"
" Se llama elipse , al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos del mismo plano es constante. Los puntos fijos se acostumbran a llamar focos. y
P ( x, y )
F 1 ( −c, o)
F 2 ( c, o)
x
Ecuación: Considerando los focos sobre el eje \ y la distancia constante la denotaremos por #+ß + !ß sea T ÐB ÐBß CÑ CÑ un punto cualquiera que pertenece a dicho lugar geométrico y sean J" - ß ! y J# - ß ! ß - !ß las coordenadas de los focosß entonces de la definición se tiene
a b a b È
T J" T J# œ #+ ÐB - Ñ# C #
È
ÐB - Ñ # C # œ #+
de donde se obtiene la ecuación - # B# + % œ + #B# + #- # + #C #
ab "
Nótese que en el triángulo J" T J # se tiene que
ab
Aho hora ra de " res resulta ulta À
T J" T J# J" J# Ê + Ð+ # - #ÑB # + #C # œ Ð+ # - #Ñ+ #
sea ,# œ +# - # Í + - y + , en tal caso , #B # + #C # œ , #+ # y de aquí
ab
B# C # # œ" +# ,
ab
#
Discusión de la ecuación # y gráfico Intersecciones con los ejes coordenados
Intersección con el eje \ ß B œ „ + de donde Z"Ð +ß !Ñ y Z #Ð+ß !Ñ son las coordenadas de los vértices, y la longitud del eje mayor que es #+Þ
a b
a b
Intersección con el eje ] ß C œ „ , de donde F" !ß , y F # !ß , son las coordenadas de los extremos del eje menor, cuya longitud es #,Þ Simetrías
ab ab
Al sustituir B por Bß la ecuación # no varía lo que indica que la curva tiene simetría con respecto al eje ] ß analogamente si se sustituye C por Cß es decir la curva es simétrica con el eje \ß lo mismo sucede cuando se sustituyen a la vez B por B e C por Cß la ecuación # no varía, luego tiene simetría con el origen de coordenadas, de aquí que el origen recibe el nombre de centro de simetría. Dominio
Despejando C en términos de Bß se tiene C œ „ a: + Ÿ B Ÿ +Þ +Þ
, +
È
+ ,
È
Recorrido
Despejando B en términos de Cß se tiene B œ „ a: , Ÿ C Ÿ ,Þ ,Þ Concavidad
+ # B #ß lo que nos conduce
, # C #ß lo que nos conduce
È
, , + # B# Ð+ BÑ BÑß lo que que nos nos + + indica que la curva es cóncava hacia abajo aC !Þ Nóte Nótese se tamb tambié ién n que que À si + Ÿ B Ÿ + Í
y
a B2 b
a F 2
F 1
V 1
V 2 c
B1
c
x
Elementos de una elipse:
a b a b a b a b
1. Sean J" y J # los focos de la elipse, la recta que pasa por los focos se suele llamar eje focalß en donde J" -ß ! y J # -ß ! ß - !Þ 2. El eje focal corta a la curva en dos puntos Z" y Z # llamados vértices, cuyas coordenadas son À Z" +ß ! y Z# +ß ! $Þ El segmento del eje focal comprendido entre los vértices, Z"Z#ß se llama eje mayor cuya longitud es #+Þ El valor de + se llama semieje mayor. %Þ El punto medio G del segmento que une los focos, se llama centro de simetría de la curvaÞ &Þ La recta que pasa por G y es perpendicular al eje focal se llama eje normal. 6. El segmento del eje normal comprendido entre los puntos, F" F# ß se llama eje menor cuya longitud es #,Þ El valor de , se llama semieje menor. (Þ Cualquier recta que pasa por el centro de simetría Gß se llama diámetro de la elipse. 8. El segmento que pasa por un foco y corta a la elipse en los puntos E" y E# se llama cuerda focal. 9. Todo segmento comprendido entre un foco y un punto de la elipse se llama radio focal. 10. Una cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje focal se llama lado #,# recto, y su longitud es igual a + ""Þ Por convenio, tomaremos siempre + ,ß si es el caso
B# C# # œ ", los +# ,
B# C# vértices de la elipse yacen sobre el eje \ß y si fuese # # œ "ß los vértices se , + encuentran sobre el eje ] Þ
"#Þ Se define por excentricidad de la elipseß al cuociente entre la distancia desde un foco al centro de simetría y la longitud del semieje mayor, es decir /œ
ß note que siempre / " +
Observe que si / Ä ! la elipse tiende a una circunferencia y si / Ä " la elipse tiende a un trazo.
" Þ
Sea el punto Ð2ß5Ñ el centro de simetría de una elipse, por tanto las ecuaciones de traslación paralela de los ejes coordenados son: B œ B w 2 e C œ C w 5ß y la ecuación de la elipse con respecto a los nuevos ejes \ w ] w cuyo origen es el punto Ð2ß5Ñ, es:
B w# C w# ÐB 2Ñ# ÐC 5Ñ # # œ " de donde œ" +# , +# ,# Obsérvese que los vértices son: Z" Ð2 +ß 5 Ñ y Z# Ð2 +ß 5 Ñ y los focos: J" Ð2 -ß 5 Ñ y J#Ð2 -ß 5 Ñ y
a a
b
F 2
F 1
V 1
V 2
k
c
c x
h
Analogamente para el caso de
ÐC 5Ñ# ÐB 2Ñ# œ" +# ,# cuyo gráfico es y
h
k
O
x
Se llama hipérbola , al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos del mismo plano es constante. Los puntos fijos se acostumbran a llamar focos. y
P ( x, y )
F 1 ( −c, o)
F 2 ( c, o)
x
Ecuación: Considerando los focos sobre el eje \ y la distancia constante la denotaremos por #+ß + !ß sea T ÐBß CÑ un punto cualquiera que pertenece a dicho lugar geométrico y sean J" -ß ! y J# -ß ! ß - !ß las coordenadas de los focosß entonces de la definición se tiene
a b a b ¹È
| T J" T J# | œ #+ ÐB -Ñ# C #
È
¹
ÐB -Ñ # C # œ #+
de donde se obtiene la ecuación - # B# + % œ + #B# + #- # + #C #
ab "
Nótese que en el triángulo J" T J # se tiene que
ab
lT J " T J # l J" J# Ê - +
Ahora, de " resulta À
Ð- # +#ÑB # + #C # œ Ð- # + #Ñ+ #
sea ,# œ - # +# Í - + y - , en tal caso , #B # + #C # œ , #+ # y de aquí
ab
B# C # # œ" +# ,
ab #
Discusión de la ecuación # y gráfico Intersecciones con los ejes coordenados
Intersección con el eje \ß B œ „ + de donde Z"Ð +ß !Ñ y Z #Ð+ß !Ñ son las coordenadas de los vértices.
