5 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS DE TEMPERATURA
5.1 EFECTO DE LOS CAMBIOS DE TEMPERATURA Cuando ocurren cambios de temperatura los cuerpos se dilatan o se contraen según que el cambio sea de aumento o disminución, a menos que existan restricciones impuestas por otros cuerpos. Cuando no existen restricciones el cambio de longitud por variación en la temperatura se expresa como:
T T L
(5.1)
fórmula en la cual:
T : es la deformación por cambio de temperatura y se expresa en unidades de longitud (m, mm) T : es el cambio en la temperatura; se expresa en grados centígrados, y siguiendo la convención más aceptada, se usará el signo + para un aumento de temperatura y el - para una disminución.
L: es la longitud original del cuerpo, expresada en m : es el coeficiente de dilatación térmica, propiedad de cada material, el cual se m expresa en m ºC 98
CONFERENCIAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAPÍTULO 5 – ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS EN LA TEMPERATURA
En la Tabla 5.1 se registran los valores de para algunos materiales estructurales.
T
T , es igual en todas las direcciones, para L los materiales isotrópicos, tal como puede verse en la Figura 5.1, de manera que: La deformación térmica unitaria,
T T T T X
Y
Z
(5.2)
Figura 5.1:Deformaciones libres por cambio de temperatura
Tabla 5.1 – Valores de para algunos materiales estructurales Material Coeficiente de dilatación térmica 10 6 / º C Ladrillo 9 Hormigón
11,2
Fundición
11,2
Acero
11,7
Latón
16,6
Bronce
18,9
Aluminio
23,4 Fuente: SEELY, F; SMITH, J. RESISTENCIA DE MATERIALES. Uteha. México, 1973.
Cuando hay restricción a la deformación frente a cambios de temperatura se generan esfuerzos en el cuerpo, porque las fuerzas restrictivas hacen el mismo efecto que una carga capaz de generar una deformación elástica igual a deformación térmica. La restricción puede ser: Nula: no hay restricción y por lo tanto el cuerpo puede deformarse libremente sin que se generen esfuerzos.
99
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Total: no puede haber deformación y por lo tanto la totalidad de las fuerzas restrictivas generan esfuerzos. Parcial: el cuerpo interactúa con otros cuerpos que ponen límites a las deformaciones sin impedirlas totalmente.
5.2 ESFUERZOS DE ORIGEN TÉRMICO EN BARRAS CON RESTRICCIÓN TOTAL Si no hay restricciones para la deformación esta es libre, es decir, no va acompañada de esfuerzos. Pero cuando la deformación está impedida o restringida, aparecen esfuerzos de compresión cuando hay aumento de temperatura y esfuerzos de tracción cuando la temperatura disminuye. En la Figura 5.2 se explica la equivalencia de la acción de las fuerzas restrictivas con una fuerza imaginaria equivalente capaz de producir una deformación elástica igual a la deformación térmica libre. La situación de una barra que no puede deformarse cuando ocurre un aumento de temperatura, es equivalente a la de una barra a la que se la deja deformarse libremente y una vez deformada se somete a una carga axial de compresión, la cual va a producir una deformación elástica con la que vuelve la barra a su longitud original. Si no existiera la restricción en B, Figura 5.2(b), la barra podría deformarse libremente una cantidad igual a
T T L La acción del apoyo en B, Figura 5.2(c), equivale a la de una fuerza de compresión F F L capaz de producir en la barra una deformación elástica , que sea igual a la A E deformación térmica no restringida, o sea:
T , y por lo tanto FL T L A E Siendo F/A el esfuerzo axial que se produce en la barra impedida de deformarse por efecto de un cambio de temperatura:
T
T L E L
T T E 100
(5.3)
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Figura 5.2: Esfuerzos térmicos en barras totalmente restringidas
Ejemplo 5.1.- Un elemento estructural de concreto está íntimamente ligado en sus extremos con placas rígidas inamovibles. El coeficiente de dilatación térmica del concreto es =11,2 x 10-6 /ºC, su módulo de elasticidad es E = 18 GPa y se ha dosificado para una resistencia a compresión f’ C = 21 MPa. El elemento de concreto tiene una longitud de 2,40 m y una sección transversal de 0,30 m x 0,30 m. Cuál será el cambio de temperatura máximo que se puede producir si se desea que el esfuerzo de origen térmico en tracción en la masa de concreto no sea mayor del 15% de la resistencia a la compresión. Solución: En un elemento con restricción total para que haya esfuerzos de tracción debe disminuir la temperatura. El esfuerzo admisible en el problema es: T 0,15 21 MPa 3,15 MPa 101
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T T /( E ) 3,15 MPa (11,2 10 /º C ) (18 10 9 Pa ) T 15,63 º C T
6
Ejemplo 5.2(1).- La barra rígida AB de la figura 5.3 está articulada mediante un perno en O y conectada a dos varillas. Si la barra se mantiene en posición horizontal a determinada temperatura calcule la relación de áreas de las varillas para que la barra AB se mantenga horizontal a cualquier temperatura. Desprecie la masa de la barra.
