TRABAJO COLABORATIVO FASE 4 CALCULO INTEGRAL
PRESENTADO POR: Jorge E. Aguilar Barros Ia! A!"r#s Barrag$! Li!"a Lu% Bru!al Geroli! Jos# Cu&ia Val"#s Os!ei!"er Jos# Gu'i#rre%
GRUPO: ())4((*+,-
TUTOR Ale&a!"ro ore!o
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA / A DISTANCIA 0UNAD1 NOVIEBRE DE +)(2
INTRODUCCION La integración es una herramienta matemática fundamental del cálculo, ésta permite resolver muchas de las cuestiones en diferentes ciencias del saber humano como la física, la economía, las ciencias sociales entre otras, por eso es necesario conocer los métodos de integración, en el presente trabajo se presentan diferentes métodos de integración, como lo es el método de sustitución e integración por parte, entre otros como método de fracciones parciales y sustitución trigo mentica; como lo es todo la practica hace al maestro y para poder dar soluciones a situaciones problema de la ciencias mencionadas es necesario conocer el método de solución matemático que estas situaciones requieren.
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD
Pri3era ar'e 0u!'o ( al 41
ada ejercicio se debe resolver paso por paso, sin omitir ninguno, cuando se utilice una propiedad, definición o ley por favor enunciarla, así se fortalece el procedimiento utili!ado.
(. "allar el área que, en el primer cuadrante, está limitada por el eje # y
y = 6 x + x 2 − x 3 por la siguiente función$ %untos de intersección con el eje de &' ( # )ntersecta *+,+, *- , +, */,+ 0 )ntersecta *+,+ %untos 1'tremos de &' (
2
x − x
19 −1
√ ¿
2ínimo * √ 19 −1 3
,− 2 ¿
3
2 +16
(
27
%untos ríticos #3
√ 19 −1 3
,
f ( x ) 6 + 2 x −3 x '
1 + √ 19 3
'3 2
2
4ominio de &' ( x − x #3 -
√ 19 −1 , x = 1 + √ 19 3
3
3
$-
∞ < x < ∞
2
x − x
3
19 −1
2ínimo
5*
√ ¿ ¿ √ 19 −1 −2 ¿ 3
(+ 1
2á'imo
√ 19 ,
3
,
2 ( 1 +√ 19 ) +
2
6ráfica$ 03 &' ( x − x
2−16 √ 19 27
)
3
y 2 = x − 3 +. 1ncuentre el área de la región comprendida entre la parábola
y = x − 5 y
la recta 2
y = x −3, y = x −5
2
y = x −3
−¿
y = x −5 2
y − y = x −3 ( x −5 )
7implifico. 2
y = y + 2 2
resolver y = y + 2 : y =2, y =−1 2
sustituir y =2, y =−1 en y = x −3 2
para y = x −3, sustituir con 2 ; x =7 2
para y = x −3, sustituir con −1 ; x = 4
8erificando las soluciones sustituyéndolas en 1cuación +. 9uitar las que no concuerden con la ecuación. 2
porlo tanto ,la solucionfinales para y = x −3, y = x −5 son
{
y =2, x =7 y =−1, x = 4
} 2
contodo estos valores dibujola grafica de y = x −3, y = x −5.
5. "allar el área de superficie lateral del sólido que se obtiene al rotar la
y = 2 x gráfica de
entre ' 3 /
y
' 3 : alrededor del eje #.
ener en cuenta que$ 1l área lateral *e'cluyendo los e'tremos del sólido b
∫
S = 2π f ( x ) 1 + ( f ' ( x)) 2 dx a
resultante es$ f ( x )= y =2 √ x =2 x f ( x )= y = x
−1 / 2
1/ 2
dx =
1
√ x
dx
2 √ x + 1 dx =¿ ( 2 π )
∫ 2 U
1/ 2
3
[ ]
4 3 /2 dU =( 2 π ) U 3
[
8
] [ √ +( )
4 =( 2 π ) √ ( x + 1 )3 3 3 8
S =( 2 π )
∫ 2 √ x 3
f ( x) = 4 x 4. "allar la longitud de la curva
8
3
4 3
1
8
2
1
√ x
dx =( 2 π )
∫ 2 √ x 3
3/ 2
entre ' 3 +
y
b
L =
] [
4 3
4 3
=( 2 π ) √ ( 8 +1 )3− √ ( 3 + 1 )3 = ( 2 π ) √ ( 9 )
∫ 1 + ( f ' ( x))
2
dx
a
onsiderar que$ la longitud de la curva es$
Solu6i7!. 6ráficamente, el ejercicio sería *con la ayuda de 6eogebra$
' 3 =/.
