1 - Integr Integrais ais Impró Imprópri prias as
b
Na definição de integral definida
∫ f(x)dx , a
lidamos com uma função f definida definida em um intervalo intervalo fini finito to [a, b] e supomos que f não não tem tem nenh nenhum umaa descontinuidade infinita. Uma função f tem uma descontinuidade infinita em x = c quando lim f ( x) = ±∞ ou lim f ( x ) = ±∞. x →c−
x →c+
1
Aprenderemos adiante como calcular integrais quando o intervalo de integração é infinito (tipo 1) ou quando a função f tem uma descontinuidade infinita em [ a, b] (tipo 2). Nesses dois tipos, a integral é chamada de
integral imprópria.
Integral imprópria - tipo 1: intervalos infinitos Considere, por exemplo, a região infinita S que está sob a curva y = 1/ x2, acima do eixo x e à direita da reta x = 1.
S
Poderíamos pensar que, como S tem extensão infinita, sua área também deve ser infinita.
2
No entanto, observe que a área da parte de S que está à esquerda da reta x = t é dada por t
A ( t )
=
1
∫ x
dx
2
=−
t
1
=
x
1
1−
1
1 t
Note também que A(t ) < 1, não importando quão grande seja t .
Agora, calculando o limite de A quando t tende a infinito, teremos
lim A ( t )
t → +∞
=
lim 1 −
t → +∞
1
t
=
1
Desse modo, dizemos então que a área da região infinita S é igual a 1 e escrevemos +∞
A ( S )
=
1
∫ x 1
2
t
dx
=
lim
t →
+∞
1
∫ x
2
dx
=
1
1
S
3
Utilizando definiremos
a
esse
exemplo
integral
de
como
um guia,
f (sendo
f
não
necessariamente uma função positiva) sobre um intervalo infinito como o limite da integral definida sobre o intervalo finito.
Integral imprópria - tipo 1: intervalos infinitos t
+∞
∫ f ( x ) dx
=
lim
t →
a
+∞
a
b
∫ f ( x ) dx
∫ f ( x ) dx b
=
−∞
lim
t →
−∞
∫ f ( x ) dx t b
+∞
As integrais impróprias
∫ f ( x ) dx
e
a
∫ f ( x ) dx −∞
são chamadas: convergentes se os limites correspondentes existirem (e forem finitos) e divergentes se os limites não existirem (ou se existirem, mas forem infinitos).
4
Integral imprópria - tipo 1: intervalos infinitos c
Se ambas as integrais impróprias
∫ f ( x ) dx
e
−∞
+∞
∫ f ( x ) dx
forem convergentes, então definimos
c +∞
∫ f ( x ) dx −∞
=
c
+∞
−∞
c
∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
Exemplo 1: +∞
Determine se a integral divergente.
1
∫ x dx
é convergente ou
1
5
+∞
+∞
convergente, mas a integral
1
∫ x dx
1
∫ x
Vimos anteriormente que a integral
2
dx é
1
é divergente.
1
Generalizando, para funções f ( x ) = +∞
1
∫ x
p
1 p
x
temos:
dx é
1
+∞
. convergente se p > 1. Nesse caso,
1
∫ x
dx p
=
1
1 p − 1
.
. divergente se p ≤ 1.
Integral imprópria-tipo 2: integrandos descontínuos Nesse tipo de integral imprópria, a função f tem uma descontinuidade infinita em [a, b], o que significa dizer que
lim f ( x ) = ±∞ ou lim f ( x ) = ±∞
x →c−
x →c+
para algum c ∈ [a, b]. Como c ∈ [ a, b] implica : c = a, c = b, ou c ∈ (a, b), então há 3 casos possíveis para esse tipo de integral imprópria.
6
Integral imprópria-tipo 2: integrandos descontínuos Caso i - Se f é contínua em (a, b] e descontínua em a (pois
lim f ( x) = ±∞), então :
x → a+
b
∫ f ( x ) dx
b
=
lim
t → a +
a
∫ f ( x ) dx t
Integral imprópria-tipo 2: integrandos descontínuos Caso ii - Se f é contínua em [a, b) e descontínua em b (pois
lim f ( x) = ±∞), então :
x →b−
b
∫ f ( x ) dx a
t
=
lim
t → b −
∫ f ( x ) dx a
7
Integral imprópria-tipo 2: integrandos descontínuos Caso iii - Se f é descontínua em c ∈ (a, b ), pois
lim f ( x ) = ±∞ ou lim f ( x) = ±∞), então
x →c−
x →c+
b
c
b
a
a
c
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
Integral imprópria-tipo 2: integrandos descontínuos
Em qualquer um dos casos anteriores, a integral b
imprópria
∫ f ( x ) dx
é
dita convergente se o limite
a
correspondente existir (e for finito) e divergente se o limite não existir (ou se existir, mas não for infinito).
8
Exemplo 2: 5
Calcule
∫ 2
1 x − 2
dx.
Observação Qualquer uma das integrais impróprias (tipo 1 ou tipo 2) pode ser interpretada como uma área, desde que f seja uma função positiva. No caso em
f (ou uma parte de f ) é uma
função negativa, basta calcular o módulo da integral imprópria.
9
Um teste de comparação para integrais impróprias Algumas vezes é impossível encontrar o valor exato de uma integral imprópria, mas mesmo assim é importante avaliar se ela é convergente ou divergente. Nesses casos, o teorema seguinte é bastante útil.
Teorema da comparação Suponha que f e g sejam funções contínuas com f ( x) ≥ g ( x) ≥ 0 para x ≥ a . +∞ •
Se
+∞
∫ f ( x ) dx é convergente => ∫ g ( x ) dx é convergente a
a +∞
+∞ •
Se
∫ g ( x ) dx a
é divergente =>
∫ f ( x ) dx é divergente a
10
Observação Apesar do Teorema da comparação se referir apenas a integrais impróprias do tipo 1, a sua adaptação a integrais impróprias do tipo 2 também permite avaliar convergência ou divergência para as integrais desse tipo.
Exemplo 3: +∞
Mostre que
∫e
−x
2
dx é convergente.
0
11
Exercícios: 1) Calcule : 0
∫
a) xe x dx −∞ +∞
b)
1
∫ 1 + x
2
dx
−∞
/ 2
π
2) Determine se
∫ sec xdx
converge ou diverge.
0
Exercícios: 3
3) Calcule
dx
∫ x-1 se for possível. 0
1
∫
4) Calcule ln xdx. 0 +∞
5) Mostre que a integral
∫ 1
1 + e − x x
dx é divergente .
12
