Facultad de Ingeniería Departamento Departamento de Física Física Ing. Gilberto Gilberto González
D esplaza esplazami miento ento,, tie ti empo y velocida veloci dad d me media dia 1. En un experimento, se retiró a una pardela (un ave marina) de su nido, se le llevó a 5150 km de distancia y luego fue liberada. El ave regresó a su nido 13.5 días después de haberse soltado. Si el origen es el nido y extendemos el eje + x + x al punto de liberación, ¿cuál fue la velocidad media del ave en a) en el vuelo de regreso y b) desde que se retiró del nido hasta que regresó?
/
==1313.5,1.550í DATOS
Convirtiendo los datos a sus dimensionales correctas:
5,150150 × × 10001 = 5,150,100 = = 5.15 ∗ 10 60 60 13.5× 241ℎ × × 1166404000 = = 1.1664 1664∗∗ 10 í 1 ℎ 1 = 1166 a) Velocidad media en el vuelo de regreso:
= ∆∆ = ∆
Se toma en cuenta que el movimiento inicial se realiza en dirección de las x positivas, por lo cual el regreso del ave se realiza en dirección de las x negativas
= 5.15∗5 ∗ 10 = 4.4242 / 1 5 5∗ ∗ 10 = ∆ = 05. 1.1664∗10 1.1664∗10 / b) Velocidad media desde desde que se retiró del nido hasta el regreso: Para este inciso hay que tomar en cuenta que la velocidad media es un escalar por lo cual sabemos que si el ave regreso al mismo lugar su velocidad media es cero.
= 0 // Física Básica Básica
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= – = 1.5050 /
2. Un Honda Civic viaja en línea recta en carretera. Su distancia x a partir de un letrero de alto está dada en función del tiempo t por la ecuació ecuación n , donde y . Calcule la velocidad media del automóvil para los intervalos a) t = 0 a t = 2.00 s; b) t = 0 a t = 4.00 s; c) t = 2.00 s a t = 4.00 s.
= 0.0500 0500 / == 0.1.05055000 /// = – =1.50 – 0.0500 0 =1. 5 0 0 0 – 0. 0 500 500 0 = 0 2 =1.502 – 0.05002 =60. 4 =5. 6 Datos
a) Velocidad media en el intervalo t=0 a t=2.00 t=2.00 s. s.
Aplicando la ecuación:
= ∆∆ = = 5.26 00 = 5.26 =2.8/ 4 =1.504 – 0.05004 =243.2=20.8 = ∆∆ = = 2020.4.800 = 20.48 =5.2/
b) Velocidad media en el intervalo t=0 a t=4.00 t=4.00 s. s.
Aplicando la ecuación:
c) Velocidad media en el intervalo t=2 a t=4.00 t=4.00 s. s.
= ∆∆ = = 2020..48 25.6 = 15.22 =7.6/ Física Básica Básica
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Velocidad I nstantánea
= 28.0 12.4 /0.0450 / =8 = 28.0 12.4 /0.0450 /
1. Un ave vuela hacia el este. Su distancia tomando como referencia un rascacielos está dada por . ¿Cuál es la velocidad instantánea del ave cuando t = 8.00 s?
Datos
La velocidad instantánea se obtiene utilizando la siguiente ecuación
=lim∆→ ∆∆ = = 28.0 12.4 /0.0450 / =12.4 /30.0450 / =12.4 /0.135 / =12.4 /0.135 /8 =12.4 /8.64 / =3.76 /
Evaluamos la ecuación de
Física Básica
en t=8 s
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2. Un automóvil de pruebas viaja en línea recta a lo largo del eje x. La gráfica de la figura E2.11 indica la posición x del automóvil como función del tiempo. Obtenga la velocidad instantánea en los puntos A a G.
Como se muestra en la gráfica para obtener la velocidad instantánea en los puntos A y B tenemos una línea recta que recorre de x= 20 m a x=40 m y de t=0s a t=3s
=0 /
= 203 =6.67 /
En el punto C se observa una línea recta con pendiente = 0, por lo cual el valor de la velocidad de
Como se observa en la gráfica nuevamente tenemos una pendiente decreciente que recorre de x= 40 m a x=0 m y de t=5s a t=5s, de lo que obtenemos para el punto D, E y F una velocidad instantánea de:
= 401 =40 /
En el punto G se observa que existe una pendiente = 0, por lo cual la velocidad instantánea es cero
Física Básica
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Aceleración Media e I nstantánea 1. La figura E2.12 es la gráfica de la velocidad de un automóvil, alimentado con energía solar, respecto del tiempo. El conductor del vehículo lo acelera, desde un letrero de alto, viaja 20 s con rapidez constante de 60 km/h y frena para detenerse 40 s después de partir del letrero. a) Calcule la aceleración media para estos intervalos: i. t = 0 a t = 10 s; ii. t = 30 s a t = 40 s; iii. t = 10 s a t = 30 s; iv. t = 0 a t = 40 s.
