1 La Curva Elástica Este capítulo tiene como propósito, mostrar que mediante la aplicación del método de la doble integración en vigas simples sujetas a diferentes condiciones de carga, se puede colegir que las constantes de integración, siempre tendrán el valor de los desplazamientos angulares (pendientes) y lineales (flechas ) en el origen del sistema de coordenadas, multiplicados por EI. Lo anterior permitirá las simplificaciones que conducen a las expresiones de las ECUACIONES UNIVERSALES DE LA CURVA ELÁSTICA y a la sencillez de su aplicación.
1.1 Introducción Bajo la acción de las cargas externas, el eje recto de una viga para la que se asume una sección transversal constante se deforma, encorvándose respecto de su posición original, dando lugar a una curva denominada curva elástica o elástica de la viga, estando Contenida en su plano de solicitación.
La curva elástica de una viga determina los desplazamientos que ésta sufre por efecto de las cargas:
∆== =
Desplazamiento del centroide de la sección transversal en dirección perpendicular al eje de la viga (flecha). Ángulo de giro de la sección B respecto de su posición original (ángulo de rotación de la sección; pendiente). Por la hipótesis de Bernoulli, las secciones planas antes de la aplicación de las cargas permanecen planas después de la deformación que éstas le originan, por lo tanto, puede observarse en la figura 1.1 que el eje ABC, originalmente recto, ha sufrido por la acción de la carga P, una deformación que lo lleva a la posición AB’C’.
Lo anterior da como resultado que la sección B sufra tanto un desplazamiento vertical de su centroide, , como una rotación de su posición original, caracterizada por el ángulo .
∆
Estos desplazamientos caracterizan el estado de deformación en el plano (Z, Y) del punto B del eje de la viga, y mientras el material se mantenga dentro de su rango elástico, las deformaciones producidas serán de naturaleza elástica, es decir, desaparecerán una vez que la carga sea removida. Así mismo, la curva elástica (eje deformado), presenta un radio de curvatura indicado en la figura 1.1 como ρ . Como las deformaciones de la viga son pequeñas en relación a su longitud, cada segmento de la curva elástica puede ser considerado aproximadamente como un arco de círculo. El radio del arco se llama radio de curvatura y se denota con el símbolo p. Este, en la generalidad de los casos es de una magnitud muy grande, lo cual indica que la curva elástica de una viga es una curva muy "achatada", dando lugar a que los valores de y sean muy pequeños, estando en concordancia con la hipótesis de las deformaciones muy pequeñas que se ha adoptado en el método de análisis de la Resistencia de los Materiales.
∆
De acuerdo con la convención de signos empleada para los momentos flexionantes, resulta conveniente realizar un trazo previo de la elástica de una viga, recordando que los momentos flexionantes positivos, generan elásticas con concavidad hacía arriba, mientras que los negativos las producen hacia abajo. Igualmente debe tenerse en cuenta que la curva elástica es una curva continua, y por lo tanto los apoyos de la viga serán puntos singulares para la función que la caracteriza, al igual de aquellos donde se producen cambios en la concavidad (puntos de Inflexión).
1.2 Ecuación diferencial de la curva elástica La relación entre el radio de curvatura de la viga y el momento flexionante, está dada por la ecuación:
=
.....(1.1)
En donde EI determina la rigidez de la sección transversal de la viga y el cociente 1/ρ, representa la curvatura K de la función que caracteriza al eje deformado, indicando el cambio de dirección de la tangente a dicha función en relación con el cambio de longitud del arco; teniéndose del Cálculo Diferencial que dicha curvatur a puede expresarse en coordenadas rectangulares, como sigue:
= ± +´´´^
.....(1.2)
Igualando las ecuaciones (1.1) y (1.2), se tiene:
±
= y´´ 3 [1(´)2]^2
.....(1.3)
La ecuación (1.3), es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden, que representa la ecuación diferencial exacta de la curva elástica del eje longitudinal de una viga. Considerando únicamente el valor positivo de la raíz del denominador del segundo miembro, lo cual implica que el arco crece en el sentido positivo de z, la ecuación (1.3) es entonces:
= y´´ 3 [1(´)2]^2
……(1.4)
La ecuación (1.4) representa gran dificultad de solución, por lo que puede obtenerse una simplificación que proporcione una solución muy aproximada, recordando que:
´=tan²≅
Dado que es muy pequeño, lo será aún más, pudiendo despreciarse, de manera que la ecuación (1.4) se reduce a:
=´´
......(1.5)
La ecuación (1.5) es conocida como la ecuación diferencial aproximada de la curva elástica de una viga, la cual puede ser integrada fácilmente, introduciendo un error en el cálculo de ρ menor del 0.5% del valor que se obtiene al integrar la ecuación diferencial exacta, lo cual para todo propósito práctico es suficientemente aceptable. En ella:
´´= ,
y
M = valor del momento flexionante a la distancia z, medida a partir del origen del sistema de coordenadas.
