FASE 1: PLANIFICACIÓN
LENNIS YAJAIRA LEAL 1.120 1.120.499. .499.756 756 YUDIBETH GONALE ROJAS 1.120.500.!!7 JENNY CA CATHERINE THERINE RODRIGUE AL"ANA 1.121.##1.107 "ARIA JOSE "ARTINE BARBOSA 1.0!0.646.057
GRUPO: 100412$2!7
TUTOR: DIEGO FRANCISCO "ARTINE
UNI%ERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA&UNAD ECUACIONES DIFERENCIALES 2016
1
INTRODUCCION
En el siguiente trabajo nos permite afianzar y aplicar los conocimientos adquiridos durante el proceso de formación de la unidad 3. Estudio Es tudio de series y funciones especiales: Generalidades del estudio de series, Solución de ecuaciones diferenciales mediante serie de potencias, Funciones especiales y series matemticas entre otras.
OBJETI%OS 2
INTRODUCCION
En el siguiente trabajo nos permite afianzar y aplicar los conocimientos adquiridos durante el proceso de formación de la unidad 3. Estudio Es tudio de series y funciones especiales: Generalidades del estudio de series, Solución de ecuaciones diferenciales mediante serie de potencias, Funciones especiales y series matemticas entre otras.
OBJETI%OS 2
!plicar los conocimientos adquiridos durante la unidad tres. !plicar y conocer los estudios de series y funciones especiales: "onocer las generalidad generalidades es del estudio de series, soluci solución ón de ecuaciones diferenciale diferencialess mediante serie de potencias, Funciones especiales y otras.
DESARROLLO DE LA PRI"ERA ACTI%IDAD INDI%IDUAL 3
P'()*'+ +,-((/+/ I/((/+: 3TE"S DE SELECCIÓN "LTIPLE CON NICA RESPUESTA ! continuación, usted encontrar preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o conte#to, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al $tem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. %na &ez la seleccione, mrquela con un ó&alo la que corresponda y justifique la respuesta. 'esponda las preguntas ( y ) con base a la siguiente información.
1. U )-/ +-*'+-( +'+ 8++' ,(* , *'(* /* -*,(+ /* *,+,(* /(*'*,(+* ,): p ( x ) ´ y +q ( x ) y´ + r ( x ) y =0 ; +'*/*/' /* - '/(+'( < = 0 * * método de la serie de Taylor. E-* )-/ + +'* /* + /*'(+/+ *++/+ * * - '/(+'(; ,+* * >-(** /* + *,+,(? /(*'*,(+ ' /(*'*,(+,(? ,*(+. C+/ * *,*-'+ + /*'(+/+; +) *@ + *<+(? * *'(* /* T+' ´ y (a )( x − a )2 ⃛ y (a )( x −a )3 y ( x ) = y ( a ) + y´ ( a ) ( x −a ) + + +… 2!
3!
*ando la solución requerida. "onsiderando lo anterior, la solución para la ecuación y´ = x + y + 1 es:
!. +. ". *.
(c + 2 ) x 2 ( c + 2) x 3 y ( x ) =c + ( c + 1 ) x + + +… 2!
y ( x ) = c + ( c −1 ) x +
( c −2 ) x
3!
2
( c −2 ) x 3
+ +… 2! 3! ( c + 5 ) x 2 ( c + 5 ) x 3 ( ) ( ) y x =c + c + 1 x + + +… 2! 3! ( c −2 ) x 2 ( c −2 ) x 3 y ( x ) =c −( c + 1 ) x + + +… 2! 3!
4
Solución: ´ y = x + y + 1 ´
y − y − x −1=0 ∞
´
y =
n a x ∑ =
n−1
n
∞
; y ( x )=
n 1
a x ∑ =
n
n
n 0
'eemplazo en la Ec. *if. ∞
n a x ∑ =
n−1
n
∞
−∑ an x n − x −1=0 n=0
n 1
(1. a +2 a x +3 a x + 4 a x )−( a + a x +a x + … )− x −1=0 2
1
2
3
3
2
4
0
1
2
( a −a −1 ) +( 2 a − a −1 ) x + ( 3 a − a ) x +( 4 a − a ) x = 0 2
1
0
2
1
3
3
2
4
3
( a1 −a0 −1 )=o → a1 =a0 + 1 a1− a0−1 =0 → a1=a 0+ 1 2 a2− a1−1=0 → 2 a2= a1+ 1 → a2=
a 0+ 1 + 1 2
=
a 0+ 2 2
a (¿¿ 0 + 2 ) a0 + 2 = 2 3! 1 1 3 a3− a2= 0 → a3 = a 2= ¿ 3 3
a (¿¿ 0 + 2 ) a 0+ 2 = 3! 4! 1 1 4 a4 – a3=0 → a 4= a 3 = . ¿ 4 4 2
3
y( x )=a 0+ a1 x + a2 x + a3 x + a4 x y( x )=a 0+ ( a0 + 1 ) x +
( a0 +2 ) 2!
