HORMIGON PRESFORZADO
CAPITULO 5 DISEÑO POR FLEXIÓN DE VIGAS PRESFORZADAS
5.1. BASES DEL DISEÑO A FLEXIÓN. El diseño estructural de vigas de hormigón presforzado se basa en la consideración de Estados Límites. Si se esquematiza el comportamiento de una viga durante las distintas etapas de su construcción mediante una curva carga – deformación, tal como se muestra en la figura 5.1, se podrán definir los puntos de partida para el diseño estructural de la viga de hormigón Presforzado. Cuando la viga es presforzada sufre un combeo hacia arriba δ pi (negativo), simultáneamente actúa el peso propio de la viga provocan do un combeo hacia abajo δ o (positivo), ya que la viga se apoya en sus
extremos. Si se considera que todas las pérdidas ocurren en este estado la fuerza de presfuerzo inicial Pi , al sufrir estas pérdidas, pasa a ser una fuerza de presfuerzo efectiva Pe. Pe. La acción resultante entre la fuerza de presfuerzo efectiva y el peso propio de la viga definen el estado de descarga. Junto a la curva se tienen los diagramas de esfuerzos, en la sección crítica (centro del claro), para cada etapa en estudio. En las primeras etapas la viga se comporta de manera elástica, teniéndose así un diagrama de esfuerzos lineal, donde aparecen esfuerzos de tracción en la parte superior de la viga y esfuerzos de compresión en la parte inferior de la misma. Posteriormente la viga recibe la carga muerta adicional aumentando la deflexión positiva hacia abajo δd. En este estado la deformación neta de la viga generalmente es hacia arriba. Una vez la viga entra en servicio recibe la carga viva ( δl ) produciéndose de esta manera la deflexión positiva. Con una porción de esta carga se puede llegar al estado de balance, donde la deflexión es nula y se tiene una distribución constante co nstante de esfuerzos de compresión. Mientras aumenta la carga viva se llega al estado de descompresión donde se tienen esfuerzos de compresión en la parte superior y el esfuerzo en la parte inferior de la sección es cero. A medida que aumenta la carga aparecen esfuerzos de tracción en la parte inferior de la sección hasta alcanzar el módulo de ruptura del hormigón ( fr fr ) comenzando el estado de agrietamiento; el comportamiento de la viga sigue siendo elástico hasta más allá al lá de este estado definiéndose el rango de carga de servicio entre este límite de elasticidad y el estado de descompresión.
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A partir de este momento el comportamiento de la viga es plástico, aumentando su intensidad con el incremento de la carga hasta que el acero de presfuerzo comienza a fluir o el hormigón alcanza la deformación de aplastamiento, de esta manera se define el estado de sobrecarga. La viga sufre un comportamiento muy plástico hasta alcanzar la falla. Cabe destacar que en este rango de carga el comportamiento de la viga es muy semejante al de una viga de hormigón armado. Como ya se dijo, el diseño estructural de una viga de Presforzado Exterior está basado en la consideración de Estados Límites. Si se observa la curva analizada anteriormente se tiene el comportamiento de la viga en el rango elástico y plástico, definiéndose los Estados Límites de Servicio cuando la viga alcanza el intervalo de carga de servicio. Cuando la viga llega a responder plásticamente, cuyo comportamiento es como el de una viga de hormigón armado, se definen los Estados Límites Últimos. Últimos. Carga de falla de fluencia
de agrietamiento agrietamiento
Intervalo de carga de servicio f ' r r
de descompresión
balanceada Muerta completa
Peso Propio De presforzada o
d
Deflexión
1
pe =
combadura debida al presfuerzo efectivo deflexión debida al peso propio d = deflexión debida a la carga muerta sobrepuesta l = deflexión debida a la carga viva
pe
do = pi
Figura 5.1. Curva carga – deflexión para una viga típica Para el diseño de un elemento de hormigón pretensado se debe realizar dos verificaciones: a. Considerando el estado límite de servicio, en la cual se debe verificar que el nivel de los esfuerzos producidos por las acciones externas se encuentren por debajo de los esfuerzos admisibles considerando factores de seguridad de servicio, de manera que el elemento se comporte convenientemente y que su duración esté asegurada.
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A partir de este momento el comportamiento de la viga es plástico, aumentando su intensidad con el incremento de la carga hasta que el acero de presfuerzo comienza a fluir o el hormigón alcanza la deformación de aplastamiento, de esta manera se define el estado de sobrecarga. La viga sufre un comportamiento muy plástico hasta alcanzar la falla. Cabe destacar que en este rango de carga el comportamiento de la viga es muy semejante al de una viga de hormigón armado. Como ya se dijo, el diseño estructural de una viga de Presforzado Exterior está basado en la consideración de Estados Límites. Si se observa la curva analizada anteriormente se tiene el comportamiento de la viga en el rango elástico y plástico, definiéndose los Estados Límites de Servicio cuando la viga alcanza el intervalo de carga de servicio. Cuando la viga llega a responder plásticamente, cuyo comportamiento es como el de una viga de hormigón armado, se definen los Estados Límites Últimos. Últimos. Carga de falla de fluencia
de agrietamiento agrietamiento
Intervalo de carga de servicio f ' r r
de descompresión
balanceada Muerta completa
Peso Propio De presforzada o
d
Deflexión
1
pe =
combadura debida al presfuerzo efectivo deflexión debida al peso propio d = deflexión debida a la carga muerta sobrepuesta l = deflexión debida a la carga viva
pe
do = pi
Figura 5.1. Curva carga – deflexión para una viga típica Para el diseño de un elemento de hormigón pretensado se debe realizar dos verificaciones: a. Considerando el estado límite de servicio, en la cual se debe verificar que el nivel de los esfuerzos producidos por las acciones externas se encuentren por debajo de los esfuerzos admisibles considerando factores de seguridad de servicio, de manera que el elemento se comporte convenientemente y que su duración esté asegurada.