Intersección con el eje ] ß no tiene. Simetrías
ab ab
Al sustituir B por Bß la ecuación # no varía lo que indica que la curva tiene simetría con respecto al eje ] ß analogamente si se sustituye C por Cß es decir la curva es simétrica con el eje \ß lo mismo sucede cuando se sustituyen a la vez B por B e C por Cß la ecuación # no varía, luego tiene simetría con el origen de coordenadas, de aquí que el origen recibe el nombre de centro de simetría.
Dominio
Despejando C en términos de Bß se tiene C œ „ a: B Ÿ + ” B +
, +
È
+ ,
È
B# + #ß lo que nos conduce
Recorrido
Despejando B en términos de Cß se tiene B œ „ a: _ Ÿ C Ÿ _Þ Concavidad
, # C #ß lo que nos conduce
È
, , B# + # ÐB +Ñß lo que + + nos indica que la curva es cóncava hacia abajo aC !Þ Nótese también que À si B Ÿ + ” B + Í
y
y a
b
F 1
V 1
a
V 2
=
b x a
F 2
x
b
c
c y
= −
b x a
Elementos de una hipérbola:
a b a b a b a b
1. Sean J" y J # los focos de la hipérbola, la recta que pasa por los focos se suele llamar eje real o trasversoß en donde J" -ß ! y J# -ß ! ß - !Þ 2. El eje real corta a la curva en dos puntos Z" y Z # llamados vértices, cuyas coordenadas son À Z" +ß ! y Z# +ß !
$Þ El valor de + se llama semieje real. El valor de , se conoce por semieje conjugado o imaginario. %Þ El punto medio G del segmento que une los focos, se llama centro de simetría de la curvaÞ &Þ La recta que pasa por G y es perpendicular al eje real se llama eje imaginario. 6Þ Cualquier recta que pasa por el centro de simetría Gß se llama diámetro de la hipérbola. 7. El segmento que pasa por un foco y corta a la hipérbola en los puntos E" y E# se llama cuerda focal. 8. Todo segmento comprendido entre un foco y un punto de la hipérbola se llama radio focal. 9. Una cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje focal se llama lado #,# recto, y su longitud es igual a + B# C # "0Þ Si es el caso # # œ " , los vértices de la hipérbola yacen sobre el eje \ß + , # # C B y si fuese # # œ "ß los vértices se encuentran sobre el eje ] Þ + , "1Þ Se define por excentricidad de la hipérbolaß al cuociente entre la distancia desde un foco al centro de simetría y la longitud del semieje mayor, es decir
/œ
ß note que siempre / " +
, B# C # "2Þ Las rectas C œ „ Bß se llaman asíntotas de la hipérbola # # œ ", en + + , + C # B# tanto que C œ „ Bß son las asíntotas de la hipérbola # # œ " , + ,
Þ
Sea el punto Ð2ß5Ñ el centro de simetría de una hipérbola, por tanto las ecuaciones de traslación paralela de los ejes coordenados son: B œ B w 2 e C œ C w 5ß
y la ecuación de la hipérbola con respecto a los nuevos ejes \ w ] w cuyo origen es el punto Ð2ß5Ñ, es:
B w# C w# ÐB 2Ñ# ÐC 5Ñ # # œ " de donde œ" +# , +# ,# Obsérvese que los vértices son: Z" Ð2 +ß 5 Ñ y Z# Ð2 +ß 5 Ñ y los focos: J" Ð2 -ß 5 Ñ y J#Ð2 -ß 5 Ñ y y − k = a
b
F 1
a
V 1
V 2
b a
( x h ) −
F 2
b
k
c
c
y − k = − ba ( x − h) h
x
Note que las ecuaciones de sus asíntotas son en este caso C5 œ „
, ÐB 2Ñ +
Analogamente para el caso de
ÐC 5Ñ# ÐB 2Ñ# œ" +# ,# cuyo gráfico es y y − k = a ( x − h ) b
b
b
F 1 V 1
c
a
a
c
V 2
F 2
k y
h
−
k
x
= −
a b
( x
−
h)
La ecuación de la tangente a la elipse o hipérbola T! ÐB! ß C!Ñ de ella es
B# C # „ # œ " en el punto +# ,
B! B C! C „ # œ" +# , En efecto, T! ÐB!ß C!Ñ pertenece a estas curvas entonces sea
B#! C!# „ œ" +# ,#
C C! œ 7ÐB B! Ñ
ab ab "
#
la ecuación de la tangente en cuestión, entonces efectuando la intersección de esta tangente con las curvas resulta ,# B „ +# ÒC! 7ÐB B! ÑÓ# œ +# ,# , # B! imponiendo la condición de tangencia ? œ !ß resulta 7 œ … # ß por tanto de + C!
ab
# se tiene C C! œ …
ab
, # B! ÐB B! Ñ de aquí ocupando " se obtiene +# C !
