35
_______________ _______________ * MATEMATIKA
II _*_
___________ ___________
MATRICAT DHE DETRMINANTAT DETRMINANTAT (PËRCAKT (PËRCAKTORËT) ORËT) I. MAT ATRI RICA CAT T Kah fundi i shekullit të XIX shumë matematikan e zhvillojnë teorinë teorinë e matricave. matricave. Sot llogaritja e matricave zbatohet në aerodinamikë, elektronikë, kimi, fizikë, psikologji, edukatë fizike e në shumë shkenca tjera.
Përkufizim: Matricë A quhet një tabelë tabelë drejtkëndore e numrave kompleks ose real real të renditur sipas m-rreshtave dhe n-shtyllave. Simboli për matricë është: ose ose Shembull: a11 a12 ... a1n a 21 a22 ... a2n A am1 am 2 ... amn Numrat aij quhen elemente të matricës A ; (i 1, 2, ..., m; j 1, 2, ..., n) . Indeksat i dhe j shërbejnë për të treguar se elementi aij i takon rreshtit i dhe shtyllës j. Shembull: Elementi a23 i takon rreshtit të dytë dhe shtyllës së tretë. Elementet ai1 , ai 2 , ..., ain i takojnë rreshtit i. Elementet a1 j , a2 j , ..., amj i takojnë shtyllës j. 0 ... 0 0 ... 0 e quajmë zero matricë në qoftë se të gjithë 1. Matricën A gjithë elementet e sajë ... ... ... 0 ... 0 janë të barabart me zero dhe shënojmë A 0 . 2. Matrica e cila përbëhet vetëm prej një shtylle quhet matricë shtyllë e rendit m 1 .
Shembull: Një matricë e tipit të tillë është: 1 A (aij )31; A 3 2 31 3. Matrica e cila përbëhet vetëm prej një rreshti quhet matricë rreshti e rendit 1 n . Shembull: Një matricë e tipit A (aij )14 është matrica A 4 3 2 114 4. Matrica e cila përbëhet prej m rreshtave dhe n shtyllave shtyllave shënohet shënohet me:
36
_______________ _______________ * MATEMATIKA II _*_ a11 a12 a1n a 21 a22 a2n A (aij )m n ose A am1 am 2 amn mn Shembull: Një matricë e tipit A ( aij )35 është matrica
___________ ___________
1 2 1 4 8 A 2 3 2 1 1 1 1 2 1 0 35
Përkufizim: Dy matrica A dhe B themi se janë të barabarta në qoftë se: 1. A dhe Be kanë të njejtin numër të rrjeshtave. 2. A dhe B e kanë të njejtin numër të shtyllave. shtyllave. ( A B ) 3. Elementet përgjegjëse i kanë të barabarta. aij bij ; i dhe j. Shembull: a)
1 2 2 3 3 1 4 1
b)
3 4 2 1 3 2 12 2 6 4 1 3 2 4 3 4 6 12 6 2 3 1 2 3 12 3 6
c)
2 3 4 0 2 3 0 4
d)
x 1 x 1 y 1 y 1 z 0 z 0
e)
2 3 1 1 2 1 2 3 3 1 4 1 2
1. OPERAC OPERACIONET IONET ME MATRICA MATRICA Matricat mund të mblidhen, të zbritën, të shumëzohen shumëzohen me skalar, por edhe të të shumëzohen ndërmjet veti. Këto operacione mund mund të kryhen vetëm në raste raste të veçanta, e të cilat do ti shqyrtojmë veç e veç.
37
_______________ _______________ * MATEMATIKA
II _*_
___________ ___________
1.1. Shuma e matr matricav icavee Dy matrica mund të mblidhen në qoftë se janë të njëjtit rend (dimension). Le të jenë dhënë dy matrica A dhe B të njëjtit rend (dimension) m n, pra
mn dhe
A aij
mn , atëherë:
B bij
A + B = C ; C (ci j )mn ; i 1,2,..., m dhe j 1,2,..., n
A + B = ( aij ) ( bij ) (cij ); cij aij bij ij
Shembull: 1 2 1 1 3 1 0 2 3 0 A 2 1 2 1 4 ; B 4 2 1 0 3 3 2 1 5 6 2 1 1 2 0 A + B = ? Në qoftë se A (aij ) , atëherë A (aij )
Shembull: 1 1 2 1 1 2 A ; -A 2 1 3 2 1 3 Përkufizim: Le të jenë A , B , C matrica të përshtatshme për mbledhje, atëherë vlen:
1.. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (ligji asociativ asociativ (i shoqërimit shoqërimit)) )) Vërtetimi: Le të jenë A (aij ) ; B (bij ) ; C (cij ) , matrica të përshtatshme për mbledhje, mbledhje, atëherë: ( A + B ) + C = = [( aij ) (bij )] (cij ) ( aij bijij ) (cij ) ([ aij bijij ] cij ) ( aij [bij c ijij ]) (aij ) (bij cij ) ( aij ) [(bij ) (c ij )] )] A + ( B + C )
2. A + 0 = 0 + A 3 . A + ( - A ) = 0 4 . A + B = B + A (ligji komutativ (i ndërrimit))
1.2.. Pr 1.2 Produ odukt ktii i matr matricë icëss me ska skalar lar Le të jetë A (ai j )mn dhe k një skalar i çfarëdoshëm, atëherë: k A ( k ai j )mn ,
pra: ka11 kA ka m1
ka1n
kamn
38
_______________ * MATEMATIKA II _*_ ___________ d.m.th. matrica A shumëzohet me skalarin k duke e shumëzuar secilin element të matricës A me skalarin k . Shembull: Le të jetë: 5 2 1 1 3 A 1 1 0 1 4 . 3 4 1 5 3
Të llogaritet 3 A ?