2
x +
4
( a 0 + 2) 3!
3
x +
( a0 + 2) 4!
5
4
x … …. .
R-+ L+ *,+,(? '**'(/+ +'+ * **',(,( * + A.
2. A *)*+' * )-/ /* *'(* /* -*,(+; + ,(? /* '>*)+ /* +' ((,(+ /* + *,+,(? /+/+ y´ −2 x ´ y + 8 y =0 ; con y ( 0 )=3, ´ y ( 0 )=0 es: !.
y =3 + 12 x + 4 x
+.
y =3 −12 x + 4 x
". *.
y =3 + 12 x + 3 x 2 4 y =3 −12 x + 3 x
2
2
2
3
4
3
R*(*/ y -2xy'+8y=0; con
y left (0 right ) =3, y' left (0 right ) =
C(/*'+/:
∝
y =
C x ∑ =
n
n
n 0
n C n x
n−1
, y = s! fro! "n=2# to "∝# "n left (n-1 right ) "$# rs% "n# "x# & "n-2## ∝
y ' =
¿ ∑ = n 1
S-(-*/ * + E.D:
6
∝
n ( n −1 ) C x ∑ =
n −2
n
∝
−2 x ∑ n C n x
n− 1
n=1
n 2
∝
+ 8 ∑ C n x n=0 n =0
R**,'(>(*/ + E.D ∝
n ( n −1 ) C x ∑ =
n −2
n
∝
∝
−2 ∑ nC n x + 8 ∑ C n xn =0 n
n=1
n 2
n= 0
S(: k =n−2
k =n
k =n
k =0
k =1
k =0
n= k + 2
n= k
n= k
REE"PLAANDO : ∝
( k +2 ) ( k +2−1 ) C + x ∑ =
∝
k + 2−2
k 2
−2 ∑ k C k x + 8 ∑ C k x k = 0 k =1
k 0
∝
∝
k
k =0
∝
∝
( k +2 ) ( k +1 ) C + x −2 ∑ k C x +8 ∑ C x =0 ∑ = = = k
k
k 2
k
k
k 0
k
k 1
k 0
L*@: ∝
∝
∝
( 2 ) (1 ) C 2 x +8 c 0 x +∑ ( k + 2 ) ( k + 1 ) C k +2 x −2 ∑ kC k x + 8 ∑ C k x k =0 0
0
k
k
k =1
k =1
∝
2C 2 + 8 c 0 +
∝
∝
( k + 2 ) ( k +1 ) C + x −2 ∑ kC x +8 ∑ C x =0 ∑ = = = k
k
k 2
k 1
k
k
k
k 1
k 1
∝
2C 2 + 8 c 0 +
k =1
[ ( k + 2 ) ( k + 1 ) C + − 2kC +8 C ] x =0 ∑ = k
k 2
k
k
k 1
7
I@++/ + E<'*(* + 0: 2C 2 + 8 c 0=0 =¿ C 2=−4 c 0
( k + 2 ) ( k + 1 ) C k +2−2 kC k +8 C k =0 D**+/ C k +2
C k +2=
Si,
2 kC k −8 C k
( k + 2 ) ( k +1 )
c 0=1 , c 1=0, K =1,2,3 …
c 0+2 =
−2 ( 0 ) c 0−8 c 0 −8 ( 1 ) = =−4 =C 2 ( 0 +2 ) ( 0 +1 ) 2
c 1+2=
−2 ( 1 ) c 1 − 8 c 1 2 ( 0 ) −8 ( 0 ) = =0 =C 3 ( 1 +2 ) ( 1 +1 ) (3 ) ( 2 )
c 2+2=
−2 ( 2 ) c 2−8 c2 −4 c 2 −4 (−4 ) 4 = = = =C ( 2 +2 ) ( 2 +1 ) ( 4 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 3 ) 3 4
