Capítulo 1 Mecánica
1
Velocidad El vector de posición está especificado por tres componentes:
r = x ı + y + z k Decimos que x, y y z son las coordenadas de la partícula.
La velocidad es la derivada temporal del vector de posición.
∆r d r = ∆t→0 ∆t dt
v = lim
Componentes de la velocidad:
vx =
dx dt
vy =
dy dt
vz =
dz dt
Las componentes del vector de posición se miden en el Sistema Internacional de Unidades en metros (m), el tiempo en segundos (s), y la velocidad en metros/segundo (m/s).
Aceleración La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. a=
dv dt
Componentes de la aceleración:
dvx d2 x ax = = 2 dt dt
dvy d2 y ay = = 2 dt dt
dvz d2z az = = 2 dt dt
Dichas componentes se miden en metros/segundo2 (m/s2). La aceleración de una partícula posee una componente tangencial a la trayectoria
at = dv/dt y otra normal
v2 an = R
Problema inverso inverso La velocidad en función de la aceleración viene dada por: v = v0 +
t
t0
a dt
en donde t0 es un instante de referencia cualquiera y v 0 es la velocidad de la partícula en t = t0. El vector de posición en función de la velocidad es: r = r0 +
t
t0
v dt
siendo r0 el vector de posición de la partícula en el instante t0. Si la aceleración es constante tenemos: v = v0 + at y r = r0 + v 0t + 12 at2
Movimiento circular El arco de trayectoria recorrido es igual al ángulo por el radio de la circunferencia R:
s = θR Definimos la velocidad angular θ como la derivada temporal del ángulo recorrido:
ω=
dθ dt
Se mide en radianes/segundo (rad/s). La velocidad angular y la lineal están relacionadas por:
ω=
v R
Leyes de Newton a 1 : Todo cuerpo sobre el que no actúa una fuerza neta no altera su
estado de movimiento, permaneciendo en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, según fuera su estado inicial. a 2 : Si sobre un cuerpo actúa una fuerza F , éste cambia su velocidad
con una aceleración dada por F = m a
en donde m es una magnitud característica del objeto, llamada masa. Las componentes de la fuerza se miden en newtons (N): N = kg m/s2. El peso es la fuerza con que la Tierra atrae a un objeto. En las cercanías de la superficie terrestre es igual a la masa del objeto por g = 9.8 m/s2, y está dirigido verticalmente hacia abajo. a 3 : Si un cuerpo produce una determinada fuerza sobre otro, éste
ejerce sobre el primero una fuerza igual, pero de sentido contrario a la original.
Momento Momento lineal El momento lineal de un cuerpo es el producto de su masa por su velocidad. p = m v Componentes del momento lineal:
px = mvx
py = mvy
pz = mvz
Las componentes del momento lineal se miden en kg m/s. Podemos reescribir la segunda ley de Newton en función de p: F =
d p dt
El principio de conservación del momento lineal nos dice que en todo sistema aislado el momento lineal total se conserva.
Momento angular El momento angular de una partícula, con respecto a un punto O , es el producto vectorial de su vector de posición con respecto a dicho punto por su momento lineal: L=r
× p
Componentes del momento angular:
Lx = m(yv z
− zv ) y
Ly = m(zv x
− xv ) z
Lz = m(xvy
− yv ) x
El momento de una fuerza, con respecto a un punto O, es igual al vector que va desde O hasta el punto de aplicación de la fuerza multiplicado vectorialmente por la fuerza. M = r
× F
La variación temporal del momento angular es igual a:
dL = M dt en donde el momento angular y el momento de la fuerza han de ser calculados con respecto al mismo punto.