3m
4m
O A
B Aluminio E=70 GPa =23 x10-6/°C L=8 m
Acero E=200 GPa =11.7 x 10-6/°C L=8 m
Figura 5.3: Barra rígida conectada a varillas
Solución: El hecho de que la barra AB permanezca siempre horizontal, a cualquier temperatura, implica que las varillas de aluminio y acero nunca se deforman y por lo tanto en ellas se puede aplicar la fórmula de cálculo del esfuerzo térmico para restricción total a la deformación:
T T E T (23 10 6 / C ) T (70 GPa) AL
FTAL 1,61 10 6 T AAL
T (11,7 10 6 / C ) T (200 GPa) FT 2,34 10 6 T AS S
S
N / m C 2
N / m C 2
De esta manera, la relación entre las áreas de las varillas para mantener la condición exigida en el problema será:
1
Problema propuesto en PYTEL, SINGER. RESISTENCIA DE MATERIALES. Oxford University Press, cuarta edición. México, 1993. 102
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FTAL AAL 1,61 2,34 FTAL 1,45FTAL FTs AS 1,61FTS FTS 2,34 Una ecuación de equilibrio estático permite establecer una relación entre las fuerzas en las varillas:
3m FA
4m VO
FS
Figura 6.3(a): DCL de la barra rígida
M O 0 3FTAL 4 FTS 0 FTS 0,75FTAL Sustituyendo:
AAL 1,45FTAL 1,93 AS 0,75FTAL Es frecuente encontrar unas situaciones combinadas de deformación libre y deformación restringida (total o parcial). Es importante entender que los esfuerzos axiales de origen térmico solo se producen cuando los cuerpos no pueden deformarse; en casos de restricciones combinadas, una parte del cambio de temperatura ( T1 ) produce deformación libre hasta cuando entra en contacto con otros cuerpos o con apoyos inamovibles; de ahí en adelante, T2 produce esfuerzos. Ejemplo 5.3.- Se ha fundido una losa de piso de concreto simple de 4 m x 4,50 m entre paredes de hormigón reforzado que se pueden considerar como inamovibles. Si a la temperatura de 10 °C la losa está en contacto con las paredes sin esfuerzo, calcular el máximo esfuerzo en la masa de concreto cuando la temperatura asciende a 35 °C. ¿Cuál sería el esfuerzo máximo si la losa tiene holguras de 0,5 mm en ambas direcciones? El concreto tiene un módulo de elasticidad E = 21 GPa, y un coeficiente de dilatación térmica = 11,2 x 10-6/ºC. Solución:
103
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La primera situación es un caso de restricción total a las deformaciones térmicas. En la segunda se tiene una restricción combinada: deformación libre para un ΔT1, de hasta 0,5 mm y restricción total para el ΔT2 restante. La variación de la temperatura es: T T2 T1 25 º C
Cálculo del máximo esfuerzo térmico
T
max
(11,2 10 6 /º C ) 25 º C 21 GPa
T
max
5,88 MPa (en compresión)
Cálculo de los esfuerzos térmicos cuando hay holguras En la dirección de longitud 4,50 m:
T (11,2 10 6 / º C ) 25 º C 4,50 m 1,26 mm Esto indica que al aumentar la temperatura 25 ºC la losa se deforma más allá del espacio de la holgura y aparecen esfuerzos de compresión. La variación de temperatura para que la losa se deforme libremente hasta entrar en contacto con la pared es:
T1
0,5 mm 9,92 º C (11,2 10 / º C ) 4500 mm 6
Desde la temperatura de 19,92 ºC en adelante cualquier aumento de temperatura genera esfuerzos de compresión, puesto que la restricción es total:
T2 35 º C 19,92 º C 15,08 º C
T (11,2 10 6 / º C ) 15,08 º C 21 10 9 N / m 2