c 3+2=
−2 (3 ) c3 −8 c 3 −2 c 3 −2 ( 0 ) = = =0 =C 5 ( 3 + 2 ) ( 3 +1 ) ( 5 ) ( 4 ) 20
8
c 4 + 2=
−2 ( 4 ) c 4− 8 c 4 −0 c 4 = = 0=C ( 4 +2 ) ( 4 + 1 ) ( ) ( 5 )
2
3
2
3
4
y 1=c 0 + c 1 x + c2 x + c3 x + c 4 x … …
y 1=1 + ( 0 ) x − 4 x + ( 0 ) x +
4 4 x 3
2 4 4 y 1=1− 4 x + x 3
Si,
c 0=0 , c 1=1, K =1,2,3 …
c 0+2 =
c 1+2=
c 2+2=
2 ( 0 ) c 0− 8 c 0
−8 ( 0 ) = 0 ¿ C 2 (0 + 2 )( 0 + 1 ) ( 2)( 1 ) 2 ( 1 ) c 1−8 c 1
( 1+ 2)( 1 + 1 ) 2 (2 ) c 2−8 c2
( 2+ 2)( 2 + 1 )
=
=
2 ( 1 )−8 ( 1) − = =−1 ¿ C 3 (3 )( 2)
=
4 ( 0 )−8 ( 0) 0 = =0 ¿ C 4 ( 4 )( 3 ) 12
2 (3 ) c3 −8 c 3 (−1 )−8 (−1 ) 2 1 c 3+2= = = = ¿ C 5 (3 + 2 )( 3 + 1) (5 )( 4 ) 20 10
c 4 + 2=
2 ( 4 ) c 4− 8 c 4
( 4 + 2 )( 4 + 1 )
=
8 ( 0 )−8 ( 0) 0 = =0 ¿ C ( )( 5 ) 30
9
2
3
4
y 2=c 0 + c 1 x + c2 x + c3 x + c 4 x … …
2
3
4
y 2=0 + (1 ) x + ( 0 ) x −( 1 ) x + ( 0 ) x +
3
y 2= x − x +
1 5 x + … … 10
1 5 x +… 10
L+ ,(? @**'+ /* + E.D *- /+/+ ': y = c1 + y 1 +c 2 y 2
E-,*:
(
2
y = c1 1 −4 x +
) (
)
) (
)
4 4 1 5 3 x + c 2 x − x + x + … 3 10
D*'(+/:
(
y ' = c1 −8 x +
1 3 2 1 4 x + c 2 1 −3 x + x + … 3 2
E++/ y y y ' *@ + ,/(,(*
(
y ( 0 )=3 , y ' ( 0 )=0
) (
)
1 2 4 4 3 5 y ( 0 )= c1 1 −4 ( 0 ) + ( 0 ) + c 2 0 −( 0 ) + ( 0 ) + … . =3 3 10
c 1=3
10
(
y ' ( 0 )= c1 −8 ( 0 )+
) (
)
1 3 ( 0 ) + c 2 1 −3 ( 0 ) 2 + 1 ( 0 ) 4 + … . = 0 3 2
c 2=0
R**)++/
(
2
c 1 y c 2
y =3 1− 4 x + 2
* + ,(? @**'+ /* E.D
) (
4 4 1 5 3 x + 0 x − x + x + … . 3 10
y =3 −12 x + 4 x
)
4
RESPUESTA : B
!. U-((+/ * )-/ /* *'(* /* -*,(+; + ,(? +'+ + *,+,(? /* *@/ 2
'/*
d y dy + x + y =0 *: 2 dx dx 2n
!. +.
∑
n
∑
*.
2 n+ 1
∑
∑
2n
n
2 n +1
∞ c 0 x (1 ) c 1 x y = (−1) + 2.4 ...( 2n ) n=0 1.3.5.. ( 2 n + 1 ) n=0 2n ∞ ∞ c 0 x ( 1)n c 1 x 2 n+1 n y = (1 ) − 2.4... ( 2 n ) n=0 1.3.5.. ( 2 n + 1) n=0 ∞
".
