CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENT MOVIMIENTOS OS - Sus constantes constantes y vara!"es vara!"es y #r$%cas Según su
Trayectora Ve"oc(a(
Recta M- Rect"*neo Es Un()ensona" ( longitud ) Crcu"ar !()enso na" Para!,"co Es TRA&ECTORIA Curva MCurv"*neo E"*+tco Es tr()ensona" 'e"co(a" T. curva Plana
Trayectoria curva no contenida en un plano
Constante
Vara!"e
Mov)ento
Caracter*stcas
VELOCIDAD
MRU M,(u"o0 Drecc,n y Sent(o M,(u"o Drecc,n MCU MRUV Drecc,n y Sent(o M,(u"o M,(u"o - Drecc,n MCUA
Notaciones : M.R.U.
v Cte 0 0 a a t / an /
a t / ac an a r Cte / MRUA a at Cte / - MRUD a / n Cte / a Cte / t a a a Vara!"e c n r . a. a a R t c
Movimiento rectilíneo uniforme
M.C.U.
“
circular
uniforme
M.R. M.R.U. U. .
“
rect rectil ilín íneo eo unif unifo ormem rmemen ente te vari variad ado o
M.C.U.!.
“
circular
uniformemente acelerado
Cte ." Constante
a t ." aceleraci#n tangencial o lineal a n ." aceleraci#n normal a c ." aceleraci#n centrí$eta
%
v
.
R
(
dirigida &acia el centro de la curva )
a r ." aceleraci#n radial ." aceleraci#n angular FORMULARIO DE MOVIMIENTO CIRCULAR
MA#NITUDES AN#ULARES1
RELACIONES
!ngulo descrito (rad)
Es$acio recorrido s . R (m)
elocidad angular ω rad s
!celeraci#n angular
rad m2
Velocidad en un punto de la periferia at
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME1 MCU o ω t rad v
ω .R
m
s
t N vueltas rad ω 2 . s t (s) 2 2 . F T
. R m s2
R m m v "te s ω "te rad s m a n "te s2 a t ! m 2 s
2 ω 'eriodo T s vuelta 1 F ω 2 +recuencia F vueltas s H (Hercio) 1 T N2 (e vue"tas
v ω . R ms
iem$o ue tarda en dar * vuelta
+ n, devueltas ue da en * segundo
N vueltas F . t (s) s (espacio recorrido en un tiempo dado ) N vueltas 2 R 2
!celeraci#n (Normal - Centrí$eta - Radial) a n a c a r !celeraci#n en funci#n de sus com$onentes intrínsecas
a
v2 R
2 .R m
a t an m
s2
s2
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO1 MCUV
m an "te s2 a t "te m 2 s "te rad 2
#
ω ωo
t
(rad 2 ) s
ω ω o t (rad s )
*
o ω o t t 2 (rad)
ω
2
ωo. 2 t
Nº de vueltas
s v o t
$n%ulo recorrido en un tiempo dado () 2
2/
* . a t . t 2 (m)
COMPONENTES INSTR3NSECAS
a t , an
DE LA ACELERACIÓN
at
α .R
v
t
u
ω
2
.R
a. t
a .u
t
R
v
v
v
a.
a
2
at
2
an
2
an
d
at
an
a.n
a .u
r
a
a.
at
.
vector unitario tangente a la tra0ectoria
n ur
vector unitario normal ($er$endicular) a la tra0ectoria
ector de 'osici#n
r
2 i
0 '
M#dulo del vector de 'osici#n 3es$la1amiento
r
r r final r
1&
elocidad Media Vm t
(m) 2
0
r inicial
1
(m)
(m)
m s
r final r inicial t
elocidad 4nstant5nea Se o6tiene derivando el ector de 'osici#n
V
!celeraci#n 4nstant5nea Se o6tiene derivando el ector velocidad
a
!celeraci#n Media
a
m
v t
v final
v inicial
7
t
m
s2
d r dt
m s
dv dt
m
s2
!celeraci#n tangencial Se o6tiene derivando el m#dulo del vector velocidad res$ecto del d v m tiem$o: a t s2 dt
am6i8n se $uede o6tener:
at
a. t
a .u
CLASIFICACION (e "os MOVIMIENTOS1 Si
V
0
a
tienen
I#UAL signo ACELERADO
Si
V
0
a
tienen
DISTINTO signo RETARDADO
v
a.
v v
m
s2
CUESTIONES TEÓRICAS 425 67u8 (%erencas 9ay entre +osc,n (e un ),v" en una trayectora y e" es+aco o "a (stanca recorr(a so!re "a )s)a: La +osc,n nos indica el lugar ue ocu$a el m#vil en la tra0ectoria res$ecto al sistema de referencia tomado como fi9o en un determinado instante no nos indica nada so6re si el m#vil &a recorrido o no alguna distancia 0 $uede ser $ositiva o negativa. E" es+aco o (stanca recorr(a es la longitud medida so6re la tra0ectoria ue recorre entre dos instantes 0 es siem$re $ositiva.
.25 6Cu$n(o conc(e e" es+aco o (stanca recorr(a con e" (es+"a;a)ento: El des$la1amiento coincide con la distancia recorrida cuando la tra0ectoria es rectilínea 0 el m#vil no retrocede.
<25 6Da "o )s)o (ecr es+aco recorr(o =ue (es+"a;a)ento en "a (escr+c,n (e un )ov)ento entre (os +untos (e una trayectora cua"=uera: No.
E" es+aco recorr(o es la longitud medida so6re la tra0ectoria ue recorre el m#vil entre los dos $untos 0 es una magnitud escalar. E" (es+"a;a)ento es el vector ue une la $osici#n inicial 0 final es decir los dos $untos 0 es una magnitud vectorial. S#lo coincide cuando la tra0ectoria es rectilínea 0 no retrocede en su movimiento.
>25 67u8 (%erenca 9ay entre "a trayectora se?u(a +or un ),v" y su ?r$%ca +osc,n - te)+o: La trayectora es el camino recorrido $or el m#vil 0 es el resultado de unir las distintas $osiciones ue ocu$a a lo largo del tiem$o.
La ?r$%ca +osc,n @ te)+o es la re$resentaci#n gr5fica de una ecuaci#n matem5tica ue relaciona la $osici#n del m#vil con el tiem$o.
25 Bust%ca s son correctas o no "as s?uentes a%r)acones a5 De (os at"etas corren(o0 e" )$s r$+(o es a=ue" =ue recorre )$s (stanca !5 De (os at"etas corren(o0 e" )$s r$+(o es a=ue" =ue tar(a )enos te)+o ;as dos afirmaciones son incom$letas. En la a) no se informa so6re el tiem$o em$leado en recorrer dic&a distancia.
En la 6) a su ve1 no se informa la distancia ue &a recorrido cada atleta.
25 6Por =u8 un )ov)ento un%or)e no +ue(e ncarse a +artr (e" re+oso: Si un cuer$o est5 en re$oso $ara iniciar su movimiento &a de $oseer una cierta aceleraci#n 0 en consecuencia el movimiento no $odr5 ser uniforme
25 6 C,)o se (eter)na s un cuer+o tene un )ov)ento ace"era(o o retar(a(o en un nstante (a(o: " "
25 a5 !5 c5 (5
Si Si
v
0
a
v
0
a
tienen el mismo signo !celerado tienen el distinto signo Retardado
In(ca =ue a%r)acones son correctas E" )ov)ento es1 Un ca)!o (e "u?ar Un ca)!o (e "u?ar s e" cuer+o =ue se )ueve es un +unto )atera" Un (es+"a;a)ento Un ca)!o (e +osc,n
Son correctas.: 6) 0 d) El movimiento es en general un cam6io de $osici#n. 'ero si el m#vil es un $unto material un cam6io de $osici#n im$lica un cam6io de lugar. Punto )atera": es un cuer$o cu0as dimensuiones no se tienen en cuenta
25 SeGa"a "as a%r)acones correctas E" )ov)ento (e un coc9e =ue se (es+"a;a +or una carretera es res+ecto (e una ?aso"nera1 a5 Rotac,n !5 Tras"ac,n c5 A!so"uto (5 Re"atvo Son correctas: 6) 0 c)
4/25 a5 !5 c5 (5 a) 6) c) d)
In(ca s es %a"so o ver(a(ero1 Se +ue(e estu(ar e" )ov)ento +rescn(en(o (e" sste)a (e re%erenca E" )ov)ento es un ca)!o (e "u?ar Un +unto so"a)ente +ue(e tener )ov)ento (e tras"ac,n La Terra se +ue(e cons(erar un +unto )atera" cuan(o se )ueve a"re(e(or (e" So" +also. 'orue el sistema de referencia es necesario $ara estudiar el movimiento +laso. 'orue el movimiento consiste en un cam6io de $osici#n erdadero erdader. 'orue las dimensiones de la ierra son des$recia6les com$aras con la distancia entre ella 0 el Sol
4425 In(ca =ue a%r)acones son ver(a(eras La ve"oc(a( )e(a (e una +art*cu"a es un nterva"o (e te)+o es1 a5 E" cocente entre e" (es+"a;a)ento y e" nterva"o (e te)+o !5 E" cocente entre e" es+aco recorr(o y e" nterva"o (e te)+o c5 Es ?ua" cua"=uera =ue sea "a trayectora (5 De+en(e (e "a trayectora Son verdaderas: a) 0 c). 'orue se deducen de la $ro$ia definici#n de velocidad media
4.25 En un ca)+eonato (e es=u* es=u* a"+no un es=ua(or es=ua(or rea";a e" (escenso 9acen(o )uc9as Heses0 )entras =ue otro "o rea";a en "*nea recta SeGa"a "as a%r)acones %a"sas1 a5 Los (os 9an rea";a rea";a(o (o e" e" )s)o )s)o (es+ (es+"a;a "a;a)e )ento nto !5 Los (os 9an recorr recorr(o (o "a )s) )s)aa (st (stanc anca a c5 Los (os 9an se?u( se?u(oo "a "a )s) )s)aa tray trayect ector oraa (5 JaKaron JaKaron con "a )s)a )s)a ve"oc(a ve"oc(a( ( )e(a )e(a s tar(a tar(aron ron e" e" )s)o )s)o te)+o te)+o Son +alsas: 6) 0 c). 'orue es evidente ue los dos no corren la misma distancia ni &an seguido la misma tra0ectoria
4<25 a5 !5 c5
Vsto (es(e (entro (entro (e un auto!s auto!s en )ov)ento0 =uere)os =uere)os sa!er s se )ueve1 La +ers +ersona ona =ue est$ est$ senta( senta(aa a ) ) "a(o "a(o E" se)$% se)$%or oroo =ue =ue aca!a aca!a)os )os (e (e +asar +asar La +ersona +ersona =ue vene vene a sentar sentarse se en e" asento asento (e (etr$s (etr$s (e" (e" )*o
Res$ecto de un o6servador ue via9a en el auto6ús: " ;a $ersona ue est5 sentada a mi lado est5 $arada " el sem5foro tiene movimiento relativo: se acerca o se ale9a con la velocidad con ue se mueve el auto6ús. " ;a $ersona ue ue va a sentarse se mueve res$ecto de cualuier cualuier otro via9ero via9ero del auto6ús auto6ús Res$ecto de una $ersona $arada en el e2terior las $ersonas sentadas se mueven con la velocidad del auto6ús
4>25 a5 !5 c5
De "as s?uentes a%r)acones n(ca cua"es son %a"sas1 S "a ve"oc(a ve"oc(a( ( (e" cuer+o cuer+o es es nu"a0 nu"a0 "a ace"erac, ace"erac,n n ta)!8n ta)!8n "o es es S "a ace"erac ace"erac,n ,n (e un un cuer+o cuer+o es nu"a0 nu"a0 "a ve"oc( ve"oc(a( a( ta)!8n ta)!8n "o es es La ve"oc(a ve"oc(a( ( y "a ace"erac ace"erac,n ,n son vector vectores es =ue tenen tenen se)+r se)+ree "a )s)a )s)a (recc (recc,n ,n aun=ue aun=ue su sent(o +ue(e ser (%erente
Se $ueden citar e9em$los ue demuestran ue las tres afirmaciones son +alsas. a) Cuando Cuando se lan1a un cuer$o cuer$o verticalmen verticalmente te &acia arri6a arri6a su velocidad velocidad es cero cero cuando alcan1 alcan1aa el $unto m5s alto. Sin em6argo est5 sometido a la aceleraci#n de la gravedad. Cuando un $8ndulo se encuantra en los e2tremos de la oscilaci#n no tiene velocidad< en cam6io su aceleraci#n es m52ima 6) En el movimiento rectilíneo 0 uniforme la aceleraci#n aceleraci#n es cero< en cam6io la velocidad no lo es es c) ;os vectores vectores velocidad velocidad 0 acelerac aceleraci#n i#n tienen tienen distinta distinta direcci#n direcci#n en los movimien movimientos tos curvilíneos curvilíneos..
