03 Metodos Energeticos

03 Métodos energéticos

03.01.

Ley de Clapeyron.

03.02.

Trabajo de deformación en axil, flexión y corte.

03.03.

Teoremas de Castigliano.

03.04.

Método de la carga unitaria de Mohr-Maxwell.

03.05.

Teorema del trabajo mínimo de Menabrea.

03 Métodos Energéticos

Objetivos de este tema: Cálculo de deformaciones

Resolución de hiperestáticos

Estados Límite de Servicio

Ecuaciones adicionales a las de la Estática

2 F. Jaureguízar Ortiz de Zárate

M. Muñoz Vidal

F. L. Suárez Riestra

F. M. Tabernero Duque

1


Trabajo y energía Supongamos un objeto que se encuentra en movimiento como consecuencia de una determinada fuerza constante. De tal manera que la fuerza mantiene un ángulo con respecto al desplazamiento El desplazamiento se puede expresar vectorialmente

F α s

Podemos descomponer la fuerza según dos componentes ortogonales (Fx y Fy)

Fy = F ⋅ sen α

Fx = F ⋅ cos α

La componente “x” no produce ningún trabajo sobre el cuerpo móvil. La componente “y” realiza un trabajo sobre el cuerpo móvil.

(

)

W = Fx ⋅ s = F ⋅ cos α ⋅ s 3 F. Jaureguízar Ortiz de Zárate

M. Muñoz Vidal




Las fuerzas exteriores desarrollan un trabajo con el desplazamiento de sus puntos de aplicación W Toda la energía se almacena en la deformación de la estructura U Dentro del campo elástico y lineal, se puede recuperar si desaparecen las acciones que causaron la deformación


M. Muñoz Vidal



2

03.01. Ley de Clapeyron


03. 01. LEY DE CLAPEYRON


M. Muñoz Vidal





Ley de Clapeyron Supuesto que durante el proceso de deformación no existe disipación de energía, el trabajo realizado por las fuerzas externas (W) dependerá únicamente, teniendo en cuenta que la fuerza se aplica de modo gradual y progresivo, del valor final de la misma.

F1

F Si estamos dentro del tramo de comportamiento lineal del material, el diagrama de aplicación de la fuerza, y los desplazamientos que produce será similar al siguiente:

F

δ

δ1

dδ

Trabajo :

W=

1 F1·δ1 2

δ

"El trabajo de deformación de un cuerpo elástico originado por un sistema de fuerzas aplicadas lenta y gradualmente, es independiente de la ley de variación de las intensidades de las fuerzas y del orden en que se las haga actuar, e igual a la mitad de la suma de los productos de sus intensidades finales por las proyecciones sobre sus rectas de acción, de los desplazamientos de sus puntos de aplicación." 6

F. Jaureguízar Ortiz de Zárate

M. Muñoz Vidal



3



Trabajo y energía complementaria

F

W* = ∫ δ·dF

F1

W* F

W = ∫ F·dδ

W δ

dδ

δ

δ1

Si el material es lineal: W=W*


M. Muñoz Vidal





Trabajo de deformación Volumen unitario Deformaciones angulares

Deformaciones lineales

σ·1·1 δ = ε·1

F=

U = ½ F·δ = ½ U=½

σ·ε

σ·ε

τ·1·1 δ = γ·1

F=

U = ½F·δ = ½ U= ½

τ·γ

τ·γ 8


M. Muñoz Vidal



4



Trabajo de deformación

La fórmula de Clapeyron nos da el trabajo (W) total realizados por las fuerzas actuantes. Si suponemos que no se disipa energía, este valor será igual a la energía de deformación (U) almacenada por el sólido elástico, también denominado potencial interno. Trabajo tensiones normales en volumen unidad