Zgjidhje: 3 5 3 2 3 1 3 1 3 3 3 A 3 1 3 1 3 0 3 1 3 4 3 3 3 4 3 1 3 5 3 3
DETYRA:
15 6 3 3 9 3 A 3 3 0 3 12 9 12 3 15 9 Të gjenden matricat:
a)
1 2 5 A, për A 3 4 5 3
b)
3 B, për B 3 4 2 1
c)
1 3 5 4C , për C 0 1 3 0 0 1
d) Të caktohet matrica 3 A 2 B 5C , në qoftë se: 4 1 5 7 4 1 A ; B dhe C 3 2 4 6 3 9
1.3. Vetitë e produktit të matricës me skalar Le të jenë A e B matrica të përshtatshme për mbledhje , dhe k , k 1 , k 2 skalarë të çfarëdoshëm atëherë vlejnë këto veti:
1. (k1 k 2 ) A k 1 A k 2 A 2. k ( A + B ) k A k B
39
_______________ * MATEMATIKA
II _*_
___________
3. k (k 1 A ) ( k k 1 ) A
1.4. Produkti i matricave (*). Le të jenë dhënë matricat: b11 b 21 , atëherë A ( aij )1 p a11 a12 ... a1 p dhe B (b jk ) p1 ... b p1 b11 b 21 A B a11 a12 ... a1 p ... b p1 p a11b11 a12b21 ... a1 pb p1 a1k bk 1 k 1
Shembull: Le të jenë dhënë matricat: A (aij )13 a11
a12
b11 a13 dhe B (b jk )31 b21 . b 31
Të llogaritet produkti A B ? Zgjidhje: b11 3 A B a11 a12 a13 b21 a11b11 a12b21 a13b31 a1 kb k 1 k 1 b31 Shembull: Le të jenë dhënë matricat: 4 A 1 2 5 dhe B 2 1 Të llogaritet produkti A B ?
Zgjidhje: 4 A B 1 2 5 2 1 4 2 2 5 1 1 A B 4 4 5
A B 1311
(**). Le të jenë A (ai j ) m p dhe B (b jk ) pn , atëherë:
40
_______________ * MATEMATIKA A B = C ; C (ci k )mn cik ai1b1k ai 2b2 k ... aipb pk
II _*_
___________
p
aijb jk ; (i 1, 2,..., m); k 1, 2,..., n)
j 1
Matrica A mund të shumëzohet me matricën B atëherë dhe vetëm atëherë, kur numri i shtyllave të matricës së parë A është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës së dytë B , kurse matrica C e cila është produkt i matricës A me B e ka numrin e rreshtave të barabartë me numrin e rreshtave të matricës A , kurse numrin e shtyllave e ka të barabartë me numrin e shtyllave të matricës B . a11 a12 ... a1 p b11 b12 ... b1k ... b1n a21 a22 ... a2 p b21 b22 ... b2k ... b2n A B= ai1 ai 2 ... aip bi1 bi 2 ... bik ... bin a b p1 bp 2 ... bpk ... bpn a ... a mp m1 m2 c11 c12 ... c1k ... c1n c 21 c22 ... c2k ... c2n = C ci1 ci 2 ... cik ... c1n cm1 cm 2 ... cmk ... cmn Pra elementi cik nga matrica C është fituar si shumë e produkteve të elementeve të rreshtit i nga matrica A me elementet përgjegjëse të shtyllës k nga matrica B . Në mënyrë analoge fitohen edhe të gjithë elementet tjerë të matricës C . Për produktin e matricave vlen ligji asociativ (shoqërimit), në qoftë se matricat janë të përshtatshme për shumëzim, pra 1. ( A B ) C A ( B C ) Vlejnë ligjet distributive 2. A ( B + C ) = A B + A C
3. ( A + B ) C = A C + B C Vetëm në qoftë se matricat A , B dhe C janë të përshtatshme për mbledhje dhe shumzim. 4. Në rastin e përgjithshëm, për produktin e dy matricave, nuk vlen ligji komutativ (ndërrimit) pra: A B B A (jo çdo herë). 5. Nga ( A B = 0 ) nuk rrjedh se A 0 ose B 0 Shembull: 3 2 3 0 0 2; ; = A B A B 0 0 1 0 3 1
41
_______________ * MATEMATIKA 6. Nga ( A B = A C ) nuk rrjedh se B = C
II _*_
___________
Shembull: 1 2 1 1 3 9 ; ; B C 1 0 1 5 2 4 A B = A C por B C 7. Le të jetë një skalar, atëherë: ( A B ) = ( A ) B = A ( B ) A
1.5. Disa lloje të matricave 1.5.1. Matricat katrore 1. Matrica e cila e ka numrin e rreshtave të barabartë me numri e kolonave shtyllave) quhet matricë katrore e rendit n dhe shënojmë A (aij ) nn Diagonalen kryesore të matricës katrore të rendit n e përbëjnë elementet: a11 , a22 ,..., ann ; (a ii , i 1, 2,..., n) 2. Matrica katrore A (ai j )nn elementet e të cilës janë aij 0 , për i j quhet
matricë trekëndore e sipërme: a11 a12 0 a 22 A 0 0
... a1n ... a2n ... ann
3. Matrica katrore A (ai j )nn elementet e të cilës janë aij 0 , për i j quhet
matricë trekëndore e poshtme: a11 0 a 21 a22 B an1 an 2
0 0 ... ann ... ...
4. Matrica katrore A (aij ) elementet e të cilës janë aij 0 , për i j quhet
matricë diagonale:
(
42
_______________ * a11 0 0 a 22 D 0 0
MATEMATIKA II _*_
___________
0 0 ... ann ... ...
5. Në qoftë se në matricën diagonale a11 a22 ... ann k , atëherë ajo quhet
matricë skalare k 0 ... 0 0 k ... 0 M 0 0 ... k 6. Në rastin special kur në matricën skalare k 1 , atëherë matrica quhet matricë njësi dhe e shënojmë me E ose jepet me dimensionin E2 , E3 ,..., E n .
Teoremë: Le të jetë A (aij ) nn matricë katrore e rendit n dhe E matricë njësi e rendit n , atëherë: E A = A E = A
Vërtetimi: Po e vërtetojmë për matricën A (aij )33 1 0 0 a11 a12 a13 a11 0 0 a12 0 0 a13 0 0 E A 0 1 0 a21 a22 a23 0 a21 0 0 a22 0 0 a 23 0 0 0 1 a a 31 32 a33 0 0 a31 0 0 a32 0 0 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 = A a 31 a32 a33 Në mënyrë analoge vërtetohet se edhe A E A Në rastin e përgjithshëm, letë jenë:
ij
11 a11 ... a1n 21 A dhe E a n1 ... ann n1 quhet simboli i KRONEKERIT.
12 22
n2
2n , ku ... nn
... ...
1n
b11 ... b1n E A = B = bij ; nn b n1 ... bnn bij i1a1 j i 2a2 j ... ii aij ... in anj ;
ij
1; i j 0; i j
( i , j 1, 2,3,..., n)
43
_______________ * MATEMATIKA II _*_ ___________ Nga kjo rrjedh se elementi: bij 0 a1 j 0 a2 j ... ii aij ... 0 anj aij Prandaj E A = B = A (*) Në mënyrë analoge vërtetohet se edhe (**) A E=B=A Nga relacionet (*) dhe (**) rrjedh se teorema vlen. Nga ana tjetër vlenë: A2 A A ; A3 A A2 A 2 A ; Ak A Ak 1 A k 1 A ; k N
1.5.2. Matrica inverse Matrica inverse mund të kenë vetëm matricat katrore, por jo çdo herë. Le të jetë A matricë katrore e rendit n. Në qoftë se ekziston matrica katrore B e rendit n e tillë që: A B = B A = E atëherë matricën B e quajmë matricë inverse të matricës A dhe të kundërtën.
