UTN
CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS
San Rafael
ING. ELECTROMECANICA
T.P. N° 2A
AÑO: 2012
MAXIMILIANO J. T. MARTEL H O J A
LEG. 5632
COORDENADAS RECTANGULARES
EJERCICIO N° 2A-1 3
Las coordenadas de un punto material que se mueve en el plano x-y vienen dadas por x=2t +3t, y=t3/3 – /3 – 8 donde x e y están en metros y t en segundos. Determinar la velocidad v y la aceleración a, los ángulos que los vectores forman con el eje x cuando t=3 s
Si t= 3 segundos
Velocidad:
[m/s]
[m/s]
[m/s]
Angulo respecto al eje x:
[°]
Angulo entre la velocidad y el eje x Angulo
Aceleración:
[m/s²] [m/s²]
[m/s²]
[m/s²]
Angulo respecto al eje x:
[°]
Angulo entre la aceleración y el eje x
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AÑO: 2012
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COORDENADAS RECTANGULARES
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EJERCICIO N° 2A-2
Calcular la velocidad inicial mínima necesaria, u, para que un proyectil disparado desde el punto A, alcance un blanco B situado en el mismo plano horizontal a una distancia de 10km.
10 Km
En el eje x
En el eje y
ax= 0
ay= -g
vx= vx0
vy= -g.t +vy0
x= vx0 .t
y= -g.t /2 +vy0.t
2
Donde vx0 = u.Cos (α) y vy0 = u.Sen (α)
Suponiendo que α es igual a 45° obtenemos
x=vx0 .t [m]
10000 = u.Cos (45°).t [m]
[s] Ecuación N° 1
[m]
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[m]
[s] Ecuación N° 2
Igualando la ecuación N° 1 con la ecuación N° 2
[s]
2
2
[m /s ]
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COORDENADAS RECTANGULARES
Igualando y a cero
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[m/s]
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COORDENADAS RECTANGULARES
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EJERCICIO N° 2A-4
En el instante t= 3,65s la velocidad de un punto que se mueve en el plano x-y es 6,12i + 3,24 j[m/s]. Su aceleración media durante los 0,02 s siguientes es 3i +6 j [m/s2]. Hallar su velocidad v en el instante t= 3,67 s y el ángulo θ entre el vector aceleración media y el vector velocidad en el mismo instante.
v0=6,12i + 3,24 j[m/s] si t= 3,65 s
2
a= es 3i +6 j [m/s ]
√
[m/s²]
[m/s²]
El vector velocidad es:
v=(6,12+3.t)i+ (3,24+6.t) j[m/s]
La velocidad si t= 0.02 s
v=6,18 i + 3,36 j[m/s]
[m/s]
El ángulo entre los dos vectores es:
[m/s]
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√
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Angulo entre vectores
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COORDENADAS RECTANGULARES
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EJERCICIO N° 2A-6
Un punto se mueve el plano x-y con una componente y de la velocidad, en metros por segundos, dada por vy=8.t. Su aceleración en la dirección x, en metros por segundos al cuadrado, viene dada por ax= 4.t, con t en segundos. Cuando t=0, y=2, x=0 y v x=0. Hallar la ecuación de la trayectoria y calcular la celeridad del punto cuando la coordenada x alcanza el valor 18 m.
En el eje x
En el eje y
ax= 4t
ay= 8
2
vx= 2.t +v0x
vy= 8.t
3
x=2.t /3 + v0x.t + xo
Ecuación N° 1
Ecuación N° 2
Trabajando con las dos ecuaciones
Ecuación N° 1 Ecuación N° 2
Igualándolas y despejándolas obtenemos
Celeridad cuando x= 18 m
Ecuación N° 1
2
y= 4.t +yo
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COORDENADAS RECTANGULARES
Con el tiempo calculado obtenemos la celeridad cuando x= 18 m
[m/s]
[m/s]
[m/s]
[m/s]
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EJERCICIO N° 2A-7
Demostrar el conocido hecho de que, para una velocidad de lanzamiento dada vo, el ángulo de lanzamiento θ=45° produce el máximo alcance R. Hallar éste. (Téngase en cuenta que esta conclusión no es válida cuando en el análisis se incluye la resistencia del aire.)
