Resumen de geometría descriptiva y trigonométrica con sus aplicacionesDescripción completa
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Geometría y TrigonometríaDescripción completa
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Descripción: son problemas propuestos de geometria y trigonometria
apuntes de clase de topografía jorge luis rodrigues gonzales ing. civil universidad pedagógica y tecnológica de Colombia
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geometria preuniversitarioDescripción completa
ANUAL UNI - 2015Descripción completa
B
Geometría y Trigonometría
E D
98 – II 1.
.Para el gráfico adjunto AD = 18, hallar el valor de “y” sabiendo que “x” es un número entero. y-x 2x - y y+xx
A
C
a) 12 b) 15 c) 10 d) 9
e) 11
6. A
B
a) 5 2.
C
b) 6
c) 7
D d) 8
e) 9
En la figura si: L1 // L2 y a+b=310º. Hallar : xˆ L1
b a L2
a) 10º 3.
b) 20º
x
c) 30º
d) 40º
e) 50º
En la figura L1// L2 y a + b = 224 . Hallar el valor de
Xˆ .
20+ X L1
a b 16+X a)6º
4.
b)4
c)26º
L2 d)23º e)18º
q
2q x 80
5.
b) 40
c) 60
7.
Sobre una avenida están ubicadas cuatro estaciones gasolineras A, B, C y D. Un carro parte del punto medio de AB para encontrar a otro carro que se encuentra detenido en el punto medio de CD . ¿Cuánto recorre el primer carro si AC = 14 Km y BD = 18 Km? a) 35 b) 30 c) 15 d) 40 e) 16 8. Dos ángulos complementarios son entre sí como 2 es a 3. La diferencia de estos ángulos es: a) 15° b) 18° c) 24° d) 36° e) 40° 9.
Sobre un plano se toma los puntos A , B , C y D ( en zigzag ) Por A y D se trazan 2 rectas paralelas entre si de manera que Ð A = 26o y Ð C = 112o Al trazar las bisectrices de Ð B y Ð D , están formados por un ángulo agudo x . Hallar “x” a) 37o b) 40o c) 42o d) 43o e) 51o 10. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C de modo que AC = 30. Determinar la distancia entre los puntos medios de AB y BC. a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 16 11. Un segmento AB que mide 6 m es dividido armónicamente por los puntos M y N, si AM= 4m, hallar MN a) 8 m b) 10 m c) 12m d) 14 m e) 16 m 12. Sobre una línea recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que: AB = y - x ; BC = 2x - y ; CD = x + y ; AD = 18. Hallar el valor de “AB”, sabiendo que “x” es un número entero. a) 5 b) 6 c) 7 d) 3 e) 9
Hallar “x” en:
a) 20
En un triángulo ABC recto en “B” la bisectriz exterior del ángulo A y la prolongación de altura BH se intersectan en “F” tal que: AB + AH = 4; HF = 3. Hallar BH a) 2 b) 2,5 c) 1,5 d) 0,5 e) 1
d) 80
e) 100
AB ≌ BC y el ∆DEC es equilátero. Si ∢ACD = 5º,
13. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos Y, R, M, A, Si: (YR - MA )(YA + RM ) = 36 . y RA = 8 . Hallar YM. a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 14. Sobre una línea recta se consideran los puntos
consecutivos A, B, C, D y E de modo que: CE = 7 ;
el ∢ BDE mide:
AB 3 y AC = BD = 21 . Hallar BC - CD . = DE 4
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
BC
e) 5
-1-
4
15. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D y E de modo que: AB + CE = 28 ; BE - CD = 22 y AE - DE = 20 . Hallar AE. a) 32
b) 35
c) 38
d) 26
e) 42
16. En un recta se considera los puntos consecutivos A, B ,P y C de modo que P es el punto medio de BC . Si AB2 + AC2 = 40,. hallar AP2 + BP2 a) 20
b) 30
c) 60
d) 70
e) 46
17. La diferencia de dos ángulos es 38º y el suplemento del mayor es igual al doble del complemento del menor. Hallar la suma de las medidas de dichos ángulos.
27. Sobre una línea recta se considera los puntos consecutivos A , B , C y D . Si M es punto medio de AD ; si AB+CD=10 y BM–MC=2., hallar CD: a) 2 b) 3 c) 6 d) 7 e) 4 28. El suplemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual al complemento de la diferencia entre el complemento del complemento y el suplemento del mismo ángulo. Calcular: el suplemento del doble del ángulo a)56 b)45 c)55 d)60 e)0° 29. Si x+y+z=100. Hallar: a+b+c+d+e+f
a) 118º b) 112º c) 122º d) 114º e)128º
b) 37
c) 39
d) 41
b)320
c)360
d)280
30. Un segmento AB = 7, el cual se divide en 3 partes. La razón de la primera y la segunda es
e) 50
o o o o o C(1 ) + C(2 ) + C(3 ) + .......... + C(89 ) + C(90 )
2 y de la 3
4 ; hallar el mayor segmento. 5
a)4 b)3 c)5 d)6 e)8 31. Los puntos A, B, C, D y E colineales y consecutivos.