T 3,55 MPa En la dirección de longitud 4 m:
T (11,2 10 6 / º C ) 25 º C 4 m 1,12 mm También en esta dirección entra en contacto con la pared; de igual manera:
T1
0,5 mm 11,16 º C (11,2 10 / º C ) 4000 mm 6
Desde la temperatura de 21,16 ºC en adelante cualquier aumento de temperatura genera esfuerzos de compresión, puesto que la restricción es total: 104
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T2 35 º C 21,16 º C 13,84 º C
T (11,2 10 6 / º C ) 13,84 º C 21 10 9 N / m 2
T 3,26 MPa
5.3 ESFUERZOS DE ORIGEN TÉRMICO EN BARRAS CON RESTRICCIÓN PARCIAL El cuerpo interactúa con otros cuerpos que ponen límites a las deformaciones sin impedirlas totalmente, por lo cual los esfuerzos no se pueden calcular directamente. Cuando un sistema estructural, conformado por elementos de diversas características mecánicas y bajo cualquier disposición geométrica, se somete a un cambio de temperatura, sus elementos se deforman, pero por la interacción de unos cuerpos con otros esas deformaciones ni son libres ni tienen restricción total. Más bien, los elementos logran posiciones de equilibrio inducidas por deformaciones forzadas. Es necesario analizar el problema como uno estáticamente indeterminado. Por regla general los pasos necesarios son: Dibujar un esquema del sistema deformado, en la posición de equilibrio. Una orientación para este esquema la da el cálculo de las deformaciones libres de los elementos del sistema (calculadas suponiendo que no existen los otros elementos); esto permite establecer rangos, definidos por los valores mayor y menor de las deformaciones libres, dentro de los cuales se encuentra la posición de equilibrio. Establecer la compatibilidad de las deformaciones. Utilizar las relaciones constitutivas (deformaciones por cambio de temperatura y Ley de Hooke) para definir las ecuaciones de deformación. Congruente con el esquema del sistema deformado establecer las fuerzas que actúan sobre los elementos del sistema. Encontrar las ecuaciones de equilibrio estático del sistema. Resolver el sistema de ecuaciones para encontrar las incógnitas del problema. Ejemplo 5.4.- A la temperatura de 22 ºC una barra rígida se mantiene en posición vertical, sostenida como se indica en la Figura 5.4(a), por una articulación y por dos varillas, una de acero y otra de bronce, las cuales están a esa temperatura sin esfuerzos. Calcular los esfuerzos en las varillas si la temperatura desciende a -5 ºC. Las características de los materiales de las varillas se indican en la tabla.
105
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VARILLAS
LONGITUD (m) 2,0 1,5
BRONCE ACERO
ÁREA (mm2) 900 625
(x 10 / ºC) 18,9 11,7 -6
E (GPa) 83 200
Solución: Si disminuye la temperatura, las varillas del sistema tratarán de acortarse; sin embargo, por la restricción de la barra rígida a las deformaciones térmicas libres de las varillas estas quedarán sometidas a esfuerzos determinados por la posición final de la barra rígida. Es un problema estáticamente indeterminado, con dos incógnitas que son las fuerzas en las varillas, una ecuación de deformaciones determinada por la diferencia entre la posición inicial y la posición final de la barra rígida, y una ecuación de equilibrio.