*=,) *=,) a) 6) c) d)
En el el MRU MRU la acel aceler erac aci# i#n n es: un escalar un escalar constante no e2iste ninguna de las anteriores Res$uesta." c)
*>,) a) 6) c)
En el MRU la velocidad es: Cons Consta tant ntee en en m#du m#dulo lo Constante en m#dulo 0 direcci#n Constan Constante te en m#dulo m#dulo direcci# direcci#n n 0 sentido sentido
d) Constan Constante te en m#dulo m#dulo 0 senti sentido do Res$uesta." c)
*?,) *?,) a) 6) c) d)
El movim movimien iento to de caída caída de un cuer cuer$o $o es: es: RU RU! RU 'ara 'ara6 6#lico lico Res$uesta." 6)
*@,) a) 6) c) d)
ABu8 clase clase de movimien movimiento to mantiene mantiene constante constante la velocid velocidad ad 0 tiene tiene aceleraci#n aceleraci#n MCU MRU MRU Ninguno Res$uesta." a)
*D,) *D,) a) 6) c) d)
ACual ACual de las sigui siguient entes es $ro$os $ro$osicio iciones nes es falsa falsa El vector des$la1amie des$la1amiento nto entre entre $untos es siem$re siem$re el mismo cualuiera cualuiera ue sea su tra0ecto tra0ectoria ria El vector $osici#n de un $unto coincide con el vector des$la1amiento desde el origen al $unto En cualuier cualuier momento momento el es$acio recorri recorrido do coincide coincide con el m#dulo m#dulo del vector des$la1a des$la1amiento miento Si en un movimiento movimiento el es$acio recorr recorrido ido es el vector vector des$la1ami des$la1amiento ento es nulo nulo Res$uesta." c)
,) ,) 'ode 'odemo moss afi afirm rmar ar ue: ue: a) El vector vector $osici#n $osici#n 0 el vector des$la1 des$la1amien amiento to tienen el el mismo significad significado o físico 6) El vector $osici#n es un vector cu0o origen es el del sistema de referencia 0 su e2tremo es la $osici#n del $unto del m#vil c) El vector des$la1amie des$la1amiento nto coincide coincide con la tra0ector tra0ectoria ia del $unto m#vil m#vil en todo momento momento d) la a) 0 la c) Res$uesta." 6)
*,) *,) SeFala SeFala la res$ue res$uesta sta correc correcta: ta: a) Se define define velocida velocidad d instant5n instant5nea ea como la veloci velocidad dad media media calcul calculada ada en un interv intervalo alo de tiem$o tiem$o ue tiende a 6) ;a velocidad se e2$resa en unidades de distancias distancias multi$licadas $or el tiem$o c) En un interva intervalo lo de tiem$o tiem$o determin determinado ado la veloci velocidad dad de una $artícu $artícula la varía varía de v* a v 0 su velocidad media en el intervalo $odemos asegurar ue es igual a
v*
v.
.
d) la a) 0 la 6) Res$uesta." a)
,) ,) a) 6) c)
En un cue cuer$ r$o o en movi movimi mien ento to:: El vector vector aceleraci#n aceleraci#n nunca nunca $uede $uede tener sentido sentido contrario contrario al al de la velocidad velocidad ;a velocidad $uede ser nula 0 en cam6io estar acelerado No $uede modificar modificarse se la direcci#n direcci#n del vector vector velocidad velocidad cuando cuando el vector aceleraci# aceleraci#n n es constante constante
d) Con acelerac aceleraci#n i#n la velocida velocidad d nunca nunca $uede ser constante constante Res$uesta." 6)
G,) Con res$ecto res$ecto a las re$resentacio re$resentaciones nes gr5ficas gr5ficas del movimiento movimiento seFala la $ro$osici# $ro$osici#n n verdadera: verdadera: a) En el MU en una una gr5fi gr5fica ca v - t el es$aci es$acio o se re$res re$resent entaa $or una una recta recta con $endi $endient entee $ositiv $ositivaa o negativa 6) En el MU en una gr5fica s - t la velocidad se re$resenta $or una una curva c) En el MU! MU! en una una gr5fica gr5fica s - t la velocidad velocidad se re$resenta re$resenta $or $or una recta d) En el MU! MU! en una una gr5fica gr5fica v - t el el es$acio es$acio se re$rese re$resenta nta $or $or una su$erf su$erficie icie Res$uesta." d)
.>25 a5 !5 c5
Aver?ua ver?ua cu$" (e "as "as s?uentes s?uentes a%r)a a%r)acone coness es ncorrect ncorrecta1 a1 E" ),v" su%re su%re varacones varacones (e ve"oc(a( ve"oc(a( esca"ar ?ua"es en te)+os ?ua"es ?ua"es La ace"erac,n esca"ar nstant$nea (e" ),v" ),v" +er)anece constante La ace"erac,n ace"erac,n esca"ar esca"ar )e(a en un nterva"o nterva"o (e te)+o te)+o cua"=uera cua"=uera conc(e conc(e con "a ace"erac,n ace"erac,n esca"ar nstant$nea en ca(a +unto (e" nterva"o (5 La trayectora trayectora es o!"?ato o!"?atora)e ra)ente nte rect"*ne rect"*neaa
Res$uesta." d)
=,) a) 6) c) d)
Cuando Cuando se mueve un $unto $unto material material lo lo &ace &ace según: según: a ;a direc direcci# ci#n n 0 sent sentido ido de la la t ;a direcci#n de su vector $osici#n ;a direcci#n direcci#n del vector vector aceleraci# aceleraci#n n de la $artícula $artícula en el mismo mismo sentido sentido o en el contrario contrario ;a direcc direcci#n i#n del del vector vector velo velocid cidad ad Res$uesta." d)
>,) >,) SeFala SeFala la $ro$ $ro$osi osici# ci#n n verda verdader dera: a: a) En cualuie cualuierr ti$o ti$o de movimien movimiento to cuando cuando un m#vil m#vil recorre recorre un camino camino en cualu cualuier ier interva intervalo lo de tiem$o el m#dulo del vector des$la1amiento coincide con el es$acio recorrido 6) En cualuier ti$o de movimiento cuando un m#vil recorre un camino 0 se consideran intervalos de tiem$o mu0 $eueFos el m#dulo del vector des$la1amiento coincide con el es$acio recorrido c) En los movimien movimientos tos de ti$o curvilín curvilíneo eo el camino camino recorrid recorrido o $or un m#vil m#vil 0 el m#dulo m#dulo del vector vector des$la1amiento son siem$re iguales d) El vector vector velocidad velocidad media media siem$re siem$re es tangente tangente a la tra0ectoria tra0ectoria del del m#vil Res$uesta." 6)
?,) 3emuestra 3emuestra ue en el el MU! la aceleraci# aceleraci#n n es igual al do6le do6le del del es$acio recorr recorrido ido en la $rimera $rimera unidad unidad de tiem$o. * En el MU! si el m#vil $arte del re$oso se cum$le ue: s a t * En la *H unidad de tiem$o el es$acio recorrido es: s (*) a * a . s M45
@,) a) 6) c) d)
AEn u8 movimient movimiento o tienen igual igual direcci#n direcci#n los los vectores vectores velocidad velocidad 0 aceleraci#n aceleraci#n MRU MR! a) 0 6) 6) MCU
Res$uesta." c)
D,) a) 6) c) d)
SeFala la afirmaci#n +alsa: Un MCU tiene aceleraci#n nula En cualuier MR no e2iste a n En un MU la velocidad es constante Es $osi6le ue en un movimiento la velocidad aumente al disminuir la aceleraci#n Res$uesta." a)
G,) ACu5l de las siguientes afirmaciones referidas al MCU es Cierta: a) No e2iste a n $ero si a t 6) No e2iste a t $ero si a n c) No e2iste ni a n ni a t d) E2iste aceleraci#n angular Res$uesta." 6)
G*,) a) 6) c) d)
Un $unto descri6e una tra0ectoria circular con $eríodo constante. Se cum$le ue: ;a velocidad angular aumenta con el tiem$o El $unto se encuentra sometido a una aceleraci#n nula El $unto se encuentra sometido a una aceleraci#n constante El $unto se encuentra sometido a una aceleraci#n de m#dulo constante Res$uesta." d)
<.25 Las ?r$%cas (e" )ov)ento (e tres ),v"es A0 J y C0 son "as s?uentes0 6c,)o es "a varac,n (e "a +osc,n res+ecto a" te)+o en ca(a una (e e""as:
En la ?r$%ca A no &a0 variaci#n de $osici#n a lo largo del tiem$o est5 $arado. En la ?r$%ca J la variaci#n de la $osici#n es la misma en los intervalos de tiem$os seFalados cada * segundos la $osici#n cam6ia * m el movimiento es uniforme. En la ?r$%ca C la variaci#n de la $osici#n en los intervalos seFalados es distinta . 3e a * segundo $asa de la $osici#n a la *< de * a segundos se $asa de la $osici#n * a la = 0 de a G segundos de la = a la I. El movimiento es variado.
GG,) ;as gr5ficas del movimiento de tres m#viles ! J 0 C son las siguientes Ac#mo es la variaci#n de la $osici#n res$ecto al tiem$o en cada una de ellas
En la gr5fica ! no &a0 variaci#n de $osici#n a lo largo del tiem$o est5 $arado. En la gr5fica J la variaci#n de la $osici#n es la misma en los intervalos de tiem$os seFalados cada * segundos la $osici#n cam6ia * m el movimiento es uniforme. En la gr5fica C la variaci#n de la $osici#n en los intervalos seFalados es distinta . 3e a * segundo $asa de la $osici#n a la D de * a segundos se $asa de la $osici#n D a la *D 0 de a G segundos de la *D a la I=. El movimiento es variado.
GI,) 3escri6e el movimiento reali1ado $or un m#vil ue est5 re$resentado en la siguiente gr5fica.
El m#vil $arte de la $osici#n m antes del sistema de referencia. Se mueve &asta los * segundos en sentido &acia el $unto tomado como sistema de referencia $asando $or 8ste a los = segundos &asta llegar a la $osici#n m allí entre el segundo * 0 *=
$ermanece en re$oso. ;uego entre el los segundos *= 0 avan1a en el mismo sentido &asta la $osici#n I m. 3esde esta $osici#n cam6ia de sentido 0 entre los segundos 0 G= vuelve a la $osici#n inicial m antes del sistema de referencia $asando $or 8ste a los G segundos allí entre el segundo G= 0 I de nuevo $ermanece en re$oso. En todos auellos casos en los ue e2iste movimiento 8ste es rectilíneo 0 uniforme dado el ti$o de gr5fica
G=,) 3escri6e el movimiento reali1ado $or un m#vil ue est5 re$resentado en la siguiente gr5fica.
El m#vil $arte de la $osici#n I m res$ecto al sistema de referencia 0 va &acia 8l durante los * $rimeros segundos llegando a la $osici#n m allí se $ara del segundo * al avan1ando en sentido contrario &asta la $osici#n G m entre los segundos 0 =.
G>,) ;a gr5fica $osici#n - tiem$o siguiente corres$onde a una carrera entre dos ciclistas !0 J. a) ABu8 venta9a le lleva el ciclista ! cuando comien1a el J AC#mo lo deduces 6) A!lcan1a el ciclista J al ! AEn u8 te 6asas Si lo alcan1a Aen u8 instante a)
Cuando sale el ciclista J el ! se encuentra en la $osici#n * m res$ecto al sistema de referencia $or tanto le lleva * metros de venta9a.