Problema 1.1 Un relámpago y su correspondiente trueno llegan a un punto pu nto con un inte interva rvalo lo tempor temporal al de 3 s. ¿A qué dista distanncia de dicho punto se produjeron? produjeron? (Veloc (Velocidad idad del sonido 340 m/s y de la luz 3 108 m/s)
·
Problema 1.2 El vector de posición de una partícula viene dado por
r = 3 sen( sen(ωt )ı + 3 cos( cos(ωt) + 5k m
siendo ω una constante y t el tiempo. Calcula: (a) el vector vector velocida velocidad, d, (b) el vector vector aceleraci aceleración, ón, (c) la aceler aceleración ación tangencial, tangencial, (d) la aceleraci aceleración ón normal, normal, (e) el radio radio de curvatur curvatura. a.
Problema 1.3 ¿Qué altura podrá franquear un atleta que es capaz de saltar con una velocidad vertical de 4 m/s, cuando su centro de gravedad está a 1.30 m del suelo, y que en el salto consigue mantener su centro de gravedad justo a la altura del listó listón? n? ¿Qué ¿Qué tiempo tiempo durará durará el salto? salto? (En lo que resrespecta a este problema, es como si toda la masa del atleta estuviera concentrada en su centro de gravedad).
Problema 1.4 Un cañón dispara un proyectil con una velocidad de 1000 m/s y una inclinación de 30◦ con respecto a la horizontal. Determina: (a) altura altura a la que llega llega el proy proyectil ectil,, (b) tiempo tiempo que tarda tarda en hacerlo hacerlo,, (c) distancia distancia horizontal horizontal recorrida recorrida al caer de nuevo nuevo al suelo, (d) radio radio de curvatur curvatura a en el punto punto más alto de la traye trayecctoria.
Problema 1.5 Un saltador de longitud alcanza 8 metros en un salto en el que el punto más alto de la trayectoria está a 2 metros del suelo. ¿Cuál es su velocidad de salida? ¿Qué tiempo permanece en el aire?
Problema 1.6 Demuestra que el máximo alcance en un lanzamiento con velocidad de salida constante se consigue cuando el ángulo inicial es de 45 ◦ .
Problema 1.7 ¿Cuánto ¿Cuánto más saltaría saltaría verticalmente verticalmente una persona persona en la Luna que en la Tierra, sabiendo que la aceleración de la gravedad vedad es 7 veces veces menor allí que aquí? ¿Qué ¿Qué propor proporció ción n existiría entre los tiempos que la persona permanecería en el aire durante los saltos en la Luna y en la Tierra?
Problema 1.8 ¿Cuál es la aceleración de un cuerpo situado sobre la superficie terrestre a 40◦ de latitud? (Radio de la Tierra 6.370 km)
Problema 1.9 Un objeto gira con un movimiento circular uniforme en un plano vertical, atada de un hilo de 2 m de radio. ¿Cuál es la frecuencia angular mínima con la que debe de girar para que no se caiga?
Problema 1.10 Una partícula efectúa un movimiento circular uniforme con una velocidad angular de 60 revoluciones por minuto. Si el radio de la circunferencia es de 0.5 m, ¿cuánto valen los módulos de la velocidad lineal y de la aceleración?
Problema 1.11 ¿Con qué velocidad puede tomar una curva de 300 m de radio un avión de forma que la aceleración normal sea igual a la de la gravedad?
Problema 1.12 La aceleración de un cuerpo que efectúa un movimiento unidimensional es A cos(ωt ). Encuentra la posición en función del tiempo sabiendo que el cuerpo se encuentra en reposo en el origen en el instante inicial.
Problema 1.13 La velocidad de una partícula, que en t = 0 se encuentra en el punto 2ı 3k m, viene dada por 6t2 ı 2 cos( cos(88t) m/s. Calcula la aceleración y el vector de posición.
−
−
Problema 1.14 ¿A qué velocidad máxima puede tomar una curva de 25 m de radio de curvatura un coche cuyo centro de gravedad está a 50 cm del suelo y cuya distancia transversal entre ruedas es de 1.6 m? Supóngase que no hay derrape.
