Colegios Colegios Preunivers Preuniversitarios itarios “BRYCE” “BRYCE” – “JOYCE” “JOYCE” – “FREUD” “FREUD” MATEMÁTICO
RAZ. MATEMÁTICO PORCENTAJE DEFINICIÓN: Se llama porcentaje a una clase especial de fracci fracción ón de denomi denominad nador or consta constante nte e igual igual a 100. 100. El porcentaje expresa cuántas partes con respecto a un total de 100 partes se han tomado de un todo. Simbólicamente el porcentaje se representa de la siguiente manera: a
RAZ.
porcentaje que es la suma de los porcentajes parciales aplicada al mismo número.
a % de N + b % de N + c % de N +...+ z % de N = = (a+b+c+......+z) % de N 3.-Operar el llamado “porcentaje de porcentaje” es decir aplicación ininterrumpida de varios porcentajes es lo mismo que aplicar sucesivamente la definición. a % del b % del c % del....del z % de N= =
a
b .
c .
z
100 100 100
.. ....
100
N
.
4.-El porcen porcentaj taje e es utiliz utilizado ado con mucha mucha frecue frecuencia ncia en situaciones de índole comercial, como las consignadas a Se obse observ rva a que que el símb símbol olo o “%” “%” se tran transf sfor orma ma en el continuación: denominador 100, mientras que la palabra “de” significa a) Venta con ganancia: multiplicación. a % de N
=
·N
100
Pv = Pc + ganancia
Nota I: Todo Todo número número puede ser expres expresado ado como como un porcentaje, multiplicado dicho numero x 100%.
b)
Venta con pérdida:
Ejemplos: 1 < > 1 × 100% 4
< > 4 × 100% < > 400%
1
1 <>
2
c)
2 <>
× 100% < > 50%
Bn = Recaudación – gastos
× 100% < >
d) Venta con descuento:
40%
5
Pv = Pf – descuento
Nota II: Las palabras “de”, “del”, o “de los” matemáticame matemáticamente nte significan significan multiplicaci multiplicación ón y la palabra palabra “es” significa igualdad. Ejercicios de Aplicación 1.
Hallar el 0.05% de 4200 A 0.12 B 0.021 C 21 x 10
1
−
D 2.01 E N.A.
2.
Si: Nataly recibe de propina el 28% de 60 soles; y Vanessa recibe de propina el 32% de 50 soles. ¿Quién recibe más dinero? A Nataly B Vanessa C Iguales D No se sabe E Ninguna anterior.
3.
Si: A = 20% del 5% de 36 x 10
LEYENDA: Pv = Precio de venta Pc = Precio de costo Bn = Beneficio neto o utilidad Pf = Precio fijado también llamado precio de lista NOTA: El porcen porcentaj taje e de gananc ganancia ia o pérdid pérdida a se debe debe consid considera erarr calcul calculado ado con respec respecto to al precio precio de costo, costo, excepto en los casos en que específicamente se indica lo cont contra rari rio, o, es deci decirr que que el cálc cálcul ulo o se debe debe hace hacerr con con respecto al precio de venta. Asimismo, el porcentaje de descuento se sobreentiende calculado con respecto al precio fijado, salvo en los casos en que explícitamente se indique que el cálculo se hace con respecto al precio de venta.
3
B = 0.03% del 0.2% de 10 7 Hallar: el 50% del 32% del A% de B. A 34.56 B 345.6 C 3456 x 10 3 2 D 4356 x 10 E Ninguna. −
Relación de beneficio y gastos:
2
2 5
Pv = Pc – pérdida
< > 100%
−
PROPIEDADES 1.- Si en un determinado porcentaje se cambia el orden de los números entonces el resultado no varía
5.- Sean: V% = Porcentaje de ganancia calculado con respecto al precio de venta. C% = Porcentaje de ganancia calculado con respecto al precio de costo. Entonces se cumple que: 1 V
−
1 C
=
1 100
a % de N = N % de a
6.- Dos descuentos sucesivos del a% y del b% equivalen a un descuento único: Du = a% + b% - a% del b%
2.- Dados varios porcentajes de un mismo número, éstos porcentajes porcentajes al ser sumados dan como resultado resultado un único
7.- Dos aumentos aumentos sucesivos del a% y del b% equivalen equivalen a un aumento único:
SEGUNDO DE SECUNDARIA BIMESTRE
SEGUNDO
1
Colegios Preuniversitarios “BRYCE” – “JOYCE” – “FREUD” MATEMÁTICO Au = a% + b% +a% del b%
Actividad Nº 1
1.
El 40% del 50% de x es el 30% de y. ¿Qué porcentaje de (2x+7y) es (x+y)? A 25% B 12,5% C 20% D 10% E 22,5%
2.
Dos descuentos sucesivos del 20% y el 40%. ¿A qué único descuento equivale? A 48% B 52% C 44% D 58% E 54%
3.
Tres descuentos sucesivos del 10%, 30% y 50% equivalen a un único descuento de: A 31,5% B 52% C 68,5% D 47,5% E 56%
4.
Dos incrementos sucesivos del 20% y 30%, ¿a qué aumento equivale? A 44% B 50% C 60% D 55% E 56%
5.