6) Si. Ka ue su $endiente es ma0or 0 $or tanto su velocidad. ;o alcan1a en el instante = s en ese momento la $osici#n de am6os es Gm ($unto de corte de las dos rectas).
MOVIMIENTO RECTIL3NEO
425 In(ca =ue t+os (e )ov)entos re+resentan "as ?r$%cas E+"ca
MRU Cte (L) Se ale9a del rigen
MRU Re$oso 'arado
MRU! a (L) !umenta la
MRU Cte (L) Se ale9a del rigen
.25 Las ?r$%cas s?uentes re+resentan a un ),v" =ue se )ueve con )ov)ento un%or)e)ente ace"era(o E+"ca su s?n%ca(o
#r$%ca A. MRU! " Re$resenta la variaci#n de la $osici#n con el tiem$o como en tiem$os iguales los es$acios recorridos $or el m#vil son distintos l as $osiciones se ir5n distanciando a medida ue aumenta el tiem$o. ;a figura es una $ar56ola.
#r$%ca J MRU! " Re$resenta la variaci#n de la velocidad con el tiem$o según dic&a gr5fica en tiem$os iguales el aumento de la velocidad es el mismo. (!umenta la elocidad). ;a figura es una recta cu0a $endiente es la aceleraci#n. (L)
#r$%ca C MRUR " Re$resenta la variaci#n de la velocidad con el tiem$o según dic&a gr5fica en tiem$os iguales la disminuci#n de la velocidad es la misma &asta llegar a velocidad cero. (;a velocidad disminu0e). ;a figura es una recta cu0a $endiente es la aceleraci#n ue en este caso es negativa. (")
#r$%ca D MRU! " Re$resenta la variaci#n de la aceleraci#n con el tiem$o según dic&a gr5fica en cualuier instante la aceleraci#n es la misma. ( L 0 Cte.). ;a figura es una recta $aralela al e9e ue re$resenta al tiem$o indicando con esto ue la aceleraci#n es constante.
<25 Las s?uentes ?r$%cas ve"oc(a( @ te)+o son "as (e un ),v" (es+"a;$n(ose en un recta 67u8 c"ase (e )ov)ento re+resentan:
#r$%ca A . MRU! " Con velocidad en el instante inicial. Es una recta cu0a $endiente es la aceleraci#n . Según dic&a gr5fica en tiem$os iguales el aumento de la velocidad es el mismo.
#r$%ca J. MR! no U " 'orue la variaci#n de la velocidad no es constante en el tiem$o. #r$%ca C. Re$resenta un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado con velocidad cero en el instante inicial. Es una recta cu0a $endiente es la aceleraci#n . Según dic&a gr5fica en tiem$os iguales el aumento de la velocidad es el mismo .
#r$%ca D. MRU " En todo instante la velocidad es la misma (L 0 Cte) #r$%ca E. MRUR " Con velocidad en el instante inicial. Es una recta cu0a $endiente es la aceleraci#n ue en este caso es negativa. Según dic&a gr5fica en tiem$os iguales la disminuci#n de la velocidad es la misma .
>25 Las ?r$%cas (e" )ov)ento (e tres ),v"es A0 J y C0 son "as s?uentes0 6c,)o es "a varac,n (e "a +osc,n res+ecto a" te)+o en ca(a una (e e""as:
En la ?r$%ca A no &a0 variaci#n de $osici#n a lo largo del tiem$o est5 $arado. En la ?r$%ca J la variaci#n de la $osici#n es la misma en los intervalos de tiem$os seFalados cada * segundos la $osici#n cam6ia * m el movimiento es uniforme.
En la ?r$%ca C la variaci#n de la $osici#n en los intervalos seFalados es distinta . 3e a * segundo $asa de la $osici#n a la *< de * a segundos se $asa de la $osici#n * a la = 0 de a G segundos de la = a la I. El movimiento es variado.
25 Un cc"sta 9a (o (e A 9asta J0 +or e" ca)no curv"*neo 67u8 (stanca 9a recorr(o: 6Cu$" 9a s(o su (es+"a;a)ento: La distancia recorrida = 9 . 9 = 81 km. El desplazamiento es la distancia en línea recta, 49
25 Las +oscones sucesvas (e un cc"sta =ue +arte (e A se n(can con "os +untos 40 .0 < E" !an(er*n )arca e" ) cero y en 8" est$ e" sste)a (e re%erenca In(ca "as +oscones (e" ),v" y "a (stanca recorr(a en ca(a caso
*
G
$osici#n
GNm
*= Nm
I= Nm
distancia
*= Nm
> Nm
D Nm
25 Las +oscones (e un coc9e =ue +arte (e" +unto A se n(can con "os n)eros 40.0<0> E" !an(er*n )arca e" sste)a (e re%erenca S un o!serva(or est$ stua(o en e" +unto P y otro en e" +unto R In(ca "as +oscones (e" coc9e y "a (stanca recorr(a en ca(a caso0 +ara ca(a uno (e "os o!serva(ores
Res$ecto al sistema de referencia '. 'osici#n
*
= Nm.
Nm
3istancia recorrida
= Nm
G
* Nm
I
= Nm
*= Nm
*= Nm
= Nm
Res$ecto al sistema de referencia R. 'osici#n
*
G
Nm.
*= Nm
* Nm
Nm
*= Nm
= Nm
3istancia recorrida
= Nm
* Nm
I
25 Las +oscones sucesvas (e un tren =ue +arte (e "a cu(a( A se n(can con "os +untos 40 .0 < E" !an(er*n en "a cu(a( R es e" sste)a (e re%erenca In(ca "as +oscones (e" ),v" y "a (stanca recorr(a en ca(a caso
;as $osiciones ser5n : *
>E Nm
G
>E Nm
*@E Nm
;as distancias recorridas ser5n : * ( >E
( *=E)) % DE Nm
(>E
G
( *=E)) % *E Nm
(*@E
( *=E)) % GGE Nm
25 67u8 +osc,n ocu+a e" !a",n en "os nstantes =ue se n(can: 6Cu$" es "a (stanca recorr(a 9asta ese )o)ento:
instante *
instante
instante G
instante I
$osici#n
* m
I m
m
m
distancia
* m
I m
> m
@ m
4/25 Car"os sa"e (e su casa a co)+rar e" +er,(co en una +a+e"er*a stua(a a 4./ ) (e "a vven(a y "ue?o re?resa a casa 67u8 a%r)ac,n es correcta: a5 Car"os se 9a (es+"a;a(o 4./ ) !5 Car"os se 9a (es+"a;a(o .>/ ) c5 Car"os no se 9a (es+"a;a(o (5 Car"os 9a recorr(o .>/ ) Es correcta la afirmaci#n c). 'orue al final del recorrido la $osici#n es la misma ue al $rinci$io (* m)
4425 Un coc9e =ue se encuentra nca")ente en e" ) (e "a carretera Ma(r( - Qara?o;a0 se (es+"a;a y ""e?a a" ) 4/ A""* %rena0 (a "a vue"ta y recorre 4.0 ) en sent(o contraro En este )o)ento1 a5 6Cu$" es "a +osc,n (e" coc9e: !5 67u8 (stanca 9a recorr(o: a) ;a $osici#n ser5 : *> m *= m % el m DG.= 6) ;a distancia recorrida ser5 : e % (*> m - =@ m) L *= m % I@ m L *= m % >= m
4.25 Un cc"sta se (es+"a;a en "*nea recta / ) S su +osc,n %na" est$ a 4./ ) (e" +unto (e re%erenca0 e" cc"sta nc, su recorr(o (es(e una +osc,n stua(a a1 a5 / ) !5 4./ ) c5 // ) (5 No se +ue(e 9a""ar "a +osc,n (e +art(a
e e e o e o e e e o *= m ?= m = m
4<25 Una +ersona sa"e (e +aseo Recorre . ) 9aca e" Norte0 (es+u8s se (r?e 9aca e" Este y recorre 4 ) y0 +or "t)o0 se (r?e 9aca e" sur y recorre > ) Ca"cu"a1 a5 67u8 es+aco 9a recorr(o: !5 6Cu$nto va"e e" (es+"a;a)ento: a)
? m
6) 'o '*
r
M I 5
*
0 I Nm
4>25 Una +ersona est$ senta(a en un !anco (e" +ar=ue +!"co En un )o)ento (a(o (ec(e (ar un +aseo1 recorre 4// ) 9aca e" Oeste0 se +ara y "ue?o recorre / ) 9aca e" Este a5 6Cu$s es "a +osc,n %na" (e "a +ersona res+ecto (e" !anco: !5 6Cu$" es e" (es+"a;a)ento: c5 67u8 es+aco 9a recorr(o:
a) la $osici#n ser5: * m > m % I m 6) e I m &acia el este c) es$acio recorrido % * m L > m % *> m
425 E" auto!s =ue une Qara?o;a con 'uesca +as, +or e" ) . a "as 4/ 9oras y +or e" ) > a "as 4/04 9oras 6Cu$" 9a s(o "a ve"oc(a( )e(a en (c9o tra)os: E+r8sa"a en ) 9 y en ) s S "a (stanca entre "a (os cu(a(es es (e . )0 y en to(o e" trayecto cons?ue esa ve"oc(a( )e(a0 6=u8 te)+o "e costar$: v
)
St %
e (I> " >) Nm N m Nm * m * & T T % E/ O) 9 @ % ..0. )s t *= minutos *= O > & & * N m G > s e ? Nm %
vm
@ NmO&
% /0F 9oras % D & P > minutos O&ora % > )nutos-
425 Un coc9e =ue se encuentra nca")ente en e" ) (e "a carretera Ma(r( - Qara?o;a0 se (es+"a;a (urante )e(a 9ora con "a )s)a ve"oc(a( y ""e?a a" ) 4/ A""* %rena0 (a "a vue"ta y recorre 4.0 ) en )nutos en sent(o contraro 6Cu$" 9a s(o "a ve"oc(a( )e(a (e" trayecto rea";a(o: *= Nm el Nm DG= ;a distancia recorrida ser5 : e (*> Nm =@ Nm) *= Nm I@ Nm L *= Nm % >= Nm 7 t G min D min GD min. ;a $osici#n ser5 : *> Nm
;a velocidad media ser5 : v )
7e 7t
>= N m % F<04 O) 9 GD O > &
DG*
Nm * m * & P P % .0F )s & * N m G > s
425 Un cc"sta =ue se )ueve en "*nea recta0 ace"era +asan(o (e 4 )9 a . )9 en )nutos Ca"cu"a1 a5 La ace"erac,n )e(a (e" cc"sta !5 La ve"oc(a( )e(a (e" cc"sta c5 La (stanca recorr(a en e" te)+o n(ca(o vo
*= NmO& I*> mOs
a)
am %
6)
vm %
c)
vm
v v o t v v o
v = NmO& >DI mOs
(>DI I*>) mOs G s (>DI I*>) mOs
t = min
G s
D mOs
=== mOs
v
)
e *>>= m === mOs G s t
e e v m . t === mOs . G s *>>= m t
425 'a""a "a ve"oc(a( (e un ),v" =ue se )ueve e" "*nea recta y =ue se encuentra en "a +osc,n @ ) en e" nstante . se?un(os y en "a +osc,n 4/ )etros en e" nstante se?un(os 67u8 +osc,n ten(r$ en e" nstante nca" y en e" nstante ./ se?un(os: e s = s * ( = ) *= m = mOs t = G Gs ;a $osici#n inicial ser5 : s % s L = t = % s L = ( ) s / U 4 ) v%
;a $osici#n en el instante ser5 : s % s L = t s % *= L = ( ) s ./ U E )
425 Un coc9e =ue ""eva una ve"oc(a( nca" (e . )s 0 ace"era (urante 4/ se?un(os con ace"erac,n constante (e < )s. 67u8 ve"oc(a( ten(r$ a "os 4/ se?un(os: 67u8 +osc,n ten(r$ en (c9o nstante0 s en e" nstante nca" est$ en "a +osc,n @ < ): 67u8 es+aco 9a!r$ recorr(o en (c9o te)+o: v % v a t v * mOs L G mOs P* s v 4/ <. )Rs * * a t s* G m L mOsP* s L . G mOs . (* s) s 4/ 4D ) 7 s ( es$acio recorrido en * segundos) % s* s % *>? ( G ) S s U 4D/ )
s* s L v t L
./25 Un ),v"0 =ue tene )ov)ento un%or)e)ente ace"era(o0 +arte con una ve"oc(a( nca" (e 4/ )s y (u+"ca su ve"oc(a( tras recorrer ./ ) Ca"cu"a1 a5 E" te)+o e)+"ea(o !5 La ace"erac,n a+"ca(a v
v o as * . a. = v v o a.t * > . t t 4C0D s
a /0C )s
.