M (Z) es en todos los casos una expresión analítica del momento resistente interno (momento flexionante), producido por las cargas a la derecha o a la izquierda de la sección transversal considerada, a una distancia z del origen del sistema de coordenadas. Partiendo de la ecuación (1.5), se tiene que:
= =
derivando ambos miembros respecto a z
22=
Pero EI es constante y
3 3 = = =
=
, por lo tanto:
……(1.6)
Derivando nuevamente ambos miembros con respecto a z, se obtiene:
= =
Pero
= , por lo cual: ……(1.7)
Por lo anterior la ecuación diferencial aproximada de la elástica toma las siguientes formas, bajo el supuesto de rigidez EI constante.
= = = = = =
……(1.8)
Para establecer la convención de signos de la ecuación (1.5), debe recordarse del Cálculo Diferencial, que la concavidad de una curva está en la dirección de las y positivas si y solo si , estando en la dirección de las y negativas si y solo si , siempre y cuando al igual que .
y"<0
y">0y′≠0
y´´≠0
Por lo tanto, para que la ecuación (1.5) sea consistente, y" deberá tener el mismo signo de M, lo cual puede observarse en la figura 1.2 (a).
(a) Concavidad hacia arriba
y">0
En ambos casos
(b) Concavidad hacia abajo
Figura 1.2
=
, es consistente
y"<0
Cuando se emplean las referencias (b) de la figura 1.2, se puede observar que en ambos casos, y" tiene signo contrario a M, entonces para que la ecuación (1.5) sea consistente para estas' referencias, deberá expresarse como:
=
(a) Concavidad hacia arriba (sentido negativo de y)
y"<0
……. (1.5’)
(b) Concavidad hacia abajo (sentido negativo de y)
y">0
Figura 1.3 La solución de la ecuación (1.5) puede ser analítica (Método de la doble integración), gráfico-analítica (Área de momentos, viga conjugada) y gráfica (método grafostático para la determinación de pendientes y flechas). La solución analítica de la ecuación (1.5), permite determinar los desplazamientos lineales y angulares como sigue:
== ∫ = = ∫∫
……. (1.9)
……. (1.10)
Las constantes c y d de las ecuaciones (1.9) y (1.10), son determinadas por las condiciones en los apoyos, en cuanto hace a sus capacidades de desplazamiento lineal o rotacional (condiciones de frontera). El método establecido es llamado "Método de la doble integración" para la solución de la ecuación diferencial de la elástica y se ilustra en los siguientes ejemplos.
1.3 Aplicación del método de la doble integración Ejemplo 1.1 Calcular
á á
para la viga mostrada en la figura 1.4
Figura 1.4 Tomando el punto B a la distancia z del origen de coordenadas, se tiene:
= ==
por lo tanto, la ecuación diferencial de la elástica de la viga es: Integrando ambos miembros se obtiene lo siguiente:
= = ∫ = =, = =0 +C
Por las condiciones del empotramiento, para
=0=0=
2 = 2
……… (a)
por lo que:
despejando a c
…… sustituyendo en la ecuación (a)
′= = ²
………. (b)
Integrando ambos miembros nuevamente:
= ∫ = =, =0 3 3 =0= 6 2 3 = 3 = Para
……. (c)
de donde:
despejando a d
sustituyendo en la ecuación (c) ……. (d)
Las ecuaciones (b) y (d), permiten calcular los desplazamientos lineales (flechas) y angulares (pendientes) a cualquier distancia Z del origen, por lo que en particular para z = 0, se obtienen los siguientes resultados:
0 = 0 =á = 2 0= á = 3
Finalmente:
á = = á = = á á
El signo positivo de , indica que la sección gira en sentido contrario a las manecillas del reloj. El signo negativo de , señala que el desplazamiento lineal se da en el sentido negativo del eje Y.