B! B C! C „ # œ" +# , por supuesto que el signo " " para la elipse y el " " para la hipérbola
Para los casos de
ÐB 2Ñ# ÐC 5Ñ# „ œ" +# ,# las ecuaciones de las tangentes en T! ÐB! ß C! Ñ sonß respectívamente ÐB! 2ÑÐB 2Ñ ÐC ! 5ÑÐC 5Ñ „ œ" +# ,# la demostración se deja propuesta.
Una ecuación de la forma EB# GC # HB IC J œ !
ab "
Representa el lugar geométrico de una elipse real, si y solo si H# I # EG ! con E Á G y J ß %E %G note que si E œ G y %EJ H # I # ß el lugar, es el de una circunferencia H# I # EG ! con E Á G y J œ ß entonces el lugar se resume a un punto %E %G H# I # EG ! con E Á G y J ß entonces se dice que no hay un lugar %E %G geométrico real Para el caso de una hipérbola, H# I # EG ! y J Á ß entonces el lugar geométrico es el de una hipérbola %E %G real H# I # EG ! y J œ ß entonces el lugar geométrico es el de # rectas que %E %G se cortan. La demostración de estas afirmaciones, se deja al estudiante.
Þ
1. Determine: vértices, focos y las ecuaciónes de las asíntotas de la hipérbola #B# C # )B #C $ œ ! Solución.
ÐB #Ñ# ÐC "Ñ# Completando cuadrados se obtiene œ " de aquí se # % deducen: + œ Z" Ð#
È
È
#ß , œ # y - œ
#ß "Ñß Z# Ð#
È
È
' con lo que
#ß "Ñ ß J"Ð#
È
'ß "Ñ y J#Ð#
y las ecuaciónes de sus asíntotas C " œ „
È
È
'ß "Ñ
#ÐB #Ñ
2. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto
Š È ‹ ( # ß$
ß tiene su centro en el
origen, su eje menor coincide con el eje \ y la longitud de su eje mayor es el doble de la de su eje menor.
Solución.
C# B# # œ "ß donde + œ #, entonces ,# +
La ecuación pedida es de la forma
È
C# B# # œ " como el punto ,# %, ( % ,#
(
#
ß$
pertenece a la elipse se debe tener
* C# B# # # œ " Ê , œ %ß con lo que œ" %, % "'
a b a b
3. Los vértices de una hipérbola son los puntos "ß $ y $ß $ y su excentricidad $ es . Hallar la ecuación de la hipérbola, las coordenadas de sus focos y las # longitudes de sus ejes transverso, conjugado y de cada lado recto. Solución.
a b
Nótese que su centro de simetría es el punto "ß $ entonces su ecuación es de la forma
È
ÐB "Ñ# ÐC $Ñ# œ ", donde +# œ % # # + ,
+# , # $ ÐB "Ñ# ÐC $Ñ# œ œ Ê , # œ &ß entonces œ" + + # % & Ahora como - œ $ Ê J"Ð #ß $ Ñ y J# Ð%ß $ Ñ como / œ
Longitud del eje trasverso #+ œ %ß longitud del eje conjugado #, œ # #, # longitud de cada lado recto œ& +
È
& y la
%Þ Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene por focos y vértices los vértices y focos B# C# de la elipse œ " , y luego encuentre las ecuaciones de sus asíntotas. #& * Solución.
y
4
3
=
4
V 1
3 x 4
V 2 x
3 5
5 y
Para la elipse +# œ #& y , # œ * Ê - # œ "'
= −
3 x 4
Para la hipérbola +# œ 16 y - # œ * Ê , # œ "'
C# B# Por tanto la ecución pedida es œ" "' * $ Las ecuaciones de sus asíntotas son C œ „ B % 5. Demostrar que el triángulo formado por una tangente cualquiera a una hipérbola y sus asíntotas tiene un área constante Demostración.
Sin perder generalidad se puede tomar la hipérbola de ecuación
C# B# # œ" +# ,
y
y
=
a
b x a
A b
F 1
V 1
P0
O
B
x
F 2
c y
= −
b x a
a b
ab ab ab
@# ?# Sea T! ?ß @ que pertenece a la hipérbola, entonces # # œ " " + , La ecuación de la tangente en T! está dada por , # ?B +# @C œ + # , # # , Las ecuaciones de las asíntotas son: Cœ „ B $ + Resolviendo el sistema formado por # y $ ß obtenemos las coordenadas de E y Fß es decir À
ab ab
EÐ
+# , +, # +#, +, # ß Ñ y FÐ ß Ñ ?, @+ ?, @+ ?, @+ ?, @+
Ahora, el área del triángulo SEF está dado por
ab
âââ âââ âââ â
! +# , " E
! +, # ?, @+ +, # ?, @+
"
âââ âââ âââ â
" œ "
+$ , $ ?# , # @ # + #
pero de " À ?# , # @ #+ # œ + #, # con lo que finalmente E
6. Demuestre que la normal a una elipse en uno cualquiera de sus puntos, es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto. Solución.