Problema 1.15 Una persona de 70 kg de masa se agacha hasta que su centro de gravedad está 0.5 m por debajo de lo normal. Desde esa postura, salta consiguiendo elevar su centro de gravedad 0.45 m por encima de su posición habitual. Calcular la fuerza que ejercen sus músculos en el salto, suponiendo que la misma es constante.
Problema 1.16 ¿Qué fuerza al actuar sobre una partícula de 3 kg produce un movimiento unidimensional cuya posición viene dada por x = 3 + 2 sen( sen(33t) m?
Problema 1.17
−
Una fuerza igual a 300t2ı 80k N actúa sobre un cuerpo de 5 kg que en el instante inicial se encuentra en reposo en el punto 2ı + m. Obtén la posición de la partícula en función del tiempo.
Problema 1.18
−
El momento lineal de una partícula es 100ı +200 kg m/s. ¿Qué fuerza actúa sobre ella?
300t2k
Problema 1.19 Un objeto de 2 kg, que efectúa un movimiento unidimensional, posee un momento lineal igual a 8 cos( cos(44t) kg m/s. En el instante t = 3 s se encuen encuentra tra en el origen. origen. CalcuCalcula: (a) su posici posición. ón. (b) su aceleraci aceleración. ón. (c) la fuerza fuerza que que sobre sobre él actúa. actúa.
Problema 1.20 Dos partículas iguales colisionan y salen unidas con una velocidad igual a 1/3 de la velocidad de una de ellas antes del choque. ¿Cuál era la velocidad de la otra partícula?
Problema 1.21 Un coche a 120 km/h choca frontalmente contra un camión a 60 km/h, permaneciendo unidos después del choque. El coche pesa 1000 kg y el camión 10.000 kg. El coeficiente de rozamiento de ambos después del choque es de 0.8. Calcular: (a) velocida velocidad d del conjunto conjunto justo después después de la colisión, colisión, (b) distancia distancia que recorren recorren antes antes de pararse. pararse. (La fuerza de rozamiento es igual al coeficiente de rozamiento por el peso).
Problema 1.22 Un saltamonte de 20 gr salta desde una rama con una veloc elocid idad ad de 2 m/ m/s s. ¿Con ¿Con qu qué é veloc elocid idad ad retr retroc oced ede e la rama rama,, que posee 80 gr de masa. Si el impulso para el salto dura 0.1 s, ¿qué fuerza ejerce el saltamontes sobre la rama?
Problema 1.23 Suponiendo que la órbita de la Luna alrededor de la Tierra es circular, determina los módulos de los momentos lineal y angular de aquella. Datos: radio de la órbita 3.85 108 m, período 2.3 106 s y masa de la Luna 7.36 1022 kg.
·
·
·
Problema 1.24 La posición de una partí rtícula de 0.1 kg es 10 sen sen tı 10cos t m. Obtén: (a) el momen momento to linea lineal. l. (b) el momento momento angular angular respecto respecto del origen. (c) el momento momento angular angular respecto respecto del punto 3ı 2k m. (d) la fuerza fuerza que actúa sobre sobre la la partícula. partícula. (e) el momento momento de dicha fuerza fuerza respecto respecto del origen. origen.
−
−
1.1 Un relámpago y su correspondiente trueno llegan a un punto con un intervalo temporal de 3 s. ¿A qué distancia de dicho punto se produjeron? (Velocidad del sonido 340 m/s y de la luz 3 108 m/s)
·
El intervalo temporal entre el relámpago y el trueno en función de la distancia es:
∆t = 3 =
s v
− sc ≈ vs
La velocidad de la luz es tan grande comparada con la del sonido que podemos despreciar el tiempo de viaje del relámpago. Despejamos s de la ecuación anterior:
s = v∆t = 340 3 = 1020 m.
