31.10.2013.
GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVOD ZA KONSTRUKCIJE KATEDRA ZA MOSTOVE
Građevinski fakultet u Zagrebu
o t i n e ć p O
Mostovi II
Radić, Vlašić
Osnovna oblikovna prednost plo častih nosača očituje se u njihovoj prilagodljivosti razli čitim okolnostima i potrebama.
Oblik tlocrta može se birati vrlo slobodno, izvedivi su i uzdužni i poprečni nagibi.
U statičkom smislu pločasti mostovi su u prednosti zbog dobre razdiobe koncentriranih opterećenja po nosaču.
Osnovna mana pločastog presjeka očituje se u nesrazmjernom porastu vlastite težine s porastom raspona, zbog čega se presjeci na različite načine olakšavaju iznad 15 m raspona, a na rasponima većim od 20 m se rijetko izvode.
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
1
31.10.2013.
a l i v a r p a n v o k i l b O
Armirani beton: • Lmax =15,0 m • Li,max = 20,0 m • Li,max (hprom) = 25,0 m • h = 50 – 50 – 100 (90) cm Prednapeti beton: • Lmax = 25,0 m • Li,max = 30,0 m • h = 80 ‐ 80 ‐ 125 125 cm
Građevinski fakultet u Zagrebu
Radić, Vlašić
Mostovi II
Armirano betonske ploč ploče: Statički sustav
L (m)
h/L
Prosta greda
15,0
1/17
Kontinuirani nosač
20,0
1/22
Prosta greda
12,0
1/12
Kontinuirani nosač
15,0
1/16
Tip mosta a l i v a r p a n v o k i l b O
Cestovni
Željeznički
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
2
31.10.2013.
Ploč Ploče od prednapetog betona: a l i v a r p a n v o k i l b O
Statički sustav
L (m)
h/L
Prosta greda
25,0
1/22
Kontinuirani nosač
30,0
1/28
Prosta greda
20,0
1/16
Kontinuirani nosač
20,0
1/18
Tip mosta Cestovni
Željeznički
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
Mostovi II
Radić, Vlašić
Armirani beton:
a l i v a r p a n v o k i l b O
Građevinski fakultet u Zagrebu
3
31.10.2013.
Pune ploče:
• Monolitni nosač nosači izvedeni uglavnom betoniranjem na mjestu • Moguć Moguće su velike oblikovne varijacije e o l p e n u P
č
Građevinski fakultet u Zagrebu
Pune ploče: m c 5 4 5 3
5 2
ležajna istaka horizontalno dno
konzola <75cm-stalna debljina >75cm-promjenjiva debljina
e o l p e n u P
č
Radić, Vlašić
Mostovi II
m c 0 0 1 0 5
poprecni pad
širina nosivog sklopa
konzola
a) jednostrešni poprecni pad
5 2
m c 0 0 1 0 5
poprecni pad
poprecni pad
širina nosivog sklopa b) dvostrešni poprecni pad
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
4
31.10.2013.
• Oblikovno uspjeli presjeci bez istaknutih konzola s podebljanim nosivim dijelom ploče
e o l p e n u P
č
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
Mostovi II
Radić, Vlašić
Ošupljene ploče:
• Kada je h > 80(70)cm • Izgubljena oplata u e o l p e n e j l p u š O
č
• • • •
obliku kartonskih i metalnih cijevi ili pravokutnih profila Puna tijela od polistirena Rupe za odvodnju u najnižoj točki šupljine Poprečna rebra b ≥ h/2 Nedopuštene u nekim zemljama
Građevinski fakultet u Zagrebu
5
31.10.2013.
Osim ošupljavanjem presjeka, olakšane plo če možemo još dobiti i upotrebom predgotovljenih nosača sandučastog presjeka, T presjeka ili I presjeka Jedan od načina je da se ovakvi nosači poredaju unutar poprečnog presjeka tako da im se pojasnice dodiruju i da se tada šupljine izme đu njih potpuno ili djelomično zapune betonom
e o l p e n e j l p u š O
č
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
• Tipski montažni nosači
e č o l p e n e j l p u š O
• • • • •
(Viadukt) adhezivno prednapeti Uzdužna kontinuirana spojnica (armirana i zalivena betonom) Poprečna veza na krajevima nosača ‐ kabelom za naknadno prednapinjanje Kontinuitet – kratke kontinuitetne ploče na mjestu Trajnost spojnica upitna Povrh nosača obično se izvodi ploča debljine 20 cm
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
6
31.10.2013.
Polumontažna izvedba u stranoj praksi: • Poprečno prednapinjanje (ne nužno) • Nazubljenja ‐ povoljna za prijenos poprečnih sila ‐ razdioba opterećenja
e o l p e n e j l p u š O
č
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
Prijelazni oblici prema rebrastom presjeku:
Vlastita težina pune ploče može se smanjivati izvedbom produljenih konzola
e o l p e n e j l p u š O
č
Ostavljanje šupljina u pločama.
Do određenog omjera šupljina i punih dijelova takvi nosači analiziraju se kao ploča, a nakon toga kao sandučasti nosač. Šupljine mogu biti otvorene s donje strane, što dovodi do koncepta kasetirane ploče. U graničnom slučaju u donjoj zoni formiraju se rebra, povezana većim ili manjim brojem poprečnih nosača. Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
7
31.10.2013.
