WILSON CARRON Licenciado em Física pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da Universidade de São Paulo. Mestre em Energia Nuclear aplicada à agricultura pela Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, Piracicaba. Professor do Ensino Médio e de cursos pré-vestibulares.
OSVALDO GUIMARÃES Bacharel em Física pela PUC-SP PUC-SP.. Condecorado no MEC pela maior nota do país no Exame Nacional de Cursos para Bacharéis em Física. Pós-graduado pelo Instituto de Física Teórica Teórica da Unesp. Pós-graduado pela Escola Po litécnica da USP, USP, em Ciência Cognitiva. Mestre em História da Ciência pela PUC-SP PUC-SP.. Professor do Ensino Médio e de cursos pré-vestibulares. Colunista do jornal da Sociedade Brasileira para o Ensino de Astronomia (SBEA). Gestor da Escola Municipal de Astrofísica e do Observatório do Planetário no Ibirapuera em São Paulo.
AS FACES DA
Volume Volum e único
3a edição
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Título original: Química • na abordagem do cotidiano © Wilson Carron, Osvaldo Guimarães, 2006
Coordenação editorial: José Luiz Carvalho da Cruz Edição de texto: Alexandre da Silva Sanchez, Lídia Toshie Tamazato, Rita Helena Bröckelmann de Oliveira, Sérgio Roberto Torres
Assistência editorial: Regiane de Cássia Thahira Preparação de texto: Sérgio Roberto Torres, Regina Gimenez, Mitsue Morissawa Coordenação de design e projetos visuais: Sandra Botelho de Carvalho Homma Projeto gráfico: Marta Cerqueira Leite Capa: Marta Cerqueira Leite Foto : Técnico caminhando sobre a rede elétrica. Moro, Oregon (EUA). © James L. Amos/Corbis-Stock Photos Coordenação de produção gráfica: André Monteiro da Silva, Maria de Lourdes Rodrigues
Coordenação de revisão: Estevam Vieira Lédo J r. Revisão: Sandra Lia Farah, Lumi Casa de Edição Ltda. Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho Edição de arte: Wilson Gazzoni Agostinho Ilustrações: Adilson Secco, Nelson Matsuda Cartografia: Alessandro Passos de Costa Editoração eletrônica: Setup Bureau Editoração Eletrônica Coordenação de pesquisa iconográfica: Ana Lucia Soares Pesquisa iconográfica: Maria Magalhães, Evelyn Torrecilla As imagens identificadas com a sigla CID foram fornecidas pelo Centro de Informação e Documentação da Editora Moderna.
Coordenação de tratamento de imagens: Américo Jesus Tratamento de imagens: Evaldo de Almeida, Fabio N. Precendo, Rubens M. Rodrigues Saída de filmes: Helio P. de Souza Filho, Marcio H. Kamoto Coordenação de produção industrial: Wilson Aparecido Troque
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Carron, Wilson, 1941 As faces da física : volume único / Wilson Carron, Osvaldo Guimarães. — 3. ed. — São Paulo : Moderna, 2006. Bibliografia. ISBN 85-16-05238-9 (aluno) ISBN 85-16-05240-0 (professor) 1. Física (Ensino médio) I. Guimarães, Osvaldo, 1955–. II. Título. 06-6044
CDD-530.7
Índices para catálogo sistemático: 1. Física : Estudo e ensino
540.7
ISBN 85-16-05238-9 (LA) ISBN 85-16-05240-0 (LP) Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados EDITORA MODERNA LTDA.
Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2790-1500 Fax (0_ _11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2008 Impresso na China 1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
APRESENTAÇÃO
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com muita alegria e satisfação que apresentamos As faces da Física em sua nova edição. Nesta terceira edição, mantivemos a identidade que tem caracterizado a obra ao longo desses anos: um livro em volume único interessante e preciso, que estabelece uma estreita relação entre teoria e prática e que atenta para os aspectos históricos da evolução dos conceitos científicos. Nesse sentido, trabalhamos com a premissa de compor uma obra que não apenas fosse criteriosa e preocupada com o rigor do seu objeto – a Ciência –, mas também operacional – vale dizer, procuramos estabelecer um caminho que conduza professores e alunos na direção desse objeto do conhecimento. Trabalhamos, ainda, com o desejo e a confiança de que alunos e professores tenham nas mãos uma obra que seja instrumento de acesso à Ciência e referência para o aprendizado e futuras consultas e aprofundamentos. O professor que se utiliza desta obra tem liberdade para estabelecer a melhor seqüência dos capítulos, de acordo com sua realidade em sala de aula. A obra mantém a distribuição dos conteúdos da Física em seis grandes partes: a Mecânica, que trata dos movimentos, das forças, do equilíbrio dos corpos e das leis da conservação (da energia e da quantidade de movimento); a Física Térmica, que estuda a energia térmica e suas relações com a energia mecânica; a Óptica Geométrica, que estuda a energia luminosa e suas interações com a matéria; a Ondulatória, que trata do estudo das ondas mecânicas e da Acústica; o Eletromagnetismo, que faz a união da recente ciência da Eletricidade com o Magnetismo; e a Física Moderna, que, além de outras implicações, revolucionou o estudo do movimento e da energia no século XX. Há, ainda, um capítulo sobre Análise dimensional e Teoria dos erros. As faces da Física, nesta edição, traz novidades: conteúdos como “resistência do ar” e “partículas elementares”; a seção “Física no Cotidiano”, que aborda aspectos da Física observados no cotidiano ou associados a situações e objetos do cotidiano; e um projeto gráfico moderno, que torna mais agradável a leitura do texto e das imagens. Toda a teoria foi revista, de modo a tornar a obra mais completa e atualizada; as fotos foram escolhidas com muito critério, tanto as ilustrativas quanto as que representam montagens experimentais.
