Unidad 2 - Fase 3: Diseño y construcción - Resolver problemas y ejercicios de ecuaciones diferenciales de orden superior
Presentado por: Ismael Enrique Aguilar Díaz C.C: 1095790938 Deisy Andrea Ordóñez Suescún C.C: 1098618686 Jorge Leonardo Amezquita Manrique C.C: 1095802832 Pedro Cristobal Parra C.C: 1094248417
Ecuaciones Diferenciales GRUPO: 100412A_363 Tutora: Liliana Esperanza Bautista
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD
Bucaramanga, Octubre de 2017
INTRODUCCIÓN
Con el siguiente trabajo colaborativo se pretende aplicar los conceptos básicos de ecuaciones diferenciales de primer orden estudiados previamente en la unidad 2, con el fin de adquirir conocimientos, dando soluciones a los distintos problemas relacionados con la ingeniería y con situaciones del diario vivir.
OBJETIVOS
Obtener conocimiento en ecuaciones diferenciales de primer orden para aplicarlo en la resolución de distintos problemas.
ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, describa el procedimiento que justifique su respuesta.
´ ´ 0
1. Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma y para que ésta sea una ecuación homogénea con coeficientes constantes se deben hacer dos suposiciones: 1. Los coeficientes son constantes. 2. . Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes y se pueden presentar tres tipos: Caso 1: Soluciones reales y distintas, Caso 2: Soluciones iguales y reales y Caso 3: Soluciones complejas y conjugadas. Teniendo en cuenta lo anterior las soluciones de la ecuación diferencial son:
´ 2´ 30 √ 3 √ 2
√ 2 √ 2 √ √ √ √
A. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da B. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da C. Soluciones iguales y reales cuya solución da D. Soluciones distintas y reales cuya solución da
+ +
Solución
λx λ 2λ30 2 4 ± λ 2 ; 1 , 2 , 3 λ 2 ± 2212 413 λ 2± √ 24 12 λ 2±2√ 8
1. Primero se propone la solución ecuación diferencial es:
Entonces la ecuación característica de la
2. Resolvemos la ecuación característica usando la formula general.
λ 2√ 2 8 22i2 √ 2 1i√ 2 ; λ 2√ 2 8 22i2 √ 2 1i√ 2 1, √ 2
√ 2 √ 2 √ √ √ 2 √ 2
En este caso, el resultado es raíces complejas conjugadas ( la siguiente.
y la solución es
Por lo tanto la respuesta es la B. B. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da
2. En general, para resolver una ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden:
− ⋯" ´ 0 − 0, ≠0. ´ 1, 2, … , −− ⋯ 0 ⋯. ⋯ − ´´ ´8 6´´160 8´ 30 ´ 4´ 50
Donde los coeficientes
son constantes reales y
Primero
se debe resolver una ecuación polinomial de n-ésimo grado:
En esta ecuación puede presentar una solución general de acuerdo a sus raíces. Caso 1: Soluciones reales y distintas
Para los
casos 2 y 3, las raíces de una ecuación auxiliar de grado mayor que dos ocurren en muchas combinaciones. Cuando
, es una raíz de multiplicidad k de una ecuación
auxiliar de n-ésimo grado ( es decir, k raíces son iguales a
) y la solución general
debe contener la combinación lineal
. Teniendo en cuenta lo anterior la ecuación diferencial de orden
superior que tiene raíces descritas en el caso 1 es:
A. B.
C.
D.
´ ´ 3´ 40
Respuesta: Desarrollamos cada ecuación para verificar cual cumple con los requisitos solicitados: a)
6 830
Tiene soluciones reales y diferentes:
3 b)
8160 4 450 2 3 40 1
32√ 13 3√ 2 13
Tiene soluciones reales e iguales:
c)
4
Tiene soluciones imaginarias y diferentes:
d)
2
Tiene una solución diferente y dos iguales:
2
Por lo tanto, la respuesta es la a), dando como resultado a la ecuación diferencial
− 6 −+8√ 30−−√ 6 8 30 6 8 3 0 3
3. Una ecuación diferencial no homogénea de orden superior es de la forma:
− − − ⋯ cuya solución general se escribe como la suma de las soluciones de una ecuación homogénea y una particular.
0
. g. 4´ 36csc3 3 3 3 3 |3| 3 3 3 3 |3| 3 3 3 3 |3| 3 3 3 3 |3|
se determina haciendo para convertir la ecuación a una homogénea con coeficientes constantes. Esta es la llamada solución asociada y se encuentra una solución particular de la ecuación no homogénea. Esta es la llamada solución particular Dicha solución depende de la forma de la función De acuerdo a lo mencionado anteriormente la solución de la ecuación diferencial no homogénea es:
A. B. C. D.
Solución
´
Dividimos entre 4
´
Se resuelve la ecuación diferencial homogénea:
Resolvemos la ecuación característica usando la formula general.