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b. Debido al incremento de las acciones de las cargas externas o a la reducción de la resistencia límite de los materiales, se debe verificar la seguridad respecto a la rotura por resistencia última considerando el estado límite último. Ambas condiciones de diseño deben ser verificadas por separadas para el diseño de una viga de hormigón presforzado, aunque solamente la primera condición se tiene en cuenta para el dimensionamiento del elemento, mientras que la segunda se la efectúa simplemente para su verificación posterior. 5.2. DISEÑO A FLEXIÓN POR ESFUERZOS ADMISIBLES. Para el diseño de una viga de hormigón presforzado, se tiene dos elementos que deberán ser revisados, las dimensiones del hormigón y la fuerza de presfuerzo. Se deberá escoger una sección de viga y una magnitud de fuerza de presfuerzo tal que los esfuerzos producidos no excedan los límites de esfuerzos especificados a medida en que la viga pasa del estado descargado al estado de servicio, considerando tanto al hormigón como al acero, elásticos. Es práctica efectuar un proceso sistemático, seleccionando una sección de viga y determinar la fuerza de presfuerzo, de tal manera que los esfuerzos producidos se aproximen, tan cerca como sea posible, a los esfuerzos límites, bajo los estados de carga que controlan el diseño. Se deberá considerar la siguiente notación para los esfuerzos en el hormigón, en los lo s estados límites: fci = Esfuerzo de compresión permisible inmediatamente después de la transferencia. fti = Esfuerzo de tracción permisible inmediatamente después después de la transferencia. fcs = Esfuerzo de compresión permisible bajo cargas de servicio, una vez ocurridas todas las pérdidas. fts = Esfuerzo de tracción permisible bajo cargas de servicio, una vez ocurridas todas las pérdidas. Estos valores de esfuerzos límites se establecen en especificaciones y reglamentos de diseño. En nuestro medio se tiene el reglamento del American Concrete Institute (ACI 318) el cual cubre el diseño y construcción de hormigón estructural en edificaciones; y el Standard Specifications For Highway Bridges – American American Association of State Highway and Transportation Officials (AASHTO), el mismo que norma el diseño de puentes y carreteras. 5.2.1. Criterios de diseño del ACI-318. El diseño por esfuerzos admisibles para elementos de hormigón presforzado sigue el criterio de que los materiales, hormigón y acero, trabajen en valores máximos admisibles para los esfuerzos iniciales y finales tanto de tracción como de compresión, en el estado límite de servicio. De acuerdo al ACI-318 en su capítulo 18, el diseño de un elemento presforzado debe basarse en la resistencia y en el comportamiento en condiciones de servicio durante todas las etapas de carga que serán críticas durante la vida de la estructura, desde el momento en que el presforzado se aplique por primera vez. Para el estudio de los esfuerzos en la transferencia del presfuerzo, bajo cargas de servicio y en el estado correspondiente a cargas de fisuración, se debe emplear la teoría elástica con las siguientes suposiciones:
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Las deformaciones unitarias varían linealmente con la altura en todas las etapas de carga. En las secciones fisuradas el hormigón no resiste esfuerzos de tracción. 5.2.2. Esfuerzos admisibles de acuerdo al ACI. Los elementos presforzados a flexión se clasifican en tres clases: Clase U, suponiendo un comportamiento como elemento no fisurado. Clase C, suponiendo un comportamiento como elemento fisurado. Clase T, suponiendo como en transición entre fisurado y no fisurado. Esta clasificación se la realiza en función del esfuerzo en la fibra extrema en tracción en la zona precomprimida en tracción (ft), calculada para cargas de servicio, según los siguientes esfuerzos admisibles: a. Clase U: b. Clase T: c. Clase C.
2
√
√ √ √
2 < ft ≤ 3.2 ft > 3.2
Los sistemas de losas presforzadas en dos direcciones deben ser diseñadas como Clase U con ft < 0.50
√
Para elementos sometidos a flexión Clase U y Clase T, se permite calcular los esfuerzos para cargas de servicio usando la sección no fisurada. Para los elementos sometidos a flexión de la Clase C, los esfuerzos para cargas de servicio se deben calcular usando la sección transformada fisurada. Los esfuerzos en el hormigón inmediatamente después de la aplicación del presforzado (antes de las pérdidas diferidas de presforzado), esto es en la transferencia deben cumplir: a. Esfuerzo de compresión, excepto lo permitido en (b), no deberá exceder de: 0.60 f’ci b. Esfuerzo de compresión en los extremos de elementos simplemente apoyados, no deberá exceder de:
0.70 f’ci
√
c. Donde los esfuerzos de tracción calculados excedan de 1.60 en los extremos de elementos simplemente apoyados ó 0.80 en otras ubicaciones, deberá preverse de refuerzo adherido adicional en la zona de tracción, para resistir la fuerza total de tracción del hormigón, calculada con la suposición de sección no fisurada.
√
Para los elementos presforzados sometidos a flexión Clase U y Clase T, los esfuerzos en el hormigón bajo las cargas de servicio (después de que han ocurrido todas las pérdidas de presfuerzo) no deberán exceder los siguientes valores: a. Esfuerzo en la fibra extrema en compresión debido al presfuerzo y a las cargas permanentes:
0.45 f’c
b. Esfuerzo en la fibra extrema en compresión debido al presfuerzo y a todas las cargas:
0.60 f’c
Se pueden exceder los esfuerzos admisibles del hormigón arriba indicados, si se demuestra mediante ensayos o análisis que no se perjudica el comportamiento. ING. LUIS VILLAVICENCIO CAVERO
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Los esfuerzos de tracción en el acero de presfuerzo no deben exceder los siguientes valores: a. Debido a la fuerza del gato de presfuerzo: 0.94 fpy Pero no mayor que el mínimo entre 0.80 fpu y el máximo valor recomendado por el fabricante del acero de presfuerzo o de los dispositivos de anclaje. b. Inmediatamente después de la transferencia del presfuerzo: Pero no mayor que:
0.82 fpy 0.74 fpu
c. Tendones de postensados, en anclajes y acoples, inmediatamente después de la transferencia:
0.70 fpu
Dónde: fpu: fpy: f’c: f’ci:
Esfuerzo de rotura del acero de presfuerzo Esfuerzo de fluencia del acero de presfuerzo Esfuerzo de rotura a compresión del hormigón Esfuerzo de rotura a compresión del hormigón en la transferencia 5.2.3. Esfuerzos admisibles de acuerdo a la AASHTO.
Acero de Presfuerzo Pretensado: a. Esfuerzos antes de ocurrida la pérdida por relajación: b. Esfuerzos luego de ocurridas las pérdidas:
0.75 fpu 0.70 fpu
Postensado: a. Esfuerzos inmediatamente después del anclaje: b. Esfuerzos luego de ocurridas las pérdidas: c. Esfuerzos en la etapa de servicio, luego de ocurridas las pérdidas:
0.70 fpu 0.83 fpy 0.80 fpy
Hormigón A. Esfuerzos temporales antes de ocurridas las pérdidas de presfuerzo por fluencia y retracción del hormigón, no deben exceder los siguientes valores: Compresión: a. Elementos Pretensados: b. Elementos Postensados:
0.60 f’ci 0.55 f’ci
Tracción: a. Elementos pretensados:
14 kg/cm2 ó
√
b. Cuando se excedan los esfuerzos de este valor, deberá suministrarse refuerzo por adherencia para resistir la fuerza total de tracción en el concreto, calculada para sección agrietada. El esfuerzo máximo de tracción no deberá exceder de: 1.98 B.