No se pierde generalidad al tomar la elipse cuya ecuación es , # B# + # C # œ + # , #
a b
ab "
Sea ( la normal a la elipse en un punto T! ?ß @ de la curva. y
η P0
α β F 1
F 2
x
Sean ! el ángulo formado por J" T! y (ß y " el ángulo entre J#T ! y ( , vamos a demostrar que ! œ " Þ Sabemos que la ecuación de la tangente en T! ß está dada por ,# ?B +# @C œ + # , # ,# ? +#@ en que su pendiente es 7> œ # por tanto 7( œ # + @ , ? Por otra parte las pendientes de los radios vectores @ @ respectivamente À y ß entonces ??-
J" T!
y
J#T ! son
@ +# @ # , # ?@ +# ?@ + #-@ ? , ? >1 ! œ œ # # @ +# @ , ? , #-? + # @ # " ? - ,# ? imponiendo la relación - # œ +# , # y la condición , #? # + #@ # œ + #, # y simplificando resulta >1 ! œ
-@ ,#
ab "
Analogamente se obtiene también que >1 " œ
ab ab
-@ ,#
ab #
Por tanto por " y # se tiene ! œ " Þ 7. Demostrar que las tangentes a la elipse ,# B# +# C # œ + #, # y a la circunferencia
a b
B# C # œ +# en T! Ð?ß @" Ñ y U! ?ß @# ? Á ! respectivamente, se cortan en un mismo punto sobre el eje \Þ Demostración.
Las tangentes respectivas en los puntos indicados son.
,# ?B +# @" C œ +# , # y ?B @# C œ + # +# intersecando cada una con el eje \ß se obtiene el punto Ð ß !Ñ en ambos casos. ? 8. Demostrar que las tangentes a la elipse , # B# +# C # œ + #, # en una dirección 7 son: C œ 7B „
È
7# + # , #
Demostración.
Sea el haz de rectas tangentes dadas por: C œ 7B 8ß intersecando con la elipse dada se tiene Ð,# +# 7# ÑB# #78+ # B +# Ð8# , #Ñ œ ! Ahora, imponiendo la condición de tangencia ˜ œ ! resulta %7# 8# +% % Ð, # + #7 #Ñ+ #Ð8 # , #Ñ œ ! de donde resolviendo para 8ß se obtiene 8 œ „ C œ 7B „
È
È
7 #+ # , # luego la tangente es
7# + # , # .
9. Determine el lugar geométrico de los puntos desde donde se puedan trazar tangentes perpendiculares entre si a la elipse ,# B# +# C # œ + #, # . Solución.
È
7# +# , # las tangentes a la elipse dada en cierta dirección B +# 7ß con 7 Á ! y sus perpendiculares serán de la forma C œ „ ,# # 7 7 Eliminando el parámetro 7 entre ambas familias, obtenemos los puntos de intersección, que es el lugar geométrico en cuestión Sean C œ 7B „
Ê
De la primera se obtiene
C 7B œ „
De la segunda se obtiene
B 7C œ „
È È
7# + # , # 7# , # + #
De donde elevando al cuadrado cada una y sumando miembro a miembro se tiene Ð" 7# ÑC # Ð" 7#ÑB# œ + #Ð" 7 #Ñ , #Ð" 7 #Ñ y de aquí resulta la circunferencia con centro en el origen y radio decir
È
+# , # es
B# C # œ +# , # ß que es la ecuación del lugar geométrico pedido. 10. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de las proyecciones de los focos de la elipse ,# B# +# C # œ + #, # sobre las tangentes a la misma en una dirección 7ß con 7 Á ! dada.
Solución.
Sabemos que la familia de tangentes a la elipse dada en cierta dirección 7ß están dadas por C œ 7B „
È
7# +# ,# Í C # #7BC 7#B# œ + #7 # , #
ß
ab "
Las perpendiculares a estas tangentes porlos focos, están dadas por Cœ
" ÐB „ -Ñ Í 7C B œ … - Í 7# C# #7BC B# œ - # œ + # , # 7
ab
Eliminando el parámetro 7 entre esta última ecuación y " se obtiene la ecuación del lugar geométrico pedido, que resulta ser À B# C # œ + # Þ
a b
11. El punto medio de la cuerda de una elipse es &ß # Þ Hallar la ecuación de la cuerda, si la elipse tiene por ecuación B# %C# 'B )C $ œ !Þ Solución.
Sea C # œ 7ÐB &Ñ la ecuación de la cuerda en cuestión, intersecando con la ecuación de la elipse dada, obtenemos: Ð" %7#ÑB# Ð)7 %!7# 'ÑB "!!7# %!7 $ œ ! sabemos que si B" y B# son las raíces de ésta última ecuación, se cumple que )7 %!7# ' B" B# œ ß por otra parte también B" B# œ 10 " %7# entonces, ' %!7# )7 œ "!Ð" %7# Ñ de aquí se obtiene 7 œ
" por #
" tanto la ecuación de la cuerda resulta ser C # œ ÐB &ÑÞ #
a b
12. Sea 6 la tangente en T ?ß @ a la elipse , # B# + #C # œ + #, # . Sean X" y X # las intersecciones de 6 con las tangentes trazadas desde los vértices de la elipse. Demostrar que la circunferencia que tiene por diámetro el trazo X" X # pasa por los focos Demostración. y
F 2
F 1 •
•
x
T 1
P ( u, v ) T 2
Primeroß determinamos las coordenadas de X" y X# ß intersecando la ecuación de la tangente en T ß que está dada por , # ?B +# @C œ +#, # con B œ „ +ß de ,# ? ,# ? donde resultan: X" +ß " y X2 +ß " @ + @ +
Œ Š ‹ Œ
Š ‹
Por otra parte la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos X" y X # diametralmente opuestos, esta dada por
Š ‹
Š ‹
,# ? ,# ? ÐB +ÑÐB +Ñ ÒC " ÓÒC " Óœ! @ + @ + Esta circunferencia cuando corta al eje B se debe tener C œ !ß así resulta
Œ
,% ?# B + # " # @ + #
#
a b
œ !ß pero como
T ?ß @ satisface la ecuación de la
?# @# elipse, entonces , ? + @ œ + , Í " # œ # así se tiene + , # #
# #
# #
B# +# , # œ ! Í B# œ + # , # œ - # Í B œ „ -ß luego la circunferencia pasa por los focos. 13. Demuestre que el producto de las distancias desde los focos de una elipse, a una tangente cualquiera de ella, es constante. Demostración. y
P ( u, v )
F 1
O A
x
F 2
Sabemos que la ecuación de la tangente en el punto TÐ?ß@Ñ de la elipse, está dada por ,# ?B +# @C œ + # , #, por tanto las distancias ." y .# desde los focos J" -ß ! y J# -ß ! son:
a b a b ." œ
l -?,# +# ,# l
È
?# , % @# + %
y .2 œ
l-?, # +# , # l
È
?# , % @# + %
Así, ." . # œ Entonces,
l- # ?# ,% + % ,%l ß pero , #? # + #@ # œ + #, # y - # œ + # , # # % # % ? , @ +
l- # ?# +% l l- # ?# + % l l- #? # + %l # # ." . # œ , œ, œ, # # # # ? , + % ? #+ # ?# , # @,# + % ?# , # Ð" ?+# Ñ+ % #
% # # l- # ?# +% l # + - ? œ, # # œ, œ ,# # % # # % ? Ð, + Ñ + - ? + #
14. Determinar las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto elipse cuya ecuación es: #B# $C # B C & œ !Þ
a b
$ß " a la
Solución.