2 4 ± m 2 ; 1 , 0 , 9 m 0 ± 2012419 m 0± √ 20 36 m ±√ 236 ±6i2 3 ; 3 0 ; 3 coscos 3 33 3 ; ; En este caso, el resultado es raíces complejas conjugadas ( siguiente.
y la solución es la
Dónde:
Esto es:
Como solución de la ecuación diferencial no homogénea se propone
cos 3 3 3 cos 33 3cos 33 3cos 3 3 3 3cos 3 3 3 3cos 3 3 1 0 3 ℎ0 csc34 3cos 3 03cos 3 3∗ 413 Ahora se calcula el wronskiano:
= 3(1)
= W=3
1 0 3∗ 4 3 cos 3 0 0 csc3 ℎ 3 3 4 3∗ 41 3 ∗ AHORA CALCULAMOS
1 34 1∗cot3 43 ′ ∫ 121 ∫ cot312 121 ∫cot3∗ 3 3 3 112 ∫cot∗ 3 121 ∗ 13 ∫cot∗ 361 ∫cot∗ 136 ln
AHORA INTEGRAMOS
u=3x
Finalmente:
= 3 3 = 12 3 361 ln 3 ∗3 ∗
4.
Una ecuación diferencial de segundo orden homogénea tiene dos soluciones independientes. Para el caso 2 al resolver la ecuación característica las soluciones deben ser reales repetidas y su solución general es de la forma . Teniendo en cuenta la información anterior la solución general de la ecuación diferencial corresponde a:
´ 14´ 490 − − − − A. B. C. D.
Respuesta: La única que cumple con lo solicitado es la C, ya que:
14490
7 7 , 7 7 49 49 14
Para comprobar la ecuación de respuesta, se agruparon los términos así:
499849 0 4998490 14140
5. Una ecuación diferencial de orden superior es de la forma
⋯ ´ ´ 2sin3
−
y puede ser solucionada por diferentes métodos. La ecuación diferencial: , puede ser solucionada por los siguientes métodos y tiene como solución general: 1. Método de variables separables y método de ecuaciones exactas. 2.
√ √ √ √ cos3 sin3 cos3 sin3 −
3. 4. Método de variación de parámetros y método de coeficientes indeterminados .
Solución: Primera alternativa:
2sin3 10 0 12 ± √ 23 cos√ sin√
HA EC
√ √ cos3 sin3 Teniendo en cuenta la solución complementaria, una de las soluciones es la opción 2.
Ahora se procede a realizar por el método de coeficiente indeterminados:
cossin cos3sin3 3sin33cos3 9cos39sin3 cos3 93sin3 932sin3 830 6⁄73 382 16⁄73 cos3 sin3 cos√ sin√ cos3 sin3 ; k=0 ;
=3
Se reemplaza en la ecuación original:
A.
;
B.
;
Por lo tanto, se puede suponer o asumir que la opción 4 es la otra opción de respuesta.
6. El método de variación de parámetros para dar solución a una ecuación diferencial de tercer orden establece que primero se encuentra la función complementaria y después se calcula el wronskiano . Posteriormente se determina , para poder encontrar y , y poder hallar la solución particular mediante la integración de , y , donde :
( , , ) ´ ´ ´
0 0 0 0 0 0 2′ − − 2 − 2 − −− − 2 2 2− 2 2 0 2 0 2 0 0 0 1 − 2 10 1 2 −− 0 0 4− ,
,
Una solución particular es y la solución general de la ecuación diferencial es entonces . Con base en lo anterior, los valores para , y y la solución general de la ecuación son respectivamente: 1. , y 2. 3. 4.
,
y
Solución:
HA EC
;
−− − − 0 0 10 24− 2 =
Una de las respuestas correctas es la opción 2.
−− − − 1 0 00 0 24− 2 2 1 0 00 10 0 1 =
Por lo tanto, la otra opción de correcta de respuesta es la opción 1.