Según se observa en la gráfica un aumento de velocidad del origen hacia los 10s, después la velocidad es constante
Datos
i.
= ∆∆ 1 × 10001 =16.67 / =60 ℎ × 160ℎ × 60
t = 0 a t = 10 s
16. 6 7 0 = 100 =1.67 / Física Básica
Facultad de Ingeniería Departamento de Física Ing. Gilberto González ii.
t = 30 s a t = 40
0 16. 6 7 16. 6 7 = 10 =1.67 / = 4030 iii.
t = 10 s a t = 30 En este inciso se observa en la gráfica que la velocidad es constante por lo cual la aceleración es cero.
iv.
=
16.67m/s
t = 0 a t = 40 s
0 0 0 = 40 =1.67 / = 400 Movimiento con Aceleración Constante
73.1430./0
1. En el servicio de tenis más rápido medido, la pelota pierde contacto con la raqueta cuando tiene una rapidez de . En un servicio de tenis la pelota normalmente está en contacto con la raqueta y está inicialmente en reposo. Suponga aceleración constante. a) ¿Cuál fue la aceleración de la pelota durante este servicio? b) ¿Qué distancia recorrió la pelota durante el servicio?
=73. 1 4 / =0 / 1 =30× 1000 =0.030 = = / = 73.140./0 030 =2438 / Datos
a. Utilizando la ecuación despejando la aceleración.
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de las ecuaciones de aceleración constante
Facultad de Ingeniería Departamento de Física Ing. Gilberto González b. Para encontrar la distancia recorrida se utiliza la siguiente ecuación para el caso de
= + = ( 2) 0 73. 1 4 =0 2 0.030 73. 1 4 = 2 0.030 =1.097 ≅1.10
aceleración constante
R. La distancia recorrida es de 1.10m 2. Durante el lanzamiento, el transbordador espacial pesa 4.5 millones de libras. Una vez lanzado, partiendo desde el reposo, tarda 8.00 s en alcanzar los 161 km/h, y al final del pri mer minuto, su rapidez es de 1610 km/h. a) ¿Cuál es la aceleración media (en ) del transbordador i. durante los primeros 8.00 s, y ii . entre 8.00 s y el final del primer minuto? b) Suponiendo que la aceleración es constante durante cada intervalo (aunque no necesariamente la misma en ambos intervalos), ¿qué distancia recorre el transbordador i. durante los primeros 8.00 s, y ii . durante el intervalo de 8.00 s a 1.00 min?
/
=0 / =8 =60 =161 /ℎ =1610 /ℎ Datos ; ;
a) Aceleracion media del transbordador i.
Durante los primeros 8 segundos. En estos primeros 8 seg el transbordador tiene una velocidad final de 161 km/h
1 × 10001 =44.72 / =161 ℎ × 160ℎ × 60 = ∆∆ 44. 7 2 0 44. 7 2 = 8 0 = 8 =5.6 / Física Básica
Facultad de Ingeniería Departamento de Física Ing. Gilberto González ii.
Entre 8 segundos y el final del minuto.
1 × 10001 =447.22 / =1610 ℎ × 160ℎ × 60 = ∆∆ 447. 2 44. 7 2 402. 4 8 = 60 8 = 52 =7.74 / b) ¿qué distancia recorre el transbordador? Utilizando la ecuación de aceleración constante
=( 2) i.
Durante los primeros 8.00 s
ii.
Durante el intervalo de 8.00 s a 1.00 min
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0 44. 7 2 =0 2 8 =178.88 ≅179
447. 2 2 44. 7 2 = 2 52 =12790.4 ≅12790
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Cuerpos en caída libre 1. Usted lanza una bola de masilla verticalmente hacia el techo, el cual se encuentra a 3.60 m por encima del punto donde la masilla pierde contacto con su mano. La rapidez inicial de la masilla cuando abandona su mano es de 9.50 m s. a) ¿Cuál es la rapidez de la masilla al llegar al techo? b) ¿Cuánto tiempo transcurre entre que la masilla pierde contacto con la mano y llega al techo?