1 U1 = ·( σ x ·ε x + σ y ·ε y + σ z ·ε z ) 2

Trabajo tensiones tangenciales

1 U1 = ·( τxy ·γ xy + τyz ·γ yz + τzx ·γ zx ) 2 Trabajo total por unidad de volumen:

1 U1 = ·( σ x ·ε x + σ y ·ε y + σ z ·ε z + τxy ·γ xy + τyz ·γ yz + τzx ·γ zx ) 2 Trabajo total para un volumen V:

Uv = ∫∫∫ U1·dV V


M. Muñoz Vidal



03.02. Trabajo de deformación en axil, flexión y corte


03. 02. TRABAJO DE DEFORMACIÓN EN AXIL, FLEXIÓN Y CORTE


M. Muñoz Vidal



5



► Ejemplo: Calcular la energía interna de deformación

1 U1 = ·( σ x ·ε x + σ y ·ε y + σz ·ε z + τ xy ·γ xy + τ yz ·γ yz + τzx ·γ zx ) 2

N

x

Sol: Como sólo tenemos σX : U1 = ·( σ x ·ε x )

1 2

con

σx = L

1 σ U1 = · σ x · x 2 E 1 N2 U1 = · 2·E b 2h2

N N = A b·h

y según Hooke

εx = z

(axil puro)

b

h

y

σx E

Para todo el volumen:

U=

2  1 σx  = 2· E 

1 N2 1 N2 U = · 2 2 ·(b·h·L) = · ·L 2 E·b h 2 E·b·h

1 N2 L 2 E·A 11


M. Muñoz Vidal





Por otra parte, podríamos calcular el trabajo realizado por la carga externa N :

con

N

x

W=

1 N⋅ δ 2

W=

y según Hooke

δ=

L

N L EA

Resultando:

W=

1 N2 L 2 EA

1 N N L 2 EA

coincide con trabajo interno de deformación.

z y

h

b Como se puede apreciar, no es aplicable el principio de superposición de efectos: Un axil doble no producirá un trabajo doble.


M. Muñoz Vidal



6



Energía de deformación en Axil

U=

Teníamos:

1 N2 L 2 E·A

N

x

Si lo aplicamos a una rebanada de ancho dx:

U=

dx

z

2

1 N dx 2 E·A

y

Por tanto, para piezas de axil variable, su energía de deformación se podrá obtener:

UN =

N2

1

∫ dx 2 E·A L


M. Muñoz Vidal





Energía de deformación en Corte

Trabajo por unidad de volumen

W = U1 = 1/2

Para un volumen dx,dy,dz:

dU = 1/2 τxy·γxy ·dx·dy·dz

τ ·τG ·dx·dy·dz dU = 21 τG 1τ dU = dx·dA

1 dU = · 2

xy

xy

xy

τxy · γxy

2

dx·dy·dz

2

Para una rebanada de sección A y espesor dx:

∫∫

A

xy

2 G

Pero la distribución de tensiones tangenciales no es constante en la sección de una viga 2

  1 V·S*  1 S*2 V2 1 V2 dU = ·dx  ·b·dy = 2 ∫ ·dy · ·dx = · ·dx = 2·G ∫∫A  b·I  (dA ) I b 2·G A r 2·G  colignon  según geometría sección Si integramos obtenemos la energía de toda la viga:

UV =

A V2 V2 · ·dx = fc · ·dx A r 2·G·A 2·G·A

V2

1

∫ f ·G·A dx 2 L c


M. Muñoz Vidal



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Trabajo de deformación en flexión pura Ley de Navier

σx = −

Fibra neutra

Mz ·y Iz

Trabajo por unidad de volumen

W = U1 = 1/2

σx · εx

y

δx dx

U1 =

1 1 σ 1 σ2 1 M2 2 σ x ·ε x = σ· = = ·y 2 2 E 2 E 2 E·I2

Para un volumen dV=dx·dy·dz, pasa a ser: 1 M2 dU = U1·dx·dy·dz dU = · 2 ·y 2 ·dx·dy·dz 2 E·I Para una rebanada de sección A y espesor dx:

dU = ∫∫

A

1 M2 2 ·y dx·dA 2 E·I2

1 M2 = · ·dx 2 E·I

Si integramos obtenemos la energía de toda la viga:

ya que:

UMf =

1

∫∫

A

y 2·dA = Iz

M2 dx L E·I

∫ 2


M. Muñoz Vidal





Trabajo de deformación total Energía por Axil Cortante:

Momento flector:

Momento torsor:

N2 dx L 2·E·A 2 V UV = ∫ fc · dx L 2·G·A Mf 2 UMf = ∫ dx L 2·E·I z UN =

∫

UMt = ∫ ft · L

fc = factor cortadura (>1) = sección real / sec. reducida

Mt 2 dx 2·G·Ip

ft = factor de torsión (>=1)

Si bien el principio de superposición no es aplicable, ocurre que cada uno de los cuatro esfuerzos anteriores origina desplazamientos en los que no intervienen ninguno de los otros tres, en este caso sí se puede poner la energía de deformación total como suma de estas cuatro

U = UN + UV + UMf + UMt La energía total en una viga de longitud L, debido a estos esfuerzos, será por tanto

U=

N2

1

1

dx + ∫ f 2 ∫ E·A 2 L

L c

2 M2 V2 1 M 1 dx + ∫ f dx + ∫ ft · t dx G·A 2 L E·Iz 2 L G·Ip


M. Muñoz Vidal



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03.03. Teoremas de Castigliano


03. 03. TEOREMA DE CASTIGLIANO


M. Muñoz Vidal





MÉTODOS ENERGÉTICOS • •

MÉTODO DE LA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN U. MÉTODO DE LA ENERGÍA COMPLEMENTARIA U*.

Supuestos previos No hay esfuerzos iniciales. Aplicación lenta de las cargas Apoyos perfectamente rígidos


M. Muñoz Vidal



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F1

Energía complementaria

U* = ∫ δ ⋅ dF 0

Energía de deformación δ1

U = ∫ F ⋅ dδ 0


M. Muñoz Vidal





► Ejemplo: Calcular U y U* para la barra de figura, sabiendo que σ=E·εn

Sol:

σ= E·εn σx =

F δn = E· n → A L

F=

E·A n δ Ln

1/ n

y

 F·Ln  δ=   E·A 

(ley de Hooke) 20 F. Jaureguízar Ortiz de Zárate

M. Muñoz Vidal



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δ1

U

U = ∫ F ⋅ dδ = 0

δ

E·A δ1n +1 E·A 1 n · δ ⋅ d δ = Ln n + 1 Ln ∫0

F1

U*

(

F

1+ n

1 L L n·F1 n U = ∫ δ ⋅ dF = F1/ n ⋅ dF = · 1/ n ∫ (E·A) 0 (E·A)1/ n n + 1 0

)

*


M. Muñoz Vidal




03 Métodos Energéticos MÉTODO DE LA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN U.

U = ∫ F ⋅ dδ

de donde

F=

dU dδ

si expresamos U en función de los desplazamientos y derivamos respecto de un desplazamiento, obtendremos la componente de la fuerza aplicada en ese punto en la dirección de ese desplazamiento. Expresar U en función de los desplazamientos es un problema de geometría y representa un esfuerzo considerable


M. Muñoz Vidal



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03 Métodos Energéticos MÉTODO DE LA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN U. Podemos ver la explicación anterior de una forma un poco más concreta:

La energía de deformación U de una estructura será igual al trabajo W realizado por las cargas externas.

Si una carga (Fi) experimenta un pequeño incremento (dFi), mientras que las otras no varían, la energía se incrementará paralelamente en una pequeña cantidad (dU):

U=W

dU =

∂U d δi ∂δi

La única fuerza que realiza cierto trabajo es (Fi), ya que las demás no se modifican. Por tanto, su trabajo será el producto del desplazamiento (δi) por la variación de la fuerza (dFi):

dW = Fi ⋅ dδi

Igualando ambas expresiones:

Fi =

∂U ∂δi 23


M. Muñoz Vidal





Aplicándolo al ejemplo anteriormente visto:

U=

E·A δ1n +1 · → Ln n + 1

F1 =

∂U E·A n = n ·δ1 ∂δ1 L

Si el comportamiento del material fuese lineal (n=1), obtendríamos las expresiones habituales

U=

1 E·A 2 ·δ1 → 2 L

F1 =

∂U E·A = ·δ1 ∂δ1 L


M. Muñoz Vidal



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03 Métodos Energéticos MÉTODO DE LA ENERGÍA COMPLEMENTARIA U*.