Cada uma das seis partes se inicia com texto e imagens que resgatam aspectos históricos relevantes do conteúdo que nela será estudado. Nos capítulos, a teoria é apresentada de forma a priorizar a construção dos conceitos a partir de exemplos. Os exercícios foram atualizados: os de sala de aula, com os quais se pretende explorar todos os conteúdos estudados, e os exercícios complementares, que oferecem aos alunos a oportunidade de consolidar seu aprendizado e de ter uma visão dos exames vestibulares do país. As respostas dos exercícios, dos exercícios complementares, a lista de siglas das faculdades e universidades, as tabelas auxiliares, as sugestões de leitura e a bibliografia encontram-se no final do livro. Acrescentamos, também, um suplemento com quadros-resumo, útil para a resolução dos exercícios. Esperamos, mais uma vez, ter atingido nossos objetivos de fornecer uma ferramenta que auxilie os professores em sua prática docente e que prepare os estudantes para o ingresso na Universidade, além de contribuir para conscientizá-los das implicações das ciências no cotidiano. d
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AGRADECIMENTO Assumir a missão empresarial de produzir montagens experimentais de qualidade para o ensino é tão raro quanto inestimável. Nesse contexto, agradeço a acolhida na Alemanha pela 3B Scientific, que me colocou à disposição vários conjuntos experimentais, cujas fotos enriquecem esta edição.
Osvaldo Guimarães
S u m á r i o PARTE
I MECÂNICA
3. Encontro de dois móveis em M.C.U., 73 4. Movimentos concêntricos e transmissão do M.C.U., 75 5. Movimento circular variado uniformemente (M.C.V.U.), 77
CAPÍTULOS
1.
Introdução à Física, 4 1. Notação científica, 4 2. Algarismos significativos, 6 3. Sistema Internacional de Unidades, 7 4. Medidas de comprimento, massa e tempo, 8
2.
Cinemática escalar: conceitos básicos, 11 1. Localização, 11 2. Movimento e repouso, 13 3. Espaço e deslocamento escalar, 14 4. Velocidade escalar, 16 5. Aceleração escalar, 19 6. Classificação dos movimentos, 20
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e 0 1 6.
Movimento uniforme, 24 1. Função horária do espaço, 24 2. Diagramas horários, 26 3. Encontro e ultrapassagem de móveis, 29
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8.
Composição de movimentos, 82 1. Regra da cadeia, 82 2. Rolamento, 85
9.
Movimento vertical, lançamento horizontal e lançamento oblíquo, 90 1. Movimento vertical, 91 2. Lançamento horizontal, 96 3. Lançamento oblíquo, 98
10. Dinâmica:
as leis de Newton, 106
1. Interações mecânicas, 107 2. Interações a distância, 108 3. Interações de contato, 110 4. Primeira lei de Newton, 114 5. Segunda lei de Newton, 117 6. Terceira lei de Newton, 119
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Movimento variado uniformemente, 35 1. Função horária da velocidade, 35 2. Função horária do espaço, 37 3. Equação de Torricelli, 40
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5.
Vetores, 45 1. Vetor, 45 2. Adição de vetores, 47 3. Regra do paralelogramo, 48 4. Componentes de um vetor, 50 5. Outras operações vetoriais, 52 6. Versores, 53
6.
Cinemática vetorial, 57 1. Deslocamento vetorial, 58 2. Velocidade vetorial, 59 3. Aceleração vetorial, 61 4. Aceleração tangencial e aceleração centrípeta, 63
7.
Movimentos circulares, 69 1. Grandezas angulares, 69 2. Movimento circular e uniforme (M.C.U.), 72
11. Aplicações
das leis de Newton, 124
1. Blocos em movimento horizontal, 125 2. Elevadores, 127 3. Polia fixa, polia móvel e talha exponencial, 130 4. Plano inclinado, 132 5. Resistência do ar, 135 12. Dinâmica das trajetórias curvas, 141
1. Resultante centrípeta, 141 2. Trajetórias curvas em planos horizontais, 142 3. Rotor e pêndulo cônico, 145 4. Trajetórias em planos verticais, 146 13. Energia,
trabalho e potência, 153
1. Formas de energia, 154 2. Trabalho de uma força, 158 3. Potência de uma força, 161 4. Rendimento, 163 14. Energia
mecânica, 167
1. Energia cinética, 167 2. Energia potencial, 169 3. Sistemas conservativos, 172 4. Sistemas não-conservativos, 173
15. Impulso e quantidade de movimento, 179
1. Teorema do impulso, 180 2. Sistema isolado, 182 3. Centro de massa, 184 4. Choques, 186 5. Choque oblíquo, 191 6. Momento angular, 193 16. Gravitação universal, 198
1. Os modelos planetários, 198 2. As leis de Kepler, 200 3. Lei da gravitação universal, 205 4. Corpos em órbitas circulares, 211 5. A energia mecânica e as trajetórias, 212 17. Estática, 219
1. Equilíbrio do ponto material, 219 2. Equilíbrio do corpo rígido, 223 3. Momento de uma força, 226 4. Máquinas simples, 229 18. Mecânica dos fluidos, 238
1. Densidade e massa específica, 238 2. Pressão, 240 3. Lei de Stevin, 241 4. Pressão atmosférica, 244 5. Vasos comunicantes, 247 6. Princípio de Pascal, 249 7. Princípio de Arquimedes, 251 8. Hidrodinâmica, 255
21. Dilatação térmica, 295
1. Dilatação dos sólidos, 295 2. Dilatação dos líquidos, 301 22. Mudanças de fase, 307
1. Diagrama de fases da matéria, 307 2. Curva de fusão, 309 3. Curva de vaporização, 309 4. Curva de sublimação, 313 5. Umidade relativa do ar, 314 23. Estudo dos gases, 318
1. Transformações gasosas, 318 2. Equação de estado de um gás (equação de Clapeyron), 322 3. Mistura de gases, 324 9
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24. Termodinâmica,
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1. Trabalho em Termodinâmica, 329 2. Energia interna de um gás, 331 3. Primeiro princípio da Termodinâmica, 332 4. Transformações termodinâmicas, 333 5. Máquinas térmicas, 338 6. Segundo princípio da Termodinâmica, 342
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PARTE III PARTE
II FÍSICA TÉRMICA
CAPÍTULOS
25. Conceitos básicos de Óptica
CAPÍTULOS
19. Temperatura
ÓPTICA GEOMÉTRICA
Geométrica, 348
e calor, 266
1. Temperatura, 266 2. Escalas Celsius, Fahrenheit e Kelvin, 269 3. Energia térmica e propagação do calor, 272 20. Calorimetria, 280
