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PRIMER BIMESTRE
Secundaria
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Raz. Matemático
1
Lógica Recreativa I
(Cerillas - Relación de Tiempo) OBJETIVOS: * Despertar y ejercitar el ingenio y destreza visual. * Potenciar la habilidad intelectual. * Afianzar el desarrollo de la imaginación, la creatividad y el ingenio.
Hallaremos en este tema ejercicios muy interesantes en los cuales tendrás que aplicar tu habilidad y destreza visual, usando conocimientos elementales de la geometría y la aritmética, aunque en algunos tu ingenio e imaginación. Encontrarás ejercicios de diferente nivel, desde los básicos hasta los complicados. Emplearás tu creatividad hasta desarrollar tu habilidad analítica y esto te ayudará a desarrollar tu pensamiento creativo mediante el empleo de nuevos enfoques ingeniosos.
Ejemplo 2: Retirando once cerillas, deja seis.
Resolución: Quito once cerillas
CERILLAS Hallaremos ejercicios de interés que para resolverlos aplicarás tu destreza visual y habilidad mental; cambiando de posición, colocando o quitando cerillas según la conveniencia del ejercicio. Ejemplo 1: Se ha construido una casa utilizando 10 cerillas. Cambia en ella la posición de dos cerillas, de tal forma que la casa aparezca de otro costado.
Una balanza, compuesta por nueve cerillas se halla en un estado de desequilibrio. Es preciso cambiar la posición de cinco cerillas, de tal forma que la balanza quede en equilibrio.
Resolución: Cambio
Ejemplo 3:
Quedaría
9
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1ro Secundaria Resolución:
El culpable del reto
Cambio 1 2
3
5
4
Quedaría 1
3
2 5
4
Ejemplo 4: Como se ve, las ocho cerillas forman en este caso catorce cuadrados. Retira dos cerillas y deja solo tres cuadrados. Resolución: Quito 2 cerillas
RELACIÓN DE TIEMPO Para el desarrollo de este tipo de ejercicios se sugiere utilizar la recta numérica comparando los números con los días; así:
1. RECTA NUMÉRICA
–3
10
Anteayer
Ayer
–2
–1
Pasado Hoy Mañana Mañana 0
1
2
3
Fermat nació en los albores del siglo XVII, en 1601 en Beaumont, un pueblo al suroeste de Francia. Su padre era un rico comerciante de pieles, lo que le permitió realizar sus estudios de leyes en la Universidad de Toulouse, donde nunca destacó en Matemáticas. No publicó en su vida ningún libro sobre matemáticas. De hecho llegó a escribir a Pascal: “Noquieroqueaparezcaminombreen ninguno de los trabajos considerados dignos de exposición pública”. Pero Fermat tenía la pasión por los números. Y ello en parte gracias al libro de un matemático que vivió 1300 años antes que él. Este libro era la edición de la Aritmética de Diofanto. La Aritmética constaba de 13 libros de los cuales sólo seis sobrevivieron a la destrucción de la gran biblioteca de Alejandría, primero por los cristianos y luego por los musulmanes. En 1621 aparece en Francia una traducción al latín de estos seis libros, realizada por Bachet, otro aficionado a los acertijos matemáticos. Este libro se convertiría en el libro de cabecera de Fermat durante muchos años. En él, Diofanto propone más de cien problemas numéricos y da brillantes soluciones a todos ellos. Algunos tienen que ver con las ternas pitagóricas, es decir, las ternas de números enteros que verifican X2 + Y2 = Z2 Fermat intuye que el exponente 2 es una frontera matemática para este tipo de ecuaciones con números enteros y postula, en una de las anotaciones a la Aritmética, su famoso reto. Desde este momento las mejores mentes matemáticas de 3 siglos no van a poder sustraerse a la tentación de intentar encontrar esa maravillosa demostración de la que habla Fermat. Euler lo demostró para n = 3 y n = 4. Dirichlet y Legendre para n=5 Lamé para n = 7. Kummer para todos los primos menores que 100 salvo para n = 37, 59 y 67. Sophie Germain....
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Raz. Matemático
Ejemplo 7:
Ejemplo 5: Sí, Farid, pues yo estudié en Trilce y en un momento te daré la respuesta.
Aarom, puedes decirme, ¿qué día será el ayer de pasado mañana si el ayer de mañana es jueves?
Sabiendo que el mañana del anteayer del ayer de mañana era martes, ¿qué día será el anteayer del mañana de pasado mañana? Dato : +1 – 2 – 1 + 1 <> martes – 1 <> martes Piden : –2 + 1 + 2 = +1
Martes Miércoles Jueves
Después de aquella conversación, Aarom hizo lo siguiente:
–2
Resolución:
–1 (Dato)
0
2 1 (Piden)
Considerando la siguiente analogía: Anteayer
Ayer
Hoy
–2
–1
0
1
2
Ahora el dato:
ayer de mañana <> jueves
–1
+1
Luego piden :
El ayer de pasado mañana +1
Curiosidades ¿Cuáles son los números que faltan?
0 <> jueves
–1
Rpta.: Jueves
Pasado Mañana Mañana
+2
3 4 5 6 7 8 9 10
52 63 94 46
(Dato) (Piden) jueves viernes –2
–1
0
1
2
Después de resolver, Aarom le responde a Farid que ese día será el viernes. Rpta.: Viernes Ejemplo 5: Si hoy es domingo, ¿qué día será el ayer de pasado mañana de hace dos días? Resolución: Dato : Piden :
Desafío La figura representa una copa con una cereza adentro. Se trata de obtener, moviendo sólo dos fósforos, una copa igual a la original pero con la cereza afuera.
0 <> domingo –1 + 2 – 2 = – 1 sábado domingo –2
–1 (Piden)
0 (Dato)
1
2 Rpta.: Sábado
11
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1ro Secundaria
1
Retirando cinco palitos de fósforo deja uno.
3
Quita cuatro palitos de fósforo de la figura, de tal manera que queden sólo cinco cuadrados del mismo tamaño.
Resolución:
Resolución:
Rpta:
2
Quita tres palitos de fósforo, de tal manera que queden sólo tres cuadrados.
Rpta:
4
La siguiente igualdad formada con palitos de fósforo es incorrecta. ¿Cuántos cerillos debes mover como mínimo para que exprese una igualdad correcta?
Resolución:
Rpta: 12
Resolución:
Rpta:
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Raz. Matemático
5
¿Cuántos fósforos como mínimo debes quitar para
6
formar tres cuadrados?
El ayer de ayer fue jueves. ¿Qué día será el mañana de mañana? Resolución:
Resolución:
Rpta:
7.
Rpta:
Si el anteayer de ayer de mañana de pasado mañana es sábado, ¿qué día fue anteayer de ayer?
8. Si el mañana de mañana es lunes, ¿qué día fue ayer?
9.
Si el ayer de mañana es jueves, ¿qué día es hoy?
10. Si el anteayer de mañana de pasado mañana es viernes, ¿qué día fue ayer?
13
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1ro Secundaria
11. Halla el mínimo número de palitos de fósforo que se deben mover en la figura para que el pez representado mire al otro lado.
12. Sabiendo que el mañana del anteayer del mañana de pasado mañana es jueves, ¿qué día será el anteayer del ayer del mañana de hace 2 días?
1.
4.
La siguiente igualdad formada con palitos de fósforo es incorrecta. ¿Cuántos cerillos debes movercomomínimoparaqueexpreseunaigualdad correcta?
En el siguiente gráfico, ¿cuál es el menor número de cerillas que se deben cambiar de lugar para obtener una igualdad correcta?
a) 1 b) 2 d) 4 2.
¿Cuántos fósforos como mínimo debes quitar para formar tres cuadrados?
a) 4 b) 3 d) 1 3.
5.
c) 2 e) 5
¿Cuántos fósforos como mínimo debes mover para que en total se formen 5 cuadrados?
a) 3 b) 4 d) 6
14
c) 3 e) 5
c) 5 e) 7
6.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 ¿Cuántos fósforos como mínimo debes quitar para que sólo queden 3 rombos del mismo tamaño?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 ¿Cuántos fósforos como mínimo debes quitar para que no quede ningún cuadrado?
a) 2 b) 3 d) 5
c) 4 e) 6
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Raz. Matemático
7.
Si hoy es lunes, ¿qué día será el mañana de hace dos días?
a) b) c) d) e)
8.
domingo lunes jueves sábado viernes
Si el pasado mañana de ayer es jueves, ¿qué día será el mañana de anteayer?
a) martes b) miércoles c) jueves d) viernes e) lunes
9.
Si hoy es martes, ¿qué día será el mañana de ayer del pasado mañana de mañana? a) b) c) d) e)
jueves viernes sábado domingo lunes
10. Siendo martes el ayer de anteayer, ¿qué día será pasado mañana de ayer?
a) sábado b) martes c) viernes d) jueves e) miércoles
11. Si hoy es miércoles, ¿ qué día será el pasado mañana de dentro de tres días?
a) b) c) d) e)
martes domingo lunes miércoles jueves
12. Si el pasado mañana de ayer de anteayer de pasado mañana es lunes, ¿qué día será el mañana de ayer de anteayer de hace 3 días?
a) b) c) d) e)
miércoles lunes martes domingo sábado
15
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1ro Secundaria
2
Lógica Recreativa II
(Parentesco - Situaciones Diversas) OBJETIVOS: * Desarrollar tu imaginación e ingenio. * Potenciar la habilidad mental e intelectual. * Comprender las relaciones de los componentes de la familia.
En este tema se presentan ejercicios referentes a las situaciones de relaciones familiares o parentesco, en los cuales los enunciados son de difícil comprensión, para lo cual nosotros haremos uso de nuestra habilidad mental para llevar a cabo el proceso lógico–deductivo que nos lleve a la solución de los ejercicios. AlumnoTrilce, te sugerimos resolver los ejercicios realizando enfoques diferentes al pensamiento convencional.
Del cuadro, se deduce que mi padre es el tío del hijo de su hermana.
∴ Rpta.: Es mi padre. Ejemplo 2: ¿Qué parentesco tiene conmigo la comadre de la madrina del sobrino de mi única hermana? Resolución:
PARENTESCO Aquí observaremos enunciados de difícil comprensión, pues los resolveremos graficando los personajes de manera coherente.
Hagamos un gráfico.
Esposos Ejemplo 1: Mi nombre es Gisela. ¿Qué parentesco tiene conmigo el tío del hijo de la única hermana de mi padre?
Yo
Resolución: Hagamos un gráfico. Hermanos
de
de padre a hija
Yo (Gisela)
16
tío
as
ob
rin
o
Única hermana de mi padre (tía) de madre a hijo
Hijo de Tía
Mi hijo
Relación de madrina a ahijado
Del cuadro se deduce que la persona buscada es mi esposa.
¿Existe otra forma para resolver este tipo de problemas? Pues si escribimos el texto para analizarlo, y empezamos del final del texto hacia el inicio del mismo.
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Raz. Matemático
«La comadre de la madrina del sobrino de mi única hermana» Mi hijo Mi comadre Mi esposa
Otros regalos de Fermat
∴ Rpta.: Esa persona es mi esposa.
CANTIDAD DE INTEGRANTES DE LA FAMILIA Usualmente para este tipo de problemas se pide la cantidad mínima de personas que integran un grupo familiar, y para resolver esto, debemos relacionar la mayor cantidad posible de características a las personas para que su número sea mínimo.
Ejemplo 3: En un restaurante estaban cenando dos padres y dos hijos, ¿cuál es el menor número de personas que había en el restaurante?
Resolución: Es decir que había dos padres. Hagamos lo posible para que a la vez sean dos hijos, así:
Los viejos números primos Hay dos grandes familias de números primos: Unos son de la forma 4 n + 1: 5, 13, 17, 29, 37, 41... Los otros de la forma 4 n +3: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43... Fermat descubrió que todos los de la primera familia se pueden escribir como la suma de dos cuadrados. Pero en cambio, ninguno de los de la segunda familia se puede descomponer en la suma de dos cuadrados. El pequeño teorema de Fermat: Si "a" es un número natural cualquiera, por ejemplo 9 y p un número primo que no es divisor de "a", por ejemplo 5; siempre se cumple que "p", en este caso 5, es divisor exacto de ap–1 –1, en nuestro caso 95 – 1 – 1. En efecto 94 – 1 = 6561 – 1 = 6560 que es divisible por: 5 6560 : 5 = 1312. Esta brillante joya numérica se conoce como el “pequeño teorema de Fermat”.
(Abuelo)
Y, cómo no, fue demostrado por Euler cuando tenía 29 años. Padres (Padre) Hijos
Su gran fallo. Los primos de Fermat. Fermat afirmó que todos los números de la n forma 22 + 1, son números primos. Euler se encargaría de demostrar que por una vez Fermat estaba equivocado. Si n=5.232 + 1 = 4294967297 = 641 x 6700417 no es primo.
∴ Rpta.: La respuesta sería 3.
Pero aunque Fermat es el gran impulsor de los problemas relacionados con los números enteros, para encontrar el origen de estos problemas hay que retroceder en el tiempo hasta el nacimiento de la Aritmética y viajar al siglo VI antes de Cristo.
17
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1ro Secundaria
Situaciones Diversas
Ejemplo 6:
En este tema nos encontraremos con situaciones ingeniosas queexigenraciocinioshábilesparadarrespuestasingeniosas.
¿Cuál es el menor número de rectas que deben trazarse para dividir la figura en 6 regiones?
Ejemplo 4: Josué tiene un libro de 200 hojas, y su hermanito Ángelo le arranca las páginas 12; 15; 20; 100; 121; 138; 140. ¿Cuántas hojas le quedan? Resolución: Pues obvio, si arrancó la página 15 por ejemplo, también se habrá arrancado la página 16. Sabes ¿por qué?
Resolución: Deben trazarse dos, tal como se muestra a continuación:
Entonces se habrá arrancado en realidad las páginas:
11; 12 15 ; 16 19;20 99;100 121;122 137;138 139;140 1 hoja
1 hoja
1 hoja
1 hoja
1 hoja
1 hoja
1 hoja
∴ Rpta.: Quedan : 200 – 7 = 193 hojas
4
5
6 3
2 1
Ejemplo 5: Un automóvil recorre 8000 km permutando sus llantas (incluyendo la de repuesto). Para que todas tengan igual desgaste, ¿qué distancia recorre cada llanta? Resolución: Pues el automóvil lleva siempre 5 llantas (una de repuesto), de las cuales cuatro de ellas siempre están en movimiento. 8000 km
Como las 5 llantas se permutan, entonces cada llanta recorre:
4 x 8000 = 6400 km 5
∴ Rpta.: 6400 km
18
Los griegos fueron los inventores de la ciencia, sobre la base de los conocimientos heredados de Egipto y Oriente. Ellos consiguieron que el pensamiento humano obtuviera el primer grado de abstracción matemática. Los pueblos antiguos calcularon áreas de triángulos pero los griegos generalizaron esos cálculos para cualquier triángulo. Se ocuparon de definir entes geométricos con conceptos puramente abstractos y de usar exclusivamente la lógica para obtener las conclusiones.
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Raz. Matemático
1
El hijo de la hermana de mi padre es mi:
3 ¿Qué parentesco tiene conmigo una persona que su madre fue la única hija de mi madre?
Resolución: Resolución:
Rpta:
2
¿Quién es la suegra de la mujer de mi hermano?
Rpta:
4 ¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre si soy hijo único?
Resolución: Resolución:
Rpta:
Rpta: 19
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1ro Secundaria 5
¿Quién es el hombre que es el padre de la hija de la
6
La hermana del hijo de la hermana del hijo del
esposa del único vástago de mi madre?
hermano de mi padre es mi:
Resolución:
Resolución:
Rpta:
Rpta:
7.
¿Qué parentesco tiene conmigo María si se sabe que su madre fue la única hija de mi madre?
10. ¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre si soy hijo único?
8.
Juan es el abuelo del hijo de mi hijo. ¿Quién es el hijo de Juan?
11. Si el hijo de Hugo es el padre de mi hijo, ¿qué parentesco tengo yo con Hugo?
9.
¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la esposa del único vástago de mi hija?
12. Pepe le dice a su papá que la hermana de su tío no es su tía, su papá le responde: «Tienes razón». ¿Quién es entonces la hermana de su tío que no es su tía?
20
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Raz. Matemático
1.
La tía del padre de la hermana de mi madre es mi:
a) Madre b) Tía d) Bisabuela 2.
3.
e) Mi sobrina
La única hija del abuelo de mi padre es mi:
c) Tía e) Tía abuela
¿Qué representa para Miguel el único nieto del abuelo del padre de Miguel?
c) Su hijo e) Su abuelo
¿Qué parentesco tiene conmigo el hijo de la esposa del único vástago de mi abuela? a) b) c) d) e)
Mi hijo Mi hermano Yo mismo Mi padre Puede ser b o c
¿Qué parentesco me une a Pedro si mi papá es cuñado de su papá?
c) Padre e) Hermano a) b) c) d) e)
9.
a) Él mismo b) El nieto d) Su papá
6.
8.
c) Sobrina e) Nieta
Es mi sobrino Soy su tío Somos hermanos Somos primos No somos parientes
b) Mi tía
a) Prima b) Abuela d) Madre 5.
¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la esposa del único vástago de mi madre?
a) Hermana b) Prima d) Hija
¿Qué parentesco tiene conmigo una persona que su madre fue la única hija de mi madre?
a) Mi hermana c) Mi madre d) Mi cuñada
4.
c) Abuela e) Tiabisabuela
El abuelo del hijo de mi hermano es mi:
a) Sobrino b) Tío d) Hijo
7.
¿Qué parentesco tiene Juan con la hija de la esposa del único vástago de su madre?
a) Tío b) Sobrino d) Hijo
c) Esposo e) Cuñado
10. El hermano de la hija del tío de mi padre es mi:
a) Padre b) Abuelo d) Tío abuelo
c) Tío e) Bisabuelo
11. ¿Qué parentesco tiene conmigo un joven que es el hijo de la esposa del único vástago de mi abuela? a) Padre b) Hermano d) Hijo
c) Tío e) Primo
12. ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) Madre b) Hija d) Sobrina
c) Suegra e) Nieta
21
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1ro Secundaria
3
Habilidad Operativa
Iniciaremos el curso mediante el estudio de métodos que nos permiten ahorrar tiempo en los cálculos. Presentaremos algunos casos sobre el desarrollo abreviado de ciertas operaciones básicas. El dominio de los métodos o mecanismos que planteamos sólo requieren de práctica y habilidad.
MULTIPLICACIÓN ABREVIADA 1. MULTIPLICACIÓN POR 5 Deduzcamos el procedimiento.
2. MULTIPLICACIÓN POR 11 Veamos el procedimiento: 27 x 11 27 27 297
1) 27 x 11 = ? +
+ 0 ↓ 2
2 ↓ 9
7 ↓ 7
∴ 27 x 11 = 297 1) 213 x 5 = ? 10 2130 = 213 x = 1065 2 2
2) 3874 x 11 = ? + + + +
2) 325 x 5 = ? 3250 10 325 x = 2 = 1625 2
3 874 x 11 3 874 3 874 42 614
0 3 8 7 4 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 4 2 6 1 4
∴ 3874 x 11 = 42614
Regla Práctica Para multiplicar por 5 se le agrega al número un cero a la derecha y el resultado se divide entre 2.
Ejemplos: 1. 832 x 5
= ........................
Regla Práctica
Para multiplicar por 11, la última cifra se repite, las siguientes cifras del resultado se obtienen sumando de derecha a izquierda sucesivamente, hasta llegar a la primera cifra, que también se debe sumar con la cifra cero. Ejemplos: 1. 87 x 11
= ............................
2. 4 783 x 5 = .......................
2. 456 x 11
= ............................
3. 92 432 x 5 = .......................
3. 37591 x 11 = ............................
22
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Raz. Matemático
3. MULTIPLICACIÓN POR 15 Veamos el procedimiento:
2) 84053 x 99999 = ? Se agregan 5 ceros (son 5 nueves) 8405300000 – 84053 8405215947
1) 24 x 15 = ? 24 x 15 = (24+12) x 10 = 360 2) 43 x 15 = ? 43 x 15 = (43+21,5) x 10=645
Regla Práctica
Para multiplicar por 15, sólo se le agrega su mitad y a este resultado se le multiplica por diez.
Regla Práctica
Para multiplicar por cifras 9, se coloca a la derecha del número tantos ceros como “nueves” tenga el otro número y en seguida al número obtenido se le resta el número original.
1. 82 x 15 = ............................ 2. 341 x 15 = ............................ 3. 924 x 15 = ............................
Ejemplos: 1. 27 x 9999 = ............................
4. MULTIPLICACIÓN POR 25 Deduzcamos el procedimiento: 1) 42 x 25 = ? 42 x
4200 100 = = 1050 4 4
2) 174 x 25 = ?