TB
EB BRONCE
FB
Es
B B'
BF
Fs
Ts
1m
ACERO
FB
B
B''
B
1m
S S'
SF
S''
FS
S
3m
1m S
3m
A
A
3m
A
Figura 5.4: Barra rígida soportada por varillas; esquema de deformación del sistema; DCL del sistema
Ecuación de deformaciones
Puede verse en el esquema de deformaciones de la figura 5.4(b) que la barra rígida cuya posición inicial es ASB adopta una posición final AS F BF . Como segmentos de un triángulo, las deformaciones totales FB FS en las varillas son proporcionales. Compatibilidad de deformaciones:
106
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F 4m F 0,75 F F 3m B
S
B
S
Las deformaciones totales son el resultado de la interacción entre los elementos de la estructura. Es evidente que si no existiera la varilla de acero la posición final de la barra sería AS B determinada por la contracción térmica libre de la varilla de bronce. De la misma manera, si no existiera la varilla de bronce la posición final sería determinada por la contracción térmica libre de la varilla de acero y la posición final sería AS B . De esta manera AS B y AS B son los extremos de un rango de posibles posiciones finales para la barra rígida. Es lógico que la posición final real debe ser una posición intermedia entre los extremos, posiblemente una como la que se ha escogido para el esquema de deformaciones para este problema, pero de todos modos, la posición final de una varilla se la puede calcular como el resultado de la deformación térmica libre y una deformación elástica causada por una fuerza ejercida por el sistema a través de la barra rígida. La deformación térmica y la deformación elástica en una varilla no son iguales. En una de ellas la deformación elástica será menor que la térmica, en la otra será al contrario. Las contracciones térmicas libres se calculan con los datos del problema:
T (18,9 10 6 / º C ) 27 º C 2000 mm 1,0206 mm B
T (11,7 10 6 / º C ) 27 º C 1500 mm 0,4739 mm S
En el esquema de deformaciones supuesto para este problema:
E T F
T F E
F E T
F T E
S
S
S
S
F S
S
S
B
B
B
B
B
FS 1500 mm 0,4739 mm 625 mm 2 200 kN / mm 2
F 1,0206 mm B
B
FB 2000 mm 900 mm 2 83 kN / mm 2
Sustituyendo en la ecuación de compatibilidad:
FS 1,667 FB 103,28 kN
(1)
Ecuación de equilibrio
En la Figura 5.4(c) se tiene un diagrama de cuerpo libre del sistema, congruente con el esquema de deformaciones adoptado en la Figura 5.4(b)
M A 0 FS 3 m FB 4 m
107
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FB 0,75 FS
(2)
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
FS 45,9 kN FB 34,42 kN
Cálculo de los esfuerzos en las varillas:
45 900 N 73,44 MPa 625 mm 2 34 420 N B 38,24 MPa 900 mm 2
S
(encompres i ón) (entracci ón)
En los dos ejemplos siguientes el contacto entre los cuerpos es directo, de manera que suceden dos cosas: la primera es que hay fuerzas de empuje entre los cuerpos a manera de acción y reacción, y la otra, que las deformaciones se compatibilizan de manera general mediante una relación en la que la extensión de un cuerpo implica la compresión del otro. Ejemplo 5.5.- Dos barras, una de aluminio y una de bronce, cuyas propiedades aparecen en la tabla, están en contacto, sin esfuerzo, a la temperatura de 20 ºC. Si se calienta el conjunto hasta los 60 ºC calcular los esfuerzos normales en las barras. El conjunto está colocado entre apoyos inamovibles, como se representa en la Figura 5.5. BARRA ALUMINIO BRONCE
LONGITUD (m) 0,60 0,40
ÁREA (mm2) 2500 2000
-6
(x 10 /ºC) 23,4 18,9
E (GPa) 70 83
Solución: Es de observar que el conjunto está entre apoyos inamovibles pero en el otro extremo de las barras la restricción a la deformación térmica no es total. Al aumentar la temperatura las barras se empujan una a la otra tratando de dilatarse. En ese empuje se logra una posición de equilibrio para la cual una de las barras se ha dilatado y la otra ha tenido que contraerse, ya que el conjunto no puede variar su longitud total.