6.
Tres aumentos sucesivos del 10%, 60% y 80% equivalen a un único incremento de: A 200% B 116% C 216,8% D 126,8% E 178,2% Si la base de un triángulo se incrementa en 30% y la altura disminuye en un 20% ¿cómo varía el área? A –10% B +4% C –4% D –2% E +2%
7.
Si el lado de un triángulo equilátero aumenta 30% ¿cuál es la variación del área? A +3% B +40% C +53% D +69% E +44%
8.
En un triángulo la base se reduce en 10% mientras que la altura se aumenta en 10% entonces el área: A Se reduce en 99/200 B No varía C Aumenta en 10% D Se reduce en 1% E Depende de las medidas
9.
Si x aumenta en 44% ¿qué ocurre con x 1/2? A Aumenta en 20% B Aumenta en 120% C Aumenta en 44% D Aumenta en 144% E Aumenta en 12%
10. Si la longitud de una circunferencia aumenta en 40% ¿qué ocurre con el área del círculo? A Aumenta 96% B Aumenta 120% C Aumenta 12% D Aumenta 144% E Aumenta 30%
SEGUNDO DE SECUNDARIA BIMESTRE
RAZ.
11. Si a un círculo le disminuyen 36% de su área ¿en qué porcentaje habrá disminuido su radio? A 60% B 10% C 20% D 80% E 30% 12. En una tienda se hace al cliente dos descuentos sucesivos del 10% y el 20% y aún se gana el 40% el costo. Si el departamento de compras de dicha tienda compra un artículo en 360 soles, ¿qué precio fijará para su venta? A 700 B 600 C 500 D 400 E 320 13. Si el lado de un cuadrado se triplica, ¿en qué porcentaje aumenta el área? A 800% B 900% C 300% D 500% E 600% 14. El precio de un artículo se rebaja en 20%, para volverlo a su precio original el nuevo precio se debe aumentar en: A 25% B 20% C 24% D 30% E 50% 15. El radio de un círculo se duplica. ¿En qué porcentaje aumenta el área? A 200% B 400% C 300% D 240% E 320%
Tarea de casa. No.1: En el cuaderno formular y resolver 5 problemas de tipo aplicación del tanto por ciento de un número que no estén en la guía. 16. Indicar V o F: I Siempre el 20% más el 30% es el 50% II El 20% del 80% de un número es equivalente al 16% del número III La sexta parte del cuádruplo de un número más el 20% de dicho número es equivalente al 70% de dicho número A VVF B VFV C FVV D FVF E VVV 17. Si pierdo el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me quedaría perdería 156 soles. ¿Cuánto tengo? A 1450 B 1400 C 1750 D 1500 E 1550 18. Se rebaja el precio de un artículo en 10% y 20% sucesivamente. ¿En qué porcentaje debe incrementarse el precio rebajado para que el nuevo precio sea 8% más que el precio original? A 84% B 50% C 63% D 59% E 75% 19. Si Jorge tuviera el 25% más de la edad que tiene tendría 65 años. ¿Qué edad tuvo hace 4 años? A 56 B 48 C 46 D 42 E 52 20. En una reunión se sabe que el 30% del número de hombres es igual al 40% del número de mujeres. ¿Qué porcentaje del total son hombres? A 62% B 53,5%C 57,1% D 82,5% E 42%
SEGUNDO
2
Colegios Preuniversitarios “BRYCE” – “JOYCE” – “FREUD” MATEMÁTICO 21. Si el 80% del 50% de M es el 30% de N, ¿qué porcentaje de (2M+7N) es (M+N)? A 14,5% B 20,5% C 19,5% D 20% E 18% 22. Cuando el lado de un cuadrado se incrementa en 30% resulta que el área aumenta en 621 metros cuadrados. Calcular el lado inicial del cuadrado. A 10 B 12 C 25 D 30 E 20 23. En un pedido de 10000 soles, un comerciante puede escoger entre tres descuentos sucesivos del 20%, 20% y 10% o tres descuentos sucesivos de 40%, 5% y 5%. Escogiendo el mejor, ¿cuánto se puede ahorrar? A 350 B 340 C 335 D 360 E 345 24. El 30% del 20% de los 2/5 de un número equivale al 24% del 0,01% de 1000. Hallar dicho número. A 700 B 0,2 C1 D 120 E 10 25. Si el área de un círculo aumentó en 300% ¿por cuánto se multiplicó su radio? A 3 B2 C4 D 2 E3 26. El 40% de los ¾ del 6% de 48 es 0,012 de una cantidad, hallar el 25% de dicha cantidad. A9 B 27 C 36 D 18 E 144 27. ¿Qué porcentaje del 20% del 10% de 400 es el 8% de 0,2% de 1000? A 20% B 30% C 2% D 3% E 6% 28. Un micro tiene 70 pasajeros, de los cuales el 70% están sentados, de las mujeres el 80% y únicamente el 10% de los hombres. ¿Cuántos hombres viajan en el micro? A 10 B 15 C 12 D 22 E 26 29. Un cajón contiene 4% de huevos rotos del total. Si el 5% de la diferencia entre este total y los rotos es 36, ¿cuántos huevos hay en el cajón? A 750 B 960 C 400 D 360 E 720 30. Inicialmente en una fiesta el 75% eran hombres y el resto mujeres en el transcurso de la fiesta llegaron 60 hombres y 140 mujeres, siendo entonces el número de hombres 65% de los asistentes. ¿Cuántas personas había inicialmente en la fiesta? A 400 B 600 C 700 D 800 E 900
Tarea de casa. No.2: En el cuaderno formular y resolver 5 problemas de tipo aplicación comercial del porcentaje que no estén en la guía.