o o o o o S(179 ) + S(178 ) + S(177 ) + ........ + S(92 ) + S(91 )
___
___
___
Si AD = 17; CD = 6 y BD = 13. Hallar DE si BE
C = Complemento, S = Suplemento a) 1 b) 0 c) 88 d) 89 e) 90
___
20. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B y C de tal manera que: AC+AB = 12, Si “M” es punto medio de BC. Calcular AM. a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12 21. La suma de las medidas de dos ángulos es 80o y el complemento de la medida del primero es el doble de la medida del segundo. Hallar el valor de la razón aritmética de las medidas de dichos ángulos. a) 20º b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º 22. En una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C, 8
e)720
___
segunda y la tercera es
5
e f
a)300
19. Calcular:
D, E y F donde BE=
d z
a
18. Sobre una recta se considera los puntos consecutivos A, B, C y D de tal manera que AD = 100; AC = 84 y BD = 53. Calcular BC a) 35
y
x c
b
AF ; AC+ BD+CE+DF=52.
= 2 CE . a)1 b)3 c)4
23. Sea a y q las medidas de dos ángulos complementarios, si el doble del complemento de a , menos el suplemento de q equivale a 60o Hallar “q” a) 50º b) 60º c) 70º d) 80º e) 85º 24. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que: m
b)I, II c)II, III e)Ninguna
33. A, B, C, D son puntos colineales y consecutivos. Si ___
___
___
AC es media proporcional entre AD y BD . é AD æ AB öù Calcular el valor de: U = 2 ê - 1 ÷ú ç ë AC è CD øû a)0,5 b)1 c) 2
d) 3
e)2
34. Se tiene los puntos colineales A, B, C, luego los ___
___
puntos medios de AB ; MC son M y N. Si ___
AB+NC–AM=24. Hallar AN a)20 b)26 c)24 d)30 e)40 35. Sobre una recta se ubican los puntos talque U; E son conjugados armónicos de P y R además ___ 4 . Hallar PR . 15
a)7
-2-
e)6
32. De las siguientes proposiciones son verdaderas I. Los ángulos conjugados externos se forman al trazar una recta secante a otras dos rectas; son siempre suplementarias. II. Las bisectrices de dos ángulos suplementarios forman siempre un ángulo recto III. Si tres ángulos suman 180º entonces son suplementarios IV. Dos ángulos son adyacentes si contienen un lado común y un vértice común. a)I, II, III d)I, II
Hallar AF a) 32 b) 12 c) 14 d) 18 e) 16
d)5
b)8;5 c)7;5
d)10 e)6
1 1 + = PU PE
36. El segmento AB mide 20cm, el segmento AM = 15 cm ; cuánto mide el segmento AN, siendo N el conjunto armónico de M con relación a AB. a) 30 b) 55 c) 35 d) 25 e) 20 37. A partir de la figura adjunta se pide calcular el valor de x, sabiendo que la recta L1 y L2 son paralelas:
44. La suma de las medidas de los ángulos internos excede a la suma de los ángulos externos en 900°. Cuántos lados tiene el polígono regular. a) 9 b) 6 c) 7 d) 10 e) 12 45. La suma del complemento de un ángulo mas 30° es igual al doble del ángulo. Determinar la medida del ángulo. a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50° 46. Si: S = Suplemento. Calcular “n” en: SS2α + SSSS4α + SSSSSS6α + ... + SSS...S2nα = 72α a) 5 b) 7 c) 9 d) 6 e) 8
a) 70
b) 50
c) 60
d) 30
e) 40
38. El complemento de la diferencia que existe entre el suplemento y el complemento de a, es igual al duplo del complemento de a. Calcular el complemento de a. a) 0°
b) 90°
c) 45°
d) 20°
e) 60°
47. Sobre una línea recta se dan los puntos consecutivos AB 3 AB AD A, B, C y D. Calcular CD, si = ; = ; CD 2 BC CD BC = 6m. a) 6m b) 12m c) 18m d) 30m e) 36m 48. En una recta se tiene los puntos colineales A, B, C, D tal que se cumple: AB . AD = 3 BC. CD. Hallar: a + b + c si
En la figura L1 // L2; OP = 3 2 . Calcular la distancia entre L1 y L2.