Esfuerzos finales en la etapa de servicio, luego de ocurridas todas las pérdidas, no deben exceder de los siguientes valores:
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Compresión: a. El esfuerzo de compresión para todas las combinaciones de carga, a excepción de lo indicado en los literales b y c, no deberán exceder de:
0.60 f’c
b. El esfuerzo de compresión debido al presfuerzo efectivo más las cargas permanentes (carga muerta) no deberá exceder de:
0.40 f’c
c. El esfuerzo de compresión debido a la aplicación de la carga viva, más la mitad de la suma de los esfuerzos de compresión debidas al presfuerzo mas las cargas permanentes, no deberá exceder de:
0.40 f’c
Tracción, en las zonas de tracción del presfuerzo: a. Para elementos con refuerzo de adherencia, no deberá exceder de:
1.60
b. Para condiciones de severa corrosión, no deberá exceder de:
0.80
c. Para elementos sin refuerzo de adherencia, no deberá exceder de:
0
√ √
Esfuerzos por agrietamiento Módulos de ruptura para el caso de que no se disponga de valores obtenidos mediante pruebas de ensayos: a. Para hormigón de peso normal: 1.98 b. Para hormigón con arena de peso ligero:
1.66
c. Para cualquier tipo de hormigón de peso ligero:
1.47
Esfuerzos en los anclajes de apoyo Anclajes postensados para cargas de servicio:
√ √ √
210 kg/cm2 Pero que no exceda de 0.9 f’ci
5.2.4. Diseño de vigas con excentricidad del presfuerzo variable. Se considera una viga de hormigón presforzado donde la excentricidad de los cables varía a lo largo del claro, donde la distribución de los esfuerzos de flexión en el hormigón en la sección de máximo momento se muestra en la figura 5.2. La fuerza de presfuerzo inicial Pi, una vez ocurridas las pérdidas inmediatas, produce la distribución lineal de esfuerzos 1 de la figura. Simultáneamente al presfuerzo inicial, debido al combeo hacia arriba provocado por la flexo-compresión del presfuerzo, actúa el peso propio de la viga, donde se superponen los esfuerzos de flexión debido al momento M 0, así se tiene la primera distribución real, dada por la línea 2. Este estado inicial es el primero en considerar en el diseño, ya que los esfuerzos superior e inferior no deberán exceder a los esfuerzos permisibles de tracción inicial (fti) y de compresión inicial (fci) respectivamente. Una vez ocurra el resto de pérdidas, se provoca una reducción gradual tanto en el esfuerzo de tracción en la fibra extrema superior Δf 1, como en el esfuerzo de compresión en la fibra inferior Δf 2, hasta definir la distribución de esfuerzos 3. Conforme comience a actuar el momento por cargas muertas sobreimpuestas Mg y el momento por cargas vivas ML, los esfuerzos por flexión debido a estos momentos se superponen a los presentes en el estado de esfuerzos 3, por lo que se produce la distribución 4. En este estado el esfuerzo de compresión
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en la fibra extrema superior no deberá exceder al esfuerzo permisible (fcs), así como el esfuerzo de tracción en la fibra extrema inferior del esfuerzo permisible (fts). 0
0 f 1
(Mg+ML)/S1
fcci
M0/S1
fcce fcs
fti y1 centroide de la sección
(1) (2) fci
(3)
y2
(4)
(1)
(3)
fts (Mg+ML)/S2
M0/S2 f 2
(1) (2) (3) (4)
Pi sola P1 + M0 Pe + M0 Pe + M0 + Mg + ML (a)
(1) Pi sola (3) Pe sola (b)
Figura 5.2. Distribución de esfuerzos de flexión para una viga de hormigón presforzado con excentricidad variable. (a) Sección de máximo momento. (b) Sección del apoyo. Los módulos de la sección requeridos respecto a las fibras extremas superior e inferior son:
Donde fr1 y fr2 son los rangos de esfuerzos disponibles en las fibras extremas superior e inferior respectivamente, de los esfuerzos límites fti, fcs, fts y fci, una vez que las variaciones en los esfuerzos Δf 1 y Δf 2, debido a las pérdidas de presfuerzo, son conocidos. Para facilidad de análisis resulta conveniente expresar la relación entre el presfuerzo inicial P i y el presfuerzo efectivo en función de la relación de efectividad R, la misma que se define como:
Donde la pérdida de presfuerzo es: Pi – Pe = (1 - R) P i
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Ec. 5.3
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Las variaciones en las fibras extremas superior e inferior Δf 1 y Δf 2, a medida en que ocurren las pérdidas son iguales a (1 – R) veces los esfuerzos correspondientes debidos a la fuerza de presfuerzo inicial
actuando sola.
( ) ( )
En donde Δf 1 es una reducción de la tracción en la fibra extrema superior y Δf 2 es una reducción de la
compresión en la fibra extrema inferior. Así los rangos de esfuerzo disponible a medida en que se aplican los momentos sobreimpuestos Mg + Ml son:
( ) ( )
Los esfuerzos límites (fti, fcs, fts y fci) se deberán considerar como cantidades con signo y las variaciones de esfuerzos tales como M 0/S1 y Δf 2 se tomaran como valores absolutos. El mínimo módulo de la sección, según la fibra extrema superior se define como:
El mínimo módulo de la sección, según la fibra extrema inferior sería:
La sección de la viga deberá satisfacer los mínimos módulos definidos por las ecuaciones 5.6a y 5.6b. El momento de inercia de la sección se define como I = St y 1 = S2 y2, el eje baricéntrico deberá ser ubicado en forma tal que:
Que en función del peralte total de la sección h = y 1 + y2, quedaría:
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Considerando la distribución de esfuerzos inicial (2), de la figura 5.2, el esfuerzo baricéntrico en el inicial f cci, está dado por:
Pi = Ac f cci
Ec. 5.9
La fuerza de presfuerzo inicial se obtiene por la multiplicación del valor del esfuerzo baricéntrico del hormigón por el área de la sección transversal de la viga, donde:
La excentricidad de la fuerza de presfuerzo se define considerando el esfuerzo de flexión que debe generar el momento flector por presfuerzo Pi e o. El esfuerzo de flexión en la fibra extrema superior de la viga que resulta únicamente de la fuerza de presfuerzo excéntrica, de acuerdo a la figura 5.2, es:
Donde la excentricidad requerida sería:
Por tanto, para determinar la sección transversal optima de la viga, la fuerza de presfuerzo y su excentricidad, en base a los esfuerzos límites, se deberá seguir el siguiente procedimiento e diseño: Se deberá hallar los módulos de sección requeridos respecto a las fibras extremas superior e inferior mediante las ecuaciones 5.6a y 5.6b, ubicando el eje centroidal de la sección mediante la ecuación 5.7 . La sección escogida deberá satisfacer estos requisitos lo más cercanamente posible. El esfuerzo en el centroide de la sección escogida se la determina a partir de la ecuación 5.8, la fuerza de presfuerzo inicial mediante la ecuación 5.9 y su excentricidad con la ecuación 5.11. Es necesario, como dato preliminar, estimar el peso propio de la viga para determinar el M 0. Esta estimación puede ser efectuada en base a relaciones típicas de claro a peralte, de acuerdo a la siguiente expresión:
Las ecuaciones de diseño utilizadas se basan en la distribución de esfuerzos dados en la figura 5.2(a), para la sección de máximo momento del elemento. Para otras secciones, donde los momentos son menores, la excentricidad del presfuerzo deberá ser reducida, de tal manera que los esfuerzos producidos no sobrepasen a los esfuerzos límite. Generalmente la excentricidad se reduce a cero en las secciones de los apoyos, donde los momentos debidos a cargas gravitacionales se anulan. En la figura 5.2(b) se muestra la distribución de esfuerzos en los apoyos, donde el esfuerzo en la sección es uniforme e igual al presfuerzo baricéntrico fcci en condiciones de presfuerzo inicial y fcce una vez ocurridas las pérdidas.