Las ecuaciónes de la tangentes mencionadas son de la forma C " œ 7ÐB $Ñß intersecando con la elipse se obtiene: Ð# $7#ÑB# Ð ")7# (7 "ÑB #(7# #"7 " œ ! Imponiendo la condición de tangencia ˜ œ ! Ê Ð ")7# (7 "Ñ# %Ð# $7#ÑÐ#(7# #"7 "Ñ œ ! resolviendo para 7 se obtiene: 7" œ " ” 7 # œ B C # œ ! y *B "*"C #") œ !
* con lo que resultan "*"
a b a b
15. Los extremos de la base de un triánguloson los puntos E !ß ! y F $ß ! Þ Hallar la ecuación del lugar geométrico del vértice G si se mueve de modo que el ángulo de la base GFE es siempre igual al doble del ángulo GEF Solución. y
C ( x, y )
α
2α B
A
x
C C • >1 #! œ ß ! Á ! parámetro B $B Eliminando el parámetro ! se obtendrá la ecuación del lugar geométrico del vértice GÞ De la figura se tiene que: >1 ! œ
Sabemos que À C #>1 ! C C# B # >1 #! œ Í œ Í ÐB "Ñ œ" " >1# ! $B $ C# " # B Se trata de una hipérbola centrada en el punto "ß ! #
a b
a b
16. Probar que la normal en ?ß @ a la hipérbola equilátera B# C # œ +# es @B ?C œ #?@Þ Prueba.
a b
La tangente en ?ß @ está dada por la ecuación ?B @C œ +# por tanto su ? pendiente es 7> œ entonces la pendiente de la normal en dicho punto resulta @ @ 7( œ Þ ? @ Por tanto la ecuación de la normal en dicho punto es C @ œ ÐB ?Ñ de aquí ? se tiene @B ?C œ #?@Þ 17. Demostrar que en una hipérbola equilátera la distancia de un punto de ella , al centro de simetría es media proporcional geométrica entre sus distancias focales. Demostración. y
a P ( x , y ) a
F 1
y
=
x
o
F 2
x
c y
x
= −
La ecuación de la hipérbola es B# C # œ +# y se cumple que - # œ #+ # De la figura À
ST # œ B# C # , "
T J" † T J# œ ÖÒÐB -Ñ# C # ÓÒÐB -Ñ# C# Ó× # "
œ ÒÐB# C# Ñ# - % #- # ÐB# C # ÑÓ #
œ B# C # œ ST # ß pues - % #- #ÐB# C #Ñ œ !
18. Demostrar que la parte de la normal de una hipérbola comprendida entre los ejes +# coordenados queda dividida por la curva en la razón # , Demostración.
y
A P( u, v )
P1
b
B
O
x
a
Vamos a demostrar que TE T" E +# œ œ # TF T" S ,
a b
Determinemos las coordenadas de Eß para lo cual obtenemos la ecuación de la normal en el punto de tangencia T ?ß @ ß que es @+# B ?,# C œ ?@Ð+# , #Ñ intersecando con el eje Cß resulta
Œ
+# , # E !ß @ ß por otra parte note que T"Ð!ß @Ñ entonces se tiene ,#
T" E œ
T" E +# , # +#@ +# @ @ œ ß T S œ @ß luego œ " ,# ,# T" S ,#
19. La tangente en un punto T de la hipérbola ,# B# +# C # œ + #, # corta al eje transversal en X ß y la recta ST corta en V a la tangente en Eß demostrar que VX es paralela a T EÞ Solución. y
R
P (u , v )
b
O
T
A
x
a
a b
Sabemos que la tangente en T ? ß @ a la hipérbola está dada por,
Œ
+# , ?B + @C œ + , ß intersecando con el eje B se tiene X ß ! ß ahora ? @ intersecando B œ + con la recta ST cuya ecuación es C œ B , resulta ? @ + @ @ ? V +ß + ß entonces 7VX œ œ œ 7EX ß por tanto VX llT EÞ ? ?+ +# + ? #
#
# #
Š ‹
a b
20. Sea una cuerda cuyo punto medio es %ß " su ecuación. Solución.
de la hipérbola B# $C# œ ' , Hallar
a b
Sea la ecuación de la cuerda C " œ 7 B % intersecando con la hipérbola se tiene:
a
b
" $7# B# Ð#%7# '7ÑB %)7# #%7 * œ !