1. Quantidade de calor ( Q), 280 2. Calor sensível, 281 3. Calor latente, 284 4. Calor de combustão, 287 5. Trocas de calor, 289
1. A luz e sua propagação, 348 2. Sombra e penumbra, 356 3. Câmara escura, 361 26. Reflexão da luz nos espelhos planos, 364
1. As leis da reflexão luminosa, 364 2. Objetos e imagens, 366 3. Espelhos planos, 368 4. Campo visual e movimento de um espelho plano, 372 5. Imagens em dois espelhos planos, 375
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27. Reflexão
da luz nos espelhos esféricos, 379
1. Elementos dos espelhos esféricos, 379 2. Construção de imagens, 385 3. Estudo analítico dos espelhos esféricos, 388 28. Refração luminosa, 393
1. Índice de refração, 393 2. As leis da refração luminosa, 395 3. Dispersão luminosa, 398 4. Ângulo limite, 400 5. Fenômenos relacionados com a refração da luz, 403
34. Fenômenos
1. Princípio de Huyghens, 486 2. Reflexão e refração de ondas, 487 3. Difração, dispersão e polarização, 490 4. Interferência, 492 5. Onda estacionária, 495 35. Acústica, 500
1. Ondas sonoras, 500 2. Cordas vibrantes, 504 3. Tubos sonoros, 507 4. Efeito Doppler, 510
29. Dioptros, lâminas e prismas, 409
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1. Dioptro plano, 409 2. Lâminas de faces paralelas, 411 3. Prismas, 415
ondulatórios, 486
PARTE
V ELETROMAGNETISMO
CAPÍTULOS
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30. Lentes, 422 e
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1. Definição e classificação das lentes esféricas, 422 2. Objetos e imagens: estudo geométrico, 427 3. Objetos e imagens: estudo analítico, 431 4. A fórmula dos fabricantes de lentes, 433 n
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36. Eletrostática, 518
1. Carga elétrica, 518 2. Condutores e isolantes, 520 3. Processos de eletrização, 521 4. Eletroscópio de folhas, 523 5. Lei de Coulomb, 526
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31. Instrumentos ópticos, 440 d
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1. Aumento visual, 440 2. Instrumentos ópticos de observação, 441 3. Instrumentos ópticos de projeção, 447 4. Óptica do olho humano, 450 ç
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PARTE IV
37. Campo
elétrico, 531
1. Definição de campo elétrico, 531 2. Campo elétrico gerado por uma carga puntiforme, 533 3. Campo elétrico gerado por várias cargas puntiformes, 535 4. Linhas de campo, 537
ONDULATÓRIA
CAPÍTULOS
32. Movimento harmônico simples, 460
1. Cinemática do M.H.S., 460 2. Dinâmica do M.H.S., 464 3. Pêndulo simples, 466 4. Energia mecânica no M.H.S., 468 5. Outras oscilações harmônicas, 470 33. Ondas, 475
1. Propagação ondulatória, 475 2. Reflexão de pulsos, 477 3. Refração de pulsos, 477 4. Ondas periódicas, 480 5. Equação da onda, 482
38. Potencial
elétrico, 542
1. Energia potencial elétrica, 542 2. Potencial elétrico, 545 3. Superfícies eqüipotenciais, 547 4. Campo elétrico uniforme, 549 39. Condutores
em equilíbrio eletrostático, 554
1. Campo elétrico e potencial elétrico de condutores, 554 2. Condutor esférico, 557 3. Capacitância de um condutor, 560 4. Energia potencial elétrica em um condutor, 561 5. Equilíbrio eletrostático entre dois condutores, 562 6. Densidade superficial de cargas, 564
40. Eletrodinâmica:
corrente elétrica, 568
1. Fluxo de portadores de carga, 568 2. Potência elétrica, 572
47. Indução e ondas eletromagnéticas, 660
1. Indução eletromagnética, 660 2. Arranjos para indução eletromagnética, 666 3. Ondas eletromagnéticas, 669
41. Resistores, 576
1. Classificação dos dispositivos elétricos, 576 2. Resistência de um condutor, 577 3. Primeira lei de Ohm, 577 4. Potência elétrica em um condutor, 579 5. Segunda lei de Ohm, 580 6. Associação de resistores em série, 582 7. Associação de resistores em paralelo, 584 8. Associação mista de resistores, 586 42. Geradores
PARTE VI
FÍSICA MODERNA
CAPÍTULOS
48. Física atômica, 680
1. A radiação do corpo negro, 681 2. O efeito fotoelétrico, 683 3. A dualidade onda–partícula, 685 4. O átomo de Bohr, 686
e receptores, 593
1. Geradores, 593 2. Lei de Pouillet, 597 3. Associação de geradores, 598 4. Receptores, 600 5. Lei de Pouillet com geradores e receptores, 603 43. Medidas elétricas, 606
1. Medidores ideais, 607 2. Ponte de Wheatstone, 609 3. Medidores reais, 610 44. Leis de Kirchhoff, capacitores
e semicondutores, 617
1. Leis de Kirchhoff, 617 2. Capacitores, 620 3. Capacitor plano, 623 4. Associação de capacitores, 625 5. Semicondutores, 627 45. Magnetismo: campo magnético, 634
1. O magnetismo natural, 635 2. Campo magnético gerado por corrente elétrica, 640
49. Relatividade, 691
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50. Radioatividade e Física nuclear, 702 e
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1. Radioatividade, 703 2. Interações das radiações com a matéria, 705 3. Aplicações das radiações, 707 4. Física nuclear: fissão e fusão, 710 o
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51. Partículas elementares. 8
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Cosmologia, 717
1. Partículas elementares, 718 2. Interações fundamentais, 719 3. A esfera celeste, 721 4. A teoria do Big-Bang, 724
52. Análise dimensional. Teoria dos erros,
728
1. Análise dimensional, 728 2. Teoria dos erros, 732
46. Força magnética, 647
1. Força magnética, 648 2. Movimento de cargas em um campo magnético uniforme, 649 3. Força magnética atuando sobre um condutor retilíneo, 653 4. Força magnética entre fios paralelos, 655
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1. Cinemática da Relatividade, 692 2. Dinâmica relativística, 697
• Respostas, 735 • Siglas de Faculdades / Universidades, 744 • Tabelas auxiliares, 746 • Sugestões de leitura, 749 • Referências bibliográficas, 751
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Física no Cotidiano