U* = ∫ δ ⋅ dF

de donde

δ=

dU * dF

si expresamos U* en función de las fuerzas del sistema y derivamos respecto de una de ellas, obtendremos el desplazamiento en su dirección. Este método es más práctico que el anterior al ser más sencillo de expresar U* en función de las fuerzas actuantes,


M. Muñoz Vidal




03 Métodos Energéticos MÉTODO DE LA ENERGÍA COMPLEMENTARIA U*. Podemos ver la explicación anterior de una forma un poco más concreta:

La energía complementaria U* de una estructura será igual al trabajo complementario W* realizado por las cargas. U* = W*

Si una carga (Fi) experimenta un pequeño incremento (dFi), mientras que las otras no varían, la energía complementaria se incrementará paralelamente en una pequeña cantidad (dU*): *

dU* =

∂U dFi ∂Fi

La única fuerza que realiza cierto trabajo complementario es (Fi), ya que las demás no se modifican. Su valor será el producto del desplazamiento (δi) por la variación de la fuerza (dFi):

dW * = δi ⋅ dFi

Igualando ambas expresiones:

δi =

∂U* ∂Fi 26


M. Muñoz Vidal



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Aplicándolo al caso anteriormente visto:

(

U* =

1+ n ) n

L n·F · 1 1/ n n+1 (E·A)

δ1 =

→

∂U * L = ·F11/ n ∂F1 (E·A)1/ n

Si el comportamiento del material fuese lineal (n=1), obtendríamos las expresiones habituales

U* =

1 L 2 ·F1 → 2 E·A

δ1 =

∂U * L = ·F1 ∂F1 E·A


M. Muñoz Vidal





TEOREMAS DE CASTIGLIANO 1º Teorema de Castigliano. Partiendo del método de la energía complementaria, si la relación entre fuerzas y desplazamientos es lineal, entonces U = U* ∂U*

δi =

∂Fi

→

Por extensión será aplicable a giros:

δi =

∂U ∂Fi

θi =

∂U ∂Mi

2º Teorema de Castigliano. Deriva diretamente del método de la energía de deformación

∂U Fi = ∂δi

"Si se expresa el potencial interno en función de los corrimientos de los puntos en los que actúan las acciones exteriores y se deriva respecto al corrimiento de un punto, se obtiene la componente de la acción que sobre dicho punto actúa en dirección de este corrimiento."

"Si se expresa el potencial interno en función de las fuerzas aplicadas y se deriva respecto de una de ellas, se obtiene la proyección del corrimiento del punto de aplicación de dicha fuerza sobre su línea de acción."

Alberto Castigliano (1847-1884). Matemático y Físico italiano, que plantea los Teoremas que llevan su nombre, desarrollados desde su Tesis Fin de Carrera en el Politécnico de Turín y expuestos en la Academia de Ciencias de Turín, publicados en su tratado de mecánica en el año 1879. Aunque inicialmente se aplicaron a sistemas elásticos lineales, estudios posteriores como los de Engesser lo extendieron a estructuras no lineales. Se mantiene una cierta discusión sobre la relación que existe entre la autoría de estos teoremas, que aparecieron coetáneamente en tratados de Menabrea.


M. Muñoz Vidal



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1º Teorema de Castigliano. ¿Qué es preciso para que energía de deformación (U) y energía complementaria (U*) coincidan?

Linealidad material

Linealidad geométrica

caso de no-linealidad material

caso de no-linealidad geométrica


M. Muñoz Vidal





► Ejemplo: Calcular la flecha en el extremo por Castigliano. 1) Ley de momentos:

0≤x≤L

M = −F ⋅ x

2) Energía de deformación: (Nota: se desprecia el efecto del cortante.)

U=

M2 ⋅ dx ∫ 2 E⋅I

U=

F2 ⋅ L3 6 ⋅E ⋅ I

1

=

( −F ⋅ x)2 ⋅ dx 2 ∫0 E⋅I 1

L

3) Desplazamiento del extremo:

δ=

∂U F ⋅ L3 =+ ∂F 3 ⋅E ⋅ I 30


M. Muñoz Vidal



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El signo + indica que el desplazamiento se produce en la dirección de F.

