Interesante texto de Byung-Chul HanFull description
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Clase del dia 22 de junioDescripción completa
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Descripción: Todo para la clase introductoria y más de "Ecuaciones de la recta"
Topología en la recta real
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TOPOLOGÍA EN LA RECTA REAL
Valor Absoluto o Módulo de un número real: ® a si a 0 a R : a ! ¯ ° a si a u 0 Se llama valor absoluto de un número real, al mismo número si es positivo o cero y a su opuesto si es negativo. ropiedades: P ropiedades 1. a R :a {0 a " 0 2.
a R : a ! a
3.
a R : a e a e a
4.
a
5.
a
6.
a
b
7.
a R b R : a b u a b
8.
a R b R : a b u a b
9.
. ! a b a R b R : a b
10.
a R : a 2 ! a
x x
: x ea : x ua
a e x ea
x e a xua
: a b e a b desigualdad triangular
Distancia entre dos puntos: Dados
P(x1) y Q(x2) dos puntos de la recta real, la distancia entre P y Q será: d ( P; Q ) ! x 2 x 1 Caso particular si uno de los puntos es el origen: d( ; O) ! x CONJUNTOS ACOTADOS Dado
un conjunto conjunt o A incluido en : ota Superior: C ota k R es una cota superior de A si y solo si k no es superado por ningún elemento de A. k es cota superior de A x:( x % x e k ) Si un conjunto tiene una cota superior entonces tiene infinitas cotas superiores (todos los reales que son mayores también son cotas superiores) s uperiores) y se dice que el conjunto está acotado acota do superiormente. Al conjunto formado por todas las cotas superiores de un conjunto se lo llama conjunto mayorante Supremo o extremo superior : El supremo de un conjunto es la menor cota superior del conjunto. El supremo de un conjunto puede o no pertenecer al conjunto, cuando el supremo pertenece al conjunto se llama máximo del conjunto. Ejemplo: Dado
A = { x / x R 4 x e 1}
Conjunto mayorante M = { x / x R x u 1} ; supremo: -1 ; máximo: -1 ota Inferior : C ota k R es una cota inferior de A si y solo si k no supera a ningún elemento de A. k es cota inferior de A x % : x u k )
Topología en la recta real
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Si un conjunto tiene una cota inferior entonces tiene infinitas cotas inferiores (todos los reales que son menores también son cotas inferiores ) y se dice que el conjunto está acotado inferiormente. Al conjunto formado por todas las cotas inferiores de un conjunto se lo llama conjunto minorante Ínfimo o extremo inferior : El ínfimo de un conjunto es la mayor cota inferior del conjunto. El ínfimo de un conjunto puede o no pertenecer al conjunto, cuando el ínfimo pertenece al conjunto se llama mínimo del conjunto. Para el ejemplo dado anteriormente: Conjunto minorante: N = { x / x R x e 4} ; Ínfimo: -4; No posee mínimo, ya que -4 A Un conjunto esta acotado si y solo si esta acotado superior e inferiormente, como el ejemplo dado. Axioma de continuidad : Si un conjunto no vacío de números reales posee cota superior entonces posee supremo (la menor cota superior).Esto es característico de los números reales, no se verifica en los racionales como se muestra en el ejemplo 2: Ejemplo 2: Dado
B={
x / x
Q x 2 e3} la menor cota superior debería ser k Q / k 2 !3 y en ése
caso no existe k . A partir del axioma de continuidad se puede demostrar que si un conjunto no vacío de números reales posee cota inferior entonces posee ínfimo ( la mayor cota inferior ). CONJUNTOS DE PUNTOS
Se establece una correspondencia biunívoca entre los puntos de una recta y los números reales, o sea que a cada número real le corresponde un punto de la recta y a cada punto de la recta un único número real, dicha recta se llama recta real. Intervalos: Intervalo C errado: [ a ; b]!{x / x R a e x e b} Intervalo Abierto:
( a ; b ) !{x / x R a x b}
a
b
a
Intervalos semiabiertos o semicerrados : ( a ; b]!{x / x R a x e b} [ a ; b) !{x / x R a e x b} Para todos los intervalos anteriores la longitud del intervalo L es: L = b-a Intervalos Infinitos: ( g ; b ) = { x / x x b} ( g ; b ] = { x / x x e b} ( a; g) = { x / x R x " a} [ a; g) = { x / x R x u a} ( g; g) !{x / x R }! R E ntorno: Siendo a un punto cualquiera de la recta real y H R , entorno con centro en a y radio H es el conjunto formado por todos los puntos de la recta real cuya distancia al punto a es menor que H , o sea es el intervalo (a- H ; a+ H ) E ( a ; H ) = { x / x R aH x a H}
Topología en la recta real
E(a;
H
) = {x / x R x a H} Q
Q
a
a-H E ntorno
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a+H
Reducido: E ¶ ( a ; H ) = E ( a ; H ) - { a }= {x / x R 0 x a H} Q
a-H
Q
Q
a
a+H
CLASIFICACIÓN DE PUNTOS Dado
un conjunto A R P unto de acumulación: Un punto a es punto de acumulación del conjunto A si y sólo si para todo entorno reducido del punto a existe por lo menos un punto perteneciente a A a es punto de acumulación de A ) '(a;H):) '(a;H) % {{} Nota: el punto de acumulación puede o no pertenecer al conjunto C onjunto derivado de un conjunto: El con junto derivado del conjunto A es A¶ y esta formado por todos los puntos de acumulación de A. Ejemplos: A = ( a ; b ) entonces A¶ = [ a ; b ]. B = [ a ; b ] entonces B¶= B, Z¶ = { } , Q¶ = R , R ¶= R C onjunto C errado: Un conjunto A es cerrado si y sólo si le pertenecen todos sus puntos de acumulación. %' % A es cerrado Ejemplos: Z , R , { } , [ a ; b ] P unto Interior: Un punto a perteneciente al conjunto A es interior si y sólo si existe un entorno de a totalmente incluido en A. a A es interior )(a;H ) / )(a;H ) % C onjunto Abierto: Un conjunto es abierto si y solo si todos sus puntos son interiores. Ejemplos: R , { } , ( a ; b ) xterior: P unto E Un punto a es exterior a un conjunto A si y sólo si existe un entorno de a para el cual ningún elemento pertenece al conjunto A. a es exterior (a;H ) / (a;H ) % ! {} P unto Frontera: Un punto a es frontera a un conjunto A si y sólo cualquier entorno del punto a posee intersección no vacía tanto con A como con su complemento, un punto frontera puede o no pertenecer al conjunto. P unto aislado: Un punto a perteneciente al conjunto A es aislado si y sólo si existe algún entorno del punto a en el que ningún punto pertenece a A. (Negación de punto de acumulación) ¡