a) 5
b) 6
a c b + = CD AC AB
c) 7
d) 8
e) 9
49. La media geométrica de la medida de dos ángulos es 4 grados y la media armónica 32/17 grados. ¿Cuánto mide el mayor de dichos ángulos? a) 1º b) 4º c) 8º d) 12º e) 16º Ù
Ù
50. En el trapecio ABCD; A = 2 D , se traza la altura BH ; si BC = 2, AH = 1; HD = 8. Hallar AB. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 a) 3 2 d) 6 2 39. a) b) c) d) e)
b) 4 2 e) 7 2
c) 5 2
51. En un triángulo ABC; desde B se trazan las bisectrices BP y BQ interior y exterior respectivamente. Si BP = 3 y BQ = 4. Calcular PQ. a) 7 b) 3,5 c) 5 d) 2 e) 4
En la figura L1//L2 hallar el valor de “y”: 72° 85° 92° 80° 73°
52. Los lados LS y LD de un triángulo LSD mide 0,6 m y 7,6m respectivamente. Calcular la longitud de la
40. Si en un semiplano se consideran tres ángulos adyacentes tal que el segundo mide 20°. Calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices del primero y tercer ángulo: a) 60° b) 80° c) 100° d) 120° e)140° Ù
Ù
41. Se tiene los ángulos consecutivos A O B y B O C , Ù
luego se traza a)10
OM bisectriz del ángulo B O C ,
calcular m ∡ AOM; si m ∡ AOB + m AOC = 30. b) 15 c) 18 d) 20 e) 30
42. Si la medida de un ángulo interior y exterior, de un polígono regular están en relación de 7 a 2. Hallar el número de lados. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 43. Encontrar la medida de un ángulo si es igual a ocho veces su suplemento. a) 160º b) 145º c) 20º d) 170º e) 60º
mediana relativa al lado LD , sabiendo que es un número entero en metros. a) 3 m b) 2 m c) 4 m d) 1 m e) 6 m 53. La hipotenusa
AC de un triángulo rectángulo ABC
mide 14 cm y el ∡ A = 50°. Calcular el valor de una ceviana BR ; trazada de tal forma que el ∡ ABR mide 30°. a)1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7 54. La mediatriz del cateto OC de un triángulo rectángulo AOC corta a la prolongación de la altura OH en P, siendo mÐA = 58o Hallar el ángulo ACP a) 50° b) 32° c) 26° d) 15° e) 18° 55. En un triángulo ABC, el ∡ A mide 58° ¿Cuánto mide el ∡ BDC donde D es el punto de intersección
de las bisectrices de los ∡s B y C? a) b) c) d) e)
125 119 110 95 102 -3-
a) 57° 56. a) b) c) d) e)
La mediatriz de un triángulo es: la recta que divide a un lado en partes iguales la recta perpendicular divide a un lado en partes iguales y es perpendicular es una recta cualquiera es una recta oblicua
b) 82°
c) 114°d) 100°
e) 60°
68. En un triángulo rectángulo ABC recto en B; m ∡ A = 37°; AC = 10. Encontrar la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo. a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 1,5
57. En un D ABC, la medida del ángulo exterior en el vértice B es el triple de la medida del ángulo C, la mediatriz BC corta a AC en “F”. Si FC = 12 cm. Hallar AB . a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
69. En el lado BC de un triángulo ABC, se traza la mediatriz ME (M Î BC y E Î AC) tal que EC mide 20. Hallar la medida AB , si m Ð BAC = 2 m Ð BCA a) 5o b) 10o c) 15o d) 20o e) 30o
58. Sobre el lado AC del triángulo ABC. Se toma un punto “O”, luego se trazan mediatrices de AO y OC, los cuales cortan a AB y BC en E y D
70. En un triángulo ABC, se traza el segmento MB^ BC tal que MC = 2 AB, mÐC = 25o. Hallar mÐABM a) 15o b) 30o c) 37o d) 45o e) 53o
respectivamente. Calcular EOD, si ∡ B = 80°. a) 40° b) 60° c) 80° d) 90° e)100° 59. En el triángulo ABC los lados AB=3,5 m y BC = 11,5 m P es un punto interior del triángulo. Si PA=2 y PC=8. Calcular el máximo valor entero de AC . a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 14 60. Los lados de un triángulo isósceles son 24 y 10 metros su perímetro es: a) 44 b) 52 c) 58 d) 66 e) 72 61. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior AQ. Si: AB=AQ=QC. Encuentre m ACB a) 18°
b) 30°
c) 36°
d) 37° e) 45
62. En un triángulo ABC, el ángulo formado por las Ù
Ù
bisectrices interior de A y exterior de C al cortarse mide 10°. Encuentre la medida del ángulo formado Ù
Ù
al intersectarse las bisectrices exteriores de A y C . a) 40° b) 60° c) 80° d) 50° e) 70° 63. Se tiene los ángulos suplementarios KOV, VOC, cuyas medidas se diferencian en 10º. Calcular la medida del ángulo obtuso. a) 100o b) 95o c) 65o d) 85o e)70o 64. En el triángulo ABC, la mediatriz del lado AC se corta al lado BC en el punto F. Encuentran el mayor valor entero del lado AB , si BC=12 y FC=7 a) 11 b) 15 c) 17 d) 13 e) 19 65. En un triangulo ABC sea “P” un punto de AC y “Q” un punto exterior relativo al lado AC de modo que los triángulos ABP y BQC son equiláteros Calcular m ∡ CAQ a) 40° b) 45°
