Tema 6 – Flexión desviada y compuesta.
Apuntes de la asignatura Elasticidad y Resistencia de Materiales II
José María García Terán Terán (PTEU)
Departamento de Construcciones Arquitectónicas, Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras e Ingeniería del Terreno
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
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Tema 6 – Flexión desviada y compuesta.
Índice. 6.1. Introducción. ............................................................................................................................2 6.2. Flexión desviada. Análisis de tensiones...................................................................................3 6.2.1. Relación entre plano de momentos y línea neutra. ...........................................................4 6.2.2. Distribución de tensiones tangenciales. ............................................................................5 6.3. Potencial interno de un prisma mecánico sometido a flexión desviada. Análisis de deformaciones. .........................................................................................................................6 6.4. Flexión compuesta. .................................................................................................................. 8 6.4.1. Deformación en flexión compuesta. .................................................................................9 6.5. Tracción o compresión excéntrica. Centro de presiones.......................................................... 9 6.6. Núcleo central de una sección................................................................................................11
6.1. Introducción.
Hasta ahora, se ha considerado que el momento flector tenía dirección coincidente con uno de los ejes principales de inercia. En este capítulo se estudiará el caso en que la dirección del momento flector no coincide la de los ejes principales de inercia. En este caso si el esfuerzo normal es nulo hablaremos de flexión desviada. En el caso en el que exista momento flector y esfuerzo normal no nulo, hablaremos de flexión compuesta. z Mz y x
My
Para este tipo de flexión utilizaremos el mismo criterio de signos que el usado en prismas mecánicos sometidos a flexión simple, luego se considerará positivo al momento flector cuando genera compresión en el primer cuadrante. z Mz z y Mz My Mz My x My x x dx
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6.2. Flexión desviada. Análisis de tensiones.
Consideremos una viga como la representada en la figura, cargada en un plano que no contiene ninguno de los dos ejes principales de inercia de la sección. Si M f es el momento flector en una sección, y M y y M z sus componentes respecto de los ejes principales de inercia, el valor de la tensión normal en un punto de la sección se puede obtener, aplicando el principio de superposición, sumando los valores correspondientes a la tensión provocada por cada una de las componentes del momento flector de forma independiente, calculados según la ley de Navier, z Mz
Mz
y
My
My
M ⎫ σ ' = − z y ⎪ I z ⎪
M
M y
⇒ σ = − z y − z M y ⎬ I z I y ⎪ σ ' ' = − z I y ⎪ ⎭
z σ’’ y
σ’ A partir de esta expresión el eje neutro se obtiene como el lugar geométrico de los puntos en los que la tensión normal es nula, luego,
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M y M σ = − z y − z = 0 I z I y
M y I z
⇒ y = −
M z I y
z
que corresponde a una recta que pasa por el centro de gravedad de la sección. 6.2.1. Relación entre plano de momentos y línea neutra.
Hasta ahora se ha considerado que el plano de momentos (plano normal al eje de momentos) y la línea neutra son direcciones perpendiculares entre sí, hecho que se cumple cuando el vector momento flector es perpendicular al eje de simetría de la sección. Sin embargo la definición más general es que el plano de momentos y la línea neutra son direcciones conjugadas entre sí. Para demostrarlo se va a determinar la condición que han de cumplir dos direcciones para que sean conjugadas. Para ello se parte de la elipse de radios de inercia respecto de los ejes principales de inercia que pasan por el centro de gravedad. La dirección conjugada de una arbitraria f respecto de la elipse de radios de inercia se define como la tangente a la elipse por el punto de corte ( A) de la dirección ( f ). y
2
i z2
+
z
2
i y2
