Calculo de Secciones de Concreto Armado en Edificaciones Juan M. Alfaro Alfaro
En el proceso de diseño del refuerzo en vigas se calcula armadura por tensión y compresión. El refuerzo por compresión se adiciona cuando el momento de diseño aplicado excede la capacidad del momento máximo de una sección simplemente reforzada, aunque siempre se tiene la opción de evitar el refuerzo en compresión incrementado el peralte efectivo, el ancho o la resistencia del concreto.
El procedimiento de diseño está basado b asado en el bloque de esfuerzos rectangular simplificado como se muestra en la figura 1.1 (ACI 10.2). De esta manera se asume la que compresión sobrellevada por el concreto es menor que 0.75 veces que el que puede ser soportada por la condición balanceada (ACI 10.3.3).
c=0.003
b
0.85f'c
d'
Cs
A's
a=
1c
0.85 f' cba
c d Mu
s
Ts
Tc
As (i) SECCION DE VIGA
(ii) DIAGRAMA DE DEFORMACION
Figura 1.1
(iii) DIAGRAMA DE FUERZAS
,
Tomando momentos en el eje de la barra a tensión y sin tener en cuenta el acero en compresión A’s, se tiene:
a
a
0.85 f 'c ba d
0.85 f 'c ba d
M n 2
M n M u M n
M
u 2
a d d 2
M u
2 M u 0.85 f 'c b
cu d ; cmax cu t t 0.005
(ACI 10.3.4)
amax 1cmax
(ACI 10.2.7.1)
f 'c 280 ; 70
1 0.85 0.05
Si
a a max
cu 0.003
(ACI 10.2.2)
0.65 1 0.85,
el área de refuerzo del acero a tensión es entonces dado por:
A s
M u
a f y d 2
(ACI 10.2.3)
(ACI 10.2.7.3)
Acero Mínimo según el código ACI 10.5.1 será el mayor de: A s ,min
0.8 f 'c bd
f y
A s ,min
14.06bd
f y
f´ c=
280 Kg/cm²
b=
30 cm
h=
60 cm
d´=
6.0 cm
d=
54.00 cm
As,min(cm²)=
5.16 cm²
As,min(cm²)=
5.42 cm²
As,min(cm²)=
5.42 cm² ACI 10.5.1
Vigas de 30×60 y columnas de 30×50
MOMENTOS DEL ANALISIS ESTRUCTURAL (kg-cm) M(-)=
-4167850.28
0
-3971036.72
M(+)=
0
4728905.37
0
ACI 21.5.2.2 dice: La resistencia a momento positivo en el nudo no debe ser menor a la mitad de la resistencia del momento negativo proporcionada en esa misma cara. La resistencia a momento positivo o negativo, en cualquier sección a lo largo de la longitud del elemento, no debe ser menor a un cuarto de la resistencia máxima a momento proporcionada en la cara en cualquiera de los nudos (caras).
Momento de control (ACI 21.5.2.2): M control
1 4
max M i , M j
1 4
max( 4167850.28 ,3971036.7 2) -1041962.5 7
MOMENTOS DE DISEÑO (kg-cm) M(-)= -4167850.28 -1041962.57 M(+)=
2083925.14
-3971036.72
4728905.37
1985518.36
PERALTE COMPRIMIDO (cm) 13.765
3.091
13.011
6.383
15.997
6.062
ACERO POR FLEXION (cm²) 23.401
5.424
22.119
10.851
27.196
10.306
ACERO POR FLEXION-CALCULO MANUAL (cm²) 23.401
5.424
22.119
10.851
27.196
10.306
y y'
x'
x
c
A
t
C
cu y
c d -
B
abi× f si 0.85f' c× Ac
Figura 2.1. Sección, coordenadas giradas, Diagrama de Deformación y Diagrama de esfuerzos
y d t d ' t y
cu cu t
c
d c
cu cu y
cu cu t
cu cu y
d c
d
entonces ft= 0.90 (ACI 9.3.2)
d entonces
cu cu y
d
c
t c t y
s
y
= 0.65 (ACI 9.3.2)
c
4 xi1
P c 0.85 f 'c y ' x dx'
y'
i 1 xi
x'2,y'2
4
y 'i y 'i 1
i 1
2
0.85 f 'c x 'i 1 x 'i
x'1,y'1
4 xi 1
M x 'c 0.85 f 'c
y(x)
4
0.85 f 'c x'i 1 i 1
dx
y ' x '
2
i
dx'
y 'i y 'i 1 y '2 i 1
i
6
4
y 'i 2 x'i x'i 1 y 'i 1 2 x'i 1 x 'i
i 1
6
M y 'c 0.85 f 'c xy ' x dx' 0.85 f 'c x'i 1 x'i i 1 xi
2
i 1 xi
x' 4 xi 1
y ' x ²
Para algún valor de c algunas líneas no contribuirán al área de la zona comprimida entonces tales líneas no se tomara en cuenta en la sumatoria.