c) 30°
d) 60°
e) 75°
Ù
66. En el gráfico hallar x .
a) 18
b) 24
c) 30
d) 36
e) 40
67. El ángulo A de un triángulo ABC mide 57o y la bisectriz interior del ángulo B y la mediatriz del lado BC se cortan en un mismo punto del lado AC ; Calcular la medida del ángulo B
-4-
71. En un ABC recto en B se traza la altura BH y la bisectriz interior AD; las cuáles se intersectan en P; PB=8, DC=12. Hallar BC a)16 b)20 c)12 d)24 e)30 72. En un ABC se traza la ceviana BF; m
b)40º
c)50º
d)60º
e)70º
81. En el lado BC de un triángulo ABC se toma un punto P de modo que la medida del ángulo APC es igual a la semisuma de las medidas de los ángulos BAC y ABC; calcular la longitud de AC. Si además BC y BP miden 16 y 4 m respectivamente. a)6
b)8
c)19
d)12
b)6
c)9
d)8
b) 4
c) 6
b
e)7
d)8
xº
b) 20º c) 30º d)40º e)22º30´
93. Hallar “x” : x
e) 10
85. En un triángulo ABC recto en B se traza la ceviana interior BM, si m Ð A = 50º, mÐABM = 30º y AC = 18 hallar BM. a)1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 12 La distancia del baricentro al ortocentro de un triángulo rectángulo es de 4m. Hallar la distancia del circuncentro al ortocentro: b) 5,5 c) 6
2x
a a) 10º
84. En un triángulo ABC , obtuso en A , los lados miden AB = 4 y AC = 6 . Hallar la longitud de BC, siendo BC el mayor número entero. a) 4 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9
a) 5
c
AC =
83. En un triángulo ABC recto en B se traza la ceviana interior BM y la perpendicular MN a la hipotenusa (N en BC) si BM = 4 cm y mÐBMN = ÐA-ÐC, Hallar AC. a) 2
92. Si: aº + bº + cº = 130º. Hallar “X”
e)16
82. En un triángulo ABC, si BC = 7AB y 48.Hallar el valor entero de AB. a)5
a) 15º b) 18º c) 20º d) 22º e) 25º
d) 6,5
e) 7
86. En un triángulo ABC se traza la ceviana BM, tal que AM= MB; mÐMBC es recto y AB = MC/2, hallar mÐC. a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 24 87. En un cuadrilátero convexo ABPQ, tal que mÐAQP = 90º, se toma un punto C de AQ, luego se une C con B y P tal que BCP = BAC = 37º, BC = PC y AC = 10, hallar PQ. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 88. Un cateto de un triángulo rectángulo mide 15 m. Hallar la longitud del otro cateto, si la distancia del baricentro al ortocentro es 25 / 3 m: a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 18
a) 100º b) 60º c) 80º d) 120º e) 150º 94. En la figura siguiente: AB = AC = CD = DE Hallar “X” . B C 80º
x A
a) 30º
b) 16º
D
c) 15º
d) 25º
E
e) 20º
95. Los lados de un triángulo están en progresión aritmética de razón 5 cm. Hallar el mínimo valor entero que pueda asumir el perímetro en cms. a) 29 b) 30 c) 31 d) 32 e) 33 96. En la figura. Halle el valor de AB A
a) b) c) d) e)
5 10 15 20 25
si MA = 5 3
M N 30º 30º
C B = 10. Hallar AD. 97. En la figura AB = 6 y BC
B q
89. Dado un triangulo ABC, rectángulo en B, desde C se traza CD perpendicular a la bisectriz exterior del ángulo A. Calcular BD si DC=8m. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 90. En un triángulo isósceles, la suma de dos ángulos distintos es igual a 120°. Entonces la suma de los ángulos de la base es: a) 150° b) 146° c) 136° d) 160° e)120°
80º
60º
2a
A a) 2
q
a
C
D
b) 4
c) 7
d) 8
e) 10
98. En la figura mostrada, si x. Calcular m
91. En la figura AB=BC; AE=CD y ÐBED @ Ð BDE Hallar el valor de “x”
ΒΟ = ΟΑ
y
ΑΒ = ΟC
B
B A
0
3x 4x
C
D A
E
x
C
a) 30º b) 45º c) 36º d) 50º e) 60º -5-
.