O funcionamento do nônio, 9 Sistema de posicionamento global (GPS), 21 O bom senso e o respeito às leis do movimento na condução de um veículo, 31 Velocidade e aceleração no atletismo, 41 A navegação a vela, 54 O funcionamento de uma bicicleta, 76 Correções de rota, 87 Salto em altura e salto em distância, 103 Peso e massa, 109 Air-bag, 119 Coeficiente aerodinâmico, 136 Força distância, 160 Centrais hidroelétricas, 175 Colisão em cruzamento de ruas, 192 Macaco hidráulico, 234 A bexiga natatória e o submarino, 253 A condutividade térmica da madeira, 274 Alimentos e energia, 280 Lâminas bimetálicas, 300 A panela de pressão, 311 A embolia gasosa e a lei de Dalton, 325 A composição das cores, 352 A reflexão da luz e o princípio de Fermat, 370 A reversão, segundo Umberto Eco, 371 Cáustica de reflexão, 383 A refração da luz e o princípio de Fermat, 397 O arco-íris, 404 O relógio — Evolução e sua influência nas navegações, 467 As ondas humanas, 480 As ondas do mar, 488 Um pouco da Física e da Matemática na música, 510 Canudos de plástico: atração e repulsão, 520 Por que ocorrem relâmpagos?, 560 Compreendendo o curto-circuito, 589 A garrafa magnética, 652 Transmissão digital, 672 A Relatividade Geral, 699 Radiação gama é usada na preservação do patrimônio brasileiro, 709 Aceleradores de partículas, 721
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Física no Cotidiano
O funcionamento do nônio, 9 Sistema de posicionamento global (GPS), 21 O bom senso e o respeito às leis do movimento na condução de um veículo, 31 Velocidade e aceleração no atletismo, 41 A navegação a vela, 54 O funcionamento de uma bicicleta, 76 Correções de rota, 87 Salto em altura e salto em distância, 103 Peso e massa, 109 Air-bag, 119 Coeficiente aerodinâmico, 136 Força distância, 160 Centrais hidroelétricas, 175 Colisão em cruzamento de ruas, 192 Macaco hidráulico, 234 A bexiga natatória e o submarino, 253 A condutividade térmica da madeira, 274 Alimentos e energia, 288 Lâminas bimetálicas, 300 A panela de pressão, 311 A embolia gasosa e a lei de Dalton, 325 A composição das cores, 352 A reflexão da luz e o princípio de Fermat, 370 A reversão, segundo Umberto Eco, 371 Cáustica de reflexão, 383 A refração da luz e o princípio de Fermat, 397 O arco-íris, 404 O relógio — Evolução e sua influência nas navegações, 467 As ondas humanas, 480 As ondas do mar, 488 Um pouco da Física e da Matemática na música, 510 Canudos de plástico: atração e repulsão, 520 Por que ocorrem relâmpagos?, 560 Compreendendo o curto-circuito, 589 A garrafa magnética, 652 Transmissão digital, 672 A Relatividade Geral, 699 Radiação gama é usada na preservação do patrimônio brasileiro, 709 Aceleradores de partículas, 721
PAR TE
I
MECÂNICA
CAPÍTULOS
1
Introdução à Física
2 3 4 5
Cinemática escalar: conceitos básicos
6 7 8 9 10 11
ISAAC NEWTON (1642-1727)
Movimento variado uniformemente Vetores Cinemática vetorial Movimentos circulares Composição de movimentos Movimento vertical, lançamento horizontal e lançamento oblíquo Dinâmica: as leis de Newton Aplicações das leis de Newton Dinâmica
Energia, trabalho e potência Energia mecânica
14 Impulso e quantidade 15 de movimento Gravitação universal
16 Estática 17
Mecânica
18 dos fluidos 2 2
serventia. Porque a Natureza se agrada com a simplicidade e não se comove com a pompa das coisas supérfluas.”
Movimento uniforme
12 das trajetórias curvas 13
“ A Natureza nada faz em vão: quanto mais em vão, menor a
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ACREDITA-SE QUE A FÍSICA — talvez a mais antiga das Ciências Naturais — nasceu na Grécia há, aproximadamente, 2.500 anos, entre os séculos VI e IV a.C. Nessa época, todos os fenômenos que ocorrem na Natureza eram abordados, de maneira geral, por um ramo do pensamento chamado de “estudos dos fenômenos naturais” — physiké , em grego, que deu origem à palavra physica, em latim. Nesse campo, Aristóteles, que viveu no século IV a.C., é provavelmente o nome de maior destaque da Grécia Antiga. Em seu livro Physis (Física, em português), Aristóteles discute assuntos relativos à matéria, à forma, às leis do universo, ao movimento, ao tempo e ao espaço. Os ensinamentos de Aristóteles influenciaram o modo de pensar da humanidade por quase 2.000 anos. Iniciamos o nosso curso com a Mecânica, o ramo da Física que trata dos movimentos, das forças e de suas relações de causa e efeito. De um modo geral, a Mecânica é a base da Física, pois o seu estudo propiciou o método científico que revolucionou a maneira de entender o mundo em que vivemos. A invenção da roda foi, com certeza, um dos passos mais importantes no desenvolvimento da civilização, pois com ela o ser humano passou a produzir movimento mais facilmente. Porém a compreensão de como os corpos se movem demorou alguns milhares de anos mais. Desde a Antigüidade até as descobertas revolucionárias dos séculos XVI e XVII, muitas foram as tentativas de explicar o movimento. Estátua de Aristóteles, no vilarejo de Estagira, na Grécia.
Parte I • MECÂNICA
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No século XIV, ao final da Idade Média, a Escola de Oxford (Inglaterra) e a Escola Parisiense (França), deram importante contri buição para o estudo dos movimentos. Os mertonianos (membros do Merton College, de Oxford) realizaram pesquisas que avançaram na aplicação de conhecimentos matemáticos ao estudo da velocidade e da aceleração dos movimentos. Foi assim que, por volta de 1350, surgiu a denominação movimento uniformemente diforme significando o movimento em que a velocidade varia quantidades iguais em tempos iguais.
tres. O reconhecimento de Newton para com os seus predecessores pode ser sintetizado na sua frase: “Somente consegui enxergar mais longe porque me apoiei nos ombros de gigantes”. IA N Ô L O P , AI V Ó C A R C A D L A N IO C A N U E S U M
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Pintura O astrônomo Copérnico conversando com Deus , feita em 1832 pelo polonês Jan Matejko e que se encontra no relógio astronômico de Estrasburgo. e d 9 1 e d 0 1 6. 9 i e L e l a n e P o gi d ó C o d 4 r
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Merton College, na Inglaterra, fundado em 1264.