Observaciones: En el ejemplo analizado, los valores de las constantes de integración c y d, corresponden con los valores de los desplazamientos en el origen, multiplicados por EI.
c=EI á = =
……. (e)
En donde:
= á = =
á = = á = =
……. (f)
desplazamiento angular en el origen del sistema de coordenadas. desplazamiento lineal en el origen del sistema de coordenadas.
Las condiciones (e) y (f), se cumplen únicamente para vigas con un solo tramo de solicitación, es decir, que el M (z) empleado, se obtenga mediante las fuerzas o acciones externas que se encuentren entre la sección de análisis y el origen del sistema de coordenadas.
Ejemplo 1.2 Determinar
,,á á,
para la viga mostrada en la figura 1.5
Figura 1.5 Tomando el punto B a la distancia z del origen de coordenadas, el momento flexionante está dado por:
= 2
La ecuación diferencial de la elástica de la viga es:
=
…... (a)
integrando ambos miembros de la ecuación (a), se obtiene:
= 63 = =0 , = , 3 0 =0 =0= 6
…… (b)
por las condiciones del empotramiento, para
por lo que:
despejando a c
=
sustituyendo en la ecuación (b)
= = =
Integrando ambos miembros de la ecuación (c), se tiene que:
Para
= =, =0 =0 =0= = = =
…… (d)
, entonces:
despejando a d
sustituyendo en la ecuación (d)
Factorizando …… (e)
Las ecuaciones (c) y (e) proporcionan los desplazamientos a una distancia z del origen. Para el caso particular en el que z = 0, se obtienen los valores de
á á: de donde:
3 0= á = 6 4 0 = á = 8 á = =
Observaciones:
á = =
Observaciones: Las constantes de integración c y d tienen el siguiente valor:
= á = = 6 = á = = 8
Es decir, las constantes de integración tienen el valor de los desplazamientos angulares y lineales en el origen del sistema de coordenadas, multiplicados por EI.
Ejemplo 1.3 Para la viga empotrada de la figura 1.6, determinar
Figura 1.6
, , á á
.
En el punto B, a una distancia z del origen, se tiene:
= →=
La carga concentrada equivalente tendrá por magnitud:
= 2 = 2
Y estará localizada a 1/3 de z
Figura 1.7 Por lo anterior, el momento flexionante queda determinado por la ecuación:
=3= 6 == 4 = 24 =,´ = =0, =0 =0=
La ecuación diferencial de la elástica es entonces:
……. (a)
Integrando miembro a miembro la ecuación (a)
.…… (b)
por las condiciones del empotramiento, para
de donde:
despejando a c
=
sustituyendo en (b)
==
…… (c)
Integrando miembro a miembro la ecuación (c), se tiene que:
= = , =0 , =0=0= 120 24
……. (d)
Para
sustituyendo en (d) se obtiene:
despejando a d sustituyendo nuevamente en la ecuación (d):
=
= factorizando (e) = =0, 0 = = á = 24 0= = á = 30 á = = á = = …….
Las ecuaciones (c) y (e) permiten obtener los desplazamientos lineales y angulares a la distancia z del origen, y en particular para las ecuaciones se reducen a:
Finalmente
Observaciones: Las constantes de integración c y d tienen el valor:
= = 24 = = 30
Es decir, las constantes de integración asumen el valor de los desplazamientos en el origen del sistema de coordenadas, multiplicados por EI.