Ploča sa T ukrutama (prijelazni rebrasti oblik):
e o l p e n e j l p u š O
č
Betonska ploči ukrućena sa rebrima Kada ne postoje poprečni nosači, ovo je zapravo prijelazni oblik sa olakšane ploče, pa je pri analizi potrebno pažljivo proučiti koliki su odnosi krutosti na savijanje u popre čnom i uzdužnom smjeru Sličnosti ovih ploča možemo također tražiti i sa roštiljnim sustavima ako postoje poprečni nosači Roštilj zamišljamo kao mrežu nosača postavljenih u dva okomita smjera i na takav sustav dodamo gornju plo ču
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
Ploča sa T ukrutama (prijelazni oblik):
e o l p e n e j l p u š O
č
Ovakvi presjeci imaju vrlo malu krutost na popre čno savijanje u usporedbi sa krutošću na savijanje u uzdužnom smjeru Poprečni nosači se dodaju kako bi se pove ćala njihova popre čna i torzijska krutost i stabilizirala rebra na izvijanje Torzijska krutost ovakvih sustava proizlazi iz tri faktora – torzijske krutosti individualnih greda, torzijske krutosti plo če i utjecaja poprečne veze nosača ispod ploče
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
8
31.10.2013.
Kose ploče
• • • e o l p e s o K
Masivne ploče kod kosih križanja imaju velikih prednosti jer opterećenje predaju najkraćim putem na ležaje smjer glavne armature i kabela lako se može prilagoditi približnom smjeru glavnih momenata Prijenos opterećenja ne slijedi uvijek tlocrtni oblik ploče, pa ga je bitno ispravno shvatiti i prilagoditi mu modeliranje za proračun.
č
Građevinski fakultet u Zagrebu
•
Najvažniji utjecaji, koji određuju ponašanje tlocrtno kosih ploča pod opterećenjem jesu:
kut križanja odnos b:L (b - širina ploče okomito na most, L - raspon okomito na os ležaja) način oslanjanja (pojedinačni ili linijski ležaji u pogodnom rasporedu) = 60
e č o l p e s o K
Radić, Vlašić
Mostovi II
= 30
b:L=2
b : L = 0,5 b
b
L
b
L
linija oslonca
linija oslonca
b:L=1 b
b:L=1
L b
L
linija oslonca
linija oslonca Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
9
31.10.2013.
•
Za određivanje naprezanja, odnosno dimenzioniranje i armiranje od savijanja mora se promatrati tijek glavnih momenata koji za različite vrste opterećenja mogu imati različite smjerove • Također je potrebno paziti na vrijednosti reakcija, odnosno način oslanjanja, jer se u tupim kutovima javljaju ekstremni pritisci, a u šiljatim kutovima postoji mogućnost pojave odizanja. = 60
e o l p e s o K
= 30
b:L=2
č
b : L = 0,5 b
b
L
b
L
linija oslonca
linija oslonca
b:L=1 b
b:L=1
L b
L
linija oslonca
linija oslonca Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
Proračun ploča • • • •
n u č • a r o r P
Proračun započinje odabirom prikladna stati čkoga modela kojim će se opisati sklop uz određena pojednostavnjenja Pri tome je vrlo bitno obrazložiti uvedena pojednostavnjenja, nastojeći pri njihovu odabiru biti na strani sigurnosti Pločaste nosače odlikuje složena razdioba unutarnjih sila, putem koje se u nošenju aktivira znatan dio konstrukcije, dalje od izravno optere ćenoga. Ispravno konstruirana ploča djeluje kao plošni nosa č, kontinuiran za prijenos momenata savijanja u svim smjerovima unutar plohe Kada opterećenje djeluje koncentrirano, plo ča se lokalno progiba u obliku plitke posude, pri čemu se razvija dvodimenzionalni sustav unutarnjih sila kojima se opterećenje preraspodjeljuje na podru č ja koja nisu izravno opterećena.
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
10
31.10.2013.
Proračun ploča •
Teorija ploča zasniva se na sljedećim pretpostavkama:
n u • č a r o r P
•
debljina ploče je mala u odnosu na raspon progibi ploče su mali u odnosu na debljinu materijal je izotropan i elasti čan
Ploča je izotropna kada ima podjednaku krutost u svim smjerovima unutar ravnine ploče, a ortotropna kada se krutosti u dva okomita smjera znatnije razlikuju Pretpostavka o izotropnosti nije posve ispravna za pune armiranobetonske ploče, zbog veće količine uzdužne armature, ali se njezinim usvajanjem dobivaju rezultati prihvatljivi u praksi
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
Proračun ploča •
Šuplje ploče još više odstupaju od pretpostavke o izotropnosti, ali i njih možemo tretirati kao pune, ako su ispunjeni sljedeći uvjeti:
visina i širina šupljina manja je od 60% visine, odnosno širine plo če unutar plo če postoji dostatan broj popre čnih rebara (puna plo ča u okolini oslonaca, rebro u sredini raspona) kod oblikovanja presjeka poštovane su minimalne izmjere :
n u a r o r P
č
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
11
31.10.2013.
Proračun ploča Dostupne metode proračuna:
n u č a r o r P
1. Zatvorena analitička rješenja Rješenje se dobiva rješavanjem diferencijalne jednadžbe ploče za zadane rubne uvjete i opterećenja. Složenost rješenja zahtjeva mnoge pretpostavke i pojednostavljenja, a čak i tada nije dostatno da se riješe složeniji problemi. Primjena je ograničena na jednostavne, pravilne ploče sa konstantnim rubnim uvjetima i jednostavnim opterećenjima. 2.
Tablične metode proračuna U inženjerskoj praksi često korištena metoda proračuna. Za neke tipične ploče izrađene su tablice ili dijagrami u kojima se za konkretne dimenzije i uvjete pronalaze koeficijenti za proračun ili gotova rješenja.
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
Proračun ploča Dostupne metode proračuna:
n u a r o r P
3.
Približne metode proračuna Ploča se aproksimira jednostavnijim elementima. To mogu biti trake jedinične širine u jednom ili dva smjera koje se računaju zasebno. U ove metode mogu se ubrojiti i razni roštiljni sistemi, shear key sistem itd.
4.