=1
z iy A(yo, zo) iz
y
Dado un punto sobre la elipse A( yo , z o), el segmento que une el punto A con el centro de gravedad de la sección O, origen del sistema de referencia de estudio ( OA) tiene como pendiente, tg α =
z o yo
La dirección conjugada de OA respecto de la elipse de radios de inercia, correspondiente a la tangente a la elipse por el punto A, se obtiene de diferenciar la expresión de la elipse y aplicando la ecuación resultante al punto de estudio, ⎛ y 2 z 2 ⎞ yo i y2 2 yo dy 2 z o dz dz ⎜ ⎟ + 2 =0 ⇒ =− 2 d 2 ⎜ i 2 + i 2 − 1⎟ = 0 ⇒ dy i i z o i z y z y ⎝ z ⎠ A
denominado α y β los ángulos que forma la dirección de OA y su conjugada con el eje x, respectivamente, se tiene, ⎫ =− 2⎪ tg β = 2 2 dy z o i z ⎪ ⇒ tg β = − 1 i y ⇒ tg α tg β = − i y = cte ⎬ 2 tg α i z2 i z z o ⎪ tg α = ⎪ yo ⎭ dz
2
yo i y
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condición que cumplen las pendientes de dos direcciones conjugadas. Del estudio de características geométricas se conoce que el momento de inercia centrífugo respecto de dos direcciones conjugadas es nulo. A partir de ahí se podría deducir que el plano de momentos y la línea neutra están sobre direcciones de momento de inercia centrífugo nulo, o lo que es lo mismo, sobre direcciones conjugadas. Esta es la razón por la que en secciones simétricas cargadas sobre el eje de simetría (y por lo tanto principal de inercia), el plano de momentos coincida con el eje de simetría, y la línea neutra sea su dirección perpendicular. z Mz
My
y
zP y p
z
zy
y y
z
El eje neutro divide a una sección en dos dominios perfectamente diferenciados, uno sometido a tracción y el otro a compresión. Para determinar cual es el sentido de la tensión normal en cada uno no hay más que obtener la tensión en un punto cualquiera de la sección. Si la tensión es positiva el punto pertenece al dominio traccionado, mientras que si la tensión es negativa el punto pertenece al dominio comprimido. 6.2.2. Distribución de tensiones tangenciales.
Para la determinación del reparto de tensiones tangenciales debidas a las componentes del esfuerzo cortante respecto de las direcciones principales de inercia ( T y, T z), se puede admitir que cada una de las componentes de tensión tangencial ( τ xy, τ xz) que existente en cada punto se rige por la fórmula de Colignon, τ xy =
T y m z b I z
τ xz =
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T z m y c I y
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siendo, T y, T z – las
componentes del esfuerzo cortante. m z, m y – los momentos estáticos de las áreas de las secciones situadas por encima o a la izquierda de las fibras de coordenadas y, z. b, c – Anchuras de las fibras según las direcciones de los
ejes principales de isnercia que pasan por
el punto de estudio. τxy
z
c
τxy b y
6.3. Potencial interno de un prisma mecánico sometido a flexión desviada.
La expresión del potencial interno del entorno de un punto de un prisma sometido a flexión desviada viene dada por,
dW =
(
1
)
1 2 2 σ 2 dx dy dz + τ xy + τ xz dx dy dz 2 E 2G
Siendo el potencial para una rebanada de ese prisma, dW =
dx
2 E ∫
σ 2 dy dz +
Ω
dx
2G ∫
2 τ xy dy dz +
Ω
dx
τ 2G ∫
2 xz dy
dz
Ω
Sustituyendo las tensiones normal y tangencial por las leyes de Navier y la fórmula de Colignon respectivamente, se obtiene,
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M y ⎫ M σ = − z y − z ⎪ I z I y ⎪
⎪ ⎪ 2 2 2 b I z ⎪ M y ⎞ T z m y ⎞ M z dx ⎛ dx ⎛ T y m z ⎞ dx ⎛ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − y − z dy dz + dy dz + dy dz ⎬ ⇒ dW = T z m y 2 E ⎜⎝ I z I y ⎠⎟ 2G ⎜⎝ b I z ⎠⎟ 2G ⎜⎝ b I y ⎠⎟ ⎪ Ω Ω Ω τ xz = c I y ⎪ ⎪ dx dx dx ⎪ 2 2 2 σ dy dz + τ xy dy dz + τ xz dy dz ⎪ dW = 2 E 2G 2G ⎪⎭ Ω Ω Ω τ xy =
∫
∫
T y m z
∫
∫
∫
∫
expresión que desarrollada es, 2
2
2
2 T z2 dx ⎛ m y ⎞ ⎛ m z ⎞ ⎜ ⎟ c dz dW = y d Ω + z d Ω + ⎜ ⎟ b dy + 2 2 2 2 ⎜ c ⎟ b 2 EI z 2 EI y 2GI z ⎝ ⎠ 2GI y ⎝ ⎠ Ω Ω Ω Ω
M z2 dx
∫
M y dx
2
∫
T y dx
2
∫
∫
Las dos primeras integrales corresponden a los momentos de inercia respecto de los ejes z e y, respectivamente, mientras que en los dos últimos términos, haciendo 2
1
∫
2
⎛ m y ⎞ ⎟ c dz = 2 ⎜⎜ Ω 1 z I y ⎝ c ⎠⎟ Ω
⎛ m ⎞ = 2 ⎜ z ⎟ b dy Ω 1 y I z ⎝ b ⎠ Ω 1
1
1
∫
la expresión del potencial se puede poner, dW =
2
M z
2 EI z
donde a los términos
Ω 1 y y Ω 1 z
2
dx +
M y
2
T y
dx +
2 EI y
2GΩ 1 y
dx +
2
T z
dx
2GΩ 1 z
se les denomina secciones reducidas.