RAZ.
31. Un contratista recarga el precio de una casa en el 25% de su valor. Si al venderla descuenta el 12% a un comprador, ¿cuál es el porcentaje de utilidad? A 12% B 10% C 13% D 8,5% E 8% 32. Si a un artículo se le hace un descuento de 120 soles el precio fijado, se gana el 30% del precio de costo. Si se le hace una rebaja del 20% se ganará 107 soles en la venta. Hallar el precio de lista. A 285 B 382,5 C 270 D 477,5 E 211,8 33. Dos corbatas se venden a 182 soles cada una. En la primera se recibe una ganancia del 30% y en la segunda una pérdida del 30%. El resultado de la transacción comercial fue: A Ganancia de 60 soles B Pérdida de 60 soles C Ganancia de 36 soles D Pérdida de 36 soles E Ni se gana ni se pierde 34. Dos piezas de tela se vendieron cada una en 240 soles. En una se ganó el 20% y en otra se perdió el 20%. En toda la transacción se ganó o se perdió. ¿Cuánto? A Ganó 20 B Perdió 20 C Ganó 10 D Perdió 10 E Perdió 15 35. Dos artículos se vendieron al mismo precio. En el primero se ganó el 20% del costo y en el segundo el 10% del precio de venta. Si uno de ellos costo 60 soles más que el otro, ¿a que precio se vendió cada artículo? A 300 B 1200 C 600 D 900 E 500 36. Un estudiante pregunta en una librería que descuento le pueden hacer sobre el precio de un libro, y le responden que 10%, va a otra y el precio del libro es el mismo pero lo compra con un descuento de 15% ahorrándose así 15 soles. ¿Cuánto costaba el libro? A 225 B 235 C 240 D 270 E 300 37. Un vendedor hace un descuento de 10% a una mercadería sobre el precio de venta al público, a un cliente, este se acerca al gerente y consigue un descuento de 10% sobre lo facturado por el vendedor. Se dirige a la caja y paga 1620 soles. ¿Cuál es el precio de venta al público? A 205 B 2000 C 2500 D 20250 E 20000 38. Se compra dos artefactos a igual precio, al venderlos en uno se gana el 15% y en el otro se pierde el 5%. Sin en total se ganó 850 soles, determine el precio de compra de cada artefacto. A 8000 B 8500 C 9500 D 10000 E 4250 39. Jamito compró 20 artículos de tipo A, y los vendió ganando el 10% con el importe de esta venta
SEGUNDO DE SECUNDARIA BIMESTRE
SEGUNDO
3
Colegios Preuniversitarios “BRYCE” – “JOYCE” – “FREUD” MATEMÁTICO compró 60 artículos de tipo B y los vendió ganando el 15% con el importe de este último compró 828 artículos de tipo C, al precio de 99 soles la docena. ¿Cuánto le costarán los 20 artículos de tipo A? A 480 B 450 C 540 D 4500 E 5400
40. José compró un televisor, para venderlo recargo el precio de costo en 30%. Al momento de venderlo a su amigo Jorge, le hizo una rebaja del 25% pensando que con esta rebaja iba a vender al precio que había comprado, pero sin embargo quedó perjudicado en 32,5 soles. ¿A qué precio lo vendió? A 1350,5 B 1300 C 1150 D 1250,5 E 1267,5 41. Un granjero de pollos tiene 1000 huevos. El 4% de estos se rompen y se encuentra que el 5% de los restantes son defectuosos. ¿Cuántos huevos pueden venderse en el mercado? A 300 B 912 C 738 D 684 E 816 42. A Brenda al comprar una blusa deberían de haberle hecho un descuento del 20% mientras que a Carmen al comprar un pantalón deberían de haberle hecho un descuento de 10%. El vendedor se equivoca y hace un descuento al revés, por lo que Brenda paga 2 soles más y Carmen 5 soles menos. ¿Cuál es la diferencia entre lo que pagó Carmen y lo que pagó Brenda? A 20 B 22 C 25 D 29 E 30 43. Un vendedor entrega 286 libros, al venderlos con un descuento del 25% y ha entregado 1 ejemplar más por docena. Se pide calcular en cuanto los vendió sabiendo que el precio de cada libro es de 6,5 soles. A 1200 B 1380 C 1450 D 1287 E 1250
47. Un objeto tenía un precio de 800 soles y lo he adquirido ahorrando la suma de 296 soles después de que me hicieron 2 descuentos sucesivos de 30% de x %. ¿Cuál es el valor de x? A 20% B 10% C 30% D 40% E 75% 48. De una reunión se retiraron 30 hombres y 30 mujeres. El 12% de los hombres que quedaron, equivale al 38% del número de mujeres que quedaron. ¿Qué porcentaje son hombres? A 48% B 76% C 54% D 36% E 82% 49. Si mi dinero es la cuarta parte de tu dinero y a la vez tu dinero es el 80% del dinero de aquel, ¿en qué porcentaje debe aumentar mi dinero para que sea el 60% del dinero de aquel? A 100% B 200% C 140% D 160% E 300% 50. Se compra un tejido a 8800 soles el metro cuadrado y se pierde al lavarse los 3/25 del largo y el 2 por 9 de su ancho. ¿A como debe venderse el metro cuadrado del tejido después de lavarse si se quiere ganar el 40% del costo? A 18000 B 12000 C 15000 D 21000 E 10000
AUTOEVALUACION 1.