Numeričke metode Razvojem računala i software-a danas su ove metode najraširenije. Dozvoljavaju gotovo neograničenu slobodu oblika i opterećenja sa složenim rubnim uvjetima. U ove metode spadaju metoda konačnih diferencija i metoda konačnih elemenata.
č
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
12
31.10.2013.
Primjenjivost metoda proračuna ploča na tipove ploča: Numeričke metode
Analitičko rješenje
Tablično rješavanje
Približna metoda (roštilj)
Konačni elementi
Puna ploča
●
●
●
●
●
Olakšana ploča
●
●
●
●
●
●
Konačne diferencije
TIP PLOČE
Ploča na nosačima
n u č a r o r P
Ploče u sanducima
●
Spregnute ploče
●
●
●
●
●
Ortotropne ploče
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
TLOCRT
Pravilna Kosa (> 20°)
●
Zakrivljena Nepravilna RUBNI UVJETI
Slobodno oslonjena na krajevima
●
Slobodno oslonjena na krajevima i između
●
●
Proizvoljno
Građevinski fakultet u Zagrebu
Analitičko rješenje
D x
Huber‐ova jednadžba ploče: D xy
e j n e š e j r o k č i t i l a n A – n u č a r o r P
Vrijednost 2H označava efektivnu torzijsku krutost ortotropne ploče.
Radić, Vlašić
Mostovi II
4 w 4w 4w 2 H 2 2 Dy 4 4 x x y y
G xy h
12
Uvjeti torzijske krutosti
3
;
G xy
p( x, y) ;
E x E y E x
(1 2 xy ) E y
;
D x
xy
E x h3
12(1 x y )
E x E y
yx ;
Primjena uz zadani uvjet
Dodatni uvjeti krutosti na savijanje
ploča sa velikom torzijskom krutošću
poprečna
;
D y
2 H
E y h3
12(1 x y )
D x y Dy x 4 Dxy
Primjena uz dodatan uvjet
ortotropna ploča sa zatvorenim rebrima
H 2
D x Dy
4 w 4 w 4w D x 2 H 2 2 Dy 4 x 4 x y y
p ( x, y)
krutost se zanemaruje
D x
2 H
4w 4w D y 4 p ( x, y ) 2 2 x y y
0
armiranobetonska ploča (armatura u x i y smjeru uzrokuje ortotropnost)
H
2
D x Dy
D x
4 w 4 w 4w 2 H 2 2 Dy 4 x4 x y y
p( x, y)
izotropnost i homogenost ploče i materijala
H
D x Dy D
potpuno izotropna ploča
4 w 4 w 4w p( x, y) 2 2 2 4 x 4 x y y D D
Eh3 12(1 2 )
ortotropna ploča sa otvorenim rebrima
ploča s malom torzijskom krutošću
H 2
Građevinski fakultet u Zagrebu
D x Dy
4 w 4w 4w 2 H 2 2 Dy 4 p( x, y) D x x 4 x y y
Mostovi II
poprečna krutost se zanemaruje
D x
4 w p( x, y) y 4 D y
H 0
Radić, Vlašić
13
31.10.2013.
Analitičko rješenje Moguće analitičko rješenje Huberove jednadžbe – trigonometrijsko rješenje: e j n e š e j r o k č i t i l l a n A – n u č a r o r P
w
Y sin x n 1
n
x 0,
n l
y
0,
2w 0 x 2
xl
w0
ys
w Y n
y
slobodno oslanjanje
2Yn 4Y D y 4n 0 2 y y
D x 4Yn 2H 2 Yn
e my 4
D x e my slobodno oslanjanje
2H 2m2e my D y m4e my 0
2 H 2 2 4 D x D y m D y 0
s
m4
x
m
H D y
2
H D x Dy Dy
Rješenja za m se mogu različito iskazati ovisno o odnosu krutosti H, Dx i Dy. Generalno, razlikuju se tri mogućnosti. Prema ovim odnosima vrijednosti ispod korijena će se mijenjati. Građevinski fakultet u Zagrebu
Radić, Vlašić
Mostovi II
Razlike u savijanjima i progibima izotropne i ortotropne ploče: e j n e š e j r o k č i t i l a n A – n u č a r o r P
a) izotropna ploca Dx=Dy y
x x
b) ortotropna ploca Dx
x
x '
y'
y x l x
y' x ' l x
y
l y= l x
z
Wo
max My=max Mx
z
W 'o
max My>max Mx
X - X
X' - X'
Wo
W 'o
max Mx
max Mx
Y' - Y'
Y-Y
Građevinski fakultet u Zagrebu
y
l y= l x
Mostovi II
Radić, Vlašić
14
31.10.2013.
Proračun po teoriji greda
a d e r g a j i r o e T – n u č a r o r P
•
ovaj proračun je moguće koristiti kada je l y ≤ lx /2
•
svođenje pločastog nosača na gredni nosa č jedinične širine
•
Nekoliko problema: – pronaći mjerodavno opterećenje jedinične trake – uzeti u obzir unutarnje sile u poprečnom smjeru – prikladno ojačati rubne, opterećenije dijelove ploče
•
Računamo momente i poprečne sile u uzdužnom smjeru plo če
•
Razdiobu opterećenja u poprečnom smjeru pokrivamo pretpostavkama u analizi opterećenja
•
Unutarnje sile u popre čnom smjeru ne računamo, kao ni momente torzije
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
Proračun po teoriji greda • ly ≤ lx/2 a d e r g a j i r o e T – n u č a r o r P
• Pokrivanje dijagrama momenata savijanja i poprečnih sila za središnju traku širine 1 m • Rubne dijelove ploče širine 0,2 ly ojačavamo s 10 do 20% više glavne armature Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
15
31.10.2013.
