IRISAN KERUCUT A. Parabola Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya terhadap titik tertentu dan garis tertentu selalu sama. Titik tersebut dinamakan fokus (F), dan garis tersebut dinamakan direktrik (d) (d). Terdapat dua macam bentuk parabola, yakni 1. Parabola horizontal 2. Parabola vertical. Berikut ini akan diruaikan dir uaikan penjelasan masing-masing bentuk tersebut 1. Parabola Horizontal dengan dengan Puncak O(0, 0) Parabola ini mempunyai bentuk Umum : y2 = 4px , dimana Koordinat Koordinat titik fokusnya fokusnya di F(p, 0) dan persamaan persamaan direktrisnya direktrisnya x = –p Sedangkan sumbu simetrisya adalah sumbu-x Jika p > 0 maka kurva membuka ke kanan dan jika p < 0 kurva membuka ke kiri Latus rectum adalah ruas garis yang melalui titik fokus dan tegak lurus dengan sumbu simetris (sumbu-X). Panjang latus rectum diukur dari jarak kedua titik potongnya dengan parabola (AB), dan dirumuskan AB = 4p 2. Parabola Vertikal Vertikal dengan Puncak O(0, 0) Parabola ini mempunyai bentuk Umum : x2 = 4py , dimana Koordinat Koordinat titik fokusnya fokusnya di F(0, p) dan persamaan persamaan direktrisnya direktrisnya y = –p Sedangkan sumbu simetrisya adalah sumbu-y Jika p > 0 maka kurva membuka ke atas dan jika p < 0 kurva membuka ke bawah Latus rectum parabola ini adalah ruas garis yang tegak lurus denan sumbu-y. Panjang latus rectum dirumuskan AB = 4p
I ri san Kerucut Kerucut
1
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini : 01. Tentukan titik fokus dari parabola y2 = –12x Jawab y = –12x y2 = 4px
4px = –12x 4p = –12 p = –3 Jadi koordinat fokus F( –3, 0) 02. Tentukan persamaan garis direktris dari parabola y2 = 20x Jawab y2 = 20x y2 = 4px
4px = 20x 4p = 20 maka p = 5 Persamaan garis direktris adalah x = –p x = –5 03. Tentukan panjang Latus Rectum dari parabola y2 = 6x Jawab y2 = 6x y2 = 4px
4px = 6x 4p = 6 Panjang Latus Rectum = 4p = 6 satuan 04. Tentukan titik fokus dari parabola x2 = 32y Jawab
x = 32y x2 = 4py
4py = 32y 4p = 32 p=8 Jadi koordinat fokus F(0, 8)
05. Tentukan persamaan garis direktris dari parabola x2 + 24y = 0 Jawab x2 + 24y = 0 x2 = –24y maka 4p –24 , p = –6 Jadi persamaan garis direktris adalah y = –p y= 6 06. Sebuah parabola dengan pusat di O(0, 0) dan fokus pada sumbu-X serta melalui titik (2, 6). Tentukanlah persamaan parabola tersebut Jawab Karena pusat di O(0, 0) dan fokus pada sumbu-X maka bentuk umum parabola tersebut : y2 = 4px
I ri san Kerucut
2
Melalui (2, 6) maka 62 = 4p(2) 36 = 8p p = 9/2 Jadi persamaan persamaan parabola : y2 = 4(9/2)x y2 = 18x 3. Parabola Horizontal dengan Puncak M(a, b) Parabola ini mempunyai bentuk Umum : (y – b)2 = 4p(x – a) , dimana Koordinat titik fokusnya di F(p+ a, b) dan persamaan direktrisnya x = –p + a Sedangkan persamaan sumbu simetrisya adalah y = b Jika p > 0 maka kurva membuka ke kanan dan jika p < 0 kurva membuka ke kiri Panjang latus rectum dirumuskan AB = 4p
4. Parabola Vertikal dengan Puncak M(a, b) Parabola ini mempunyai bentuk Umum : (x – a)2 = 4p(y – b) , dimana Koordinat titik fokusnya di F(a, p + b) dan persamaan direktrisnya y = –p + b Sedangkan persamaan sumbu simetrisya adalah x = a Jika p > 0 maka kurva membuka ke atas dan jika p < 0 kurva membuka ke bawah Panjang latus rectum dirumuskan AB = 4p
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini : 07. Tentukan titik puncak dari parabola y2 + 2x – 6y + 11 = 0 Jawab y2 + 2x – 6y + 11 = 0 y2 – 6y = –2x – 11 2 y – 6y + 9 = –2x – 11 + 9 (y – 3)2 = –2x – 2 (y – 3)2 = –2(x + 1)
I ri san Kerucut
3
Jadi titik pusatnya adalah ( –1, 3) 08. Tentukan titik fokus dari parabola x2 + 10x – 8y + 41 = 0 Jawab x2 + 10x – 8y + 41 = 0 x2 + 10x = 8x – 41 x2 + 10x + 25 = 8x – 41 + 25 (x + 5)2 = 8x + 16 (x + 5)2 = 8(x + 4) Sehingga a = –5 , b = –4 dan p = 2 Jadi titik fokusnya adalah F(a, p + b) = F( –5, –4 + 2) = F( –5, –2) 09. Diketahui parabola x2 – 6x – 12y – 15 = 0. Persamaan sumbu simetrinya adalah …
Jawab x2 – 6x – 12y – 15 = 0 x2 – 6x = 12y + 15 x2 – 6x + 9 = 12y + 15 + 9 (x – 3)2 = 12y + 24 (x – 3)2 = 12(y + 2) Sehingga a = 3 , b = –2 dan p = 3 Jadi Persamaan sumbu simetrinya adalah x = a x=3 10. Diketahui parabola (y – 4)2 = 2(x – 3). Persamaan garis direktrisnya Jawab (y – 4)2 = 2(x – 3) Maka a = 3 , b = 4 dan p = 1/2 Jadi Persamaan direktrisnya adalah x = –p + a y = –1/2 + 3 y = 5/2
adalah …
11. Sebuah parabola dengan puncak di (3, –2) dan fokus di (4, –2). Tentukanlah persamaan parabola tersebut Jawab Bentuk Umum : (y – b)2 = 4p(x – a) Puncak di (3, –2), maka a = 3 dan b = –2 Fokus F(p + a, b) = F(p + 3, –2) = F(4, –2) maka p + 3 = 4 p=1 2 Jadi persamaan parabola : (y + 2) = 4(1)(x – 3) y2 + 4y + 4 = 4x – 12 y2 – 4x + 4y + 4 + 12 = 0 y2 – 4x + 4y + 16 = 0
I ri san Kerucut
4
12. Tentukanlah Persamaan parabola yang berpuncak di (4, –2), mempunyai sumbu simetri x = 4 dan panjang latus rectum 8 Jawab Bentuk Umum : (x – a)2 = 4p(y – b) Puncak di (4, –2), maka a = 4 dan b = –2 Panjang latus rectum = 8 = 4p maka p = 2 Jadi persamaan parabola : (x – 4)2 = 4(2)(y + 2) x2 – 8x + 16 = 8y + 16 x2 – 8x – 8y = 0
I ri san Kerucut
5