#%7# '7 " de aquí se sabe que B" B# œ de donde ÐB" B# Ñ œ %ß luego " $7# # "#7# $7 % % %œ Í 7 œ ß por tanto C " œ B % es la ecuación en " $7# $ $ cuestión.
a b
21. Desde el foco de la hipérbola ,# B# +# C # œ + #, # se traza una perpendicular a una de sus asíntotas. Demostrar que su pie tiene las distancias + y , al centro de simetría y al foco de la hipérbola respectivamente. Demostración. y
d 1
b
O
d 2
F 1 ( c ,0)
x
a
La ecuación de la asíntota que se muestra en la figura es ,B +C œ !ß por tanto .# œ
È
l, † - + † !l +# , #
œ
,œ, -
+ La recta por el foco y perpendicular a la asíntota es C œ ÐB -Ñ de aquí , obtenemos +B ,C +- œ !ß con lo que
." œ
È
l+ † ! , † ! +-l +# , #
œ
+œ+ -
22. Desde el foco de una hipérbola, como centro se describe una circunferencia con radio igual al semieje conjugado. Demostrar que ésta circunferencia es tangente a las asíntotas en los puntos que cortan a la directriz. Demostración.
a b
La ecuación de la circunferencia mencionada es B - # C# œ ,# y las , ecuaciones de las asíntotas son: C œ „ Bß efectuando la intersección con la + # , +# circunferencia se tiene B - # # B# œ , # y resolviendo B œ Ê + +, Cœ „ ß solo dos interseccciones una por cada asíntota y además es tangente en los puntos de intersección con la directriz pues recordemos que su ecuación es +# Bœ . -
a b
23. Bajo que ángulos se cortan la hipérbola equilátera B# C # œ +# y la circunferencia B# C# œ *+# Þ Solución.
Efectuando la intersección de ambas curvas obtenemos 4 puntos, que son: T"
ŠÈ ‹ ŠÈ &+ß #+ ß T#
‹ Š È ‹ Š È
&+ß #+ ß T$
&+ß #+
y T%
‹
&+ß #+
basta considerar T" ß determinamos las tangentes a ambas curvas en este punto, es decir " >" À &+B #+C œ +# Ê 7" œ & # " ># À &+B #+C œ *+# Ê 7# œ & # Luego el ángulo en cuestión estará dado por
È
È È
>1 ) œ
7# 7" œ% " 7#7 "
È
È
& Ê ) œ )$ß '# °
24. Demostrar que el producto de las distancias de cualquier punto de la hipérbola B# C # œ +# a sus asíntotas es constante. Solución.
a b È È
Sea T! B! ß C! un punto cualquiera de la hipérbola, entonces: ." .# œ
lB! C! l lB! C!l
hipérbola.
#
#
l B!# C!# l " œ œ + #ß pues # #
T !
pertenece
a
la
25. Determine la ecuación de la hipérbola sabiendo que sus asíntotas son las rectas B C " œ ! ß C B $ œ !ß cuyo eje real es paralelo al eje ] y que pasa por el punto !ß % Þ
a b
Solución.
El centro de simetría de la hipérbola en cuestión, está en la intersección de sus asíntotas, dado por la solución de BC"œ! que resulta ser
CB$œ!
a b
" ß # así la ecuación pedida es ÐC #Ñ# ÐB "Ñ# œ" +# ,#
+ œ " Í + œ , , y como la hipérbola pasa por el punto , Ð% #Ñ# Ð! "Ñ# !ß % Ê œ " Í , # œ $Þ Así resulta la ecuación dada por # # , ,
pero como C œ B $ Ê
a b
ÐC #Ñ# ÐB "Ñ# œ" $ $ 26. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia al eje ] es siempre igual a la mitad de su distancia al punto $ß# Þ Grafique la curva.
a b
Solución. Y
Y
P( x , y )
2
2
3
O
a b
1
−
X
X
T B ß C debe cumplir lBl œ
" #
È
ÐB
$Ñ#
ÐC
#Ñ#
ÐB "Ñ# ÐC #Ñ# Í œ" % "#
a b
Se trata de una hipérbola de centro de simetría G " ß #
Þ
1. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto excentricidad de
È #
&
Œ È "ß
$ #
$
y tiene una
Þ
Respuesta.
%B# #!C# œ "$*
a b a b
2. Los puntos $ß ! y $ß ! son los focos de una elipse y la longitud de cualquiera de sus lados rectos es *Þ Hallar la ecuación dela elipse. Respuesta.
#(B# $'C # œ "!&$ 3. Si T Ð?ß @Ñ es un punto cualquiera de la elipse ,# B# +# C # œ + # , #Þ Demostrar que los radios vectores son: <" œ + /? y <# œ + /?Þ %Þ Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que dividen a las ordenadas de los puntos de la circunferencia B# C # œ "' en la razón " À %Þ Respuesta.
B# #&C# œ "'.
ŠÈ ‹ Š È ‹
5. Una elipse está centrada en el origen y su eje mayor coincide con el eje BÞ Hallar su ecuación sabiendo que pasa por los puntos 'ß " y #ß # Þ
Respuesta.
B# #C # œ ).
a b
a b
6. La base de un triángulo es de longitud fija, siendo sus extremos los puntos !ß ! y 'ß ! Þ Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico del vértice opuesto que se mueve de modo que el producto de las tangentes de los ángulos de las bases es siempre igual a %Þ Respuesta.
%B# C # #%B œ !. 7. Los extremos de un diámetro de la elipse , # B# +# C # œ + #, # son T" y T#Þ Si J es uno de los focos de la elipse. Demostrar que la suma de los radios vectores J T " y J T # es igual a la longitud del eje mayor.