√
1
1+ dx = ( 2 π )
x
8
∫2 3
>os
faltaría
entonces
f ' ( x ) ,
intervalo de integración es$ ?+, =/@ f ( x )= 4 x =4 √ x 3/ 2
f ' ( x )=6 √ x
∫ √ 1 +(6 √ x ) dx 2
L=
0
2 3
∫
L= √ 1 + 36 x dx 0
2 3
1 2
∫
L= ( 1+ 36 x ) dx 0
)ntegrando$ L=
(
L=
( ( ( )) ) (
L=
3
)
1 ( 1 +36 x ) 2 2 / 3 54 ¿0
1 2 1+ 36 54 3
62 27
≅
2.296
3 2
−
3
1 ( 1+ 36 ( 0 ) ) 2 54
)
3
ya
que
el
Segu!"a ar'e 0u!'o - al 81 -. "allar el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar sobre el eje # la x 2 y = x =1 y x =2 y = x región limitada por la curva las rectas 2 ,
7ugerencia$ Atili!ar el método de arandelas.
R ( X )= X
2
x r ( x ) =
2 2
r ( x )¿ 2 R ( x ) ¿ −¿ dx
¿
π ¿ b
∫
v= ¿ a
x 2
¿2
2
x ¿ −¿
¿ π ¿ 2
∫
v= ¿ 1
[ ]
2
x
2
∫ π x − 4 4
1
[
x
[
2
π
π
[
π
5
x
−
5
5
−
32 5
]
2
3
12
5
2
3
12
−
dx
1
] [
8 12
−π
] [
[
π
86 15
− π
86 7 − 15 60
337 π 60
5
5
−
7
60
]
1
3
12
1
1
5
12
− π −
[ ] [ ]
π
1
] ]
2. "allar el volumen del sólido generado al rotar sobre el eje
x = y
la región
x = 2 y
2
encerrada por la parábola
x = −1
y la recta
*ver figura
Solu6i7!. omamos la definición general del volumen del sólido de revolución para el caso de las arandelas. b
∫ ([ R ( y ) ] −[ r ( y ) ] ) dy 2
V = π
2
a
)ntervalo de integración, vista en la figura, es$ ?+, @ eniendo en cuenta que rota sobre el eje ' 3 -B, las ecuaciones nos quedan$ R ( y )=2 y + 1 r ( y )= y + 1 2
∫ [(2 y +1 ) −( y +1 ) ] dy 2
V = π
0
2
2
2
4 y + 4 y + 1− y (¿ ¿ 4 −2 y 2−1 ) dy 2
∫
V = π ¿ 0
2
+ 4 y − y (¿¿ 4 ) dy
2 y
2
∫
V = π ¿ 0
)ntegrando, nos queda$
(
V = π 2
y
3
3
((
V = π 2
+4
( 2 )3 3
y
2
2
−
y
5
5
)¿
2 0
) (
))
( 2 )2 ( 2 )5 ( 0 )3 ( 0 )2 ( 0 )5 104 π +4 − −2 +4 − = 2
5
3
2
5
15
9. Ana varilla de longitud &+ cm tiene una densidad lineal que varía proporcionalmente al cuadrado de su distancia a uno de los e'tremos. 7i la densidad en el e'tremo más pesado es de C++ g=cm, halle su masa total y el ρ ( x)
= Rx 2
centro de masa. onsidere la densidad lineal como$ %ara < una constante. 7i la densidad en el e'tremo más pesado es de C++ g=cm, halle su masa total y centro de masa *e. D *'3 unidades de masa por unidad de longitud. < C++3 < /&++ por tanto <3C++=/&++3, 43 < ' ˄
C++3< &+ ˄
C++3&++ <3C++=/&++ <3
Luego tienes que la densidad es 43 ' ˄
La 2asa es la integral evaluada de + a &+ de la densidad 43 ' ˄
1l centro de masa es la integral evaluada de + a &+ de la densidad multiplicada por ', es decir se debe encontrar la integral ' / y evaluarla ˄
8. 1ncuentre el centroide de la región limitada por la rama de parábola, y =√ x , el eje ' y la recta ' 3 E. 2
∫ ( 4 −√ x ) dx −1
3 2
2
∫ ( 4 −√ x ) dx=4 x− 2 x 3+ −1
alculamos los límites.