Cálculos preliminares
T 60 º C 20 º C 40 º C Deformaciones térmicas libres:
108
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T (23,4 10 6 / º C ) (40 º C ) (600 mm) 0,5616 mm A
T (18,9 10 6 / º C ) (40 º C ) (400 mm) 0,3024 mm B
BRONCE
ALUMINIO L iA
L iB
TA EA
Posicion final de las barras
TB EB Lf A
LfB
FA
FB
Lf A
LfB
Figura 5.5: Sistema de barras; esquema de deformaciones; DCL del sistema
Ecuación de deformaciones
El esquema de deformaciones supuesto en la Figura 5.5(b), muestra que las barras tienen restricción parcial para las deformaciones térmicas, causada por el contacto directo de los dos cuerpos que forman el sistema, lo cual indica que ambas barras podrán deformarse un poco menos que su deformación térmica libre; una fuerza elástica equivalente supuesta, acortará las barras hasta llevarlas a la posición de equilibrio. En otras palabras, la longitud final de cada barra será igual a su longitud inicial más su deformación térmica libre menos su deformación elástica restitutiva. Como la posición de equilibrio es diferente de la posición inicial, una de las barras se habrá alargado y la otra se habrá acortado, pero como la longitud final del conjunto debe ser igual a la longitud inicial ya que el conjunto está entre apoyos inamovibles 109
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L f A L f B Li A LiB L f A Li A TA E A L f B LiB TB EB ( Li A TA E A ) ( LiB TB EB ) Li A LiB
T E T E 0 A
A
B
B
T T E E A
B
A
Esta es la ecuación de compatibilidad de las deformaciones
B
Utilizando las relaciones constitutivas, ley de Hooke y fórmula de cálculo de las deformaciones térmicas
FA 600 mm FB 400 mm 0,5616 mm 0,3024 mm 2 9 2 6 2 500 10 m 70 10 N / m 2 000 10 m 2 83 10 9 N / m 2 6
3,43 FA 2,41 FB 864 kN
(1)
Ecuación de equilibrio
Como puede verse en el diagrama de cuerpo libre de la Figura 5.5(c), la única ecuación de equilibrio estático es
FH 0 RH A RH B FA FB
(2)
Cálculo de fuerzas y esfuerzos
Resolviendo el sistema:
FA FB 148 kN
148 000 N 59,2 MPa (en compresión) 2 500 mm 2 148 000 N B 74 MPa (en compresión) 2 000 mm 2
A
Ejemplo 5.6.- En la Figura 5.6 se representa un tubo de aluminio con área transversal de 600 mm2 que se usa como camisa para un perno de acero con área transversal de 400 mm 2. Cuando la temperatura es T1 = 15 °C la tuerca mantiene el conjunto en una condición ligeramente apretada, tal que la fuerza axial en el perno es despreciable. Si la temperatura se aumenta a T 2 = 80 °C, determine el esfuerzo
110
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normal promedio en el perno y en la camisa.
a 23 10 6 / C ; S 12 10 6 / C ;
E A 73,1 GPa ; ES 200 GPa
150 m
Posicion Inicial
TA
TS ES
EA
FA
Posicion final Fs a
b
c
Figura 5.6: Sistema de perno y tubo; esquema de deformaciones; DCL del sistema Solución: Cuando aumenta la temperatura los dos elementos camisa y perno, tienden a dilatarse; como el aluminio tiene un coeficiente de dilatación mayor que el del acero, la posición de equilibrio implicará una compresión en el tubo y una tracción en el acero (perno).