Pra le të jetë: A (ai j )nn një matricë katrore, në qoftë se ekziston matrica katrore B (bi j )nn dhe A B = B A = E ; atëherë B A1 dhe A B 1 .
Pra: A A 1 A1 A E Më vonë do të shohim se nuk ekziston matrica inverse për çdo matricë katrore. Teoremë: Në qoftë se A e ka matricë inverse matricën A1 , atëherë A1 është unike.
Vërtetimi: Le të jetë edhe ( A1 ) ' matricë inverse e A , atëherë: '
'
'
A1 E A1 A1 A A1 A1 A (A1)' A1 E A1 ,
prandaj: ( A1 )' A1 , gjë që u vërtetua se matrica A1 është matrica e vetme inverse e matricës A .
Teoremë: Në qoftë se A1 dhe B 1 janë matrica inverse të matricave A dhe B , atëherë: 1 A B B 1 A1 Vërtetimi:
A B
1
A B
A B A B
1
E
Nga ana tjetër 1
A B A B B 1 A1 AB B 1[( A1 A) B ] ( B 1( E B )) ( B 1B) E
Në mënyrë analoge vërtetohet se edhe A B A B ( A B ) 1 B 1 A1
1
E , prandaj
44
_______________ * MATEMATIKA
II _*_
___________
1.5.3. Matrica e transponuar Le të jetë A (ai j )mn atëherë matrica e transponuar e matricës
A do të jetë matrica
At ( a ji )nm
Shembull: 3 2 At 4 1 1 3 32
3 4 1 A ; 2 1 3 23
Vetitë: t
1. A B At Bt 2. ( At )t A 3. ( AB )t B t At Përkufizim: Për matricën katrore A themi se është simetrike në qoftë se A At . Nga përkufizimi rrjedh se ke matrica simetrike, aij a ji ; i j . Në matricën simetrike elementet simetrike ndaj diagonalës kryesore janë të barabarta. Përkufizim: Matrica katrore A është kundërsimetrike në qoftë se A At . Nga përkufizimi rrjedh se ke matrica kundërsimetrike, aij a ji ; i dhe j , i j . Me qenë se aii aii 2aii 0 aii 0 që do të thotë, ke matricat kundërsimetrike të gjithë elementet në diagonale janë zero. Është e qartë se në matricën kundër simetrike elementet simetrike ndaj diagonalës kryesore janë të kundërt.
Shembull: Të vërtetohet se matrica 1 2 3 2 3 5 A 3 5 4 4 6 2 është matricë simetrike.
4 6 2 8
Zgjidhje: Për të vërtetuar se matrica A është matricë simetrike duhet të plotësohet barazimi: A At .
45
_______________ * 1 2 A t 3 4
MATEMATIKA II _*_ 2 3 5 6
3 5 4 2
___________
4 6 2 8
Pra A At prandaj matrica A është matricë simetrike.
Shembull: Të vërtetohet se matrica 0 5 6 3 5 0 4 2 A 6 4 0 1 3 2 1 0 është matricë kundër simetrike. Zgjidhje: Për të vërtetuar se matrica A është matricë kundër simetrike duhet të plotësohet barazimi: A At . 0 5 6 3 0 5 6 3 5 0 4 2 5 0 4 2 A A t 6 4 6 4 0 1 0 1 3 2 1 0 3 2 1 0 Me qenë se A At prandaj matrica A është matricë kundërsimetrike. Çdo matricë katrore mund të shprehet në formë të shumës së një matrice simetrike dhe të një matrice kundër simetrike. Pra A S S ' , ku S është matricë simetrike, kurse S ' është matricë kundër simetrike. Rrjedhimisht: t A At ' A A S kurse S . 2 2 Përkufizim: Matricë ortogonale quhet matrica katrore A ee cila plotëson kushtin A At At A E
Shembull: Të vërtetohet se matricat: cos sin A sin cos
2 2 1 dhe B 2 1 2 1 2 2
janë ortogonale.
1.5.4. Matrica e konjuguar Matrica e cila fitohet nga matrica A duke e zëvendësuar secilin element të sajë me elementin përgjegjës të konjuguar e quajmë matricë të konjuguar të matricës A dhe shënojmë A . Shembull:
46
_______________ * MATEMATIKA 1 i 2 i 1 A 1 i 2 1 i ; 1 i 2 i matrica e konjuguar e matricës A është: 2i 1 1 i A 1 i 2 1 i 1 i 2 i Vetitë: 1.
A A
2. 3. 4.
kAkA
II _*_
___________
A B A B
A B A B
DETERMINANTA (PERCAKTORI) Në shkollë të mesme është përkufizuar permutacioni si rast special i funksionit dhe kemi thënë se numri i permutacioneve të bashkësisë S 1,2,3,..., n është S n n !. Tani do të japim disa koncepte të reja në lidhje me permutacionet të cilat na nevojiten për të përkufizuar determinantën në rastin e përgjithshëm. Në qoftë se në një permutacion të bashkësisë S numri më i madh ndodhet para një numri më të vogël, atëherë themi se e kemi një inversion.
Shembull: Le të jetë dhënë bashkësia S 1,2,3,4 dhe disa prej permutacioneve të S , p.sh: 1. 1423 ; numri 4 gjendet para numrave 2 dhe 3 , gjithashtu 4>2 dhe 4>3, prandaj në këtë permutacion numri i inversioneve është (2) dy. 2. 2341 ; 2>1; 3>1; 4>1 (tri inversione) 3. 3421; 3>1; 3>2; 4>2; 4>1; 2>1 (pesë inversione) 4. 1234 ; (zero inversione) Permutacionin e quajmë çift në qoftë se numri i inversioneve është numër çift ose zero. Permutacionin e quajmë tek në qoftë se numri i inversioneve është numër tek. Le të jetë matrica katrore A ( aij ) nn . Po shqyrtojmë produktin: a1 j a2 j a3 j ,..., anj n 1 2 3 të n elementeve të matricës A , në të cilin produkt figuron një dhe vetëm një element nga çdo rresht dhe shtyllë e matricës A . Ky produkt mund të paraqitet duke marrë për indekse të para me radhë elementet e bashkësisë S , kurse për indekse të dyta elementet me radhë të njërit prej n ! permutacioneve j1 , j2 , j3 ,..., jn të bashkësisë S . Për cilindo permutacion j1, j2 , j3 ,..., jn të indekseve të dyta do të përkufizojmë funksionin: 1; në qoftë se permutacioni j1, j2 , j3,..., jn është çiftë j , j , j ,..., j 1 2 3 n 1; në qoftë se permutacioni j1, j2 , j3, ..., jn është tek.