ℎ=3. 6 0 =9.50 / Datos
a) ¿Cuál es la rapidez de la masilla al llegar al techo?
= 2 =9.8 / = 2
Utilizando la siguiente ecuación este caso la gravedad
, tomando la aceleración en
y positiva hacia abajo
Despejando la velocidad final y sustituyendo la aceleración por la gravedad en la ecuacion
=√ 2 =√ 9.50 / 29.8 /3.600 =√ 9.50 / 29.8 /3.60 =√ 90.25 / 70.56 / =√ 19.69 / =4.44 / b) ¿Cuánto tiempo transcurre entre que la masilla pierde contacto con la mano y llega al techo?
= = = 4. 4 4 9. 5 0 / = = 9.80 / =0.516
Utilizando la ecuación obtiene la ecuación
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, sustituyendo la aceleración por la gravedad se despejando para el tiempo se obtiene:
Facultad de Ingeniería Departamento de Física Ing. Gilberto González 2. En la Tierra, una roca de 15 kg se suelta desde el reposo y llega al suelo 1.75 s después. Cuando se suelta desde la misma altura en Encélado, una luna de Saturno, llega al suelo en 18.6 s. ¿Cuál es la aceleración debida a la gravedad en Encélado? Datos
=0=1.75
Tiempo en la tierra
=0=18. 6
Tiempo en Encélado
Primero se encuentra la altura de la cual es soltada la roca, con la siguiente ecuación:
= 12 ℎ = =0 = 12 = 12 = 12 9.8 1.75 =15.00
Como la altura final es el suelo la altura es lo cual se obtiene la siguiente ecuación,
Sustituyendo datos
al igual que la velocidad inicial por
Encontrando la gravedad (g) en Encélado con la misma ecuación
Despejando g,
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= 12 = 2ℎ = 18.21565 =0.0867 /
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Vectores posición y velocidad
= 0 = 12. 0 3.8 / 4.9 / = 12.0 =0=12. 0 − =3. 8 / − =4.9 /
= 0
1. E jercicio 3.2 -Un rinoceronte se encuentra en el origen de las coordenadas en . Para el intervalo de , la velocidad media del animal tiene una componente x de y una componente y de . En , a) ¿qué coordenadas x y y tiene el rinoceronte? b) ¿A qué distancia está del origen? Datos
a) ¿qué coordenadas x y y tiene el rinoceronte? Utilizando la ecuación de la velocidad media y tomando en cuenta que las coordenada inicial es en (0,0)
Entonces:
− = ∆∆ = 3.8 = 12.000 = 12.0 =3.8 12.0 =45.6
Ahora para el eje la coordenada en y:
− = ∆∆ = 4.9 = 12.000 = 12.0 =4.9 12.0 =58.8
R. las coordenadas del rinoceronte en t=12.0 s son (-45.6, 58.8).
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b) ¿A qué distancia está del origen?
Sustituyendo valores:
= =√ =√ 45.6 58.8 = √ 5536.8 =74.40
R// El rinoceronte se encuentra en t=12.0 s a 74.40 m de su origen.
⃗= [4.0 2.5 /]̂5.0/
2. E jercicio 3.3 -Un diseñador de páginas Web crea una animación en la que un punto en una pantalla de computadora tiene una posición . a) Determine la magnitud y dirección de la velocidad media del punto entre t = 0 y t = 2.0 s. b) Calcule la magnitud y dirección de la velocidad instantánea en t = 0, en t = 1.0 s y en t = 2.0 s. c) Dibuje la trayectoria del punto de t = 0 a t = 2.0 s, y muestre las velocidades calculadas en el inciso b).