Según esto, el potencial interno de una rebanada a flexión desviada viene dado por cuatro términos; los dos primeros están asociados a los efectos de las componentes del momento flector, mientras que los dos últimos están producidos por las componentes del esfuerzo cortante. Análisis de deformaciones.
Para calcular las deformaciones se considera la flexión desviada descompuesta en dos flexiones simples y se utiliza el principio de superposición, determinando el desplazamiento total como composición vectorial de las componentes producidas por cada uno de estas flexiones de forma independiente. δ c = δ c2 + δ c2 y
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z
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6.4. Flexión compuesta.
Un prisma mecánico está sometido a flexión compuesta cuando la reducción del sistema de fuerzas existente en los puntos de la sección de corte, en el centro de gravedad de la sección, viene dada por un las componentes del momento flector y del esfuerzo cortante y un esfuerzo axil. Si M y y M z son las componentes del momento flector en la base principal de inercia, y N x el esfuerzo axil, la expresión de la tensión normal de un punto en función del principio de superposición es, M ⎫ σ ' = − z y ⎪ I z
⎪ M y ⎪ M y N M ⎪ σ ' ' = − z ⎬ ⇒ σ = x − z y − z I y ⎪ A I z I y N ⎪ σ ' ' ' = x ⎪ A ⎪ ⎭
z y x
La expresión del eje neutro se obtiene a partir de su condición de lugar geométrico de los puntos en los que la tensión normal es nula, luego, σ =
N x A
−
M z I z
y −
M y I y
z = 0
⎛ M y N x ⎞ I z M y I z N I ⎟ ⇒ y = −⎜ =− z − z + x z ⎜ I y A ⎠⎟ M z M z I y A M z ⎝
que corresponde a una recta que no pasa por el centro de gravedad de la sección.
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6.4.1. Deformación en flexión compuesta.
Para hallar la deformación se determina el potencial interno del entorno de un punto de una sección de un prisma sometido a flexión compuesta, que viene dado por,
(
1
)
1 2 2 + τ xz σ 2 dx dy dz + τ xy dx dy dz 2 E 2G
dW =
El potencial para una rebanada de ese prisma viene dado por, dW =
dx
dx
σ dy dz + τ 2 E ∫ 2G ∫ 2
Ω
2 xy dy
dz +
Ω
dx
τ 2G ∫
2 xz dy
dz
Ω
Sustituyendo la tensión normal y tangencial por la ley de Navier y la fórmula de Colignon respectivamente, se obtiene, σ =
N x A
−
M z I z
y −
M y I y
⎫
z ⎪
⎪ ⎪ ⎪ = τ xy 2 2 2 b I z ⎪ M y ⎞ T z m y ⎞ N x M z dx ⎛ dx ⎛ T y m z ⎞ dx ⎛ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇒ = − − + + dW y z dy dz dy dz dy dz ⎬ T z m y ⎪ 2 E ⎜⎝ A I z I y ⎠⎟ 2G ⎜⎝ b I z ⎠⎟ 2G ⎜⎝ b I y ⎠⎟ Ω Ω Ω τ xz = c I y ⎪ ⎪ ⎪ dx dx dx 2 2 2 + + dW = dy dz dy dz dy dz σ τ xy τ xz ⎪ 2 E 2G 2G ⎪⎭ Ω Ω Ω T y m z
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Expresión que desarrollando es, M y2 dx
T y2 dx
2
2 2 T dx ⎛ m y ⎞ ⎛ m z ⎞ ⎜ ⎟ dW = d Ω + y d Ω + z d Ω + b dy + z ⎜ ⎟ ⎟ c dz 2 2 2 2 2 ⎜ 2 EA 2 EI z 2 EI y 2GI z ⎝ b ⎠ 2GI y ⎝ c ⎠ Ω Ω Ω Ω Ω 2
N x dx
∫
2
M z dx
∫
2
∫
2
∫
∫
donde la primera integral corresponde al área de la sección, las dos siguientes integrales son los momentos de inercia respecto de los ejes z e y, respectivamente; mientras que a los dos últimos sumandos se pueden poner en función de las secciones reducidas, de forma que la expresión del potencial interno para la rebanada queda, 2
