APLICACIONES APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DIFERENCIALES A LA INGENIERIA DE MINAS
APLICACIÓN 1 En la minería es muy común buscar métodos confiables y seguros para transportar cargas que en este caso son toneladas de rocas y se debe tomar en cuenta el tipo de material que se utilizara y su resistencia. Cierta cadena uniforme de A metros de largo siendo enrollada sin tensión sobre el piso. El extremo de la cadena se se jala verticalmente hacia arriba usando una fuerza constante de B Néwtones. La cadena pesa W néwtones por metro. Determine la altura o profundidad del extremo sobre el nivel del suelo al tiempo t.
Tomemos en cuenta la siguiente relacion, X = x(t) Altura en el extremo de la cadena en el aire a un tiempo t, V = d x/d t Tomando en cuenta que la dirección positiva es hacia arriba. En la porción de la cadena que está en el aire en el tiempo t se tienen las siguientes: Peso: Masa: Fuerza Neta:
P = (Xmetros) (Wnewtones/metro) = WX, (a) m = P/g = WX/g, (c) FN = B – P = B – WX, (c)
Tomando en cuenta, F = (d /d t)(mv), (d) reemplazando (b) y (c) en (d), (d /d t)(WX/g)V = B – WX X(d v/d t) + V(d X/d t) = g[B/W – x] Se tiene , X(d 2X/d 2t) + (d X/d t)2 + gX = Bg/W Esta es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden de la forma, F(X,X ,X ) = 0 Se la puede resolver por reducción de orden, sustituyendo V = (X`) aplicando la regla de la cadena, la ecuación resultante queda de la siguiente manera: ’
’’
(X.V)(d V/d X) + V2 = g[B/W – x] M(X,V)d X + N(X,V)d V = 0 (V2 + gX – Bg/W)d X + (XV)d V
Esta ecuación diferencial no es exacta,la cual se debe multiplicar por un factor integrante obteniéndose: (1/2)X2V2 + (g/3)X3 – (Bg/2W) X2 = C Tomamos en cuenta que la cadena está en el suelo por lo tanto X(0) = 0, V > 0, entonces, C=0 Por remplazo se obtiene esta ecuacion de primer orden (d X/d t) = ( Bg/W - (2g/3)X) Resolviendo por separación de variables - (3/g)( Bg/W – (2g/3)X)1/2 = t + C 2
Para X(0) = 0
C2 = (-3 (Bg/W))/g Despejando x de la ecuación y sustituyendo el valor de C 2 se obtiene (3/g)( Bg/W) – (2g/3)X= (t + (-3 (Bg/W))/g)2 X(t) =[(t + (-3 (Bg/W))/g)2 -(3/g)( Bg/W)]3/2g
ECUACIÓN GENERAL
ECUACIONES DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN APLICADA A LA I NGENIERIA DE MINAS
ANTIGÜEDAD DE UN FÓSIL: PARA DETERMINAR LA EDAD DE LOS MANTOS DE CARBÓN.
Se analizó un hueso fosilizado y se encontró que contenía la centésima parte de la cantidad original de C-14. Determine la edad del fósil. kt Partiendo de que A(t)=A0e . Para calcular el valor de la constante de decaimiento aplicamos el hecho que, A0/2 = A(5600), o sea, A0/2 = A0e5600k. Entonces, -1
5600k = In (1/2) = In 2 = - ln 2
De donde,
k = -(ln 2)/5600 = -0,00012378 Por lo tanto tenemos para,
A(t) = A0/1000 Igualando,
A0/1000 = A0e-0.0012378t De modo que,
-0,00012378t = In (1/1000) = In 1000 -1 = - ln 1000 Así,
t = -(ln 1000)/-0,00012378 t ≈ 55.800 En realidad, la edad determinada en el ejemplo 3 está en el límite de exactitud del método. Normalmente esta técnica se limita a unos 9 periodos medios del isótopo, que son unos 50.000 años. Una razón para ello es que el análisis químico necesario para una determinación exacta del C-14 remanente presenta obstáculos formidables cuando se alcanza el punto de
A0/1000. También, para este método se necesita destruir una muestra grande del espécimen. Si la medición se realiza en forma indirecta, basándose en la radiactividad existente en la muestra, es muy difícil distinguir la radiación que procede del fósil de la radiación normal de fondo. Pero en últimas fechas, los científicos han podido separar al C-14 del C-12, la forma estable, con los aceleradores de partículas. Cuando se calcula la relación exacta de C-14 a C-12, la exactitud de este método se puede ampliar hasta antigüedades de 70 a 100.000 años. Hay otras técnicas isotópicas, como la que usa potasio 40 y argón 40, adecuadas para establecer antigüedades de varios millones de años. A veces, t ambién es posible aplicar métodos que se basan en el empleo de aminoácidos.