Cálculos preliminares
T 80 º C 15 º C 65 º C Deformaciones térmicas libres:
T (23 10 6 / C ) (65 C ) (150 mm) 0,22425 mm A
T (12 10 6 / C ) (65 C ) (150 mm) 0,117 mm S
Ecuación de deformación
111
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El diagrama de deformaciones adoptado es el de la Figura 5.6(b). Según este, la compatibilidad de las deformaciones viene dada por la expresión
T E T E A
A
S
S
E
FA 150 mm 600 10 m 2 73,1 10 9 N / m 2
E
FS 150 mm 400 10 m 2 200 10 9 N / m 2
A
S
6
6
FS 150 mm FA 150 mm 0,22425mm 0,117mm 2 9 2 6 400 10 m 200 10 N / m 600 10 m 2 73,1 10 9 N / m 2 6
Realizando las operaciones
1,875 FS 3,42 FA 107,25 kN
Ecuación de equilibrio
En el diagrama de cuerpo libre de la Figura 5.6(c):
FV 0 FA FS
Cálculo de fuerzas y esfuerzos
Resolviendo el sistema de ecuaciones
FA FS 20,26 kN
S
A
20 260 N 50,65 MPa (en tracción ) 400 mm 2
20 260 N 33,77 MPa (en compresión) 600 mm 2
Cuando ocurren los cambios de temperatura en los sistemas estructurales están actuando cargas externas, de manera que los esfuerzos en los elementos son producto tanto de las cargas como de las fuerzas inducidas por la variación térmica. Una forma de analizar y calcular los esfuerzos en los elementos de un sistema estructural es la de la superposición de los efectos gravitacionales con los térmicos: los esfuerzos finales serán los que resulten de sumar los efectos de las cargas, calculados independientemente de los cambios de temperatura, más los efectos 112
CONFERENCIAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAPÍTULO 5 – ESFUERZOS Y DEFORMACIONES POR CAMBIOS EN LA TEMPERATURA
térmicos calculados independientemente de las cargas. El requisito para poder superponer estos efectos es el de que ni los esfuerzos parciales ni los esfuerzos finales sean mayores que los correspondientes límites de proporcionalidad de los materiales. Los siguientes son dos ejemplos de este caso: Ejemplo 5.7.- Una varilla de bronce se estira con una fuerza de 15 kN y se fija a dos puntos inamovibles, cuando la temperatura es de 22 ºC. ¿A qué temperatura la varilla quedará sin esfuerzo? Las características de la varilla son:
A 900 mm2
18,9 10 6 /º C
E 83 GPa
Solución: La varilla tiene un esfuerzo elástico inicial de tracción; si disminuye la temperatura se induce un esfuerzo adicional de tracción, de manera que, para anular el esfuerzo es necesario aumentar la temperatura.
Cálculo del esfuerzo elástico por la carga de tracción:
i
15 000 N 16,67 MPa en tracción 900 mm 2
Cálculo del cambio de temperatura necesario para producir un esfuerzo térmico de igual valor y sentido contrario:
Debido a que la varilla está totalmente restringida para deformarse
T T E T
T 16,67 10 6 N / m 2 E (18,9 10 6 / º C ) (83 10 9 N / m 2 )
T 10,63 º C T f Ti T
T f 22 º C 10,63 º C 32,63 º C Ejemplo 5.8.- La viga rígida de la Figura 5.7 está articulada en A y sostenida del techo por dos varillas de acero en B y C, cada una de 625 mm2 de área de sección transversal. El módulo de elasticidad del acero es 200 GPa y su coeficiente de dilatación térmica es 11,7 10 6 / º C . El peso propio de la viga es w 1,5 kN / m ; en el extremo C se aplica una carga de 5 kN. A la temperatura T 1 = 15 ºC las varillas de acero no soportan esfuerzos de origen térmico. Calcular los esfuerzos totales en las varillas cuando la temperatura sea T2 = 40 ºC. El límite de proporcionalidad del acero es p 240 MPa .
113
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L=2,5 m
L=1,4 m
C
B
A
P 2m
4m
Figura 5.7: Viga rígida soportada por varillas
Solución: Si los esfuerzos en las varillas no superan el límite de proporcionalidad del acero se puede usar el principio de superposición: calcular los esfuerzos producidos por la carga y por el cambio de temperatura en forma independiente y sumarlos para obtener los esfuerzos definitivos.