2. 563 x 999 = ............................ 3. 1258 x 999999 = ....................
6. MULTIPLICACIÓN DE 2 NÚMEROS DE 2 CIFRAS CADA UNO Veamos el procedimiento: 1)
31 x 12 = ? 6
17400 174 x 100 = = 4350 4 4
x
Regla Práctica Para multiplicar por 25, al número se le agrega dos ceros a su derecha y el resultado se divide entre 4. Ejemplos:
2)
2. 926 x 25 = ............................
54 36 1944
15 =x
12 x=24
3. 2562 x 25 = ............................
30 + 12 + 2 = 4 4 15 + 4 = 19
5. MULTIPLICACIÓN POR 9, 99, 999, 9999, ... Deduzcamos el procedimiento: 1) 3265 x 999 = ? Se agregan 3 ceros (son 3 nueves) 3265000 – 3265 3261735
1 x
54 x 36 = ? 30
1. 429 x 25 = ............................
31 12 372 6+1
Regla Práctica ab x cd
x
ab cd
x
3° 2° 1°
1° Producto de las cifras de las unidades (b x d). 2° Suma de los productos en aspa. (a x d) + (c x b) 3° Producto de las cifras de las decenas (a x c). 23
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1ro Secundaria Ejemplos:
Ejemplos:
1. 25 x 48 = ............................
1. (52)2 = ............................
2. 57 x 34 = ............................
2. (93)2 = ............................
3. 87 x 65 = ............................
3. (35)2 = ............................
2. CUADRADO DE UN NÚMERO QUE TERMINA EN 5
CÁLCULO DE NÚMEROS AL CUADRADO
Deduzcamos el procedimiento: 1) (15)2 = 225
1. CUADRADO DE UN NÚMERO DE 2 CIFRAS
x2
Veamos el procedimiento:
2) (185)2 = 34225 1) (14)2 = ? (14)2 = (14 + 4) (14 – 4) + 42 (14)2 = (18) (10) + 16 (14)2 = 196
x 19
Regla Práctica (N5)2 = .............25
2) (56)2 = ? (56)2 = (56 + 6) (56 – 6) + 62 (56)2 = (62) (50) + 36 (56)2 = 3136
x(N + 1)
Ejemplos: 1. (85)2 = ............................
Regla Práctica
2. (235)2 = ............................
(ab)2 = (ab + b) (ab - b) + b2
3. (545)2 = ............................
Recuerda I.
+ Número = Número (Número Impar ) ( Par ) ( Impar )
Ejemplo: 5 II.
7
+
7
=
10
x
4
=
12
x Número = Número ( Número Impar ) ( Impar ) ( Impar )
Ejemplo: 7
24
=
x Número = Número (Número Impar ) ( Par ) ( Par )
Ejemplo: 3 IV.
2
+ Número = Número (Número Impar ) ( Impar ) ( Par )
Ejemplo: 3 III.
+
x
9
=
63
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Raz. Matemático
1
Resuelve: N = 652 + 57 x 11
3 Halla con rapidez el valor de «a +b + c», si: 4 321 x 11 = 4abc1
Resolución: Resolución:
Rpta:
2
Rpta:
Hallar a + b si:
4 Hallar a + b si: (57)2 = 3ab9
29 x 49 = ab2a Resolución:
Rpta:
Resolución:
Rpta: 25
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1ro Secundaria 5
Halla «A x B», si:
11 x A = 231
11 x B = 165
6
Halla «a + b + c», si:
132 x 99 = a30bc
Resolución: Resolución:
Rpta:
Rpta:
7.
Si MESA x 9999 = ... 2568 Halla «M + E + S + A».
10. Si 111 x 11 = abba, halla «b/a».
8.
Determina «a + b», si: 23 x 11 = 2ba
11. Halla «a + b», sabiendo que: (3a)2 = 11b6
9.
¿Cuál es el resultado de la expresión «C»? C = (x–a)(x – b)(x – c) ... (x – z)
12. Halla «a + b», sabiendo que: (5a)2 = b025
26
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Raz. Matemático
1.
7.
Resuelve: R = 35 + 38 x 11 + 21 x 34 2
a) 2 350 b) 2 357 d) 4 250 2.
a) 8 b) 9 d) 11 3.
8.
c) 10 e) 12
Hallar a + b:
4.
c) 5 e) 9
Hallar a + b: (3a)2 = 13b9
a) 8 b) 10 d) 11 5.
6.
c) 12 e) 13
En qué cifra termina el resultado de: E = 2 x 4 x 6 x .... ; (n ≥ 5) «n» factores
a) 2 b) 3 d) 0
c) 4 e) Faltandatos
a) 5 b) 6 d) 8
c) 7 e) 9
11. Halla «a + b», sabiendo que: (7a)2 = 53b9 c) 16 e) 18
Halla la suma de cifras de «N», luego de efectuar: N = 172 x 999
a) 23 b) 25 d) 29
c) 10 e) 5
10. Halla «a + b», sabiendo que: 17 x 11 = ab7
Halla «a + b + c», si: 43 x 11 = abc
a) 14 b) 15 d) 17
c) 13 e) 15
Determina «a + b», si: (25)2 = ab5
a) 8 b) 9 d) 7 9.
(57)2 = 3ab9
a) 2 b) 3 d) 6
a) 10 b) 12 d) 14
c) 2 380 e) 3 251
Determina «a + b» 11 x 37 = a0b
Determina «a + b», si: (3a)2 = 12b6 .
c) 27 e) 30
a) 3 b) 5 d) 8
c) 7 e) 9
12. Calcula el valor de «a2» si (1 x 3 x 5 x 7 x ...) = ...a a) 1 b) 4 d) 25
c) 9 e) 16
27
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4
Resolución de Ecuaciones
ECUACIÓN 1. DEFINICIÓN Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas que tienen como mínimo una variable. A las variables que intervienen en una ecuación se les denomina incógnitas y a los valores que satisfacen la igualdad se les llama soluciones de la ecuación.
incógnita • 3 x + 5 = 11 → solución: x = 2 igualdad incógnita • x = 4 → soluciones:
Indeterminada Si tiene infinitas soluciones. Ejemplos:
Ejemplo:
2
• x2 = 16 → Tiene dos soluciones: 4 y -4 * 3x + 5 = 2x + 11 ⇒x=6
x=2 x = -2
igualdad
• • *
x - 5 = x - 3 - 2 xº - 1 ; x ≠ 0 5(x + 3) + 7 = 4(x + 3) + x + 10 ⇒ 5x+ 15 + 7 = 4x + 12 + x + 10 5x - 5x = 22 - 22 0=0
Ecuación incompatible Es aquella que no tiene solución posible. Ejemplos: • x + 3 = x - 3
2. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES SEGÚN SUS SOLUCIONES
• 0 . x = 3
Ecuación compatible
* 4(x + 3) + 2 = 3(x + 2) - 5 + x 4x + 12 + 2 = 3x + 6 - 5 + x 4x - 4x = 1 - 14 0 = -13
Es aquella que tiene al menos una solución posible. Se subdivide en:
3. SISTEMA DE ECUACIONES
Pueden ser compatibles o incompatibles:
Determinada Si tiene un número finito de soluciones. • 3x + 2 = 14 → Tiene una solución: 4
28
Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se busca obtener en caso que existan. Ejemplo: x+y=5 x-y=3 (Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.)
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Raz. Matemático
Solución:
x=4 y=1
ya que satisface ambas ecuaciones
Hay diversas formas de resolver un sistema de ecuaciones, nosotros nos centraremos en resolver utilizando los siguientes métodos: - Método de reducción o eliminación. - Método de sustitución. - Método de igualación. Ejemplo: Resuelve el sistema siguiente: 2x + 3y = 13 ... (I) 3x - y = 3 ... (II)
De I: 2x + 3y = 13 → 3y = 13 - 2x
13 - 2x ... A 3
→y=
De II: 3x - y = 3 → 3x - 3 = y ... B Igualando
A y B :
13 - 2x = 3x - 3 → 13 - 2x = 9x - 9 3 22 = 11x
utilizando los tres métodos mencionados. Resolución: POR REDUCCIÓN O ELIMINACIÓN
Multiplicamos la ecuación (II) por 3 y luego sumamos, con lo cual eliminaremos la incógnita “y” y obtendremos el valor de “x”. 2x + 3y = 13 9x - 3y = 9 11x = 22 →
∴ x = 2
Conocido el valor “x” se reemplaza en (I) o (II) para determinar el valor de “y”. Reemplazamos en (I): 2(2) + 3y = 13 ∴y=3 Solución:
POR IGUALACIÓN De(I) y (II) despejamos “x” o “y”, en este caso vamos a despejar “y”.
∴ x=2
Reemplazando en A o B obtenemos: y=3
EJERCICIOS RESUELTOS 1. Resuelve: 3(x - 7) + 5 = 2x + 4 Resolución: Primero desaparecemos los paréntesis, multiplicando 3 por (x - 7). 3x - 21 + 5 = 2x + 4 Transponiendo términos: 3x - 2x = 4 - 5 + 21 x = 20
x=2 y=3
Por sustitución De (II) despejamos la variable “y” para luego reemplazarlo en (I). 3x - y = 3 → 3x - 3 = y .... A 2x + 3 y = 13 2x + 3(3x - 3) = 13 2x + 9x - 9 = 13 →
∴x=2
Con “x” conocido, reemplazamos en A y hallamos “y”. y=3
Nicolás Oresme (1323 - 1382) fue probablementeelprimeroenusarelsigno + para la suma en su libro Algorismus proportionum, escrito supuestamente entre 1356 y 1361. Anteriormente “+” se escribía “et” del latín “y”. Después también se uso p (plus).
+
29
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1ro Secundaria
2. Resuelve: (x + 3)2 + 7 = (x + 6) (x + 4)
4. Resuelve: 1 13x 3x 5 + 4 = 9 + 12 2
Resolución: Primero desaparecemos los paréntesis, aplicando productos notables.
Resolución: 2 1 1 1 1
(x + 3)2 + 7 = (x + 6) (x + 4) Se tiene: x2 + 6x + 9 + 7= x2 + 10x + 24
Efectuando el paréntesis: 10x + 2x + 3x + 24 - 30 = 0 15 x - 6 = 0 Despejando “x”: 15x = 6 →x=
30
6 15
2 2 3 3
5. Resuelve:
Resolución:
12 6 3 1 1
18 (3x) + 9(1) = 4(13x) + 3(5) 54x + 9 = 52x + 15 54x - 52x = 15 - 9 2x = 6 x=3
Reduciendo: -8 = 4x Luego: -2 = x
3. Resuelve: 10x + 2x + 3(x + 8) - 30 = 0
9 9 9 3 1
MCM = 2 x 2 x 3 x 3 MCM = 36
Transponiendo y agrupando términos: 9 + 7 - 24 = x2 - x2 - 6x + 10x
Observación: Nota que se procura tener a la incógnita con coeficiente positivo.
4 2 1 1 1
x = 4x2 - 5x + 50 - x Resolución: x+x =
4x2 - 5x + 50
2x = 4x2 - 5x + 50 Elevando al cuadrado: (2x)2 = 4x2 - 5x + 50 4x2 = 4x2 - 5x + 50 0 = -5x + 50 x =
50 5
x = 10
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Raz. Matemático
1
Halla "x":
3 Halla "x": 3x + 18 = 39
Resolución:
Resolución:
Rpta:
2
2x + 3 = x + 5
Rpta:
Halla "x":
4 Halla "x": 3(x - 2) = 27
Resolución:
Rpta:
3(2x + 14) + 20 = 6(3x - 5)- 28 Resolución:
Rpta: 31
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1ro Secundaria 5
Halla "x":
6
Halla "x": 3x - 7 2x + 6 = 5 4
5(x - 1) + 3(x + 2) = 7(x + 1) Resolución:
Resolución:
Rpta:
Rpta:
7.
Hallar "x":
8.
Resuelve: 5(x - 2) + 3x = 2(3x + 4)
9.
Resuelve:
2(5 - x) 4(x - 2) = 2 5
11. Halla “x” en la ecuación: 4(x + 1) = 20
12. Resuelve: x 1 x 1 x 1 1 x - - + = - + 3 3 4 4 5 5 6 6
32
10. Calcula a + b si: 3a - 8 = -b a=b+4
3(x + 1) + 4(x - 2) = 16
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Raz. Matemático
1.
7.
Hallar "x":
a) 1 b) 2 d) 5 2.
3 x+5 = 4 2x - 2 a) 10 b) 13 d) 5
c) 4 e) 3
8.
Hallar "x": 3x + 1 = x + 13
a) 2 b) 4 d) 8
3.
Resuelva la siguiente ecuación:
7x - 12 = 9
9.
Hallar "x":
Halla “x” en la ecuación: 3(x - 1) - 4(5 - x)= 2(6 + x)
a) 3 b) 4 d) -4
c) 6 e) 10
x +1 a+b+1 = x-1 a + b -1
4.
Hallar "x":
5.
10. Hallar "x":
2x - 1 =3 3
a) 2 b) 3 d) 5
c) 4 e) 6
c) a+b e) a - b
3x - 1 = x + 9
a) 1 b) 3 d) 7
c) 5 e) 9
Hallar "x": 11. Resuelva la siguiente ecuación: -3x - 9 + 5x + 10 = 4x + 8 - x
3x - 5 + 2x = 7x + 2
a) 5 b) 3/2 d) 2/7
6.
a) a b) b d) ab
c) 6 e) 10
c) 7 e) 6
Calcula el valor de "x" en:
2x/3 = 4
a) 2 b) 4 d) 8
c) 12 e) -6
c) - 7/2 e) - 2/3
a) -7 b) 7 d) -6
c) 6 e) 5
Hallar "x": 12. Indica el valor que verifica: 3(x - 1) + 4(x + 2) = 26
x x =1 2 3 a) 4 b) 5 d) 7
c) 6 e) 8
a) 1 b) 2 d) 4
c) 3 e) 5
33
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1ro Secundaria
5
Planteo de Ecuaciones
OBJETIVOS: Al finalizar el presente capítulo, el estudiante estará en capacidad de: 1. Desarrollar la capacidad de comprensión de textos (enunciados de problemas) de diversa índole, para su posterior representación simbólica. 2. Desarrollar la capacidad de abstracción cuantitativa, es decir, capacidad para representar simbólicamente las cantidades y las relaciones existentes entre ellas. 3. Enfrentar de manera adecuada las diferentes formas de plantear y resolver una ecuación. 4. Relacionar los diversos problemas con situaciones de la vida cotidiana.
ASPECTOS ELEMENTALES 1. ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN? Es una igualdad conformada por números e incógnitas en la que nuestra finalidad será hallar el valor de la variable.
El ser humano, lógicamente, no escapa a esta característica; sin embargo él ha logrado desarrollar diferentes tipos de lenguaje, como por ejemplo: el lenguaje simbólico, el lenguaje cromático, el lenguaje gestual, el lenguaje matemático, el lenguaje textual, etc. Observa los siguientes gráficos:
2. ¿PARA QUÉ ESTUDIAMOS ESTE TEMA? Para desarrollar y utilizar en forma adecuada la notación y el vocablo, para poder representar acciones y resultados relacionados con el mundo real y la vida diaria con sus situaciones problemáticas. La comunicación es una actividad muy importante para la vida y desarrollo de todo ser, pues así se pueden transmitir situaciones de peligro, de hambre, de malestar, etc. Por ejemplo, los animales, para poder comunicarse, han logrado diferentes tipos de lenguaje, algunos tan sorprendentes y sofisticados como en el caso de los delfines o los murciélagos (que inclusive llevaron al hombre a inventar el radar). Estos animalitos emiten señales sonoras de alta frecuencia, imperceptibles al oído humano. Existen otros lenguajes, quizás, más “sencillos” de comprender como es el caso del perro. Es sabido que al llegar a casa, él te recibirá “saludándote” moviendo la colita. Ésta es un señal de afecto. O también cuando en algún momento al acercanos nos gruñe; ésta es una señal de incomodidad. 34
Indica peligro
Indica proceso correcto
Indica primeros auxilios
Indica servicios higiénicos masculinos
Estos corresponden al lenguaje simbólico. Cuando caminas por la calle y el semáforo está en rojo, para ti indica que puedes cruzar la pista. Cuando vas a la playa y ves una bandera de color rojo, nos indica que el mar está
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Raz. Matemático
demasiado agitado y por lo tanto no debes nadar. Estos son ejemplos del lenguaje cromático.
Lenguaje Textual
Lenguaje Matemático
• La suma de dos
x+y
• La suma de los
a2 + b2
• El cuadrado de la
(a + b)2
• La suma de dos
x + (x + 1)
• El cuádruple de lo que
4x + 20; tengo “x”
• El cuádruple, de lo que
4(x + 20); tengo “x”
números.
cuadrados de dos números.
Indica que algo está correcto
Indica silencio
suma de dos números. números consecutivos. tengo, aumentado en 20.
Indica que algo está incorrecto En el lenguaje matemático hacemos uso de los “números” (que en realidad son los numerales) y de algunas operaciones conocidas (suma: +; resta: - ; multiplicación: x; etc.) Observa los ejemplos: 8 + 2 x 34
;
6-
49 8
2
En el lenguaje textual hacemos uso de las “letras” (que en realidad son grafemas) y las reglas gramaticales. Un ejemplo de este lenguaje es todo lo que has leído anteriormente. Todos estos ejemplos han sido vistos, porque en el tema de hoy relacionaremos dos lenguajes: el matemático y el textual, interpre-tándolos de manera adecuada para la solución de problemas.
PARTE TEÓRICA En este tema no hay una teoría nueva. Todas las herramientas que necesitas para solucionar problemas, tú ya las conoces. Quizás lo más dificultoso que puede haber es interpretar adecuadamente el lenguaje textual y traducirlo al lenguaje matemático. No hay una regla específica para esta “traducción”, sin embargo, aquí tienes unos ejemplos que de seguro te ayudarán.
tengo aumentado en 20.
1. MÉTODO PARA LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA 1. Lee cuidadosamente el problema y estudialo hasta que quede perfectamente clara la situación que se plantea. 2. Identifica las cantidades compren-didas en el problema, tanto las conocidas como las desconocidas. 3. Planteo del problema: Se elige la incógnita por una letra, “x” por ejemplo y se efectúa con ella y con los datos, las operaciones que indique el enunciado.
Resolución de la ecuación Dicha ecuación se resuelve según las reglas que se enunciaron. * Observación: Para el planteo de una ecuación es importante tener en cuenta “la coma”, veamos. Ejemplo: El triple de un número, aumentado en 8
3x + 8 El asterico, para representar la multiplicación proviene de Johann Rahn (1622 - 1676), quien en 1659 lo usó en su libro Teutsche Álgebra.
El triple, de un número aumentado en 8
3(x + 8)
35
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1ro Secundaria
EJERCICIOS RESUELTOS 1. Halla un número, tal que al agregarle 432 obtendremos su triple disminuido en 8.
Según el enunciado: x + 3x = 64 4x = 64 x = 16 Luego; los reunidos son: adultos = 16 niños = 3x16 = 48
Resolución: El número es: n n + 432 = 3n - 8 440 = 2n n = 220 * Si la expresión hubiera sido: “El triple de la diferencia del número con 8”, se simbolizaría así: 3(n - 8)
El número es 220.
4. Halla tres números pares consecutivos que sumados den 216. Resolución: Si llamamos “x” al primero, entonces “x + 2” y “x + 4” serán los otros dos. Según el enunciado: x + (x + 2) + (x + 4) = 216 x + x + x + 6 = 216 3x + 6 = 216 3x = 210 x = 70
2. Una habitación rectangular tiene de largo tres veces su anchura y su perímetro mide 24 m. Halla las dimensiones del rectángulo. Resolución: Sea el rectángulo de ancho "x"
∴ Los números son 70; 72 ; 74
x 3x Dato del problema: 3x + 3x + x + x = perímetro 8x = 24 x=3 Luego, las dimensiones son: largo = 9 ancho = 3 3. En una reunión hay 64 personas, siendo el número de niños el triple de los adultos. ¿Cuántos son niños y adultos? Resolución: Si “x” es el número de adultos, el de niños será 3x.
36
5. Halla dos números que sumados den 300 y restados 200.
Resolución: Llamemos “x” al mayor de ambos, el menor valdrá 300 - x, la diferencia de ambos números es 200 que se formulará por la ecuación: x - (300 - x) = 200 Eliminando el paréntesis: x - 300 + x = 200 2x = 500 x = 250 ∴ El mayor: 250 El menor: 50
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Raz. Matemático
1
La cuarta parte de un número es 20. El triple de dicho número es:
Halla el menor de los números.
Resolución:
Resolución:
Rpta:
2
3 La suma de dos números pares consecutivos es 110.
La suma de un número con su doble, su triple y su cuádruplo es 110. ¿Cuál es el número?