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Os pesquisadores da chamada Escola Parisiense, por sua vez, também ofereceram subsídio muito importante, por exemplo ao elaborar a teoria da impulsão — ao lançar um objeto, fornecemos a ele uma certa impulsão, que vai esgotando-se à medida que o objeto se move. Podemos dizer que o século XVI marca o início da revolução científica na Física. Nicolau Copérnico, um monge polonês, em 1543 com o seu livro Das revoluções dos corpos celestes , postulou o heliocentrismo em oposição à idéia do geocentrismo. Os trabalhos de nomes importantes como Copérnico, Kepler e Galileu contribuíram significativamente para que, no século XVII, Isaac Newton lançasse as bases da gravitação universal — movimento dos corpos celestes —, bem como as leis dos movimentos dos corpos terres-
Com o advento do século XVII nascia a Ciência moderna, e a humanidade pôde então começar a entender melhor a Mecânica do Universo. No limiar do século XX, a Teoria da Relatividade de Albert Einstein ia trazer nova perspectiva para o estudo dos movimentos. No século XX, os conhecimentos científicos e a tecnologia experimentaram um desenvolvimento sem precedentes. Mas nem por isso as teorias estão prontas e acabadas. Basta olhar a História, para percebermos que elas refletem o momento histórico que vivemos. OI
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Em alguns países do mundo já existem automóveis e ônibus movidos a hidrogênio. A queima do hidrogênio produz água que sai do escapamento na forma de vapor. O automóvel da foto é o Veja II, movido a hidrogênio, desenvolvido pela Universidade de Campinas, em São Paulo.
Capítulo 1 • Introdução à Física
3
Capítulo Tópicos: 1. Notação
1
científica
2. Algarismos
significativos
3. Sistema
Internacional de Unidades
4. Medidas
de comprimento, massa e tempo
Introdução à Física Física estuda a matéria e a energia, as forças e os movimentos, conceitos básicos de toda a Ciência. Como Ciência experimental, a Física necesA sita da quantificação dos conceitos estudados. De acordo com Lorde Kelvin,
“se pudermos medir aquilo de que falamos e exprimir por meio de números o resultado, conheceremos algo sobre o assunto; mas, se não pudermos, nosso conhecimento será deficiente e insatisfatório”. Até o final do século XVIII, cada região escolhia de modo arbitrário e independente as unidades utilizadas em suas medidas. O grande aumento dos intercâmbios econômicos e culturais levou diversas sociedades a buscarem uma padronização universal das unidades de medida, visando facilitar o comércio e a comunicação científica. Assim, em 1792, surgiu o Sistema Métrico Decimal, que, posteriormente, foi reformulado dando origem ao Sistema Internacional de Unidades (SI).
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Essas gravuras mostram o uso de padrões de medida de comprimento (foto A) e de massa (foto B). À esquerda, o afresco Vendedor de tecidos medindo fazenda , de autoria desconhecida. À direita, a litografia O vendedor de cerejas , de Antoine Charles Horace Vernet.
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1 Notação científica Ao efetuar a medição de uma grandeza física, podemos obter um número que, quando comparado com um padrão*, pode ser muito pequeno ou muito grande. Por exemplo, o diâmetro de um átomo, da ordem de 0,000 000 000 1 m, é muito pequeno em relação ao nosso padrão, o metro. Por outro lado, o raio da Terra, em torno de 6.400.000 m, é muito grande em relação ao metro. O mesmo acontece com a medida de massa, a de intervalo de tempo e de um modo geral a medida da maioria das grandezas físicas. De um modo geral, define-se grandeza como tudo aquilo que pode ser comparado com um padrão por meio de uma medição.
* Padrão: modelo oficial de pesos e
medidas. Aquilo que serve de base ou norma para a avaliação de qualidade ou quantidade.
4
Parte I • MECÂNICA
Uma maneira prática de manipular números com grande quantidade de zeros é a notação científica, na qual se utilizam as potências de 10. Qualquer número real g pode ser escrito como o produto de um número a , cujo módulo está entre 1 e 10 (incluindo o 1), por outro, que é uma potência de 10 com expoente inteiro (10n ): g a 10n, sendo 1 a 10
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Vejamos, inicialmente, como escrever números maiores do que 1 em notação científica. O número 200, por exemplo, pode se escrito assim: 200 2 100 2 102
Então, em notação científica, o número 200 torna-se 2 102. Outro exemplo: o número 5.300.000, em notação científica, torna-se 5,3 106. Uma regra prática: para escrever 5.300.000 em notação científica, deslocamos a vírgula do último zero (onde consideramos que ela esteja, já que o número é inteiro) para a esquerda, até atingir o primeiro algarismo do número (no caso, o 5). Assim, o número de casas (seis) que a vírgula foi deslocada para a esquerda corresponde ao expoente positivo da potência de 10:
5.300.000 5.300.000, 5,3 106
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Vejamos, agora, como proceder com números menores do que 1. Tomemos o número 0,000 000 24. Nesse caso, deslocamos a vírgula para a direita até o primeiro algarismo diferente de zero. Observe que o número de casas (sete) de deslocamento da vírgula corresponde ao valor absoluto do expoente (que nesse caso é negativo) da potência de 10: 0,000 000 24 0,000 000 24 2,4 107 roi
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Sete casas
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Observação • No uso da notação científica, exige-se que o módulo do número a , que multiplica a potência de 10, obedeça à seguinte condição (1 a 10). Assim, o número 25 10 4 deve ser escrito corretamente 2,5 10 5. O mesmo acontece com o número 84 103, que deve ser escrito 8,4 10 2.