.425 La ve"oc(a( (e un tren se re(uce un%or)e)ente (e 4/ )9 a . )9 Sa!en(o =ue (urante ese te)+o recorre una (stanca (e 4// ) Ca"cu"a1 a5 La ace"erac,n (e %rena(o !5 La (stanca =ue recorre0 s s?ue con esa )s)a ace"erac,n0 9asta =ue se +ara y e" te)+o =ue tar(a en 9acer"o
a) ;as velocidades en mOs son :*E@ NmO& % GE mOs 0 ? NmO & % E mOs v
v E % a s
a %
E
GE
%
" =EE
P*EE EE 6ien resolviendo el siguiente sistema :
= mOs
*EE *E E GE t % = % I s a a % t t * * *E 7 s % GE P t L a t *EE GE P t L t *EE % = t *E mOs a % .0A )Rs . t Is E E
IEE E/ ) P( = ) = v v o E E E a = t % % @s t = t 6ien resolviendo el sistema : 7 s % E P t L * a t % E P@ * . = P@ 7 s % *>E @E % @E m
6) v
v E % a
s S s %
%
..25 Un auto),v" se (es+"a;a a > )9 y (s)nuye un%or)e)ente su ve"oc(a( 9asta 4 )9 en 4/ s Ca"cu"a 1 a5 La ace"erac,n (e" ),v" !5 La (stanca recorr(a en "os 4/ s c5 E" te)+o =ue tar(ar$ en (etenerse (5 La (stanca =ue recorre 9asta (etenerse0 contan(o (es(e =ue se )ov*a 4 )9 vo % I= QmO& % *= mOs < v % *= QmO& % I*> mOs
v % *= mOs
v % I*> mOs.
▄
v % mOs
▄
▄
t % * s
a) a % 6) v
c) a %
v vo t
%
(I*> *=) mOs
* s
v o a s s % v vo t
t %
v
v o
a
v v o a
d) v v o a s s %
%
% @G mOs (*=
I*> ) (mOs)
. @G mOs
*= mOs
% @G? m
% *= s
@G mOs v v o ( I*> ) (mOs) % a . @G mOs
% *IG m
.<25 Un ),v" +arte (e" re+oso con una ace"erac,n constante (e 4/ )s. Ca"cu"ar 1 a5 La ve"oc(a( a "os se?un(os (e su +art(a !5 E" es+aco recorr(o en ese te)+o c5 E" es+aco recorr(o a "os se?un(os s?uentes a % * mOs
t % = s.
▄
t%=s
▄
▄
v o % mOs
a)
v (= s)
vo
a t % E *E mOs . = s =E mOs
6) s (= s) % s o v o
c)
v
v o
v (= s)
* * a t . * mOs . (= s) s o *= m
v v o (v = ) (mOs) as s% % a . * mOs vo
a t % =E mOs *E mOs . = s *EE mOs
s%
(*
= ) (mOs)
. * mOs
G?= m
.>25 Un tren (e" )etro arranca con una ace"erac,n (e (e c)s. A" ca!o (e
vcte MRU
t % G s
▄
▄
▄
vo % mOs
= m s* s*
// )
a) v v o 6) v
c)
v
a t % @ mOs . G s I mOs
v o a s s %
s t
t
s v
v
v o
a
%
(I
(= G>) m 0I mOs
) (mOs)
. @ mOs
*DGG s
G> m
% G s L *DGG s % ..<0< s
.25 Un tren arranca con una ace"erac,n constante (e > )s. A"can;a su )$)a ve"oc(a( a "os )nutos0 en cuyo nstante a+"ca "os %renos y se (etene a" )nuto y )e(o 6Cu$" es "a (stanca recorr(a +or e" tren:
a % I mOs
▄
▄
vo % mOs
a % () MRUR ▄
t % > min
t % ?= min
v%
v%
s* G> s
s D s s* L s
s* % s o v o t
* * a t . I mOs . (G> s) s* % =D m
s % s* s s o v o t vo
v (G>E seg) de la eta$a anterior v o
a%
* * a t =D m v o . D s a (D s)
v vo
%
t
( *II) mOs D s
a t % E I mOs . G>E s *IIE mOs
*> mOs
s % =D m *II mOs . D s
* . *> . (D s)
=D m >I@ m GI m GI Nm
.25 Un av,n recorre 4.// ) a "o "ar?o (e una +sta antes (e (etenerse a" aterr;ar Su+onen(o =ue "a ace"erac,n es constante Ca"cu"a1 a5 La ace"erac,n en "a +sta s aterr;a a 4/ )9 !5 E" te)+o =ue tar(a en +ararse (es(e =ue aterr;a c5 E" es+aco =ue recorre en "os 4/ +r)eros se?un(os y "a ve"oc(a( en ese nstante vo % *@ QmO& % G mOs vo % G mOs.
v % mOs .
▄
▄ * m.
a)
v
v o
v v o ( G ) (mOs) as a % % % G?= mOs s . * s
v vo
t %
6)
a%
c)
s % so vo t v (*E)
t
vo
v v o a
G mOs
G?= mOs
% @ s
* * * a t s % v o t a t G mOs . * s . G?= mOs . (* s) @= m
a t % GE mOs EG?= mOs . *E s >= mOs
.25 A" (es+e?ar0 un av,n recorre 4// ) so!re "a +sta en ./ se? Ca"cu"a1 a5 La ace"erac,n con =ue se )ueve su+uesta constante !5 La ve"oc(a( en e" )o)ento (e" (es+e?ue c5 E" te)+o =ue tar(ar$ en recorrer "a +r)era )ta( (e "a +sta vo % mOs.
▄
▄ *> m. t s
a) s % s o
vo t
*
a t
*> m %
*
v % mOs
a . ( s)
a @ mOs
v o a t % @ mOs . s *> mOs
6)
v ()
c)
'rimera mitad de la $ista s % @ m * * s % so vo t a t @ m % . @ mOs . t t *I*I s
.25 Un av,n (es+e?a (e "a +sta (es+u8s (e recorrer 4 ) S "a ve"oc(a( (e" av,n en e" )o)ento (e (es+e?ar es (e 4./ )9 Ca"cu"a1 a5 La ace"erac,n =ue tene en ese )o)ento !5 E" te)+o =ue tar(a en (es+e?ar c5 La (stanca =ue recorre en e" "t)o se?un(o antes (e (es+e?ar v % * QmO& % GGGG mOs. * Qm. % * m. vo % mOs.
t%*s
▄
▄
* m.
a) v
6) a %
v o
v % GGGG mOs
v v o (GGGG ) (mOs) a s a % % % => mOs s . * s
v vo t
▄
t %
v v o a
GGGG mOs => mOs
% =D= s
c) s (* s) % s (=D= s) s (=@= s) * * * s (=D= s) % s o v o t a t s % v o t a t . => mOs . (=D= s) DD*? m * * s M4 s5 % s (=D= s) s (=@= s) * v o t a t * . => mOs . (=@= s) I*@ m
.25 Se (eKa caer un +e"ota +or un +"ano nc"na(o (e >/ ) (e "on?tu( con una ace"erac,n (e 40 )s. A" ""e?ar a" %na" (e" +"ano0 "a +e"ota contna con )ov)ento rect"*neo un%or)e so!re un +"ano 9or;onta" 9asta =ue un o!st$cu"o "a (etene a" ca!o (e 4 ) Deter)na1 a5 La ve"oc(a( con =ue "a +e"ota ""e?a a" %na" (e" +"ano nc"na(o !5 E" te)+o =ue estuvo en )ov)ento a "o "ar?o (e to(o e" )ov)ento
a) v v o a s v % 6)
v vo
as
. *@ mOs . I m * mOs
a t * mOs *@ mOs . t t >>? s
c) en movimiento % t * ($lano inclinado) L t ($lano &ori1ontal) s s t % tiem$o en movimiento en el $lano &ori1ontal: v % t v t * t >>? s *= s ?D s
*= m % *= s * mOs
a
v v o
s % so
t
@ mOs
vo t
*
a t
( v o ) mOs G
v o % I mOs
% s o I mOs . ** s
*
. @ mOs . (** s)
s o m
<425 En un MUV0 "os es+acos recorr(os a "os 1 t 4 s0 t < s y t s0 son res+ectva)ente a c)0 .. c) y c) Ca"cu"ar 1 so0 vo0 y "a ace"erac,n s % s o v o t
*
a t
* t * s == % so v o .* a .* **E % so vo a * t G s = % s o v o . G a . D I=E % so > v o D a ***E % so *E vo = a * t = s === % so vo . = a . =
GI % Ivo L @a
a % I cmOs % /0> )s.
* % @vo L I H
vo =
cmOs %
so
% G cm %
/0< )
/0/ )s
<.25 En un MRUA0 se sa!e =ue un ),v" tene una ve"oc(a( (e 4 )s a "os > se?un(os (e 9a!er co)en;a(o a contar e" te)+o0 y =ue en "os nstantes t . s y t > s0 (sta (e" or?en 4. y >/ ) res+ectva)ente Ca"cu"a "a +osc,n nca"0 "a ve"oc(a( nca" y "a ace"erac,n
t I s v % vo t a t *? % vo I a so I m * . t . s s % s o vo t a t *. % s o . vo . a vo = mOs . . a G mO s IE % s I v @ a * . o o t I s s % s o vo t a t .
<<25 67u8 n%or)ac,n se +ue(e o!tener (e "as s?uentes ecuacones ?enera"es (e" )ov)ento (e (os ),v"es: a5 e ./ W . t !5 e @4/ W < t c5 e > @ t (5 e @ < W .. t @ . t . ;as ecuaciones nos dan informaci#n de la $osici#n ue ocu$a el m#vil cuando em$ie1a a contar el tiem$o así: a) ;a $osici#n inicial est5 metros des$u8s del sistema de referencia ( considerado como $ositivo). 6) ;a $osici#n inicial est5 * metros antes del sistema de referencia ( considerado como negativo). c) ;a $osici#n inicial est5 I metros des$u8s del sistema de referencia ( considerado como $ositivo). d) ;a $osici#n inicial est5 a =G metros antes del sistema de referencia (considerado como negativo) am6i8n dan informaci#n so6re el m#dulo de la velocidad 0 su sentido. a) ;a velocidad es mOs 0 sentido &acia el considerado $ositivo. 6) ;a velocidad es G mOs 0 sentido &acia el considerado $ositivo. c) ;a velocidad es = mOs 0 sentido &acia el considerado negativo. d) ;a velicidad es mOs 0 sentido &acia el considerado $ositivo
am6i8n dan informaci#n so6re el m#dulo de la aceleraci#n d) ;a aceleraci#n es mOs 0 frenando el cuer$o siendo un MRUR
<>25 Un ),v" (escr!e un MRUV con a . )s. A" ca!o (e < se?un(os su +osc,n es ./ ) y su v 4. )s Deter)na1 a5 Ecuac,n (e" )ov)ento !5 Posc,n y ve"oc(a( a" ca!o (e 4/ se?un(os
a)
* E so vo.G ..G D so G vo so = m v vo a t * v . G vo *@ mOs o
* s s o vo t a t
Ecuaci#n del Movimiento:
6)
s (*E seg) v (*E seg)
s
25 18 t t 2
= *@ . *E *E *@
== m
mOs mOs . *E s mOs
<25 Dos ),v"es A y J se )ueven con )ov)ento un%or)e)ente ace"era(o E" A0 en e" nstante t . se?0 su ace"erac,n0 ve"oc(a( y +osc,n son1 a . ) s .0 v )s y s 4< ) E" J0 en e" nstante t < se?0 su ace"erac,n0 ve"oc(a( y +osc,n son1 a > ) s.0 v 4/ )s y s ) Escr!e "as ecuacones (e "a ve"oc(a( y (e "a +osc,n res+ecto a" te)+o (e ca(a uno (e e""os
M,v" A
3eterminamos $rimero la velocidad en el instante t % s > v v % mO s t 'or tanto la ecuaci#n de la velocidad ser5 : v U . W . t
a%
v
v
3eterminamos la $osici#n en el instante t % s a t s % s L v t L
P *G % s L P L
s = m
'or tanto la ecuaci#n de la $osici#n ser5 : s U W . t W t . M,v" J
3eterminamos $rimero la velocidad en el instante t % s vG
v
I
* v
v % mO s t G 'or tanto la ecuaci#n de la velocidad ser5 : v U .. > t
a%
3eterminamos la $osici#n en el instante t % s sG % s L v t L
* a t
= % s L . G
* . I . G
s % =G m
'or tanto la ecuaci#n de la $osici#n ser5 : s U < W .. t
. t.