Rpta:
4 La diferencia de dos números es 36. Si al mayor se le disminuye en 12 se tiene el cuádruple del menor. Halla el producto de los números dados.
Resolución: Resolución:
Rpta:
Rpta: 37
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1ro Secundaria 5
El exceso del triple de un número sobre 55 equivale al exceso de 233 sobre el número. Halla el número.
6
Si al doble de un número natural, aumentado en 3 se eleva al cuadrado, resulta mayor en 10 que 111. El cuádruple del número es:
Resolución: Resolución:
Rpta:
Rpta:
7.
El perímetro de un rectángulo es de 84 m. Si el largo excede en 8 m al ancho, ¿cuál es el área del rectángulo?
10. ¿Cuántos buzos tiene Diego si sabemos que al octuplicarlos y restarle ocho, obtenemos siete veces dicha cantidad aumentada en tres?
8.
El número de hombres es cinco veces el número de mujeres. Si en total hay 42 personas entre hombres y mujeres, ¿cuántas mujeres hay?
11. En una fiesta el número de hombres es cinco veces más que el número de mujeres. Si en total hay 42 personas entre hombres y mujeres, ¿cuántos hombres hay?
9.
Si los tres lados de un triángulo miden 2x + 3, 3x - 1 y 4x + 3 centímetros y el perímetro de la figura es de 23 cm, indica el mayor de estos lados.
12. Una casaca cuesta igual que cierto reloj, pero el costo de una camisa es la tercera parte del costo de dicho reloj. Si la casaca y la camisa juntas cuesta 80 soles, ¿cuánto cuesta la camisa?
38
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Raz. Matemático
1.
La suma de dos números consecutivos es 91. Halla el número mayor.
a) 46 b) 71 d) 91
2.
3.
a) 7 b) 9 d) 6
4.
5.
c) 256 e) 250
¿Cuál es el número cuyo óctuplo aumentado en 24 es tanto como su quíntuplo más 60?
a) 13 b) 12 d) 16
6.
c) 8 e) 5
Halla un número, tal que al agregarle 504 obtenemos su triple disminuido en 8.
a) 262 b) 260 d) 200
8.
c) 14 e) 17
¿Qué número es aquel cuyo exceso sobre 17 equivale a la diferencia entre los 3/5 del número y la sexta parte del mismo?
9.
c) S/. 210 e) S/. 220
El dinero que tengo aumentado en su mitad es 45. ¿Cuánto tengo?
a) 45 b) 15 d) 5
c) 57 e) 61
El exceso de 15 sobre 8 es igual al exceso de “A” sobre 2. ¿Cuánto vale “A”?
David y Sonia tienen juntos S/. 480 pero Sonia tiene S/. 60 más que David. ¿Cuánto tiene David?
a) S/. 270 b) S/. 240 d) S/. 180
c) 81 e) 45
La suma de dos números impares consecutivos es 112. Halla el mayor de los números.
a) 53 b) 55 d) 59
7.
c) 30 e) 60
Halla dos números consecutivos, tales que el cuádruple del mayor disminuido en el triple del menor nos da 23.
a) 17 y 18 b) 18 y 19 c) 19 y 20
d) 20 y 21 e) 21 y 22
10. La cola de un lagarto mide 8 cm y el cuerpo mide el triple de su cabeza. Si el lagarto tiene 32 cm de largo, ¿qué longitud tiene la cabeza?
a) 5 cm b) 6 cm d) 8 cm
c) 7 cm e) 12 cm
11. Unpadrecompraparasuhijounacorbatayunacamisa por 300 soles. Si el precio de la camisa es el cuádruplo que el de la corbata, ¿cuánto vale la corbata? a) S/. 60 b) S/. 70 d) S/. 90
c) S/. 80 e) S/. 65
12. La mitad de un número es 29, ¿cuál es el número?
a) 17 b) 34 d) 30
c) 15 e) 60
a) 56 b) 58 d) 38
c) 60 e) 68
39
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1ro Secundaria
6
Edades
OBJETIVOS: 1. Ejercitar la capacidad de resolver los diferentes tipos de ejercicios sobre edades. 2. Utilizar de manera adecuada, las tablas de doble entrada para la resolución de ejercicios sobre edades que involucren a dos o más sujetos. 3. Aplicar métodos prácticos para el planteo y resolución de los ejercicios de manera rápida y sencilla. 4. Consolidar lo aprendido en el tema “Planteo de Ecuaciones”, mediante la resolución de ejercicios que constituyen una continuación de dicho tema ya estudiado.
1. INTRODUCCIÓN
3.2. Tiempos
Debido a que estos problemas sobre edades tienen un texto que debemos interpretar y traducir, cabe plantear la siguiente interrogante: ¿Por qué no se estudiaron este tipo de problemas en el capítulo anterior sobre planteo de ecuaciones?
Es uno de los elementos más importantes, ya que las condiciones del problema ocurren en tiempos diferentes (pasado, presente o futuro) y todo depende de su correcta interpretación. Es decir:
Lo que sucede es que esta clase de ejercicios pueden ser resueltos empleando formas particulares y prácticas muy interesantes y efectivas (incluso sin ecuaciones), y es por ello que ameritan ser tratados en un capítulo aparte en el cual se propondrán otras técnicas de planteo y resolución de problemas. La importancia del tema aquí desarrollado, queda en evidencia por cuanto contribuye a enriquecer nuestro conocimiento de otras técnicas de planteo y resolución de ecuaciones, y consolida las ya estudiadas en el capítulo anterior. 2. OBSERVACIÓN En todo problema sobre edades se pueden distinguir principalmente tres elementos: sujetos, tiempos y edades. Sobre ellos trataremos a continuación. 3. NOCIONES PREVIAS 3.1. Sujetos Son los protagonistas del problema, a quienes corresponden las edades y que intervienen en el problema. Ejemplo: Gisela es cinco años menor que Jorge pero tres años mayor que Janeth.
40
Tiempos
Expresiones
Presente En un problema existe un solo presente. Se le identifica por las siguientes expresiones:
Tengo... Tenemos... Tienes... Hoy la edad... La suma de nuestras edades es..., etc.
Pasado En un problema pueden darse uno o más pasados. Se le identifica por las siguientes expresiones:
Hace... Teníamos... tuvimos ... Tenía, tuve, ... Tenías, tuviste, ... La suma de nuestras edades fue..., etc.
Futuro En un problema pueden darse uno o más futuros. Se le identifica por las siguientes expresiones:
Dentro de... Tendré... Tendremos, Tuviésemos, Tendrás, ... La suma de nuestras edades será..., etc.
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Raz. Matemático
3.3. Edad
Resolución:
La edad representa el tiempo de vida de un sujeto. Entre las edades se establecen determinadas relaciones, llamadas condiciones, las cuales se cumplen en un mismo tiempo o entre tiempos diferentes. Ejemplo:
Presente Pasado dentro de 5
Sara
3x
Tiempo
Edad
Hace 11 años Hoy
15
Dentro de 4 años
30
26
Para facilitar su resolución, clasificaremos los problemas en dos tipos. * Con un solo sujeto Cuando interviene la edad de un solo sujeto.
x+5
x
Por condición del problema: 3x + 5 + x + 5 = 46 4x = 36 x = 9 (Edad de Ángel) Respuesta: 9 años EJERCICIOS RESUELTOS 1. Hoy tengo 20 años, ¿podrías decir qué edad tenía hace seis años y cuántos años cumpliré dentro de ocho años? Resolución: hoy tengo
Ejemplo:
3x+5
dentro de 5
Ángel
Hoy tengo 26 años, pero dentro de cuatro años tendré el doble de la edad que tenía hace 11 años.
Desarrollemos el cuadro:
hace 6 años
Dentro de 20 años tendré tres veces la edad que tenía hace 10 años. ¿Qué edad tuve hace tres años?
dentro de 8 años
20 años
Resolución: Asumiendo la edad actual “x” años: hace 10 años x - 10 pasado
dentro de 20 años
x presente
x+20 futuro
Por condición del problema: x + 20 = 3(x - 10) x + 20 = 3x - 30 20 + 30 = 3x - x 50 = 2x x = 25 ⇒ Edad actual es 25 años. ∴ Hace tres años tuve 22 años. * Con varios sujetos Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos.
Ejemplo:
La edad de Sara es el triple de Ángel y dentro de 5 años ambas edades sumarán 46 años. En la actualidad Ángel tiene:
Tiempo Presente
2. Cuatro veces la edad que tendré dentro de 10 años, menos tres veces la edad que tenía hace cinco años, resulta el doble de mi edad actual. ¿Cuánto me falta para cumplir 60 años? Resolución: hace 5 años x-5 pasado
dentro de 10 años
x presente
x+10 futuro
Por condición del problema: 4(x + 10) - 3(x - 5) = 2x x + 55 = 2x x = 55 (edad actual) ∴ Para cumplir 60 años me faltan: 60 - 55 = 5 años
41
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1ro Secundaria
1
Dado el siguiente esquema, halla 2x.
Lili Malú
3
En el siguiente cuadro de edades: Presente
Pasado Presente 3x 38 26 5x
Iris
n
Futuro 36
Diana
14
4n
calcula la edad de Iris hace 7 años. Resolución: Resolución:
Rpta:
2
Rpta:
En el siguiente esquema, halla "x+y" Pasado Presente Futuro Lolo 12 18 y Coco x 20 30
4
Dentro de 34 años Lizet tendrá 63 años. ¿Qué edad tiene actualmente? Resolución:
Resolución:
Rpta: 42
Rpta:
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Raz. Matemático
5
Yo tengo 9 años y mi mamá, cuatro veces mi edad. ¿Cuántos años tiene mi mamá?
6
Una madre tenía 22 años cuando nació su hija. ¿Cuál será la edad de la madre cuando su hija cumpla 17 años?
Resolución: Resolución:
Rpta:
Rpta:
7.
Si a la edad actual de Sergio se le suma 19, tendría la misma edad de Carla, que tiene 57 años. ¿Cuál es la edad actual de Sergio?
10. Si tengo 28 años, ¿dentro de cuántos años tendré el triple de la edad que tenía hace 18 años?
8.
Si a la edad actual de Pedro le aumentas 16 y le disminuyes 9 te da 24. ¿Cuántos años tiene Pedro?
11. Dentro de 10 años mi edad será el doble de la edad que tuve hace 10 años. ¿Cuántos años tengo?
9.
Patricio este año cumple 19 años. ¿En qué año nació Patricio?
12. ¿Qué edad tengo si la edad que tenía hace 10 años es a la edad que tendré dentro de 50 años como 1 es a 4?
43
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1ro Secundaria
1.
¿Cuántos años transcurrieron desde 1943 hasta el año 2004?
a) 51 b) 54 d) 71
2.
3.
a) 26 años b) 27 años d) 32 años
4.
5.
a) 2018 d) 2015
b) 2019 e) 2020
Si tengo 24 años, ¿hace cuántos años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 16 años? a) 1 b) 2 d) 4
9.
c) 6 e) 8
c) 3 e) 5
Dentro de dos años tendré el doble de la edad que tenía hace ocho años. ¿Cuál es mi edad actual? a) 16 años b) 24 años d) 22 años
c) 15 años e) 18 años
10. Mirtha dice: “Dentro de 16 años mi edad será tres veces la edad que tenía hace dos años”. ¿Qué edad tengo? a) 9 años b) 12 años d) 15 años
c) 14 años e) 11 años
11. Halla la edad de Vanessa si al duplicar su edad para luego aumentarla en 28 años obtenemos el cuádruple de la de ella disminuida en 16 años.
c) 2017 a) 20 años b) 21 años d) 23 años
Kiko tiene 14 años menos que Adrián y ambas edades suman 56 años. Se deduce que: I. Kiko tiene 21 años. II. Kiko tiene 35 años. III. Adrián tiene 18 años. a) Sólo I b) Sólo II d) Sólo III
44
c) 36 años e) 30 años
Julia nació en 1986. ¿En qué año cumplirá 32 años?
6.
c) 29 años e) 30 años
Betty tiene la mitad de la edad de Melanie, Melanie el triple de la edad de Lizet. Si Lizet tiene 8 años, ¿cuál es la suma de las 3 edades?
a) 32 años b) 44 años d) 40 años
8.
c) 102 e) 110
Sally tiene 8 años y María 15 años. ¿Cuál será la suma de sus edades dentro de tres años?
Si tengo 32 años, ¿dentro de cuántos años tendré el doble de la edad que tenía hace 12 años? a) 10 b) 12 d) 4
c) 61 e) 82
Un niño tiene 8 años y 6 meses. ¿A cuántos meses equivale su edad?
a) 98 b) 100 d) 104
7.
c) I y II e) Ninguna
c) 22 años e) 24 años
12. Un padre tiene 28 años y su hijo un año. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el cuádruplo de la de su hijo? a) 6 b) 8 d) 4
c) 10 e) 3
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Raz. Matemático
7
Ordenamiento Lineal, Vertical y Horizontal
OBJETIVOS: a Capacitar al alumno a diferenciar su ubicación vertical y horizontal. a Potenciar su imaginación y creatividad.
En este capítulo nos encontraremos con diversos tipos de problemas en cuya resolución debemos tener en cuenta lo siguiente:
Resolución: Talla
La información que nos da el ejercicio necesita ser ordenada.
Sebastián Ricardo
Se comienza el ordenamiento utilizando la información precisa o la más relacionada.
Mauricio
Debemos verificar que la respuesta final que hallamos cumpla con las condiciones del problema.
Entonces: a) (F) b) (F) c) (F)
Para su mejor estudio, han sido agrupados según la manera de ordenar la información en: Ejemplo 2:
A. Ordenamiento Lineal En este caso se procede a ordenar la información, ubicando los datos en forma horizontal o vertical, según sea el caso. 1. CRECIENTE O DECRECIENTE Ejemplo 1:
Mirtha es 3 cm más alta que Camila. Angela es 2 cm más baja que Camila. Kiara es 5 cm más baja que Mirtha.
Ricardo, Daniel, Mauricio y Sebastián conversan acerca de su estatura. Ricardo: «Soy más alto que Mauricio pero más bajo que Sebastián». Daniel: «No soy el más bajo». Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: a) Mauricio puede ser el más bajo. ( b) Sebastián es el más alto. c) Daniel es más alto que Ricardo.
Daniel
) ( (
) )
Nataly es 3 cm más baja que Camila. Indica verdadero (V) o falso(F), según corresponda: a) b) c) d)
Kiara y Angela son de la misma talla. ( ) Nataly es la más baja. ( ) Camila es la más alta . ( ) Mirtha es la más alta. ( ) 9
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1ro Secundaria
Juntando los datos:
Resolución: Graficando tenemos: 3 cm
Denix
Jam
Max
Alex
Mirtha Camila
Rpta : El volcán Alex es el que está más al este de los demás.
2 cm Angela – Kiara 1 cm Nataly
En conclusión :
a) (V) b) (V) c) (F) d) (V)
2. LATERAL
Izquierda Derecha Oeste Este Occidente Oriente
Ejemplo 3: Cuatro amigos viven en la misma calle, además:
Renzo vive a la izquierda de Johnny. La casa de Johnny queda junto y a la derecha de la de Jorge. Jorge vive a la izquierda de Oscar.
B. ORDENAMIENTO POR POSICIÓN DE DATOS Los datos del problema se ubican de forma vertical en un cuadro o lista, de forma que entre ellos exista una relación que el enunciado nos indicará. Ejemplo 5: Cuatro hermanos viven en un edificio de 4 pisos. Si Jorge vive en el primer piso, Juan Carlos vive más abajo que Ángel y Hugo vive en el piso inmediatamente superior al de Juan Carlos, ¿en qué piso vive Hugo? Resolución:
¿Quién vive a la izquierda de los demás? Resolución: Ubicando según los datos: Casas de: Renzo Jorge
Johnny Oscar
Rpta: A la izquierda vive Renzo.
4.º piso
Ángel
3.er piso
Juan Carlos
2.º piso
Hugo
1.er piso
Jorge
Rpta : Hugo vive en el segundo piso.
Ejemplo 4: El volcán Alex está ubicado al este de Max. El volcán Jam al oeste de Max. El Denix a su vez está ubicado al oeste de Jam. ¿Cuál está ubicado más al oeste? Resolución: Considera: Izquierda de «M» Oeste de «M»
10
Derecha de «M» M
Este de «M»
Ejemplo 6: En una carrera entre cinco compañeros, María llegó en el primer lugar y Lucía en último lugar. Si Juana le sigue a Leticia e Irene está mejor ubicada que Juana, ¿quién ocupa el segundo lugar? Resolución: Los datos los colocamos en un cuadro horizontal según el puesto que llegaron.
Max
Alex
2.º 1.er puesto puesto
Jam
Max
María
Denix
Jam
Irene
3.er puesto Leticia
4.º puesto
5.º puesto
Juana
Lucía
Rpta : Irene llegó en segundo lugar.
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Raz. Matemático
1
Se tiene un edificio con cuatro pisos y en cada piso
3 ENUNCIADO 1:
vive una familia. La familia «Melena» vive un piso más
Julio, Fernando, Jorge, Wilkins y Ricardo con-
arriba que la familia «Guata». La familia «Duende»
versan sobre sus notas obtenidas en el último
vive más arriba que la familia «Pirulín» y la familia
examen de RM. Julio obtuvo tres puntos más
«Melena» más bajo que la familia «Pirulín». ¿En qué
que Jorge pero dos puntos menos que Wilkins;
piso viven los «Melena»?
Jorge obtuvo dos puntos más que Fernando y este último obtuvo tres puntos más que Ricardo.
Resolución: ¿Quién obtuvo la calificación más alta? Resolución:
Rpta:
2
Rpta:
Si Pablo vive en el piso inmediato superior al piso donde vive Erick, ¿cuál de los siguientes enuncia-
4
Del ENUNCIADO 1: ¿Quién obtuvo la calificación más baja?
dos debe ser verdadero? I.
Carlos vive en el tercer piso.
II.
Javier y Erick viven en el primer piso.
Resolución:
III. Erick vive en el tercer piso. Resolución:
Rpta:
Rpta: 11
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1ro Secundaria 5
Del ENUNCIADO 1:
6
ENUNCIADO 2:
Si Fernando hubiera obtenido 12, ¿cuál sería la
Si se sabe que:
nota de Wilkins?
Julio es más alto que Perico pero más bajo que Luciano. Luciano es más alto que Calixto pero más bajo que Renato.
Resolución:
Podrían tener la misma estatura ... a) Renato y Calixto b) Luciano y Perico c) Julio y Perico d) Calixto y Julio e) Calixto y Luciano Resolución:
Rpta:
* 7.
Rpta:
ENUNCIADO 3: Cinco amigos viven en casas contiguas, además: Alberto vive a la derecha de Pedro. Sergio vive entre Pedro y Martín. Fabio vive a uno de los extremos justo al lado de Alberto. Martín vive a la izquierda de Pedro.
9.
Del ENUNCIADO 3: ¿Quién vive al centro?
10. Julio es más veloz que Arturo y Tony es tan rápido como Julio. ¿Quién es el más lento?
Del ENUNCIADO 3: ¿Quién vive a la derecha de las otras cuatro personas? 11. Si Sara es mayor que Maruja y Maruja es mayor que Ricardo, ¿quién es el menor?
8.
12
Del ENUNCIADO 3: ¿Quién vive a la izquierda de las otras cuatro personas?
12. En cierta prueba, Rosa obtuvo menos puntos que María; Laura menos puntos que Lucía; Noemí el mismo puntaje que Sara; Rosa más puntaje que Sofía; Laura el mismo que María y Noemí más que Lucía. ¿Quién obtuvo el menor puntaje?
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Raz. Matemático
1.
Si Percy es más bajo que Eduardo y Percy es más alto que Iván, ¿quién es el más bajo? a) Iván c) Percy d) Eduardo
2.
3.
4.
5.
6.
b) Juan e) No se puede precisar
Gina nació antes que Lina; Maricielo es mayor que Lina pero no que Gina. Por lo tanto: Lina es la mayor. Gina no es la mayor. Maricielo es la mayor. Gina es la mayor. Ninguna es correcta.
En un edificio de cuatro pisos viven cuatro profesores, Shirley, Angélica, Kenyo y Úrsula. Si se sabe que: – Angélica no vive junto a Shirley ni a Kenyo. – Kenyo vive más arriba que Shirley y más abajo que Angélica. ¿Entre quiénes vive Úrsula? a) Angélica y Kenyo c) Kenyo y Shirley d) Vive sola
7.
Del ENUNCIADO 1: El más alto es:
e) No se puede saber
a) Rubén b) Freddy y Rafael c) Freddy d) Rafael e) No se puede saber Juan es más alto que Raúl y Pedro es más alto que Juan. ¿Quién es el de menor estatura?
a) b) c) d) e)
ENUNCIADO 1: Si se sabe que: • Julio es más alto que Perico pero más bajo que Luciano. • Luciano es más alto que Calixto pero más bajo que Renato.
b) Mario
Si Rubén es más alto que Rafael y Rafael es más alto que Freddy, ¿quién es el más bajo?
a) Raúl c) Pedro d) a y b
*
b) Angélica y Shirley e) N. A.