̂
⃗= [4.0 2.5 /]̂5.0/̂ Datos
a) Determine la magnitud y dirección de la velocidad media del punto entre t = 0 y t = 2.0 s. El vector posición en t=0
⃗= [4.0 2.5 /]̂5.0/̂ ⃗= [4.0 2.5 /0 ]̂5.0/0 ̂ ⃗=4.00̂
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El vector posición en t=2
⃗= [4.0 2.5 /2 ]̂5.0/2 ̂ ⃗= [4.0 2.5 / 4 ]̂10.0̂ ⃗= [4.0 10]̂10.0̂ ⃗= [14 ̂ 10.0̂]
Ahora se procede a calcular las velocidades medias de cada componente, para x se obtuvieron los siguiente valores para t=0, 4 cm y para t=2, 14 cm
− = ∆∆ = 10 − = 1424 = 0 2 =5 / − = ∆∆ = 10 − = 1020 = 0 2 =5 /
Los valores en y son los siguientes valores para t=0, 0 cm y para t=2, 10 cm
Ahora se calcula la magnitud y el ángulo
= − − =√ 5 / 5 / =√ 50 / =7.07 / tan= −− = 55 / / =1 =tan−1=45°
Encontrando el ángulo por medio de funciones trigonométricas
Despejando θ
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b) Calcule la magnitud y dirección de la velocidad instantánea en t = 0, en t = 1.0 s y en t = 2.0 s. Para calcular la velocidad en los diferentes tiempo se deriva el vector posición en función del tiempo:
⃗ =⃗ ⃗ = 4.0 2.5 ̂ 5.0 /̂ ⃗ =22.5 ̂ 5.0 /̂ ⃗=5 ̂ 5.0 /̂ ⃗=5.0 0 ̂5.0 /̂ ⃗=5.0 /̂ ∞,∞ , =√ 0 / 5 / =√ 25 / =5 / =tan−50 / /=90°
t=0: - - - - - - - - - - - - ----------------------------------------------------------------------------
Se calcula la velocidad y el ángulo, tomar en cuenta que el dominio de la tangente inversa es
Física Básica
y el rango es de
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⃗=5 1 ̂5.0 /̂ ⃗=5.0 ̂5.0 ̂
t=1 - - - - - - - - - - - - ----------------------------------------------------------------------------
Se calcula la magnitud de velocidad media y el ángulo:
=√ 5 / 5 / =√ 50 / =7.07 / =tan−55 / /=45° ⃗=5 2 ̂5.0 /̂ ⃗=10.0 ̂5.0 ̂ =√ 10 / 5 / =√ 125 / =11.20 / =tan−105 / /=26.57°
t=2 - - - - - - - - - - - - ----------------------------------------------------------------------------
Se calcula la magnitud de velocidad media y el ángulo:
c) Dibuje la trayectoria del punto de t = 0 a t = 2.0 s, y muestre las velocidades calculadas en el inciso b).
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Vector Aceleración
=1.8 / = 10.0 = 20.0
=2. 6 / = 10. 0 = 20. 0 0.45 /
1. E jercicio 3.6 -Un perro que corre en un campo tiene componentes de velocidad y en . Para el intervalo de a
, la
aceleración media del perro tiene magnitud de y dirección de 31.0° medida del eje + x al eje + y. En , a) ¿qué componentes x y y tiene la velocidad del perro? b) ¿Qué magnitud y dirección tiene esa velocidad? c) Dibuje los vectores velocidad en y . ¿En qué difieren?
=2.=1.6 8// = 10.=0.0 45 / Datos
a.
= 10.0 = 20.0 = 20.0 cos= _ sen= _ _ = ×cos=0.45 / ×cos31=0.3857 / _ = ×sen=0.45 / ×sin31=0.2318 / En el intervalo de
a
y
¿qué componentes x y y tiene la velocidad del perro en Para este inciso se utiliza la ecuación de la por ecuaciones trigonométricas
θ=31.0°
?
para cada componente encontradas
Utilizando la ecuación de la aceleración media se despeja la velocidad final
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_ = =0.3857 /20 10 2.6 /=. / =0.2318 /20 10 1.8 /=. /
Despejando la ecuación obtenemos para
:
b. ¿Qué magnitud y dirección tiene esa velocidad?
c.
=√ 6.46 / 0.52 / =6.52 / =tan− (0.6.5426)=4.6°
Dibuje los vectores velocidad en
Física Básica
y
.
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= 3.0
= 1.2 /
= 0 = 2.0 =2.4 / 2.0 . == 3.0 =2. 4 / = 1.2 / = 0 = 2.0
= =
2. E jercicio 3.7- Las coordenadas de un ave que vuela en el plano xy están dadas por y , donde y . a) Dibuje la trayectoria del ave entre y . b) Calcule los vectores velocidad y aceleración del ave en función de t . c ) Obtenga la magnitud y dirección de la velocidad y aceleración del ave en
Datos
a.
Dibuje la trayectoria del ave entre
y
.
Utilizando la tabla y evaluando las ecuaciones en el tiempo t, se obtiene la gráfica.
t
= 2.4 = 3.0 1.2
0 1 2 3
0 2.4 4.8 7.2
3.0 1.8 -1.8 -7.8
b. Calcule los vectores velocidad y aceleración del ave en función de t . Se realiza la derivada con respecto al tiempo para encontrar el vector velocidad
Para y
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⃗ = = /
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⃗ = 3.0=2 / = / ̂ / ̂
Entonces el vector velocidad es:
Como se observa en el vector velocidad la derivada del mismo será la aceleración que solo tendrá componente en y.