·
1.2 El vector de posición de una partícula viene dado por
r = 3 se + 5k m sen( n(ωt cos( s(ωt ωt))ı + 3 co ωt))
siendo ω una constante y t el tiempo. Calcula: (a) el vector vector velo velocidad cidad,, (b) el vector vector aceler aceleración, ación, (c) la aceleraci aceleración ón tangencia tangencial, l, (d) la acelera aceleración ción normal, (e) el radio radio de de curvatura curvatura..
(a) La velocidad velocidad es la derivad derivadaa temporal temporal del vector vector de posición: posición: dr
v=
dt
= 3ω cos(ωt )ı
−
3ω sen(ωt ) m/s.
(b) La aceleración aceleración es la derivad derivadaa temporal temporal de la velocidad: velocidad: a=
dv dt
=
−3ω
2
sen(ωt)ı
−
3ω 2 cos(ωt ) m/s2.
(c) La aceleración aceleración tangengial tangengial es el la deri derivad vadaa temporal del módulo módulo de la velocidad:
at =
| |=
dv
d
dt
dt
2
2
2
2
9ω cos (ωt) + 9 ω sen (ωt ) =
d3ω dt
= 0.
(d) La aceleraci aceleración ón normal normal viene viene dada por:
−
an = a2
a2t = 9ω 4 sen2 (ωt) + 9 ω 4 cos2(ωt ) = 3ω 2.
(e) El radio de curvatura curvatura lo determina determinamos mos a partir de la aceleración aceleración nornormal:
v2 9ω 2 R= = 2 = 3 m. an 3ω
1.3 ¿Qué altura podrá franquear un atleta que es capaz de saltar con una velocidad vertical de 4 m/s, cuando su centro de gravedad está a 1.30 m del suelo, y que en el salto consigue mantener su centro de gravedad justo a la altura del listón listón? ? ¿Qu ¿Qué é tiempo tiempo durará el salto? salto? (En lo que respecta respecta a est este e probleproblema, es como si toda la masa del atleta estuviera concentrada en su centro de gravedad).
La altura que franqueará es igual a la posición inicial de su centro de gravedad más la distancia saltada gracias a su velocidad vertical:
h = h0 + v0t
−
1 2
gt 2.
Para obtener h, hemos de calcular primero el tiempo de salto mediante la condición de que la velocidad en el punto más alto es nula:
v = v0
− gt
de donde obtenemos el tiempo de salto:
t=
v0 4 = = 0.41 s. g 9.8
Por tanto, la latur laturaa alcanz alcanzada ada es:
h = 1.3 + 4 0.41
·
−
1 2
9.8 0.412 = 2.12 m.
·
1.4 Un cañón dispara un proyectil con una velocidad de 1000 m/s y una inclinación de 30 con respecto a la horizontal. horizontal. Determi Determina: na: ◦
(a) altur altura a a la que llega el proyect proyectil, il, (b) tiemp tiempo o que tarda tarda en hacerlo hacerlo,, (c) dista distancia ncia horizontal horizontal recorrida recorrida al caer de nuevo nuevo al suelo, (d) radio de curvatura curvatura en el punto más alto de la trayectoria trayectoria..
(a) El proyectil proyectil asciend asciendee hasta una altura altura igual igual a:
h = v0 sen(α)t
1 2
−
gt 2.
Antes de determinar esta altura hemos de calcular el tiempo. (b) El tiempo tiempo empleado empleado viene dado dado por la condición condición de que la velocida velocidad d sea cero en lo más alto:
v = v0 sen(α) Despejando se tiene:
− gt = 0
v0 sen(α) 1000 sen30◦ t= = = 51 s, g 9.8
·
y la altura es:
h = 100 10000 se sen n 30◦ 51
−
1 2
9.8 512 = 12755 m.
·
(c) La distancia distancia horizonta horizontall recorrida recorrida vale: vale:
d = v0 cos(α)t = 1000
√ 3 2
51 = 44167 m.