dW =
2 N x dx M z2 dx M y dx
2 EA
+
+
2 EI z
2 EI y
2
+
T y dx
+
2GΩ z
T z2 dx 2GΩ y
6.5. Tracción o compresión excéntrica. Centro de presiones.
Cuando sobre una sección recta de una barra actúa una carga axil paralela a su eje longitudinal, pero aplicada en un punto C distinto del centro de gravedad de la sección ( G), diremos que el prisma está sometido a una tracción o compresión excéntrica. El efecto producido por dicha solicitación es equivalente a una flexión compuesta.
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z
z
My y
y
x
My
x
Si reducimos el esfuerzo axil N x, situado en el punto C (denominado centro de presiones) de componentes ( –yC , –zC ), al centro de gravedad de la sección, el torsor equivalente está constituido por el esfuerzo axil N x equipolente al existente en C , y un momento flector contenido en el plano de la sección, de componentes M y (+ ) = N x
(− zC )
M z (+ ) = N x
(− yC )
El signo entre paréntesis de los momentos indica su sentido, según el criterio de la rabanada. Al sustituir estas expresiones en la ecuación de la línea neutra, junto con las de los momentos de inercia en función de los radios de inercia, se tiene, M y (+ ) = N x M z (+ ) = N x
(− zC ) ⎫ ⎪ (− yC ) ⎪
(− yC ) (− zC ) N x N x (− yC ) N (− z C ) ⎪ y − x z = 0 ⇒ 1 − y − z = 0 − = A i z2 ⎬ ⇒ 2 2 2 A A i z A i y i z i y2 ⎪ M y N M ⎪ σ = x − z y − z = 0 ⎪ A I z I y ⎭ I y
= A i y2
I z
y
1=−
i z2
−
yC
z i y2 zC
que muestran la relación entre las componentes y, z de un punto de la línea neutra, y las componentes yC , zC del centro de presiones C . Si denominamos m
=−
2
2
i z
n
y C
=−
i y
z C
la expresión anterior se puede poner, 1= −
m=−
i z2 yC
⎫ ⎪ ⎪ yC zC ⎪ ⇒ 1 = y + z ⎬ m n 2 ⎪ i y ⎪ n=− zC ⎪ ⎭ y
2 i z
−
z
2 i y
que corresponde a la ecuación segmentaria de una recta, donde m y n son los segmentos de corte de la línea neutra de la sección respecto de los ejes principales de inercia ( y y z), respectivamente.
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z
zC
y yC
6.6. Núcleo central de una sección.
Una sección de un prisma mecánicos sometido a tracción o compresión excéntrica puede ser divididos en dos dominios por su eje neutro, uno sometido a tracción y el otro a compresión. En el caso en que el eje neutro no corte la sección, todos los puntos de la sección estarán sometidos o bien a tracción, o bien a compresión. Como ya se ha demostrado, existe una relación directa entre los segmentos de corte del eje neutro con los ejes principales de inercia de una sección sometida a flexión excéntrica o desviada ( m, n), y las coordenadas ( yC , zC ) del centro de presiones C . A partir de lo anterior, se puede definir una curva cerrada, correspondiente al contorno del dominio obtenido a partir de unir los vértices de la sección, de forma que considerando cualquiera de los puntos de este contorno como centro de presiones C , la línea neutra correspondiente es tangente a la sección del prisma mecánico. Cualquier punto del dominio interior a este contorno tomado como centro de presiones, hace que las tensiones normales en todos los puntos de la sección sean del mismo tipo (tracción o compresión). Al dominio delimitado por esta curva cerrada se le denomina núcleo central de la sección. z
y
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