OPERACIONES UNITARIAS I - 2014 EAP ING AGROINDUSTRIAL
FQIQ - UNMSM
Desplazamiento en Lechos porosos • • • • • •
Ley de Darcy Porosidad, Diámetro equivalente Ecuación de Blake-Kozeny Ecuación de Burke-Plummer Ecuación de Ergun Lechos fijos y fluidizados *
1. Ley de Darcy Henry Darcy en 1856 demonstro que la velocidad média (v) de un fluido newtoniano cuando fluye en regimen laminar dentro dentro de un lecho poroso es poroso es proporcional a la gradiente de presión e inversamente proporcional a la distancia recorrida.
v = velocidad média del fluido en lecho poroso K = constante que depende de las propiedades del fluído y del lecho poroso (-ΔP) = resto de presión a través del lecho L = trancurso realizado en el lecho poroso
*
La ecuación de Darcy también puede ser escrita de la siguiente manera:
B = coeficiente de permeabilidad,
que depende apenas de las propriedades físicas del lecho poroso μ f = viscosidad del fluído. *
2. Ecuación de Poiseuille Explica el fluido en regimen laminar de un fluido newtoniano dentro de un tubo.
Donde: ∆p es la gradiente de presión (N/m 2) v es la velocidad del fluido en el tubo (m/s) D es el diámetro del tubo (m) L es la longitud del tubo (m) µ es la viscosidad del fluido (Pa.s) Colocando la ecuación en terminos da velocidad média del fluido en el tubo:
Ing° Samuel Silva Baigorria
*
Comparando las ecuaciones: Poiseuille
Darcy modificada
Considerando el “canal tortuoso” como un tubo, se relaciona las dos ecuaciones y se obtiene una expresión para “B” :
Ing° Samuel Silva Baigorria
= f(ε, Dp, Φp, etc.) Luego, es necesario una ecuación “mas robusta”.
k
*
3. Deducción de un modelo para describir el paso de un fluido en un lecho particulado Cuales son las variábles que actuan en el desplazamiento de un fluido newtoniano en un lecho de partículas sólidas rígidas? Precisamos de una ecuación para describir como varia la velocidad del fluido con la presión aplicada, a una distancia recorrida (altura del lecho), la viscosidad,la densidad del fluido, el diámetro de las partículas y su esfericidad, la porosidad del lecho. Ing° Samuel Silva Baigorria
Primero para lechos fijos y despues en lechos móviles (o fluidizados)
*
Consideraciones para las ecuaciones que seran desarrolladas a seguir: • Fluido Newtoniano • Las partículas se distribuyen de forma homogenea, lo que permite la formacion de canales de desplaamientos contínuos, uniformes y en paralelo • Un lecho de transcurso corto (L pequeño)
*
3.1. Porosidad Recordando que en un lecho poroso existen espacios vacios (zonas sin partículas). La porosidad (ε) es definida como la razon entre el volumen del lecho que no está ocupado con material sólido y el volumen total del lecho.
v0
*
v
En el caso de flujo a través de lecho de partículas:
0
ρs = densidad de la partícula sólida ρf = densidad del fluido
Espacio
Ing° Samuel Silva Baigorria
Sólido
Fracción Volume Masa
*
Ecuación para correlacionar la porosidad como las densidades del lecho, las partículas y del fluido: (densidad aparente) masa total = masa de sólidos + masa de fluido
Substituyendo los terminos, se tiene: v 0
[1] *
3.2. Volumenes en el lecho
Volumen total del lecho Conjunto de partículas Volumen = suma de los volumenes unitários
Lecho particulado
Volume total de vacios
Volume total de sólidos *
3.3. Relación entre “velocidad superficial” (fuera del lecho) del fluido y velocidad média del fluido en el lecho
El flujo masico del fluido fuera del lecho es igual al flujo masico dentro del lecho: Balance de masa
v 0
[2]
Área de vacios
Cuando el lecho no tiene partículas: Si la porosidad para 50%:
*
3.4. Diámetro equivalente
Como no se trata de desplazamiento en una tubería cilíndrica (pues se tiene un canal tortuoso), debemos usar el concepto del diámetro equivalente y del radio hidráulico, cuya definición es: v 0
Multiplicando por (L b/Lb) se tiene:
Ing° Samuel Silva Baigorria
A es el área de fricción entre el fluido y las partículas sólida que corresponde al área externa de las partículas sólidas.
*
Sabemos que:
Si as es el área superficial por unidad de volumen sólido:
Área de rozamiento = volumen ocupado por las partículas sólidas
Substituyendo esas relaciones en “Deq” se tiene que:
x as
*
Para partículas esféricas se tiene:
[3] *
3.5. Lecho particulado fijo La perdida de presión en lecho particulado es obtenida con el Balance de Energia: v 0
[4] Substituyendo f F para fluido Newtoniano en regimen laminar se tiene:
[5] *
[6]
[2]
[3]
Substituyendo [3] y [6] en [2], se obtiene:
Ecuaciones [7] y [8] válidas para partículas esféricas, fluido Newtoniano en regimen laminar .