<25 Deter)na "as ecuacones (e +osc,n en %unc,n (e" te)+o +ara ca(a uno (e "os )ov)entos =ue tenen co)o caracter*stcas "as n(ca(as en e" cua(ro0 y (!uKa "as ?r$%cas v @ t corres+on(entes
M#6il
A J C
'osici#n 4nicial m >
4nstante 4nicial s
elocidad 4nicial mOs
= *
@ *
!celeraci#n mOs I >
D E
= *
@
=
<25 Da(a "a ?r$%ca v @ t (e "a %?ura y sa!en(o =ue "a +osc,n nca" ),v" es s o > ) Deter)na "a ecuac,n (e" )ov)ento s so
v t I (t ) s I t (m)
<25 E" ?r$%co (e "a %?ura re+resenta e" )ov)ento (e una +art*cu"a1 a5 6Cu$" es "a +osc,n nca": !5 6Cu$" es "a ve"oc(a( esca"ar:
*
(e"
c5 6Cu$" es "a ecuac,n (e" )ov)ento:
*m
a)
so
6)
v%
c)
s so
<25 a5 !5 c5
s
t
?
* I
v *= mOs
v t * *= t s * *= t (m)
En "a ?r$%ca v @ t (a(a en "a %?ura Deter)na1 E" va"or (e "a ve"oc(a( nca" De =ue )ov)ento se trata S en e" nstante /0 e" ),v" se encuentra en e" +unto (e a!scsa ) 6Cu$" es "a ecuac,n (e" )ov)ento:
a)
v o * mOs
v vo
6) a c)
t
(* ( *) mOs
s so vo t
I s
= mOs M.R.U.!.
* * a t G * t . = . t s 30 10 t 0,25 t 2 (m)
>/25 La ?r$%ca (e "a %?ura re+resenta e" )ov)ento (e una +art*cu"a In(ca cu$" es "a ecuac,n (e" )ov)ento en e" SI a5 s 4 W >t !5 s 4 t c5 s .t (5 s .0.t e5 s .t v%
s t
s so
* D I
mOs
v t D t s D t (m)
>425 En esta ?r$%ca se re+resenta e" )ov)ento (e una +art*cu"a 6Cu$" es "a ecuac,n =ue re+resenta e" )ov)ento: a5 s 4 W t !5 s t c5 s 4 W t (5 s 4 t e5 s 4 t Res$uesta." c)
>.25 Dos ),v"es A y J +arten s)u"tanea)ente (e un )s)o +unto y ca)nan so!re "a )s)a trayectora0 con ve"oc(a(es =ue +ue(es o!servar en "a ?r$%ca v @ t La (stanca =ue se+ara "os ),v"es (es+u8s (e < 9oras es1 a5 / ) !5 4/ ) c5 4./ ) (5 / ) e5 ./ )
M,v" A1 s ! s o v t NmO& . G & > Nm M,v" J1 s J s o v t I NmO& . G & * Nm 3istancia % s! sJ % > m ( * m) % *@ m
IG,) ;a gr5fica $osici#n - tiem$o siguiente corres$onde a una carrera entre dos ciclistas ! 0 J. a) Escri6e la ecuaci#n general del movimiento de cada uno. 6) ABu8 significa el $unto de corte de las gr5ficas c) A Cu5l lleva m5s velocidad
a) ;a ecuaci#n del ),v" A es: s ! s o v t * @t ;a $osici#n incial est5 a * m del sistema ue se toma de referencia 0 la velocidad es: v%
G " * % @ mOs =
;a ecuaci#n del ),v" J es: s J s o v t * t ;a $osici#n inicial es cero. El m#vil est5 en el .S.R. 0 la velocidad es: v %
G " % * mOs =
6) El $unto de corte es la $osici#n en la ue se encuentran los dos m#viles. Se encuentran a los = seg. de em$e1ar el movimiento en la $osici#n Gm c) ;leva m5s velocidad el m#vil J 0a ue la recta ue re$resenta su movimiento tiene ma0or $endiente
II,) ;a gr5fica $osici#n - tiem$o siguiente corres$onde dos m#viles ! 0 J. a) Escri6e la ecuaci#n general del movimiento de cada uno. 6) ABu8 significa el $unto de corte de las gr5ficas c) A Cu5l lleva m5s velocidad
a) ;a ecuaci#n del ),v" A es: s ! s o v t * t ;a $osici#n incial est5 a * m del sistema ue se toma de referencia 0 la velocidad es: v%
G " * % mOs *
;a ecuaci#n del ),v" J es: s J s o v t I * t ;a $osici#n inicial est5 a I m del sistema ue se toma como referencia 0 la velocidad es: v%
G I % *
* mOs (contraria al sentido ue se &a tomado como $ositivo)
6) El $unto de corte es la $osici#n en la ue se encuentran los dos m#viles. Se encuentran a los * seg. de em$e1ar el movimiento en la $osici#n Gm res$ecto al sitema tomado como referencia c) ;leva m5s velocidad el m#vil ! 0a ue la recta ue re$resenta su movimiento tiene ma0or $endiente
#RÁFICAS
425 Un ve9*cu"o (urante "os 4/ +r)eros se?un(os (e su recorr(o (esarro""a una ace"erac,n (e 4 )s. Sa!en(o =ue +art, (e" re+oso (es(e e" or?en (e re%erenca1 a5 Escr!e "a ecuac,n +osc,n @ te)+o !5 Re+res8nta"a en un (a?ra)a @ t 9asta 4/ s c5 Escr!e "a ecuac,n ve"oc(a( @ te)+o (5 Re+resentac,n ?r$%ca v @ t en "os 4/ s e5 Es+aco tota" recorr(o +or e" ),v"
a)
2
2 o vo t
*
a t
4. t .
)5
6)
t )s5
4 .
a t.
mOs . * s = mOs . (* s) = m
Da(a "a ?r$%ca s?uente Deter)na1 La ve"oc(a( (e "os tra)os A0 J y C La ve"oc(a( )e(a tota" (e" recorr(o Re+resenta "a ?r$%ca V @ t corres+on(ente
a)
v!
s * m = mOs t Is
6)
vm
s s s o *= m *I mOs t t ?s
c)
r5fica v - t
<25
at
d)
e) Es$acio recorrido: 2 2 o SN U v o t
.25 a5 !5 c5
v vo
c)
<
v J mOs
<
Inter+reta0 "as (%erentes +artes (e "a ?r$%ca s @ t re+resenta(a en "a %?ura E+"can(o "as caracter*stcas (e ca(a eta+a1 t+o (e )ov)ento0 y s este o no es+aco nca"0 ve"oc(a(0 etc Ca"cu"a "a ve"oc(a( (e" ),v" en ca(a una (e e""as y re+resenta "a corres+on(ente ?r$%ca v @ t
vC
s = m = mOs t *s
Eta+a A: MRU entre 0 segundos se ale9a del origen con velocidad constante (L) ;a figura re$resenta una recta cu0a $endiente (L) es la velocidad
so E m s =E m s so s % =E m s =E m v! = mOs t s to E s t s t % s Ec. Movimiento: s % s o v t s U . t
Eta+a J: MRU en re+oso @ +ara(o5 entre 0 > segundos est5 $arado v % mOs ;a figura re$resenta una recta &ori1ontal cu0a $endiente nula es la velocidad
so =E m s =E m s so s % E m s E m vJ E mOs t I s t o s t > s t % I s Ec. Movimiento: s % s o v t s U s o /
Eta+a C: MRU entre > 0 * segundos regresa al origen con velocidad constante ( ) ;a figura re$resenta una recta cu0a $endiente ( ) es la velocidad
so =E m s E m s so s % =E m s =E m vC *:= mOs t I s to > s t *Es t % I s Ec. Movimiento: s % s o v t s U / 4.0 t
>25 En e" ?r$%co (e "a %?ura se re+resenta e" (a?ra)a s @ t (e un )ov)ento rect"*neo Deter)na1 a5 Ca(a uno (e "os sucesvos (es+"a;a)entos y e" (es+"a;a)ento tota" e%ectua(o !5 La ve"oc(a( )e(a corres+on(ente a ca(a tra)o (e" )ov)ento c5 La ve"oc(a( )e(a en to(o e" recorr(o
a)
;os 3es$la1amientos son:
s M!; s .E .E *E E .E *E m s 'osici#n +inal 'osici#n 4nicial ( *E E) m *E m M!;
s* m m s I m () m s G G m ( I) * m s I G m (G) m s = * m (G) m 6)
;a elocidad Media en cada trama es:
m * m m G
s* t*
s t
s G tG
m s
* mOs
m mOs *s * m s
= mOs
m I m =
s I tI
s = t=
m *s
mOs
m *s
mOs
c) ;a elocidad Media en todo el recorrido es: s * m m *IG mOs ?s t
25 Re+resenta "a ?r$%ca s @ t (e" )ov)ento cuya ?r$%ca v @ t se re+resenta en "a %?ura0 su+onen(o =ue e" ),v" +arte (e" or?en (e coor(ena(as Ca"cu"a e" (es+"a;a)ento tota" rea";a(o
Eta+a A: MRU entre 0 @ segundos se ale9a del origen con velocidad constante de * mOs Ec. Movimiento: s % s o v t s U 4/ t Posc,n %na" Eta+a A: s % * . @ % @ m Es$acio Recorrido: s s o s ! % v t * mOs . @ s @ m 'osici#n % 'osici#n 4nicial s ! @ m @ m Eta+a J: MRU entre @ 0 *I segundos est5 $arado v % mOs Ec. Movimiento: s % s o v t s U s o Posc,n %na" Eta+a J % @ m Es$acio Recorrido: s s o s J % v t m 'osici#n % 'osici#n 4nicial s J @ m @ m Eta+a C: MRU entre *I 0 segundos se ale9a del origen con veloocidad constante de > mOs Ec. Movimiento: s % s o v t s U E/ t Posc,n %na" Eta+a C: s % @ L> . > % **> m Es$acio Recorrido: s s o s C % v t > mOs . > s G> m 'osici#n % 'osici#n 4nicial s C @ m G> m **> m Des+"a;a)ento
tota"
Es+aco
tota"
recorr(o
Ss Ss A Ss J Ss C (@ G>) m 44 )
E" (es+"a;a)ento conc(e con "a (stanca recorr(a +or=ue la tra0ectoria es rectilínea 0 el m#vil no retrocede.
25 Re+resenta "a ?r$%ca s @ t (e" )ov)ento cuya ?r$%ca v @ t se re+resenta en "a %?ura0 su+onen(o =ue e" ),v" +arte (e" or?en (e coor(ena(as Ca"cu"a e" (es+"a;a)ento tota" rea";a(o
Eta+a A: MRU entre 0 @ segundos se ale9a de origen con velocidad constante de * mOs Ec. Movimiento: s % s o v t s U 4/ t 'osici#n final Eta$a !: s % * . @ % @ m Es$acio Recorrido: s s o s ! % v t * mOs . @ s @ m 'osici#n % 'osici#n 4nicial s !