Cinco hermanas viven cada una en un piso diferente de un edificio de cinco pisos. – Yolanda vive en el quinto piso. – Claudia vive en el segundo piso. – Karen vive dos pisos abajo de Yolanda. – Claudia vive un piso arriba de Ángela. ¿En qué piso vive Gianina? a) Primero b) Cuarto d) Quinto
c) Segundo e) Tercero
a) Julio b) Renato d) Calixto 8.
Del ENUNCIADO 1: El más bajo podría ser: a) Perico b) Luciano d) Manuel
9.
c) Perico e) Luciano
c) Renato e) Julio
Del ENUNCIADO 1: Es cierto que: a) b) c) d) e)
Renato es más bajo que Calixto. Luciano es más alto que Renato. Julio es el más bajo. Perico es más bajo que Calixto. Perico es más bajo que Renato.
10. Un libro de Lenguaje es más barato que uno de Razonamiento Matemático, un libro de Matemática es más caro que uno de Razonamiento Matemático, pero no más que uno de Historia. ¿Cuál libro es el más barato y cuál el más caro? a) b) c) d) e)
Matemática y Lenguaje Lenguaje y Raz. Matemático Lenguaje e Historia. Matemática y Raz. Matemático Matemática e Historia.
11. Miguel y Enrique nacieron el mismo día. Luis es menor que Enrique. William es menor que Luis, pero Carlos es mayor que Miguel. Por lo tanto, el menor de todos es: a) Miguel b) Carlos d) Luis
c) Enrique e) William
12. La ciudad X tiene más habitantes que la ciudad W. La ciudad W tiene menos habitantes que la ciudad Y pero más que la ciudad Z. Si X tiene menos habitantes que Y, ¿qué ciudad tiene más habitantes? a) X b) Z d) W
c) Y e) Ninguna
13
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1ro Secundaria
8
Ordenamiento Circular y Test de Decisiones
OBJETIVOS: a Potenciar el razonamiento innovador. a Que el alumno tenga creatividad e ingenio.
Ordenamiento Circular
«Q no se sienta junto a N».
En estos casos se presenta la información indicándose que se ubican los datos alrededor de un objeto, formando así una línea cerrada (circunferencia).
Q (I) Q (II)
P
Los ejercicios de este tema son un tanto complicados y se necesita mayor atención y un minucioso análisis.
M
Ejemplo 1: Seis amigos M, N, P, Q, R y T se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que:
M se sienta junto y a la derecha de N y frente a P.
N «R no se sienta junto a P»; esto descarta la posibilidad (II) y tendríamos: Q R
P
Q no se sienta junto a N. M
R no se sienta junto a P. ¿Entre quiénes se sienta T?
N
Resolución: «M se sienta junto y a la derecha de N, pero frente a P».
Luego, terminando de completar: Q P
R
T
M
P
M N
N 14
∴ Rpta.: T está entre N y P.
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Raz. Matemático
Test de Decisiones
Ejemplo 2: «A», «B», «C», «D», «E», «F», «G» y «H» se sientan alrededor de un mesa circular con ocho asientos, distribuidos simétricamente. B H
E
En algunos casos, la existencia de una diversidad de datos hace necesaria la construcción de una tabla o cuadro, en el cual se relacionan los datos proporcionados marcando las relaciones existentes y descartando las que no cumplen las condiciones del problema. Ejemplo 4:
A
D
A una cita pactada por internet asistieron tres amigos: Manuel, Heinz y César; y tres damas: Paola, Nancy y Sonia. Terminada la cita, cada uno de ellos se fue acompañado por una dama. Heinz salió con la amiga de Nancy, Paola que no simpatiza con Nancy, salió antes que Manuel.
G
F C
Responde : a) ¿Quién se sienta frente a «F»? _________________________ b) c) d)
a) ¿Quién acompañó a Sonia? b) ¿Con quién salió Manuel?
¿Quién(es) está(n) a la derecha de «C»? _________________________ ¿Quién está a la izquierda de «A» y junto a «D»? _________________________ ¿Quién está al frente del que está tres asientos frente a la izquierda de «G»? _________________________
Resolución: Resolveremos de una forma sencilla, analizando los datos y colocándolos en una tabla. «Heinz salió con la amiga de Nancy».
Nancy Paola
Ejemplo 3:
Sonia
Manuel Seis amigos se ubican alrededor de una fogata. Talía no está sentada al lado de Nelly ni de Paúl. Fausto no está sentado al lado de Rosa ni de Paúl. Nelly no está al lado de Rosa ni de Fausto. Denis está junto y a su derecha de Nelly. ¿Quién está sentado a la izquierda de Fausto?
Heinz
X
César «Paola no simpatiza con Nancy».
Resolución: Tomando en cuenta los datos, la ubicación ocupada por los amigos será la siguiente: Talía
Paola
Manuel Heinz
Fausto
Rosa
Nancy
Sonia X
X
X
César
X
«Paola salió antes que Manuel». Paúl
Denis Nancy
Nelly Manuel Rpta.: A la izquierda de Fausto está sentada Talía.
Heinz César
X
Paola
Sonia
X
X
X
X 15
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1ro Secundaria
Finalmente, Nancy salió con Manuel.
Ejemplo 5:
Manuel
X
X
Mónica, Lesly e Isabel viven en tres ciudades diferentes: Loreto, Arequipa y Tumbes; y estudian una carrera distinta: ingeniería, arquitectura y contabilidad, aunque no necesariamente en ese orden.
Heinz
X
X
Se sabe que:
César
X
X
I. Mónica no vive en Arequipa. II. Lesly no vive en Tumbes. III. La que vive en Arequipa no estudia arquitectura. IV. Quien vive en Tumbes estudió contabilidad. V. Lesly no estudia ingeniería.
Nancy Paola
Sonia
Luego: a) Heinz acompañó a Sonia.
a) ¿Dónde vive Lesly? b) ¿Qué estudia Isabel? c) ¿Quién vive en Tumbes?
b) Manuel salió con Nancy.
Resolución: De I, II, III y V:
Sí
No Sí Sí Loreto Arequipa Tumbes Ingeniería Arquitectura Contabilidad X
Mónica Lesly
X
X
X
Isabel
Observamos que Lesly no estudia contabilidad, porque no vive en Tumbes, por lo tanto, estudia arquitectura.
Loreto Arequipa Tumbes Ingeniería Arquitectura Contabilidad
En conclusión :
16
Mónica
X
X
X
X
Lesly
X
X
X
X
Isabel
X
X
X
X
a) Lesly vive en Loreto. b) Isabel estudia contabilidad. c) En Tumbes vive Mónica.
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Raz. Matemático
1
En una mesa cuadrada se sientan cuatro personas:
3 Cuatro hermanas: Nancy, Rosa, Graciela y Nilda
Pedro, Pablo, Wilma y Betty, una en cada
se sientan alrededor de una mesa circular que
esquina. Se sabe que:
tiene cinco asientos.
– Frente a Pedro está Betty.
– Entre Rosa y Graciela hay un asiento vacío.
– Pablo no está a la izquierda de Betty.
– Nilda no se sienta junto a Rosa.
¿Quién está a la izquierda de Wilma?
¿Quiénes se sientan junto a Nancy?
Resolución:
Resolución:
Rpta:
2
Cuatro amigos se sientan alrededor de una
Rpta:
4
En una fiesta se encuentran tres amigos: Darío,
mesa redonda con cuatro sillas distribuidas
Armando y Gerardo. Ellos a su vez son: profesor,
simétricamente. Si se sabe que:
marinero y contador, aunque no necesariamente
– Pilar no se sienta junto a Julia.
en ese orden. El profesor, que es vecino de Gerar-
– Pamela se sienta junto y a la derecha de Julia.
do, siempre va de compras con Darío. Si Gerardo
¿Dónde se sienta Jorge?
fue compañero de estudios del marinero, ¿qué ocupación tiene Darío?
Resolución: Resolución:
Rpta:
Rpta: 17
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1ro Secundaria 5
Patty, Claudia y Rosemary son tres tutoras de
6
Tres amigos: Gílder, José y Beto comentan acerca
primer, segundo y tercer año, aunque no necesa-
del equipo del cual son hinchas: «U», Cristal y
riamente en ese orden. Si:
Cienciano.
– Claudia es tutora de primer año.
– Gilder dice: «No soy hincha de Cienciano ni
– Rosemay no es tutora de segundo año.
de Cristal».
¿Quién es la tutora del salón de tercer año?
– José dice: «Me gustaría que mi equivo tuviera una camiseta como la del Cienciano». – Beto dice: «Me encanta el uniforme rojo de
Resolución:
mi equipo». Si el más inteligente es hincha de la «U», ¿quién es éste? Resolución:
Rpta:
7.
8.
18
Rpta:
Tres personas: Antonio, Fernando y Jorge tienen diferentes aficiones: fútbol, básquet y tenis, y gustan de colores diferentes: azul, rojo y blanco. Si se sabe que: – Fernando no practica tenis. – El basquetbolista no gusta del rojo. – Antonio no practica básquet. – Quien practica tenis gusta del blanco. – Fernando no gusta del azul. ¿Qué afición tiene Antonio? ¿Cuál es el color favorito de Jorge?
9.
Almorzaban juntos tres políticos: el señor Blanco, el señor Rojo y el señor Negro. Uno de ellos llevaba corbata blanca, otro roja y el otro, negra, pero no en el mismo orden. En un corto diálogo, se escucha que: – El señor de la corbata roja dice: «Es curioso, a pesar de que nuestros apellidos son los mismos que los colores de nuestras corbatas, ninguno lleva su correspondiente». – El señor Blanco responde: «Tiene usted razón». ¿De qué color es la corbata del señor Blanco?
10. Seis amigos juegan al póquer alrededor de una mesa redonda. Además se sabe que: – Luis no está sentado al lado de Enrique ni de José. – Fernando no está al lado de Gustavo ni de José. – Enrique no está al lado de Gustavo ni de Fernando. – Pedro está a la derecha de Enrique. ¿Quién está sentado junto y a la izquierda de Fernando?
Tres amigos: Ana, Beto y Carlos, tienen distintas profesiones: profesor, médico y electricista, no necesariamente en ese orden. Si: – Ana es médico. – Beto no es el electricista. ¿Cuál es la profesión de Carlos?
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Raz. Matemático
11. Seis amigos A, B, C, D, E y F se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Además: – D no se sienta junto a B. – A se sienta junto y a la derecha de B y frente a C. – E no se sienta junto a C. ¿Entre quiénes se sienta F?
12. Seis amigos: Ángel, Daniel, Mario, Raúl, Sergio y Tomás se reúnen para cenar en una mesa redonda. Si se sabe que: – Raúl no se sentó al lado de Tomás ni de Ángel. – Mario no se ubicó al lado de Ángel ni de Raúl. – Sergio no se sentó al lado de Tomás ni de Mario. ¿Quién se sentó junto y a la izquierda de Ángel?
1.
3.
En una mesa circular se encuentran distribuidos simétricamente tres niños: Gabriel, César y Freddy. Si Freddy está junto y a la izquierda de César, ¿cuál es el orden en que se sientan los niños empezando por Gabriel y siguiendo el sentido antihorario? a) b) c) d) e)
2.
GFC CGF FCG CFG GCF
Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa redonda en la que hay cuatro sillas distribuidas simétricamente. Sabemos que: • Juan se sienta junto y a la derecha de Luis. • Pedro no se sienta junto a Luis. • José está entretenido viendo cómo los otros tres discuten. Según esto podemos afirmar: a) José y Juan se sientan juntos. b) Luis y José no se sientan juntos. c) No es cierto que José y Juan no se sientan juntos. d) Pedro se sienta junto y a la derecha de José. e) Pedro se sienta junto y a la derecha de Juan.
Cinco personas A, B, C, D y E se sientan alrededor de una mesa circular que tiene cinco asientos. • A se sienta entre B y C. • E se sienta al lado de B. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? I. C se sienta junto a D. II. A se sienta junto a E. III. D se sienta junto a E. a) I y II b) I y III c) II y III d) Ninguno e) Falta información
4.
En una mesa circular seis super héroes (Batman, Robin, Superman, Acuaman, Flash y la Mujer Maravilla) se ubican simétricamente. Si se sabe que: • Superman está a la izquierda de la Mujer Maravilla y frente a Acuaman. • Robin está frente a Batman y no está al lado de Acuaman. ¿Quién está a la izquierda de Flash? a) b) c) d) e)
Robin Mujer Maravilla Superman Batman Acuaman
19
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1ro Secundaria 5.
En una mesa circular, cuatro peleadores (Bruce, Riu, Ken, Chun–Lee) se ubican simétricamente. Si se sabe que: • Ken se sienta frente a Riu. • Bruce se sienta frente a Chun–Lee. ¿Quién está a la derecha de Ken? a) b) c) d) e)
6.
El de Periodismo El de Economía El de Biología El de Arquitectura El de Educación
Seis personas juegan al póquer alrededor de una mesa redonda, Lito no está sentado al lado de Elena ni de Juana. Félix no está al lado de Gino ni de Juana, Pablo está junto y a su derecha de Elena. ¿Quién está sentado a la derecha de Pablo? a) Pablo b) Juana d) Gino
8.
20
c) Félix e) Elena
A una reunión asistieron tres amigos: Marcos, Hugo y Carlos; y tres damas: Pilar, Nora y Sara. Terminada la actividad, cada uno de ellos salió acompañado por una dama. Hugo salió con la amiga de Nora, Pilar, que no simpatiza con Nora, salió antes que Marcos. ¿Quién acompañó a Sara y con quién salió Marcos? a) b) c) d) e)
Hugo y Pilar Hugo y Nora Carlos y Pilar Carlos y Nora N. A.
Cuatro amigos: Ángel, Ian, Mauro y Roberto viven en cuatro distritos diferentes. Además se sabe que: • Ian no vive en Jesús María, pero Roberto vive en Pueblo Libre. • Ángel va a Jesús María a visitar a Mauro. • A Ian le gustaría vivir en San Isidro. ¿Dónde vive Ángel?¿Quién vive en San Borja? a) b) c) d) e)
En la biblioteca de una universidad, 8 alumnos se sientan en una mesa circular, guardando iguales distancias. Todos son alumnos de diversas facultades. El de Ingeniería está frente al de Educación y entre los de Economía y Farmacia, el de Periodismo está a la izquierda del de Educación y frente al de Economía, frente al de Farmacia está el de Derecho; éste a su vez está a la siniestra del de Arquitectura. ¿Cuál de ellos está entre los estudiantes de Biología y Educación? a) b) c) d) e)
7.
Chun – Lee Riu Bruce Chun – Lee o Riu Bruce o Chun – Lee
9.
Jesús María e Ian San Isidro y Mauro San Isidro y Roberto Pueblo Libre y Roberto Pueblo Libre e Ian
10. Cuatro amigos: Ángel, Ian, Mauro y Roberto viven en cuatro distritos diferentes. Además se sabe que: • Ian no vive en Jesús María, pero Roberto vive en Pueblo Libre. • Ángel va a Jesús María a visitar a Mauro. • A Ian le gustaría vivir en San Isidro. ¿Dónde vive Ángel?¿Quién vive en San Borja? a) b) c) d) e)
Jesús María e Ian San Isidro y Mauro San Isidro y Roberto Pueblo Libre y Roberto Pueblo Libre e Ian
a) b) c) d) e)
Faltan datos Bicicleta Automóvil Moto N. A.
a) b) c) d) e)
«A» tiene el mono. «C» tiene el gato. «B» tiene el perro. Faltan datos N. A.
11. Albino, Beto y César viven en distritos diferentes, y se movilizan usando transportes distintos. Los distritos son: La Victoria, Lima, Pueblo Libre y los medios son: bicicleta, moto y automóvil. • Cuando Beto tenga dinero se comprará una moto y se mudará a Pueblo Libre. • Desde que César vive en Lima ya no tiene bicicleta. • El que vive en La Victoria usa 2 automóviles por la distancia. ¿Qué medio usa el que vive en Pueblo Libre?
12. «A», «B» y «C» tienen una mascota cada uno: perro, gato y mono. Si «B» le dice a la que tiene el gato, que la otra tiene un perro y «C» le dice a la que tiene el perro, que debería vacunarlo contra la rabia; entonces:
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Raz. Matemático
9
Inducción Matemática
Consiste en analizar casos particulares para conseguir ciertos resultados que al analizarlos nos permiten llegar a una conclusión, que llamaremos Caso General. Casos Particulares
Inducción
Caso General
(111)2 = 12321 → ∑cifras = 9 = (1+1+1)2
Para 3 cifras :
3 veces
Para 4 cifras: (1111)2 = 1234321 → ∑cifras = 16 =(1+1+1+1)2
Ejemplo:
4 veces
Al sumar números impares consecutivos en forma ordenada, tenemos: S1 = 1 = 1 = 12 S2 = 1 + 3 = 4 = 22 S3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 32 S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
Se concluye que la suma de cifras del resultado de efectuar E sería: ∑ cifras = (1+1+...+1+1)2 = (9)2 9 veces
∑ cifras = 81 S10=1+3+5+7+...+19=100 = 102 Vemos que el resultado de sumar números impares consecutivos es de la forma n2 donde n es la cantidad de números impares que se suman.
Ejemplo 2:
Sn = 1 + 3 + 5 + 7 +... (n sumandos) = n2
Calcula la suma de términos de la Fila (28). Fila (1) 1 Fila (2) 3 5 Fila (3) 7 9 11 Fila (4) 13 15 17 19
Inducción con números Ejemplo 1: 1) Halla la suma de cifras de:
Resolución: Por Inducción:
Para 2 cifras : (11)2 = 121 → ∑cifras = 4 = (1 + 1)2 2 veces
Resolución: Por Inducción: Sumando cada fila: Fila (1) = 1 = 13 Fila (2) = 8 = 23 Fila (3) = 27 = 33 Fila (4) = 64 = 43 ...
E = (1111...111)2 9 cifras
entonces: Fila (28) =
283 =
21952 21
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1ro Secundaria Ejemplo 3:
Calcula el resultado al operar: k=
47 x 48 x 49 x 50 +1
Resolución: Empezamosevaluandovalorespequeñosguardandolaforma original. Nota que son 4 números consecutivos. 1 . 2 . 3. 4 + 1 = 1 x 4 + 1 = 5 x + 2 . 3. 4. 5 +1 = 2 x 5 + 1 = 11 x +
3 .4 . 5 . 6 + 1 = 3 x 6 + 1 = 19 + .. x .
Se concluye que también cumplirá para: 47 . 48. 49 . 50 + 1 x +
= 47 x 50 + 1= 2351 Ejemplo 4:
¿De cuántas maneras distintas se puede leer la palabra KARMINZ? K A A R R R M M M M I I I I I N N N N N N Z Z Z Z Z Z Z Resolución: Observamos que Karminz contiene 7 letras. Para: 2 letras K A A 1 1 N.° de formas de leer: KA = 1 + 1 = 2 = 22–1 Para: 3 letras K A A R R R 1 2 1 N.° de formas de leer: KAR = 1 + 2 + 1 = 4 = 23–1 22
Para: 4 letras K A A R R R M M M M 1 3 3 1
N.° de formas de leer:
KAR = 1 + 3 + 3 + 1= 8 = 24–1 Luego de analizar los casos particulares concluimos: N.° de formas de leer: KARMINZ = 27–1 = 26 = 64 7 letras
Ejemplo 5: Calcula la suma de todos los elementos de la matriz.
1 2 3 4 ... 2 3 4 5 ... 3 4 5 6 ... 4 7 ... . . . 5 . . 6 .. . . . . . 20 21 22 23 ...
20 21 22 23 .. . 29
Resolución: Para 1:
[1] → ∑ = 1 = 13
Para 2:
1 2 2 3
→ ∑ = 8 = 23
Para 3: 1 2 3 2 3 4 3 4 5 → ∑ = 27 = 33 . . . Luego de analizar los casos particulares llegamos a la conclusión que: Para 20:
1 2 3 4 ... 2 3 4 5 ... 3 4 5 6 ... 4 7 ... . . . 5 . . 6 .. . . . . . 20 21 22 23 ...
20 21 22 23 .. . 29
→ ∑ = 203 = 8000
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Raz. Matemático
1
3 Calcula la suma de cifras del resultado en E si:
Vamos a calcular:
E = 50 x 51 x 52 x 53 + 1 E = (333...33)2
usando inducción.