[7] ou
[8] *
Regimenes de fluido Número de Reynolds
Substituyendo Deq [3] y vlecho [2] en Re se tiene:
[9]
Definición del regimen del flujo de fluido:
Laminar cuando Re < 10 Turbulento cuando Re > 100
➢ ➢
*
3.5.1. Regimen Laminar De [8] Los datos experimentales revelan que el valor da constante (72) en [8] generalmente es mayor, como muestra la ecuación abajo: Ecuación de Blake-Kozeny ; válida para ε<0,5 e Re<10
*
Laminar
g n i n n a F e d r o t a F
Turbulento
Re
*
3.5.2. Regimen Turbulento Para el regimen turbulento se puede proponer: Ahora, substituyendo [2] y [3] en [4] se tiene:
[2] [3]
Ecuación de Burke-Plummer
[4]
[10]
(k=0,583) *
Sumando los dos regimenes (laminar de Blake-Kozeny y turbulento de Burke-Plummer ), se tiene
una ecuación general de
Ergun que describe un residuo de presión de un fluido deslizandose en un lecho poroso fijo:
[11 ] Rearreglando se tiene:
[12]
*
3.6. Partículas no esféricas
La ecuación de Ergun [11] incluya la esfericidad cuando las partículas no son esféricas. Para eso, el diámetro de la partícula es multiplicado por la esfericidad (phi): [13]
*
4. Respuesta al flujo superficial (velocidad v 0 del fluido)
Baja velocidad El fluido no posee una fuerza de arraste suficiente para se sobrepor a fuerza de la gravedad y hacer que las particulas se muevan: Lecho fijo.
Alta Velocidad
Si el fluido tiene alta fuerza cinética, las fuerzas de arraste y el empuje superan a la gravedad y el lecho se expande y se mueve: Lecho fluidizado.
ΔP es el aumento de velocidad superficial v0 En cuanto se establece a fluidización o ΔP crece, depues se mantiene constante.
Longitud del lecho cuando aumenta v0
A una altura (L) es constante antes que se relaje el estado de fluidización deespues comienza a crecer.
*
5. Fluidización La fluidización ocurre cuando un flujo ascendente de fluido fluye a través de un lecho de partículas y adquiere velocidades suficientes para manter las partículas en suspensión, sin
que sean arrastadas junto con el fluido.
*
http://www.youtube.com/watch?feature=fvwp&NR=1&v=3_ILu2Ye8gQ *
http://www.youtube.com/watch?v=e5u9oW-PSy0&feature=related *
• Secado • Mezcla • Revestimento de
La fluidización partículas es impregnada • Aglomeración posterior en: • Calentamiento y enfriamiento de sólidos • Congelamiento • Tostado de café Ventajas de la Fluidización: • Pirólisis ➢
Alta mezcla de los sólidos (homogeneización rápida)
➢
A área superficial de las partículas sólidas fija completamente disponíble para la transferencia de calor y de masa *
5.1. Etapas de la fluidización O→A: Aumento de velocidad y de la presión residual del fluído; A→B: El lecho está iniciando la fluidización; B→C: Con el aumento de velocidad, hay una elevación residual de la presión debido a un cambio repentino de la porosidad del lecho; C→D: El log(-∆P) varia linealmente con log(v) antes del ponto D. D→∞: Despues del punto D, las partículas comienzan a ser arrastradas por el fluído y se pierde la funcionalidad del sistema. Transporte pneumático Lecho fluidizado vmf = velocidad mínima de fluidización
Lecho fijo
va = velocidad de arraste *
Ejemplo de aplicación de fluidización en enfriamiento de sólidos Salída del aire
Entrada de sólidos calientes Água caliente Água fria
Entrada de aire
Lecho fluidizado
distribuidor
Entrada de aire
Saída de sólidos frios *
5.2. Tipos de fluidización (A) Fluidización particulada: Ocurre cuando las densidades de las partículas es parecida con la del fluido y el diámetro de las partículas es pequeño.
Video sobre fluidización particulada: *
http://www.youtube.com/watch?v=waohqAsKCxU&feature=related *
http://www.youtube.com/watch?v=CGXr_GKhksE&feature=related *
(B) Fluidización agregativa: Ocurre cuando las densidades de las partículas y del fluído son muy diferentes o cuando el diámetro de las partículas es grande.