P c P c M xc M x 'c cos M y 'c seno M yc M x 'c seno M y 'c cos
Se calcula la pendiente m de la recta de deformaciones: Si
c
cu
d m
cu t
Si c Para cada barra
t
d c
d
cu
cu
t
m
cu
c
x'bi xbi cos( ) ybi seno( )
La deformación será
bi m x'bi x'max c
El esfuerzo en cada barra será: Cada barra debe cumplir que: La Fuerza axial del acero será:
f sbi bi E s
f y f sbi f y nb
P s Abi f sb i
Los momentos respecto a los ejes originales será:
Calculo denbP max (ACI 10.3.6.2)
i 1
M xs Abi f sb i ybi i 1
nb
M ys Abi f sbi xbi
P max 0.8 c 0.85 f 'c A g A st A st f y
i 1
DATOS GENERALES f'c=
280kg/cm²
b=60cm
2-2
Es= 2038901.9 kg/cm²
b=
60cm
Es=
29000 Kip/in²
h=
60cm
f y=
4200kg/cm²
rec=
6cm
ecu=
0.003(ACI 10.3.3)
NF=
3
et=
0.005(ACI 10.3.4)
NL=
3
ey=
0.0021(ACI 10.3.2)
nb=
8
ft=
0.9(ACI 9.3.2)
fc=
b1=
0.65(ACI 9.3.2) (ACI 0.850010.2.7.3)
f=
SI
Abar= 2.838704cm²
m c 0 6 = h
3-3
550
Pu (kg)
s e r a l l i M500
DIAGRAMA DE INTERACCION b=60cm
Y-Y 450
f'c=280 kg/cm² fy=4200 kg/cm² =0° CA=33
400
m c 0 6 = h
X-X
350 300 250
SAP- ETABS 200
INVESTIGACION 150 100 50 0 0 -50
10
20
30
40
50
60
70
x 100000
Mu (kg-cm) -100 -150
550
Pu (kg)
s e r a l l i M500
DIAGRAMA DE INTERACCION
Y-Y m c 0 6 = h
450
X-X
f'c=280 kg/cm² fy=4200 kg/cm² =15° CA=33
400 350
SAP-ETABS 300
INVESTIGACION
250 200 150 100 50 0 0 -50
10
20
30
40
50
60
70 x 100000
Mu (kg-cm) -100 -150
b=60 cm
550
s e r a l l i M500
Pu (kg)
b=60cm
Y-Y
DIAGRAMA DE INTERACCION m c 0 6 = h
450
400
f'c=280 kg/cm² fy=4200 kg/cm² =30° CA=33
350
SAP-ETABS 300
INVESTIGACION
250
200
150
100
50
0 0 -50
10
20
30
40
50
60
70
x 100000
Mu (kg-cm) -100
-150
X-X
550
Pu (kg)
s e r a l l i M500
b=60cm
DIAGRAMA DE INTERACCION m c 0 6 = h
450
400
f'c=280 kg/cm² fy=4200 kg/cm² =45° CA=33
350
Y-Y
SAP-ETABS 300
INVESTIGACION 250
200
150
100
50
0 0 -50
-100
-150
10
20
30
40
50
60
70
x 100000
Mu (kg-cm)
X-X
550
Pu (kg)
s e r a l l i M 500
DIAGRAMA DE INTERACCION
b=60cm
Y-Y
450 m c 0 6 = h
400
f'c=280 kg/cm² fy=4200 kg/cm² =60° CA=33
350 300
SAP-ETABS INVESTIGACION
250 200 150 100 50 0 0 -50 -100 -150
10
20
30
40
50
60 70 x 100000
Mu (kg-cm)
X-X
3.1 CALCULO DEL ERROR POR AXIAL
en
en D1 D D2 D D2 D1
P
D2 D P u / ful P c D(Mxu/ful, Pu/ful) D1
S Ps
C
D2
Mxs
P D2 D1 M xu / ful M xc s M xs P en P u / ful P c M xu / ful M xc s M xs
Pc
Mx Mxc
Figura 3.1 Diagrama para cálculo de error axial
em D1 D D2 D D2 D1
My
D(Mxu/ful, Myu/ful D1
S Mys
C
D2
D2 D M yu / ful M yc
M ys D2 D1 M xu / ful M xc M xs
Mxs Myc
Mxc
em
M
yu
/ ful M yc
M
M ys
xu / ful M xc
Figura 3.2- Diagrama para cálculo de error por momento
M xs
en
en1 c1
en2
c
c2
c3
Figura 3.3- Diagrama para corrección de error axial
c3 c2
c2 c1 en 2 en1
en 2
em
em1 1
em2 2
3
Figura 3.4- Diagrama para corrección de error por momento 3 2
2 1
em 2 em1
em 2
En el instante en que el error por axial y el error por momento sean ambos menores que tol ( p. e. 1e5) el vector S estará apuntado al punto de diseño D. Entonces el área de la barra será:
abar
M xd / ful M xc M xs
Y el área total será: A s nb aba r
f'c=
280 kg/cm²
Pu= 64147.02 kg/cm²
b=
30 cm
Mux=
h=
50 cm
Muy= 180407.9 kg-cm
rec=
5.905 cm
NF=
3
NL=
3
nb=
6
(Mux²+Mux²)1/2=
4167850 kg-cm
4171753 kg-cm
Con estos valores se construye el diagrama de interacción , se grafica la carga y se obtiene:
DIAGRAMA DE INTERACCION 400
s e r a l l i M
b=30
Y-Y cm
300
m c 0 5 = h
200
100
41.72, 64.15
0 0
10
20
30
40
50
x 100000
-100
-200
-300
X-X
Diferencia
71.229 70.445 71.229
100 1.10%
En el dimensionamiento de vigas tanto el calculo manual como con programas la diferencia es cero, porque el marco teórico es ampliamente conocido. En el dimensionamiento de columnas tanto el calculo manual como con programas las diferencias significativas son pequeñas, debido a que no hay una unificación en el marco teórico. Las armaduras que dan los programas SAP y ETABS son correctas.