¿
lim
( )
"
3
x ! −1+ 4 x −
2 x 2 3
=−4 + 2 i 3
¿
lim
( ) 3
x ! 2− 4 x −
2 x 2 3
"
=8− 4 √ 2 3
2 √ 2−18 + i 4 √ 2 2 i −2 8− −4 + = ¿ 3 3 3
Ter6era ar'e 0u!'o , al (+1 1'isten numerosas aplicaciones del cálculo integral a las ciencias como en la física *trabajo y movimiento, en la hidráulica *bombeo de líquidos, en la estadística, en la economía y en las ciencias sociales. ,. 7e arroja una piedra desde un puente con una velocidad inicial de : m=s, después de lo cual cae con la aceleración de la gravedad *F.: m=s .
1ncontrar la distancia que recorre en los primeros tres */ segundos.
∫
v(t ) = a (t ) dt + v0 , onsiderar$
v0 donde
es la velocidad en t 3 +
a (t ) velocidad inicial y
la aceleración.
3
∫ 9,8s # dt + 8s#
v ( t )=
2
0
3
v ( t )=9,8 # / s
2
∫ dt + 8s# 0
v ( t )=
9,8 #
v ( t )=
9,8 #
v ( t )=
31,4 #
s
s
2
2
s
3
t |5 +
8#
s
=
9,8 # 2
s
( 3 seg" ) + 8 # s
+
v ( t )=39.4 # / s
8#
s
( 3 seg"− 0 seg" ) + 8 # s
o
(). An resorte sin carga mide +.G m y se requiere de una fuer!a de B > para alargarlo +.B m. alcular el trabajo reali!ado al estirar el mismo resorte de su longitud original a una longitud de +.CG m.
$ =12 % x =0,1 #
& =
$ =(x 12=( ∗0,1
( =
12 0,1
( =120 $ =120 x 0,25
&=
∫ 120 xdx 0
2
0,25
120 x ⌈ ⌉ 2 0 0¿ 2
0,25 ¿
2
−60 ¿ = 60 ¿
2 0,25 0
[ 60 x ]
3,75 )ulios 1s el trabajo reali!ado al estirar el mismo soporte de su longitud
original a una de +,CGm
P = D( x) = 100 − 0.05 x ((. La función de demanda para un producto es
, en
donde % es el precio por unidad *en pesos de ' unidades. La función oferta es
S ( x) = 10 + 0.1 x . 4eterminar el 1'cedente del onsumidor *1.. y el 1'cedente del %roductor *1.%. cuando el mercado está en equilibrio.
caculando x =600
x =600 y p =70 punto de e*uilibrio ( 600,70 )
1'cedente del consumidor 600
+c =
600
∫ ( 100 −0,05 x−70 ) dx = ∫ ( 30−0,05 x ) dx=30 x−0,025 x ¿
2 600 0
0
0
2
+c =30 ( 600 )−0,025 ( 600 ) = 9000
1'cedente del productor
600
+p=
600
∫ [ 70−( 10 + 0,1 x ) ] dx=∫ ( 60−0,1 x ) dx =60 x −0,05 x ¿ 2
0
600 0
0
2
+p=60 ( 600 ) −0,05 ( 600 ) =18000
(+. La función que describe el costo marginal de fabricar un producto es
C ' ( x) = x + 100 , donde ' es el nHmero de unidades producidas. 7e sabe también que el costo total es IE++++, cuando ' 3 B++. 4etermine la función
C ( x). de costo total Lo que debemos hacer es una integral de la función dada.
∫ ( x +100 ) dx = 12 x +100 x +c 2
on esto evaluó los valores que nos dan, para determinar el valor de JcK. 40000 =
1 2
(100 )2+ 100 ( 100 )+ c
4espejamos la variable y determinamos que su valor es G+++.
La función final. 1
2
t = x + 100 x + 25000. 2
CONCLUSIONES
1n el anterior trabajo estudiamos la integral indefinida, la cual permitía a través de un proceso inverso a la derivación, llegar a una función primitiva que se llamó anti derivada. 1ste proceso permitió partir de funciones como el ingreso marginal, el costo marginal y la utilidad marginal respectivamente a las funciones de ingreso total, costo total y utilidad total. onocer el proceso de integración definida el cual nos lleva a determinar un área limitada por curvas, que nos servirá para estudiar otras aplicaciones como el e'cedente del consumidor y del productor.
BIBLIOGRAFIA Rondón, J. (2010). Cálculo integral . Bogotá D.C.: Universidad Nacional !ierta " a Distancia. Rec#$erado de %tt$:&&%dl.%andle.net&10'&*1+
http$==datateca.unad.edu.co=contenidos=GGBBB+=Anidad/=Mtrasaplicaciones delaintegral.pdf
%tt$:&&!i!liotecavirt#al.#nad.ed#.co:20**&li!nads$&reader.action $$g-1doc/D-10'++2t-1+0*120