@ m @ m
Eta+a J: MRU entre @ 0 *I segundos est5 $arado v % mOs Ec. Movimiento: s % s o v t s U s o 'osici#n final Eta$a J: s % @ m Es$acio Recorrido: s s o
s J % v t m
'osici#n % 'osici#n 4nicial s J @ m @ m
Eta+a C: MRU entre *I 0 segundos regresa al origen con velocidad constante de > mOs Ec. Movimiento: s % s o v t s U E/ t 'osici#n final Eta$a C: s % @ > . > % II m Es$acio Recorrido: s s o s C % v t > mOs . > s G> m (l si%no indica *ue re%resa al ori%en)
'osici#n % 'osici#n 4nicial s C
Des+"a;a)ento
tota"
@ m G> m II m
Es+aco
tota"
recorr(o
Ss Ss A Ss J Ss C (@ G>) m >> )
E" (es+"a;a)ento conc(e con "a (stanca recorr(a +or=ue la tra0ectoria es rectilínea 0 el m#vil no retrocede.
25 Inter+reta "a ?r$%ca v @ t re+resenta(a en "a %?ura a5 T+o (e )ov)ento (e ca(a eta+a !5 Posc,n y es+aco recorr(o en ca(a eta+a c5 Es+aco tota" recorr(o y Des+"a;a)ento tota" rea";a(o +or e" ),v" (5 Re+resenta "a ?r$%ca s t
a)
Eta+a A: MRUA Re$resenta la variaci#n de la elocidad con el tiem$o En tiem$os iguales el aumento de la velocidad es el mismo. !umenta la elocidad ( L) ;a figura de la eta$a re$resenta una recta cu0a $endiente es la aceleraci#n (a L)
Eta+a J1 MRU En todo instante la elocidad es la misma ( Cte) No &a0 aceleraci#n
Eta+a C1 MRUR Re$resenta la variaci#n de la elocidad con el tiem$o En tiem$os iguales la disminuci#n de la velocidad es la misma &asta llegar a la velocidad cero 3isminu0e la elocidad ( L) ;a figura re$resenta una recta cu0a $endiente es la aceleraci#n (a )
6)
Eta+a A: Ec. Movimiento: s % s o v o t
a%
v v o t
*
a t s U 4.0 t .
(= ) mOs = mOs s
Es$acio Recorrido: s s o s ! *= mOs . ( s) = m 'osici#n % 'osici#n 4nicial s !
= m = m
Eta+a J1
v t s U / / t Es$acio Recorrido: s s o s J % = t = mOs . I s m 'osici#n % 'osici#n 4nicial s J = m m = m Ec. Movimiento: s % s o
Eta+a C1 Ec. Movimiento: s % s o
vo t
a% Es$acio Recorrido: s s o
v v o t
*
a t
s U ./ / t C0. t . Posc,n Fna" Eta+a C
( =) mOs Is
* = mOs
s C % = mOs . I s >= mOs . (I s) * m
'osici#n % 'osici#n 4nicial s C = * m G = m c)
Es+aco tota" recorr(o Ss Ss A Ss J SsC (= *) m </ ) Des+"a;a)ento Posc,n %na" Posc,n Inca" G= m m % </ ) E" (es+"a;a)ento conc(e con "a (stanca recorr(a +or=ue la tra0ectoria es rectilínea 0 el m#vil no retrocede.
d) r5fica s - t
25 La ?r$%ca v - t re+resenta e" )ov)ento (e un ),v" en una recta0 sa!en(o =ue en e" nstante nca" se encuetra en "a +osc,n / )
a5 Descr!e e" )ov)ento !5 Ca"cu"a "a ace"erac,n en ca(a tra)o0 e" es+aco tota" recorr(o y e" (es+"a;a)ento tota" rea";a(o +or e" ),v" c5 Re+resenta "a ?r$%ca s t
a) El m#vil $ate del instante inicial con velocidad I mOs Tra)o A1 MRUA entre 0 * segundos disminu0e uniformente su velocidad &asta mOs Tra)o J1 MRU entre los * 0 segundos lleva velocidad constante de mOs a % Tra)o C1 MRUA entre los 0 = segundos aumenta uniformente su velocidad &asta G mOs 6)
Tra)o A: Ec. Movimiento: s % s o v o t
* a t s U >/ t t .
Posc,n %na" Eta+a A: s % I.*>
%G m
v v o ( I) mOs a % * mOs t * s
s ! % I mOs . * s * mOs . (* s) G m 'osici#n % 'osici#n 4nicial s ! G m G m
Es$acio Recorrido: s s o
Tra)o J1 Ec. Movimiento: s % s o v t s U
Posc,n %na" Eta+a J: s % G L . * % =
m Es$acio Recorrido: s s o
s J % t mOs .* s m 'osici#n % 'osici#n 4nicial s J G m m = m
Tra)o C1 Ec. Movimiento: s % s o v o
a%
*
a t s U // ./ t t . Posc,n Fna" Eta+a C
v = v (G ) mOs mOs t =s
Es$acio Recorrido: s s o s C % mOs . = s * mOs . (= s) *= m
'osici#n % 'osici#n 4nicial s C = *= m >= m
Es+aco tota" recorr(o Ss Ss A Ss J SsC (G *=) m . ) Des+"a;a)ento Posc,n %na" Posc,n Inca" >= m m % . ) E" (es+"a;a)ento conc(e con "a (stanca recorr(a +or=ue la tra0ectoria es rectilínea 0 el m#vil no retrocede.
c) r5fica s - t
25
En e" nstante /0 e" ),v" cuya ?r$%ca est$ re+resenta(a en "a %?ura0 se encuentra en e" +unto (e a!scsa )etros Deter)na "a ?r$%ca s @ t corres+on(ente a" )ov)ento n(ca(o
Ec Mov)ento1 s s o v o t
*
a t s 5 4 t 0,4 t 2 (m)
a v2
6 a
I @
v vo t
G ( I) D
@ mOs
= v 0 s (=) = (= =)
4/25 Da(a "a ?r$%ca s?uente0 rea";a sus corres+on(entes v @ t y s @ t 0 sa!en(o =ue en e" nstante nca" e" ),v" se encuentra en "a +osc,n ) y en re+oso 67u8 es+aco recorre en ca(a tra)o: 6Cu$" ser$ "a +osc,n %na":
Tra)o A: MRUA aceleraci#n (L 0 Cte.). !umenta la velocidad entre los 0 I segundos aumenta uniformente su velocidad &asta * mOs
Ec. elocidad: v % v o a t v U a t < t G mOs . I s 4. )s * * . Ec. Movimiento: s % s o v o a t s % s o a t 40 t Posc,n Fna" Eta+a A Es$acio Recorrido: s s o s ! % = m *= mOs . (I s) D m 'osici#n % 'osici#n 4nicial
s ! = m D m GI s = *= . I GI m
Tra)o J1 MRUR aceleraci#n ( 0 Cte.). 3isminu0e la velocidad entre los I 0 > segundos disminu0e uniformemente la velocidad
Ec. elocidad: v % v o a t v U 4. . t * mOs mOs . s E )s
Ec. Movimiento: s % s o v o Es$acio Recorrido: s s o
*
a t s U <> 4. t t . Posc,n Fna" Eta+a J
s J % * mOs . s
'osici#n % 'osici#n 4nicial
*
. mOs . ( s)
m
s J GI m m =I s GI m * . =I m
Tra)o C1 MRU a % se mueve con velocidad constante (la alcan1ada en la eta$a J) v )s entre los > 0 los @ se se mueve con velocidad constante de @ mOs Ec. Movimiento: s % s o v t s U > E t Posc,n Fna" Eta+a C
Es$acio Recorrido: s s o s C % @ t @ mOs . s *> m 'osici#n % 'osici#n 4nicial s C =I m *> m ?
s =I m @ . ? m
Es+aco tota" recorr(o Ss Ss A Ss J Ss C (D *>) m ) Posc,n Fna" s / ) Des+"a;a)ento Posc,n %na" Posc,n Inca" ? m = m % ) E" (es+"a;a)ento conc(e con "a (stanca recorr(a +or=ue la tra0ectoria es rectilínea 0 el m#vil no retrocede.
ENCUENTROS 425 Dos auto),v"es crcu"an +or un tra)o recto (e auto+sta0 con "as ve"oc(a(es res+ectvas (e < )9 y 4/ )9 a5 S a)!os vaKan en e" )s)o sent(o y est$n se+ara(os 4 )0 (eter)na e" nstante y "a +osc,n en =ue e" coc9e =ue va )$s r$+(o a"can;a a" otro !5 S se )ueven en sent(o o+uesto0 e nca")ente est$n se+ara(os 4)0 (eter)na e" nstante y "a +osc,n cuan(o se cru;an c5 Re+resenta "as ?r$%cas s @ t 0 corres+on(entes a" )ov)ento (e "os a+arta(os anterores !
G> QmO& * mOs < J *@ QmO& G mOs < s * Nm * m
a) !m6os via9an en el mismo sentido con MRU:
s ! s o v t s A 30 t
Ecuaciones del Movimiento: s J s o v t sB 1000 10 t 4nstante de encuentro en 8l tienen la misma $osici#n G t * * t t = s. 'osici#n de encuentro
sJ
s ! G mOs . = s *= m
6) Se mueven en sentidos contrarios con MRU:
s ! s o v t s A 30 t
Ecuaciones del Movimiento: s J s o v t sB 1000 10 t 4nstante de encuentro en 8l tienen la misma $osici#n G t * * t t = s. 'osici#n de encuentro
sJ
s ! G mOs . = s ?= m
c)
.25 En una carrera cc"sta =ue se (esarro""a +or una carretera recta0 a "as 4. (e "a )aGana0 un cc"sta A0 aventaKa a otro J0 en ) S e" =ue va +r)ero0 ""eva una ve"oc(a( constante (e < )9 y e" =ue va se?un(o0 va a una ve"oc(a( constante (e > )90 6"e 9a!r$ a"can;a(o a "as 4. y cuarto: S no "e 9a a"can;a(o0 6en =ue )o)ento y en =ue nstante "e a"can;ar$: Re+resent "a ?r$%ca s @ t 0 corres+on(ente a" )ov)ento (e a)!os )ov)entos !
G> QmO& * mOs < J =I QmO& *= mOs < t * & *= min * & *= min
Consideramos como rigen del Sistema de Referencia la $osici#n (el $unto) en el ue se encuentra el ciclista J a las * &. Sentido $ositivo es el ue llevan los ciclistas.
Ecuaciones del Movimiento:
4nstante de encuentro
s ! s o v t s A 6000 10 t
s J s o v t sB 15 t
en 8l tienen la misma $osici#n
> * t *= t t * s arda en alcaln1arlo: * s % min
En 4 )n no "o a"can;a
;o alcan1ar5: a los min = minutos m5s tarde a
'osici#n de encuentro
"as 4. 9 ./ )n
a *@ Nm del M.S.R ( de J) s ! s C *= mOs .*EE s *@EEE m *@ Nm a * Nm de !
<25 Dos trenes A y J vaKan en e" )s)o sent(o +or (os v*as +ara"e"as encontr$n(ose e" tren A0 . ) +or (e"ante (e" J cuan(o e)+e;a)os a contar e" te)+o E" tren A ""eva una ve"oc(a( (e 4/ )9 y e" J0 4>> ) 9 a5 Escr!e "a ecuac,n ?enera" (e" )ov)ento (e ca(a tren !5 Ca"cu"a en =u8 )o)ento a"can;ar$ e" tren J a" A0 y "a +osc,n en ese nstante c5 Re+resenta ?r$%ca)ente "os (os )ov)entos (5 Ca"cu"a "a (stanca =ue estr$ entre "as )$=unas (e a)!os trenes )nutos (es+u8s (e e)+e;ar a contar e" te)+o
!
*@ QmO& G mOs < J *II QmO& I mOs
Consideramos como rigen del Sistema de Referencia la $osici#n en la ue se encuentra el tren J cuando se encuentra a una distancia de lm del tren ! Sentido $ositivo es el ue llevan los trenes con MRU.
a) Ecuaciones del Movimiento:
s ! s o v t s A 2000 30 t s J s o v t sB 40 t
en 8l tienen la misma $osici#n 6) 4nstante de encuentro G t I t t s
'osici#n de encuentro
a @ Nm del M.S.R ( de J) s J s ! IE mOs . EE s @EEE m @ Nm a > Nm de !
c)
d) t % = min % G seg. El tren ! estar5 en la $osici#n : s ! % L G P G % ** m. En tren J estar5 en la $osici#n : s J % I P G % * m. ;a distancia entre ! 0 J ser5 : s J - s ! % * - ** % * m % * Nm.