Proračun po teoriji greda • Mjerodavno opterećenje jedinične trake a d e r g a j i r o e T – n u č a r o r P
kotac racunskog vozila kolnicki zastor ploca ° 5 4
° 5 4
b /2
b /2
neutralna os
b širina rasprostiranja
bs
bl
Q Građevinski fakultet u Zagrebu
Aar Aa
lx
l y
2
Qk bs Radić, Vlašić
Mostovi II
Proračun po teoriji greda Poprečne sile • Uvelike ovise o načinu oslanjanja • Mjerodavne širine rasprostiranja za proračun posmičnih naprezanja na ležaju • Potpuni linijski ležaj – poprečne sile nisu kritične presjek A-A • Kratki linijski ili točkasti ležaji –
a d e r g a j i potrebna posmična armatura u ploči r o e • Mjerodavna poprečna sila na udaljenosti d (EC2) T – • Potreba za određivanjem pop.arm. (EC2): n u č a Sd Rd, 1 r o r P
V
V
A d
A
A r a
A R
b d
A m
b
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
16
31.10.2013.
Proračun po teoriji greda
a d e r g a j i r o e T – n u č a r o r P
• Proračun i dimenzioniranje skrivenih greda • Preostale dijelove ploče u poprečnom smjeru armiramo s 20% vrijednosti glavne uzdužne armature
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
Proračuni pomoću tablica i dijagrama a m a • Kako bi se olakšao i ubrzao proračun, za najčešće tipove ploča i rubnih r g uvjeta napravljene su mnoge tablične metode, dijagrami i utjecajne a j i plohe. d i a • Neki od tih postupaka posebno su upotrebljivi samo za izotropne ili c i ortotropne ploče l b • Povijesni slijed izdavanja ovakvih priručnika: a t e j 12. Homberg, H.; Ropers, W. 1965. 1. Olsen, H.; Reinitzhuber, F. 1950. n e 13. Stiglat, K. 1965. 2. Olsen, H.; Reinitzhuber, F. 1951. t š 14. Bergfelder, J. 1967. i 3. Hoeland, G. 1957. r 15. Homberg, H. 1968. 4. Kawei, T.; Thϋrlimann, B. 1957. o K 16. Schleicher, C.; Wegener, B. 1968. 5. Pelikan, W.; Eβlinger, M. 1957. – 17. Molkenthin, A. 1971. 6. Pucher, A. (drugo izdanje) 1958. n 18. Homberg, H. 1973. 7. Rüsch, H. 1960. u č 19. Graβhoff, S. 1975. 8. Krug, S.; Stein, P. 1961. a r 20. Mendel, G. 1975. 9. Malkwitz, H. 1964. o 21. Gauger, H. U.; Oxfort, J. 1983. r 10. Rüsch, H.; Hergenröder, A, 1964. P 11. Bittner, E. 1965. Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
17
31.10.2013.
a m a r g a j i d i a c i l b a t e j n e t š i r o K – n u č a r o r P
Pucher ‐ovi dijagrami
Pucher (1958) je bio jedan od prvih koji je izradio dijagrame utjecajnih ploha za izotropne ploče. Obrađene su: kontinuirane plo če, pravokutne plo če i okrugle ploče, rubni uvjeti obuhva ćaju upete, slobodno oslonjene plo če i slučaj kada je plo ča oslonjena samo na dva kraja Pri tome su mogu će kombinacije upetih i slobodno oslonjenih rubova za omjere stranica plo če kao na slici
a/b b/a
0,8 1,0
b/a
0,8 1,0
0,8
1,2 1,4
0,8 1,0
upeto slobodno oslonjeno bez oslanjanja
Građevinski fakultet u Zagrebu
1,0 1,2
1,2
0,8 1,0
0,8 1,0
0,8
1,0 1,2
0,5 0,667
-
0,8 1,0
-
b a
Radić, Vlašić
Mostovi II
Pucher ‐ovi dijagrami
a Veličine za koje su rađene utjecajne linije su momenti savijanja u smjeru x i y (mx, my) i moment torzije (m xy) m a r Za kontinuiranu i potpuno upetu plo ču postoje i utjecajne linije za popre čnu g silu (qx, qy) a j i Utjecajne linije su dane za to čke u sredini plo če i, ako je upeta, na njenom d rubu. i Utjecajna linija za moment my (moment oko osi y) u sredini plo če koja ima a odnos stranica b/a=1,4 (vrijednosti treba pomnožiti sa 8 ): c i l b Za neko zadano optere ćenja momente a t savijanja u točki (u,v) dobiti ć emo na slijedeći način: e j n Za plošna optere ćenja: e m(u , v) l p( x, y ) (u , v, x, y) dxdy t š i r Za linijska opterećenja: o m(u, v ) l p( ) (u , v , x , y )d K – Za koncentrirana opterećenja: m(u, v ) P ( x, y ) (u , v, x, y) n u č je vrijednost utjecajne linije u točki (x,y) za a r određeni moment, a l je: o r • razmak ležajeva za beskonačne ploče, P • dulja stranica za pravokutne ploče. п
2
i
i
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
18
31.10.2013.
a m a r g a j i d i a c i l b a t e j n e t š i r o K – n u č a r o r P
Rüsch‐ove tablice • Isključivo za opterećenja cestovnih mostova prema starom DIN 1072 • Računaju se pojedine najveće vrijednosti unutarnjih sila od djelovanja stalnog i prometnog opterećenja – približno se određuje raspored momenata u ploči, pomoću dijagrama • Uzdužni momenti Mx • Rubni momenti Mxr > Mxm
Građevinski fakultet u Zagrebu
Rüsch‐ove tablice a m a r g • Pozitivni poprečni momenti My a j i • M > M d ym yr i a • M 1/5 max M c y x i l b • Negativni poprečni momenti a t na rubovima – od opterećenja e j n na konzolama e t š i r o K • Dimenzioniranje kutova ploče na – savijanje i torziju n u č a ‐ Kut ploče, dolje: M *x M x M xy r M *y o r * P M *y ‐ Kut ploče, gore: M x M x M xy Građevinski fakultet u Zagrebu
Radić, Vlašić
Mostovi II
Mostovi II
M y M xy M y M xy Radić, Vlašić
19
31.10.2013.
a m a r g a j i d i a c i l b a t e j n e t š i r o K – n u č a r o r P
Rüsch‐ove tablice Koordinata točke za vrijednost Br. ploče
Odnos ly/lx
Vrijednost x
y
∞
0 0 lx/2
0 0 0
mxm mym qx
1A 1A 99
1B 1B 99
...