106.Las medidas de un ángulo central y un ángulo interior, de un polígono regular, son entre si, como 1 a 19. hallar el número de diagonales que se pueden trazar de un sólo vértice. a) 6 b) 17 c) 37 d) 40 e) 43
99. Calcular “x” , Si AB = CD y BC ^ AD B
3x A
2x
45O
a) 5O
107.Hallar el número de lados de un polígono regular, sabiendo que la longitud de cada lado es 3cm, y el número de diagonales es 2 veces el perímetro en cms. a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18
C
b) 8O
c) 9O
D
d) 2O
e) 1O
108.En un trapecio ABCD , BC//AD , Ð A=82o, BC=4, CD=14 y Ð D=16o, Hallar la longitud de la mediana a) 11 b) 10 c) 9 d) 14 e) 16
100.En la figura: CM = MB y AB = 8 Hallar CD C
A
45º M
30º
109.En un trapezoide ABCD Ð A = 53o; Ð C = 98°; Ð D = 45o , AB = 10 y CD = 11 2 , Hallar AD a) 21 b) 20 c) 29 d) 24 e) 26 D
110.En la figura mostrada. Si ABCD es un cuadrado. Calcular la longitud de su lado
B
B
a) 4
b) 8
c) 4 3
d) 8 2
e) 4 2
C A
101.Del gráfico, hallar “x”. Si AB=BC=CD
3
D 4
c) 7
d) 8
C 60º
a) 5
160
B A
a) 10º
x
b) 12º
D
c) 15º
d) 18º
e) 20º
102.se tiene un triangulo equilátero ABC , R es un punto de AC exteriormente se dibuja el triangulo equilátero RFC si
104.La diferencia entre el número de diagonales de cierto polígono regular y el número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de los ángulos internos es 19 . Hallar su número de diagonales medias. a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 e) 60 105.En un cuadrado ABCD, cuyo lado mide 24 cm, M y N son puntos medios de AB y BC respectivamente AN y CM, se cortan en el punto Q. Hallar QB. a) 6 2 b) 8 2 c) 9 2 d) 12 2 e) 15 2
-6-
e) 9
111.Al aumentar en 3 el número de lados de un polígono, el número de diagonales se duplica. Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos de dicho polígono. a) 1260o b) 1120o c) 1416o o o d) 1024 e) 1825 112.En un romboide ABCD se traza la bisectriz AE (E en BC). Si CD = 6m. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y ED. a) 2m b) 3m c) 4m d) 5m e) 6m 113.En un trapecio rectángulo ABCD donde ÐA= ÐB= 90o ; ÐD= 45o CD = a. Hallar el segmento que une los puntos medios de AC y BD.
2 a 2 a 2 d) 4
a) 2
103.En un trapecio Isósceles se considera que la altura mide 7 y la suma de las bases es 48. Encuentre la medida de la diagonal del trapecio. a) 7 b) 8 c) 15 d) 12 e) 25
b) 6
b)
3a
c) 4 2 a
e) a/2
114.En el interior de un cuadrado se construye el triángulo equilátero AFD. Calcular la medida del ángulo AFC. a) 100º b) 125º c) 135º d) 130º e) 105º 115.En un hexágono equiángulo ABCDEF, BC = 4, DE = 2, CD = 8 y AF = 6. Hallar el perímetro. a) 30 b) 32 c) 34 d) 28 e) 22 116.Las medidas de un ángulo exterior e interior de un polígono equiángulo son entre sí como 2 a 11. Hallar el número de diagonales. a) 14 b) 44 c) 65 d) 119 e) 189
117.Calcular el número de diagonales de un polígono regular, si se sabe que las mediatrices de los lados consecutivos forman un ángulo cuya medida es 18º. a) 27º b) 135º c) 104º d) 170º e) 175º 118.Cada lado de un polígono mide 3cm y el perímetro equivale al número que expresa el total de diagonales en cm. Hallar la medida del ángulo central. a) 25° b) 22° c) 24° d) 40° e) 45° 119.En un trapecio rectangular ABCD, mÐB = 90o , mÐD = 45o , y CD = 4 2 . Encontrar la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 120.Calcular el perímetro del paralelogramo ABCD, si BC = 3x + y2, CD = x + y, AD = x + 2 y2, AB = 2x – y a) 78 b) 56 c) 98 d)100 e) 104 121.Quince veces el ángulo interior de un polígono regular equivale al cuadrado de su ángulo exterior ¿Cuál es ese polígono? a) Hexágono b) Decágono c) Icoságono d) Pentágono e) Octógono 122.Calcular el número de lados de aquel polígono donde su número de vértices más su número de lados es igual a 18. a) 4 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
otros 3 lados es la mitad de sus opuestos, y sus prolongaciones, determinan un triángulo. Hallar el lado de dicho triángulo. a) 10 b) 20 c) 30 d) 35 e) 40 126.En la figura: AB = BC, AD = 20. Calcular: BP.
a) 10
b) 15
En el rectángulo ABCD de la figura: EO ^ AC
AO = OC = OE . El valor del ángulo x es: x
E C 69º
B O A a)60
D b) 65
c)69 E
a) 6,5
e)66
O
P
13º L
b) 7 c) 6
V
d) 5,5 e)4 2
129.¿Cuál es el polígono convexo cuyo número de diagonales es mayor en 133 que su número de lados? a) 19 lados b) 23 lados c) 16 lados d) 24 lados e) 25 lados
5x b) 4
d)67
128.En la figura JE = 5, JL = 3; LV = 9. Hallar OL.