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5.2.5. Diseño de vigas con excentricidad del presfuerzo constante. De acuerdo a las condiciones antes descritas, el diseño se basa en las condiciones de esfuerzos en la sección de máximo momento de la viga, donde el valor de M 0 debido al peso propio es máximo. Si la fuerza de presfuerzo inicial (P i) y su excentricidad (eo) se mantuvieran constantes a lo largo del claro, que es la caso típico de una viga de hormigón pretensado, se tendrían esfuerzos que sobrepasan a los esfuerzos límites fti y fci en otras secciones del claro, donde M 0 es menor que su máximo valor. La excentricidad deberá ser menor a la dada en la ecuación 5.11 para que los esfuerzos no sobrepasen a los esfuerzos límites. El máximo valore de la excentricidad e o está dado por las condiciones en los apoyos de un claro simple, donde M 0 es cero. En la figura 5.3 se muestra la distribución de los esfuerzos de flexión en los apoyos y en centro del claro para una viga con excentricidad constante. En este caso los límites de esfuerzos fti y fci no se sobrepasan cuando el momento por la excentricidad del presfuerzo actúa solo, como en los apoyos. Las variaciones de los esfuerzos Δf 1 y Δf 2 producidas por las pérdidas de presfuerzo, son iguales a (1 - R) veces los esfuerzos en las fibras extremas superior e inferior respectivamente, debidos al presfuerzo inicial solamente, dónde:
De acuerdo a la figura 5.3(a), el efecto de M 0, Mg y Ml deberá ser contrarrestado por los rangos de esfuerzos disponibles entre los límites de esfuerzos, según las siguientes expresiones:
Los mínimos módulos de la sección requeridos son:
El esfuerzo centroidal de la sección puede ser hallada de la ecuación 5.8 y la fuerza de presfuerzo inicial de la ecuación 5.9, según el procedimiento anterior. Para la excentricidad requerida, según la distribución de esfuerzos dado en la figura 5.3(b), se tiene:
Donde la excentricidad requerida sería:
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0
0
f 1
(Mg+ML)/S1 fcs
ft1
M0/S1 fti
fti y1 centroide de la sección
(1) (2) fci
(4)
(3)
y2 (1)
fts
(3)
fci
(Mg+ML)/S2
f 2
M0/S2 f 2
(1) (2) (3) (4)
Pi sola P1 + M0 Pe + M0 Pe + M0 + Mg + ML (a)
(1) Pi sola (3) Pe sola (b)
Figura 5.3. Distribución de esfuerzos de flexión para una viga de hormigón presforzado con excentricidad constante. (a) Sección de máximo momento. (b) Sección del apoyo. Si se compara los requerimientos de sección dadas por las ecuaciones 5.6a y 5.6b con las correspondientes 5.15a y 5.15b, se notará que para las vigas con excentricidad variable el requerimiento para módulo de sección está regido principalmente por los momentos ocasionados por las cargas sobreimpuestas Mg y M L, casi todo el peso propio es soportado simplemente incrementando la excentricidad a lo largo del claro con la cantidad M 0/Pi, sin incrementar el módulo de la sección o la fuerza de presfuerzo. En el caso de las vigas con excentricidad constante, esta excentricidad es controlada mediante las condiciones de apoyo, donde M 0 es cero y la totalidad del momento M0 debido al peso propio debe incluirse en la determinación de los módulos de la sección. Sin embargo, se emplean vigas con excentricidad constante, por razones prácticas. El problema de los excesivos esfuerzos en el hormigón debidos al presfuerzo en los extremos de vigas con excentricidad constante, puede ser resuelto por medios alternativos. Se puede reducir la fuerza de presfuerzo cerca de los extremos del claro, embutiendo algunos cables dentro de forros plásticos, desplazando el centroide de aplicación de la fuerza de presfuerzo interiormente hacia el centro de gravedad de la sección. Alternativamente pueden usarse varillas de refuerzo no presforzadas en las regiones extremas, controlando los levados esfuerzos locales. EL código ACI dispone límites especiales en los esfuerzos de tracción en el hormigón inmediatamente después de la transferencia antes de ocurridas las pérdidas diferidas, en los extremos de vigas simplemente apoyados, pueden ser hasta de 1.60 , esto es dos veces el límite de 0.80 que se aplica para otras ubicaciones. Las condiciones en los apoyos generalmente deberán ser las que rijan el diseño de las vigas con excentricidad constante, con fti = 1.60 .
√
√
√
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Ejemplo 5.1. Diseño de vigas con excentricidad del presfuerzo variable. En una viga simplemente apoyada de hormigón postensado de 12.00 m de luz, sometida a una carga viva de 1500 kg/m y una carga muerta adicional al peso propio de 700 kg/m, determinar las dimensiones requeridas de la sección transversal de la viga, la fuerza de presfuerzo y la excentricidad del centroide del acero, considerando los límites de esfuerzos del ACI. El hormigón usado tiene de 2 resistencia última f’c = 420 kg/cm , considerar que en la transferencia el hormigón habrá alcanzado el 70% de su resistencia última y las pérdidas diferidas se pueden suponer como el 15% del presfuerzo inicial. De acuerdo al ACI, se considera que la viga presforzado es de clase U, donde se supone un comportamiento como elemento no fisurado. La resistencia del hormigón en la transferencia es: 2
f’ci = 0.7 x 420 = 294 kg/cm
Los esfuerzos límites serían: fci = - 0.60 f’ci = - 0.60 x 294 = - 176.40 kg/cm2 fti = 0.8
√ √ = 0.8
= 13.72 kg/cm2
fcs = - 0.45 f’c = - 189.00 kg/cm2 fts = 1.6
√ √ = 1.6
= 32.79 kg/cm2
El peso propio de la viga se la estima en 380 kg/m. La relación de efectividad del presfuerzo está dado por: R = 0.85 Los momentos en el centro del claro son: M0 = 380 x 122 / 8 = 6840 kg-m = 684000 kg-cm Mg+L = 2200 x 122 / 8 = 39600 kg-m = 3960000 kg-cm De acuerdo a las ecuaciones 5.6a y 5.6b se tienen los módulos de la sección requeridos:
Se adoptará una viga I simétrica debido a que los módulos requeridos no difieren de manera considerable. La sección mostrada a continuación satisfacen los requerimientos:
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30.0 13.71 kg/cm² 0 . 5 1
- 166.51 kg/cm²
5 . 5 3 = 1
Y
0 . . 0 1 1 7 4
8 8 . 2 2 5 . = 5 o 3 e = 2
0 . 5 1
Y
-176.39 kg/cm² EN TRANSFERENCIA
28.23 kg/cm² EN SERVICIO
Las propiedades de la sección adoptada son: Ic = 808626 cm4 S = 22778 cm3 Ac = 1515 cm2 I2 = 533.75 cm2 Peso propio = 363.60 kg/m El peso propio estimado no difiere sustancialmente con el de la sección adoptada, sin embargo se recalcula el momento debido a este, donde se tiene: M0 = 363.60 x 122 / 8 = 6544.80 kg-m = 654480 kg-cm Por medio de la ecuación 5.8 se determina el esfuerzo en el centroide de la sección.
La fuerza de presfuerzo inicial requerida está dada por la ecuación 5.9, donde: Pi = Ac f cci = 1515 x ( - 81.34) Pi = - 123230.10 kg La excentricidad del cable necesaria en la sección de máximo momento (centro del claro en este caso) se determina por la ecuación 5.11, donde:
Con el fin de no exceder los esfuerzos límites, la excentricidad deberá reducirse en otros puntos del claro de la viga.