Ángel vende dos libros en 700 soles cada uno ganando en uno de ellos el 10 por 60 de su costo y en el otro perdiendo el 10 por P de su costo. Si en aquella venta no gana ni pierde, ¿cuál es el valor de P? A 50 B 60 C 70 D 80 E 75
2.
De los alumnos de una de las aulas de BRYCE, el 40% son mujeres. Si el número de mujeres aumenta en 30% y el de hombres en 20%, ¿en qué porcentaje aumentó el total de alumnos? A 10% B 12% C 18% D 20% E 24%
3.
Dos blusas son vendidas en 30 soles cada una en la primera se gana 20% y en la segunda se pierde el 20%. Entonces se puede afirmar que: A No se gana ni se pierde B Se gana 2,5 soles C Se pierde 2,5 soles D Se pierde 4 soles E Se pierde 3,8 soles
4.
Se tiene: 30%.a = 50%.b 60%.b = 40%.c ¿Qué tanto por ciento de (a+b+c) es (a+c)? A 36% B 38% C 42% D 54% E 76%
5.
En una compañía donde trabajan 250, el 80% son hombres. ¿Cuántas mujeres deben contratarse para que el 60% sean mujeres?
44. Ayer tuve 69 soles y gasté el 38% de lo que no gasté. ¿Cuánto no gasté? A 50 B 70 C 80 D 90 E 60 45. Dos descuentos sucesivos del 20% y 30% seguidos por un incremento de 50%, ¿a qué único aumento o descuento equivale? A –16% B +2% C –12% D +16% E –8%
Tarea de casa. No.3: En el cuaderno formular y resolver 4 problemas de tipo mezclas porcentuales, y 4 figuras geométricas que no estén en la guía. 46. Juan después de haber perdido 200 soles le queda el 80% del dinero que tenía. ¿Qué cantidad debe recibir Juan para tener 1200 soles? A 200 B 250 C 300 D 500 E 400
SEGUNDO DE SECUNDARIA BIMESTRE
RAZ.
SEGUNDO
4
Colegios Preuniversitarios “BRYCE” – “JOYCE” – “FREUD” MATEMÁTICO A 100
B 120 D 250
C 180 E 125
RAZ.
Si a = 30 entonces B = 50
Proporción: En general una proporción es la igualdad de dos razones de la misma clase.
RAZONES Y PROPORCIONES
Proporción aritmética: Es la igualdad de dos razones aritméticas.
Razón: Se llama razón a la comparación de dos
a–b=c–d números. Existen dos operaciones (sustracción y división) que sirven para comparar, entendiendo que comparar Los términos a y d se denominan extremos mientras que consiste en establecer si las cantidades son iguales o los términos b y c reciben el nombre de medios. diferentes y en el caso en que sean diferentes, cuál es mayor y cuál es menor. Proporción aritmética continua: Se caracteriza porque sus términos medios son iguales. Razón aritmética: Es la comparación de dos cantidades cuando se hace por resta. a–b=b–c a–b
El número “c” es la tercera aritmética o tercera diferencial de “a” y “b”. Asimismo el término “b” es la media aritmética o media diferencial de “a” y “c”.
El primer elemento, es decir “a” recibe el nombre de antecedente mientras que el segundo elemento, en otras palabras “b”, se denomina consecuente. Proporción aritmética discreta: Sus cuatro términos son números diferentes. Razón geométrica: También llamada simplemente razón. Es la comparación de dos cantidades cuando se hace por a–b=c–d división. El número “d” es la cuarta aritmética o cuarta diferencial a de “a”, “b” y “c”. b
Proporción geométrica: También llamada simplemente proporción. Es la igualdad de dos razones geométricas.
En General RAZON ARITMETICA
a −b
=
RAZON GEOMETRICA
r
a b
=
q
El primer elemento, es decir “a” recibe el nombre de antecedente el segundo elemento, en otras palabras “b”, se denomina consecuente, “r” es el valor de la razón aritmética, mientras que “q” es el valor de la razón geométrica
a b
=
c d
Los términos a y d se denominan extremos mientras que los términos b y c reciben el nombre de medios.
Proporción geométrica continua: Se caracteriza porque sus términos medios son iguales. a b
=
b c
NOTA I: Si en un determinado enunciado se pregunta: “¿Cuántas VECES MÁS es un número a que otro número b?” O dicho de otra manera “¿Cuántas VECES MAYOR es un número a que otro número b?”