49 cifras Resolución: Resolución:
Rpta:
2
Rpta:
Si:
4
1 =
5
2 = 10
3 =
17
4 = 26
Calcula la suma de cifras del resultado de: B = (999...995)2 101 cifras
Halla:
7 Resolución:
Resolución:
Rpta:
Rpta: 23
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1ro Secundaria 5
Halla la suma de cifras de:
6
Halla la suma de cifras de P:
E = 37 x 222 ... 222
P =(99999999998) . (9999999992)
222 cifras Resolución: Resolución:
Rpta:
7.
Rpta:
Calcula: 22004
9. (3 x 5 x 17 x 257...) + 1 2004 factores
8.
¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra INGENIO en el siguiente arreglo?
I I N I I N G N I I N G E G N I I N G E N E G N I I N G E N I N E G N I I N G E N I O I N E G N I
24
Halla a + b + c.
4 + 4 4 4 4 4 4 4 4 4 . . . . . . 4 4 ..... 4 4 4 4
60 sumandos
a b c
10. Calcula la suma de cifras del resultado de efectuar: P = (1234567)2 – (1234556)2
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Raz. Matemático
11. Calcula f(100) si:
12. Calcula la suma de cifras de:
F(1) = 1 + 1/2 F(2) = 1 + 1/3 F(3) = 1 + 1/4
1.
Si
4.
Halla «x».
x =257
a) 11 b) 15 d) 16
2.
3.
c) 13 e) 14
Calcula la suma de las cifras del resultado de efectuar. M = 997 x 998 x 999 x 1000 + 1
a) 26 b) 25 d) 24
c) 27 e) 28
En un campeonato de ajedrez hay 15 participantes. Si juegan todos contra todos, ¿cuántas partidas se realizarán?
a) 120 b) 105 d) 210
c) 108 e) 180
(11111111)2
Halla la suma de todos los elementos de la siguiente matriz: 1 2 3 4 ... 9 10 2 3 4 5 ... 10 11 3 4 5 6 ... 11 12 4 5 6 7 ... 12 13 . . . . . . . . . . . . . . . 9 10 11 12 ... 17 18 10 11 12 13 ... 18 19
a) 100 b) 1001 d) 3000
c) 500 e) 1000
5.
En qué cifra termina: M = 4 + (10700+1399) ... (103+5) (102+3)(10+1)
a) 1 b) 5 d) 9
6.
Efectúa: 1–2+3–4+5–6+ ... (2003 términos)
a) 998 b) 2003 d) 1002
c) 4 e) 8
c) 1005 e) 2120
25
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1ro Secundaria 7.
Calcula la suma de cifras de F(10) si: F(1) = 32 F(2) = (33)2 F(3) = (333)2 F(4) = (3333)2 a) 80 b) 92 d) 99
8.
c) 90 e) 91
4 + 54 + 454 + 5454 + ..... 100 términos a) 40 b) 54 d) 55
c) 50 e) 45
11. Calcula la suma de cifras del resultado:
Si se observa que: 1 = 22 – 3 x 1 2 = 32 – 4 x 2 3 = 42 – 5 x 3 4 = 52 – 6 x 4 Halla: 15 a) 255 b) 256 d) 25
10. Halla las 2 últimas cifras del resultado de sumar:
A = 555 ... 555 x 999 ... 999
c) 511 e) 1
100 cifras 100 cifras a) 1 b) 90 c) 10 d) 900 e) 100 12. Halla el total de palitos que forman la pirámide.
9.
¿De cuántas formas consecutivas diferentes se puede formar la palabra RAZONA, uniendo las letras en forma consecutiva?
R R A R R A Z A R R A Z O Z A R R A Z O N O Z A R R A Z O N A N O Z A R a) 64 b) 31 c) 63 d) 128 e) 127
26
1
2
3
4 ... 48 49 50
a) 2 500 b) 2 499 d) 2 4 98
c) 5 500 e) 2 050
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Raz. Matemático
10
Fracciones I
OBJETIVOS: a Desarrollar la capacidad de abstracción, en el uso de fracciones. a Familiarizar al estudiante en el manejo adecuado de las fracciones, vía operaciones matemáticas y sus múltiples aplicaciones.
Introducción
Ejemplo:
La noción acerca de la fracción es muy antigua y su remoto origen, se pierde en la bruma de los tiempos. Fracción deriva del latín «fractum», que significa «roto» o «quebrado». En el transcurso de la lucha por la supervivencia, constantemente surgía el problema de repartir la presa capturada entre una determinada cantidad de individuos, dividir los productos agrícolas recogidos de forma mancomunada, etc. Así que, he aquí el surgimiento de las fracciones, acto que nace por necesidad.
Número Fraccionario Se denomina así a todos aquellos números racionales que no representan a números enteros. De acuerdo a la definición, si de notamos por «f» al número fraccionario, tendremos: f=
a b
; donde:
a ≠ b ∀ a ∈ Z
b ≠ 0 ∀ b ∈ Z
Ejemplo: Son números fraccionarios: 2 3 ; ; 3 9
12 ; 14
–3 ; 7
101 7 ; ; ...; etc. 19 –4
FRACCIÓN Al número fraccionario que presente sus dos términos positivos vamos a denominarlo fracción. «El ser humano es como una fracción: el numerador es lo que él realmente es, y el denominador lo que él cree que es. Mientras más grande sea el denominador, más pequeña será la fracción».
Según la noción dada anteriormente, indica cuál de los siguientes números son fracciones y cuáles no lo son: 7 11 8 ; ; ; –3 e 6
2 4 72 11111 –5 ; ; ; ; ; ; 3 5 13 3395 9
π 4
e 3
; 1,101001000100001...;
12 6
Resolución: No son fracciones: 11 ; π ; e 4 Si son fracciones:
8 2 ; ; 6 3
e; 1, 101001000100001... 3 4; 5
72 ; 11111 ; ; 12; 7 –5 13 3395 6 –3 9
Algunos conceptos teóricos 1. FRACCIONES HOMOGÉNEAS (Igual denominador) 2 7 5 ; ; 3 3 3 2. FRACCIONES HETEROGÉNEAS (Diferente denominador) 3 ; 5; 3 7 2 5
Observación Fracción impropia <>Número mixto 1+
1 1 3 =1 = 2 2 2
27
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1ro Secundaria
3. FRACCIÓN PROPIA (numerador < denominador) 3 ; 11 (menores que 1) 8 22
Resolución:
4. FRACCIÓN IMPROPIA (numerador > denominador) 7 ; 5 (mayores que 1) 2 4
3 x 5 x 2 x 63 4 7 9
3 x 5 x 2 x 63 = 4x7x9
3 x 5 x 2 x 63 15 = = 2 4 x 63
5. FRACCIÓN EQUIVALENTE
(
N NK <> D DK
)
Simplificación de Fracciones
donde «K» es natural.
Simplificar una fracción es hallar otra equivalente a ella, pero de términos menores.
3 3x5 = 7 7x5 3 15 = 7 35
Ejemplo: 36 sacamos la mitad a 18 ; cada término <> 24 12
6. FRACCIÓN IRREDUCTIBLE (el numerador y denominador son primos entre sí) 3 ; 4 ; 13 7 9 17
volvemos a sacar la 18 9 ; mitad a cada término <> 12 6
Las componentes no tienen divisores en común. 7. FRACCIÓN DECIMAL
(denominador = 10n, donde «n» es natural)
9 sacamos la tercia a 3 ; cada término <> 6 2
3 ; 7 10 1000 8. FRACCIÓN ORDINARIA
∴
(denominador ≠ 10n) 7 ; 11 23 1237
Número Mixto
Fracción de Fracción Se denomina así a las partes que se consideran de una fracción que se ha dividido en partes iguales, así 5/7 de 4/9 indica que la fracción 4/9 se ha dividido en 7 partes iguales, de las que se han tomado 5.
Es aquel que tiene parte entera y parte fraccionaria. Ejemplos:
Ejemplos: I. Calcula los
3 2 de 7 . 3 13
Resolución:
28
4 7
; 6
2 1 ; 15 5 4
Nota
2 7 14 x = 3 13 39 II. Calcula los 3 de los 5 de los 4 7
36 3 <> 24 2
2 de 63. 9
Recordemos siempre que las palabras, de, del, de los; significan productos.
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Raz. Matemático
CONVERSIÓN DE UN NÚMERO MIXTO A RACCIONARIO Para realizar la conversión, se multiplica el entero por el denominador, al producto se le añade el numerador y se mantiene el mismo denominador.
1 1 2 7 26 7. x x 13 11 1 1
11 121 = 11 14 2 1
Ejemplos: + 5 x + 4 x
3 <> 7
9 <> 13
7x5+3 7 <>
8. 2 1 + 3 x 3 5 7 = + 3x 3 5
38 7
13 x 4 + 9 13 <>
= 7 + 3– 3 10
=2+
61 13
EJERCICIOS RESUELTOS • Resuelve los siguientes ejercicios. Suma y resta.
3= 10
1– 2 1– 2
1 3 23 10
• Divide 7 2 ÷ = 5 3
9.
7 x 5
1. 3 + 12 – 8 = 7 5 5 5 5 2 1 2. + = 3 5
2x5+3x1 = 3x5
3.
3 2 – = 7 5
3x5 – 7x2 = 7x5
4. 1
2 3 2 – + = 3 7 21
5 3 – + 3 7
MCM (3; 7; 21) = 21
35 – 9 + 2 = = 21
5. 2 +
1 = 3
3 2 x = 5 7
10.
1 35
7 5 = 2 3
7 2 ÷ = 5 3
= 21= 2 10
3 = 2
21 =2 10
1 10
7x3 5x2
1 10
2 21
Platón
28 =1 21
7 21
2x3 + 1 3 =
7 =32
3x2 = 5x7
6 35
• Multiplica
6.
13 15
1 3 1 3
1 3
«Que no entre nadie que no sepa geometría» Esta frase estaba a la vista en la entrada de la Academia de Platón y muestra el valor que este hombre asignaba a la matemática a pesar de ser fundamentalmente un estudioso de la filosofía. El acontecimiento espiritual más importante en la vida de Platón fue su encuentro con Sócrates. De todos modos queda claro que no perteneció nunca al círculo de sus amigos más íntimos, ni se consideraba un verdadero discípulo de Sócrates ya que se refería a él como su amigo y no como su hermano.
29
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1ro Secundaria
1
Halla: 1 1 + – 2 3
2 5
3
Rpta:
Rpta:
Halla: 3 2 + + 7 3
Resolución:
Rpta: 30
1 5 14 x x = 5 7 2
Resolución:
Resolución:
2
Halla:
1 3
4
Halla: 2÷ 9 = 5
Resolución:
Rpta:
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Raz. Matemático
5
Halla:
( ) ( )( ) 1 3 5
5 16
6 Halla:
4 8
1
Rpta:
)
1 (7) 3
Rpta:
Halla:
9.
1
Halla:
1 1 1 + – 2 3 4 1 1 1 2 3 4
1– 1 4
8.
1 1 + 2 +3 3 3
Resolución:
Resolución:
7.
(
Halla:
(
( ) ( )( )
)
1 7 14 + ÷ 2 3 6
10. Halla:
(
)(
)
2 1 1 1 ÷ – 3 2 3 6 2 1/2
31
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1ro Secundaria 11. Si:
Halla:
1.
Halla:
1 a= ;b= 4
12. Si:
1 yc=1 2
b+c a+b
a = 3; b = 5
Halla:
4.
Halla: 2 4
2.
Halla:
Halla:
1+ c) 5 e) 7
)
1 1 + 2 3
c) 2/15 e) 5/36
Halla: 1
9 5 x = 2 15
a) 3 b) 4 d) 6
)(
1 1 – 2 3
a) 8/17 b) 3/14 d) 2/17
6. 2x
32
( c) 1/4 e) 7/4
c) 2/5 e) 6/5
Halla:
1 = 4
a) 2/4 b) 3/4 d) 5/4
3.
a) 1/5 b) 3/5 d) 2/6
5. 2–
=
5 6 c) 5/20 e) 13/20
7 5
a+b+c (a – b) c
1 2 + = 4 5
a) 11/20 b) 4/5 d) 3/20
y2c = 5
1 3
a) 4/5 b) 2/5 d) 3/5
c) 1/4 e) 3/4
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Raz. Matemático
7.
Halla:
10. Calcula: 1
1 3/2 1 – 1 1/5 1+ 2
1 1+ 1+4 a) 1/5 b) 3/5 d) 5/6
8.
a) 15/20 b) 2/3 d) 5/3
c) 1/3 e) 20/3
Si:
c) 1/4 e) 6/5
a=
1 ;b= 4
11. Efectúa:
1 yc=1 2
Halla: ab c–b a) 1/5 b) 3/4 d) 2/6
c) 2/5 e) 1/4
1 1 + 2 ÷ 5 4 3 1 1 – 3 6
a) 17/5 b) 27/4 d) 27/10
c) 30/9 e) 24/5
12. Efectúa: 9.
Halla:
Si:
(b – c) (a – c)
1 1 – 2 5 3 ÷ 3 4
a=c
a) 3 b) 2 d) 4
c) 1 e) 0
a) 1/20 b) 1/40 d) 1/10
c) 3/20 e) 5/8
33
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1ro Secundaria
11
Fracciones II
Recordemos...
Ejemplo 2:
Fracción Relación entre una parte de un total y el respectivo total (todo), donde: Todo:
Número de partes en que se divide la unidad (total).
N D
4 7
1 7
1 7
denominador
Parte Todo
Ejemplo 3:
es, son, ...
Partimos una unidad cualquiera (podría ser una manzana, un chocolate, un pan, etc.) en cinco partes iguales y tomamos tres partes. Empleando un rectángulo que represente a dicha unidad, tendremos: El todo < > 5 partes iguales: 1 5
1 8
5 8
Ejemplo 1:
1 5
1 8
1 8
1 8
1 8
1 8
1 8
8 8 partes iguales 8 < > 1
Ejemplo 4: A un bloque cúbico de madera se le hace 6 cortes rectos, resultando así 27 cubos más pequeños. Después, José ha seleccionado cuatro de ellos para un trabajo manual. Gráficamente sería: 4 27
Con respecto al total, lo sombreado representará los tres
34
1 7
1 8
tomamos 3 partes quintos y escribimos 3 5
1 7
Según los datos, la pizza quedará expresada así:
de, del, ...
1 5
1 7
Una pizza se ha partido en ocho partes y se ha echado salsa de tomate sobre cinco porciones.
Podemos usar gráficos para representar fracciones.
1 5
1 7
7 7 partes iguales < > 1 7
Representación gráfica de fracciones
1 5
1 7
numerador
o Fracción =
4 cuatro de ellos. Podemos decir que están aseados los de 7 la cuadra, así: 4 partes iguales
Parte: Número de partes que se consideran. En general: Fracción =
La cuadra de un establo tiene siete cubículos y se ha limpiado
27 partes iguales
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Raz. Matemático
1
Halla en el gráfico, qué parte del total está sombreado:
sombreado:
Resolución:
Resolución:
Rpta:
2
3 Halla en el gráfico, qué parte del total está
Halla en el gráfico, qué parte del total está
Rpta:
4
Halla y señala la opción correcta:
sombreado:
Resolución:
a)
1 4
b)
1 d) 16
1 6
c)
1 8
e) 1 9
Resolución:
Rpta:
Rpta: 35
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1ro Secundaria 5
Completa el gráfico para que represente la
6
¿Cuánto le falta a 1/2 para ser igual a 3?
fracción indicada. Resolución: <>
5 16
Resolución:
Rpta:
Rpta:
7.
¿Cuánto le falta a la talla de Jhon que es 120 3/4 cm para ser igual a la de Rony que es 158 1/3 cm?
9.
8.
¿Cuánto le sobra a 5/7 respecto a 3/7?
10. ¿Qué parte de 20 es 10?
36
Halla los 4/3 de 2/3 de 27.
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Raz. Matemático
11. ¿Cuánto le falta a 3/4 para ser igual al producto de 2/3 con 9/4?
12. ¿Cuánto es los 3/5 de 30 más los 2/10 de 200?
1.
4.
Halla en el gráfico, qué parte del total está sombreado:
a) 2/6 b) 1/4 d) 1/6
2.
a) 1/16 b) 1/8 d) 1/3
c) 1/8 e) 2/7
Completa el gráfico para que represente la fracción indicada.
5.
¿Cuánto le falta a 2/5 para ser igual a 7/8?
a) 1/4 b) 12/40 d) 2/80
c) 3/5 e) 11/40
6.
c) 1/4 e) 1/9
¿Cuánto le sobra a 3 respecto a 1/3?
a) 7/3 b) 2/3 d) 5/3
3 <> 8
3.
Halla y señale la opción correcta:
c) 1/3 e) 8/3
Halla los 3/5 de 20.
a) 15 b) 13 d) 17
c) 19 e) 12
37
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1ro Secundaria 7.
¿Cuánto le sobra a 15/2 respecto a la suma de 1/2 y 1/5?
10. ¿Cuánto le falta a 60 para ser igual a los 2/5 de 400?
a) 7/5 b) 33/5 d) 2/5
8.
c) 2/5 e) 34/5
Si tenía $6000 y perdí $2000, ¿qué parte de lo que tenía perdí?
a) 90
b) 300
d) 80
c) 200 e) 100
11. Si tengo 1/4 de 3/2 de 8/6 de S/.360, ¿cuánto me falta para tener S/.630?
a) 2/3 b) 4/3 d) 5/3
9.
De $1000 pierdo 1/5, luego me roban $150. ¿Cuánto me queda?
a) 400 b) 200 d) 450
38
c) 3/2 e) 1/3
c) 350 e) 650
a) 200
b) 350
d) 550
c) 250 e) 450
12. ¿Qué parte de 3600 es los 2/3 de 600?
a) 4/9
b) 5/9
d) 1/7
c) 2/7 e) 1/9
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Raz. Matemático
12
Tanto por Ciento
NUESTRA ESTRELLA: EL SOL El "Astro del día" parece encontrarse, a primera vista, a la misma distancia que la Luna; en realidad, está unas 400 veces más lejos, a 150 millones de km de nosotros. El disco del Sol y el de la Luna tienen una dimensión aparente muy parecida. Sin embargo, esta gigantesca esfera gaseosa es mucho mayor: tiene un diámetro de 1 400 000 km (109 veces el de la Tierra; 1 300 000 veces su volumen). Si el Sol fuese un balón de fútbol, la Tierra sería un granito de arena, girando a su alrededor a 25 m de distancia. En su mayor parte (98%), es una mezcla de hidrógeno (75%) y de helio (23%). El 2% restante está formado por elementos que abundan en la Tierra: carbono, nitrógeno, oxígeno, etc. Como notarás, la utilización del porcentaje se da mucho en la vida cotidiana y nos muestra resultados claramente entendibles por todas las personas.
¿Qué es el tanto por ciento? El número de partes que se toma, de cien partes en que se divide una cantidad. Es decir, el círculo representa una cantidad, la cual se dividió en 100 partes. "a" partes
El "a" por ciento está representado como se muestra; de 100 partes tomamos "a" partes. Notación: a por ciento = a% Entonces, ¿cómo calculamos el a% de N? de 100 tomamos a Luego, de N tomamos x Por regla de tres: x=
a xN 100
Ejemplos: 1. El 24% de 120 es: 24 x 120 = 28,8 100 2. El 32% de 180 es: 32 x 180 = 57,6 100 3. El 18,4% de 52,5 es: 18,4 x 52,5 = 9,66 100
"Si quieres calcular un porcentaje u s a n d o C A LC U L A D O R A procede de la siguiente manera: Ejemplo: el 22,7% de 16,85. 2 2 . 7 X 1 6 . 8 5 % el resultado será: 3,82495".
39
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1ro Secundaria
OPERACIONES
VARIACIONES PORCENTUALES
1. Suma o resta:
Se refieren a las variaciones o cambios en forma de porcentaje que experimentan algunas magnitudes. Veamos algunos ejercicios que expliquen mejor la idea.
a% de N±b% de N= (a±b)% de N
Ejemplos:
Demostración
1. 20% de N + 35% de N = 55% de N. 1. 2. 42% de X + 64% de X = 106% de X. 3. 72% de P - 18% de P = 54% de P. 4. X + 37%X = 137%X
Si "x" aumenta en 15%, ¿en qué porcentaje aumenta "x2"? Resolución: Si x aumenta 15% de su valor, entonces será: x + 15% x = 115%x ⇒ a x2 le corresponde un aumento de (115%x)2 = 115% x 115%x2
5. X - 39% X = 61%X =
115x115 %x2 100
2. Multiplicación: a x b 100 100 o
a% x b% =
axb % 100
= 132,25% x2 ∴ el aumento será: 132,25 - 100 = 32,25%
Ejemplos:
1. 32%x18%=
2. 45%x16%=
40
8 32 x 100 25
9 18 72 = 100 1250 50
32x18 %=5,76% 100
9 45 x 100 20
4 16 36 = 100 500 25
45x16 %=7,2% 100
En todo análisis de datos, es muy importante que distingamos los valores absolutos (frecuencias absolutas) de los valores porcentuales (frecuencia relativa). Veamos un ejemplo. Compararemos el número de enfermos de SIDA entre el país X (10 000 casos) y el país Y (20 000 casos). ¿Es más la influencia epidemio–lógica en X o en Y? A la vista parece que el país Y tiene la enfermedad más desarrollada. Pero este dato puede ser engañoso, porque si sabemos que el país X tiene 100 000 habitantes y el país Y tiene 2 000 000 habitantes, ¿en qué país crees que la enfermedadesmáspreocupante? Ciertamenteen el país X porque hay 10 000 enfermos entre 100 000 habitantes, lo que significa que el 10% de la población está enferma. En cambio en el país Y sólo el 1% de la población está enferma. Ahora sí podemos comparar los datos.