(d) En el pun punto to más alto la ace aceler leraci ación ón es nor normal mal (no hay acelerac aceleración ión tangen tan gencia cial) l) y la ve veloc locida idad d es hor horizo izonta ntal. l. El rad radio io de cur curva vatur turaa es, por tanto:
v2 10002 cos2 30◦ R= = = 76531 m. g 9.8
1.5 Un saltador de longitud alcanza 8 metros en un salto en el que el punto más alto de la trayectoria está a 2 metros del suelo. ¿Cuál es su velocidad de salida? ¿Qué tiempo permanece en el aire?
Escribimos la longitud y la altura alcanzadas en función de la velocidad y el ángulo de salida:
h = 2 = v0 sen(α)t d = 8 = 2v0 cos(α)t
−
1 2
gt2 = 12 v0 sen(α)t
en donde t es el tiempo que tarda el saltador en llegar al punto más alto de la trayectoria, y hemos tenido en cuenta que el tiempo total es el doble del tiempo anterior. Dividiendo ambas expresiones entre si obtenemos:
1 sen(α) 1 = = tan(α) 4 4cos(α) 4 y el ángulo de salida α vale por tanto:
α = arcta arctan n 1 = 45◦ . El tiempo que permanece en el aire corresponde a la solución de la ecuación:
v = v0 sen(α) Despejando se tiene:
− gt = 0
v0 sen(α) g y sustituyendo en la expresión de d podemos obtener la velocidad de t=
salida:
v02 cos(α)sen(α) 8= g
=
⇒
v0 =
√
8 9.8 0.71 0.71 = 6.3 m/s.
· ·
El tiempo total vale:
6.3sen45◦ t= = 0.91 s. 9.8
·
1.6 Demuestra que el máximo alcance en un lanzamiento con velocidad de salida constante se consigue cuando el ángulo inicial es de 45 . ◦
El tiempo de llegada al punto más alto, en el que la velocidad vertical es cero, viene dado por:
v = v0 sen(α)
− gt = 0
El ti tiem empo po de un la lanz nzam amie ient nto o es es,, por por si sime metr tría ía,, el el do dobl blee de dell ti tiem empo po an ante teri rior or::
tl = 2t =
2v0 sen(α) . g
La distancia recorrida vale:
2v02 sen(α)cos(α) v02 sen(2α) l = v0 cos(α)tl = . = g g Derivando con respecto de α obtenemos el valor que maximiza l:
2v02 cos(2α) = =0 dα g dl
=
⇒
cos(2α) = 0
El lanzamiento óptimo corresponde a 2α = 90◦ , o sea, a α = 45◦ .
1.7 ¿Cuánto más saltaría verticalmente una persona en la Luna que en la Tierra, sabiendo que la aceleración de la gravedad es 7 veces menor allí que aquí? ¿Qué proporción proporción existiría existiría entre los tiem tiempos pos que la persona permanecería en el aire durante los saltos en la Luna y en la Tierra?
El tiempo de salto se obtiene de la condición de que la velocidad vertical se anule:
v = v0
=
− gt
⇒
t=
v0 . g
1 2
v02 . g
La relación entre los tiempos de salto es:
tL gT = = 7. tT gL La altura saltada vale:
h = v0 t
−
1 2
2
1 2
2
gt = v0 t =
La relación entre las alturas alcanzadas es, por consiguiente:
hL gT = = 7. hT gL
1.8 ¿Cuál es la aceleración de un cuerpo situado sobre la superficie terrestre a 40 de latitud? (Radio de la Tierra 6.370 km) ◦
La aceleración de un cuerpo en la superficie terrestre es la aceleración normal debida al giro de la Tierra:
v2 4π 2 2 a = = ω r = 2 R co coss 40◦ r T 2 4π = 6.37 106 co coss 40◦ = 0.026 m/s2. 2 (24 3600)
·
·
1.9 Un objeto gira con un movimiento circular uniforme en un plano vertical, atado de un hilo de 2 m de radio. ¿Cuál es la frecuencia angular mínima con la que debe de girar para que no se caiga?