8. Si 5 es un número positivo. Demostrar que la ecuación $B# %C# œ 5 representa " a una familia de elipses, cuya excentricidad es . #
a b a b a
b
9. El centro de una elipse es el punto #ß % ß el vértice y el foco de un mismo lado del centro son los puntos #ß % y "ß % respectivamente. Hallar la ecuación de la elipse, su excentricidad, la longitud de su eje menor y la de cada lado recto. Respuesta.
a b a b
( B #
#
"' C %
#
œ ""#ß / œ !Þ(&ß # , œ #
È
(ß
( #
10. Dada la elipse B# %C # 'B "'C #" œ !ß determine: La ecuación canónica, su centro de simetría, vértices, focos, longitudes de sus ejes mayor y menor, longitud de su lado recto y excentricidad. Respuesta.
a b a b aÈ b a b Š È ‹ B$
$
#
% C#
#
œ %à $ß # à &ß # ß Ð"ß #Ñ à
$ß # à % y #à "à
$
#
Š È ‹ $
$ß # ß
Þ
11. Desde cada punto de la circunferencia B# C # %B %C ) œ ! se traza una perpendicular al diámetro paralelo al eje BÞ Hallar la ecuación del lugar gemétrico de los puntos medios de estas perpendiculares. Respuesta.
B# %C # %B "'C % œ ! 12. Demostrar que las tangentes a una elipse trazadas desde los extremos de un diámetro cualquiera son paralelas entre si.
a b
13. Desde el punto #ß ( ß se trazan paralelas a la elipse #B# C # #B $C # œ !Þ Hallar las coordenadas de los puntos de contacto. Respuesta.
a b Œ "ß " à
"$ #* ß * *
14. Hallar las ecuaciones de las tangentes a a elipse $B# C # %B #C $ œ ! y que son perpendiculares a la recta B C & œ !Þ Respuesta.
B C " œ !à $B $C "$ œ !
a b
15. Hallar la ecuación de la tangente trazada desde el punto ?ß @ a la elipse
a b
,# B# +# C # œ + #, #ß Note que ?ß @ no pertenece a la elipse. Respuesta.
,# ?B +# @C œ + # , # 16. Demostrar que las tangentes a una elipse en dos puntos diametralmente opuestos, son paralelas.
a
b
17. Para que valores del parámetro >ß los puntos de la forma " >ß #> se encuentran en el interior de la elipse. Respuesta.
" Ÿ> Ÿ
% &
18. Dadas: la elipse ,# B# +# C # œ + #, # , la circunferencia B # C # œ , # y la recta C : œ !ß ésta ultima interseca al eje C en el punto R ß a la circunferencia en U RT + y a la elipse en T Þ Demostrar que se verifica œ Þ RU , 19. Si U y U w son puntos de las circunferencias inscrita y exinscrita a una elipse, de modo que un punto T de la elipse tiene la ordenada de U y la abscisa de U w Þ Demostrar que la recta UU w pasa por el origen de coordenadas. 20. El punto medio de una cuerda de la elipse Encontrar la ecuación de la cuerda.
, # B# + # C # œ + # , #
es
a b ?ß @
Respuesta.
,# ? C @ œ # ÐB ?Ñ + @ 21. Demostrar que el módulo de la pendiente, de las tangentes trazadas desde el punto donde un lado recto corta a la elipse es igual a su excentricidad.
a b
22. El lado recto de una elipse corta a ella en Vß se traza una cuerda por el foco J" -ß ! y por el punto Ð!ß ,Ñ que corta en T a dicha elipse. Demostrar que J" T J" V œ J" F J #V siendo J # el otro foco. 23. Demostrar que en toda elipse, la suma de los cuadrados de dos semidiámetros conjugados es igual a la suma de los cuadrados de los dos semiejes. 24. Un segmento EF de longitud ' unidades se desliza de forma que sus extremos se apoyan sobre los ejes cartesianos rectangulares. Entre los puntos E y F se elige un punto tal que T E œ #T FÞ Determine el lugar geométrico descrito por T Þ
Respuesta.
"'B# %C# œ '% 25. Desde un punto cualquiera de una elipse se trazan las rectas que la unen a los vértices E y E w Þ Estas rectas cortan al eje FF w en los puntos Q y R Þ Probar que SQ † SR œ , # .
a b a b
26. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos $ß # y (ß ' ß tiene su centro en el origen y el eje transverso coincide con el eje BÞ Respuesta.
%B# &C# œ "'Þ
a b a b
a b a b
27. Los vértices de una hipérbola son los puntos #ß ! y $ß ! y $ß ! Þ hallar su ecuación y su excentricidad.
#ß ! si sus focos son
Respuesta.
&B# %C# œ #!à "Þ&
a ba
b
28. Los vértices de una hipérbola son los puntos #ß # y #ß % y la longitud de su lado recto es # Þ Hallar su ecuación, las coordenadas de sus focos y su excentricidad. Respuesta.
a b a b
$ C "
#
* B #
#
œ #(à Ð #ß "
È
$Ñà Ð #ß "
È È $Ñà
# $
$
29. Dada la hipérbola #&B# $'C# œ *!! Determine: los focos, sus asíntotas y el área del triángulo determinado por las asíntotas y la tangente en el vértice Z Ð'ß !ÑÞ Respuesta.
J" Ð
È
'"ß !Ñß J#Ð
È
'"ß !Ñà ' C œ „ &Bà $!Þ
30Þ Dada la hipérbola B# %C# 'B "'C #" œ !ß determine: Su ecuación canónica, su centro de simetría, vértices, focos, asíntotas , longitud de su lado recto y excentricidad. Respuesta.
a b a b Š È ‹ % C#
#
$ß #
B$
#
a b a È b
œ "'à $ß # à $ß ! ß Ð"ß #Ñ à
& à #C % œ „ ÐB $Ñà %à
&
Š
$ß #
È ‹
& ß
#
È
31. Si 5 es un número positivo. Demostrar que la ecuación $B# $C# œ 5 representa a una familia de hipérbolas, cuya excentricidad es # .