El número “c” es la tercera geométrica o tercera proporcional de “a” y “b”. Asimismo el término “b” es la media geométrica o media proporcional de “a” y “c”.
Proporción geométrica discreta: Sus cuatro términos son números diferentes. a
La respuesta en ambos casos se obtiene efectuando la operación: a b
−1
b
=
c d
El número “d” es la cuarta geométrica o cuarta proporcional de “a”, “b” y “c”.
NOTA II: Sea “a” y “b” cantidades tal que: 3 a
b
=
5
Significa que: por cada 3 unidades de “a”, hay 5 unidades de “b”, es decir:
PROPIEDADES
Si a = 6 entonces b = 10
SEGUNDO DE SECUNDARIA BIMESTRE
SEGUNDO
5
Colegios Preuniversitarios “BRYCE” – “JOYCE” – “FREUD” MATEMÁTICO 1) En toda proporción aritmética, la suma de los términos medios es igual a la suma de los términos extremos. a − b = c − d ⇒ a + d = b + c
10) En una proporción geométrica, la suma de antecedentes es a su diferencia como la suma de consecuentes es a su diferencia.
2) Si se suma o se resta un mismo número a los cuatro términos de una proporción aritmética, resulta una nueva proporción aritmética. 3) Si se multiplica o se divide todos los términos de una proporción aritmética por un mismo número, resulta una nueva proporción.
RAZ.
Si
a b
=
c d
⇒
a+c a −c
=
b+d b−d
Componer y descomponer: Este es un artificio elemental útil en la solución de problemas.
Se dice componiendo cuando se agrega 1 a los dos miembros de una proporción geométrica. Se dice 4) En toda proporción geométrica, el producto de los descomponiendo cuando se quita 1 a los dos miembros términos extremos es igual al producto de los términos de una proporción. medios. Si
a b
=
c
⇒ a × d = b × c
d
5) Si a los cuatro términos de una proporción geométrica se les multiplica por un mismo número o se les eleva a una misma potencia o se les extrae la raíz de un mismo índice, se obtiene una nueva proporción. a
Si
b
Si
a
c
=
d
=
b
⇒
c
⇒
d
a×n b×n a:m
1.
c×n
=
d × n
2.
c:m
=
b:m
Actividad Nº 2
d : m
3.
6) En una proporción geométrica la suma o resta de los dos primeros términos es a la suma o resta de los dos últimos términos como los antecedentes son entre sí, o como los consecuentes son entre sí. Si
a b
=
c d
⇒
a±b c
±d
=
a c
=
b
Si
a b
=
c d
⇒
a +b a −b
=
Si
a b
=
c d
⇒
a±c b±d
=
a b
=
c d
9) En toda proporción geométrica la suma o resta de los dos términos de la primera razón es a su consecuente o antecedente como la suma o resta de los dos términos de la segunda razón es a su consecuente o antecedente.
Si
a b
a ± b c ± d = c b d = ⇒ d a ± b = c ± d c a
SEGUNDO DE SECUNDARIA BIMESTRE
En una proporción geométrica continua, los términos extremos son entre si como 4 a 9. Si la suma de los términos de la primera razón es 40. Hallar la suma de los consecuentes. A 45 B 50 C 60 D 72 E 80
5.
En una proporción geométrica discreta el producto de sus cuatro términos es 729 y la suma de sus medios es 12. ¿Cuál es el medio mayor? A1 B3 C9 D7 E8
6.
En una proporción geométrica continua el producto de sus cuatro términos es 194481. ¿Cuál es el término medio? A 21 B 24 C 18 D 16 E 32
−d
8) En una proporción geométrica la suma o diferencia de los antecedentes es a la suma o diferencia de los consecuentes como cada antecedente es a su respectivo consecuente.
2
4.
c+d c
Dos números son entre si como 5 a 8, si la suma de sus cuadrados es 712 su diferencia es: A 9 2 B 3 2 C 6 2 D8 2 E 4
d
7) En una proporción geométrica la suma de los dos primeros términos es a su resta, como la suma de los dos últimos términos es a su resta.
Dos números son entre si como 7 es a 13, si al menor se le suma 140, para que el valor de la razón no se altere, el valor del otro número debe quintuplicarse. A 52 B130 C65 D78 104 En una proporción geométrica continua el producto de sus cuatro términos es 194481. ¿Cuál es el término medio? A 21 B 24 C 18 D 16 E 32
7.
En una proporción geométrica continua el producto de sus cuatro términos es 194481. ¿Cuál es el término medio? A 21 B 24 C 18 D 16 E 32
8.
En una proporción geométrica discreta el producto de sus cuatro términos es 576 y la suma de sus extremos es 11. ¿Cuál es el extremo mayor? A6 B2 C5 D4 E8
9.
La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 11, 3 y 560. Hallar uno de los números.