=
7. Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria que tiene un valor especificado que se conoce como la condición inicial, de la función desconocida en un punto dado del dominio de la solución. Para el problema de valor inicial ′′+ =4 +10sin , ( )=0, ′( )=2, la solución particular y la solución al problema corresponden a:
1. =9 cos 2. = + 3. = + 4. =9 sin
+7sin +4 −5 cos + cos + cos + cos + sin +7sin +4 −5 sin
" 410 " 0 10 1 ±√ 1 ± 0, 2 ( cos )
Sustituyendo
410 4 () 4 4 4 4 10 ()10 (2cos ) (2 ) 10 2 cos102 2 10 [ 02 ]→ 0 5 Encontrar
que satisfaga
Encontrar
que satisfaga
Asumir una solución de la forma
Resolver
Encontrar
que satisfaga
0 5 5 410 45cos cos45 9 745
Sustituyendo en
Solución para
Solución general
Solución
es
8. Una ecuación diferencial de de
⋯ +
−1
−1 + + 1
n-ésimo
+ 0 =( ), donde
orden se puede escribir como:
=
, =0,1,2,…, . Cuando se
cumple la ecuación anterior también se escribe como ( )=( ), donde denota el operador diferencial o polinomial, lineal de n-ésimo orden
⋯ +
−1
−1+ + 1 + 0
La notación de operador no sólo es una abreviatura útil, sino que en un nivel muy práctico la aplicación de operadores diferenciales permite justificar las reglas para determinar la forma
de la solución particular
. Ésta se deduce casi de manera automática una vez se encuentra
un operador diferencial lineal adecuado que
anula
a ( ). Por lo anterior de la ecuación
diferencial ′′−3 ′=8 3 +4sin , se puede afirmar que:
1. El operador diferencial que anula a ( ) es ( 2−3)( +1)( 2−3 ) =0 2. La solución particular
que se propone debe ser
=
3 +
2 3 + cos + sin
3. El operador diferencial que anula a ( ) es ( −3)( 2+1)( 2−3 ) =0 4. La solución particular
que se propone debe ser
=
3 + cos + sin
" 3 8 4 Respectivos anuladores Anulado de
Anulado de
Anulado de
" 3 8 4
Rta:
3(" 3)0 38 0 140 3 1 3 0
Primera actividad Grupal: Se plantea una situación problema y el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo, con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.
Problema: Una persona de 70 kg de masa se lanza en una práctica de bungee jumping. Si en el tiempo t=0 la banda elástica ha cedido 8 metros y la velocidad de ascenso es de 30m/seg, Halle la
función x(t) que describe el movimiento libre resultante si se sabe que la banda elástica tiene una constante de elasticidad de 350N/m
Solución: Tenemos
´ 30/
70 350/ 0 35070 0 50 5 ±√ 5
Es movimiento en caída libre, por lo tanto, la definiremos con la siguiente ecuación:
La solución general es:
Reemplazamos: Para t=0
√ 5 √ 5 8 50 50 8
Se deriva la solución general:
Solución final:
√ 5√ 5√ 5√ 5 30√ 5 50√ 5 50 30√ 305 √ 5 .
√ .√ Segunda actividad Grupal: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:
Situación y solución planteada: Un sistema vibratorio que consiste en una masa unida a un resorte como se muestra en la figura
y la constante elástica es =2. El movimiento es amortiguado (=1,2) y está siendo impulsado por una fuerza periódica externa (= ), comenzando en =0. Dicha fuerza está Se suelta desde el reposo a unidades debajo de la posición de equilibrio. La masa es de
definida como ( )=5cos4 . Para esta situación, procedemos a encontrar la ecuación diferencial que describe el movimiento En los sistemas físicos acelerados la sumatorio de fuerzas se expresa de acuerdo a la formulación de la segunda ley de Newton:
Σ =
De acuerdo al problema planteado se tiene un movimiento forzado con amortiguamiento. En
15 1,2 254 0 12 0 0 4 5254 4 50 450 2 2 − 44 4444 164164 4 50 1641644 4444 5 44 254 1641641641645454254
concordancia con la ley anterior:
Donde la aceleración y la velocidad están dadas por Transponiendo términos en la ecuación:
Y reemplazando los valores dados en esta se tiene:
Equivalente a:
Se hace ( )=0 para convertir la ecuación a una homogénea:
Se escribe la ecuación característica y se resuelve:
Solucionándola por fórmula cuadrática se tienen las siguientes soluciones: Cuando las raíces son complejas, la solución se escribe como:
Con el Método de coeficientes indeterminados, se supone una solución particular de la forma:
Sustituyendo en la ED
Operando:
Reuniendo términos semejantes:
114114164164254 11164 16114254 111625 16110 10225 5051 44 10225 4 5051 4 25 50 − 102 4 51 4 0 − cos0 sin0 10225 40 5051 40 12 − cos0 sin0 10225 40 5051 40 12 10225 3851
Factorizando:
El sistema de ecuaciones resultante:
Se cumple que:
Reescribiendo:
La solución sería:
Haciendo =0
Derivando la expresión y haciendo =0
8651 − [3851 8651 ] 10225 4 5051 4
Por lo tanto la ecuación de movimiento es:
Cada estudiante debe hacer mínimo un aporte significativo al análisis del desarrollo presentado.
Moderador o líder debe consolidar el trabajo final donde se incluya aportes individuales y grupales.
Solución Equivalente a:
4 5254
Se corrige este punto debido a que se debe multiplicar por 5, entonces la ecuación correcta es:
6 10254 4 50 6 100
Se hace ( )=0 para convertir la ecuación a una homogénea:
También debe corregirse la ecuación, quedando así:
CONCLUSIONES
Con el desarrollo de esta actividad logramos practicar mediante la ejecución de varios problemas, el procedimiento adecuado para poder hallar la solución correcta.