n
∞ c 0 x (−1 ) c 1 x y = (−1) + 2.4 ...( 2n ) n=0 1.3.5.. ( 2 n + 1 ) n=0 2n ∞ ∞ c 0 x (−1)n c 1 x 2 n+1 n y = (1 ) − 2.4... ( 2 n ) n=0 1.3.5.. ( 2 n + 1) n=0 ∞
∑ ∑
n
∑
∑
S,(+/: 2
d y dy + x + y =0 2 dx dx
y + xy' +y = 11
C(/*'+/ ∝
y =
C x ∑ =
n
n
n 0
n C n x
n−1
, y = s! fro! "n=2# to "∝# "n left (n-1 right ) "$# rs% "n# "x# & "n-2## ∝
y ' =
¿ ∑ = n 1
Sustituyendo en la E.*
∝
n ( n −1 ) C x ∑ =
n −2
n
n 2
∝
n ( n −1 ) C x ∑ =
n −2
n
n 2
∝
+ x ∑ n C n x
n− 1
n= 1
∝
+ ∑ C n x n=0 n=0
∝
∝
+ x ∑ n C n x + ∑ C n x n=0 n
n= 1
n= 0
Si: k =n−2
k =n
k =n
k =0
k =1
k =0
n= k + 2
n= k
n= k
'EE-!/!0*1 n:
∝
( k +2 ) ( k +2−1 ) C + x ∑ = k 2
k 0
k + 2−2
∝
∝
+∑ k C k x +∑ C k x k = 0 k
k = 1
k = 0
12
∝
∝
∝
( k +2 ) ( k +1 ) C + x +∑ k C x +∑ C x =0 ∑ = = = k
k
k 2
k 0
k
k
k 1
k
k 0
∝
∝
∝
( 2 ) (1 ) C 2 x +c 0 x +∑ ( k +2 ) ( k + 1 ) C k +2 x +∑ kC k x +∑ C k x k =0 0
0
k
k =1
k
k = 1
k = 1
∝
2C 2 + c 0 +
[ ( k + 2 ) ( k + 1 ) C + + k C +C ] x =0 ∑ = k
k 2
k
k
k 1
2C 2 + c 0= 0
C 2 =
−c 0 2
( k +2 ) ( k + 1) C k +2 +k C k + C k =0
C k +2=
−C k (k + 1 ) ( K + 2)( k + 1)
C k +2=
−C k k + 2
Si,
c 0=1 , c 1=0, K =1,2,3 …
c 0+2 =
−c0 −c 0 −1 = =C 2=¿ C 2= 0+ 2 2 2
13
c 1+2=
−c 1 −c 1 = =¿ C 3=0 1+2 3
1 −c 2 −c2 2 1 c 2+2= = = = =C 4 2+2 4 4 8 1
−c 3 −c 3 = = C 5= 0 3+2 5
c 3+2=
1 −c 4 8 −1 c 4 + 2= = = = x 4+ 2 48
−
2
3
4
y 1=c 0 + c 1 x + c2 x + c3 x + c 4 x … …
1 2 1 4 1 y 1=1 .− x + x − x + … 2 8 48
2n
∝
c 0 x y 1= (−1 ) . 2,4, … ( 2 n ) n= 0
∑
Si,
n
c 0=0 , c 1=1, K =1,2,3 …
c 0+2 =
−c0 −c 0 = =C 2=0 0+ 2 2
c 1+2=
−c 1 −1 = =C 3 1+2 3
14
c 2+2=
−c 2 −0 = =0=C 4 2+2 4
c 3+2=
−c 3 −1 1 1 = .− = ¿ C 5 3+2 3 5 15
c 4 + 2=
−c 4 − 0 = =0 =C 4+ 2 8
c 5+2=
−c 5 −1 1 −1 = . = ¿ C 5 + 2 15 105 2
3
4
y 2=c 0 + c 1 x + c2 x + c3 x + c 4 x … …
1 3 1 5 y 2= x − x + x + … …. . 3 15
2 n +1
∝
c 1 x y 2= (−1 ) . 1,3,5 … ( 2 n + 1 ) n= 0
∑
n
∝
y =
c 0 x
2n
∝
c 1 x
2 n+ 1
(−1) . + ∑ (−1 ) . ∑ 2,4, … ( 2 n ) = 1,3,5 … ( 2 n+ 1) = n
n
n 0
n 0
R**-+ A 4. L+ ,(? /* + *,+,(?: y´ − e− x y =0, y ( 0 )= y´ ( 0 )=1 -*(*/ * ,*-+ + ,/(,(? ((,(+* <=0 -((+/ + *'(* /* "+,+'( *:
2
!.
5
x x y ( x ) =1+ x + − + … 2! 5 ! 15
2
5
x x y ( x ) =1− x − + + … 2! 5 ! 3 5 x x ( ) y x =1+ x + − + … 3 ! 5! 2 x x ( ) y x =1+ x + − + … 2! !
+. ". *.
2eniendo en cuenta para una función f ( x ) la serie de aclaurin esta dada por: ∞
∑ = n 0
n
' '
' ' '
n
f ( 0 ) n f ( 0 ) 2 f ( 0 ) 3 f ( 0 ) n ' x = f ( 0 )+ f ( 0 ) x + x+ x + . …+ x n! 2! 3! n!