J
12
a) 3
y
13º
2x
o
d) 8 e) 20
127.Se tiene un trapezoide ABCD
123.En la figura: calcular “x”
53
c) 7,5
c) 5
d) 6
e) 8
130.Calcular “DE”, si AC = 5.
En la figura calcular “x” si ABCD es un cuadrado y ADE es un triángulo equilátero. B x
C
E
A
a) 75º d) 105º
b) 80º e) 110º
D
c)8
b) 4 c) 5
d)4
e)5
4
125.El polígono ABCDEF es un hexágono equiángulo, en el cual la longitud de 3 de sus lados no consecutivos es 12, la longitud de cada uno de los
d) 12
e) 13
131.En la figura mostrada se tiene que ABCD es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero. Hallar la medida del ángulo BEC. A
c) 100º
124.los ángulos adyacentes a la base mayor de un trapecio miden 30º y 75º si la base mayor excede la base menor en 10m calcular uno de los lados no paralelos a) 9.99 b)6
a) 6
E
B
x
D
a) 60
b) 65
c) 75
C
d) 80
e) 70
132.En la figura ABCD es un cuadrado y CDE un triangulo equilátero.¿ Cual es la medida en grados del ángulo AED?
-7-
A
142.Calcular la base menor de un trapecio, si la suma de las bases es 60 cm y el segmento que une los puntos medios de las diagonales mide 8 cm. a) 18cm b) 10 c) 22 d) 28 e) 20
D E
B
143.La altura de un trapecio rectángulo mide 10 cm., su base mayor es el triple de su altura. Si el ángulo de la base es 45º, la mediana mide: a) 15 cm. b) 20 cm. c) 25 cm.
C
a) 15 b) 10 c) 12.5 d) 20 e) 25 133.¿Cuál es el polígono en el que se puede trazar 17 diagonales desde 4 vértices consecutivos? a) Pentágono b) Octógono c) Hexágono d) Nonágono e) Endecágono
d) 10 2 cm.
e) 30 cm.
144.¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuya suma de las medidas de sus ángulos internos y externos es 7200º? a) 36 b) 24 c) 40 d) 50 e) 45
134.ABCD es un trapecio tal que m ∡A+m ∡ D = 90° ( BC // AD ) BC < AD; si M y N son puntos medios de BC y AD respectivamente y m ∡ D = 40° halle m ∡ MNA. a) 60° b) 66° c) 70° d) 76° e) 80°
145.En qué polígono regular se cumple que si le disminuimos cinco lados la medida del ángulo interior disminuye en 6. a) Triángulo b) Pentágono c) Octágono d) Cuadrado e) Icoságono
135.Señale las proposiciones verdaderas: I. El rombo es el cuadrilátero convexo y equiángulo II. El trapezoide es un paralelogramo cualquiera III. El cuadrado es también un rombo a) I y II b) I y III c) II y III c) III d) I
146.Las bases de un trapecio miden 4m y 12 m los lados no paralelos miden 10 m y 8 m aproximadamente y las diagonales son ortogonales. Hallar el perímetro del triángulo que se forma al unir el punto de intersección de las diagonales con los extremos de la mediana del trapecio. a) 12 b) 13 c) 14 d) 17 e) 19
136.Hallar el # de diagonales de un polígono cuyo ángulo exterior mide 40°. a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28 137.En un trapecio, la diferencia de las longitudes de la mediana y del segmento que une los puntos medios de las diagonales del trapecio es 12 u, halle la longitud de la base menor. a) 16 u b) 8 u c) 10 u d) 12 u e) 14 u 138.Calcular la sustracción entre el número de diagonales medias y el número de diagonales de un polígono en el cuál el número de diagonales es igual a su número de lados. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
147.Calcular la medida de un ángulo sabiendo que la suma entre el doble de su complemento y el triple de su suplemento es igual a 420º. a) 70º b) 45º c) 40º d) 50º e) 60º 148.Se tiene un cuadrado ABCD y él triangula equilátero ECF tal que E esta en la región interna y F en la región externa del cuadrado, sí: AD=21, EF= 10 y m
AB y N punto medio de la base mayor AD . Si CN biseca a DM en R, hallar RN si RC = 6
149.En un trapecio ABCD, M es el punto medio de