47
_______________ * MATEMATIKA II _*_ ___________ dhe po e formojmë produktin: j1, j2, j3 ,..., jn a1 j1 a2 j2 a3 j3 ,..., anj n . Përkufizim: Determinantë quhet shuma e cila ka n ! gjymtyrë të ndryshme të formës: j , j , j ,..., j a1 j a2 j a3 j ,..., anj 1 2 3 1 2 3 n n të cilët formohen nga elementet e matricës A . Le të jetë A (aij ) nn , atëherë: ... a1n
a11
det A
j1 , j2 , j3 ,..., jn
a1 j1 a2 j2 a3 j3 ,..., anjn
... ann |S n | ku mbledhja bëhet sipas të gjitha permutacioneve të bashkësisë S . Pra determinanta ka n ! gjymtyrë. an1
2.1. Determinanta e rendit të dytë Në rastin konkret S 1, 2 ; kurse permutacionet janë: 12 21 Prandaj determinanta e rendit të dytë ka 2! 2 gjymtyrë. det A | A |
a11
a12
a21
a22
12a11a22 21a12a 21 a11a 22 a12a 21 .
d.m.th. A është e barabartë me ndryshimin e produktit të elementeve në diagonalen kryesore dhe produktin e elementeve në diagonalen ansore.
2.2. Determinanta e rendit të tretë Në rastin konkret S 1,2,3 , kurse permutacionet e bashkësisë S janë: 123 13 2 213 2 31 3 12 32 1 Prandaj determinanta e rendit të tretë ka 3! 6 gjymtyrë, rrjedhimisht a11
a12
a13
det A | A | a21 a22 a23 a31
a32
a33
123 a11a22 a33 132 a11a23 a32 213 a12 a21 a33 231 a12 a23 a31 312 a13 a21a32 321a13 a22 a31 a11a22 a33 a11a23a32 a12 a21a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a13 a22 a31
48
_______________ * MATEMATIKA II _*_ ___________ | A | a11 ( a22 a33 a23 a32 ) a12 ( a21 a33 a23 a31 ) a13 ( a21 a32 a22 a31 ) . rrjedhimisht
| A | a11
a22
a23
a32
a33
a12
a21
a23
a31
a33
a13
a21
a22
a31
a32
Në këtë rast mund të themi se determinantën e kemi zbërthye sipas elementeve të rreshtit të parë. Në mënyrë analoge daterminanta mund të zbërthehet sipas elementeve të cilit do rresht ose të cilës do shtyllë.
2.3. Rregulla e Sarusit për llogaritjen e determinantës së rendit të tretë
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a31 a22 a13 a32 a23 a11 a33 a21 a12 =
= a11 a22 a33 a32 a23 a12 a33a21 a23 a31 a13 a21a32 a31a22 = a11
a22
a22
a22
a22
a12
a21
a23
a31
a33
a13
a21
a 22
a31
a32
2.4. Rregulla e trekëndëshit për llogaritjen e determinantës së rendit të tretë
49
_______________ * MATEMATIKA
a11
a11
a11
a11
a11
a11
a11
a11
a11
II _*_
___________
a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a31 a22 a13 a32 a23 a11 a33 a21 a12
= a11 a22 a33 a32 a23 a12 a33a21 a23 a31 a13 a21a32 a31a22 = a11
a22
a22
a22
a22
a12
a21
a23
a31
a33
a13
a21
a 22
a31
a32
DETYRA: 1. Të njehsohen determinantat e rendit të dytë: 1 1 3 1 1 2 a) A ; B ; C 2 3 2 1 3 4 a 2 a 1 a 1 b) A ; B 1 b a 1 a 2. Të llogaritet determinanta e rendit të tretë duke e zbërthye sipas elementeve të cilit do rresht ose cilës do shtyllë. 1 1 2 2 1 1 1 2 3 A 3 2 1 ; B 3 2 3 dhe C 4 5 6 1 2 3 1 3 2 7 8 9 3. Të llogariten determinantat e rendit të tretë: 1 1 2 2 1 1 A 3 2 1 ; B 3 2 3 1 2 3 1 3 2 duke aplikuar rregullën e Sarusit 4. Të llogariten determinantat e rendit të tretë: 1 1 2 2 1 1 A 3 2 1 ; B 3 2 3 1 2 3 1 3 2 duke aplikuar rregullën e trekëndëshit
dhe
1 2 3 C 4 5 6 7 8 9
dhe
1 2 3 C 4 5 6 7 8 9
2.5. Vetitë e determinantave 1. Le të jenë A (aij ) nn dhe At ( a ji )nn . Atëherë det A det At , nga kjo rrjedh se çdo veti që vlen për rreshtat (R) vlen edhe për kolona (K) dhe anasjelltas.
50
_______________ * MATEMATIKA II _*_ ___________ 2. Në qoftë se të gjithë elementet e një rreshti R (K) janë të barabartë me zero, atëherë vlera e determinantës është zero. 3. Në qoftë se secili element i R(K) në determinantën A është shumëzuar me një skalar k , atëherë determinanta A është shumëzuar me skalarin k . 4. Në qoftë se ndërrohen cilët do dy R(K) fqinje ndërmjet veti, atëherë determinanta e ndërron parashenjën, këtë veti simbolikisht e shënojmë me Rij ose K ij Vërtetimi: Le ti ndërrojnë vendet rreshti i me rrjeshtin i 1 . a11 a12 ... a1n a11 a21 a22 ... a 2n a21
| A | ai1
ai 2
a 22
... ...
a 2n
a12
a1n
| A ' | ai 1,1 a i1,2 ... ai 1,n ai 1 ai 2 ... a in
... ain Ri ,i 1; ... ai 1,n
ai 1,1
ai 1,2
an1
an 2
...
ann
an1
an 2
...