Solucionamos de la ecuacion planteada: − x
y ' ' ( x )= e y ( x )
! continuación tenemos x =0
y ( 0 )=1 , y ' ( 0 ) =1 se tiene:
−0
y ' ' ( 0 )= e y ( 0 )
y ( 0 )= 1×1 =1 ' '
Se deri&a y ' ' ( x )= e− x y ( x ) − x
− x
y ( x )= e y ( x ) −e y ( x ) ' ' '
y
'
' ' '
( 0 ) =e−0 y ' ( 0 )−e−0 y (0 ) y
' ' '
( 0 )=1 ×1−1 ×1 =0
Se deri&a y ' ' ' ( x )= e− x y ' ( x ) −e− x y ( x )
16
− x
' '
−0
' '
− x
'
−0
'
y ( x )=e ( y ( x )− y ( x ))− e ( y ( x )− y ( x )) iv
'
y ( 0 ) =e ( y ( 0 )− y ( 0 ) )−e ( y ( 0 )− y ( 0 ) ) iv
'
y ( 0 ) =1 ( 1− 1 )−1 (1 −1 )=0 iv
Se deri&a y iv ( x )=e− x ( y ' ' ( x )− y ' ( x ))−e− x ( y ' ( x )− y ( x )) − x
' ' '
−0
' ' '
− x
y ( x ) =e ( y ( x ) −2 y ( x ) + y ( x ) )−e ( y ( x )−2 y ( x ) + y ( x )) v
y ( 0 )= e ( y v
' '
'
' '
'
( 0 ) −2 y ' ' ( 0 )+ y ' ( 0 ) )− e−0 ( y ' ' ( 0 )−2 y ' ( 0 ) + y ( 0 ) )
v y ( 0 )=1 ( 0 −2 (1 )+ 1 ) −1 ( 1−2 ( 1 )+ 1 )=−1
sustituimos los &alores en la fórmula la serie de aclaurin: y ( 0 ) 2 y ( 0 ) 3 y ( 0 ) n y ( x ) = y ( 0 )+ y ( 0 ) x + x+ x +. … + x 2! 3! n! ' '
' ' '
n
'
y ( x ) =1+ ( 1 ) x +
1 2 0 3 0 4 (−1) 5 x + x + x + x +. … 2! 3! 4! 5!
2
5
2!
5!
x x y ( x ) =1+ x + − + . …
'ES-%ES2!: !
5. P+'+ + *,+,(? /(*'*,(+ y´ + P ( x ) ´ y + Q ( x ) y =0, ( * /**+ +>*' * ,)'-+)(*- /* + ,(? * * (((-; * '*+(+ ,+)>( /* +'(+>* +:
17
1 t = , edecir x → ∞ ⇒ t → 0 . T*(*/ * ,*-+ * ,,*- +-*'(' - * x
* (((- +'+ + *,+,(? /(*'*,(+ /* E*'; 4 2 y´ + ´ y + 2 y = 0 , son: x x
!. 4 en el infinito es un punto singular regular con e#ponente ( y )
+. 4 en el infinito es un punto singular irregular con e#ponente ( y )
". 4 en el infinito es un punto singular regular con e#ponente ) y 5
*. 4 en el infinito es un punto singular irregular con e#ponente ) y 5
SOLUCIÓN: Se realiza el "ambio de &ariable para saber el comportamiento en el infinito es decir 6 7 6 8. *e la ecuación diferencial de Euler.