El objeto no se cae si su masa multiplicada por su aceleración normal en el punto más alto es mayor que su peso:
v2 m = mω 2r r
≥ mg.
El caso límite corresponde a una frecuencia igual a:
ωmin =
g = r
9.8 = 2.21 rad/s. 2
1.10 Una partícula efectúa un movimiento circular uniforme con una velocidad angular de 60 revoluciones por minuto. Si el radio de la circunferencia es de 0.5 m, ¿cuánto valen los módulos de la velocidad lineal y de la aceleración?
El módulo de la velocidad lineal es:
v = ωr = 2π 60 0.5 = 188.5 m/s.
·
El módulo de la aceleración normal vale:
188.52 v2 an = = = 7.1 104 m/s2 . r 0.5
·
1.11 ¿Con qué velocidad puede tomar una curva de 300 m de radio un avión de forma que la aceleración normal sea igual a la de la gravedad?
Igualamos la aceleración normal a la de la gravedad:
v2 an = =g r y despejamos de aquí la velocidad:
v=
√ gr = √ 9.8 · 300 = 54 m/s.
1.12 La aceleración de un cuerpo que efectúa un movimiento unidimensional cos(ωt es A cos( ωt)). Encuentra la posición en función del tiempo sabiendo que el cuerpo se encuentra en reposo en el origen en el instante inicial.
Primero hemos de obtener la velocidad del cuerpo, que viene dada por:
v = v0 +
t
0
a dt = 0 +
t
0
A cos(ωt ) dt =
A sen(ωt). ω
Integrando la velocidad encontramos la posición:
r = r0 +
t
0
v dt = 0 +
t
0
A sen(ωt ) dt = ω
− ωA [cos(ωt) − 1]. 2
1.13 La velocidad de una partícula, que en t = 0 se encuentra en el punto 2ı 3k m, viene dada por 6t2 ı 2cos(8 2cos(8tt) m/s.. Cal Calcul cula a la aceleraci aceleración ón y el m/s vector de posición.
−
−
La aceleración de la partícula es igual a: a=
dv dt
= 12tı + 16 se sen( n(88t) m/s2.
Integrando la velocidad obtenemos el vector de posición: r = r0 +
t
0
− − − − v dt = 2ı
= 2(1 + t3 )ı
3
3k + 2t ı
1 sen(8t) 4
3k m.
1 sen(8t ) 4
t 0
1.14 ¿A qué velocidad máxima puede tomar una curva de 25 m de radio de curvatura un coche cuyo centro de gravedad está a 50 cm del suelo y cuya distancia transversal entre ruedas es de 1.6 m? Supóngase que no hay derrape.
La velocidad estable máxima es aquella para la que la aceleración total señala en la dirección que va del centro de gravedad al punto de apoyo de las ruedas:
h 0.5 g = = 2 . l 0.8 v /r
De aquí despejamos la velocidad:
v=
0.8 gr = 0.5
√
1.6 9.8 25 = 19.8 m/s.
· ·
1.15 Una persona de 70 kg de masa se agacha hasta que su centro de gravedad está 0.5 m por debajo de lo normal. Desde esa postura, salta consiguiendo elevar su centro de gravedad 0.45 m por encima de su posición habitual. Calcular la fuerza que ejercen sus músculos en el salto, suponiendo que la misma es constante.
La altura a la que salta nos determina la velocidad de salida:
h = 0.45 = v0t
−
1 2
gt2 = 12 v0t = 12 v0
v0 . g
De esta ecuación despejamos la velocidad inicial:
v0 = 2gh =
√
2 9.8 0.45 = 2.97 m/s.
· ·
Ahora calculamos calculamos la aceler aceleración ación durante el salto para adqui adquirir rir esta velo velo-cidad: 2
v h = 0.5 = 12 at21 = 12 a 02 a
de aquí deducimos:
v02 a= = 8.82 m/s2. 2 0.5
·
La fuerza que ejercen los músculos ha de vencer la gravedad e imprimir la anterior aceleración:
F = m(g + a) = 70(9.8 + 8 .82) = 1303 N.