SEGUNDO
6
Colegios Preuniversitarios “BRYCE” – “JOYCE” – “FREUD” MATEMÁTICO A 85 B 90
C110 D 120 E 140
10. En una proporción geométrica continua el producto de sus cuatro términos es 4096. ¿Cuál es el término medio? A2 B4 C6 D 8 E 16 11. En una proporción geométrica discreta cuya razón es 0,375; la suma de sus antecedentes es 30 y la diferencia de sus consecuentes es 64. ¿Cuál es el mayor consecuente? A 81 B 72 C 12 D 32 E 24 12. En una proporción geométrica continua la suma de sus consecuentes es 24. La razón de la proporción es 0,333333..... ¿Cuál es la diferencia de los extremos? A 16 B 48 C 64 D 32 E 40 13. En una proporción geométrica discreta cuya razón es 0,83333333333...... la suma de los antecedentes es 25. Y la diferencia de sus consecuentes es 18. ¿Cuál es el mayor consecuente? A 18 B 9 C 12 D 16 E 24 14. En una proporción geométrica continua la suma de sus consecuentes es 84. La razón de la proporción es 0,3333333...... ¿Cuál es la diferencia de los extremos? A 25
B 56
C 65
D 75
E 105
15. En una proporción geométrica discreta, cuya razón es 0,4 la suma de sus consecuentes es 25 y la diferencia de sus antecedentes es 6. ¿Cuál es el mayor antecedente? A9 B2 C8 D7 E6 16. En una proporción geométrica continua la suma de sus antecedentes es 9. La razón de la proporción es 0,125. ¿Cuál es la diferencia de los extremos? A 38 B 32 C 84 D 63 E 33 17. Hallar la cuarta proporcional de 3, 8 y 27. A 24 B 72 C 128 D 108 E 64 18. Hallar la tercera proporcional de 4 y 56. A 238 B 592 C 636 D 784 E 568 19. Hallar la media proporcional de 5 y 125. A 25 B 30 C 40 D 60 E 80 20. Hallar la media proporcional de 6 y de la tercera proporcional de 6 y 54. A 24 B 54 C 72 D 81 E 108
Tarea de casa. No.4: En el cuaderno formular y resolver 5 problemas que no estén en la guía. 21. En una asamblea de 3600 asistentes, se ha observado que de cada 15 personas 7 fuman. ¿Cuántas no fuman? A 1920 B 1840 C 1680 D 1520 E 2560
RAZ.
22. Las edades de María, Carmen y Lucía son proporcionales a los números 4, 3, y 5. Si después de 9 años sus edades son proporcionales a 7, 6 y 8. Hallar la edad de la mayor. A 12 B 18 C 15 D9 E 24 23. Un corral está dividido en dos partes, donde hay conejos en las dos partes en relación de 19 a 13. Por descuido un cierto numero de conejos se pasan de una parte a otra, por lo que la relación se invierte. ¿Qué parte del número de conejos se ha pasado? A 4/5 B 6/19 C 5/13 D 2/13 E 13/19 24. La edad de María es a la edad de Sara como 3 a 2. ¿Dentro de cuántos años la suma de sus edades será 70 años, sabiendo que la relación de sus edades será 4 a 3? A 12 B 11 C 10 D9 E8 25. En una fiesta la relación de hombres y mujeres es de 6 a 11, la relación de hombres bailando y hombres fumando es de 7 a 4. ¿Cuál es la relación de hombres bailando y el total de asistentes a la fiesta? A 42/31 B 42/187 C 33/187 D 41/187 E 42/177 26. Carmen tuvo a su hija Marina a la edad de 18 años, actualmente la edad de Carmen es a la de Marina como 17 a 11. ¿Cuántos años tendrá Marina cuando Carmen tenga 60 años? A 26 B 31 C 42 D 45 E 48 27. En una academia el número de hombres es al de mujeres como 5 a 4. Si la tercera parte de todos los alumnos se retiraron y de ellos la sexta parte son hombres. ¿Cuál es la nueva relación de hombres y mujeres que quedaron? A 3:1 B 2:1 C 5:3 D 9:2 E 9:4 28. En un corral el número de conejos es al de gallinas como 9 a 5. Después de varios días hay 8 conejos y 4 gallinas menos, por lo que la relación es de 7 a 4. ¿Cuántas gallinas había inicialmente? A 15 B 25 C 20 D 30 E 35 29. En un laboratorio se debe de obtener una mezcla de ácido y agua en relación 7 a 3. Pero una persona confunde esta relación y hace una de 5 a 3, de 400 mililitros. ¿Qué cantidad de ácido, en mililitros, deberá agregar para obtener la relación deseada? A 48 B 96 C 120 D 100 E 180 30. Se tiene: 160
x 160 − x
244
A4
31. Si:
a 3
=
=
y 244 − y
292
z = r 292 − z Hallar r si se sabe que x + y + z = 348 . +
+
B3 C2
b 4
=
c 8
=
d 9
=
D1
+
E5
y a.b.c.d = 13824. Hallar
la suma de los antecedentes.
SEGUNDO DE SECUNDARIA BIMESTRE
SEGUNDO
7
Colegios Preuniversitarios “BRYCE” – “JOYCE” – “FREUD” MATEMÁTICO A 57
32. Si :
B 28
222
C 36
333 =
aaa bbb Hallar: a + b + c A 16 B 17
444 =
D 48
y 2a + b 2
ccc
C 18
E 16 +
D 19
c = 52 E 20
Tarea de casa. No.5: En el cuaderno formular y resolver 5 problemas que no estén en la guía.
RAZ.