dy 2 dy 2 +4 x + y =0 dx 2 dx x 2
1 −1 −dt t = → dt = 2 dx→dx = 2 x x t
( )
d dy 4 dy 2 + + y =0 dx dx x dx x 2
18
−t 2
( )
d 2 dy dy t − 4 t 3 + 2 t 2=0 dt dt dt
2
d y dy t −2t 3 + 2t 2=0 2 dt d t 4
2
d y 2dy 2 − + y =0 2 t dt t 2 d t
−t 2 "omo p ( t )= 2 q ( t )= 2 no son diferenciables en t =0 , t =0 es un punto singular t p' ( t )=( t −0 ) p ( t )=−2 y q ' ( t )=( t −0 ) 2 q ( t )=2
"omo p' (t ) y q ' (t ) Son diferenciales en t =0, t =0 es un punto singular regular. -ara obtener los e#ponentes usamos: r ( r −1)+ rp 0 + q 0
*onde p=li! p ' ( t )¿−2 q= li! q ' ( t )=2 t→0
t→0
*onde se obser&a que r =1 " r =2 lo que implica que 9 8. -ero como t =1 x , cuando t =0 x → ∞ Es un punto singular regular con e#ponente ( y ). ⇒
RESPUESTA: A
19
3TE"S DE SELECCIÓN "LTIPLE CON "LTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o conte#to a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de ( a 5, usted deber seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la oja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:
"+'* A ( 1 2 ,''*,-+. "+'* B ( 1 ! ,''*,-+. "+'* C ( 2 4 ,''*,-+. "+'* D ( ! 4 ,''*,-+. 7. S* /(,* * < = + * - '/(+'( /* + E,+,(? D(*'*,(+. P K< MK< = 0; ( P K< MK< ++-(,+ * < = +; * /*,('; ( P K< MK< * */* *<+/(' * *'(* /* -*,(+ /* < + , '+/( /* ,*'@*,(+ (-(. S( - * '/(+'( * /(,* * * (@+'. 2eniendo en cuenta el concepto anterior, los puntos ordinarios y singulares de la ecuación diferencial ( x 2−4 ) ´ y + 2 x ´ y + 3 y =0 son: (.
# =$2 -untos Singulares
).
# % $2 -untos 1rdinarios
3.
# =$ 4 -untos 1rdinarios
5.
# % $ 4 -untos Singulares
( x 2−4 ) ´ y + 2 x ´ y +3 y =0 2
# − 4 =0
√ # 2=√ 4
20
−¿ 2 +¿ ¿ # =¿
−¿ 2 on p&nto in&(are +¿ ¿ # =¿ −¿ 2 on p&nto ordinaria +¿ ¿ # % =¿ 'ta: ;)< # % $2
Puntos Ordinarios
9. L - (@+'* /* + *,+,(? /(*'*,(+: :
(.
# =−1
).
# =2
3.
# =1
5.
# =−2
'ES1=>E0*1:
( t 2−t −2 ) x´ + ( t +1 ) x´ −( t −2 ) x =0 2
t −t −2= 0
a =1
21
( t −t −2 ) x ´ + ( t + 1 ) ´ x −( t −2 ) x =0 2
) =−1
c =−2
+¿ −¿ √ )2− 4 ac 2a )¿ x =¿
+¿ −¿ √ (−1)2− 4 ( 1 ) (−2) 2 (1 ) 1¿ x =¿ +¿ −¿ * ) 2 1¿
x =¿
x =
1+ 3 2
# 1=
1 +3 4 = =2 2 2
# 2=
'2!: (. ).
# =−1
# =2
22
1−3 −2 = =−1 2 2
10. S+>(*/ * * -*'*)+ /* F'>*( /(,*: S( x = x 0 * - (@+' '*@+' /* + *,+,(? /(*'*,(+ '/(+'(+ a2 ( x ) y´ + a 1 ( x ) y´ + a0 ( x ) y = 0 ; *-,* *<(-* + )* + ,(? * *'(* /* + ')+: ∞
y =
+ C ( x − x ) ∑ =
n r
n
0
n 0
*onde r es una constante a determinar. Esta serie con&erge en un inter&alo de la forma 0 < x − x 0 < +
"onsiderando lo anterior, para la ecuación 4 x ´ y + 2 ´ y + y =0 , las dos soluciones en serie de Frobenius son: (. ). 3. 5.