1.16 ¿Qué fuerza al actuar sobre una partícula de 3 kg produce un movimiento sen(3 (3tt) m? unidimensional cuya posición viene dada por x = 3 + 2 sen
Primero determinamos la aceleración a partir de la posición:
a=
d2 x dt
2
=
d dt
(6 co cos( s(33t)) =
2
−18 sesen( n(33t) m/s .
La fuerza viene dada por:
F = ma = 3( 18 se sen( n(33t)) =
−
−54 sesen( n(33t) N.
−
1.17 Una fuerza igual a 300 300tt2 ı 80k N actúa sobre un cuerpo de 5 kg que en el instante inicial se encuentra en reposo en el punto 2ı + m. Obtén la posición de la partícula en función del tiempo.
La aceleración de la partícula viene dada por la segunda ley de Newton:
−
300t2ı 80k a= = = 60t2ı 5 m F
16k m/s2.
−
La velocidad la obtenemos integrando la aceleración: v = v0 +
t
0
− − − −
a dt = 0 +
t
0
2
(60t ı
16k) dt = 20t3ı
16tk m/s.
La posición es igual a: r = r0 +
t
0
v dt = 2ı + +
= (2 + 5t4 )ı +
8t2k m.
t
0
3
(20t ı
16t k) dt
−
300t2 k kg m/s. ¿Qué 300t
1.18 El momento lineal de una partícula es 100ı + 200 fuerza actúa sobre ella?
La fuerza es igual a la derivada del momento lineal con respecto al tiempo: d p d(100ı + 200 300t2k) F = = = 600tk N. dt dt .
−
−
1.19 Un objeto de 2 kg, que efectúa un movimiento unidimensional, posee un 8cos(4tt) kg m/s. En el instante t = 3 s se encuentra en momento lineal igual a 8cos(4 el origen. Calcula:
(a) su posi posició ción. n. (b) su aceler aceleración. ación. (c) la fuerza fuerza que sobre sobre él actúa. actúa.
(a) El momento momento lineal nos nos dice la velocidad velocidad del objeto, objeto, y a partir de ésta encontramos la posición:
r = r0 +
t
t0
v dt = 0 +
t
1 3 2
8 co cos( s(44t) dt = sen(4t)
− sen(12) m.
(b) La aceleraci aceleración ón del objeto objeto val vale: e:
a=
dv d(4 co cos( s(44t)) = = dt dt
(c) La fuerza fuerza es igual a la la masa por la la aceleración aceleración::
F = ma =
2
−16 sesen( n(44t) m/s .
−32 sesen( n(44t) N.
1.20 Dos partículas iguales colisionan y salen unidas con una velocidad igual a 1/3 de la velocidad de una de ellas antes del choque. ¿Cuál era la velocidad de la otra partícula?
Aplicamos la conservación del momento lineal en la colisión:
mv1 + mv2 = 2m
v1 3
y despejamos de aquí v2 :
2 v2 = v1 3
− v = − v3 . 1
1
La segunda partícula se movía antes del choque con un tercio de la velocidad de la primera partícula y en sentido contrario.
1.21 Un coche a 120 km/h choca frontalmente contra un camión a 60 km/h, permaneciendo unidos después del choque. El coche pesa 1000 kg y el camión 10.000 10.00 0 kg. El coeficiente coeficiente de rozamiento rozamiento de ambos después del choque es de 0.8. Calcular:
(a) vel velocidad ocidad del conjunto conjunto justo justo después de la colisión, colisión, (b) dista distancia ncia que recorren recorren antes antes de pararse. pararse. (La fuerza de rozamiento es igual al coeficiente de rozamiento por el peso).
(a) En la colisión colisión se conserv conservaa el momento momento lineal: lineal:
m1 v1
−m v
2 2
= (m1 + m2)v0.