>25 Dos ),v"es +arten s)u"t$nea)ente (e +untos (stantes entre s* .// ) y se (r?en en "*nea recta e" uno 9aca e" otro con ve"oc(a( constante (e / )9 y >/ )9 res+ectva)ente Deter)na1 a5 Las ecuacones (e" )ov)ento
!5 E" Instante y "a Posc,n (e" encuentro c5 D!uKa "a ?r$%ca s @ t 0 v @ t 0 corres+on(ente a" )ov)ento (e a)!os ),v"es
a) Se mueven en sentidos contrarios con MRU:
s ! s o v t s A 60 t
Ecuaciones del Movimiento am6as con MRU: s J s o v t sB 200 40 t 6) 4nstante de encuentro en 8l tienen la misma $osici#n: > t I t t & 'osici#n de encuentro c)
sJ
s ! > NmO& . & * Nm
25 Dos ),v"es A y J0 )arc9an en sent(os contraros0 (r?8n(ose e" 42 a" encuentro (e J con ve"oc(a(es constantes (e < )s y . )s res+ectva)ente Sa!en(o =ue e" encuentro tene "u?ar a
a) Ecuaciones del Movimiento am6as con MRU:
s ! so v t sA 3 t s J s o v t = . (t *E) sB x 2 t
6) ACu5nto tiem$o tarda ! en recorrer los G m &asta el $unto de encuentro s ! G t G G t t ! * s t J En el 4nstante de encuentro (* s) 'osici#n de encuentro es la misma s J 2 t G m 2 mOs . * s 2 = m
25 Un ),v" )arc9a con )ov)ento un%or)e so!re una recta con una ve"oc(a( (e 4 )s De; se?un(os (es+u8s y (es(e e" )s)o +unto (e" +r)er ),v" sa"e en su +ersecuc,n otro ),v" con una ve"oc(a( (e . )s Deter)na "a +osc,n y e" nstante en =ue "o a"can;a Re+res8nta"o ?r$%ca)ente Consideramos como rigen de Sistema de Referencia el $unto $or el ue $asa el $rimer m#vil. Sentido $ositivo el ue llevan los m#viles. !m6os via9an en el mismo sentido con MRU:
Ecuaciones del Movimiento am6as con MRU:
s ! s o v t s A 15 t
s J s o v t = . (t *E) sB 25 t 250
4nstante de encuentro en 8l tienen la misma $osici#n *= t = t = t = s. 'osici#n sJ s!
de encuentro *= mOs . = s G?= m
25 Un cc"sta =ue crcu"a con una ve"oc(a( constante (e < )90 +asa +or un +unto a "as 4/ 9oras 4 )nutosX cuarenta y cnco )nutos )$s tar(e +asa +or e" )s)o +unto0 un coc9e con una ve"oc(a( constante (e 4/ )9 en "a )s)a (recc,n y sent(o a5 6Cu$n(o tar(ar$ e" coc9e en a"can;ar a" cc"sta y a =u8 9ora "o 9ar$: !5 6A =u8 (stanca (e" +unto estar$n a)!os en e" )o)ento =ue "o a"can;a: c5 Re+resent "a ?r$%ca s @ t 0 corres+on(ente a" )ov)ento (e a)!os )ov)entos C
G> QmO& * mOs < J *@ QmO& G mOs < I= min ? s
Consideramos como rigen de Sistema de Referencia el $unto $or el ue $asa el ciclista a las * & 0 *= minutos Sentido $ositivo el ue llevan los m#viles.
s C s o v t s 10 t
a) Ecuaciones del Movimiento: s ! s o v ( t ?EE) GE (t ?EE) s A 30 t 81000 4nstante de encuentro en 8l tienen la misma $osici#n * t G t @* t I= s. >?= min >? min G s
t ? s I= ? *G= s = min min G s El coc&e alcan1ar5 al ciclista a las * & *= min. L = min % 4/ 9 <0 )n % * & G? min G s tC
6) 'osici#n de encuentro c)
s!
s C G mOs . I= s I= m I= Nm
25 De(ucr "as ve"oc(a(es su+uestas constantes0 (e (os ),v"es A y J0 se+ara(os / )nutos en encontrarse t % I min. % I s.
▄
A
▄
▄
G Qm
J
* Qm
E
I Qm
t v ! GEEEE *EEEE t t ! J s s v! vJ vJ t J t v J s
v! t !
s
▄ A G Qm
s! v . t v! . IEE s ! s J v! . IEE v J . IEE
sJ v . t vJ . IEE GEEEE v! . IEE vJ . IEE Sumando
vA vB 12,5
v A 4 . vB
▄
▄
E
J
! I . J
! *E mOs ! J *:= J := mOs 25 Por un +unto +asa un cuer+o con una ve"oc(a( constante (e ./ )s Dos se?un(os )$s tar(e +arte (e" )s)o +unto en "a )s)a (recc,n y sent(o otro cuer+o con ace"erac,n constante (e . )s. Ca"cu"ar1 a5 E" te)+o =ue tar(a e" se?un(o cuer+o en a"can;ar a" +r)ero !5 A =ue (stanca "o a"can;a c5 La ve"oc(a( =ue tene ca(a uno en e" nstante (e" encuentro
A
v % mOs
t
■ E
■ J
a % mOs
a) Ecuaciones del Movimiento
4nstante de encuentro
s ! s o v t s A 20 t * s J s o v (t ) a (t ) sB "t 2! 2
en 8l tienen la misma $osici#n
t G:@G s E t (t ) t E:*? s ( se descarta: $ues t ! seg.)
6) 'osici#n de encuentro c)
t
sJ
s ! mOs . G@ s I?>> m
v ! mOs vJ
v o a (t ) mOs . *@G s IG? mOs
4/25 Dos ),v"es A y J0 se+ara(os +or una (stanca (e . )0 sa"en s)u"tanea)ente en "a )s)a (recc,n y sent(o0 a)!os con MRUV0 sen(o "a ace"erac,n (e" )$s "ento0 e" J0 (e /0<. c)s . E" encuentro se rea";a a <0/. ) (e (stanca (e" +unto (e +art(a (e J Ca"cu"a1 a5 E" te)+o nvert(o +or a)!os ),v"es en encontrarse !5 La ace"erac,n (e A c5 La ve"oc(a( (e a)!os en e" nstante (e" encuentro
a) Ecuaciones del Movimiento:
* * 2 s J s o v o t a t EEE . E:EEG . t s B 2000 0,0016 t * 1 2 s! so vo t a t s A a t 2
en 8l tienen la misma $osici#n : s ! s J == m
4nstante de encuentro
s ! s J == *> t t ! t J *G?= s
6) s !
*
a t
*
== m . a . (*G?= s) a ! =G mOs
c)
v!
v!
vo
as
v %
. EEE=G mOs
vJ vJ
vo
as
v %
. =E= m
v o a t =G mOs . *G?= s ?D mOs
?D mOs
v o a t G mOs .*G?= s II mOs
. EEEG mOs
. GE= m
II mOs
4425 Un 9o)!re corre con "a )ayor ve"oc(a( =ue +ue(e0 )s0 +ara a"can;ar un tren =ue est$ a +unto (e +artr Cuan(o se encuentra en e" an(8n a <. ) (e" tren0 8ste arranca con una ace"erac,n
constante (e /0 )s . 6Conse?ur$ e" 9o)!re a"can;ar a" tren: En caso a%r)atvo0 (eter)na "a ve"oc(a( (e ca(a uno en e" nstante (e" encuentro D!uKa "as ?r$%cas s @ t y v @ t (e" )ov)ento
s S s o v t s$ 6 t Ecuaciones del Movimiento:
4nstante de encuentro
* * 1 s s o v o t a t . . t s # 32 .t 2 4 en 8l tienen el om6re 0 el ren tienen la misma $osici#n :
sS
s(
t @ s s s( I@ m Cuando los dos m#viles tienen el mismo sentido * > t G t t ! t J I t *> s s s( D> m Cuando el (ren regresa a la $osici#n de $artida El om6re alcan1a al ren a los @ segundos elocidad en el instante del encuentro:
v S > mOs v v
vo
as
v %
. E= mOs . (I@ G)
v o a t = mOs . @ s I mOs
I mOs
4.25 Un auto),v" y un ca),n +arten (e" re+oso en e" )s)o nstante0 9a""$n(ose nca")ente e" auto),v" a certa (stanca (e" ca),n S e" coc9e tene una ace"erac,n (e < )s. y e" ca),n (e . )s.0 y e" coc9e a"can;a a" ca),n cuan(o 8ste 9a recorr(o / ) Ca"cu"a1 a5 E" te)+o =ue tar(a e" coc9e en a"can;ar a" ca),n !5 La (stanca nca" entre a)!os c5 La ve"oc(a( (e ca(a uno en e" nstante (e" encuentro
a) Ecuaciones del Movimiento:
* * 2 s C s o v o t a t 2 . . t s x t * 3 2 s ! s o v o t a t s A 60 x a t 2
en 8l tienen la misma $osici#n : s ! s C
4nstante de encuentro
> 2 2 t t ! t J ??= s
6) 'osici#n de encuentro: s C s ! (a los ??= s)
G mOs (??= s) D m
3istancia 4nicial % 2 % (D - >) % G m c) v!
v!
vo
vC
v o a t mOs . ??= s *== mOs
vJ
as
vo
as
v %
. G mOs . DE m
v %
v o a t G mOs . ??= s G= mOs
G= mOs
. mOs . >E m
*==
mOs
4<25 Un auto),v" y un ca),n +arten (e" re+oso en e" )s)o nstante0 9a""$n(ose nca")ente e" auto),v" a certa (stanca (e" ca),n E" ca),n tene una ace"erac,n constante (e 40. )s. y e" auto),v" (e 40 )s. Sa!en(o =ue e" coc9e a"can;a a" ca),n (es+u8s (e =ue 8ste 9a recorr(o > ) Ca"cu"ar 1 a5 E" te)+o =ue tar(a e" auto),v" en a"can;ar a" ca),n !5 A =ue (stanca se encontra!a nca")ente e" auto),v" (etr$s (e" ca),n c5 Cua" es "a ve"oc(a( (e ca(a uno cuan(o se 9a""an e)+areKa(os t a % *@ mOs
▄
▄
A
S! vo % mOs ( se$araci#n inicial de C)
▄
C a % * mOs
E
vo % mOs I= m. t
a) s C s o v t
* * a t I= . * . t t C t ! @? s
* * a t s ! . * . @? s ! >@* m S se+arac,n % S (!) a los @? s S(C) a los @? s % >@* m I= m .<04. )
6) s ! s o v t
c) v!
v!
v o a t *@ mOs . @? s *=? mOs
vo
vC
v o a t * mOs . @? s *II mOs
vC
as
vo
v %
as
. *@ mOs .>@* m
v %
. * mOs
*=?
. I= m
mOs
*EGD mOs
4>25 Un )otorsta ve +asar +or su "a(o un ve9*cu"o =ue crcu"a con ve"oc(a( constante (e 4/ )9 E" )otorsta arranca y cons?ue a"can;ar en 4 s una ve"oc(a( (e 4>/ )9 ace"eran(o constante)ente Ca"cu"ar 1 a5 La (stanca =ue se+ara e" coc9e (e "a )oto a "os 4 s !5 E" te)+o =ue tar(ar$ e" )otorsta en a"can;ar a" coc9e y cua" ser$ su +osc,n en ese nstante
c5 La ve"oc(a( en e" nstante (e" encuentro Coc&e % *@ QmO& % G mOs
Motorista % *I QmO& % G@D mOs
a)
SC ( a los *= s ) s (stanca se+arac,n 5 C C % G mOs MRU
▄
▄
o % mOs
tM % *= s
( arranca )
M % G@D mOs
M vC
▄
s
t
sC
v t
GE mOs . *= s
C % G mOs.
C
▄
(a los *= s)
Encuentro I=E m
* * * a t . a . (*= s) . > mOs . (*= s) D= m v v o (G@D ) mOs a > mOs t *= s
sM so v t
S se+arac,n
% SC SM % I= D=
6) Ecuaciones del Movimiento
4nstante de encuentro
40 )
s C s o v t s 30 t * * s M s o v o t a t . > . t s % 1,3 t 2
en 8l tienen la misma $osici#n
t G:E@s GE t *:G t t E ( se descarta: $ues t ! E seg.)
