Transformasi Z
Transformasi Z Transformasi-Z adalah salah satu alat bantu pada analisis sistem LTI (Linier Time Invariant ).
Transformasi
Z
merupakan
suatu
teknik
untuk
menggambarkan dan memanipulasi deretan (seperti Transformasi Laplace pada Sinyal waktu Kontinyu).
Kegunaan Transformasi Z •
Mengurangi perhitungan dalam operasi konvolusi
•
Solusi persamaan beda dapat ditemukan dengan perhitungan aljabar yang lebih mudah
•
Fungsi transfer pada sistem LTI
Definisi Transformasi-z, X(z), dari fungsi waktu diskrit x(n) adalah: ∞ Z [ X (n)]
= F ( z ) = ∑
x (n) z
−n
(1)
n=−∞
dengan z adalah variabel kompleks
Hubungan pada Pers. (1) -> Transformasi-z bilateral. Pers. (1) dapat ditulis: 0
X ( z )
= ∑
x (n) z
n=−∞
Jika f(n)=0 untuk n > 0, maka: X ( z )
−n
∞
+∑
x (n) z
−n
n=0
∞
=∑
x (n) z
−n
(2)
n=0
Hubungan pada Pers. (2) -> Transformasi-z unilateral (satu sisi)
Definisi Transformasi z
Contoh Diberikan sinyal waktu diskrit x(n), yang mempunyai jumlah elemen yang terbatas seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut ini : x(n) 4 3 2
2 -2
-3
3 -1
0
1
4
2 -2 -4
-5
Secara matematis gambar diatas dapat dinyatakan sebagai : x(-3) = 2, x(n) 4
x(-2) = -5,
3 2
x(-1) = 3,
2 -2
x(0) = 0, -3
3 -1
0
1
4
2
x(1) = 4, -2
x(2) = 2,
-4 -5
x(3) = -4, x(4) = -2
maka transformasi Z dari x(n) akan diperoleh : TZ(x(n)) = X(Z) =
_ =∞ =−∞ ()
X(Z) = 2Z3 – 5Z2 + 3Z1 + 4Z-1 + 2Z-2 – 4Z-3 – 2Z-4
x(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1}
x(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1}
ROC
Karena Transformasi-z adalah deret pangkat tak hingga
Transforamsi-z hanya berlaku untuk nilai-nilai z yang konvergen
Himpunan seluruh nilai z, agar F(z) konvergen ROC
Contoh Tentukan transformasi Z dari x(n) = u(n)
Jawab: Sinyal x(n) = u(n) memiliki nilai 1 untuk n TZ(x(n)) = X(Z) = X(z) = ... +
z2
≥ 0.
Dengan demikian:
_
=∞ =−∞ .()
. x(-2) + z . x(-1) + x(0) +
z-1
. x(1) +
z-2
. x(2) + ...
1
+
1 2
Jumlah tak berhingga Sn = a/(1-r)
Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1
= ... + z2 . 0 + z . 0 + 1 + z-1 . 1 + z-2 . 1 + ...
=1+
Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
+ ...
Kita bisa memandang X(z) tersebut sebagai deret geometri dengan suku awal 1 dan rasio Deret ini dapat dijumlahkan menjadi x(n) = u(n)
X(z) = ,|Z|>1 1
1 1 1
=
1
asalkan |
1
1 | <1 atau |z| > 1 ,jadi
Syarat |Z| > 1 disebut dengan area ke-konvergen-an (Region of Convergence / ROC).
Region Of Convergence (ROC) ROC dengan bentuk |z| > r dan |z| < r.
Transformasi-z dari suatu sinyal x(n) adalah X(Z) disertai
dengan Region of Convergence-nya. Ada kemungkinan dua buah sinyal berbeda memiliki
transformasi z yang sama, namun ROC-nya berbeda. Mari tinjau kasus berikut:
Seperti yang kita ketahui bahwa Transformasi-z dari x1(n) = u(n) adalah X1(z) =
(−)
dengan ROC |z|> 1.
Di sisi lain, transformasi-z dari x 2(n) = -u(-n -1) adalah: Tz(x2(n)) = X2(z)
_ =∞ = =−∞ .() _ =∞ = - =−∞ .(1)
=
dengan ROC |z| < 1 (−)
X(n) u(n)
-u(-n-1)
X(z)
( 1) ( 1)
ROC |Z| > 1
|Z| < 1
Dengan demikian, transformasi-z yang lengkap adalah transformasi-z yang disertai dengan nilai ROC-nya.
Selanjutnya bisa kita lihat pula bahwa: x1(n) = an u(n) dan x2(n) = -an u(-n - 1) juga memiliki bentuk transformasi-z yang sama yaitu , Hanya ROC nya yang berbeda. ( ) X(n)
X(z)
an u(n)
( ) ( )
-an -u(-n-1)
ROC |Z| > a |Z| < a
Pasangan Umum Transformasi Z ()
()
ROC
()
1
Semua z
()
1 − 1
>
( 1)
1 − 1
<
()
− − 1
( 1)
− − 1
1 cos 0 − 1 2 cos 0 − −
cos 0 ()
sin 0 () a cos 0 () asin 0 ()
− +
1 cos 0 − − 2 cos 0 − − sin0 − − 2 cos 0 − −
2
z z
2
> <
cos cos 1
z
2 z
>1
0
0
(sin 0 ) z z
2
z z
2
2
cos cos
z
2z
0
0
sin 2 cos 0
z
>1
2 z cos 0 1
2
z
a
2
z
0
a
2
>1 >1
Sifat Transformasi Z No
Sifat
()
()
ROC
1
Linieritas
()
()
∩
2
Pergeseran
( 0 )
− ()
3
Pencerminan pada sumbu vertikal
()
( − )
1
4
Penskalaan pada domain z
()
(− )
5
Konvolusi
∗ ()
()
∩
6
Turunan/perkalianx(n) dengan n
()
()
Sifat-Sifat Transformasi Z Sifat 1 ini disebut sifat linier dari transformasi-Z. Sifat ini berguna untuk menghitung transformasi-z dari jumlah dua atau lebih sinyal. Sifat 2 ini disebut sebagai sifat pergeseran pada sumbu waktu atau x(n). Sifat 3 ini disebut juga sebagai pencerminan pada sumbu vertikal dari Sifat 4 ini disebut juga sebagai sifat penskalaan pada domain-z. Sifat 5 menyatakan bahwa konvolusi di domain waktu adalah sama dengan
perkalian di domain-z. Sifat 6 ini adalah perkalian x(n) dengan n.