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Raz. Matemático
2. Si la base de un triángulo aumenta en 30% y su altura en 50%, ¿en qué porcentaje aumenta el área?
Algunas consideraciones especiales: * El A% más de N = (100+A)% de N. Ejemplo:
Resolución:
el 20% más es: (100+20)% = 120%
Método Práctico Área de = triángulo
BASExALTURA 2
Anulamos el dos que divide porque es constante y no interviene en el análisis de la variación porcentual, luego:
* El A% menos de N = (100 - A)% de N. Ejemplo: el 37% menos es: (100 - 37)% = 63% * Aumentos sucesivos % final - % inicial. 100%
ÁREA = BASE x ALTURA
Ahora:
Ejemplo:
Base = 100%
Aumenta sucesivamente 20% y 30%. (100+20)% . (100+30)% - 100% = (120%) (130%) - 100%
después Base = 130% Altura = 100%
120 . 130 100 156x100 = 100 100 100 100 56 = = 56% 100
=
después Altura = 150% Área = 100% después Área = 130%x150% 130x150 = = 195% 100
* Descuentos sucesivos: %inicial - %final 100% Ejemplo:
∴ el aumento es: 195 - 100 = 95%
Porcentajes DEFINICIÓN
Descuenta sucesivamente 20% y 30%. 100% - (100-20)% . (100 - 30)% = 100% - (80%) (70%) = 100 - 80 . 70 = 100-56 100 100 100 100 = 44%
Es el resultado de la aplicación del tanto por ciento a una cantidad determinada. Así por ejemplo, si calculamos el 20% de 50, hacemos: (20%)(50) =
20 . 50 = 10 100
Luego, en general:
P = (a%) de N =
a xN 100 41
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1ro Secundaria
1
Halla el 28% de 3000.
3
Resolución:
Rpta:
2
Halla el 3% del 30% del 90% de 900 000. Resolución:
Rpta:
¿Qué porcentaje es 8 de 32?
4
Si el 20% de un número es igual al 8% del 40% de 150, halla el número.
Resolución: Resolución:
Rpta: 42
Rpta:
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Raz. Matemático
5
Si tuviera 20% más de la edad que tengo tendría
6 Dos descuentos sucesivos del 60% y 40%. ¿A qué
42 años, ¿cuál es mi edad?
único descuento equivale?
Resolución:
Resolución:
Rpta:
Rpta:
7.
Si el peso de Lucho aumenta en 30%, entonces será igual al peso de Giancarlo. ¿Qué porcentaje del peso de Giancarlo es lo que aumentó Lucho?
10. Un comerciante compró 11,3 metros de tela a S/. 33 cada metro. Si luego decide venderla con una ganancia del 20% de lo invertido, ¿cuál es el precio de venta de toda la tela?
8.
¿Cuánto de agua debo añadir a 10 litros de alcohol que es 95% puro, para obtener una solución que sea 50% puro?
11. El peso bruto de un tarro con leche es 480 gramos. Si el peso del tarro vacío es el 13,75% del peso bruto, ¿cuántos gramos pesa la leche?
9.
En una reunión, el 30% del número de hombres es igual al 40% del número de mujeres. ¿Qué porcentaje del total son hombres?
12. Marisol invierte S/. 1240 en un negocio durante un mes en el cual ganará el 23,5% de su inversión. ¿Cuánto tendrá al término de dicho mes?
43
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1ro Secundaria
1.
Si al comprar una casaca me hacen un descuento del 22% y sólo pague S/. 195. ¿Cuál era el precio de la casaca sin descuento? a) 140 b) 130 d) 190
2.
7.
c) 240 e) 250
Una lavadora cuesta $175 y se le hacen dos descuentos sucesivos del 20% y 15% por campaña. ¿Cuál es su nuevo precio?
a) S/. 211,75 b) S/. 221,75 d) S/. 212,25
8.
a) 130 b) 118 d) 140
3.
4.
c) 20 e) 25
Un estudiante ahorra S/. 3,2 cada día durante una semana. Si luego gastó el 25% de lo ahorrado, ¿cuánto le queda? a) S/. 18,60 b) S/. 15,4 d) S/. 16,80
44
c) 12,5 % e) 12 %
Una tela al lavarse se encoge el 10% en el ancho y el 20% en el largo. Si se sabe que la tela tiene 2 m de ancho, ¿qué longitud debe comprarse si se necesitan 36 m2 de tela después de lavado? a) 50 b) 40 d) 15
6.
c) 18 % e) 17 %
Un fabriante reduce en 4% el precio de venta de cada artículo que fabrica. Para que aumente en 8% el total de sus ingresos, ¿en cuánto tendrá que aumentar sus ventas? a) 14 % b) 13 % d) 15 %
5.
c) 119 e) 120
c) S/. 19,8 e) S/. 20
9.
c) S/. 270,15 e) S/. 1643,8
Tenía S/. 510 pero gasté el 20% en un artículo. Luego gasté el 15% de lo que me quedaba en otro artículo. ¿Cuánto gasté en total? a) S/. 163,20 b) S/. 283,20 d) S/. 196,32
El precio de un artículo aumenta en 30% y las ventas disminuyen en 10%. ¿Cuál es la variación los ingresos? a) 30 % b) 19 % d) 40 %
Una persona alquila una habitación por S/. 175, el primer mes. Si el precio del alquiler se incrementa 10% respecto al precio del mes anterior, ¿cuánto pagó por el tercer mes?
c) S/. 144,50 e) S/. 236,10
Alberto tenía S/. 144 y perdió el 13,5% de su dinero. ¿Cuánto tiene ahora?
a) S/. 124,56 b) S/. 142,56 d) S/. 105,60
c) S/. 130,80 e) S/. 102,66
10. Roberto tenía S/. 14,3 y gastó el 30% de lo que no gastó. ¿Cuánto tiene ahora? a) S/. 11 b) S/. 11,4 d) S/. 10,5
c) S/. 9,6 e) S/. 12,3
11. Una obra puede ser terminada en 12 días. Si se ha avanzado 3 días, ¿qué porcentaje representa los días que faltan para terminar la obra? a) 75% b) 80% d) 20%
c) 25% e) 40%
12. ¿Qué tanto por ciento de 7,2 es 1,2? a) 50/3% b) 10% d) 10/5%
c) 20/3% e) N. A.
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Raz. Matemático
13
Operaciones Matemáticas I
OBJETIVOS: a Comprender el concepto de Operación Matemática, desde un punto de vista práctico a Aprender a operar de diversas formas en el conjunto de los números reales. a Conocer las formas prácticas y artificios de resolución de situaciones que impliquen operaciones matemáticas diversas. OPERACIÓN O LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA
En general, en un conjunto cualquiera A;
Consideremos el conjunto de los números naturales: N={0, 1, 2, 3, 4, 5.....}
A c∈ A
Se dice que c es el compuesto de a y b.
Vamos a construir el producto cartesiano N x N
A toda aplicación A x A A se le llama Operación o Ley de Composición Interna
N
N
f
AxA (a, b)
0 1
-
2
- -
3
Establecemos una aplicación:
NxN
-
f (+ )
N
Hacemos corresponder a cada elemento de N x N, que es un par, el elemento de N que sea la suma de los componentes del par: NxN (0, 1) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 1) (1, 3) (3, 1) (4, 4)
f (+ )
Los elementos del conjunto inicial son pares de números naturales obtenidos en el producto cartesiano. Los elementos del conjunto final son números naturales. Todo elemento de N x N tiene una imagen y sólo una en N (aplicación). La suma de números naturales es una operación o Ley de Composición Interna en N
OPERACIÓN O LEY DE COMPOSICIÓN EXTERNA Al mulitplicar un segmento por un número natural se obtiene otro segmento.
N
a
1 2 3 4
x3=
a
3a a
a
Vamos a considerar los conjuntos. S=
a
,
b
,
c
, ...
8
N={0, 1, 2, 3, 4, 5, .....................} 9
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1ro Secundaria
Establezcamos una aplicación de:
Sx N
S
(a, 1)
1a
(b, 2)
2b
(c, 3)
3b
(c, 1)
1c
Adición: (+) Tomando el conjunto de los números naturales, hacemos corresponder a cada par del producto cartesiano N x N un número natural (2, 3)
2+3=5
El símbolo o signo de la operación adición es el (+) que se lee «más». Multiplicación: ( × ) Tomando el conjunto de los números naturales, hacemos corresponder a cada par del producto cartesiano N x N un número natural.
En general, se tiene; AxB
f
(3, 4)
B
A toda aplicación A x B B se le llama Operación o Ley de Composición Externa - La multiplicación de un segmento por un número natural es una operación o Ley de composición externa. Diferencias entre Operación Interna y Externa
El símbolo de la operación multiplicación es ( × ), que se lee «por». En general el símbolo o signo que representa una operación, se le llama Operador. Formas de expresar una operación: * Mediante fórmula
Una operación es una aplicación del producto cartesiano de dos conjuntos en otro. Operación Interna Operación Externa
3a+ 2b Fórmula 1 x 2 = 3(1)+ 2(2)= 7
* Mediante Tabla de Doble Entrada
- Conjunto inicial S A - Conjunto final S
Observa: - En la operación interna se componen entre sí elementos de un conjunto A. - En la operación externa se componen elementos de un conjunto A con elementos de otro conjunto B. - Cuando hablamos simplemente de operaciones, nos referimos a las internas.
Representación de Operaciones Cada operación tiene un signo que representa su cualidad. Veamos algunos: 10
a* b=
- Conjunto inicial A A - Conjunto final A
34=12
Fila de Entrada
* a Columna de b Entrada c d
a a b c d
b b c d a
c c d a b
a*b=b; b*d=a; d*b=a.etc Reto al ingenio Si: (b * a)2=a * b>0 Halle: 54 * 2
d d a b c
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Raz. Matemático
1
3
Si:
x+ 5 = x3-1
Hallar: 8
x = x 2 + x ; ∀x ≥ 0
Hallar:
Si:
Resolución:
16
Resolución:
Rpta:
2
Rpta:
4
Si: A =
A+2 ∀A ≠ 4 A−4 ;
Si: x-2 =
x(x + 1)(x + 2) (x + 3)
; ∀x ≠ −3
Hallar: 7 Hallar: 1 Resolución: Resolución:
Rpta:
Rpta: 11
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1ro Secundaria 5
6
Si:
Si:
2
a+ 2 = a + 2
b-5 = 2b-5
Calcular: 3 + 4 - 5 1
Calcular:
+
-3 - -6
Resolución: Resolución:
Rpta:
7.
Rpta:
Se define en Z+:
10. Se define: b
a = a(a+ 1)
Hallar: 4 3
11. Definimos la operación:
Resolver: x = 930
A =
8.
3
a b= a -(a-b)
Se define en Z+: A =
A + 2 , si A es par 2
A + 3 , si A es impar 2
n = n(n+ 1)
Resolver:
y
9.
= 1806
Calcular: 2 + 7
12. Se define: A
Se define:
B C
a * b = a4 + a + b3
6
12
Hallar: 2 * 4
Hallar: 20 2
=
A2 + C2 ; ∀B ≠ 0 B
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Raz. Matemático
1.
2 Se define: x = (x+ y) – z
y z 2
4
+
Calcular: 3 4
3 1
a) 60 b) 65 d) 69 2.
4
Si: y = y + 2y+ 3 Hallar: 3 a) 85 b) 88 d) 92
3.
Hallar:
c) 28 e) 36
a) 2 b) 4 d) 8
8.
Si: x = x + 1 + x
a) 5 b) 29 2 d) 8
9.
Se define:
x y z = (x + y)2 – z
Calcular:
2 3 3 4 + 4 1
a) 65
d) 68
Se define:
c) 66 e) 72
x −1 x2 + 1
2
b) 64
1 c) 7 3 e) 4
+
Se define en Z :
1 + 2
a) 5
b) 4
d) 1/4
c) 1/3 e) 1/5
a* b=
a + b2 b
Hallar:
(8 * 2) * (2 * 1)
a) 8
b) 6
d) 7
c) 4 e) 9
12. Si: x + 3 = x2 – 1
Resolver: n = 420 a) 1 b) 2 d) 4
e) 69
Hallar:
n = n(n+ 1)
c) 63
x + 2 = x2 + x – 2
1 d) 8
2
c) 7 2 e) 10
11. Si:
Calcular: 2 1 b) 6
c) 6 e) 10
Hallar: 24
10. Si:
Si: x2-1 = x3-4 Hallar: 3 + 15
1 a) 5
6.
Calcular: 5∆(3∆ 2)
1 + 2
x =
Si: x-2 = x + x-2
a) 60 b) 64 d) 68 5.
c) 90 e) 94
Si: A∆B = A B − B A
2
a) 20 b) 24 d) 32 4.
c) 68 e) 70
7.
Hallar: 7
c) 3 e) 5
a) 13
b) 14
d) 16
c) 15 e) 17
13
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1ro Secundaria
14
Operaciones Matemáticas II
MEDIANTE UNA TABLA DE DOBLE ENTRADA: Para este caso, tenemos: Fila de entrada *
a b c d
a a b c d Columna b b c d a de entrada c c d a b d d a b c b * c = ............................ , d * b = ............................ Ejemplo: En el conjunto: A = {1 ; 2 ; 3 ; 4} se define:
Calcular:
Entonces: 2 N ∗ N = 2(N) + N N∗N = N + N N ∗N = N Se observa que, para todo número natural, el resultado es un número natural. Por lo tanto, la operación (∗) es cerrada en N. ¿Cumple con la propiedad de clausura? 2. Se define en el conjunto: A = {a , b , c , d} *
a b c d
a a b c d b b c d e c c d a b
*
1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3
d e a b c
¿Cumple con la propiedad de clausura?
II. CONMUTATIVA
4 1 2 3 4
∀ a, b∈ A ⇒ a∗ b = b∗ a
PRINCIPALES PROPIEDADES DE UNA OPERACIÓN MATEMÁTICA Se define en el conjunto "A" una operación representada mediante el operador *.
El orden de los elementos en la operación no altera el resultado.
Ejemplos:
I. CLAUSURA
1. 2.
∀ a , b∈ A ⇒ a ∗ b∈ A
Se toma un par de elementos del conjunto A y se realiza con ellos la operación definida. Si el resultado de dicha operación pertenece al conjunto A, entonces se dice que la operación cumple la propiedad de clausura o también que la operación es cerrada en el conjunto A. Ejemplos: 2 1. Se define en N: a ∗ b = 2a + b Análisis: a y b son N 14
En N se define la adición : 5 + 8 = 8 + 5 ⇒ la adición es conmutativa en N. En N se define la sustracción: 6 − 9 ≠ 9 − 6 ⇒ la sustracción no es conmutativa en N.
EN TABLAS 3. ¿Lasiguienteoperaciónenlatablaesconmutativa? *
a b c d
a a b c d b b c d a c c d a b d d a b c
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Raz. Matemático
CRITERIOS DE LA DIAGONAL 1. Se ordena la fila y la columna de entrada. En el mismo orden y a partir del vértice del operador. 2.
Se traza la diagonal principal (desde el vértice del operador).
3.
Se verifica que a ambos lados de la diagonal y en forma simétrica queden elementos iguales.
4.
Si en todos los casos los elementos son iguales, la operación es conmutativa.
5.
CRITERIO 1. Se verifica que la operación sea conmutativa. 2. En el cuerpo de la tabla se buscan: una fila igual a la fila de entrada y una columna igual a la columna de entrada. Donde se intersecten, se encontrará el elemento neutro "e". IV. ELEMENTO INVERSO −1
a∈ A , ∃ a
/ a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e
Si al menos en un caso uno de los elementos es diferente, la operación no es conmutativa.
¿La siguiente operación en la tabla es conmutativa? *
1 2 3 4
2 3 4 1 2 4 1 2 3 4
Ejemplos:
Se define en R: a ∗ b = a + b − 2
Calcular: 3−1 ; 4 −1 ; 6−1
Obs: a–1 elemento inverso de "a"
1 2 3 4 1 3 4 1 2 3
III. ELEMENTO NEUTRO (e):
OBSERVACIÓN IMPORTANTE 1.
Se verifica que la operación sea conmutativa.
2.
Se busca el elemento neutro "e".
3. ∃ e ∈ A / ∀ a ⇒ a ∗ e = e∗ a = a
Aplicamos la teoría del elemento inverso.
Resolución:
e : elemento neutro
Verificando si es conmutativa. i) En la adición, el elemento neutro es el cero (0) ii) En la multiplicación el elemento neutro es el uno (1)
a×1 = a
a=a
Ejemplos:
+ 1. Se define en el conjunto de los Z el operador " ∗ "
Calculando "e": a ∗ e = a
a∗b = a + b + 3
Calcular: el elemento neutro.
Calculando " a EN TABLAS
−1
":
a ∗ e−1 = e
1. En la siguiente tabla: *
1 3 5 7
EN TABLAS
1 3 5 7 1
2. En la siguiente tabla, hallar el elemento neutro.
3 5 7 1 3 5 7 1 3 5
*
1 2 3 4
7 1 3 5 7
1 3 4 1 2 2 4 1 2 3 3 1 2 3 4
⇒e=
4 2 3 4 1
−1 −1 −1 −1 Hallar: E = (3 ∗ 5 ) ∗ (1 ∗ 7) ∗ 7
Obs: a−1 = elemento inverso de "a" 15
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1ro Secundaria
1
Se define A = {0,1, 2,3} ; en la operación:
3
De la tabla anterior: Hallar “x” en:
* 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
(3 * x)*(2 * 0) = (3 * 3) * 0 Resolución:
Calcular: E =(1*2)*3 Resolución:
Rpta:
2
Rpta:
Se define en A = {0,1, 2,3} ; la operación: Calcular: D =
4
(1 ∗ 3 ) ∗ ( 0 ∗ 2 ) (1 ∗ 2 ) ∗ 0 *
1 2
3 4
2 4 1 3
3 1 2 4
1 3 4 2
4 2 3 1
Hallar “x” en: (1 * 2)* x = (2 * 4)* 3 Resolución:
1 4 1 3
Resolución:
Rpta: 16
De la tabla anterior:
Rpta:
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Raz. Matemático
5
Se define en A = {0,1, 2,3} ; a operación:
6
Del problema anterior: La operación representada por “ ∗ ”; ¿es con-
Calcular: ( 2* 4) * 3
(1* 0)
mutativa?
*
1 2
3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 4 1 2
2 3 4 1
Resolución:
4 1 2 3
Resolución:
Rpta:
7.
Rpta:
Se define la operación, en el conjunto: A = {a, b,c,d}
# a b c d
a a b c d
b b c d a
c c d a b
d d a b c
Calcular: F = {a# b} # ( c# d )
8.
Las siguientes operaciones; ¿son conmutativas?
•
a b = a + b − 20
•
× y=
9.
Hallar el elemento neutro en cada caso:
* a b c
a a b c
b b c a
c c a b
∆ 1 2 3 4
• a ∗ b = a + b − 4
• a b = a + b − 5
• M N =
MN 2
11. Se define:
×y + 10 3
10. Hallar el elemento neutro en cada caso:
a b c d
a a b c d
b b c d a
c c d a b
d d a b c
Calcular: a−1, b−1,c−1,d −1
........................
........................
12. En el conjunto A = {1, 2,3,4} se define la operación representada por “∇”, mediante la tabla:
1 1 2 3 4
2 2 3 4 1
3 3 4 1 2
4 4 1 2 3
1 2 3 4
1 3 4 1 2
2 4 1 2 3
3 1 2 3 4
4 2 3 4 1
Calcular: x = (1−1 ∇ 2−1 ) ∇ ( 3−1 ∇ 4 −1 ) −1
−1
17
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1ro Secundaria
•
Se define en A = {2,4,6,8}; la operación * 2 4 6 8
1.
2 6 8 2 4
4 8 6 4 2
6 2 4 8 6
8 4 2 6 8
E = ( 4 ∗ 6 ) ∗ ( 8 ∗ 2) ∗ 4
c) 4 e) 6
De la tabla anterior; Calcular:
c) 8 e) 32
• Hallar el elemento neutro _______________
• La operación; ¿es conmutativa? __________
•
Se define en A = {1, 2,3,4}; la operación:
9.