a) 2 139.Determinar el polígono convexo, tal que al duplicar el número de lados, la suma de sus ángulos internos se cuadruplica: a) Triángulo b) Cuadrilátero c) Pentágono d) Hexágono e) Nonágono 140.Las diagonales de un rombo ABCD (AC < BD) se cortan en E. Responda lo incorrecto: a) AB = BC = CD = DA b) AE = EC c) BE = ED
b) 1
c) 3
d) 4
e) 5
150.En un romboide PINO se trazan las bisectrices exteriores de los ángulos O y N, que se interceptan en el punto E. Calcular IE sí PI = 6; IN = 2. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 151.Si el número de lados de un polígono se duplica, su número de diagonales aumenta en 234. ¿Cuántos lados tiene el polígono? a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19 152.En un rectángulo ABCD se traza la bisectriz del
ˆ que corta al lado AD en el punto "E". ángulo B Hallar el segmento que une los puntos medios de
d) m BAE = m ADB e) BD ^ AC
EC y BD si AB = 9 a) 4
141.En un cuadrilátero LUCI, m ∡ U + m ∡ C = 220°. Calcular el ángulo formado por la bisectriz interior de ∡ L y la exterior de ∡ I. a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°
-8-
b) 4,5
c) 3
d) 5
e) 2,5
153.Se tiene una circunferencia inscrita a un triángulo ABC. Si AB = 7, BC = 12 y AC = 15. Calcular AT , si “T” es tangente a AB a) 5 b) 4 c) 2,4 d) 3,4 e) 2,8
154.Desde “C” punto exterior a una circunferencia se traza las secantes CBR y CDA de modo que el triángulo ABC es Isósceles (AB =BC) y la medida del ángulo BCD es igual a 20o. Encuentre la medida del arco RB más la medida del arco AD. a) 200o b) 240o c) 230o o o d) 210 e) 220 155.Se tiene una semicircunferencia de diámetro AB centro “O”, luego se traza la tangente TP, si ∡ CAB ___
a)30
165.Desde un punto P, exterior a una circunferencia, se trazan la tangente PA y la secante PBC , siendo 32° la medida del ángulo APC. Hallar la medida del ángulo ABM. Si M es punto medio del arco BC. a) 122° b) 106° c) 102° d) 128° e)118° 166.En la figura: PB y PC son tangentes, ∡ E mide 26° y ∡ F mide 25°. Hallar el valor “x” E
Ç
B
= 20, TP // AC , hallar ∡ TPC; C Î PB b)40 c)20 d)35 e)45
156.Los lados de un triángulo ABC son AB = 6m,BC= 7m y AC = 9m calcular la distancia del vértice A al punto de tangencia de la circunferencia inscrita al lado AC. a)12 b)4 c)6 d)8 e)10 157.En una circunferencia se ubican los puntos consecutivos U, N, P, R, G si ∡ PUG = 60, ∡ NGP = 50º, hallar el ángulo NRG a)70 b)50 c)80 d)60 e)75 158.El perímetro de un triángulo ABC es 42; BC = 18, la circunferencia inscrita en el triangulo es tangente al lado a)2 b)3
AC en F, hallar AF c)4
d)5
e)6
159.En una circunferencia se prolonga el diámetro AB hasta “C” luego se trazan la tangente CD y la cuerda DA si el mÐBCD = 2q y mÐDAB = 5q Calcular " q"
a) 7º
b) 7.5º
c) 12º d) 12.5º e) 15º
160.En una circunferencia se trazan las cuerdas AD y BC las cuales se interceptan en “E”. Hallar el Ð ADC si Ç
el Ð BCD = 60º, AB = 80o, además “C” Î al arco menor AD . a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º
Ç
CD = 120o
161.Si los lados de un triangulo rectángulo se hallan en progresión aritmética de razón tres. Calcular el inradio. a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5 162.En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia. Hallar la mÐDEF, si la medida del ángulo externo de B es 70o ( D ,E y F son puntos de tangencia y E está en AC). a) 15o b) 25o c) 35o d) 45o e) 55o 163.En un rombo ABCD, M es punto medio de BC . La diagonal BD , corta a AM en el punto R. Si RM = 10 y el ángulo BRM mide 53°; hallar BD. a) 60
b) 70
c) 80
d) 36
e) 72
164.En la figura AE es diámetro y N punto de tangencia. Hallar el valor de x.