Ecuación del movimiento en y:
Ecuación del movimiento en x:
Igualando la ecuación de y a 0 (cero)
Remplazando la última ecuación en el movimiento en x obtenemos:
Diferenciando x en función de θ
Igualando a 0 obtenemos
Este es el ángulo para el cual la distancia R es máxima
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EJERCICIO N° 2A-8
Durante un cierto intervalo del movimiento el pasador P es obligado a moverse por la ranura parabólica fija merced a la guía ranura vertical, la cual se mueve en la dirección x a la velocidad constante de 20 mm/s. Las cantidades están todas en milímetros y segundos. Calcular los módulos de la velocidad v y la aceleración a del pasador P cuando x= 60 mm.
En el eje x
En el eje y
vx= 20
ay= 5
x= 20.t
vy= 5.t
2
y= 5.t /2
Si t= 3 segundos la celeridad es:
[mm/s]
[mm/s]
[mm/s]
Si t= 3 segundos la aceleración es:
[mm/s²]
[mm/s²]
[mm/s²]
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EJERCICIO N° 2A-9
La velocidad de un proyectil en la boca de un fusil de largo alcance, situado en A, es u= 400 m/s. Hallar los dos ángulos de elevación θ que permitirán al proyectil alcanzar el blanco B de la montaña.
En el eje x
En el eje y
ax= 0
ay= -g.t /2 + v yo.t
vx= v0x
vy= -g.t + v yo
x=v0x.t
y= 4.t +yo
2
2
Si x= 5000 m
Ecuación N° 1
Si y= 1500 m
Ecuación N° 2
Remplazando la ecuación N° 1 con la ecuación N° 2
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Donde las soluciones son:
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EJERCICIO N° 2A-14
La boquilla de agua despide con una velocidad vo= 14 m/s y con un angulo θ= 40°. Determinar, respecto al pie B del murete, el punto en que el agua llega al suelo. Despreciar el efecto del espesor del murete.
0.3m
1m 19 m
Ecuaciones del movimiento: 19 m
En el eje x
En el eje y
ax= 0
ay= -g
vx= v0.cos θ
vy= -g.t +v0.sen θ
x=v0 .cosθ t
y= -g.t /2 + v0.sen θ.t +yo Ecuación N° 1
2
Utilizando la ecuación N° 1 e igualarla a 0.
+ 0,3 [m]
Con t se puede calcular la coordenada en x
Queda a una distancia igual a
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EJERCICIO N° 2A- 16
Un proyectil se lanza desde el borde de un acantilado de 150 m con una velocidad inicial de 180 m/s con un ángulo de 30° con la horizontal. Si se desprecia la resistencia del aire, calcular: a) la distancia x donde el proyectil golpea al suelo, b) la altura hmax.
Ecuaciones del movimiento: En el eje x
En el eje y
ax= 0
ay= -g
vx= v0.cos θ
vy= -g.t +v0.sen θ
x=v0 .cosθ t
y= -g.t /2 + v 0.sen θ.t +yo Ecuación N° 1
2
Igualando la ecuación N° 1
[m]
La distancia en x es:
Altura máxima Si vy=0
[m/s]
t= 9,1743 s
[m]
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EJERCICIO N° 2A –18
Durante un vuelo de prueba, un helicóptero parte del reposo en t=0 s, los acelerómetros montados a bordo indican que sus componentes de aceleración entre t=0s y t=10s están dadas por a x= 0,6.t [m/s2], ay= 1,8 – 0,36.t [m/s2].Determinar la velocidad y posición del helicóptero en función del tiempo.
Ecuaciones del movimiento: En el eje x
En el eje y
ax= 0,6.t
ay= 1,8-0,36.t
vx= v0.cos θ + 0,3.t
3
2
x=v0 .cosθ t+ 0,1.t Ecuación N° 1
2
vy= 1,8.t-0,36.t +v0.sen θ
2
3
y=0,9.t -0,06.t +voy.t
Ecuación N° 1: es la posición x en función del tiempo.
Ecuación N° 2: es la posición y en función del tiempo.
Ecuación N° 2