2 3 4 1 2
4 1 2 3 4
a) 0 b) 1 d) 3
3 4 1 2
4 1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 1
De la tabla anterior; calcular:
b) 4
c) 1 e) 3
D=
( 2# 4) # (1# 3) (1# 2) # 3
a) 3/4 b) 2/4 d) 2/5
c) 1/5 e) 5/6
11. De la tabla anterior; hallar "x" (2#x)#3 = (4#1)
K = (1−1 # 2−1 ) # 4 −1
E = ( 2−1 # 3−1 ) # 4 −1
1 2 3 4
10. De la tabla anterior; calcular:
De la tabla anterior; calcular:
De la tabla anterior; calcular:
4
d) 2 c) 8 e) 12
3 4 1 2 3
3
E = (1 # 2)#4
Se define en A = {1, 2,3,4}; la operación: 1 2 3 4 1
# 1 2
a) 5
a) 0 b) 1 d) 3
18
De la tabla anterior; calcular: [(2*4)*8] * [(4*6)*4]
# 1 2 3 4
6.
Si a b = a + b − 10
De la tabla anterior; hallar “x” en: (6*2)* x = 6*4
a) 4 b) 6 d) 10
5.
e) N.A.
8.
c) 3/4 e) 2/5
a) 2 b) 4 d) 16
•
c) Tal vez
De la tabla anterior; calcular:
a) 1/2 b) 2/3 d) 1/3
4.
b) No
d) Quizas
( 2 ∗ 8 ) ∗ ( 4 ∗ 6) D= ( 4 ∗ 2) ∗ 8
3.
De la tabla anterior, ¿la operación es conmutiva? a) Si
a) 2 b) 3 d) 5 2.
7.
c) 2 e) 4
a) 5 b) 4 d) 2
c) 3 e) 1
12. De la tabla anterior; hallar "x" (1#3)#2 = (4#1)#x.
−1
c) 2 e) 4
a) 1 b) 2 d) 4
c) 3 e) 5
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Raz. Matemático
15
Sucesiones Numéricas I
OBJETIVOS: • • •
Desarrollar habilidades analíticas; inductivo – deductivas utilizando secuencias ordenadas de números. Establecer leyes de formación para poder predecir cualquier elemento. Tener un conocimiento básico de las principales sucesiones númericas, así como entender algunos conceptos aplicables a la solución de situaciones que impliquen conjuntos bien ordenados.
DEFINICIÓN Una sucesión numérica es una lista de números que tienen un primer número, un segundo número, un tercer número, y así sucesivamente, llamados términos de la sucesión. Cada término tiene un orden asignado, es decir, que a cada uno le corresponde un número ordinal (n). Sea t1, t2, t3,...... Los términos de una sucesión, entonces a cada uno le corresponde un valor “n”, según su posición. Así:
2 Ejemplo: Si tn=n +1 Entonces:
n = 3 → t 3 = 32 + 1 = 10
n = 2 → t 2 = 22 + 1 = 5
t1 → n = 1 ( primero ) t 2 → n = 2 ( segundo ) t 3 → n = 3 ( tercero )
En matemática superior se define la sucesión de números (reales) como una función analítica cuyo dominio es los números naturales y su rango los números reales. En notación matemática. f; →
LEY DE FORMACIÓN Es una expresión matemática, que relaciona la posición o lugar de cada término y el término en sí, de una sucesión, con la cual se puede obtener cualquiera de los términos de la sucesión. La posición se expresa mediante el número ordinal n. La ley de formación también es llamada; fórmula de recurrencia, término general o término enésimo, y se representa como tn.
n = 1 → t1 = 12 + 1 = 2
n = 4 → t 4 = 4 2 + 1 = 17
La sucesión será: 2,5,10,17,... Observación: El término serie, en matemática, se refiere a la suma indicada de los términos de una sucesión numérica. ALGUNAS SUCESIONES NÚMERICAS IMPORTANTES •
Sucesión Aritmética o Polinomial:
Es aquella sucesión ordenada en la que cada término a partirdelsegundoesigualalanterioraumentadoenuna variable o constante denominada razón. Si la razón es constantesellamaprogresión.Todasucesiónaritmética o polinomial tiene por ley de formación un polinomio, pudiendo ser lineal, cuadrática, cúbico, etc.
19
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1ro Secundaria
Sea la Sucesión polinomial:
•
Sucesión de Lucas
Es la sucesión en la forma más general de la sucesión de fibonacci.
t1 , t2, t3, t4, t 5, t6, t7,... r1
r2 r3 r4
r5 r6 ...
k1 k2 k3 k4 k5
“P” términos
n
1+ 5 1− 5 tn = + 2 2
m1 m2 m3 m4... a
a
n −1
n −1
a
n −1
n −1
t n = t1 C0 + r1 C1 + k1C2 + ... + aCp −1
Sucesión de Tribonacci o Ferenberg
Es aquella en la que cada término a partir del cuarto es la suma de los tres anteriores.
1, 1, 2, 4, 7, 13, .... a
•
Sabiendo que:
Cb =
•
a! ( a − b ) !b!
Sucesión Geométrica Es una sucesión ordenada en la cual el primer término y la razón son diferentes de cero, y cada término a partirdelsegundoseobtienemultiplicandoalanterior por una razón variable o constante. Si la razón es constante se denomina progresión geométrica. Sea la sucesión geométrica.
•
Sucesión Armónica
Es quella cuyos recíprocos (inversos) de sus términos forman una progresión aritmética.
Ejemplo:
t1 , t2 , t3 , t4..... q
1
q
2
q
3...
Si q1 = q 2 = q 3 = .... = q (Cte. Razón Geométrica) t n = t1( q ) n −1
•
1, 1, 2, 3, 5, 8,..........
20
n n 1 1 + 5 1 − 5 − 5 2 2
∗
2 2 2 2 ; ; ; ;... 3 7 11 15
∗
1 1 1 1 ; ; ; ;... 3 5 7 9
•
Sucesión de Números Primos
Formada por los números naturales que poseen solo 2 divisores.
Sucesión de Fibonacci Es aquella en la que cada término a partir del tercero es la suma de los dos anteriores.
tn =
n
2, 3, 5, 7, 11; 13; 17;.........
Reto al Ingénio
¿Cuál es el término que continua, en la sucesión?
8; 27; 125; 343; 1331; ....
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Raz. Matemático
1
Hallar el término que continua:
3
Hallar el número que sigue:
• 2, 5, 8, 11, .......
2, 4, 12, 48, ...
• –2, –7, –12, –17,.....
Resolución:
Resolución:
Rpta:
2
Rpta:
4
Hallar x:
Hallar x: 3, 6, 12, 21, 33, x, ...
14, 22, 32, 44, x, ... Resolución: Resolución:
Rpta:
Rpta: 21
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1ro Secundaria 5
6
Hallar x+y
Calcular el siguiente término:
1, 0, 0, 1, 3, x, y, ... Resolución:
Resolución:
Rpta:
7.
Rpta:
¿Qué término continua? 3, 5, 8, 13, 21, 34,...
8.
2, 1, 1, 2, 8,....
Hallar el sexto número triangular
10. Hallar el término que sigue: 3, 8, 15, 24, 35,...
11. Calcular el número que sigue: 0; 1; 1; 2; 4; 7; 13; 24; ...
9.
Hallar el noveno número cuadrado.
12. Hallar el término que sigue: 4 8 4 16 , , , ,... 7 11 5 19
22
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Raz. Matemático
1.
Hallar los dos siguientes números, en:
7.
Calcular el número que sigue:
2, 8, 5, 20, 17, 68, 65, ... a) b) c) d) e) 2.
20, 35, 58, 91, 136, ....
260 ; 257 257 ; 262 250 ; 512 130 ; 256 420 ; 210
a) 110
b) 130
d) 180 8.
27, 9, 18, 6, 12, 4, x, ... a) 2
b) 4
d) 16 a) 540 b) 512 d) 620
c) 530 e) 650
9.
a) 8 b) 9 d) 11
e) 32
1, 2, 8, 8, 64, 32, x a) 510 c) 10 e) 12
b) 412
d) 600
a) 32
b) 34
d) 45
91, 82, 73, 64, x, y, .... c) 101 e) 103
c) 700 e) 512
10. Hallar el número triangular de posición 9.
Hallar x+y
a) 99 b) 100 d) 102
c) 8
Hallar "x".
Calcular el número que sigue: –21, –16, –9, 0, ...
4.
e) 195
Hallar x:
Hallar x: 1, 2, 8, 8, 64, 32, x
3.
c) 150
c) 33 e) 36
11. ¿Qué término continua? 4; 3; 1; –2; ...
5.
Hallar el número triangular de posición 8. a) 20 b) 25 d) 32
6.
b) –4
d) –7
c) –5 e) –8
12. ¿Qué término continua?
¿Qué término continua? 171, 120, 78, 45, 21,.... a) 2 b) 4 d) 8
a) –6
c) 30 e) 36
c) 6 e) 10
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; ... a) 20
b) 21
d) 23
c) 22 e) 24
23
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1ro Secundaria
16
Sucesiones Numéricas II
DEFINICIÓN Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos (pueden ser números, letras, figuras o una combinación de los casos anteriores), de modo que cada uno ocupe un lugar establecido, tal que se pueda distinguir el primero, el segundo, el tercero y así sucesivamente; acorde a una ley de formación o fórmula de recurrencia.
En los siguientes ejercicios encontrar el número que sigue :
SUCESIONES NUMÉRICAS Una sucesión de números reales es una función f : N → R definida en el conjunto N = {1 , 2 , 3 , ...} de números naturales y que va tomando valores en el conjunto R de los números reales. Un valor f(n) ∀ n ∈ N, será representado por t n llamado término enésimo o término general de la sucesión.
4) 2 ; 1 ; 1 ; 2 ; 8 ; ...............
N 1 2 3 n
f
R t1
t2 t3 tn
Deducimos que hay una correspondencia de "uno a uno" entre los números naturales a partir de 1 y los términos de la sucesión. Indicamos que una sucesión se puede considerar como el rango de una función cuyo dominio es el conjunto N. Ejemplo: La sucesión para la cual tiene como términos : 6 ; 11 ; 16; 21 ; ....
1) 2 ; 3 ; 7 ; 15 ; 28 ; ............ 2) 7 ; 9 ; 12 ; 17 ; 25 ; ............ 3) 0 ; 5 ; 18 ; 47 ; 100 ; ..............
5) 1 ; 2 ; 4 ; 4 ; 7 ; 8 ; 10 ; 16 ; .............. SUCESIONES LITERALES Se toma como base 27 letras del alfabeto; no se consideran las letras dígrafas "CH" y "LL". En los siguientes ejercicios hallar la letra que sigue: 1) A ; C ; F ; J ; ............ 2) A ; D ; I ; O ; ............ 3) C ; F ; H ; K ; M ; .............. 4) Hallar el par de letras que sigue : CE ; GI ; KL ; ÑN ; ........... SUCESIONES ALFANUMÉRICAS Hallar el término que sigue en cada caso : 1) 1B ; 1B ; 2C ; 3D ; 5F ; 8I ; ............ SUCESIONES GRÁFICAS ¿Qué figura sigue en cada caso?
para n: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ........ (números ordinales) Se tiene: t n : 6 ; 11 ; 16 ; 21 ; ........(términos de la sucesión) 24
1)
;
;
;
; .......
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Raz. Matemático
2)
16
3)
36
;
;
;
64
B. SUCESIÓN DE SEGUNDO ORDEN:
; ........
;
; ......
ANALOGÍAS Y DISTRIBUCIONES En cada uno de los ejercicios mostrados, encontrar el número que falta : 1) 4
(7)
3 (8) 6 (...) 2) 2
1 4
TRIÁNGULO DE PASCAL
1
112= 121
5
1
113= 1331
1
114= 14641
1 1
3
9
125
2
12
16 2 8
1
2
1
7
3 4
5 6
1 2 3
10
21
5 1
6
15
1 4
10 20
35
1= 1= 20 3
1+ 1= 2= 21 8 13 21
1+ 2+ 1= 4= 22
1
1+ 4+ 6+ 4+ 1= 16= 24
5 15
1 6
35
1+ 2+ 3+ 1= 8= 23
1
21
7
1
−4
1 3
3
1 1 2
1
111= 11
2
7
110= 1
2 6
4)
4 ; 7 ; 12 ; 19 ; 28 ; ......
Sucesión de Fibonacci
7 (50) 1 5 (...) 25
5
3. Encontrar el término que ocupa el lugar 20.
3
(9)
3)
NÚMEROS TRIANGULARES
−2 Fig (1) Fig. (2)
6 4
Fig. (3)
Fig. (4)
5
Número de puntos:
2
7
3
5)
6
1
;
11
1
; 1 + 2 ; 1 + 2 + 3 ; 1 + 2 + 3 + 4 ; ......
51 6
7
6)
1
2
8 3
1× 2 ; 2
4 6
CÁLCULO DEL TÉRMINO ENÉSIMO A. SUCESIÓN DE PRIMER ORDEN:
1. Encontrar el término que ocupa la posición 20.
5 ; 8 ; 1 1 ; 14 ; .......
2. Encontrar el término que ocupa la posición 100
2 ; 9 ; 16 ; 23 ; ........
3
;
2× 3 ; 2
6 3× 4 2
;
;
10 4×5 2
; ......
; ......
CURIOSIDAD ACERCA DE LA SUCESIÓN DE FIBONACCI Piensa en dos números cualesquiera y construye, empezando con esos números, una sucesión como la de Fibonacci, es decir en la que cada término sea la suma de los dos anteriores. La suma de los diez primeros términos de tu sucesión será once veces el séptimo término. Esto sucede en la sucesión de Fibonacci y en cualquier otra que se construya de la misma manera. 25
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1ro Secundaria
1
Hallar el término enésimo, de:
3
Encontrar el término general, de:
3, 5, 7, 9, ...
–2, 2, 6, 10, 14, ...
Resolución:
Resolución:
Rpta:
2
Rpta:
Hallar la ley de formación, de:
4
Hallar la ley de recurrencia, de:
3, 2, 1, 0, –1, ...
–1, 1, 3, 5, ... Resolución:
Resolución:
Rpta: 26
Rpta:
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Raz. Matemático
5
Encontrar la ley de formación, de:
6
Hallar la ley de formación, de:
2, 6, 12, 20, ...
3, 6, 12, 21, 33, ...
Resolución:
Resolución:
Rpta:
7.
8.
Rpta:
Encontrar el término enésimo, de: 11, 15, 22, 32, 45, 61,..
Hallar la ley de formación, de: 2, 3, 10, 23, 42, 67,..
9.
10. Hallar la ley de formación, de:
Encontrar el término general de los números triángulares.
1, 4, 9, 16, 25,
11. Encontrar el término enésimo, de:
• 2, 4, 8, 16, ...
• 1, 2, 4, 8 ....
12. Hallar la ley de formación, de:
• 8, 27, 64, 125, ...
• 1, 8, 27, 64, ...
27
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1ro Secundaria
1.
Hallar la ley de formación, de:
7.
2, 16, 54, 128, ...
5, 8, 11, 14, ... a) 3n + 2 b) 2n + 3 d) 4n + 1 2.
a) 2 - n2 b) 3n2 d) 4n4
c) n +2 e) 3n +4 8.
Hallar la ley de recurencia, de:
3.
7, 4, 1, – 2, – 5, ...
4.
c) 3n +4 e) 12 – 5n
c) 4n + 2 e) 2n
Hallar la ley de recurrencia de:
Hallar el término enésimo de:
a) 2n + 3 b) 2n d) 2n + 1
c) 2n – 1 e) 2n + 4
a) 4n – 2 b) 4n – 4 d) 4n
c) 4n – 6 e) 2n
2, 6, 12, 20, ...
Hallar el término enésimo, de:
a) n(n + 3) b) 2n d) n(n + 1)
c) n(n+ 2) e) 4n
12. Hallar la ley de formación, de:
1, 0, – 3, –8, – 15, ...
28
9.
e) n2 – 3n+2
11. Encontrar la ley de formación de:
a) 3n2 – n+1 b) 2n2 + 3n+1 c) 2n2 – 3n+4 d) 4n2+2 e) 2n2–5
a) 2n – n2 b) 3n – 2n2 2 d) 4n – 2n
d) n2+2n – 1
–2, 2, 6, 10, 14, ...
6, 15, 28, 45, ...
6.
c) 2n2 – n – 1
10. Encontrar el término general, de:
2, 7, 12, 17, 22, ...
5.
b) n2 – 2n+1
3; 5; 7; 9; ...
Hallar el término general, de:
a) 5n – 3 b) 3n – 5 d) 7n – 5
Hallar el término general, de:
a) 2n2 – n+1
c) 4n + 5 e) 2n + 1
Encontrar el término enésimo, de:
a) 9 – 2n b) 2n + 3 d) 10 – 3n
c) 2n3 e) 5n2
2, 7, 14, 23, ...
–1, 3, 7, 11, 15, ... a) 4n – 3 b) 3n – 4 d) 4n – 5
Encontrar la ley de formación de:
1, 4, 9, 16, 25, c) n – n2 e) –n2
a) n2 b) (n + 1)2 2 d) 3n
c) 2n2 e) 5n
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Raz. Matemático
17
Series
OBJETIVOS: a Entender el concepto matemático de serie y algunos métodos razonados para calcular su valor. a Conocer algunas series importantes, y su aplicación en la resolución de problemas tipo.
DEFINICIÓN Es la suma indicada de los términos de una sucesión numérica. • Considerando: t1, t2, t3, ... tn; una sucesión finita de numeros reales, entonces la suma indicada: t1+t2+t3+t4+......+tn; se llama serie numérica finita y al resultado se le llama valor o suma de la serie. • Considerando: t1, t2, t3, .... tn, ... ; una sucesión infinita de números, la serie infinita será: t1+t2+t3+t4+...+tn+..; y su valor se puede calcular sólo si es convergente.
Serie Geométrica Sea la serie: t1+t2+t3+t4+...+tn; siendo Sn el valor de la suma de los “n” primeros términos, entonces, dado que proviene de una sucesión geométrica, de la forma: t1 , t 2 , t 3 , ...., t n q1 q2
con q1 = q 2 = q 3 = ... = q qn − 1 q −1
Se cumple que: Sn = t1 Donde: sumar
ALGUNAS SERIES IMPORTANTES Series cuyos términos se generan con polinomios Son aquellas series que expresan la suma indicada de los términos de una sucesión polinomial. Estas sucesiones alcanzan en algún momento una fila de diferencias que es constante. Cuando en la primera fila de difirencias se obtiene valores constantes toma el nombre de progresión aritmética. En general se tiene: Sn= t1 + t2 + t3 + t 4 + t5+ ...... + tn a1 a2
a4 a5 ...
a3
c1
b4 ....
b3
b1 b2
c2
c3
......
...
d1 d2 cte.cte. n
..... ... ....
n
n
n
2
3
4
Sn = a1C 1 + b1C + C1C + d1C + ... a
Sabiendo que: C b =
a!
( a − b ) !b!
q3
t1: Primer término de la serie n: Número de términos que se desea q: Razón geométrica (cte.)
Principales Series Notables • De los primeros números naturales. 1+2+3+4+5+...+n= •
De los primeros números pares. 2+4+6+8+10+...+2n= n(n+1) n ( n + 1)
•
De los primeros números impares: 1+3+5+7+9+...+ (2n – 1) = n2
2
• De los cuadrados de los primeros números naturales: 12 + 22 + 32 + 4 2 + .... + n 2 = n ( n + 1)( 2n + 1) 6
•
De los cubos de los primeros números naturales:
n ( n + 1) 13 + 23 + 4 3 + ... + n3 = 2
2
Reto al ingenio ¿Cuántas pelotas de tenis se necesitan, para fomar con ellas, una pirámide de base cuadrada en la que cada lado de la base tiene 100 pelotas? 29
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1ro Secundaria
1
Hallar la suma total.
3
Calcular la suma total. S = 1 + 3 + 5 + 7 + ...
S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 81
80términos Tér min os 80
Resolución:
Resolución:
Rpta:
2
Rpta:
Hallar el valor de la serie:
4
Calcular el valor de la serie: S= 8 + 12 + 16 + 20 + 21...
S = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 302
Resolución:
Rpta: 30
Tér min os 4040términos
Resolución:
Rpta:
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Raz. Matemático
5
Hallar el valor de la serie:
6
Calcular la suma total:
S= 3 + 7 + 11 + 15 + ...
S= 3 + 7 + 11 + 15 + ... 60 min os 64Tér términos 64 términos
60 términos Tér min os 60
Resolución:
Resolución:
Rpta:
7.
8.