P
A
x
C F
a) 51°
b) 102° c) 94°
d) 47 ° e) 68°
98 – III 167.Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C tales que : 2 2 2 æç AB - BC ö÷ è ø AB = Y AC = 12 AC Hallar AB . a) 2 b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
168.Sobre una recta se dan los puntos K,A,R,E,N de tal manera que los cuatro primeros constituyen una cuaterna armónica, calcular
EN ; si KA = 6m,
RE = 4m y EN = 2 AR . a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
169.Sobre una línea recta se consideran los puntos A, B, C y D tal que: AD = 2AC, BC = 4AB y CD = 9dm. Hallar BD. a) 3m b) 6cm c) 9dm d) 81dm e) 162cm 170.Si el suplemento del complemento de 3α es igual m veces el complemento del suplemento de 5α. Hallar m cuando α tome su mínimo valor entero (α; medida de un ángulo geométrico). a) 29,4 b) 12,8 c) 7,5 d) 9 e) 8 171.Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F, de manera que: AB = BC = CD; CF = 2BE = 4AD; Si, EF = 14. Hallar CE. a) 5m b) 10m c) 12m d) 14m e) 15m 172.A, B y C, son puntos colineales y consecutivos. M y N, bisecan a AB y BC, respectivamente. Hallar AC si: 3MN = 2MC y AB – BN = 2. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 173.En una recta se toman los puntos consecutivos: M, P, Q, R y S donde: MP = PQ y QR=2RS. Entonces e cierto que: a) MR = 2/3(MP + MS) b) MR = 3/2 (QR + PS) c) MR = 3MS –
PR 2
d) MR = 4(MS - PQ) e) MR = 2/3 (MS - MP) a) 10
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
-9-
174.Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D tal que AB.CD = BC.AD . Hallar AD si BC = 8m y 2 AB = 3CD a) 3m b) 6m c) 12m d) 24m e) 48m
182.P, Q, R, S y T son puntos consecutivos de una recta. Q, biseca a PT; PR = 3RS; QS = 12 y PT=40. Hallar QR. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
175.Del gráfico adjunto calcular “x” si a//b
Dados los ángulos adyacentes AOB, BOC y COD, tal
10 20
®
a 30
40 150 100 x
a) 30º
b) 40º
c) 50º
a) 90º b
d) 55º
®
que OA y OC son rayos opuestos, el ángulo BOD es recto. Hallar la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOB y COD. b) 105º c) 120º d) 135º e) 145º
183.Siendo: L1//L2 , calcular “x”
e) 60º
x
2f
a) 100º d) 130º
b) 110º e) 140º
L1
3f
176.En la figura m//n. Hallar “x”
c) 120º
105º
L2
a) 62º
b) 69º
c) 120º d) 121º e) 136º
184.Si :
L 1 // L 2 hallar el ángulo “ x ”. x
L
1
4x
177.Si m//n calcular “x” 7x
L
a) 22,5° d) 32,5° a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 45º 178.Si m//n. Calcular aº + bº + cº
b) 27,5° e) 40°
2
c) 30°
185.Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC se trazan OF y OG bisectrices de los ángulos AOB y BOC respectivamente. Calcular la medida del ángulo AOC sabiendo que :
AOG = 42° y COF = 60°
a) 40° a) 90º
179.Un ángulo AOB mide 24º. En la región exterior a ®
dicho ángulo se traza el rayo OC . Hallar la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOC y BOC. a) 6º b) 10º c) 12º d) 18º e) 20º 180.A, B y C son tres puntos colineales y consecutivos
Hallar AB. a) 12
b) 24
AB 2 = y 2AB + 3BC = AC + 96. BC 3 c) 36
d) 38
e) 48 ®
®
®
181.Dados cinco rayos coplanares OA , OB , OC , ®
c) 54°
d) 62°
e) 68°
186.Sean los puntos consecutivos P, Q, R y S tales que :
b) 120º c) 136º d) 106º e) 180º
tales que:
b) 48°
®
OD y OE , que forman cinco ángulos consecutivos cuyas medidas son entre sí como: 1, 2, 3, 4, y 5. Calcular la medida del menor ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. a) 48º b) 56º c) 68º d) 72º e) 96º
-10-
PQ QR RS = = 3 4 5
y
2 PQ + 5 QR + 8 RS = 132 . Hallar PQ . a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 4
187.La suma de las medidas de 2 ángulos es 80° y el complemento de la medida del primero es el doble de la medida del segundo. Hallar el valor de la razón aritmética de la medida de dichos ángulos. a) 10 b) 70 c) 60 d) 30 e) 50 188.Si C : complemento, calcular "a" en : Ca + CC2a + CCC3a = 160° a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 25° 189.Los puntos M y N dividen armónicamente al segmento AB . Calcular AB si : AM . AN =3 AM + AN a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 190.Sobre una línea recta se consideran los puntos U, N, P, R y G con la condición UP = NR y RG = 3 NP
, hallar la longitud del segmento UG . Si : 3 UN + 2 RG = 72 m. a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 60
C 40
191.En una recta se toman consecutivamente, A, B, C y D de manera que: AB, BC y CD se encuentran en progresión aritmética, si: CD – AB = 6 y AD = 21; calcular AC a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 17
a a A
a) 15°
192.Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D tal que AC = 17; BD =25. Calcular PQ siendo P y Q puntos medios de AB y CD respectivamente. a) 17 b) 20 c) 21 d) 12 e) 7