...
...
...
...
...
2,0
0 0 0 lx/2 0 0,445 lx 0,445 lx 0,445 lx
0 0 ±ly/2 0 lx/4 ly/2-0,03lx ly/2-0,03lx ly/2-0,03lx
mxm mym mxr qx my mx my mxy
6A 6A 6A 99 99 103 103 103
6B 6B 6B 99 99 -
y
1
x
...
...
y
6
x
Građevinski fakultet u Zagrebu
a m a r g a j i d i a c i l b a t e j n e t š i r o K – n u č a r o r P
Smjer
Radić, Vlašić
Mostovi II
Rüsch‐ove tablice
mg
g k l x2
m p
Građevinski fakultet u Zagrebu
P1 1 p1 k1 p2 k2 Mostovi II
Radić, Vlašić
20
31.10.2013.
a m a r g a j i d i a c i l b a t e j n e t š i r o K – n u č a r o r P
Rüsch‐Hergenröder metode – za kose ploče za kose izotropne ploče ‐ upotreba utjecajnih ploha ‐ utjecajne plohe su dane za različite odnose stranica ploča, kutove zakošenosti, uvjete oslanjanja i točke u kojima tražimo momente savijanja obrađeni su kutovi zakošenosti od 30°, 45° i 60° i odnosi stranica b/lφ od 0,4 do 1,6 posebno su dane utjecajne plohe za momente savijanja u smjerovima x i y i za moment torzije mxy
Građevinski fakultet u Zagrebu
Radić, Vlašić
Mostovi II
Proračun ploče metodom roštiljne analize a z i l a n a a n j l i t š o R – n u č a r o r P
• • • •
Zadovoljavajuća točnost za inženjersku praksu Br. uzdužnih nosača do 20, b1‐2 ≥ 2d ÷3d, min 4 el. u uzduž. smjeru Zadati dimenzije pop. i uzd. elemenata (zbog krutosti), pop.el.sa =0 3 Moment inercije b d I
12
• Kod roštiljne analize torzijska se konstanta obično reducira na polovicu vrijednosti u oba smjera pa torzijska krutost pojedinog elemenata ploče teorijski približno iznosi: C
1
0, 333 b d 2 3
b1
b2
b3
3
b d
6
Građevinski fakultet u Zagrebu
2I
d
1
Mostovi II
2
3
Radić, Vlašić
21
31.10.2013.
Proračun ploče metodom roštiljne analize a z i l a n a a n j l i t š o R – n u č a r o r P
• Poprečni elementi trebaju biti okomiti na uzdužne • Razmak uzdužnih i poprečnih elemenata trebao bi biti sličan – razmaci manji od četvrtine raspona 11,8
0 , 1
0,3
0,3
1,7
2,8
2,8
2,8
1,7
y
x
2,86 20,0
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
Proračun ploče s uzdužnim spojnicama • Mala krutost na poprečno savijanje uzdužnih spojnica • Poprečna razdioba se vrši preko poprečnih sila – manje učinkovita nego kod a z
i pune ploče l a n • Uzdužni nosači s krutim istakama koje su povezane ili zglobovima ili a elementima male krutosti a n j l i t š o R – n u č a r o r P
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
22
31.10.2013.
Proračun kosih ploča •
Najvažniji parametri za ponašanje kosih ploča pod opterećenjem:
e o l p e s o K – n u č a r o r P
kut križanja ; ako je 70 može se zanemariti utjecaj kosine odnos b/L način oslanjanja (zaokretni linijski ležajevi u smjeru ležajne linije ili pojedinačni svestrano zakretni ležajevi)
č
= 60
= 30
b:L=2
b : L = 0,5 b
b
L
b
L
linija oslonca
linija oslonca
b:L=1 b
b:L=1
L b
L
linija oslonca
linija oslonca
Građevinski fakultet u Zagrebu
Radić, Vlašić
Mostovi II
Momenti savijanja kod kosih ploča • Glavni momenti savijanja M1 i M2 ‐ za različite vrste opterećenja mogu imati e • č o l p e s o K – n u č a r o r P
različite smjerove Mxy – torzijski moment ‐ moment smjera ‐ određuje smjer djelovanja glavnih momenata
M 1, 2
Mx
My 2
1 2
(M x
M y ) 2 4M 2xy X
tg 2
2M xy Mx
M1
My ležajna linija Y M2
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
23
31.10.2013.
Momenti savijanja kod kosih ploča • Tijek linija glavnih momenata savijanja jednoliko opterećenih kosih ploča e o l p e s o K – n b:L = 1:2,12 u č a r o r P č
b:L = 1:0,71
° 5 4
° 5 4
ležajna linija
Građevinski fakultet u Zagrebu
Radić, Vlašić
Mostovi II
Momenti savijanja kod kosih ploča • Proračun na savijanje se u praksi obično ograničava na mali broj točaka e o l p e s o K – n u č a r o r P
m r s
č
→ → →
(+) Mmax u polju (+) Mmax na slobodnom rubu (‐) Mmin u tupom kutu uslijed upetosti od linijskog oslanjanja b
2 / L
L /(18 sin )
X
m
r L /12
L /(12 sin )
L r
Y
k
m
L
r
M1
L /18
s
s
M2
° 0 9
2 1 / L
b=L Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
24
31.10.2013.