Video sobre fluidización agregativa: Ing° Samuel Silva Baigorria *
http://www.youtube.com/watch?v=NXJhjhQFBNk&NR=1 *
http://www.youtube.com/watch?v=EB0r6A5VxFU *
5.3. Altura del lecho poroso Cuando se inicia la fluidización, hay un aumento de la porosidad y de la altura del lecho. Esa relación es dada por la siguiente expresión:
[14] volumen de sólidos en lecho fijo
volume de sólidos en lecho fluidizado
S
S
*
5.4. Velocidad mínima de fluidización El lecho solamente fluidizará a partir de un cierto valor de velocidad de fluido ascendente. Esa velocidad es definida como la velocidad mínima de fluidización (vmf ). Fe
Cuando se consigue la vmf , la fuerza de la presión (Fp) es la del empujo (Fe) se igualan a la fuerza del peso de las partículas del lecho (Fg). Luego,
Fp + Fe = Fg
http://www.youtube.com/watch?v=nGovDPNvSDI&feature=related *
http://www.youtube.com/watch?v=nGovDPNvSDI&feature=related *
Se sabe que
Fe
L
Haciendo Fp + Fe = Fg se tiene:
[15]
*
5.4.1. vmf para regimen laminar Para este regimen, la parte final de la ecuación de Ergun [13] es insignificante en relación a la primera, luego tenemos:
Rearreglando con la ecuación [15] se tiene:
[16]
*
5.4.2. vmf para regimen turbulento Para este regimen, la parte inicial de la ecuación de Ergun [13] es insignificante en relación a la segunda, luego tenemos:
Rearreglando con la ecuación [15] se tiene:
[17]
*
5.5. Porosidad mínima de fluidización Para su determinación, se usan las siguientes relaciones:
➢
Experimentalmente:
➢
*
Ejercícios de Fluidización
*
Ej. 1: Un lecho fluidizado posee 80 kg de partículas de diámetro 60 µm (φ = 0,8) es la densidad de 2500 kg/m 3. El diámetro del lecho es 40 cm es la altura mínima de fluidización es 50 cm. El fluido ascendente es el aire (ρ = 0,62 kg/m3), que fluye en regimen turbulento en el lecho. Calcule: (a) La porosidad mínima de fluidización. (b) La perdida de carga en la altura mínima de fluidización. (c) La velocidad mínima de fluidización
(a) Volumen de sólidos = 80kg / 2500 kg/m 3 = 0,032 m3. Para una porosidad de 0 (ε1= zero), a la altura del lecho considerando apenas sólidos seria de: L1=Volume/Área=0,032m 3/0,1256m2=0,2548 m Usando [14] se tiene: En el início de la fluidización, el lecho posee 49% de su volumen ocupado con aire es los 51% restantes con partículas sólidas También podría ser resuelto por: *
(b)
De [15] se tiene:
La altura mínima de fluidización, la perdida de carga en lecho poroso será de 6,3kPa
(c)
De [13] se tiene:
Cuando el fluido consigue la Vmf se iniciará la fluidización del lecho. *
Tipo de regimen
Hay Consistencia?
*
Ejercício 2: Velocidad mínima de fluidización Partículas sólidas que poseen un diámetro de 0,12mm, esfericidad de 0,88 y densidad de 1000kg/m 3 iran a ser fluidizadas con aire a 2 atm y 25ºC (μ=1,84.10 -5 Pa.s; ρ=2,37kg/m3). La porosidad mínima de fluidización es 0,42. Con estas informaciones encuentre: •La altura mínima de fluidización considerando una sección transversal del lecho vacio de 0,30m 2 y que el lecho contiene 300kg de sólidos. •Encontre un resto de presión en las condiciones de fluidización mínima. •Encuentre la velocidad mínima de fluidización (a) Volume de sólidos = 300kg / 1000 kg/m 3 = 0,3 m3 Para una porosidad de 0 (ε1= zero), la altura del lecho considerando apenas sólidos seria de: L1=0,3m3/0,3m2=1m Usando la ecuación [14] se tiene: En el inicio de la fluidización, del lecho tendrá 1,72m
*
(b)
De [15] se tiene:
La altura mínima de fluidización, la perdida de carga en el lecho será 9,7kPa
(c) De [15](condiciones mínima de fluidización) en [13] (Ergun) se tiene:
Resolviendo se tiene: vmf = 0,00504 m/s Cuando el fluido alcanza 0,00504 m/s, la fluidización del lecho será * iniciada.
Ejercício 3: Velocidad mínima de fluidización y expansión del lecho
Las partículas sólidas possen un diámetro de 0,10mm, esfericidad de 0,86 y densidad de 1200kg/m 3 iran ser fluidizadas con aire a 2atm y 25ºC (μ=1,84.10-5 Pa.s; ρ=2,37kg/m3). La porosidad mínima de fluidización es 0,43. El diámetro del lecho es de 0,60m y contiene 350kg de sólidos. Con esas informaciones encuentre: •La altura mínima de fluidización. •Encuentre el resto de la presión en condiciones de fluidización mínima. •Encuentre la velocidad mínima de fluidización. •Utilizando 4 veces la velocidad mínima, y estime la porosidad del lecho. Itens (a), (b) e (c) son resueltos de la misma manera que el exercício anterior. Respuestas: (a) 1,81m; (b) 12120Pa; (c) 0,004374m/s.
Ing° Samuel Silva Baigorria *
(d) De [15] en [13] (Ergun) se tiene:
Resolviendo se tiene: ε = 0,605 Cuando el fluido alcanza cuatro veces la velocidad mínima de fluidización, la porosidad del lecho será de 0,605, o sea, 60,5% del volumen del lecho ocupado con el fluido es 39,5% del volumen del lecho ocupado con las partículas sólidas. *