a nn
Duke zhvilluar determinantën | A' | sipas rreshtit i , atëherë i+1>i , prandaj i paraqet një inversion, kurse i+1 është inversion çift, prandaj gjymtyrët e rreshtit i+1 të determinantës | A' | dallojnë për nga shenja në lidhje me gjymtyrët e të njëjtit rresht në determinantën | A | , prandaj:
| A | | A' |
5. Në qoftë se matrica B është fituar nga matrica A duke kaluar R(K) mbi k R(K) të sajë, atëherë: | B | ( 1) k | A | , kjo rrjedh nga vetia e (4). 6. Në qoftë se në | A | i ndërrojnë vendet cilët do dy R(K) atëherë determinanta e ndërron parashenjën. Këtë veprim simbolikisht e shënojmë me Rij gjegjësisht K ij . Vërtetimi: a11
ar1
| A |
a s1
... a11
a11
... arn
... asn
a s1
;
| A ' |
a r1
... a11
... a sn
... a rn
... ann an1 ... ann Nga kjo rrjedh se rreshti r ka kaluar s-r rreshta, kurse rreshti s ka kaluar s-r-1 rreshta, prandaj determinanta e ndërron parashenjën sepse an1
51
_______________ * MATEMATIKA (1) s r ( 1) s r 1 ( 1) 2 s2 r 1 1 rrjedhimisht | A | | A' |
II _*_
___________
7. Në qoftë se dy R(K) të det A janë identike, atëherë | A | 0. 7. Vërtetimi: Nga (| A | | A | 0) (2 | A | 0) | A | 0 . 8. Në qoftë se elementet e cilëve do dy R(K) janë proporcionale, atëherë determinanta është e barabartë me zero. a11 ... a1n
ar1
| A |
... arn
a s1
... asn
an1
... ann
Le të jenë elementet e rreshtit r dhe rreshtit s proporcional, atëherë: ar1 ar 2 a a ... ri ... rn k ari kasi ;(i 1, 2,..., n.) asi asn a s1 as 2
duke bërë zëvendësimin e relacionit të fundit në | A | do të marrim: a11
ar1
| A | k
ar1
an1
... a1n
... arn
k 0 0
... arn
... ann
9. Në qoftë se elementet e cilit do R(K) janë të barabart me shumën e dy termave, atëherë edhe determinanta mund të shprehet si shumë e dy determinantave.
52
_______________ * MATEMATIKA II _*_ a11 ... a1 j ... a1n
| A | a 'i1 a ''i1 ... a 'ij a ''ij
a11
___________
... a 'in a ''in
a11
...
a11
...
a11
... a1 j
...
a1n
a11
...
a1 j
...
a1 n
a 'i1 ... a 'ij ... a 'in a ''i1 ... a ''ij ... a ''in ... ... a11 ... a11 ... a11 a11 ... a11 ... a11 10. Determinanta nuk e ndryshon vlerën në qoftë se elementet e cilit do rresht (kolonë) shumëzohen me një skalar dhe i shtohen cilit do rresht (kolone) tjetër, dhe simbolikisht shënojmë: Rij (k ) . Disa veti të cilat shfrytëzohen gjatë llogaritjes së determinantave shënohen kështu: 1. Rij ; ( K ij ) d.m.th. rreshti (kolona) i e ndërron vendin me rreshtin (kolonën) j.
2. Ri (k ); Ki (k ) d.m.th. rreshti (kolona) i shumëzohet me skalarin k . 3. Rij (k ); K ij ( k ) d.m.th. rreshtit (kolonës) i ia shtojmë rreshtin (kolonën) j më parë të shumëzuar me skalarin k .
DETYRA: 1. Duke zbatuar vetitë e determinantave të njehsohen determinantat e rendit të tretë: 1 1 2 2 1 1 1 2 3 A 3 2 1 ; B 3 2 3 dhe C 4 5 6 1 2 3 1 3 2 7 8 9 2. Të zgjidhen ekuacionet: 3 x 2 2x x 3 0; b) 0 a) 2 1 2 x 1 x 1 2 x 1 1 1 2 x c) 2 1 1 0; d ) 3 1 x 0 e) 1 x 1 0 3 2 1 2 3 x 1 1 x
2.6. Minorët dhe komplementët algjebrik Le të jetë A (aij ) n n dhe po i zgjedhim në te k rreshta dhe k shtylla (1 k n) dhe po e formojmë matricën e rendi k :
53
_______________ * MATEMATIKA
II _*_
___________
ai1 j1 ai1 j2 ... ai1 jk a a a ... i2 jk i2 j1 i2 j2 j , j2 ,..., jk Ai 1,i ,..., i 1 2 k ai j ai j ... ai j k1 k 2 k k dhe matricën e rendit ( n k ). aik 1 jk 1 aik 1 jk 2 ... aik 1 jn a a a ... ik 2 jn ik 2 jk 1 ik 2 jk 2 j , j 2 ,..., jn Aikk11,ik k2,..., in ai j ain jk 2 ... ain jn n k 1 Matricat: j , j ,..., j
j
,j
,..., jn
2 2 k dhe Ai k1,i k ,..., Ai11,i2 ,..., ik in k 1 k 2
quhen submatrica të matricës A, kurse determinantat e submatricave i quajmë minor të det A , Këta minorë quhen minorë reciprokisht komplementar.
Shembull: Le të jetë dhënë matrica: a11 a16 A ; a a 66 61 Po i zgjedhim i1 2, i2 5 dhe shtyllat j1 1, j2 3 , atëherë matricat: a12 a14 a15 a16 a21 a23 2,4,5,6 a32 a34 a35 a36 1,3 A2,5 ; A1,3,4,6 a a44 a45 a46 42 a51 a53 a a a a 62 64 65 66 quhen submatrica të matricës A, kurse minorët: 1,3 2,4,5,6 A2,5 dhe A1,3,4,6
quhen minorë komplementar të det A . Le të jetë
s
k
(i r 1
r
jr ) dhe t
atëherë numri 2 ,..., jk (1)t Ai j11,i,2j,..., ik
quhet komplement algjebrik i minorit j
,j
,..., jn
2 Aikk11,ik k2,..., in
,
kurse 2 ,..., jn (1) s Ai jkk11,i,kjk 2,..., in
quhet komplement algjebrik i minorit
n
p k 1
(i p j p ) ,
54
_______________ * MATEMATIKA j , j2 ,..., jk 1 2 ,...,ik
Ai 1,i
II _*_
___________
.