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Se usarán torones de ½ pulgada de diámetro de grado 250 KSI relevados de esfuerzo, que según lo visto en el capítulo 2 se tienen las siguientes propiedades: Esfuerzo de rotura:
fpu = 17200 kg/cm2
Área nominal:
Ap = 0.929 cm2 / torón
De acuerdo a las disposiciones del ACI, el esfuerzo inicial de presfuerzo límite es: 0.7 fpu = 0.7 x 17200 = 12040 kg/cm2 El área requerida del acero de presfuerzo es:
El número de torones requerido está determinado por:
Se usarán dos cables de 6 torones cada uno, de acuerdo a lo mostrado en la figura de la sección. Se debe revisar los cálculos de los esfuerzos para determinar que estos no excedan los límites establecidos de acuerdo a los estados críticos de carga. Presfuerzo inicial:
[ ] Presfuerzo efectivo: f 1 = R f o1 = 0.85 x 42.44 = 36.07 kg/cm2 f 2 = R f o2 = 0.85 x (- 205.12) = - 174.35 kg/cm2 Esfuerzos debido al peso propio:
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Esfuerzos debido a la carga muerta sobreimpuesta y carga viva:
Esfuerzos en la transferencia: f 1 = 42.44 – 28.73 = 13.71 kg/cm2 f 2 = - 205.12 + 28.73 = - 176.39 kg/cm2 Esfuerzos en el estado de servicio: f 1 = 36.07 – 28.73 – 173.85 = - 166.51 kg/cm2 f 2 = - 174.35 + 28.73 + 173.85 = 28.23 kg/cm2 Se verifica que los esfuerzos son menores a los límites requeridos, por lo tanto el diseño es satisfactorio. Ejemplo 5.2. Diseño de vigas con excentricidad del presfuerzo constante. Rediseñar la viga del ejemplo 5.1 utilizando cables rectos con excentricidad constante. Las consideraciones de diseño consideradas en el ejemplo anterior son los mismos en el presente ejemplo. De acuerdo al ACI, se consideran esfuerzos de tracción temporales en los apoyos de:
√
1.60
= 1.60
√
= 27.43 kg/cm2
En estos casos se tendrá una viga con sección menos eficiente, por lo que el peso propio estimado es mayor, incrementándose a 400 kg/m, donde: M0 = 400 x 122 / 8 = 7200 kg-m = 720000 kg-cm Mg+L = 3960000 kg-cm De acuerdo a las ecuaciones 5.15a y 5.15b se tienen los módulos reuqeridos:
Se escogerá nuevamente una sección simétrica, similar a la del ejemplo anterior pero con mayor peralte (77 cm), de acuerdo a la siguiente figura:
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30.0 - 12.68 kg/cm² 0 . 5 1
- 165.46 kg/cm²
13.71 kg/cm²
11.65 kg/cm²
5 . 8 3 = 1
Y
0 . . 0 7 7 7 4
3 1 . 9 1 = 5 . o e 8 3
=
2
Y 0 . 5 1
-149.49 kg/cm²
27.18 kg/cm²
EN TRANSFERENCIA
EN SERVICIO
-176.39 kg/cm²
- 149.93 kg/cm²
EN TRANSFERENCIA
EN EL CENTRO DEL CLARO
EN SERVICIO
EN EL APOYO
Las propiedades de la sección adoptada son: Ic = 1011554 cm4 S = 26274 cm3 Ac = 1605 cm2 I2 = 630.25 cm2 Peso propio = 385.20 kg/m Se recalcula el momento por peso propio: M0 = 385.20 x 122 / 8 = 6933.60 kg-m = 693360 kg-cm Con la ecuación 5.8 se determina el esfuerzo en el centroide de la sección.
La fuerza de presfuerzo inicial requerida está dada por la ecuación 5.9, donde: Pi = Ac f cci = 1605 x (- 81.34) Pi = - 130550.70 kg La excentricidad constante del cable requerida se determina por la ecuación 5.16, donde:
Se usarán torones de ½ pulgada de diámetro de grado 250 KSI relevados de esfuerzo, donde el esfuerzo límite según los requerimientos del ACI es 12040 kg/cm 2, tal como en el ejemplo anterior.
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El área requerida del acero de presfuerzo es:
El número de torones requerido está determinado por:
Se usarán dos cables de 6 torones cada uno, de acuerdo a lo mostrado en la figura de la sección. Se calculan los esfuerzos para verificar que cumplan con los límites requeridos. Presfuerzo inicial:
[ ] Presfuerzo efectivo: f 1 = R f o1 = 0.85 x 13.71 = 11.65 kg/cm2 f 2 = R f o2 = 0.85 x (- 176.39) = - 149.93 kg/cm2 Esfuerzos debido al peso propio:
Esfuerzos debido a la carga muerta sobreimpuesta y carga viva:
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Esfuerzos en la transferencia: En los apoyos actúan únicamente los esfuerzos debido al presfuerzo inicial, ya que los momentos por cargas externas son nulos: f 1 = 13.71 kg/cm2 f 2 = - 176.39 kg/cm2 En el centro del claro, cuando se superpone el peso propio, se tienen los siguientes esfuerzos: f 1 = 13.71 – 26.39 = 12.68 kg/cm2 f 2 = - 176.39 + 26.39 = - 149.49 kg/cm2 Esfuerzos en el estado de servicio: En los apoyos: f 1 = 11.65 kg/cm2 f 2 = - 149.93 kg/cm2 En el centro del claro: f 1 = 11.65 – 26.39 – 150.72 = - 165.46 kg/cm2 f 2 = - 149.93 + 26.39 + 150.72 = 27.18 kg/cm2 Los esfuerzos dados son menores a los límites requeridos, por lo tanto el diseño es satisfactorio.
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5.3. VARIACIÓN DE LA EXCENTRICIDAD A LO LARGO DEL CLARO. Para el método de diseño por flexión de vigas simplemente apoyadas de vigas de hormigón presforzado con excentricidad variable estudiado en la 5.2, se realiza el análisis en la sección de máximo momento, donde las ecuaciones desarrolladas establecen los requerimientos para el módulo de la sección, de la fuerza de presfuerzo y de la excentricidad de la sección. Sin embargo, en otras secciones del claro, donde los momentos se van reduciendo, la excentricidad de los cables deberá reducirse para evitar que los esfuerzos en el hormigón sobrepasen los límites establecidos por las normas, cuando la viga se encuentra en el estado descargado. Cuando la viga se encuentre en el estado de carga total, existe una excentricidad mínima o un límite superior, para mantener a los esfuerzos dentro de los rangos. Empleando las ecuaciones elásticas de presfuerzo estudiadas en el capítulo 3 se pueden establecer los límites para la ubicación del cable resultante de presfuerzo en cualquier punto del claro. Los esfuerzos que se tengan en los estados de descargados y cargados se comparan con los esfuerzos límites establecidos en las normas, de tal forma que se tenga una solución para la excentricidad del cable e o(x) como una función de la distancia x a lo largo de la viga. Se define como e o(x), M 0(x) y MT(x) representan la excentricidad y los momentos en los estados de carga como función de la distancia x desde el apoyo respectivamente. Para el estado descargado, el esfuerzo en la fibra extrema superior no deberá exceder el límite fti, donde se tendría:
Para la máxima excentricidad se tendría:
En el estado descargado, para la fibra extrema inferior, el esfuerzo no deberá exceder la compresión inicial límite, donde:
Donde el segundo límite inferior de la excentricidad sería:
En el estado totalmente cargado, se definen los límites superiores para la excentricidad, donde:
Dónde:
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Para el segundo límite superior se tiene:
Dónde:
A partir de las ecuaciones 5.17 y 5.18 se establece el límite inferior de la excentricidad del cable resultante, así mismo, las ecuaciones 5.19 y 5.20 el límite superior. En la figura 5.4 se muestra la envolvente de los límites de la excentricidad del cable resultante de presfuerzo. Cualquier cable resultante que sea trazado dentro de la zona sombreada será satisfactorio desde el punto de vista de los límites de esfuerzo en el hormigón. Cabe destacar que es el cable resultante el que debe caer dentro de la zona límite, los cables individuales generalmente se ubican fuera de ella. En la práctica, para las vigas postensadas, se usa un perfil con un trazado parabólico o una catenaria. El ducto que contiene los cables de presfuerzo (torones o alambres) se colocan de la forma deseada y se fijan en esa posición sujetándolos al armado del alma, previo al hormigonado de la viga. En el caso de vigas pretensadas se emplea trazados trapezoidales con cables atirantados, utilizando elemento de desvío que sujetan hacia abajo los cables de presfuerzo en el centro, en los tercios o en los cuartos del claro, y sujetan hacia a arriba en los extremos. Limite superior
Zona límite para el cable resultante
L C
Limite inferior
Figura 5.4. Zona límite típica para el centroide del cable resultante de presfuerzo. El cable teórico, debido a las limitaciones físicas está definido por varios cables, cada uno con distinto trazos. En el centro de la viga los cables concurren a un mismo punto definido por la máxima excentricidad y a medida que se acercan a los extremos se separan en trazados parabólicos de acuerdo a la siguiente expresión:
Dónde: yi: xi: f : d:
Ordenada de cada cable, medido desde la máxima excentricidad del cable. Abscisa de cada cable, medido desde el centro de la viga. Máxima ordenada en el extremo de la viga. Longitud media de la viga (L/2)
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Se debe considerar las limitaciones que se presenta en la ubicación de los cables en los extremos, debido a las dimensiones de los anclajes. Ejemplo 5.3. Diseño de vigas con excentricidad del presfuerzo variable, determinación de la zona límite del centroide del cable de presfuerzo. De la viga del ejemplo 5.1, determinar la zona límite del centroide del cable de presfuerzo. De ejemplo 5.1 se tienen los siguientes resultados del diseño: fci = - 176.40 kg/cm2 fti = 13.72 kg/cm2 fcs = - 189.00 kg/cm 2 fts = 32.79 kg/cm2 M0 = 654480 kg-cm MT = 4614480 kg-cm Pi = - 123230.10 kg Pe = - 104745.59 kg Ic = 808626 cm4 S = 22778 cm3 Ac = 1515 cm2 i2 = 533.75 cm2 La variación del momento en la viga es parabólica, debido a que las cargas externas por peso propio, cargas muertas y carga viva son uniformemente distribuidas, con un momento máximo en el centro del claro y nulo en los extremos, por lo tanto se deberá determinar estos valores a lo largo del claro. Para fines prácticos, se determinan en el centro del claro, a un cuarto del claro y en el apoyo, donde:
M0 : MT :
En el apoyo 0 0
En L/4 4908.60 34608.60
En L/2 6544.80 46144.80
Por medio de las ecuaciones 5.17 y 5.18 se establece el límite inferior del centroide del cable de presfuerzo, así: Ecuación 5.17.
