m = γ ± √ γ  −ωo 2

2

'n este momento+ procedemos a anali)ar la situación pertinente a las dos ra0ces 3ue se !an a encontrar+ espec0icamente debemos anali)ar si las ra0ces son iguales+ dierentes o si su solución es un nmero comple(o y as0  podremos llegar a la deinición inal de la resolución de esta ecuación dierencial. 'l an*lisis pr*ctico nos indica 3ue los l03uidos utili)ados para el amortiguamiento+ nos dan un mo!imiento poco amortiguado+ y utili)ando las deiniciones anteriores se podr* llegar a la ecuación siguiente:

7 − ∗ ( ) ∗cos ( w ∗t +  x = A∗e b

2m

t 

' 

∅

)

;So!-c"$n 2"na! e !a E*D*<

Done: ' 

w=

∅

√

2

 k  b − 2 m 4m

 : Desase inicial

A : Amplitud

CAPITULO III DESARROLLO .*)*

MATERIALES Tabla 1 Materiales

Mater"a! >o

Caracter6st"cas

E?-"%o Base

 Permite sostener los dem*s materiales de la pr*ctica

Ag-a

Material amortiguador 

Ace"te e +otor

Material amortiguador 

-sao Rec"%"ente

Para !erter el agua y el aceite

Resorte

Permite el mo!imiento oscilatorio

F"g-ra

8

C-/o con

 os sir!e de masa

gancho

.*,*

DIAGRAMA DEL SISTEMA

F"g-ra ) D"agra+a e! s"ste+a .*.*

Datos o/ten"os:

'-isten datos constantes 3ue se obtienen mediante el c*lculo de condiciones iniciales en un tiempo igual a cero+ los cuales son: AE1F

=0

∅

mE11&g 'l tiempo se mide con cronómetro desde 3ue la pr*ctica se inicia hasta 3ue la masa no est sometida a mo!imiento+ entonces para los dos casos puntuales estudiados los tiempos ser*n:

.*0* C&!c-!os Para calcular la constante A+ tomaremos los !alores iniciales+ tiempo cero y una amplitud igual 1F. − ∗ ( ) ∗cos ( w ∗t +  x = A∗e b

2m

0

t 

' 

= A∗e ∗cos (0 +0 )

17

∅

)

9

 A =17  uestra ecuación nos 3uedar0a de la siguiente manera. − ∗ ( ) cos  x =17 e b

2m

t 

(√

2

)

2

 k  − b 2 t − b 2 m 4m 4m

A partir del sistema masaresorte armado se consiguieron datos 3ue nos ser!ir*n  para obtener el !alor de b.

Ag-a  x =0.21 m t =4.59 s m =0.113 Kg − ∗( ( ( )) 0.21=17 e b

2 0.113

4.59 )

cos

(√

10 0.113

2

−

b

(

4 0.113

)

2

)

2

( 4.59)−

b

(

4 0.113

2

)

b =0.1465

Ace"te  x =0.08 m t =3.4 s m =0.113 Kg − ∗( ( ( )) 0.24 =17 e b

2 0.113

b =0.2801

4.59 )

cos

(√

10 0.113

−

b

(

2

4 0.113

)

2

)

( 4.59 )−

b

(

2

4 0.113

2

)

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CAPITULO IV SIMULACI@N 0*)*

Ingreso e! +oe!o Mate+&t"co en Moe!!-

Gigura ". Modelo matem*tico

0*,* C-r5as S"+-!aas Amortiguamiento del aceite

F"g-ra 7* Mo5"+"ento a+ort"g-ao generao %or e! ace"te

11

Amortiguamiento generado por el agua

F"g-ra 7* Mo5"+"ento a+ort"g-ao generao %or e! ace"te

0*,*

TABLA DE RESULTADOS

Tabla $ Datos generados con el aceite

12

Tabla & Datos generados con el agua

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CAPITULO V 3*)* CONCLUSIONES 7tili)ando los conocimientos ad3uiridos de modelación y resolución de ecuaciones dierenciales se ha llegado a obtener: 2

 dx d  x 2 + 2 γ   + ω  x =0 0 dt  d t 2 − ∗ ( ) ∗cos ( w ∗t +  x = A∗e b

2m

t 

' 

∅

)

,e reali)ó una ma3ueta+ en la cual podemos obser!ar y reali)ar todo lo necesario para obtener nuestras !ariables a encontrar+ dicho proceso se muestra en el !ideo ane-ado ,e logró comprobar mediante simulaciones en Modellus 3ue la pr*ctica se reali)ó e-itosamente.

B"/!"ogra26a Hemans@y Hears. 9$%%. G0sica 7ni!ersitaria. 'ditorial Pearson 'dición 1$. Hill Dennis. 9$%%. 'cuaciones Dierenciales con aplicaciones de modelado. Cengace. 'dición 

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ANEOS

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