TEMA
Ing. Oscar Fredy Alva Villacorta Villacorta
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CAPITULO III TEMA
Geometría de Curvas Verticales
4 En la práctica generalmente se presentan dos tipos t ipos de curvas verticales. Simétricas y Asimétricas
L
L1
L
L2
Simétricas, cuando el PIV es equidistante del PCV y PTV Asimétrica, cuando el PIV no es equidistante de PCV y PTV
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Geometría de Curvas Verticales
TEMA
4
Simétricas
myn PIV PCV PTV L d x
: : : : : : :
Pendiente de los alineamientos rectos en el perfil longitudinal Punto de intersección vertical. Principio de curva vertical. Principio de tangente vertical. Longitud de la curva vertical medida en proyección horizontal Externa vertical. Es la distancia vertical del PIV a la curva Distancia horizontal entre el PCV y un punto P de la curva D i ió ti l t l t t d t d l
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Curvas Verticales Simétricas
4 Propiedades
La parábola es la curva de la cual la razón de variación de su pendiente es una constante. En proyección horizontal, horizontal, el punto de intersección de las tangentes tangentes está está a la la mitad de la distancia entre las las proyecciones proyeccio nes de los puntos de tangencia En una parábola de eje vertical, los elementos verticales entre la tangente y la curva (cotas) son proporcionales proporcional es a los cuadrados de las proyeccio proyecciones nes horizontales horizontal es de los elementos de tangencia comprendidos entre el punto de tangencia y el elemento vertical (abscisas). El coeficiente angular angular (pendiente) de la recta que une dos puntos de la curva es el promedio de los coeficientes angulares angulares de las tangentes en esos
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Curvas Verticales Simétricas
4 Aplicando estas propiedades, propiedades, la cota “y ” de cualquier punto de la curva vertical, vertical, referida a la tangente de entrada, puede calcularse a partir de:
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4 Esta expresión general para A permite ilustrar los seis casos que se presentan:
Para el cálculo de A, de A, las pendientes de diferente signo se suman: suman : Casos 1 y 4. Las pendientes de igual signo se restan: restan: Casos 2, 3, 5 y 6.
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4 Un elemento importante de ubicar en curvas verticales es su punt pu nto o má máxi xim mo (el punto más alto de la curva), o su punto mínimo (el punto más bajo de la curva). Estos puntos se encontrarán en una abscisa x que se puede calc lcu ula larr con la sig igu uie ien nte exp xprresió ión n;
m L A
x =
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4 Metodología para calcular las cotas de las curvas: La expresión (a) permite calcular las cotas de los distintos puntos de la parábola. En efecto, para obtener las cotas de la curva, a las cotas calculadas en los distintos puntos de la tangente se resta o se suma según la curva curva sea convexa o , , .
A 2 x 2L
y =
..... (α α )
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4 Abscisas y cotas de PCV y PTV Abscisa de PCV = Abscisa Abscisa Abscisa de PIV – L/2 Abscisa de PTV = Abscisa de PIV + L/2 Cota PCV = Cota PIV + m(L/2) Cota PTV = Cota PIV + n(L/2) n(L/2) Cotas en la tangente en puntos intermedios Cota 1 = Co Cota Cota ta PIV PIV - m(x1) Cota Cot a 2 = Cota Cota PI PIV V - m(x2) Correcciones de pendiente en puntos intermedios: A = m – n (consi (considera derando ndo los los signos signos de m y n) Punto 1: Punto 2: PVI:
y1 = (A/2L) x12 y2 = (A/2L) x22 d = (A/2L) (L/2)2 = AL/8 (debe de verificarse que la corrección es igual a d)
La constante (A/2L) debe de calcularse con todos sus decimales. Cotas corregidas.corregidas.- Cotas de los puntos sobre la curva curva (cotas del proyecto, proyecto, cotas de rasante ó cotas de sub rasante).
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Ejemplo
4 Para el cálculo de una curva vertical simétrica se cuenta con la siguiente información: Abscisa del PIV : Cota PIV : Pendiente de la tangente de entrada: Pendiente de la tangente de salida : Velocidad de directriz :
K2 + 640 5 00 m +8% - 3% 50 Km/h
Calcular las cotas de la curva vertical en abscisas de 10 m.