e0 :
En el apoyo 17.57
En L/4 21.55
En L/2 22.88
En L/4 21.55
En L/2 22.88
Ecuación 5.18.
e0 :
En el apoyo 17.57
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Por medio de las ecuaciones 5.19 y 5.20 se establece el límite inferior del centroide del cable de presfuerzo, así: Ecuación 5.19.
En el apoyo - 26.06
e0 :
En L/4 6.98
En L/2 17.99
En L/4 10.87
En L/2 21.88
Ecuación 5.20.
En el apoyo - 27.17
e0 :
APOYO
CUARTO
CENTRO
- 26.06 0 5 . 5 3
0 0 . 1 7
6.98 ZONA LÍMITE 0 5 . 5 3
17.99
17.57 21.55
3.00
22.88
3.00 6.00
APOYO
0 5 . 5 3
CUARTO
CABLE C1 - 12.50
0 0 . 1 7
10.00 0 5 . 5 3
CENTRO
CABLE RESULTANTE
12.50
17.50
23.75 CABLE C1 3.00
27.50
3.00 6.00
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En las figuras se muestran el trazado de la zona límite del centroide del cable de presfuerzo y de los cables en la viga. Con el trazado presentado mantiene al cable resultante dentro de la zona límite. Nótese que la separación de los cables en el centro del claro de 10 cm se vio aumentada al llegar a los apoyos, esto se debe a requerimientos de anclaje. El pequeño rango entre los límites superior e inferior de la fuerza de presfuerzo en el centro del c laro es un caso típico de vigas con diseños ajustados, donde la sección escogida cumple al límite sin que se excedan los requisitos por flexión. 5.4. CRITERIOS PARA LA SELECCIÓN DE LA SECCIÓN DE LA VIGA. A diferencia de la construcción de elementos con otros materiales tales como el acero o la madera, en el hormigón presforzado se tiene la ventaja de escoger la sección optima que se acople a las necesidades particulares de cada caso. No solamente puede variarse el peralte de la viga, sino también el espesor del alma, el ancho y espesores de los patines. En el caso de vigas de claros pequeños, en las que la carga muerta probablemente es sólo una pequeña porción de la carga total a soportarse, elementos rectangulares pueden proporcionar la solución más económica, debido a la reducción de los costos de encofrado. La desventaja de las secciones rectangulares radica en que cuentan con una menor dimensión en su núcleo central de inercia. En el caso de claros medianos y grandes, es más eficiente el uso de secciones con patín, tales como secciones I, T o cajón, mostradas en la figura 5.5. En dichas secciones el cable resultante puede ubicarse más abajo sin que se sobrepasen los límites de esfuerzos del estado descargado. El brazo del par interno existente entre las resultantes de las fuerzas de tracción y compresión bajo los estados de carga de servicio y última es llevado a un máximo. El procedimiento más adecuado para la selección de una sección consiste en comenzar con una sección de tanteo con propiedades geométricas cercanas a los módulos deseados. Luego se modifica la sección tentativa de tal manera que se satisfagan las condiciones de módulos mínimos S 1 y S2. Entre las cinco tipos de secciones mostradas en la figura 5.5, se deberá escoger la requerida. No en todos los casos se satisfacen estrictamente los módulos mínimos S 1 y S2; en algunos casos se requiere un patín ancho para proporcionar superficie de tráfico, como en el caso de vigas de puentes o de edificios. Por resistencia última a flexión generalmente se requiere un mayor patín superior, debido a que en caso que la viga se sobrecargue, los esfuerzos en el hormigón permanezcan bajos, y se asegure una falla dúctil a través de la fluencia del acero en tracción. En el estado de servicio, en la totalidad de la carga, los esfuerzos de compresión en la fibra extrema superior permanecerán por debajo del límite permitido. En el caso de vigas con grandes claros, donde el peso propio en relación a las cargas sobreimpuestas es mayor, durante la transferencia el patín inferior no se verá sobresforzado a compresión, resultando conveniente una sección T.
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B
B
B1 t1
t
bw H
bw
H
H
t2
t
B2 (a)
(b)
(c)
B1
B t1
t1
bw H
bw/2
H
t2
bw/2
t2 B2 (d)
(e)
Figura 5.5. Secciones transversales idealizadas. En la práctica la altura de la viga se puede seleccionar en base a la relación claro peralte, o en requerimientos de alturas de entrepisos y gálibos. Se tienen las siguientes relaciones claro/peralte (L/h):
Para vigas de un solo claro varían desde 16 hasta 22, dependiendo de las condiciones de carga y del criterio de diseño. Para tableros ligeramente cargados en doble T o para tableros de cubierta, se tiene la relación entre 30 hasta 40. Para tableros de sección hueca se puede sobrepasar de 40 la relación, sin que esto afecte el desempeño de la estructura. En vigas de puentes simplemente apoyados, con claros entre 18 m y 36 m, Guyon sugiere que el peralte no sea menor que L/25 más 10 cm, pero para claros mayores el peralte deberá ser incrementado.
En el caso de vigas continuas, las relaciones claro peralte podrán ser mayores. Una vez se haya definido el peralte de la viga, a partir del rendimiento geométrico de la sección, definido en el capítulo 3, servirá como medida de comparación entre secciones transversales a escoger.