⃗ = ̂2̂ =2.4̂ / = ̂ /
c. Obtenga la magnitud y dirección de la velocidad y aceleración del ave en
i.
Física Básica
⃗2=2.4 / ̂ 2.4 / 2̂ ⃗2=2.4 ̂4.8̂ =√ 2.4/ 4.8 / =5.37 / =tan− (4.2.48)=63.43° =36063=297°
Encontrando la magnitud y angulo de la velocidad:
= 2.0 .
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Encontrando la magnitud y el ángulo de la aceleración
=√ 0 / 2.4 / =2.4 / =tan− (2.0 4)=90°
Movimientos de proyectiles 1. E jercicio 3.10 -Una intrépida nadadora de 510 N de peso se lanza desde un risco con un impulso horizontal, como se muestra en la figura E3.10. ¿Qué rapidez mínima debe tener al saltar de lo alto del risco para no chocar con la saliente en la base, que tiene una anchura de 1.75 m y está 9.00 m abajo del borde del risco?
ℎ=9. 0 0 =1. 7 5 =510 Datos
En los problemas de proyectiles hay condiciones a tomar en cuenta:
=0==9. /8 / = Física Básica
Positiva en dirección hacia la tierra
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=0 /
Para encontrar la velocidad mínima para no chocar con el risco, primero se encuentra el tiempo de la caída de la nadadora.
= 12
En las condiciones iniciales la velocidad en y es cero y el movimiento se realiza en dirección a la tierra, despejando la ecuación encontramos el tiempo
= 12 = 2 = 29.9.8 0/0 =1.36
La caída de la nadadora durará 1.36 s. Ahora utilizando la misma ecuación en dirección de las x, por condiciones iniciales se sabe que no hay aceleración en esta dirección,
= 12 = = = 1.1.7355 =1.29 /
R// la rapidez con la que tiene que salir la nadadora es de 1.29 m/s.
2. E jercicio 3.23-Un globo de 124 kg que lleva una canastilla de 22 kg desciende con velocidad constante de 20.0 m/s. Una piedra de 1.0 kg se lanza desde la canastilla con una velocidad inicial de 15.0 m/s perpendicular a la trayectoria del globo en descenso, medida en relación con una persona en reposo en la canastilla. Esa persona ve que la piedra choca contra el suelo 6.00 s después de lanzarse. Suponga que el globo continúa su descenso con la misma rapidez constante de 20.0 m s. a) ¿A qué altura estaba el globo cuando se lanzó la piedra? b) ¿Y cuando chocó contra el suelo? c) En el instante en que la piedra tocó el suelo, ¿a qué distancia estaba de la canastilla? d ) Determine las componentes horizontal y vertical de la velocidad de la piedra justo antes de chocar contra el suelo, relativas a un observador i. en reposo en la canastilla; ii. en reposo en el suelo.
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=20 / =15 / =6.00 Datos
a.
¿A qué altura estaba el globo cuando se lanzó la piedra? Utilizando la ecuación:
= 12
Según el enunciado la velocidad inicial en y es la velocidad de descenso del globo, por lo cual la ecuación sustituyendo es la siguiente:
ℎ=20 /6.00 12 9.8 /6.00 ℎ=120 176.4 =296.4
b. ¿Y cuando chocó contra el suelo? Como la velocidad inicial del globo es constante entonces el globo descendió una distancia de
ℎ= ℎ=20 6.00 =120 ℎ =296.4120 =.
Y si la altura en la que estaba cuando lanzaron la piedra era 296.4 m entonces
c.
En el instante en que la piedra tocó el suelo, ¿a qué distancia estaba de la canastilla? Utilizando la velocidad inicial en x se obtiene la distancia que recorrió en x
= =15 /6 =90 Encontrando la distancia:
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=√ =√ 90 176 =197.7 d. Determine las componentes horizontal y vertical de la velocidad de la piedra justo antes de chocar contra el suelo, relativas a un observador, i.
En reposo en la canastilla;
= =20 /9.8 /6 =78.8 / El observador en la canastilla lleva una velocidad de 20 m/s de descenso, observa a la piedra con un descenso de
=2078.8 =. /
La componente en x es contante
= / ii.
en reposo en el suelo Para el observador en el suelo las componentes que observa son las siguientes
=. / = /
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