Shembull: 2 1 3 1 2 0 1 2 1 2 A 3 4 1 5 3 7 5 2 0 1 1 4 2 1 0 1,3 a) Komplement algjebrik i minorit A2,5 është: a12
a14
a15
2,4,5 (1)11 a32 a34 a35 (1) 2513 A1,3,4
a42
a44
a45
1 1 2 4 5 3 56 5 0 1
2,4,5 b) Komplementi algjebrik i minorit A1,3,4 është: 1,3 (1)134 2 4 5 A2,5 ( 1)19
a21
a23
a51
a53
0 2 2 1 2
Në veçanti kur k 1 , atëherë do të kemi: j Ai 1 (ai1 j1 ) 1
j
Ai 1 ai j paraqet një element. 11 1
j , j ,..., jn
3 Në rastin e tillë minor komplementar të minorit Ai22,i3 ,..., in
e quajmë elementin
Ai11 ai1 j1 . j
Minorin komplementar të elementit aij do ta shënojmë me
| Aij | i cili është i rendit
(n 1) ,kur A është e rendit (n) kurse shprehjen: ij
(1)i j | Aij |
e quajmë komplement algjebrik të elementit aij .
Shembull: Të shqyrtojmë matricën 2 1 3 A 0 1 5 ; 2 1 4 Minorë të rendit të dytë të matricësë A janë: 1 5 0 5 | A11 | , | A12 | ,... 2 4 1 4 kurse komplementët algjebrik të tyre janë: 0 11 1 5 11 ( 1) 9; 12 ( 1)1 2 1 4 2
5 10,... 4
55
_______________ * MATEMATIKA II _*_ ___________ Teoremë: Determinanta është e barabartë me shumën e produkteve të elementeve të cilit do rresht (kolonë) me komplementet algjebrik të tyre, d.m.th: a) sipas rreshtit i është: n
| A | ai1i1 ai 2i 2 ai 3i 3 ... ainin
a
ij ij
j 1
b) sipas shtyllës j është: n
| A | a1 j1 j a2 j 2 j a3 j 3 j ... anj nj
a
ij ij
i 1
Teoremë: Shuma e produkteve të elementeve të cilit do rresht (kolonë) me komplementët algjebrik të elementeve të cilit do rresht (kolonë) tjetër është e barabartë me zero.
2.7. Metodat për njehsimin e determinantave Në mësimet e përparme u njoftuam me metodat për njehsimin e determinantave të rendit të dytë dhe të, tretë ndërsa duke aplikuar vetitë e determinantave problemi i njehsimit të determinantave të rendit më të lartë se tre thjeshtohet. Le të jetë a11
| A |
a1n
an1 ann
det A mund të zbërthehet sipas cilit do R(K), prandaj zbërthimi sipas rreshtit i është: | A | ai1i1 ai 2i 2 ai 3i 3 ... ainin
n
aij ij ,
j 1
kurse sipas shtyllës j është: n
| A | a1 j1 j a2 j 2 j a3 j 3 j ... anj nj
aijij
i 1
Nga këto shprehje i zhdukim të gjitha ato gjymtyrë të cilat janë të barabarta me zero. Në qoftë se zbatohen vetitë e determinantave ne mundemi me e transformue çdo determinantë , deri ke një e tillë e cila do ti ketë të gjitha elementet e një R(K) të barabartë me zero, përveç ndoshta një element të ndryshueshëm nga zero, dhe kështu do të kemi: | A | aik ik aik ( 1) i k | Aik | ku determinanta | Aik | është e rendit (n 1) kur | A | është e rendit n . Le të jetë a11
| A |
a1n
an1 ann
Të supozojmë se a11 0 , ky supozim nuk e kufizon rastin e përgjithshëm, sepse ekziston së paku një rresht i cili elementin e parë e ka të ndryshueshëm prej zeros. Duke i shumëzuar elementet e rreshtit të parë me (i 2,3,.., n) , atëherë do të marrim:
ai1 a11
dhe duke ua shtuar rreshtave tjerë për
56
_______________ * MATEMATIKA
| A |
a11
a12
a21
a22
an1
an 2
II _*_
ai ... a1n Ri1 1 ; ( i 2,3,...n) a11 a12 a11 ... a 2n 0 a '22
... ann
a11 (1)11
a '22
a 'n 2
... a '2n
... a 'nn
0
a 'n 2
___________ ... a1n ... a ' 2n
... a 'nn
a , ku psh. a`22 a12 21 a22 a11
Këtë proces e vazhdojmë me determinantën e rendit (n 1) e kështu me radhë vazhdojmë deri ke determinanta e rendit të tretë ose të dytë.
Shembull: 1 2 1 1 R21 (1) 1 2 1 2 3 1 R31 (2) 0 4 2 1 1 2 0 5 3 1 1 3 R41 (3) 0 7 Zbërthimi i determinantës sipas elementeve të një teoremës së Laplasit.
1 1 4 2 0 1 ( 1)11 5 3 4 7 4 0 R(K) është rast special
2 0 3 4 4 0 i zbërthimit sipas
2.8. Teorema e Laplasit Determinanta | A | e rendit n është e barabartë me shumën e produktit të gjithë minorëve të rendit k ( k n ) , të zgjedhur në mënyrë të çfarëdoshme nga k rreshta, me komplementët algjebrik të tyre. D.m.th. 2 ,..., jk 2 ,..., jn | A | | Ai j11,i,2j,..., |(1)m | Aikjk11,i,kjk2,..., ik in |
ku m i1 i2 i3 ... ik j1 j2 j3 ... jk
dhe mbledhja bëhet sipas:
Shembull:
n n! k (k 1)( k 2) 3 2 1 k k !( n k )!