'osici#n de encuentro
sM
▄
▄
s C G mOs . G@ s >D= m
c) v Coc&e G mOs v Motorista ( a los G@ s)
v o a t > mOs . G@ s > mOs
v Motorista ( a los G@ s)
v o a s v % . > mOs . >D= m > mOs
425 Dos ),v"es se (es+"a;an s?uen(o una trayectora rect"*nea entre (os +untos A y J cuya (stanca entre s* es (e 44/ ) E" +r)ero sa"e (e A +arten(o (e" re+oso y se (r?e 9aca J con una ace"erac,n constante (e > )s . E" se?un(o +arte (e J (os se?un(os )$s tar(e y se (r?e 9aca A con una ve"oc(a( constante (e ./ )s Deter)na1 a5 Don(e se se cru;ar$n "os cta(os ),v"es y ve"oc(a( en ese nstante !5 #r$%cas s @ t y v - t
a) Ecuaciones del Movimiento:
* s! so vo t a t s A 2 t2 s J s o v t **E E . (t ) s B 150 20 t
En el 4nstante de encuentro 'osici#n de encuentro es la misma
s! % sJ
t = s t *=E E t t *= s ( se descarta: $ues t ! E seg.)
'osici#n de encuentro
sJ
s ! mOs . (= s) = m de ! v!
v!
vo
as
v %
v J v o mOs
6)
. I mOs
. (*EE =E) m
E mOs
v o a t I mOs . = s mOs
425 Dos cu(a(es A y J se encuentran a una (stanca (e 4// ) Por A +asa un ve9*cu"o 9aca J con una (ece"erac,n (e /0 )s. A "a )s)a 9ora sa"e (e J otro ve9*cu"o 9aca A con una ace"erac,n (e 40 )s. Ca"cu"ar 1 a5 E" te)+o =ue tar(a en +ararse e" +r)er ve9*cu"o !5 E" es+aco =ue 9a!r$ recorr(o ca(a ve9*cu"o 9asta =ue se encuentran c5 La ve"oc(a( (e ca(a ve9*cu"o en e" nstante en =ue se encuentran
▄ A
* m
▄ E
▄ J
* 2
a % = mOs
vo % mOs a % *= mOs
vo %
t
t
a) ;os tiem$os transcurridos &asta el encuentro son iguales t! % tJ
xx E:= t *EE E:?= t * * 2 t *E s s J s o v o t a t *EE 2 .*:= t x 100 0,&5 t v v o a t E v o E:= t v o E:= t
* * 2 s ! 2 s o v o t a t E:= t . E:= t x 0,25 t
6) s (! * s) = mOs . (* s) = m
s J) c)
* 2 (* =) m ?= m
v ! mOs Est5 $arado cuando el ve&ículo J se encuentra con 8l vJ
v o a t *= mOs . * s *= mOs *= mOs (Regresando &acia el .S.R.)
vJ
vo
as
v %
. *= mOs . ?= m
*=
mOs
C'O7UES - REACCIÓN 425 Un con(uctor co)eten(o una ?rave n%racc,n (e tr$%co0 va +or una carretera a 4>> )90 en un nstante (a(o0 ve un o!st$cu"o a ) (e (stanca y %rena con ace"erac,n (e )s. a5 6Se (eten(r$ antes (e c9ocar: !5 S 9u!era (o a / )90 6=u8 9u!era +asa(o: v % *II QmO& % I mOs. ?= m
▀ v o % I mOs
v % mOs
a % @ mOs
a)
67u8 te)+o tar(a en a"can;ar "a ace"erac,n (e %rena(a: v vo v v o ( I) mOs a% %=s t % t a @ mOs
Te)+o =ue tar(a en +ararse
67u8 es+aco recorre e" ),v" en se?un(os: s (= s) % s o
Como
vo t
*
4// ) Y )
a t
s % I mOs . = s
*
. @ mOs . (= s)
* m
c9ocar$
6) Si &u6iera ido a v %D mO& % = mOs
67u8 te)+o tar(a en a"can;ar "a ace"erac,n (e %rena(a:
Te)+o =ue tar(a en +ararse
a%
v vo
t %
v v o
( =) mOs
% G*= s
@ mOs 67u8 es+aco recorre e" ),v" en se?un(os: t
a
s (G*= s) % s o v o t
* * a t s % = mOs . G*= s . @ mOs . (G*= s) GD> m
<0/ ) Z )
Como
no c9ocar*a
.25 Un auto),v" =ue crcu"a a . )90 %rena !rusca)ente a "a vsta (e un o!st$cu"o stua(o a 4. ) (e (stanca S su ace"erac,n (e %rena(a es (e > )s.
Deter)nar s c9ocar$ o no contra e" o!st$cu"o v % ? QmO& % mOs. * m.
▀ v % mOs a % I mOs
67u8 te)+o tar(a en a"can;ar "a ace"erac,n (e %rena(a: v vo v v o ( ) mOs a% %=s t % t a I mOs 6 7u8 es+aco recorre e" ),v" en se?un(os : s (= s) % s o
vot
*
a t
s % mOs . = s
*
Te)+o =ue tar(a en +ararse
. I mOs . (= s)
= m
/ ) Y 4. )
C'OCA
<25 Un auto)ov"sta =ue )arc9a a una ve"oc(a( (e . )90 o!serva co)o un se)$%oro stua(o a .>/ ) (e"ante (e 8" se +one roKo E" se)$%oro est$ re?u"a(o +ara +er)anecer en roKo 4 s S e" auto)ov"sta (esea cru;ar e" se)$%oro en e" )o)ento en =ue se +on?a en ver(e sn (etenerse Ca"cu"ar 1 a5 La ace"erac,n su+uesta constante5 (e" coc9e0 necesara +ara e""o !5 La ve"oc(a( (e" coc9e cuan(o cru;a e" se)$%oro o % ? QmO&. % mOs. vo % mOs MRUR
■
a :
t % *= s
■
I m
a) 6)
s % so v
vo
vo
*
a t
a s
I m % mOs .*= s
v %
(E mOs)
*
. a . (*=)
. E=? mOs . IE m
a =? mOs **I
mOs
>25 E" te)+o (e reacc,n (e un con(uctor es (e /0 s S (c9o con(uctor ve un o!st$cu"o en "a carretera a / ) cuan(o va a una ve"oc(a( (e / )90 y e" %reno (e" coc9e "e +ro(uce una (ece"erac,n (e )s. Ca"cu"ar 1
a5 S +o(r$ (etenerse a te)+o +ara evtar e" c9o=ue0 o c9ocar$ !5 La (stanca (e se?ur(a( =ue (e!e ?uar(ar con otro ve9*cu"o =ue "e +rece(e va (e"ante50 +ara evtar e" c9o=ue % D QmO&. % = mOs.
s* t % @ s.
▀
v % = mOs MRU
s a % > mOs
▀
vo % = mOs. MRUR = m.
a) 67u8 es+aco recorre (s*) (urante e" te)+o (e reacc,n :
s v% * t
s* % v . t = mOs . @ s m
67u8 es+aco recorre (s) 9asta =ue se +ara en "a %rena(a : v v o ( = ) (mOs) v a s s % = m a . > mOs = m - m (recorridos &asta ue em$ie1a a frenar) % G m Como . ) Y
6)
v o
(stanca se?ur(a(5 %
s* L s % m L = m
. ).
25 E" te)+o (e reacc,n (e un con(uctor es (e /0 s Su (ece"erac,n es (e >0 )s. Ca"cu"ar a =ue (stanca (e!e )antenerse (e" coc9e =ue "e +rece(e va (e"ante5 +ara no c9ocar s crcu"a a 4/ )9 ! % *@ QmO&. % G mOs.
s*
A
v % G mOs MRU
J
a % I@ mOs
t % ? s.
a)
s
vo % G mOs. MRUR
67u8 es+aco recorre (s*) (urante e" te)+o (e reacc,n : s v ! % * s* % v ! . t G mOs . ? s * m t
67u8 es+aco recorre (s) 9asta =ue se +ara en "a %rena(a : v v o a s s %
(stanca se?ur(a(5 %
v v o ( G ) (mOs) DG?= m a . I@ mOs
s* L s % * m L DG?= m
44>0 ).
6) OTRA FORMA 67u8 te)+o tar(a en a"can;ar "a ace"erac,n (e %rena(a: v vo v v o ( G) mOs a% % >= s t % t a I@ mOs s (Seguridad) % s o
s (>= s) * m v o t
*
a t
Te)+o =ue tar(a en +ararse
* m G mOs . >= s
*
. I@ mOs . (>= s)
**I?= m
25 Su+onen(o =ue "a ace"erac,n (e %rena(o (e un coc9e es (e < )s . Deter)nar "a (stanca )*n)a a "a =ue (e!e )antenerse un coc9e (e" =ue "e +rece(e va (e"ante50 s crcu"a a 4/ )90 y e" te)+o (e reacc,n (e" con(uctor es (e /0> s % *@ QmO&. % G mOs.
s*
A ▀
t % I s.
v % G mOs MRU
s a % G mOs
▀
J
vo % G mOs. MRUR
67u8 es+aco recorre (s*) (urante e" te)+o (e reacc,n :
a)
s v ! % * s* % v ! . t G mOs . I s * m t
67u8 es+aco recorre (s) 9asta =ue se +ara en "a %rena(a : v
v o
v v o ( G ) (mOs) a s s % *= m a . G mOs
(stanca se?ur(a(5 %
4. ).
s* L s % * m L *= m
6) OTRA FORMA 67u8 te)+o tar(a en a"can;ar "a ace"erac,n (e %rena(a: v vo v v o ( G) mOs t % a% % * s t a G mOs s (Seguridad) % s o
s (* s) * m v o t
*
a t
Te)+o =ue tar(a en +ararse
*
* m G mOs . * s . G mOs . (* s) *> m
25 Un coc9e ""eva una ve"oc(a( (e . )9 y "os %renos =ue +osee son ca+aces (e +ro(ucr"e una (ece"erac,n )$)a (e )s . E" con(uctor tar(a /0 s en reacconar (es(e =ue ve un o!st$cu"o 9asta =ue %rena Ca"cu"ar "a (stanca a =ue 9a (e!e estar e" o!st$cu"o +ara =ue e" con(uctor +ue(a evtar e" c9o=ue % ? QmO& % mOs
s*
A ▀
s a % > mOs
t % @ s.
v % mOs MRU
▀ vo % mOs. MRUR
67u8 es+aco recorre (s*) (urante e" te)+o (e reacc,n : s v ! % * s* % v ! . t mOs . @ s *> m t
67u8 es+aco recorre (s) 9asta =ue se +ara en "a %rena(a : v
v o
v v o ( ) (mOs) a s s % GGG m a . > mOs
(stanca se?ur(a(5 %
s* L s % *> m L GGG m
>0> ).
J
25 Un coneKo corre 9aca su )a(r?uera a "a ve"oc(a( (e . )9 Cuan(o se encuentra a .// ) (e e""a0 un +erro0 stua(o >/ ) )$s atr$s0 sa"e en su +ersecuc,n0 recorren(o / ) con una ace"erac,n (e )s. y contnuan(o "ue?o con ve"oc(a( constante a5 Deter)nar s sa"var$ su +e" e" coneKo !5 Ra;onar =ue suce(er*a s "a )a(r?uera (e" coneKo estuvera 4// ) )$s "eKos C % ? QmO&. % mOs. (. Cte. ) I m
m
C v % mOs ▀
.
▀ P
a % = mOs MRUR ' % Cte. MRU
D m.
a) Calculando los tiem$os invertidos $or el Cone9o 0 el 'erro en llegar a la madriguera sa6remos si el $erro alcan1ar5 al cone9o. Como el cone9o corre a una . Cte. de mOs su movimiento es uniforme s s m t C % % * s tC 4/ s vC % t v mOs
E" Perro0 en "a 4[ eta+a de su movimiento (D m) corre con una a % = mOs 0 em$lear5 t segundos s % so
vo t
*
a t
*
a t
D m %
*
. = mOs . t
t > s tP4 s
!l ca6o de los > s. el $erro continúa corriendo con una . Cte de v (> s) % v o
at
E = mOs
.>s
v '
GE
mOs
6 mOs :