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Dónde:
Secciones con forma I o T con almas y patines relativamente delgados presentan mayores rendimientos ρ que las sesiones con partes más gruesas. Se deberá limitar la esbeltez de los elementos para evitar efectos de pandeos laterales en elementos cargados. El espesor mínimo del alma es determinado por los espacios mínimos requeridos por los cables de presfuerzo, el refuerzo auxiliar y recubrimientos requeridos. Almas con espesores de 12 cm o menos satisfacen los requisitos de resistencia al cortante acompañados con cantidades razonables de refuerzo transversal, sin embargo almas tan delgadas a menudo son difíciles de hormigonar. Generalmente, en la práctica, se puede considerar un espesor de 15 cm como mínimo. Las vigas I adecuadamente diseñadas tienen un rendimiento cercano a 0.50. Rendimientos alrededor de 0.45 indican secciones muy pesadas en tanto que valores entre 0.55 indican secciones excesivamente esbeltas. 5.5. SECCIONES ESTÁNDAR – DIAGRAMA DE MAGNEL. Con el desarrollo de la tecnología en la construcción, se desarrollaron secciones transversales estándar usadas para vigas, columnas, sistemas de piso, etc., de tal manera que se puedan producir elementos presforzados en serie en grandes bancos y encofrados de moldeo reusables. De tal manera se puede alcanzar grandes ahorros en la construcción de elementos, lo que no se podría realizar en elementos con secciones específicas para cada caso. Queda claro que estas secciones estándar podrían alcanzar a tener propiedades y eficiencias mayores a las requeridas, que con ciertas modificaciones de forma se podría alcanzar la sección óptima de cada caso. El diseñador contará con secciones que superan los requerimientos de propiedades geométricas, al usar las secciones estándar, por lo tanto se tendría alguna libertad con la fuerza de presfuerzo y su excentricidad. En la sección 5.6 se muestran las secciones estándar usadas con sus propiedades, que facilitan el escogitamiento de la más óptima para cada caso. El redondeo hacia arriba de las dimensiones requeridas para el hormigón, el requerimiento de patines espaciosos por razones funcionales, o el uso de secciones estándar, generalmente nos llevará al uso de secciones con propiedades mayores a los mínimos requeridos, por tal razón los esfuerzos en el hormigón permanecerán dentro de los admisibles, a medida que el elemento pasa del estado descargado al estado de carga total de servicio. Un número infinito de combinaciones de fuerza de presfuerzo y excentricidad satisfacerán los requisitos de diseño. El diseño más económico es aquel que tiene una menor fuerza de presfuerzo con la mayor excentricidad posible. Una ventaja de contar con un mayor valor de excentricidad es el de maximizar la resistencia última a la flexión del elemento al ofrecer el más grande brazo del par interno entre la resultante de compresión y tracción, en el estado de que la viga esté sobrecargada. En estas secciones, donde se cuenta con una capacidad en exceso, no se aplican las ecuaciones 5.8 y 5.11 para los esfuerzos en el centroide del hormigón y la excentricidad requerida, debido a que los límites de esfuerzos fti y fci no se cumplen estrictamente. Estas ecuaciones pueden ser modificadas, considerando que los valores requeridos del esfuerzo en el estado inicial, en las fibras extremas ING. LUIS VILLAVICENCIO CAVERO
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superior e inferior del elemento son f 1i y f 2i respectivamente, entonces los esfuerzos en el centroide del hormigón en las condiciones iniciales son:
La fuerza de presfuerzo está dada por la ecuación 5.9: Pi = Ac f cci La excentricidad requerida sería:
Para una sección transversal dada, resulta útil una solución gráfica que cubra todas las posibles combinaciones aceptables de fuerza de presfuerzo y excentricidad. Se tienen cuatro límites de esfuerzos que deben ser satisfechos, dos en el estado de carga de servicio total y dos en el estado de descargado. Los requisitos están establecidos según las siguientes expresiones:
Resulta más conveniente estudiar la relación en función de la inversa de la fuerza de presfuerzo, por ser una función lineal de la excentricidad, así para el estado inicial se tiene, de las ecuaciones a y b:
De las ecuaciones c y d, en el estado de caga de servicio se tiene:
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En la figura 5.6 se muestra la solución gráfica para las posibles combinaciones de fuerza de presfuerzo y excentricidad, mediante el diagrama de Magnel. El diagrama está conformado por las líneas 1 a 4 que corresponden a las inecuaciones 5.25a a 5.25d respectivamente, donde la 1 y 3 controlan que los esfuerzos en la fibra superior estén dentro de los rangos de los admisibles y la 2 y 4 controlan los esfuerzos en la fibra inferior. Las soluciones están definidas por la intersección de las cuatro líneas. Si se iguala la relación 1/Pi igual a cero, en las ecuaciones 1 y 4 se tendría:
Para las ecuaciones 2 y 3:
Siendo k1 y k2 los límites del núcleo central de inercia de la sección. 1/Pi 1 3 4 B
1/Pi
2 A
k1
0
k2 eoA
eomax
eoB
eo
Figura 5.6. Diagrama de Magnel. La máxima excentricidad que se tendría (e oB), sin que los esfuerzos generados excedan los esfuerzos límites, de acuerdo a los cuatro requisitos de esfuerzos, se define, para este caso, por la intersección entre las líneas 1 y 3 de la figura 5.6, en el punto B. Para esta máxima excentricidad le correspondería el máximo valor de 1/P i, el mismo que sería el mínimo valor de la fuerza de presfuerzo, siendo esta combinación (máxima excentricidad y mínimo presfuerzo) la solución más deseable. Sin embargo, generalmente la máxima excentricidad posible se la determina por limitaciones físicas presentadas, tales como la distancia y 2 de la sección reducida por el recubrimiento del hormigón necesario para proteger los torones o el centroide de los torones dispuestos en vigas pretensadas. De tal manera que, la solución óptima se define por la intersección de la máxima excentricidad e omáx con la línea 4 (ecuación 5.25d), para este caso, teniéndose el correspondiente 1/P i que define la fuerza de presfuerzo Pi. En el diagrama de la figura 5.6, las líneas dadas se han trazado con pendientes positivas, sin embargo, en algunos casos las líneas pueden tener pendiente cero o negativa, como es el caso típico de las vigas T, donde no se excede el valor del esfuerzo de compresión admisible en el estado de servicio (f cs) al soportar las cargas, inclusive sin necesidad de la fuerza de presfuerzo, debido al gran patín superior que ING. LUIS VILLAVICENCIO CAVERO