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Em determinadas situações uma grandeza física pode ser expressa por um valor aproximado. Normalmente, isso acontece quando necessitamos somente de uma estimativa do valor da grandeza ou quando os métodos de medida não apresentam uma grande precisão. Vejamos um exemplo. Dependendo das hipóteses utilizadas, avalia-se a idade do Universo entre 10 bilhões e 20 bilhões de anos. Um valor aceito é 15 bilhões de anos (1,5 1010 anos). Como o valor apresentado é uma estimativa, podemos usar somente a potência de 10; ou seja, a idade do Universo é da ordem de 1010 anos. Em outras palavras, dizemos que a ordem de grandeza da idade do Universo, em anos, é 1010. Um método prático para determinar a ordem de grandeza baseia-se na seguinte definição: a ordem de grandeza é a potência de 10, de expoente inteiro, que mais se aproxima do módulo da medida da grandeza analisada. Qualquer que seja o número g correspondente a essa medida, seu módulo estará compreendido entre duas potências inteiras e consecutivas de 10, ou seja:
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10n g 10n 1 Para obter a ordem de grandeza de um número, devemos, inicialmente, escrevê-lo em notação científica: g a 10n. Temos que:
1 a 10 Para decidir se a ordem de grandeza é 10n ou 10n 1, devemos comparar o número a com o valor 5,5 (média aritmética entre 1 e 10): • a 5,5 ⇒ Ordem de grandeza 10n • a 5,5 ⇒ Ordem de grandeza 10n 1 Exemplos: o número 2,5 10 6 possui ordem de grandeza igual a 106. A ordem de grandeza do número 5,8 104 é 104 1 105.
Capítulo 1 • Introdução à Física
5
E X E R C Í C I O S 1.
Coloque os números seguintes em forma de notação científica: 2 a) 24.500 d) 0,00000092 g) 0,0234 10 3 3 b) 200.000.00 e) 14 10 h) 0,02 10 5 6 c) 0,0016 f) 69 10 i) 0,000065 10
Oferta Interna de Energia em 2002 foi de 198 milhões de toneladas equivalentes de petróleo, tep, montante 196% superior ao de 1970 e equivalente a 2% da demanda mundial”. Qual é a ordem de grandeza da Oferta Interna de Energia em 2002, em tep.
2.
Identifique quais dos números a seguir estão escritos em notação científica. 9 3 a) 5,6 d) 242 10 g) 0,23 10 2 b) 56 10 e) 4 10 h) 0,0004 8 4 2 c) 2 10 f) 10 10 i) 6,1 10
3.
De acordo com o BEN-2003 (Balanço Energético Nacional), publicado pelo Ministério de Minas e Energia, “a 0 1
4.
Em um hotel com 500 apartamentos, o consumo médio de água por apartamento durante o verão é de 170 litros por dia. Qual é a ordem de grandeza do consumo de água, em litros, durante um mês, considerando-se que 80% dos apartamentos estão ocupados?
Exercícios complementares: 16 a 19.
2 Algarismos significativos
9
8
A figura 1 ilustra a indicação de uma régua ao medirmos a altura de um copo. Como devemos expressar essa medida? Olhando para as marcas da escala da régua, vemos que: • na casa dos centímetros a altura está entre 7 cm e 8 cm; • na casa dos décimos de centímetros (mm) a medida está entre 3 mm e 4 mm; • na casa dos centésimos de centímetro não temos certeza sobre o valor, mas podemos estimar em cerca de 5 unidades. Expressamos, então, a altura (h) do copo como: h 7,35 cm Não há sentido em expressar essa medida além da segunda casa decimal, pois a última casa já é incerta. Portanto, a medida realizada só tem sentido se a expressarmos com três algarismos. A medida tem, portanto, três algarismos significativos: dois algarismos corretos (7 e 3) e um algarismo duvidoso (5). Se quisermos expressar essa medida em metros, escrevemos: h 0,0735 m, e a medida continua possuindo três algarismos significativos. Na medida de uma grandeza, são significativos todos os algarismos, da esquerda para a direita, a partir do primeiro algarismo não-nulo. Na tabela 1, apresentamos alguns exemplos de medida e os correspondentes números de algarismos significativos.
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Figura 1.
Tabela 1.
Medida 125,38 C 3,1 km 0,0021 K 1.001 anos °
Número de algarismos significativos 5 2 2 4
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E X E R C Í C I O S 5.
Considere uma balança cuja menor divisão é 0,5 kg. A figura ilustra uma medida efetuada por essa balança.
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Quantos algarismos significativos são obtidos na medida indicada pela balança? b) Qual é a medida indicada pela balança? a)
6.
6
Uma pessoa compra um terreno retangular que o vendedor alega possuir as seguintes dimensões: 10 m de frente e 25 m na lateral. De posse de uma trena, a pessoa efetua as medidas da frente e da lateral do terreno, com a maior
Parte I • MECÂNICA
precisão possível, e constata pequenas discrepâncias nas medidas. Sabe-se que a trena utilizada nas medições possui a mesma precisão de uma régua comum, ou seja, a menor divisão da trena é 1 décimo de centímetro. Isso significa que os algarismos até décimo de centímetro são exatos e que o algarismo correspondente a centésimo de centímetro é duvidoso. Entre os pares apresentados a seguir, qual deles apresenta corretamente as medidas efetuadas com a trena? a) Frente: 10 m; lateral: 24 m b) Frente: 10,1 m; lateral: 24,9 m c) Frente: 10,15 m; lateral: 24,95 m d) Frente: 10,154 m; lateral: 24,952 m e) Frente: 10,1545 m; lateral: 24,9528 m
Exercícios complementares: 20 a 22.
3 Sistema Internacional de Unidades Com o avanço das ciências, tornou-se necessário agrupar as unidades formando os sistemas, para unificar os métodos de trabalho em todo o mundo. Atualmente, o sistema mais usado é o Sistema Internacional de Unidades (SI), padronizado em 1960 na XI Conferência Internacional de Pesos e Medidas. Desde 1953, o Brasil adota oficialmente as unidades de medida do SI. Esse sistema se compõe de sete unidades de base (tabela 2), unidades derivadas (tabela 3), múltiplos e submúltiplos de todas elas. Na tabela 4 temos alguns prefixos usados pelo SI. Tabela 2. Unidades do SI. Unidades de base
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Temperatura termodinâmica
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Tabela 3. Algumas unidades do SI derivadas, expressas a partir das unidades de base. P
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Tabela 4.
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Símbolo
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Volume
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103
Quilo
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Velocidade
Metro por segundo
m/s
102
Centi
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Aceleração
Metro por segundo ao quadrado
m/s2
103
Mili
m
Número de ondas
Metro elevado à potência menos um (1 por metro)
m1
106
Micro
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Massa específica Quilograma por metro cúbico
kg/m3
E X E R C Í C I O S 7.