Ejemplo 1.4
Determinar
á á
para la viga mostrada en la figura 1.8
Figura 1.8 Se consideran dos tramos de solicitación:
≤ ≤ ,
En el tramo forma una elástica. Tramo 1:
la viga se deforma linealmente, en el tramo
≤≤ , =0
Tramo 2:
≤≤
≤≤ =
La ecuación diferencial de la elástica La ecuación diferencial de la elástica es: es:
==0 =
==
Integrando ambos miembros:
Integrando nuevamente miembros se tiene:
=
Integrando ambos miembros: ….. (a)
ambos ….. (b)
= −²
.…(c)
= ,= =0 , =0= 2 = = 2 = 2
Para
de donde:
Despejando a
Tomando el valor de
=
en las ecuaciones (a) y (c), se obtiene que:
=
Sustituyendo en las ecuaciones (a) y (b) Sustituyendo en la ecuación (c)
= =
= 2 2
…… (e)
……(d)
…… (f)
Integrando ambos miembros:
= 6 2 =,=0 =0= 6 2 = 6 2 = 6 2 = …… (g)
Para
Despejando a
de donde:
:
= 6 3 Pero como:
……. (h)
Transponiendo multiplicando por 3 descomponiendo
= = 3=33 3=32 3=32 3=32 = 6 32
transponiendo
finalmente
Sustituyendo en la ecuación (h)
Tomando el valor de
=
en las ecuaciones (f) y (g), se determina que:
=
Sustituyendo en la ecuación (f)
Sustituyendo en la ecuación (g)
= 2 6 32 = 6 332 = 323
…. (i)
= 6 2 6 32 = 6 6 332 Factorizando
…… (j)
= = = = 2 = 2 = 3 = 3 =0 0 = = á = 2 0 = 6 32 = 6 3 6 2 = 2 3 = 2 3 Para
en las ecuaciones (e) e (i)
Para
en las ecuaciones (d) y (j)
Para
Finalmente:
=
de donde:
á = = Por ser recto el tramo
taná =
Observaciones:
, =á, = á = ≅ entonces:
Si en la viga de la figura 1.8 se tuviera una carga distribuida (uniforme o triangular), a partir de la distancia a del extremo libre, entonces el tramo de viga libre de carga se deformaría linealmente, pudiéndose calcular su desplazamiento lineal máximo, mediante la ecuación:
á = =
= =áá,
En donde desplazamiento
considerada la viga con una longitud total b, y el para la misma condición.
Lo anterior permite aplicar el principio de superposición de efectos, para la acción conjunta de varias cargas.
,, á á . Ejemplo 1.5
Para la viga mostrada en la figura 1.9, calcular el valor de
Figura 1.9 En el punto B situado a la distancia z del origen de referencia, se tiene:
= = = =,= =0 ´ = =0= = La ecuación diferencial de la elástica es entonces:
………….. (a)
Integrando miembro a miembro la ecuación (a),
…………. (b)
Para
sustituyendo en (b) despejando a c sustituyendo en (b)
==
……(c)
Integrando miembro a miembro la ecuación (c), se obtiene una nueva ecuación:
= Para
….. (d)
=, = =0
sustituyendo en (d)
= =0= = = =
Despejando a d
Sustituyendo en (d)
Factorizando
= 2
Finalmente:
= − =0
….. (e)
Las ecuaciones (c) y (e), permiten obtener los desplazamientos a la distancia z del origen. En particular para , dichas ecuaciones se reducen a:
0 = 0= á = 0 = = á = Finalmente:
á = á =
Observaciones: Las constantes de integración tienen el valor:
= = = = 2
es decir, las constantes de integración asumen los valores de los desplazamientos en el origen, multiplicados por EI. Para el cálculo de las deformaciones en vigas, con un extremo libre y otro empotrado, sobre las que actúan cargas como las consideradas en los ejemplos previos, resulta útil tabular los resultados obtenidos.
= 2 2 á =2 = 6 2 3 á = 3 = 6 á = 6 = 24 4 3 á = 8 = 24 24 á = 24 = 120 54 á = 30 = 2 , =á á = = 2 = 3 á = 2 3 á =
á= = = 2 á = 2
Ejemplo 1.6
En la viga de la figura 1.10, establecer el valor de
,á , á .