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4 Solución: Longitud mínima de Curva Vertical con distancia distancia de Visibilidad Visibilidad de Parada A = +8 – ((-3) 3) = 11 11% % V = 50 Km/h n a gura . e encon ramos a ong u m n ma = 120 m
mín
Abscisas y cotas de PCV, PTV Abscisa de PCV = Abscisa Abscisa Abscisa de PIV – L/2 = K2+64 K2+640 0 – 120/ 120/2 2 = K2+ 580 580 Abscisa de PTV = Abscisa de PIV + L/2 = K2+640 + 120/2 = K2+ 700 Cota PCV = Cota Cota Cota PIV PIV – m(L m(L/2) /2) = 500 500 m – 0.0 0.08(1 8(120/ 20/2) 2) = 495. 495.200 200 m Cota Cot a PTV = Cot Cota a PIV – n(L n(L/2) /2) =50 =500 0 m – 0.0 0.03(1 3(120/ 20/2) 2) = 498 498.20 .200 0m
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4 Cotas en la tangente en puntos intermedios Cota 1 = Cota Cota 2 = Cota Cota 3 = Cota = Cota 5 = Cota Cota Cota Cota Cota Cota
PCV + m(x1) = 495.200 + PCV + m(x2) = 495.200 + PCV + m(x3) = 495.200 + = . PCV + m(x5) = 495.200 +
0.08(10) 0.08(20) 0.08(30) . 0.08(50)
= = = = =
496.000 496.800 497.600 . 499.200
m m m m
6 = Cota PTV + n(x6) = 498.200 + 0.03(50) = 499.700 m 7 = Cota PTV + n(x7) = 498.200 + 0.03(40) = 499.400 m 8 = Cota PTV + n(x8) = 498.200 + 0.03(30) = 499.100 m 9 = Cota PTV + n(x9) = 498.200 + 0.03(20) = 498.800 m 10 = Cota PTV + n(x10) = 498.200 + 0.03(10) = 498.500 m
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4
Correcciones de pendiente A 2 x 2L
y =
=
0.11 2 x 2 × 120
=
( 4 .58333 x 10 4 ) x 2 −
Para la primera rama: (tangente de entrada) Punto Punto Punto Punto PIV
2 3 4 5
, = K2 + 600, = K2 + 610, = K2 + 620, = K2 + 630, = K2 + 640,
, x2 = 20m, x3 = 30m, x4 = 40m, x5 = 50m, x6 = 60m,
-4 2 . . -4 2 y2 = (4.58333x10 )10 = 0.183m y3 = (4.58333x10-4)102 = 0.412m y4 = (4.58333x10-4)102 = 0.733m y5 = (4.58333x10-4)102 = 1.146m y6 = (4.58333x10-4)102 = 1.650m
Como comprobación la cota del PVI debe ser igual al valor de la externa “d” d= LA / 8 = 120 x 0.10 / 8 = 1.650 m. Ok! Como se trata de una curva simétrica, las correcciones de pendiente de los puntos 6 7 8 9 y 10 de la segunda rama (tangente de salida) son
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Ejemplo
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4 Cotas de rasante o de proyecto:
Para este caso por tratarse de una curva simétrica convexa, para calcular las cotas de la curva, rasante o proyecto, se tendrán que restar las correcciones de las cota (yi) de las cotas en la tangente, Así Cota 1(corregida)
= Cota 1 – y1 = 496.000 496.000 – 0.0 0.046 46 = 495.9 495.954 54 m
En forma análoga para los otros puntos: Cuadro de replanteo:
Con estos datos se puede elaborar el cuadro de replanteo de la curva vertical
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4 Cuadro de replanteo
Ejemplo
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Curvas Asimétricas
4 Una curva vertical es asimétrica cuando las proyecciones horizontales de sus tangentes son de distinta longitud. Esta situación se presenta cuando la longitud de la curva en una de sus ramas está limitada por algún motivo. La Figura il ilus ustr tra a est ste e caso para una curva vertical convexa.
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Curvas Asimétricas
4 El cálculo de los elementos de las curvas asimétricas se simplifica cuando estas se consideran como dos curvas verticales simétricas consecutivas, calculándose las ordenadas por separado con .