n(n 1)( n 2) (n k 1)
57
_______________ * 1 2 0 1 1 0 | A | 2 1 0 2 0 1 1 0 1
MATEMATIKA II _*_ 1 1 1 0 0
___________
1 2 1 2 1
Po i zgjedhim tre rreshtat e parë, pra k 3 dhe n 5 , atëherë : 5 5! 5 4 3! 10, 3 3!(5 3)! 3! 2! pra kombinimi i shtyllave është: 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5 atëherë: 1 2 0 1 2 1 0 2 1 2 1 1 1 ( 1)1 2 31 2 4 | A | 1 1 0 ( 1)1 231 2 3 0 1 1 1 2 1 0 2 1 1
1 2 1 1 0 1 1 0 0 2 1 1 2 (1)1 231 2 5 1 0 1 ( 1)1 2 31 3 4 1 0 0 1 2 1 1 2 0 1 0 1 1 2 0 ... 0 1 2 ( 1)1 2 3 3 4 5 ... 1 0 0 1 1
2.9. Produkti i determinantave Produkti i dy determinantave mund të paraqitet si determinantë , rendi i të cilës është i barabart me shumën e rendeve të determinantave që shumëzohen. Le të jenë:
58
_______________ * MATEMATIKA a11
a12
a13
b11
b12
b21
b22
| A | | B | a31 a32 a33
0 0 0
0 0 0
x1
x2
x3
b11
b12
y1
y2
y3
b21 b22
| A | a21 a22 a23 , | B | a31
a32
a33
II _*_
___________
,
atëherë: a11
a12
a13
a21
a22
a 23
ose A
| A | | B | X
0
B
ku X është matricë e çfarëdoshme. Teoremë: Le të jenë A dhe B dy matrica katrore të rendit n , atëherë : det( A B ) det A det B Teoremë: Në qoftë se matrica A është matricë diagonale, atëherë: a11 0 | A | a11 a22 a33 a nn 0 ann Teoremë: Në qoftë se matrica A është matricë trekëndore e sipërme ose e poshtme ose diagonale, atëherë | A | a11 a22 a33 ann
Shembull: Të llogaritet determinanta 1 2 3 1 4 0 3 4 2 1 | A | 0 0 5 3 6 1 3 ( 5) ( 8) 9 120 9 1080 0 0 0 8 1 0 0 0 0 9
3. Rangu i matricës Le të jetë A (aij ) mn Determinanta e matricës katrore e formuar nga cilët do k - rreshta dhe k - shtylla të matricës A (aij ) mn quhet minor i matricës A i rendit k .
Shembull:
59
_______________ * MATEMATIKA II _*_ 2 1 1 4 A 3 1 2 1 2 1 2 1 34 1. Çdo element i matricës A është minor i rendit një. 2. Determinantat: 2 1 2 1 1 , ,..., 3 1 3 2 2 3. Determinantat: 2 1 1 1 3 1 2 ,..., 1 2 1 2 1
___________
4 2 1 ,..., janë minorë të rendit të dytë. 1 2 1 1 4 2 1 janë minorë të rendit të tretë. 2 1
n m Minorët e rendit k të matricës së rendit m n llogaritën sipas formulës: k k Shembull: Le të jetë A (aij )34 ,atëherë:
a) Numri i minorëve të rendit të dytë është: 4 3 4! 3! 4 3 2! 3! 3 3! 18 2 2 2! 2! 2! 1! 2 2 2
b) Numri i minorëve të rendit të tretë është: 4 3 4! 3! 4 3 3 3! 3! Përkufizim: Për matricën A themi se e ka rangun k në qoftë se së paku njëri prej minorëve të rendit k është jo zero, kurse të gjithë minorët e rendit k 1 janë të barabartë me zero, në se ekzistojnë dhe shënojmë: rang A k . Shembull: 1 1 2 3 1 1 A 2 1 4 1 1 2 Matrica A e ka rang A 3 1 1 zeros p.sh minori 3 1 2 1
sepse së paku një minorë i rendit të tretë është i ndryshueshëm prej 2 1 0 4
60
_______________ * MATEMATIKA II _*_ ___________ Përkufizim: Matrica katrore e rendit n quhet josingulare (e rregullt) në qoftë se rang A n. që do të thotë | A | 0 , në të kundërtën në qoftë se rang A n rrjedhimisht | A | 0 , atëherë matrica e tillë quhet matricë singulare (jo e rregullt)
3.1. Transformimet elementare Transformime rreshtore ose me kolona të një matrice i quajmë këto operacione: 1. T ij ndërrimi i vendeve të R(K) i me R(K) j.
2. Ti ( s) ; R(K) i është shumëzuar me skalarin s. 3. Tij ( s ) rreshtit (kolonës) i i shtohet rreshti (kolona) j më parë e shumëzuar me skalarin s. ose 1 . Rij , ( K ij ) ; R( K ) i e ndrron vendin me R(K) j. 2 . Ri ( s ), K i ( s ); R(K) i shumëzohet me skalar s. 3 . Rij ( s ), K ij ( s ); R( K ) i i shtohet R(K) j më parë i (e) shumëzuar me skalarin s
3.2 Transformimet inverse të transformimeve elementare Transformimet inverse të transformimeve elementare të një matrice do ti shënojmë kështu: T 1 rrjedhimisht: R 1( K 1) Vlenë: T 1 (T ( A)) A; rrjedhimisht R 1 ( R ( A)) A; K 1 ( K ( A)) A 1. Rij ( A) B, atëherë Rij1( B) A 2. Ri ( s) B1, atëherë Ri1 s1 ( B1) A 3. Rij ( s)( A) B2 ; atëherë Rij1( s)( B2 ) A
Shembull: Le të jetë: 1 4 2 A 3 1 1 atëherë 1 2 3 3 1 1 1. R12 ( A) 1 4 2 B; 1 2 3
1 4 2 1 R12 ( B) 3 1 1 A 1 2 3
61
_______________ * MATEMATIKA II _*_ ___________ 4 2 1 1 4 2 1 1 2. R2 ( 3)( A) 9 3 3 B1; R2 ( B1) 3 1 1 A 3 1 2 3 1 2 3 1 4 2 3. R31 ( 2)( A) 3 1 1 B2; 3 6 1
1 R31 (2)( B2)
1 4 2 3 1 1 A 1 2 3
3.3. Matricat ekuivalente Përkufizim: Dy matrica A dhe B quhen ekuivalente, në qoftë se njëra prej tyre është fituar nga tjetra me një numër të fundmë transformimesh elementare dhe shënojmë: A B
Përkufizim: Me transformime elementare nuk ndërrohet rangu i matricës, pra matricat ekuivalente i kanë rangjet e barabarta. Përkufizim: Matrica e cila fitohet nga matrica njësi e rendit n pas një numri të fundmë të transformimeve elementare quhet matricë elementare. Shembull: 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 E4 ; R14 ( E 4 ) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 Çdo matricë elementare është josingulare. Përkufizim: Për matricën A rangu i të cilës është k do të themi se e kemi transformuar në matricë kanonike rreshtore në qoftë se: 1. Së paku njëri nga elementet e k rreshtave të parë është i ndryshueshëm prej zeros, kurse të gjithë elementet e para të rreshtave tjerë janë të barabartë me zero. 2. Elementi i parë i ndryshueshëm prej zeros në rreshtin i është “1” ku (i 1, 2,..., k ) . 3. Në qoftë se shtylla ji është shtylla e elementit ( 1) , atëherë ji ji 1 ... jk . 4. Të gjithë elementët tjerë të shtyllës në rreshtin në të cilin ndodhet elementi i parë i ndryshueshëm prej zeros ( 1) janë zero. Me anën e transformimeve elementare rreshtore matrica transformohet në matricë kanonike ku në diagonale janë të vendosur njëshet ( 1) .