32. Hallar los puntos de intersección de la recta #B *C "# œ ! con las asíntotas de la hipérbola %B# *C # œ ""Þ Respuesta.
a ba $ß # à
"Þ&ß "
b
33. Demostrar que si las asíntotas de una hipérbola son perpendiculares entre si, la hipérbola es equilátera. 34. Hallar la ecuación de una hipérbola equilátera que pasa por el punto tiene por asíntotas a los ejes coordenados.
a
"ß &
b
y
Respuesta.
BC œ & 35. Demostrar que la distancia de cualquier punto de una hipérbola equilátera a su centro es media proporcional geométrica entre las longitudes de los radios vectores del punto. 36. La excentridad de la hipérbola ,# B# +# C # œ + #, # es /"Þ Si la excentricidad de su hipérbola conjugada es /# Þ Demostrar que /" À /# œ , À +Þ 37. Si ! es el ángulo agudo de inclinación de una asíntota de la hipérbola ,# B# +# C # œ + #, #. Demostrar que su excentricidad es igual a =/- Þ 38. Demostrar que si una recta es paralela a una asíntota de una hipérbola, corta a la curva solamente en un punto.
a b
a b
39. La base de un triángulo es de longitud fija, siendo sus extremos los puntos !ß ! y %ß ! Þ Hallar e identificar el lugar geométrico del vértice opuesto si uno de los ángulos de la base es siempre igual al doble del otro. Respuesta.
$B# C # "'B "' œ !à $B# C # )B œ !Þ 40. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola B# #C # %B )C ' œ ! que son paralelas a la recta %B %C "" œ !Þ Respuesta.
B C " œ !à B C " œ ! 41. Hallar el ángulo formado por las tangentes trazadas desde el punto hipérbola B# C # %B #C & œ !Þ Respuesta.
#$° #$'.
a b
$ß ' ala
42. Demostrar que la elipse #B# C# œ "! y la hipérbola ortogonales entre sí, en sus puntos de intersección.
%C # B# œ % son
43. Demostrar que la pendiente de la tangente a una hipérbola en cualquier extremo de sus lados rectos, es numericamente igual a su excentricidad. 44. Demostrar que el punto de contacto de cualquier tangente a una hipérbola es el punto medio del segmento de tangente comprendido entre las asíntotas. 45. En cualquier punto T ß excepto uno de sus vértices de una hipérbola equilátera, se traza una normal que corta al eje focal en el punto UÞ Si S es el centro de simetría de la hipérbola, demostrar que lST l œ lTUlÞ 46. Demostrar que en una hipérbola equilátera dos diámetros ortogonales tienen longitudes iguales. 47. Por un punto T de una hipérbola se traza una recta 6ß paralela al eje transversal y ésta recta corta a las asíntotas en los puntos U y Vß demuestre que se cumple que T U † T V œ +# y cuano 6 es paralela al eje conjugado se verifica T U † T V œ , #Þ 48. Sean dos hipérbolas equiláteras y concéntricas de modo que los ejes de una de ellas sean las asíntotas de la otra. Demostrar que las hipérbolas se cortan ortogonalmente. 49. Estudiar para que valores de +ß ,ß - la ecuación BC +B ,C - œ ! representa a una hipérbola con asíntotas paralelas a los ejes coordenadosÞ 50. Determinar el área de un rectángulo formado por las perpendiculares bajadas desde los focos de la hipérbola ,# B# +# C # œ + #, # a una tangente cualquiera de ella. 51. Una tangente a una hipérbola se prolonga hasta sus puntos de intersección con sus asíntotas. Encuentre la magnitud ST" † ST# siendo T" y T# los puntos de intersección y S el centro de la hipérbola. 52. Si las asíntotas de una hipérbola forman un ángulo de #= , demuestre que >1 = œ
È
/# "
donde / es su excentricidad. 53. Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene por focos y vértices los vértices y focos de la elipse %B# *C# %)B (#C "%% œ ! respectívamente. Encuentre las asíntotas de la misma. Grafique ambas cónicas. 54. Determine la ecuación de la elipse que tiene por vértices los puntos de intersección de las asíntotas de la hipérbola *B# %C# $'B $#C '% œ ! con el eje ] ß $ $ y que pasa por el punto Ð ß $ÑÞ #
È
55. Determine las coordenadas de los puntos, en los cuales la tangente a la elipse: B# % C # œ % sea paralela a la recta C œ BÞ
Respuesta.
B! œ …
È
% &
È "
ß C! œ „
&
a b
56. Por el punto T #ß ( se trazan tangentes a la elipse #B# C # #B $C œ # Hallar las coordenadas de los puntos de contacto.
Respuesta.
a b Œ "ß " ß
"$ #* ß * *
57. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse $B# C# %B #C $ œ ! que son perpendiculares a la recta B C & œ !
Respuesta.
B C "à $B $C "$ œ !
a b a b
58. Dados los focos J" #ß $ y J #ß " y la longitud del eje mayor que es 8, obtener la ecuación y los elementos de la elipse.
Respuesta.
"#B# %BC "&C# )B '!C ""' œ ! 59. Una circunferencia móvil es tangente a las circunferencias: G" À B# C# %B œ !;
G# À B # C# "'B $' œ !
Identifique el lugar geométrico que describe el centro de la circunferencia móvil.
Respuesta.
$B# %C# $!B $$ œ ! 60. Encuentre la ecuación de la tangente a la hipérbola
a b
B# #C # #B )C $ œ !
en el punto "ß % Þ Determine también las ecuaciones de sus asíntotas. Respuesta.
B #C ( œ !à #C % œ „
È a b
# B " Þ