1. ¿A que será equivalente el ayer del anteayer del ayer del pasado mañana del pasado mañana de mañana? a) Ayer b) mañana c) anteayer d) pasado mañana e) F.D. 2. Si el mañana de lunes es el anteayer de pasado mañana ¿Qué día es hoy? a) Lunes b) martes c) jueves d) viernes e) sábado
33. En una proporción geométrica discreta la diferencia de los medios es 14. Hallar uno de los términos medios si se sabe que el producto de los cuatro términos de la proporción es 2601. A4 B2 C1 D3 E5
3. Si el anteayer del mañana de pasado mañana es martes; ¿Qué día fue el ayer del ayer de anteayer? a) Lunes b) martes c) jueves d) sábado e) domingo
34. La razón entre la edad que tenía hace 5 años y la edad que tendré dentro de 20 años es 1/6. Mi edad actual es: A 15 B 25 C 10 D 20 E 30
4. Si el anteayer de dentro de 5 días es domingo; ¿Qué día será el pasado mañana del ayer de hace 3 días del pasado mañana? a) Lunes b) martes c) jueves d) sábado e) viernes
35. En una reunión de camaradería por cada 5 hombres adultos que entran, ingresan 6 niños, y por cada 3 mujeres adultas que entran, ingresan 8 niñas. Si en total ingresaron 572 niños y el número de hombres es el número de mujeres como 7 a 4 ¿Cuántos hombres asistieron a dicha reunión? A 120 B 210 C 320 D 410 E N.A.
AUTOEVALUACION 1.
B C D = = y además: n p q ( A + m)( B + n )( C + p )( D + q )
Si:
A m
Si:
a b
4
+4
=
c d
=
abcd
=
50625
mnpq
C 15
D 35
E 125
e g = y: ad + fg = 324 f h acfh
+
B 324
b deg
+
C 180
efgh
+
D 260
c +a b +c = = p b + d c + d ab +bc + ac Hallar: c ( a +b + c ) A p B p +1 C p D p2 Si:
a b
ABCD
B 25
Hallar: A 260
3.
6. ¿Cuál es el día que esta inmediatamente después del día posterior al siguiente día que subsigue al que esta antes del día que precede al inmediatamente después del pasado mañana de lunes? a) Lunes b) martes c) jueves d) sábado e) domingo
=
Hallar: A 12
2.
5. Pasado mañana será el ayer de mañana de anteayer del domingo. ¿Qué día fue pasado mañana de hace 4 días? a) Lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes
E 230
=
2
8. Si el día de ayer fuese igual al de mañana, faltarían dos días para ser viernes. ¿Qué día es hoy? a) Martes b) lunes c) miércoles d) jueves e) F.D.
Tarea de casa. No.6: En el cuaderno formular y resolver 5 problemas de este tipo que no estén en la guía. +
p
E d . p
RELACION DIAS Y AFINES
Actividad Nº 3
SEGUNDO DE SECUNDARIA BIMESTRE
7. Siendo domingo, el pasado mañana del mañana del pasado mañana de hace 4 días. ¿Qué día será el anteayer del anteayer del ayer de dentro de 6 días? a) Lunes b) martes c) sábado d) viernes e) domingo
Actividad Nº 4
9. En el año 1971: Popi se hizo la promesa de viajar al extranjero, el año en que febrero tenga 5 jueves. Determinar en que año, del siglo XX viajara Popi al extranjero sabiendo que en 1971, febrero comenzó por lunes. a) 1982 b) 1984 c) 1988 d) 1992 e) 1996
SEGUNDO
8
Colegios Preuniversitarios “BRYCE” – “JOYCE” – “FREUD” MATEMÁTICO d) Domingo 10. Pepe le pide a Rosita que acceda a ser su esposa. Ella le responde: “Lo seré la próxima vez que mi cumpleaños sea día domingo.” El se entusiasma al principio pero luego se da cuenta que ella nació un 29 de febrero. Si el 28 de febrero cayó domingo en 1981; ¿Hasta que año tendrá que esperar? a) 2000 b) 2004 c) 2008 d) 2012 e) 1992
19. ¿En qué mes de un mismo año ocurre que la fecha del último miércoles del mes pasado sumada a la del primer sábado del próximo mes, suman 38? a) Febrero b) enero c) agosto d) F.D. e) N.A.