Momenti savijanja kod kosih ploča • M1 i M2 kod kosih ploča pod kutem 60 i s različitim odnosom b/L opterećenih jednolikim opterećenjem e o l p e s o K – X n u č a r o r P
u tupim kutovima jaka promjena smjera djelovanja momenata
č
M=0
+M1 m
s -M 2
M=0 r
r
m +M2
+M2
M1 +M1
+M1
+M2 +M1
+M1
+M1
s -M 2
+M1
0 6
Y M2
ležajna linija b:L=0,8
Građevinski fakultet u Zagrebu
b:L=1,2
Radić, Vlašić
Mostovi II
Momenti savijanja kod kosih ploča • •
e č o l p • e s o K – n u č a r o r P
Kose ploče mogu se analizirati pomoću kose ili ortogonalne mreže elemenata Za kosine, koje od pravog kuta odstupaju za više od 20o, kosim mrežama nedostaju elementi u smjeru dominantnih djelovanja (glavnih momenata) pa nisu pogodne za proračun Štapni elementi trebali bi biti usporedni s linijama nošenja, koje su obično ortogonalne.
a) Kosa mreža
b) Mreža s elementima okomitim na raspon
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
c) Mreža okomita na oslonce Radić, Vlašić
25
31.10.2013.
Momenti savijanja kod kosih ploča • •
e • o l p e s • o K – n u č a r o r P č
Za uske ploče povoljno je armaturu postavljati u smjeru plo če, što nameće rješenje mreže s elementima okomitim na raspon (b) za elemente s linijom oslonca na upornjaku duljom od raspona, povoljno je postaviti mrežu okomitu na oslonce (c) Čak i kada su glavne nosive linije dobro aproksimirane mrežom štapnih elemenata u modelu, proračun može iskazati znatne lokalne momente torzije. glavni momenti u tom se slu čaju računaju iz ortogonalnih momenata, prema danoj formuli
a) Kosa mreža
b) Mreža s elementima okomitim na raspon
Građevinski fakultet u Zagrebu
c) Mreža okomita na oslonce
Mostovi II
Radić, Vlašić
Momenti savijanja kod kosih ploča • •
e • č o l p e s o K – n u č a r o r P
Neke ploče su izrazito nepravilnog oblika, često s proširenjem na jednom kraju Tada se odabire mreža u kojoj elementi mijenjaju me đusobni razmak Kod određivanja statičkih karakteristika treba paziti da se one mijenjaju duž nosača
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
26
31.10.2013.
Momenti savijanja kod zakrivljenih ploča •
e • o l p e n e j l v i r k a Z – n u č a r o r P č
Zakrivljene ploče mogu se modelirati na dva na čina, pomoću zakrivljenih i pomoću ravnih elemenata. Kod uobičajenih konstrukcija i ve ć ranije objašnjenog na čina formiranja mreže elemenata promjena smjera štapnog elementa u čvoru rijetko treba biti veća od 5o.
Građevinski fakultet u Zagrebu
Radić, Vlašić
Mostovi II
Ležajne reakcije, oslanjanje i poprečne sile u kosim pločama Preporuke za odabir ležaja pri >40
e o l p e s o K – n u č a r o r P
Čvrsti linijski ležaj Duljina ležaja do 10 m
č
linijski ležaj pokretan samo u poprecnom smjeru
klizni ležaj
<10 m nepokretan linijski ležaj
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
klizni ležaj
Radić, Vlašić
27
31.10.2013.
Ležajne reakcije, oslanjanje i poprečne sile u kosim pločama Preporuke za odabir ležaja pri <40
e č o l p e s o K – n u č a r o r P
Nepomičan svestrano zaokretni ležaj u tupi kut Ostali ležajevi pomični svestrano zaokretni na razmaku 2h do 4h zrakasto pokretan
ili 2 nepokretna ležaja
nepokretan ležaj svestrano zaokretan 4h do 8h
2h do 4h
zrakasto pokretan
4h do 7h <7m
s ovakvim rasporedom ležaja se na pokretnom kraju dobivaju mali pomaci u smjeru linije ležaja
nepokretan ležaj
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
Dimenzioniranje armature u ploči provodi se prema provjerama graničnih stanja: 1. Granično stanje sloma – savijanje
e Glavni kriterij za dimenzioniranje je dominantna unutarnja sila - moment savijanja. j n U betonskim plo čama uvijek se javljaju i momenti torzije . a r i Torzijska naprezanja ne smij u se zanemariti. n o Glavna proračunska pretpostavka ‐ materijal linearno elasti čan, odnosno presjek je i z neraspucao. n e m i D 2. Granično stanje sloma – posmik ‐
Posmična naprezanja uglavnom nisu presudna za dimenzioniranje plo če.
Ovo granično stanje rijetko je kritično, osim kod pojedina čnih oslonaca, naj češće na stupovima.
n Većina propisa dopušta AB plo če bez posmi čne armature, za razliku od greda, kod u č kojih su vilice obavezne. a r o r P 3. Granično stanje sloma – proboj ploče
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
28
31.10.2013.
Dimenzioniranje armature u ploči provodi se prema provjerama graničnih stanja: 4. Granično stanje uporabe – naprezanja e j n a r i n o i z n e m i D
Uobičajeno je ograni čiti vlačna naprezanja čelika i tlačna naprezanja betona na takav način da konstrukcija ostane u linearnom podru č ju. Na taj se na čin provjera progiba i širine pukotina može provesti bez nelinearnog proračuna. Provjeru naprezanja nije potrebno provesti uvijek. EC 2 dopušta pretpostavku da je ograničenje naprezanja zadovoljeno i bez zasebnog prora čuna ako je: • • •
proračun proveden prema grani čnim stanjima nosivosti zadovoljen uvjet minimalne armature raspored armature usklađen s propisom i preporukama.