Cálculos preliminares
El peso propio de la viga es:
W w L (1,5 kN / m) (6 m) 9 kN Las deformaciones térmicas libres son:
T 40 º C 15 º C 25 º C
T (11,7 10 6 / º C ) 25 º C 2 500 mm 0,73125 mm B
T (11,7 10 6 / º C ) 25 º C 1 400 mm 0,4095 mm C
Cálculos de los esfuerzos por carga
Por la disposición de la viga rígida horizontal y el sentido de la carga las dos varillas trabajan a tracción. Ecuación de equilibrio:
114
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FC
FB A
C
D
B
a
W = 9 kN
RA 2m
P = 5 kN 3m
1m
2m A
B
C
B C
b
6m
Figura 5.8: DCL del sistema y esquema de deformaciones para el análisis de esfuerzo por cargas
El diagrama de cuerpo libre se muestra en la Figura 5.8(a):
M A 0 FB 2 m FC 6 m 9 kN 3 m 5 kN 6 m 2 FB 6 FC 57 kN
(1A)
Ecuación de deformación: Según el esquema de deformaciones de la Figura 5.8(b), la compatibilidad de las deformaciones está dada por la relación
C 6m B 2m
C 3 B
Desarrollando la relación de compatibilidad de deformaciones con la ley de Hooke, teniendo en cuenta que las dos varillas son del mismo material y tienen la misma sección transversal
115
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FC 1,40 m F 2,50 m 3 B A E A E FC 5,357 FB
(2 A)
Resolviendo el sistema de ecuaciones
1670 N 2,67 MPa en tracción 625 mm 2 8 940 N C 14,30 MPa en tracción 625 mm 2
B
FB 1,67 kN FC 8,94 kN
Cálculo de los esfuerzos originados por la variación de la temperatura
2 m
4 m
A
C
B BF
TB
TC
FB
C'
EB
EC
B' CF 6 m
FTC
FTB A
C
B
2 m
4 m
Figura 5.9: Esquema de deformaciones y DCL del sistema para el análisis de los esfuerzos originados por el cambio de temperatura
La deformación libre de la varilla C es menor que la de la varilla B. Para la posición de equilibrio de la viga rígida se induce una deformación más allá de la libre para la varilla C, pero para la varilla B la deformación definitiva es menor que la libre, tal como se representa en el diagrama de deformaciones de la Figura 5.9(a). Esto indica que la varilla B se va a encontrar comprimida, mientras que la varilla C va a ser tensada por la viga rígida Ecuación de deformaciones: 116
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La compatibilidad de las deformaciones viene dada por la relación
F
C
F
B
6m 2m
F T E C
C
FC 3 FB
C
F T E B
B
B
F 0,4095 mm C
F
B
FTC 1 400 mm
625 mm 2 200 kN / mm 2 FTB 2 500 mm 0,73125 mm 625 mm 2 200 kN / mm 2
Sustituyendo estos valores en la ecuación de compatibilidad se obtiene la ecuación de deformaciones, así:
FTC 5,36 FTB 159,31 kN
(1B)
Ecuación de equilibrio: El diagrama de cuerpo libre de la Figura 6.9(b) muestra que la ecuación de equilibrio disponible es:
M A 0 FTC 6 m FTB 2 m 0 FTB 3 FTC
( 2 B)
Resolviendo el sistema de las ecuaciones (1B) y (2B) se obtienen las fuerzas que ocasiona en las varillas el cambio de temperatura:
27 980 N 44,77 MPa 625 mm 2 9 330 N 14,93 MPa 625 mm 2
FTB 27,98 kN (compr.) FB
(en compresión)
FTC 9,33 kN (tracción ) FC
(en tracción )
Cálculo de los esfuerzos totales
Superponiendo los efectos de las cargas y del cambio de temperatura:
B 2,67 MPa 44,77 MPa 42,10 MPa 42,10 MPa (en compresión) C 14,30 MPa 14,93 MPa 29,23 MPa (en tracción )
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