12. Antonio y Pamela se conocen un domingo 23 de febrero de un año cualquiera (el año anterior había sido bisiesto) y se casaron cuando el aniversario de la fecha en que se conocieron fue por primera vez un día sábado. Si hoy están celebrando el día en que se casaron y es la segunda vez que cae un día domingo. ¿Cuántos años han pasado desde que se conocieron? a) 12 b) 11 c) 8 d) 10 e) 14
14. Si ayer cumplí 98 años y el próximo año cumpliré un siglo. ¿En qué fecha nací? a) 29 de febrero b) 25 de diciembre c) 01 de enero d) 31 de diciembre e) Falta información. 15. Lenin le dice a Vlady: “Es curioso anteayer tenia 12 años y el próximo año cumpliré 15”, Vlady le responde: “mi cumpleaños es hoy”. ¿en qué fecha nació cada uno? a) 29 de febrero y 01 de agosto b) 29 de febrero y 01 de enero c) 31 de diciembre y 29 de febrero d) 31 de diciembre y 01 de enero e) Datos contradictorios 16. Inocencia pregunta a su enamorado por las edades de sus 3 hermanos, a lo que él le respondió: “El producto de ellas es 13500 y al sumarlas resulta el cuádruple de la tuya, además que Pitito es mi único hermano que nació 1 año antes que yo, y Rulito mi otro único hermano que nació 1 año después que yo” ¿Cuántos años tiene la única enamorada del enamorado de Inocencia? a) 16 b) 21 c) 19 d) 18 e) 17 17. Si el día, de ayer, fuese como mañana, faltarían 4 días para ser sábado (a partir de hoy); ¿Qué día es hoy? a) Lunes b) Sábado c) Jueves
SEGUNDO DE SECUNDARIA BIMESTRE
e) Martes
18. Los humanoides del planeta amarillo, descubierto el 01 de enero del 2000 tiene la propiedad de duplicarse por cada año que pasa, si a los 5 años de su descubrimiento, el planeta se encuentra poblado en la mitad de su territorio. ¿En qué fecha estará dicho planeta totalmente poblado? a) 31 de diciembre del 2005 b) 01de enero del 2004 c) 31 de diciembre del 2002 d) 31 de diciembre del 2006 e) 01 de enero del 2010
11. Si el 23 de febrero de 1980, fue sábado; ¿Qué día será el 23 de febrero de 1997? a) Domingo b) lunes c) sábado d) jueves e) viernes
13. Ayer tenia 20 años y el próximo año tendré 21. Si el día de mañana cumplo años. ¿en qué fecha nací? a) 31 de diciembre b) 01de enero c) 28 de febrero d) 28 de julio e) F.D.
RAZ.
20. La fecha del ultimo lunes del mes pasado sumaba a la del primer viernes del mes que viene da 37. Suponiendo que todas las fechas indicadas ocurren en un mismo año; ¿En qué mes estamos? a) Febrero b) agosto c) marzo d) julio e) F.D.
Tarea de casa. No.7: En el cuaderno formular y resolver 5 problemas de este tipo que no estén en la guía.
EXTENCION 1.
En una fiesta se sabe que el 20% de los presentes son varones, luego se retiran el 25% de mujeres. ¿Qué porcentaje representan ahora las mujeres que quedan? A 60% B 75% C 55% D 65% E 80%
2.
En una fiesta se observó que el 40% de los hombres estaban bailando y el 20% de las mujeres no bailaban, si en la fiesta habían 90 personas. ¿Cuántas personas estaban bailando? A 56 B 64 C 36 D 48 E 42
3.
En un grupo de personas el 60% son hombres, si el número de hombres se duplica. ¿Qué porcentaje de las mujeres son ahora los hombres? A 60% B 80% C 50% D 300% E 70%
4.
Un agricultor llevó 2000 cebollas al mercado de los cuales el 40% estaban malogrados y sólo pudo vender el 70% de los buenos. ¿Cuántas cebollas de las buenas quedaron sin vender? A 240 B 320 C 420 D 360 E 280
5.
En una olimpiada el 40% de atletas masculinos y el 30% de atletas femeninos ganan medallas de oro.
SEGUNDO
9
Colegios Preuniversitarios “BRYCE” – “JOYCE” – “FREUD” MATEMÁTICO
RAZ.
Si el 20% de los atletas son mujeres. ¿Qué % de los atletas ganan de oro? A 60% B 50% C 40% D 30% E 38%
6. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación de los números 5,3 y 16. Determinar la suma de dichos números. A 30 B 20 C 45 D 15 E 12 7. Para envasar 15000 litros de aceite se dispone de botellas de ½ litro, 1 litro, 5 litros. Por cada botella de 5 litros, hay 10 de un 1 litro y 20 de medio litro. Al terminar de envasar el aceite, no sobra ninguna botella vacía. ¿Cuántas botellas había en total? A 18000 B 27000 C 18600 D 30000 E 240 8. En un colegio estudian 910 alumnos entre hombres y mujeres cuya proporción de 3 a 10. Luego un grupo de ellos van de paseo y se contratan algunos “buses”, si en cada bus viajan 60 mujeres y “x” hombres, observándose que el número hombres es el número de mujeres (que van de paseo) como 5 es 12 ¿Cuántos alumnos (en total) como mínimo no van de paseo? A 10 B 60 C 120 D 130 E 230 9. Un asunto fue sometido a votación de 600 personas y se perdió; Habiendo votado de nuevo las mismas personas sobre el mismo asunto, fue ganado el caso por el doble de votos por el que se había perdido por primera vez, y la nueva mayoría fue con respecto a la anterior como 8 es a 7 ¿Cuántas personas cambiaron de opinión? A 100 B 110 C 120 D 140 E 150 10.
Se da la proporción
a
c 2b − d ≠ 0 . Además se sabe que: a +1 c + 2
=
c d
=
K con
=
b + 3 d + 6 Entonces K vale: A 1/5 B 1/4 C 1 D 1/2 E 1/3
AGENDA
SEGUNDO DE SECUNDARIA BIMESTRE
SEGUNDO
10