‐
n u 5. Granično stanje uporabe – širina pukotina a Široke pukotine su nepoželjne iz estetskih i trajnosnih razloga. r o r Smatra se da pukotine šire od dopuštenih omogu ćuju brži razvoj korozije armature. P
č
EC 2 dopušta da se izbjegne proračun širine pukotina ako je udovoljeno pravilima koja ograni čavaju promjer i raspored šipki armature.
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
Dimenzioniranje armature u ploči provodi se prema provjerama graničnih stanja: 6. Granično stanje uporabe – progibi e j n a r i n o i z n e m i D
Deformacije elemenata konstrukcije ne smiju biti takve da se ugrozi funkcionalnost građevine. Kod mostova je bitno uo čiti da se i progibi unutar grani čnih vrijednosti mogu u vožnji očitovati kao neugodno poskakivanje vozila . Prema EC2 progib plo ča ograničen je s 1/250 Potrebno je rasponskom sklopu mosta dati nadvišenje, koje odgovara ra čunskom progibu za djelovanje stalnog optere ćenja.
‐
n 7. Granično stanje uporabe – zamor u EC 2 predvi đa provjeru armature na zamor. č a Ovakve provjere rijetko se provode u praksi , jer se pokazalo da problem zamora ne r o uzrokuje oštećenja AB konstrukcija. r P Ova provjera bitna je kod nekih želj ezničkih mostova ili kod korištenja zavarene armature.
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
29
31.10.2013.
Armiranje punih ploča mekom armaturom
• Uzdužni smjer e o l p e n t u k o v a r P
č
UZDUŽNI PRESJEK
uzdužno min 5
10/m
poprecno min 6,6
ukosnica
10/m
max 0,3h
vilica-držac
h
vilice, kada su potrebne samo do L x = 0,3L ili 6h ako je L/h > 18 krajeve poviti na licu mjesta (sidriti pod kutem 15 )
‐
e j n a r i m r A
bez nastavljanja armature od 0,3L do 0,7L RASPODJELA POPRECNE ARMATURE 0,2 L x
0
L 2
0,4 L x
0,3A S1,Y 0,6A S1,Y
Građevinski fakultet u Zagrebu
A S1,Y
Mostovi II
1 A 5 S1,X
Radić, Vlašić
Armiranje punih ploča mekom armaturom e č o l p e n t u k o v a r P ‐
e j n a r i m r A
• Poprečni smjer Bez posmicne armature (vilica)
s vilicama na razmaku v 0,4m
rubna vilica e=150 - 250mm e
d x a m n i m
glavna armatura u 2 reda: razmak između redova min max d e
de Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
30
31.10.2013.
Pune ploče od prednapetog betona •
Uzdužni kabeli iznad donje mreže na držače e č • Ispitivanja na posmik o l pokazala da je najpovoljnije p sidrenje na h/3 e n t • Poprečno: grupe na razmaku od 40 cm – prolaz osoblja pri u k izvedbi o v • Poprečna armatura za sile a r cijepanja od sidrenja kabela P ‐ • b < 10m – poprečno pred. e j nije potrebno ili samo lagano n centrično prednapinjanje u a r i srednjoj 1/3L (protiv uzdužnih m pukotina) r A• b > 10m – poprečno prednap. i na ležajima (zbog temp. i utjecaja od spriječenih deformacija) Građevinski fakultet u Zagrebu
držac
L/2
3 / h
izgled sidra rubna vilica
nategnuto sidro i nepokretno sidro izmjenicno vilica - držac
gornja mreža dodana kod betoniranja
0,4 m za prolaz lagano centricno poprecno prednaprezanje x=0,3 do 0,7 L; y, p=P/(h e) 0,3 MPa
Radić, Vlašić
Mostovi II
Pune ploče od prednapetog betona • e o l p e n t u k o v a r P
č
• •
Kod kontinuiranih prednapetih ploča valja uzdužne kabele iznad stupova zaobliti na što manjoj dužini (<1,5 h) kako bi se skretne sile mogle direktno predati na ležaje Na taj se način sprečava pojava štetnih kosih vlačnih naprezanja Ove kabele treba postaviti na ležaju u što je moguće viši položaj kako bi se u polju pojavile što veće skretne sile naspram gore skretne sile
‐
<1,5h
e j n a r i m r A
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
31
31.10.2013.
• •
e • č o l p e n t u k o v a r P
uzdužni kabeli postavljaju se samo na dijelu pune visine plo če, dok se popre čni kabeli smještaju u gornju zonu, za prihvat momenata savijanja od konzolnog djelovanja rubnih područ ja ploče Poprečni kabeli - ispod uzdužnih kabela, Linija vođenja prema dijagramu momenata savijanja i popre čnih sila
uzdužni kabeli samo ovdje
uzdužni presjek
poprecni presjek nad srednjim osloncem
‐
e j n a r i m r A
h/2
h/2
poprecni popr ecni nosac s vilicama vođenje uzdužnih kabela koncentrirano iznad stupova; poprecni nosac s armaturom za ovješenje za indirektno oslanjanje
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
Šuplje ploče e o l p e n t u k o v a r P
č
• Dijagram kosih vlačnih naprezanja narušen zbog šupljih prostora ‐ osjetljive su na velike poprečne momente i pripadne poprečne sile • Poprečna rebra u (l /2) i na osloncima, ako je l /b 4
poprecna rebra
‐
e j n a r i m r A
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
32
31.10.2013.