De aquí despejamos la velocidad de salida:
v0 =
m1v1 m2 v2 10000 60 1000 120 = = 43.6 km/h. m1 + m2 11000
−
· −
·
(b) La aceleració aceleración n debida al rozamie rozamiento nto vale: vale:
a=
− |F m| = − mgµ = −9.8 · 0.8 = −7.84 m/s . m r
2
(c) El tiempo tiempo hasta hasta que que se detiene detiene es: es:
v = v0 + at = 0
=
⇒
t=
− va
0
=
43.6 1000 = 1.54 s. 3600 7.84
La distancia recorrida antes de pararse es igual a:
s = v0t + 12 at2 = 12 v0 t =
· ·
43.6 1.54 = 9.35 m. 2 3.6
·
1.22 Un saltamonte de 20 gr salta desde una rama con una velocidad de 2 m/s. ¿Con qué velocidad velocidad retrocede retrocede la rama, que posee 80 gr de masa. Si el impul impulso so para el salto dura 0.1 s, ¿qué fuerza ejerce el saltamontes sobre la rama?
La conservación del momento lineal nos da la velocidad de retroceso de la rama:
0 = m1v1
−m v
2 2
=
⇒
m1v1 0.02 2 = = 0.5 m/s. m2 0.08
·
La fuerza es el cambio en el momento lineal dividido por el tiempo:
F =
∆ p m1v1 0.02 2 = = = 0.4 N. ∆t ∆t 0.1
·
1.23 Suponiendo que la órbita de la Luna alrededor de la Tierra es circular, determi det ermina na los módulos módulos de los momento momentos s lin lineal eal y ang angula ularr de aqu aquell ella. a. Dat Datos: os: 8 6 22 radio de la órbita 3.85 10 m, período 2.3 10 s y masa de la Luna 7.36 10 kg.
·
·
·
El período de giro de la Luna nos permite obtener su velocidad:
2πR = vT
2πR 2π 3.85 108 v= = = 956 m/s. T 2.3 106
=
⇒
·
·
El momento lineal de la Luna vale:
p = mv = 7.36 1022 956 = 7.04 1025 kg m/s.
·
·
·
El módulo de su momento angular respecto del centro de su órbita es:
L = Rp = 3.85 108 7.36 1022 = 2.71 1034 kg m2 /s.
·
·
·
·
m. Obtén: 1.24 La posición de una partícula de 0.1 kg es 10sen tı 10cos t
−
(a) el moment momento o lineal. lineal. (b) el momento momento angular angular respecto respecto del origen. origen.
−
(c) el momento momento angular angular respecto respecto del punto punto 3ı (d) la fuerza fuerza que actúa sobre sobre la partícula. partícula.
2k m.
(e) el momento momento de dicha fuerza fuerza respecto respecto del origen. origen.
(a) El moment momento o lineal lineal es igual a: p = mv = 0.1
d(10sen tı
−
10 co coss t )
dt
= cos tı + sen t kg m/s.
(b) El momento momento angular angular respecto respecto del origen origen viene viene dado por:
− ı
L = r
× p =
10sen t cos t
k
10cos t 0 sen t 0
= (10 sen2 t + 10 co coss2 t)k = 10k kg m2 /s. (c) El vector vector que va desde el punto de referencia referencia del momento momento angular angular a la posición de la partícula es (10sen t 3)ı 10 co coss t + 2k, y el momento angular vale entonces:
− −
− − − − ı
L =
=
10 se sen nt 3 cos t
k
10cos t 2 sen t 0
2sen tı + 2 co coss t + (10
3sen t)k kg m2 /s.
(d) La fuerza la obtenem obtenemos os a partir del moment momento o lineal: lineal: d p d(cos tı + sen t ) F = = = dt dt
t N. − sen tı + cos
(e) El momento momento de la la fuerza respect respecto o del origen origen es: M = r
× F =
−
ı
10 se sen nt sen t
coss t −10 co cos t
k
0 = 0. 0