Utilize as tabelas 2 e 3 e faça a correspondência entre as colunas 1 e 2 seguintes: Coluna 1 1. Tempo 2. Comprimento 3. Quantidade de matéria 4. Velocidade 5. Volume 6. Tonelada
Coluna 2 a) Unidade de base b) Unidade derivada c) Unidade fora do S.I.
8.
Assinale certo ou errado: 2 a) 1 ms corresponde a 10 s 8 b) 100 Mm 10 m 6 c) 10 µA 10 A
Exercícios complementares: 23 e 24.
Capítulo 1 • Introdução à Física
7
4 Medidas de comprimento, massa e tempo Vamos apresentar as unidades de comprimento, massa e tempo fundamentais para o estudo da Mecânica. As demais unidades básicas que constam da tabela 2 serão estudadas posteriormente. Medidas de comprimento No Sistema Internacional, a unidade de medida de comprimento é o metro (m). O metro possui múltiplos e submúltiplos. Os principais são: • quilômetro (km), 1 km 1.000 m 103 m • hectômetro (hm), 1 hm 100 m 102 m • decâmetro (dam), 1 dam 10 m • decímetro (dm), 1 dm 0,1 m 101 m • centímetro (cm), 1 cm 0,01 m 102 m • milímetro (mm), 1 mm 0,001 m 103 m Embora não façam parte do SI, é comum a utilização das seguintes unidades de comprimento: • 1 milha marítima 1.852 m • 1 polegada 0,0254 m • 1 pé 12 polegadas 0,3048 m • 1 jarda 3 pés 0,9144 m • 1 angström 1010 m • 1 ano-luz 9,46 1012 km
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Figura 2. Balança de comparação, de braços iguais.
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Figura 3. Quilograma, a unidade de massa do SI.
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Figura 4. Relógio astronômico da Igreja de São Nicolau, em Praga, na República Tcheca.
8
Parte I • MECÂNICA
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Medidas de massa Desde o surgimento do comércio, o ser humano sentiu necessidade de estabelecer comparações lançando mão, inicialmente, de métodos intuitivos. Posteriormente, surgiu a balança de comparação, que consistia em dois pratos iguais, em equilíbrio, ligados simetricamente por uma haste (figura 2). Na figura 3, temos o padrão de massa do SI, que é o quilograma (kg). Esse padrão foi estabelecido a partir da massa de um cilindro composto de 90% de platina e 10% de irídio, com 3,9 cm de diâmetro de base e 3,9 cm de altura. Esse cilindro se encontra conservado no Bureau Internacional de Pesos e Medidas, em Sèvres, na França. Alguns submúltiplos do quilograma: • hectograma (hg), 1 hg 0,1 kg 101 kg • decagrama (dag), 1 dag 0,01 kg 102 kg • grama (g), 1 g 0,001 kg 103 kg • decigrama (dg), 1 dg 0,0001 kg 104 kg • centigrama (cg), 1 cg 0,00001 kg 105 kg • miligrama (mg), 1 mg 0,000001 kg 106 kg Também se utilizam unidades de massa que não fazem parte do SI: • 1 tonelada (1 t) 1.000 kg • 1 libra 0,45 kg Medidas de tempo Para medir o tempo, o ser humano há muito utiliza o movimento dos astros no céu. A rotação da Terra em torno de seu próprio eixo determinou o dia — intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas do Sol pela mesma posição no céu, para um observador fixo na Terra. Cada dia foi então dividido em horas (h), minutos (min) e segundos (s). O segundo é a unidade de tempo do SI. Com base no movimento de translação da Terra ao redor do Sol, determinouse o ano, de modo que cada translação completa corresponde a um ano. Assim, temos as seguintes relações entre as unidades de tempo: • 1 min 60 s • 1 h 60 min 3.600 s • 1 dia 24 h 1.440 min 86.400 s • 1 ano 365 dias 8.760 h 5,26 105 min 3,15 107 s
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E X E R C Í C I O S 9.
A distância da Terra à Lua é 384.000 km. Escreva esse valor em metros e em notação científica com três algarismos significativos.
10.
Quando queremos comprar um calçado, o vendedor nos pergunta que número calçamos. Esse número corresponde a 1,5 vez o comprimento do pé em centímetros. Assim, uma criança cujo pé tem 20 cm de comprimento calça número 30. Sabendo que 1 pé padrão do sistema inglês de unidades equivale a 12 polegadas, qual é o número do calçado que corresponde ao pé padrão?
11.
Um comerciante verifica com uma balança que 1 m de corda tem massa 120 g. Quantos metros dessa mesma corda temos em um rolo cuja massa é 20 kg?
12.
Três objetos, A, B e C, apresentam massas de 0,50 kg, 300 g e 2,5 libras, respectivamente. Qual é a massa, em kg, dos três objetos juntos?
13.
A idade das pessoas pode ser expressa em dias, meses ou anos. Embora não seja usual, pode também ser expressa em segundos. Qual é a ordem de grandeza da idade de um jovem, expressa em segundos?
14.
Uma corrida de Fórmula-1 tem início às 10 h 15 min 20 s e termina às 12 h 05 min 10 s. Qual é o intervalo de duração da corrida expresso em horas, minutos e segundos?
15.
Os seres humanos existem na Terra há aproximadamente 106 anos, enquanto o Universo existe há 10 10 anos. Se usarmos uma escala na qual a idade do Universo seja representada por 1 dia, qual será a representação, em segundos, do tempo de existência da humanidade?
Exercícios complementares: 25 a 29.
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Física no Cotidiano roi e
O FUNCIONAMENTO DO NÔNIO
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Nônio é uma escala secundária que acoplada a uma escala principal permite obter medidas lineares menores do que a menor divisão da escala principal. Deve-se ler o valor da medida da largura do catálogo, utilizando-se o zero da escala do nônio. No exemplo abaixo, vê-se que o zero do nônio se encontra entre 10 e 11 cm da escala principal, indicando e
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que a largura do catálogo é maior do que 10 cm e menor do que 11 cm. Procura-se agora qual é a divisão da escala do nônio que coincide com alguma divisão da escala principal. No exemplo, se vê que a quinta divisão do nônio coincide com uma divisão da escala principal. Assim, a medida da largura do catálogo será: 10,5 cm.
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Escala principal
A quinta divisão do nônio coincide com a divisão da escala principal
Modelo de escala principal e nônio.
E X E R C Í C I O S 16.