Šuplje ploče e o l p e n t u k o v a r P
č
• Uzdužna rebra se armiraju sa sponama na max. 0,3 h ili 30 cm • Poprečna armatura ‐ jedan red armature dolje i gore • Koncentrirana sila kotača vozila prenosi se preko šupljine djelovanjem svoda • Za pravokutne šuplje ploče → uvjet: l o /ho 6
‐
e j n a r i m r A
uzdužni kabeli a)
b)
c)
Lo
o
h
gornja poprecna armatura za Lo/ h o 6
d)
Građevinski fakultet u Zagrebu
Radić, Vlašić
Mostovi II
Šuplje ploče • Široki poprečni nosač iznad stupova kontinuirane šuplje ploče • Poprečno prednapinjanje u područ ju poprečnog nosača e • o Reakcije ploče na rubnim dijelovima izvan područ ja stupa (indirektno
č
l p e n t u k o v a r P
oslanjanje) se preuzimaju putem skretnih sila poprečnih kabela i spona POPRECNI PRESJEK
UZDUŽNI PRESJEK
uzdužni kabeli uzdužni kabeli
armatura za ovješenje poprecni kabeli
poprecni kabeli
‐
e j n a r i m r A h/2
bSx
h/2
poprecni nosac nad stupom Građevinski fakultet u Zagrebu
bSy
h
direktno oslanjanje Mostovi II
h indirektno oslanjanje Radić, Vlašić
33
31.10.2013.
Armiranje kosih ploča Za
> 60 ,
b/ L
1:2
Uzdužna i poprečna armatura postavlja se paralelno s rubovima Slobodni rubovi obuhvaćaju se s vilicama
e o l p e s o K
č
presjek 1-1
b
‐
1
e j n a r i m r A
1
L
vilica
ležajna linija
Građevinski fakultet u Zagrebu
Radić, Vlašić
Mostovi II
Armiranje kosih ploča Za
e č o l p e s o K ‐
e j n a r i m r A
< 60
Uzdužna armatura se postavlja okomito na ležajeve, a popre čna paralelno s ležajevima Na slobodnim rubovima formira se traka b r≈h koja se oja čava uzdužnom armaturom i vilicama Gornja armatura rubnih traka povija se na tupim kutovima plo če u smjeru ležajne linije za preuzimanje momenata upetosti – tu treba progustiti i vilice donja armatura
gornja armatura u kutu 2
2
L
presjek 2-2
vilica
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
34
31.10.2013.
Armiranje kosih ploča Za
e o l p e s o K
č
< 70 ; b:L<1:2 (uska ploča)
Uzdužna armatura postavlja se paralelno sa slobodnim rubovima Poprečna armatura polaže se u srednjim podru č jima ploče okomito na uzdužnu armaturu, a u podru č jima ležaja u obliku lepeze, na krajevima je paralelna s ležajnom linijom gornja armatura kao na prethodnoj slici
b
b:L < 1:2
‐
e j n a r i m r A
L
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
Primjer ‐ Kosa ploča (okvirni podvožnjak) • Tlocrt
r e j m i r P
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
35
31.10.2013.
Modeliranje za proračun • Model
r e j m i r P
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
Modeliranje za proračun • Dodatno stalno opterećenje
r e j m i r P
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
36
31.10.2013.
Modeliranje za proračun • Prometno opterećenje
r e j m i r P
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
Modeliranje za proračun • Prometno opterećenje (4 od 9 važnijih položaja prometnog opterećenja)
r e j m i r P
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
37
31.10.2013.
Mogućnosti izvedbe • Monolitno – na fiksnim i pokretnim skelama • Montažno – od predgotovljenih nosača • Polumontažno – od predgotovljenih nosača sa izvedbom kolničke ploče a b d e v z I
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
Nepokretne skele – monolitna izvedba
a b d e v z I
•
Nepokretne skele su sve klasične nosive skele.
•
One su fiksne i grade se na jednome mjestu, a za ponovnu upotrebu na drugome mjestu moraju se rastaviti i u dijelovima premjestiti.
•
Sve su manje u primjeni za mostove velikih raspona.
•
Prema građi skele mogu biti: drvene, čelične i kombinirane.
•
Oplata može biti daščana, od šperploče i metalna.
•
Mora biti dobro ukrućena i bez vidljivih deformacija od pritiska svježeg betona.
•
Prema namjeni: skele grednih i skele lu čnih mostova
•
Prema načinu oslanjanja: skele s više oslonaca, s malo oslonaca te s dva oslonca u jednom polju mosta
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
38
31.10.2013.
Nepokretne skele – monolitna izvedba Skele s više oslonaca:
• Pogodne su za gredne mostove (i plitke svodove), kada građevina nije visoko uzdignuta iznad tla
• Drveni stupovi mogu biti zabijeni u tlo kao piloti, a na vrhu povezani a b d e v z I
naglavnicom, te ukrućeni horizontalnim kliještima i križevima. • Drveni stupci kao i čelični mogu biti postavljeni i na betonske pragove.
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
Nepokretne skele – monolitna izvedba Skele s malo oslonaca:
• Uglavnom su čelične • Tipizirani dijelovi • Kod mostova različitih raspona i visina iznad terena a b d e v z I
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
39
31.10.2013.
Pokretne skele ‐ monolitna izvedba • •
Bez rastavljanja mogu se premještati uzduž i poprijeko na most Pogodne za ravno i dobro nosivo tlo, te za mostove koji nisu visoko uzdignuti iznad tla i imaju više od tri raspona
•
Radne reške na mjestima nul-točaka momentnog dijagrama (≈¼ l ). radna reška
a b d e v z I
pokretna skela
oplata
stup
Građevinski fakultet u Zagrebu
Mostovi II
Radić, Vlašić
Izvođenje ‐ Montažna i polumontažna izvedba
m 0 2 = x a m
5 7
a b d e v z I
SAN 210/75
D max = 20 m
SAN 210/115
D max =27 m
D
210 5 1 5 1 1
15
5 1
15
0 1
210
m 7 2 = x a m
D
5 1 5 1 5 3 1
15
15 0 1
210
m 2 3 = x a m D
Građevinski fakultet u Zagrebu
SAN 210/135
D max = 32 m
Mostovi II
Radić, Vlašić
40