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Descripción: Examen
Escuela Militar de Ingeniería – Maestría en Ingeniería Estructural Estructural MIE-10
Estabilidad Estructural 2.- Determine la carga crítica crítica de la cercha plana de la siguiente figura, figura, utilizando para ello la expresión de la ecuación trascendente o caracteristica tan k ⋅ L que se muestra más abajo, y utilice los resultados de esta ecuación provistos en la tabla adjunta de acuerdo a los datos del problema.
Datos de Geometría y rigidez L ≔ 2.4 6
2.10 ⋅ 10 ⋅ ― E ≔ 2.10 I ≔ 12 ⋅ b≔
2
4
L
2
E ⋅ I 2 =
1 ⋅ E ⋅ I 1 8
Ecuación caracteristica tan k ⋅ L =
k⋅L 2⎞ ⎛ 1 b E ⋅ I 1 1+ ⋅ ⋅ ⋅ k⋅L ⎝ 4 L E ⋅ I 2 ⎠
λ
kL
1
3.0560803
3 4
3.474336
1 2
3.590881
1 3
3.7263847
1 4
3.828861
1 5
3.908558
Docente: Dr. Ing. Juan Ronda
=
k⋅L
1+λ⋅ k⋅L
2
Alumno: Ing. Roberto E. Sandoval Mendoza
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Escuela Militar de Ingeniería – Maestría en Ingeniería Estructural MIE-10
Estabilidad Estructural k⋅L
2
b) Determine el coeficiente χ = ―― 2 π
y luego obtenga el valor del factor de reducción de
‾1
longitud o coeficiente de longitud efectiva μ =
χ
. Obtenga la expresión de la carga crítica en
función de este coeficiente. c) Exprese la carga crítica en función de la carga crítica de Euler para una columnas 2 ⎛ π ⋅ E ⋅ I ⎞ simplemente apoyada P EULER = ―― , de la forma P cr = χ ⋅ P EULER 2 L ⎝ ⎠
1 ⋅ E ⋅ I 2 2
d) Cuál sería la carga crítica si esta vez E ⋅ I 1 = a) b=
L
2
b
∴
L
=
1 2
E ⋅ I 2 =
1 ⋅ E ⋅ I 1 8
E ⋅ I 1
― =8
∴
E ⋅ I 2
k⋅L k⋅L tan k ⋅ L = ―――――――― = ――――2 2⎞ ⎛ 1 b E ⋅ I 1 1+λ⋅ k⋅L 1+ ⋅ ⋅― ⋅ k⋅L L E I 4 ⋅ ⎝ ⎠ 2 k⋅L tan k ⋅ L = ――――――
Escuela Militar de Ingeniería – Maestría en Ingeniería Estructural MIE-10
Estabilidad Estructural d)
E ⋅ I 1 =
b=
L
2
1 ⋅ E ⋅ I 2 2 b
∴
L
tan k ⋅ L =
tan k ⋅ L =
=
1 2
E ⋅ I 2 = k⋅L
2⎞ ⎛ 1 b E ⋅ I 1 1+ ⋅ ⋅― ⋅ k⋅L ⎝ 4 L E ⋅ I 2 ⎠
k⋅L 2⎞ ⎛ 1 1 1+ ⋅ ⋅2⋅ k⋅L ⎝ 4 2 ⎠
1 ⋅ E ⋅ I 1 2
1+λ⋅ k⋅L
P cr = k ⋅ L
2
E ⋅ I ⋅ ―2
1+λ⋅ k⋅L
L
Docente: Dr. Ing. Juan Ronda
1+λ⋅ k⋅L
P cr = 3.828861
― =2
E ⋅ I 2
2
k⋅L
=
E ⋅ I 1
k⋅L
=
λ=
2
2
1 1 1 ⋅ ⋅2 → 4 2 4
2
k⋅L k⋅L tan k ⋅ L = ―――――= ―――― 2⎞ ⎛ 1 1+ ⋅ k⋅L ⎝ 4 ⎠
∴
1 4
k ⋅ L= 3.828861
E ⋅ I ⋅ ―2 L
Alumno: Ing. Roberto E. Sandoval Mendoza
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Escuela Militar de Ingeniería – Maestría en Ingeniería Estructural MIE-10
Estabilidad Estructural 1.- Para los modelos que se muestran en las siguientes figuras, asumiendo pequeñas rotaciones y un modelo sin imperfecciones inicales, determine:
a) Relaciones cinemáticas: ∆ = f L , θ ; δ = f L , θ b) Planteo de la expresión de la Energia Potencial Total V P , θ Tomando en cuenta la energía interna de deforación del resorte y la energia potencial de la carga P.
⎛ d
c) Escriba la ecuación de equilibrio ⎜
⎞
V P , θ = 0⎟ , evaluadas para las trayectorias
⎝ dθ ⎠ primaria P1 θ = 0 , y secundaria P2 θ ≠ 0 , y obtenga de esta última el valor del parámetro de carga P = f L , θ , K , C . d) Que sucede con la trayectoria secundaria P2 si se evalúa en θ = 0 ?
e) Escriba las ecuaciones que describen los estados de equilibrio
⎛ d2 ⎜ 2 V P , θ ⎝ dθ
⎞ ⎟ P1,P2 ⎠
y determine para cuales valores de P = f C , K , L los estados son Crítico, Estable e Inestable. Para P2 θ ≠ 0 substituya el valor de parámetro de carga P encontrado en el punto c). f) Determine la estabilidad de los puntos crítcos a través d e las siguientes relaciones:
⎛ d3 ⎞ ⎛ d4 ⎞ , = 0 , V P θ θ V P θ y ― ― ⎜ 3 ⎟ ⎜ 4 ⎟ θ =0 ⎝ dθ ⎠ ⎝ dθ ⎠