ECUACIONES DIRENCIALES DE ORDEN SUPERIOR O SEGUNDO ORDEN APLICADAS A LA INGENIERIA DE MINAS
CADENA JALADA HACIA ARRIBA POR UNA FUERZA CONSTANTE: PARA DETERMINAR LA POSICION EXACTA DE LA CARGA AL JALARLA CON UNA FUERZA CONSTANTE POR UN MALACATE EN UNA MINA SUBTERANEA.
Una cadena uniforme de 10 pies de largo se enrolla sin tensión sobre el piso. Un extremo de la cadena se jala verticalmente hacia arriba usando una fuerza constante de 5 libras. La cadena pesa 1 libra por pie. D etermine la altura o profundidad del extremo sobre el nivel del suelo al tiempo t. Vea la siguiente figura.
Supongamos que,
X = X(t) Denota la altura del extremo de la cadena en el aire al tiempo t,
V = d x/d t Y además que la dirección positiva es hacia arriba. Para la porción de la cadena que está en el aire en el tiempo t se tienen las siguientes cantidades variables: Peso: Masa:
W = (Xpie) (1lb/pie) = X, (1) m = W/g = X/30 , (2) F = 5 – W = 5 – X, (3)
Fuerza Neta: Teniendo en cuenta que,
F = (d /d t)(mv), (4) Así, reemplazando (2) y (3) en (4),
(d /d t)(X/30)V = 5 – X O
X(d v/d t) + V(d X/d t) = 160 – 32X Entonces, 2 2
X(d X/d t) + ( d X/d t)2 + 32X = 160
La anterior es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden que tiene la forma,
F(X,X’,X’’) = 0 La cual se puede resolver por reducción de o rden. Para resolverla nos devolvemos a su forma anterior y aplicamos, V = escribir como, 2
X’, junto con la regla de la cadena. Entonces la ecuación se puede
(X.V)(d V/d X) + V = 160 – 32X Se reescribe la ecuación anterior de la forma diferencial,
M(X,V)d X + N(X,V)d V = 0 De esta forma vamos a obtener la siguiente ecuación, 2
(V + 32X – 160)d X + (XV)d V
Que aunque no es exacta, se puede m ultiplicar por un factor integrante para volverla exacta, obteniendo entonces, 2 2 3 2
(1/2)X V + (32/3)X – 80X = C
Sabiendo que en un principio la cadena se encuentra toda sobre el suelo, entonces X(0) = 0, resolviendo la ecuación anterior y sabiendo que V > 0, entonces,
C=0 Reemplazando y despejando se obtiene la ecuación de primer orden,
(d X/d t) = √ (160 - (64/3)X) Si resolvemos la ecuación por separación de variables te nemos que, - (3/32)(160 – (64/3)X)1/2 = t + C2 Si resolvemos nuevamente para X(0) = 0 obtendremos que,
C2 = (-3√ 10)/8 Reemplazando C2 en la ecuación, elevando al cuadrado ambos lados despejando X, llegamos al resultado que buscábamos desde un principio, X(t) = (15/2) – (15/2)(1- (((4 √ 10)/15)t)2
de la ecuación y
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA INGENIERÍA DE MINAS
TRAYECTORIA ORTOGONALES A UNA FAMILIA DE CURVAS: PARA APLICARLO A LA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Encontrar la familia de trayectorias ortogonales a la familia de elipses, x2+y2 – x.y = c2
Derivando implícitamente en la ecuación de las elipses obtenemos la ecuación diferencial que verifican,
2x-y(x)-xy’(x)+2y(x)y’(x) Despejando obtenemos que,
y’(x) = (-2x+y(x))/(-x+2y(x)) La familia de trayectorias ortogonales a familia de las elipses tiene pendiente -1/m1 , si la de familia de elipses es m1. Por tanto la ecuación diferencial que verifican las trayectorias ortogonales es,
y’(x) = (x -2y(x))/(-2x+y(x)) Resolviendo la anterior ecuación diferencial y despejando la constante C 1 para dibujarla como una gráfica de contorno obtenemos que,
Uniendo o superponiendo ambas graficas obtenemos,