Figura 1.10 El valor del momento flexionante a la distancia z del apoyo A, está dado por la ecuación:
= 2 2= 2 2 2 ´´ = = 2 2
La ecuación diferencial de la curva elástica queda expresada como sigue:
Integrando miembro a miembro:
´== ´ = =
4 6
= , ´==0 ´12=12=0= 42 62 Por la simetría de la viga en
de donde:
Obteniéndose el siguiente valor para c:
2 = 48 16 = 48 = 24
= = = =
sustituyendo en (a) ….. (b) .….. (c)
La ecuación (c) permite obtener los desplazamientos angulares (pendientes) a cualquier distancia z. Integrando ambos miembros de la ecuación (b), se llega a:
= =
Ordenando por otencias decrecientes ..…(d)
=0 , = =0 , =0
Para que
, la ecuación (d) para este valor es: y la ecuación (d) se reduce a:
= Luego entonces:
0=
por lo
……. (e)
=
…… (f)
La ecuación (f) permite calcular los desplazamientos lineales (flechas) a cualquier distancia z. Para el calculo de
Para el calculo de
= =0 = = = = = 4 6 24 = 24 = se toma
se toma
en la ecuación (b);
……. (g)
en la ecuación (b)
……. (h)
El signo negativo en la ecuación (g), significa que la rota ción de la sección se efectúa en sentido horario. El signo positivo en la ecuación (h), indica un giro en sentido anti-horario. Para el cálculo de la flecha máxima, se toma el valor de en la ecuación (e).
=
á = 2= 24 2 12 2 24 2
á =
….. (i)
El signo negativo de la ecuación (i), indica que el desplazamiento lineal máximo (flecha máxima) es en el sentido negativo del eje Y.
Observaciones: Los valores de las constantes de integración c y d, corresponden con los desplazamientos en el origen, multiplicados por EI.
= = ==
Ejemplo 1.7 Determinar las expresiones para las deformaciones angular y lineal en los diferentes valores de z, tomando en cuenta los distintos tramos de solicitación. Figura 1.11
,
Figura 1.11
Se consideran dos tramos de solicitación:
≤≤ = ´´ = = Tramo 1:
≤≤ = ´´ = = Tramo 2:
La ecuación diferencial de la elástica es:
La ecuación diferencial de la elástica es:
Integrando ambos miembros:
Integrando ambos miembros:
´= 2
Tomando el valor de
=
− ´=
…. (b)
…. (a)
en las ecuaciones (a) y (b), se obtiene:
=
Integrando ambos miembros de la Integrando ambos miembros de la ecuación (a) ecuación (b)
3 = = 6 6 = = =0, = =0 =, = =0 3 0 =0= =0= 20 6 6 = = = 0= 6 6 = 6 = …. (c)
….. (d)
Tomando el valor de
en las ecuaciones (c) y (d), se concluye que:
Para
La ecuación (c) en este valor es:
La ecuación (d) en este valor es:
por lo que:
…… (e)
Pero:
Sustituyendo en la ecuación (e)
Despejando a
Sustituyendo los valores de las constantes de integración en las ecuaciones (a) y (b), así como el valor de
=
se obtiene:
´ = = 2 6 = 3
…. (f)
´ = = 2 2 6 = 6 3 2 …… (g)
= = , = 6 =
=0 3 = 6 2 =
Para calcular , se toma el valor de en el primer tramo, para calcular se toma el valor de en el segundo tramo.
Sustituyendo las constantes de integración en las ecuaciones (c) y (d), así como también el valor de se sigue que:
, = 6 6 =
.….. (h)
= 6 6 6 = ….. (i)
á
Para determinar el valor de la flecha máxima, , se pueden igualar a cero cualquiera de las ecuaciones (f) o (g); tomando la ecuación (f):
=0= 3 3 =0
por lo que: despejando a z
= √ 3
Una vez determinado el valor de z, se sustituye en la ecuación (h), obteniéndose el valor de la máxima flecha.
Observaciones:
Los valores de las constantes de integración para el primer tramo, se corresponden con los desplazamientos en el origen, multiplicados por la rigidez EI.
= = ==
La anterior conclusión al igual que en todos los ejemplos previos, puede obtenerse del análisis de cualquier viga sujeta a una o varias cargas (concentrada, distribuida, momento externo, etc.). Esto último resulta fundamental en el análisis de una viga sujeta a cargas como la que se estudiará en el siguiente capítulo.