Trabajo

+

Trabajo

W = +F·δ

-

W = −F·δ


M. Muñoz Vidal




03 Métodos Energéticos Tabla de deformaciones y giros en viga en ménsula


M. Muñoz Vidal



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03 Métodos Energéticos Tabla de deformaciones y giros en viga biapoyada


M. Muñoz Vidal




03 Métodos Energéticos Carga Ficticia Si queremos calcular los desplazamientos en un punto donde no hay carga aplicada, pondremos situaremos una nueva carga Q en la posición y dirección que nos interese. Realizamos el proceso ya visto, y al final, puesto que la carga no existía, bastará que le demos el valor Q=0 con lo cual no hemos alterado el estado de partida.

Esto también nos valdría para determinar el acercamiento o alejamiento relativo entre dos puntos cualesquiera, si disponemos dos cargas ficticias opuestas según la recta que los une.

δik = δi + δk = Si Qi = Qk = Q entonces

∂U ∂U + ∂Qi ∂Qk δik =

∂U ∂Q 34


M. Muñoz Vidal



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03.04. Método de la carga unitaria de MohrMaxwell


03. 04. MÉTODO DE LA CARGA UNITARIA DE MOHR-MAXWELL


M. Muñoz Vidal





Sabemos que

δk = por tanto

δk =

∂U * ∂Fk

∫

con : U* = f( esfuerzos)

∂ f( esfuerzos ) ∂Fk ∫

pero si invertimos el orden de las operaciones

δk = ∫

∂ f( esfuerzos ) ∂Fk 36 F. Jaureguízar Ortiz de Zárate

M. Muñoz Vidal



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Particularizando para el caso del axil:

δNK

 1 N2  ∂  2 E·A  ∂ f(esf.) =∫ =∫  dx L ∂Fk ∂Fk

Así obtenemos las expresiones para los distintos esfuerzos:

N· AXIL

δNk =

∂N ∂Fk

∫L E·A V·

CORTANTE

δ Vk =

∫L f

c

M· FLECTOR

δMk =

∫L

dx

∂V ∂Fk

dx

G·A ∂M ∂Fk

dx

E·I

De igual modo obtendremos los giros si derivamos respecto de un par de fuerzas. Se denomina el método de la carga unitaria, porque las derivadas parciales de las leyes de esfuerzos coinciden con las solicitaciones que originaría una fuerza unidad Fk=1 situada en el punto donde queremos calcular el desplazamiento, de ahí el nombre de método de la Carga Unitaria. 37 F. Jaureguízar Ortiz de Zárate

M. Muñoz Vidal



04.05. Teorema del trabajo mínimo de Menabrea


03. 05. TEOREMA DEL TRABAJO MÍNIMO DE MENABREA


M. Muñoz Vidal



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04.05. Teorema del trabajo mínimo de Menabrea


Para la resolución de sistemas hiperestáticos podemos aprovechar que en los apoyos el desplazamiento final es conocido

Podemos eliminar el apoyo móvil si disponemos en su lugar una reacción que consiga su mismo desplazamiento = 0.

⇒ δ=

∂U =0 ∂R

“Las reacciones hiperestáticas toman valores que hacen mínimo el potencial interno del sistema”


M. Muñoz Vidal



Bibliografía:

MUÑOZ, M.; MARTÍN, E.; GONZÁLEZ, M.; FREIRE, M. J.

El sólido elástico en la Arquitectura Nino Centro de Impresión Digital. Santiago de Compostela, 1998

SUÁREZ RIESTRA, FÉLIX LEANDRO

Equilibrio, resistencia y estabilidad Editorial/es: Suárez y García A2 S. L. 2011

JIMENEZ MOCHOLÍ, IVORRA CHORRA.

Elasticidad y Resistencia de materiales. Ejercicios resueltos. Universidad politécnica de Valencia, 2004. CELIGÜETA, J. T.

Curso de análisis estructural. EUNSA. 1998.

20

03 Metodos Energeticos

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