Rpta:
10. Hallar la suma total:
Calcular el valor de la serie:
S= 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + ...
S= 3 + 9 + 27 + 81 + ...
50términos Tér min os 50
80términos Tér min os 80
Calcular la suma de los 50 primeros números pares.
11. Encontrar el valor de “S”:
9.
Hallar el valor de la serie: 3
3
2
3
S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 40
3
S = 1 + 6 + 15 + 28 + 45 + ... 80 Tér min os 80 términos
12. Calcular la suma de los 50 primeros números triángulares
31
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1ro Secundaria
1.
Hallar el valor de la serie:
7.
S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 600
a) 180 000
S = 13 + 23 + 33 + ... + 803
b) 181 000
c) 180 200
d) 180 300
2.
Hallar la suma total:
a) 10 497 600 c) 10 537 800 d) 11 428 700
e) 1 800
Calcular el valor de la serie:
8.
S = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 500
b) 11 567 800 e) 12 425 700
Encontrar el valor de “S”: S = 21444442444443 + 6 + 12 + 12 + 30 + . . . 20 términos
a) 61 750
b) 62 750
c) 63 750
d) 64 250
3.
Calcular la suma total:
a) 3 000 b) 3 050 d) 3 060
e) 63 150
9.
Calcular la suma total: s= 1+ 3+ 5+ 7+ ...
S = 1 + 3 + 5 + 7 + ...
80términos términos 80
50términos Tér min os 50
a) 2 000
c) 3 080 e) 3 090
b) 2100
c) 2 400
d) 2 600
e) 2 500
a) 6 400 b) 900 d) 2 400
c) 6 300 e) 3 400
10. Hallar la suma: 4.
Hallar la suma total: S= 1 + 2 + 3 + ... + 91
1 + 2 + 4 + 6 + . . . + 225 a) 1 365
b) 1 356
c) 1 635
d) 10 101
a) 4 186 b) 4 024 d) 5 034
c) 2 054 e) 2 412
e) 2 000 11. Calcular "S":
5.
Calcular “S”:
S = 1 + 4 + 7 + 10 + ... + 61
S = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 225 a) 9 450
b) 9 455
c) 9 555
d) 12 769 6.
e) 9 050
a) 634 b) 240 d) 600
12. Hallar "S": s= 1+ 2+ 4+ 8+ 16+ ...
Hallar “S”: 2
2
2
20 20 términos términos
2
S = 1 + 2 + 3 + . . . + 10 a) 380
b) 350
d) 385
32
c) 630 e) 631
c) 355
a) 220–1
e) 390
d) 219 + 1
b) 220 + 1
c) 220 e) 220 – 2
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Raz. Matemático
18
Conteo de Figuras CONTEO DE FIGURAS
CONCEPTO Consiste en determinar la máxima cantidad de figuras de cierto tipo, que se encuentran presentes en una figura dada. MÉTODOS DE CONTEO • Conteo Directo Consiste en contar las figuras que nos piden, utilizando la habilidad visual. • Conteo de Schoenk Consiste en asignar números y/o letras a todas las figuras simples, posteriormente se procede al conteo creciente y ordenado de las figuras formadas por 1 pieza, 2 piezas, 3 piezas, etc. • Conteo por Inducción Consiste en analizar casos particulares a la figura dada (figuras análogas) tratando de encontrar una ley de formación coherente, para luego poder generalizar. Mediante este método se obtienen fórmulas para aplicar en cualquier caso particular análago. Reto al Ingenio Indique el máximo número de cuadrados en: 1 2 3
2396 2397 2398
9
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1ro Secundaria
1
Hallar el número total de triángulos
3
¿Cuántos cuadriláteros que tienen por lo menos un asterisco hay, en total?
Resolución:
Rpta:
2
Resolución:
Rpta:
¿Cuántos cuadriláteros hay en total?
4
¿Cuántos segmentos hay en total? 1
Resolución:
Resolución:
Rpta: 10
Rpta:
2
3
4
n
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Raz. Matemático
5
6
Hallar el número total de triángulos
¿Cuántos cuadriláteros hay en total?
Resolución:
Resolución:
Rpta:
7.
Rpta:
¿Cuántos ángulos agudos hay en total?
8.
¿Cuántos sectores circulares hay en total?
10. En la figura:
¿Cuántos octógonos hay en total? ¿Cuantas letras“ ”puede encontrar como máximo? 11. ¿Cuántos triángulos hay en total?
9.
¿Cuántos hexágonos hay en total?
12. En la figura: 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
2 3 4 5 6
¿Cuántos cuadriláteros hay en total? ¿Cuántos cuadrados hay en total?
11
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1ro Secundaria
1.
a) b) c) d) e) 2.
7.
Hallar el número de triángulos en total 20 21 22 23 24
Hallar la diferencia entre el número de cuadriláteros y triángulos.
a) b) c) d) e)
100 106 112 108 110
Hallar el mínimo número de cuadriláteros 8.
Hallar la diferencia entre el número de cuadriláteros y cuadrados.
a) b) c) d) e)
a) 8 b) 5 d) 11 3.
c) 4 e) 12
¿Cuántos cuadriláteros que tienen por lo menos un asterisco hay?
9.
540 100 430 410 440
Hallar el máximo número de cuadriláteros.
a) b) c) d) e) 4.
22 23 24 25 26
a) 10 b) 11 d) 13
10. ¿Cuántos cuadriláteros que tienen por lo menos un asterisco hay?
Hallar el total de triángulos a) b) c) d) e)
1 800 1 820 1 830 1 850 1 840 1 2 3 4
60
5. ¿Cuál es el número total de exágonos? a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 6.
2
3
4
a) 4 090 b) 4 095 d) 4 800 12
a) b) c) d) e)
25 20 23 26 N.A.
*
*
90
c) 4 080 e) 4 900
*
11. ¿Cuál es el número total de cuadriláteros? a) b) c) d) e)
25 26 29 27 N.A.
12. Hallar el total de triángulos
¿Cuántos segmentos hay en total? 1
c) 12 e) 14
a) b) c) d) e)
30 40 31 41 50
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Raz. Matemático
19
Sucesiones Literales SUCESIONES LITERALES
En este tipo de sucesiones es necesario conocer el orden de las letras del abecedario; y considerar las letras CH y LL cuando por lo menos aparezca una de ellas como dato del problema. •
Orden de las letras sin considerar la CH ni LL.
A
→ 1
J
→ 10
R
→ 19
B
→ 2
k
→ 11
S
→ 20
C
→ 3
L
→ 12
T
→ 21
D
→ 4
M → 13
U
→ 22
E
→ 5
N
→ 14
V
→ 23
F
→ 6
Ñ
→ 15
W → 24
G
→ 7
O
→ 16
X
→ 25
H
→ 8
P
→ 17
Y
→ 26
I
→ 9
Q
→ 18
Z
→ 27
•
Orden de las letras considerando la CH y LL
A
→ 1
J
→ 11
R
→ 21
B
→ 2
K
→ 12
S
→ 22
C
→ 3
L
→ 13
T
→ 23
CH → 4
LL → 14
U
→ 24
D
→ 5
M → 15
V
→ 25
E
→ 6
N
→ 16
W → 26
F
→ 7
Ñ
→ 17
X
→ 27
G
→ 8
O
→ 18
Y
→ 28
H
→ 9
P
→ 19
Z
→ 29
I
→ 10
Q
→ 20
Se observa que toda sucesión literal puede transformarse en una sucesión numérica por correspondencia ordinal. Generalmente se utiliza como patrón de orden el abecedario, pero puede utilizarse otros patrones, como por ejemplo las iniciales de los días de la semana. Reto al ingenio ¿Qué representa la siguiente sucesión literal? O, S, S, S, S, S, O 13
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1ro Secundaria
1
¿Qué letra sigue?
3
¿Qué letra sigue?
I, H, G, M, L, K, P, O, Ñ,....
C, P, E, R, G, T, I, ...
Resolución:
Resolución:
Rpta:
2
Rpta:
¿Qué letra continua?
4
¿Qué letra continua?
C, E, H, J, M, .... Resolución:
Rpta: 14
A, F, J, M, ... Resolución:
Rpta:
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Raz. Matemático
5
6 Hallar la letra que continua:
¿Qué letra sigue? D, G, J, ... Resolución:
P, M, I, ... Resolución:
Rpta:
Rpta:
7.
¿Qué letra sigue? Y; W; S; N; ......
10. Hallar las dos letras que continuan: CJ; DG; FD; ...
8.
¿Qué letra sigue? • U, D, T, C, ... • P, S, T, C, ....
11. Hallar la letra que sigue: C, B, CH, F, E, G, ...
9.
¿Qué letra sigue? E, H, K, ...
12. Hallar el término literal que sigue: B; D; H; N; ...
15
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1ro Secundaria
1.
Hallar la letra que continua:
7.
C, G, K, Ñ, R,...
Rpta: _______________________________
2.
¿Qué letra continua?
O, R, U, ...
Rpta: _______________________________
8.
¿Qué letra sigue? E, H, L, P,...
G, E, F, D, E, C, D, .....
Rpta: _______________________________
3.
Hallar la dos letras que continuan:
Rpta: _______________________________
9.
¿Qué letra sigue? Q, O, P, J, H, I, C, ...
AL; BM; CM; DJ; ...
¿Qué letra continua?
Rpta: _______________________________
Rpta: _______________________________ 10. ¿Qué letra continua?
4.
¿Qué letra continua?
CH, D, F, I, LL, P,...
C,E,I,Ñ,...
Rpta: _______________________________
5.
Hallar la letra que continua:
11. Hallar el término literal que sigue:
G, F, E, D, CH, C, ...
Rpta: _______________________________
6.
Hallar las tres letras que siguen:
Rpta: _______________________________
A; C; F; J; ...
Rpta: _______________________________
12. Hallar el término literal que sigue: D CH A ; D C B ; D B C ;
16
Rpta: _______________________________
A; B; D; H; ....
Rpta: _______________________________
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Raz. Matemático
20
Introducción a la Topología TOPOLOGÍA
La figuras planas y espaciales estudiadas en el sistema Euclideano se distinguen cuidadosamente por sus diferencias de tamaño, forma angularidad, etc. Para una figura dada tales propiedades son permanentes y por lo tanto, podemos hacer preguntas razonables acerca de la congruencia y la semejanza. Suponga que estudiamos “figuras” que pudiesen estirarse, doblarse o deformarse, sin que se rompan. La topología, una geometría importante de siglo XX, hace justamente eso. Las cuestiones de topología conciernen a la estructura básica de los objetos, en lugar de su tamaño o disposición. Por ejemplo una pregunta topológica común tiene que ver con el número de agujeros en un objeto, una propiedad estructural que no cambia durante una deformación. Usted no puede deformar una pelota de goma, para obtener una banda de goma, sin romperla, es decir, sin perforarla. Así los dos objetos no son topológicamente equivalentes. Por otro parte, una rosca y una taza de café son topologicamente equivalentes, ya que una podría estirarse para formar la otra, sin cambiar las propiedades estructurales básicas. Dos ejemplos de superficies topológicas son las banda de Möbius y la botella de Kelin. La banda de Möbius es una superficie con un solo lado, a la que se le dio ese nombre en honor de August Ferdinand Möbius, un discípulo de Gauss. Hay una rama de la química, conocida como topología química, que estudia las estructuras de las configuraciones químicas. Un avance reciente en esta área fue la síntesis de la primera banda de Möbius molecular, que se formó al unir los extremos de una tira doble de átomos de carbono y oxígeno. La topología en la Medicina El tripanosoma es un parásito que causa la enfermedad del sueño en los seres humanos. El material genético de este parásito contiene un gran número de círculos en lazados. Si se introduce el fármaco Bromuro de etilo en la células , estos círculos se entrelazan fuertemente y el parásito no puede reproducirse. Así, la topología se emplea para curar la enfermedad del sueño. Reto al Ingenio El matemático inglés Hamilton trasladó hace 100 años el siguiente problema de “una línea” a una tela de araña: “Una araña tejió una red artística, que se parecía mucho al dibujo que le presentamos. La red esta compuesta por 20 puntos de unión. La araña esta sentada en el punto 1 y comienza a caminar. Recorre su red y pasa una sola vez por cada uno. Habiendo recorrido 5 estaciones: 1 – 2 –3 – 9 –14, la pregunta es ¿Cómo continua? (La araña tiene que tocar todos los nudos, pero no necesariamente todos los hilos) 20
16 9 14
8 19
15 2
13
3
11
5
1 7
10
4
12
17
6
18
17
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1ro Secundaria
1
¿Cuál de las figuras asignadas con letras, es
3
topológicamente igual a la mostrada?
A) Resolución:
•
D)
Una figura se dice que es recorrible, si es posible dibujarla de un solo sin levantar la punta del lápiz del papel.
Resolución:
Rpta:
2
bles?
B)
C)
¿Cuántas de las figuras mostradas son recorri-
Rpta:
¿Cuáles de las siguientes figuras se puede dibu-
4
¿Cuántos colores se necesitan como mínimo
jar del un solo trazo sin levantar la punta del
para pintar esta figura, de modo que dos regio-
lápiz del papel?
nes que comparten un lado común no estén
coloreadas del mismo tinte?
(1)
(2)
(3)
Resolución: Resolución:
Rpta: 18
Rpta:
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Raz. Matemático
5
Isaac está a punto de ingresar por la puerta A,
6 Aqui mostramos los planos de ciertos departa-
a este centro histórico para recorrer todas sus
mentos. ¿Cuál o cuáles de ellos se prestan para
calles y salir por la puerta B. ¿Será posible que
pasar por todas las puertas de una sola vez, em-
recorra todas las calles de una sola vez?
pezando y terminando afuera?
B
A
(1)
(2)
(3)
Resolución: Resolución:
Rpta:
7.
Rpta:
¿En cuáles de las siguientes figuras se pueden dibujar una curva simple y abierta que pase exactamente una vez a cada uno de los segmentos de recta de las figuras? (Una curva es simple si no se cruza a si misma y los segmentos de recta son los que unen dos puntos sucesivos)
i
8.
ii
9.
Indicar cuál (es) de las siguientes figuras no se puede dibujar de un solo trazo:
(I)
iii
La figura muestra una curva simple cerrada y dos puntos A y B. Respecto a los puntos
(II)
(III)
10. Respecto a la figura, podemos afirmar que se podrá “trazar” si:
B
A
19
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1ro Secundaria
11. Las siguiente figura puede dibujarse en un trazo continuo, sin cruzar las líneas y levantar el lápiz del papel.
12. La siguiente figura podrá recorrerse de un sólo trazo siempre y cuando se empiece por el punto.
M
1.
N
(II)
(I)
¿Cuántas de las siguientes figuras requieren mas de dos colores para ser pintadas de modo que 2 regiones con un lado común no estén del mismo color?
B
A
P
R
S
Q
3.
¿Cuántos puntos hay fuera de la figura?
D
C
Rpta: ________________________________
Rpta: ________________________________
2.
¿En cuál de las habitaciones debemos empezar a recorrer los ambientes de esta residencia de una planta, para pasar por todas las puertas una sola vez y terminar fuera?
4.
Coquito había dibujado en la pizarra curva simple y cerrada, Iván borró una parte de la figura y sólo quedó la parte central. Si el punto A estaba dentro de la figura, entonces el punto B estaba
1
2
20
4 5
6
7 9
3
A
8 10
B
11
Rpta: ________________________________
Rpta: ________________________________
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Raz. Matemático
5.
¿Cuál de los puntos está dentro de la figura?
9.
Se podra dibujar de un solo trazo sin levantar el lápiz, ni repasar?
Rpta: ________________________________
A
10. Se podra dibujar de un solo trazo sin levantar el lápiz, ni repasar? B
Rpta: ________________________________
6.
¿Cuántos puntos impares hay en cada una de estas figuras?
Rpta: ________________________________
7.
¿Cuál de las siguientes se puede dibujar con un sólo trazo?
(I)
Rpta: ________________________________
11. Se podra dibujar de un solo trazo sin levantar el lápiz, ni repasar?
(II)
(III)
Rpta: ________________________________
8.
Se podra dibujar de un solo trazo sin levantar el lápiz, ni repasar?
Rpta: ________________________________
Rpta: ________________________________
12. Se podra dibujar de un solo trazo sin levantar el lápiz, ni repasar?
Rpta: ________________________________
21
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1ro Secundaria
21
Área de Regiones Sombreadas
ÁREAS REGIÓN Geométricamente se considera región a la reunión de los puntos que conforman una figura plana. Dependiendo del tipo de figura plana pueden ser poligonales, circulares, etc.
h
Superficie La superficie se refiere a la forma. Hay superficie rectangulares, cuadradas, circulares, etc.
S= b.h 2
b
Área Es la medida de una superficie. El área se refiere al tamaño. Medida de la Superficie Para efectuar la medida de una superficie se toma como unidad un cuadrado que tenga por lado, la unidad de longitud. En la práctica, el cálculo del área de una figura se efectúa indirectamente.
S= a.b senα 2
a α b
h
S= b.h 2
a
a
2 S= a 3 4
b a
a
S= ab 2 b
22
P= a+ b+ c 2 a
c
b
S= p(p-a)(p-b)(p-c)
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Raz. Matemático
Áreas de Regiones Cuadriláteras
Áreas de Regiones Circulares
a
a
a
2
S= a
a
S= pR
R
2
Sector Circular
b a
a
S= a.b R
b
2
S= R α 360º
α
Romboide o Paralelogramo. R
h
S= b.h
Segmento Circular
b
R
Trapecio
2
a
S= R (pα-180ºsenα) 360º
α
h
S= (a+ b)h 2
b
R
Trapecio Circular
Rombo
S= ab 2
a
S= pα (R2 - r 2) 360º
α r R
b
Reto al Ingenio Tres hermanos han heredado un campo cuadrado que se dividen como indica la figura, pues en A existe un pozo que todos quieren usar. ¿Dónde deben estar M y N para que las tres superficies; ABM, AMCN y AND tengan igual área?
Trapezoide
x α
y
S= x.y senα 2
A
B
M C
N
D 23
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1ro Secundaria
1
Hallar el área del cuadrado:
3
Calcular el área de la región sombreada, en la figura de centro “O”:
6
O
5
6
4
Resolución: Resolución:
Rpta:
2
Rpta:
Calcular el área de toda la figura mostrada. Si
4
Calcular el área del siguiente triángulo:
todos los cuadrados son iguales y además el área “S” es igual a p.
6
S
Resolución: Resolución:
Rpta: 24
Rpta:
61
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Raz. Matemático
5
Si: AB=BC y DC=DE. Calcular el área de la
6 En la figura el área del círculo es 9p. Calcular el área de la región sombreada.
figura sombreada:
B
12
B
C
D
O A
E
C
A
D
Resolución: Resolución:
Rpta:
7.
Rpta:
En la figura mostrada, calcular el área:
10. En la figura, ABCD es un cuadrado y los semicírculos son construidos en cada lado del cuadrado. Si AB es 2. ¿cuál es el área de la figura entera?
7m
B
A
10m 8m
8.
En la figura, si AC=10m y h1 – h2=7m. Calcular el área. B
C
D
11. Calcular el área de la región sombreada: 4
D
O 2
60°
h C
A
9.
Hallar el área de la región sombreada: 6 O
12. En la figura el área del círculo es 4p. Calcular el área de la región sombreada. B
C
O
3 A
D
25
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1ro Secundaria
1.
Hallar el área de la región sombreada, en la figura de centro “O”.
5
30° O
Rpta: _______________________________
2.
Si “O”es el centro del círculo, calcular el área de la figura.
3.
Hallar el área de la figura sombreada:
O
3
7
36p 12p 24p 36p2 12p2
B
C
D
60°
ABCD es un cuadrado
Rpta: _______________________________
9.
Hallar el área de la figura sombreada:
3
2
O
Hallar el área del triángulo ABC, si BC=15: A
5
A
6
6
5.
8.
256 64 128 16 32
5
Calcular el área del sector circular. a) b) c) d) e)
4.
14π 49π 7π 14π2 49π2
Calcular el área de toda la figura mostrada. Si todos los cuadrados son iguales y además el área de la región sombreada es 16p. a) b) c) d) e)
7
a) b) c) d) e)
7.
C
B
a) 30 b) 45 d) 90
c) 75 e) 60
Hallar el área del cuadrado:
Rpta: _______________________________
10. Si MR=RS y TS=TU, calcular el área de la región sombreada: a) b) c) d) e)
20 R 40 400 60 M 100
20 T
S
U
11. Hallar el área de la figura sombreada:
8
7 7
a) 56 b) 28 d) 30 6.
Hallar el área del cuadrado: a) b) c) d) e)
26
c) 15 e) 64
25 9 25 18 36
10
Rpta: _______________________________ 12. Hallar el área de la figura sombreada: A
5
B
ABCD es un cuadrado
5
C
3
4
D
Rpta: _______________________________