y 1 =cos √ x y 2 =en √ x y 2 =−cos √ x y 1 =−en √ x
*esarrollo: 4 xy ´ ´ + 2 y ´ + y =0
2
d y 4 x + 2 dy + y =4 xy´ ´ + 2 y ´ + y = 0 2 dx dy
%tilizamos la solución de la forma: ∞
∑= x +
k
y ( x )=
k
k 0
23
!ora realizamos la sustitución y reordenamos: ∞
( 4 −2 ) 0 x +∑ [ ( 4 ( k + −1 ) ( k + )+2 ( k + ) ) k + k −1 ] x k +−1= 0 −1
2
k =1
%tilizamos los primeros t?rminos para satisfacer la ecuación inicial: 2
( )=
4 −2 = −
1 0 2
-ara llegar a la solución debemos primero obtener dos soluciones lineales independientes en la forma de la serie Frobenius: 1 1 = , 2 =0 2 k =¿−
k −1
[ 4 ( k + −1 )+ 2 ] (k + ) ¿
'esol&emos la primera solución: = 1 =
k =¿−
1 2
k −1 2
4 k + 2 k
¿
−1 ¿k ¿ ¿ ¿¿
1=
− 0
, 2=
− 1
24
20
=
0 120
…
"ontinuamos con la segunda solución: = 2 =0
k =¿−
k −1 2
4 k −2 k ¿
−1 ¿k ¿ ¿ ¿¿
1=
− 0 2
, 2=
− 1 0 = … 12
as soluciones indi&iduales tienen la forma:
−1 ¿ k ¿ ¿ ¿ y 1 ( x )= x
1 ∞ 2
∑= ¿ k 0
−1 ¿ k ¿ ¿ ¿ y 2 ( x )= x
1 ∞ 2
∑= ¿ k 0
0os queda:
25
24
x x
√ ¿ +¿ √ ¿+¿ c2 cos ¿ y ( x ) =c 1 y 1 ( x ) + c2 y 2 ( x )= c1 en ¿
CONSOLIDADO ACTI%IDAD INDI%IDUAL
PREGUNTA
RESPUESTA
ELABORADO POR
26
1
!
!'@! A1SB !'2@0E/ +!'+1S!
2
+
AE00C "!2DE'>0E '1*'>G%E/ !!0/!
!
!
AE00C "!2DE'>0E '1*'>G%E/ !!0/!
4
!
!'@! A1SB !'2@0E/ +!'+1S!
5
!
E00>S C!A!>'! E! %''EG1
)
E00>S C!A!>'! E! %''EG1
9
'espuesta ( y ) !
C%*>+E2D G10/!E/ '1A!S
10
F!2! 'ES-%ES2!
E00>S C!A!>'! E! %''EG1
6 7 #
DESARROLLO DE LA PRI"ERA ACTI%IDAD GRUPAL
P'()*'+ +,-((/+/ G'+:
27
Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respecti&os en el foro colaborati&o con el fin de reconocer las caracter$sticas del problema que se a planteado y buscar el m?todo de solución ms apropiado segn las ecuaciones diferenciales de primer orden.
P'>*)+: Si tenemos en cuenta que la carga en el capacitor de un circuito '" queda descrita por: 1 - ´q ( t ) + + q´ ( t ) + q ( t ) = ( t ) , donde es la >nductancia, ' la resistencia, " la capacitancia y E C
la fuente de &oltaje. "omo la resistencia de un resistor se incrementa con la temperatura, supongamos que el resistor se calienta de modo que + ( t ) =1+
t / . 10
0i - =0,1 1enrio,C =2 faradio, ( t )=0, q ( 0 ) =10 co&(o2) y ´q ( 0 )= 0
*etermine al menos los primeros cuatro t?rminos no nulos en un desarrollo en serie de potencias en torno a t9 8 para la carga del capacitor.
"onsideramos la ecuación: '
q ( t ) =
*eri&amos:
∞
− nC t ∑ =
∞
n 1
q ( t ) ' ' =
n
n 1
− n ( n −1) C t ∑ =
n 2
n
n 2
28
Sustituimos: ∞
n ( n−1 ) C t ∑ =
n −2
n
n ( n−1 ) C t ∑ =
n −2
n
∞
n =0
∞
∞
+ ∑ 10 nC n t +∑ nC n t + ∑ 5 C n t n=0 n−1
n= 1
n 2
∞
+ ( 10 + t ) ∑ nC n t + 5 ∑ C n t n=0 n− 1
n =1
n 2 ∞
∞
n
n=1
n=0
Se tiene en cuenta para la primera sumatoria k =n−2 k =n−1 para la segunda sumatoria k =n
en las dos ltimas sumatorias. k + 1 ¿ C
¿
¿ k + 1t k +1−1 10 ¿ ∞
(k + 2 )( k + 2 −1) C + t ∑ =
k + 2− 2
k 2
k 0
∞
+∑ ¿ k =0
k + 1 ¿ C
¿ ¿ k + 1 t k 10 ¿ ∞
∞
(k + 2 )( k + 1 ) C + t + ∑ ¿ ∑ = = k
k 2
k 0
k 0
29