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tienen. En este caso se tendría una pendiente negativa para la línea 4, la misma que se descartarñia por completo y la solución se definiría por las otras líneas. En secciones prácticas, la distancia entre el centroide del acero y el fondo de la viga debe ser de alrededor del 10% de altura de la viga. Ejemplo 5.4. Diseño de vigas con sección estándar, aplicando el diagrama de Magnel. Diseñar la viga del ejemplo 5.1, utilizando las secciones estándar tipo AASHTO dadas en la sección 5.7.1, empleando el diagrama de Magnel. Del ejemplo 5.1 se tienen las siguientes consideraciones: 2 La resistencia del hormigón en la transferencia es: f’ci = 0.7 x 420 = 294 kg/cm Los esfuerzos límites son: fci = - 0.60 f’ci = - 0.60 x 294 = - 176.40 kg/cm2 fti = 0.8 = 0.8 = 13.72 kg/cm2 fcs = - 0.45 f’c = - 189.00 kg/cm2 fts = 1.6 = 1.6 = 32.79 kg/cm2 La relación de efectividad del presfuerzo es: R = 0.85
√ √ √ √
Se puede estimar la altura de la viga según la ecuación 5.12, donde:
h = 67 cm a 48 cm Se empleará la sección de viga AASHTO tipo I, donde se tienen las siguientes propiedades geométricas: Propiedades Geométricas Tipo
Área 2 cm
h cm
y1 cm
I
1,743.8
71
39.02
y2 cm
I 4 cm
31.98 926,272.80
i2 2 cm
S1 3 cm
S2 3 cm
Peso kg/m
531.20
23,738.30
28,964.30
418.50
La distancia entre el centroide del acero y el fondo de la viga debe ser aproximadamente de: 0.10 h = 0.10 x 71 = 7.10 cm Se asume 10 cm, que para el caso de vigas postensadas, físicamente es posible ubicar los ductos en la sección central de la viga para que el cable resultante se ubique en esa posición, donde la excentricidad estaría dado por: eo = y2 – 10 = 31.98 – 10 = 21.98 cm Los momentos en el centro del claro son: M0 = 418.50 x 122 / 8 = 7533 kg-m = 753300 kg-cm Md+L = 2200 x 122 / 8 = 39600 kg-m = 3960000 kg-cm
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Con las inecuaciones 5.25a hasta la 5.25d se trazan las líneas 1 a la 4 del diagrama de Magnel. En la siguiente tabla se tienen los valores de las inecuaciones que trazan las líneas: eo cm k1 = -16.61 -9.05 -1.50 6.06 k2 = 13.61 18.20 22.80 27.39 y1 = 31.98 eo = 21.98
1/Pi Ec 1
0.00E+00 4.26E-06 8.51E-06 1.28E-05 1.70E-05
Ec 2 0.00E+00 1.29E-06 2.58E-06 3.87E-06 5.16E-06 5.94E-06 6.72E-06 7.50E-06 8.29E-06
Ec 3 0.00E+00 1.71E-06 3.41E-06 5.12E-06 6.83E-06 7.86E-06 8.90E-06 9.94E-06 1.10E-05
Ec 4
0.00E+00 1.72E-05 3.44E-05 5.16E-05 6.88E-05
7.75E-06
6.58E-06
8.72E-06
3.14E-05
De acuerdo al diagrama de la figura, se tiene puede efectuar el diseño de la viga, debido a que las líneas delimitan el área de las posibles soluciones, donde para la excentricidad e o = 21.98 cm, la intersección con la línea 3 es la solución óptima, ya que se tiene el mayor 1/Pi, donde se tendría: 1/Pi = 8.72 x 10-06 Donde la fuerza de presfuerzo inicial requerida sería: Pi = 114958.11 kg. 1/Pi (4)
(1)
(3) 1/Pi
(2)
eo k1
k2
eo
Diagrama de Magnel. Se usarán torones de ½ pulgada de diámetro de grado 250 KSI relevados de esfuerzo donde se tienen las siguientes propiedades: Esfuerzo de rotura: Área nominal:
fpu = 17200 kg/cm2 Api = 0.929 cm2 / torón
De acuerdo a las disposiciones del ACI, el esfuerzo inicial de presfuerzo límite es: 0.7 fpu = 0.7 x 17200 = 12040 kg/cm2 El área requerida del acero de presfuerzo es:
Ap = 9.53 cm2
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30
El número de torones requerido está determinado por:
7.5
15
7.5
10 8
Se usarán dos cables de 6 torones cada uno, con una fuerza de presfuerzo por cada torón de 9565 kg, donde la fuerza de presfuerzo inicial sería:
y1 = 39.02
28 71
Pi = 12 x 9565 = 114780 kg.
eo = 21.98 12.5
y2 = 31.98
12.5
10
12.5
15
12.5
40
Se debe revisar los cálculos de los esfuerzos para determinar que estos no excedan los límites establecidos de acuerdo a los estados críticos de carga. Presfuerzo inicial:
] [ Presfuerzo efectivo: f 1 = R f o1 = 0.85 x 40.45 = 34.38 kg/cm2 f 2 = R f o2 = 0.85 x (- 152.93) = - 129.99 kg/cm2 Esfuerzos debido al peso propio:
Esfuerzos debido a la carga muerta sobreimpuesta y carga viva:
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CAPITULO 5
Página 5.30
HORMIGON PRESFORZADO
Esfuerzos en la transferencia: f 1 = 40.45 – 31.73 = 8.72 kg/cm2 f 2 = - 152.93 + 26.01 = - 126.92 kg/cm2 Esfuerzos en el estado de servicio: f 1 = 34.38 – 31.73 – 166.82 = - 164.17 kg/cm2 f 2 = - 129.99 + 26.01 + 136.72 = 32.74 kg/cm2 Se verifica que los esfuerzos son menores a los límites requeridos, por lo tanto el diseño es satisfactorio. 30
8.87 kg/cm²
-164.04 kg/cm²
y1 = 39.02
71
eo = 21.98 y2 = 31.98
40
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-127.48 kg/cm² EN TRANSFERENCIA
CAPITULO 5
32.27 kg/cm² EN SERVICIO
Página 5.31
HORMIGON PRESFORZADO
5.6. SECCIONES ESTANDAR DE VIGAS. 5.6.1. Vigas I para puentes tipo AASHTO.
B5 B1 B3
B4
B4
D1
3
D6 B6
4
6
7
7 3
D6
B3
B5
2
D5
5
B4
5
6
D1
D3
5
5
D4
4
2
D5
4
D3
4
D4
B1 B3 1
D2
1
D2
B4
B6
B6
B2
B3
B6
B2
DIMENSIONES (CENTIMETROS) Tipo
D1
D2
D3
D4
D5
D6
B1
B2
B3
B4
B5
B6
I
71
10
0
8
12.5
12.5
30
40
15
7.5
0
12.5
II
91
15
0
8
15
15
30
45
15
7.5
0
15
III
115
18
0
12
19
18
40
56
18
11
0
19
IV
137
20
0
15
23
20
51
66
20
15.5
0
23
V
160
13
8
10
25
20
107
71
20
10
33.5
25.5
VI
183
13
8
10
25
20
107
71
20
10
33.5
25.5
PROPIEDADES Tipo
AREA 2 cm
h cm
y1 cm
y2 cm
INERCIA 4 cm
S1 3 cm
S2 3 cm
PESO kg/m
MAXIMA LUZ m
I
1,743.8
71
39.02
31.98
926,272.8
23,738.3
28,964.3
418.50
15
II
2,325.0
91.00
50.93
40.07
2,056,660.1
40,384.6
51,322.7
558.00
21
III
3,643.0
115.00
63.33
51.67
5,298,647.8
83,661.3
102,556.8
874.32
30
IV
5,041.5
137.00
74.26
62.74
10,780,379.5
145,171.5
171,825.2
1209.96
36
V
6,516.5
160.00
78.21
81.79
21,743,986.6
278,028.4
265,844.2
1563.96
44
VI
6,976.5
183.00
89.82
93.18
30,639,536.4
341,108.3
328,833.2
1674.36
50
ING. LUIS VILLAVICENCIO CAVERO
CAPITULO 5
Página 5.32
HORMIGON PRESFORZADO
30 30
91 Tipico 5
71
Tipico 5
40 TIPO I
45 TIPO II 51
40
137 Tipico 5
115
Tipico 5
56 TIPO III
66 TIPO IV 107
107
183
160 Tipico 5
Tipico 5
71 TIPO V
ING. LUIS VILLAVICENCIO CAVERO
71 TIPO VI
CAPITULO 5
Página 5.33
HORMIGON PRESFORZADO
5.6.2. Vigas Bulb Tees para puentes tipo AASHTO. 106 5
40.5
15
5
40.5
10 5 5
H
Hw
11 15 25.5
15 66
25.5
PROPIEDADES Tipo
AREA 2 cm
H cm
Hw cm
y1 cm
y2 cm
INERCIA 4 cm
S1 3 cm
S2 3 cm
PESO kg/m
MAXIMA LUZ m
BT-54
4,288.0
137.00
91.00
65.53
71.47
11,291,078.1
172,310.7
157,977.8
1029.12
35
BT-63
4,633.0
160.00
114.00
76.90
83.10
16,568,216.7
215,461.8
199,368.0
1111.92
40
BT-72
4,963.0
182.00
136.00
87.79
94.21
22,761,215.7
259,274.9
241,595.6
1191.12
45
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CAPITULO 5
Página 5.34
HORMIGON PRESFORZADO
106
106
160 137
66
66
BT-54
BT-63 106
182
66 BT-72
ING. LUIS VILLAVICENCIO CAVERO
CAPITULO 5
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