Medida da largura de um catálogo.
COMPLEMENTARES
(Acafe-SC) Dentre as potências seguintes, assinale aquela que corresponde à ordem de grandeza do número de habitantes do Brasil, segundo o IBGE. O resultado preliminar, de maio de 2001, verificado no censo 2000 é de 169.590.693 habitantes. 15 6 8 10 12 a)10 b) 10 c) 10 d) 10 e) 10
17.
(UFRRJ) No dia 15 de junho de 2001, segundo os cadernos de economia dos jornais, tínhamos conseguido uma redução no consumo de energia, de 21.588 MW para 18.415 MW, na região Sudeste. Determine a ordem de grandeza dos dois consumos em watts.
Capítulo 1 • Introdução à Física
9
18. (UFRRJ) “O retrato do eleitor ... Dos primórdios de nossa
mero indeterminado de grandezas derivadas. A alternativa que contém somente grandezas fundamentais é: a) comprimento velocidade força. b) massa energia temperatura. c) comprimento massa corrente elétrica. d) energia temperatura carga elétrica. e) comprimento massa energia.
história eleitoral até os dias atuais, o eleitorado brasileiro passou por mudanças profundas. Durante cinqüenta anos, entre 1880 e 1930, a massa de eleitores correspondeu a apenas 6% da população do país. Hoje, com mais de 115 milhões de pessoas aptas ao voto, o eleitorado equivale a 70% da população. É um crescimento monumental, que jamais foi acompanhado, de uma radiografia nítida dos votantes.” (Revista Veja, “O retrato do leitor”, 31/07/2000.) Segundo a pesquisa, a ordem de grandeza dos números de pessoas aptas a votar é de: 5 6 7 8 9 a) 10 b) 10 c) 10 d) 10 e) 10 19.
20.
21.
10
(Uerj) “O acelerador de íons pesados relativísticos de Brookhaven (Estados Unidos) foi inaugurado com a colisão entre dois núcleos de ouro, liberando uma energia de 10 trilhões de elétrons-volt. Os cientistas esperam, em breve, elevar a energia a 40 trilhões de elétrons-volt, para simular as condições do Universo durante os primeiros microssegundos após o Big Bang.” (Revista Ciência Hoje , setembro de 2000.) Sabendo que 1 elétron-volt é igual a 1,6 1019 joules, a ordem de grandeza da energia, em joules, que se espera atingir em breve, com o acelerador de Brookhaven, é: 8 7 6 5 a) 10 b) 10 c) 10 d) 10
24.
(UFV-MG) Utilizando uma trena milimetrada (a menor divisão da escala é 1 milímetro), um estudante mede o comprimento de uma mesa. A trena, normalmente uma fita metálica com 10 m ou 20 m de comprimento, é usada principalmente para medir terrenos. Considerando a precisão do instrumento utilizado, a opção que representa a medida, em metros, feita pelo estudante com o número correto de algarismos significativos é: a) 1,234567 b) 1,23456 c) 1,2345 d) 1,23 e) 1,2 (UFPE) A figura apresenta medidas de uma mesa efetuadas com instrumentos de precisões diferentes. Escolha, dentre as E medidas apresentadas a seguir, a mais D precisa: a) A 2,5 cm C b) B 35,0 mm c) C 135 cm A d) D 15 mm B e) E 1,15 m
22.
(UFU-MG) Uma lata contém 18,2 litros de água. Se você despejar mais 0,2360 litro, o volume total terá um número de algarismos significativos igual a: a) dois. b) três. c) quatro. d) cinco. e) seis.
23.
(PUC-PR) Para descrever os fenômenos da Natureza, a Física utiliza sete grandezas fundamentais, e um nú-
Parte I • MECÂNICA
(UFC-CE) O sistema internacional de unidades e medidas utiliza vários prefixos associados à unidade-base. Esses prefixos indicam os múltiplos decimais que são maiores ou menores do que a unidade-base. Assinale a alternativa que contém a representação numérica dos prefixos: micro, nano, deci, centi e mili, nessa mesma ordem de apresentação. 9 12 1 2 3 a) 10 , 10 , 10 , 10 , 10 6 2 3 9 b) 10 , 10 , 10, 10 , 10 6 12 1 2 3 c) 10 , 10 , 10 , 10 , 10 12 1 3 2 6 d) 10 , 10 , 10 , 10 , 10 6 9 1 2 3 e) 10 , 10 , 10 , 10 , 10 9
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25.
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(UFRRJ) Admitindo-se que uma célula tenha um comprimento de 106 m e que um átomo tenha um diâmetro de 1010 m, o número de átomos enfileirados equivalentes ao comprimento da célula é igual a: a) 1.000 c) 100.000 e) 10.000.000 b) 10.000 d) 1.000.000 e
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26.
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(Univali-SC) Um rolo de papel higiênico tem 5 cm de diâmetro interno, 11 cm de diâmetro externo e contém 50 m de papel. A ordem de grandeza da espessura média do papel é, em milímetros: 1 2 3 4 5 a) 10 b) 10 c) 10 d) 10 e) 10 r
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27.
(UFJF-MG) Supondo-se que um grão de feijão ocupe o espaço equivalente a um paralelepípedo de arestas 0,5 cm 0,5 cm 1,0 cm, qual das alternativas abaixo melhor estima a ordem de grandeza do número de feijões contido no volume de um litro? 2 3 4 5 a) 10 b) 10 c) 10 d) 10 e) 10
28.
(Unicamp-SP) Durante uma tempestade de 20 minutos, 10 mm de chuva caíram sobre uma região cuja área total é 100 km2. 3 a) Sabendo-se que a massa de 1 cm de água é 1 g, qual foi a massa de água que caiu? b) A partir de uma estimativa do volume de uma gota de chuva, calcule o número médio de gotas que caem em 1 m2 durante 1 s.
29.
(Uerj) Os 4,5 bilhões de anos de existência da Terra podem ser reduzidos a apenas 1 ano, adotando-se a seguinte escala: 1 minuto 9 103 anos. Desse modo, se o aparecimento dos primeiros mamíferos se deu em 16 de dezembro, os primeiros primatas surgem em 25 de dezembro. Utilizando-se a escala, a ordem de grandeza, em séculos, entre essas duas datas é igual a: 8 6 4 2 a) 10 b) 10 c) 10 d) 10
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