k + 1 ¿ C
¿ ¿ k + 1 t k 10 ¿ ∞
∞
(0 + 2 )( 0 + 1 )C 0 +2 t + 10 (0 + 1 )C 0 +1 t + 5C 0 t + ∑ ( k + 2)( k + 1) C k +2 t + ∑ ¿ 0
0
0
k
k =0
k + 1 ¿ C
¿ ¿ k + 1 t k 10 ¿ ∞
2 C 2 + 10 C 1 + 5 C 0 +
∞
¿ ∑= (k + 2)( k + 1) C + t +∑ = k
k 2
k 1
k 1
k + 1 ¿ C
¿ (k + 2 )( k + 1 ) C k +2+ 10 ¿ t k ¿ ¿ ∞
2C 2 + 10C 1 + 5 C 0 +
¿ ∑ = k 1
1btenemos: 2C 2 + 10 C 1 + 5 C 0 =0 ;(< k + 1 ¿ C
;)< ¿ ( k +2 )( k + 1 ) C k +2+ 10 ¿ Se establece: C 0 =q ( 0 )=10 C 1= q ( 0 )=0 '
se obtiene de la ecuación (: 30
k =0
C 2 =
−10∗0−5∗10 2
C 2 =−25
*e la ecuación ) aciendo k =1 se obtiene 1 +1 ¿ C
¿ (1 + 2)( 1+ 1 ) C 1+ 2+ 10 ¿ C 3 + 20 C 2+ C 1= 0
C 3 + 20∗−25 + ∗0 =0
C 3 =
250 3
uego aciendo k =2 se tiene 2+ 1 ¿ C
¿ ( 2 + 2 )( 2+ 1) C 2 +2+ 10 ¿ 12C 4 + 30 C 3+ C 2= 0
12C 4 +
30∗250 + ∗−25= 0 3
31
C 4=
−5 4
q ( t )=C 0 + C 1 t + C 2 t + C 3 t + C 4 t + . … . 2
2
q ( t )=10 + 0 t −25 t +
3
4
250 3 5 4 t − t + . …. 3 4
2
q ( t )=10 −25 t +
250 3 5 4 t − t + . 3 4
SEGUNDA ACTI%IDAD GRUPAL: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborati&a deben e&aluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes e#tras a la solución. Si el grupo considera que el proceso yo respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la obser&ación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes e#tras a la solución. Situación y solución planteada: Enunciado y solución planteada: a solución de la Ecuación *iferencial con coeficientes no polinomiales 3 +( enx ) y =0 , Esta dada as$:
32
%sando
la
serie
de
aclaurin
para
,
junto
con
la
suposición
usual
∞
y =
C x 4ene2o q&e * ∑ = n
n
n 0
∞
y´ + ( enx ) y =
∑= n ( n−1 ) C x
n−2
n
n 2
(
2
4
x x x + 1 − + − +… 2! 4! !
)∑ ∞
C n x
n
n =0
O>*'+,(?: "onsidero que el proceso se encuentra incorrecto, ya que debemos tener en cuenta que el 3
desarrollo en serie de
5
x x x en x = x − + − + … ; 3 ! 5! !
enxe *
en el anterior planteamiento encuentro que la sustitución esta errada, ya que estn utilizando como referencia el desarrollo para cos x H no obstante, se procede a corregir con Sen #, siguiendo as$ el procedimiento. a función en serie de aclaurin es: 3
5
x x x x en x = x − + − + + … ; 3 ! 5! ! !
-or tanto tenemos que: ∞
y´ + ( enx ) y =
∑= n ( n−1 ) C x n
n 2
n−2
(
3
5
x x x + x − + − + … 3! 5! !
(
)
∞
C x ∑ =
n
n
n 0
3
5
)
x x x 2 3 y´ + ( enx ) y = 2C 2+ C 3 x + 12 C 4 x + 20 C 5 x + … + x − + − + … ( C 0 + C 1 x + C 2 x + C 3 x + … ) 3! 5! ! 2
3
2
(
y´ + ( enx ) y = 2C 2+ ( C 3 + C 0 ) x + ( 12 C 4 + C 1) x + 20 C 5 + C 2−
33
)
1 3 C 0 x + ..= 0 3!
Se tiene que 2C 2=0
C 3 + C 0=0 12C 4 + C 1=0
20 C 5 + C 2−
1 C =0 3! 0
'esol&iendo tenemos: C 2 =0 ,C 3=
−1
C 0 , C 4=
−1 12
C 1 ,C 5=
1 C 120 0
!grupando los t?rminos llegamos a la solución general y = c0 y 1 ( x )+ c 1 y 2 ( x ) , donde 1 3 1 5 1 4 y 1 ( x )=1 − x + x −⋯ y y 2 ( x )= x − x + ⋯ 120 12
a ecuación diferencial no tiene puntos singulares finitos, ambas series de potencia con&ergen para II J 7.
34