Shembull:
62
_______________ * MATEMATIKA 1 0 0 2 1 0 0 0 2 0 1 0 2 ; B 0 1 0 0 1 ; A 0 0 1 4 0 0 1 0 2 0 0 0 0
II _*_
___________
1 0 0 E 3 0 1 0 0 0 1
Teoremë: Çdo matricë A (aij ) mn rangu i të cilës është k transformohet në matricë kanonike ku aii 1; i 1, 2,..., k . Teoremë: Rangu i matricës A (aij ) m n është i barabartë me numrin e njësheve në diagonalën kryesore të matricës kanonike, ku 1 k min( m, n) .
Shembull: Të caktohet rangu i matricës: 1 1 2 2 A 1 1 3 1
2 3 1 2
1 3 R21 (2) 1 1 2 3 R4 1 1 2 3 R24 4 0 0 1 5 1 R31 (1) 0 0 1 5 0 2 1 2 0 2 1 2 1 1 R41 (3)0 4 4 8 0 1 1 2
1 1 2 3 R32 (2) 1 1 2 3 R43(1) 0 1 1 2 0 1 1 2 0 2 1 2 0 0 1 2 0 0 1 5 1 5 0 0 1 1 1 2 R4 1 1 2 3 3 3 0 1 1 2 0 1 1 2 rangA 4 0 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 3 0 1 0 0
sepse numri i njësheve në diagonalen e matricës kanonike është i barabart me katër, rrjedhimisht A 0 .
DETYRA: 1. Të caktohet rangu i matricave: 1 3 1 1 a) A B ; ; 2 1 2 1
b)
3 1 2 A 2 1 3 ; 1 0 1
1 1 2 2
C
1 3 2 1 B 3 2 6 4 6 1 3 2
63
_______________ * MATEMATIKA
II _*_
___________
2.4. Kondita e nevojshme dhe e mjaftueshme për ekzistencën 2.5. e matricës inverse Matrica e adjunguar Le të jetë A (aij ) nn matricë katrore josingulare (e rregullt). Po e formojmë matricën e adjunguar të matricës A , dhe po e shënojmë me adj A A* . Atëherë: 11 21 n1 * 12 22 n 2 A nn 2n 1n ku
ij janë
komplementët algjebrik të elementeve të matricës së transponuar At të
matricës A. Me fjalë tjera, e transponojmë matricën A At dhe në komplementët algjebrik të tyre. Shembull: 1 1 2 1 2 1 t A 2 1 3 ; A 1 1 2 , 1 2 1 2 3 1 atëherë: 1 2 1 2 1 1 2 1 2 3 3 1 2 1 7 1 1 1 2 1 A* 2 1 2 3 3 1 5 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1
vend të elementëve të At shënojmë
3 5 1 1 1 3
Teoremë: Kondita e nevojshme dhe e mjaftueshme që matrica katrore A të ketë matricë inverse A1 është që | A | 0. Vërtetimi: Kondita është e mjaftueshme. Le të ekziston matrica inverse A1 e matricës A d.m.th. duhet vërtetuar se | A | 0. A A1 A1 A E
det( A A1 ) det( A1 A) det E det( A A1 ) det( A1 A) 1 Nga
det( A A1 ) det A det A1 1 det A 0 . 1 1 det( A A) det A det A 1
64
_______________ * MATEMATIKA
II _*_
___________
Kondita e mjaftueshme Të supozojmë se matrica katrore a11 a1n A është josingulare, pra det A 0 a n1 ann (Duhet vërtetuar se ekziston matrica inverse A1 ). Po e formojmë matricën e adjunguar A* të matricës A . 11 21 n1 * 12 22 n 2 A dhe po e gjejmë produktin: 1n 2n nn a11 a12 a1n 11 21 n1 * a21 a22 a2n 12 22 n2 A A an1 an2 ann 1n 2 n nn a1111 a1212 a1n1n a1121 a1222 a1n2 n a11n1 a12n2 a1nnn a21 11 a22 12 a23 1n a2121 a2222 a2n2n a21n1 a22n2 a2 nnn a nn nn an111 an212 ann1n an121 an222 ann2 n an1n1 a n2n2 | A | 0 0 1 0 0 0 | A | 0 0 1 0 | A | E | A | 0 0 1 0 A 0
Pra: (1) A A* | A | E Në mënyrë analoge vërtetohet se edhe: (2) A* A | A | E Nga relacionet (1) dhe (2) rrjedh se (3) A A* A* A | A | E Relacionin (3) e pjestojmë anë për anë me | A | 0 1 * 1 * A A A E A | A| | A | Nga kjo rrjedh se 1 * A , ku | A (4) A1 | 0 | A | Relacioni (4) shërben për llogaritjen e matricës inverse A1 të matricës A. Kjo metodë nuk është e përshtatshme për llogaritjen e matricës inverse të matricës A , kur rendi i matricës është më i madh se tre. Për rastet e tilla zbatojmë matricën e zgjeruar:
65
_______________ * MATEMATIKA
II _*_
___________
A ' A E
a11 a1n 1 0 A ' a n1 ann 0 1 Në matricën A ' i kryejmë transformimet elementare rreshtore, ashtu që në vend të matricës A të fitohet matrica njësi E kurse në vend të matricës njësi fitohet matrica inverse A 1 .
Shembull: Të zgjidhet ekuacioni matricial: A X B C në qoftë se: 1 2 2 1 1 3 ; B dhe C 1 1 1 2 1 2
A
Zgjidhje: (1)
X A1 C B 1 A1 C B 1
1 1 1 2 1 1 * 1 2 3; At A* ; | A | A ; A 1 1 1 1 | A | 2 1
(2)
A1
1 1 2 3 1 1
1 1 2 1 * 2 1 t 2 1 * ; | | 3; ; B B B B B 1 2 1 2 1 2 | | B
1 2 1 3 1 2 Relacionet (2) dhe (3) i zëvendësojmë në relacionin (1) dhe pas kryerjes së veprimeve të nevojshme me matricat e fituara do të fitohet matrica e kërkuar X . Pra: 1 1 2 1 3 1 2 1 X A1 C B 1 1 2 1 2 1 1 3 3
(3)
B 1
1 1 2 3 4 1 2 1 1 3 1 2 1 3 1 1 3 2 3 1 2 9 0 5 1 2 1 6 1 3 2 1 7 5 X 9 0 5 0 10 9 5 10 1 7 5 X 9 5 10
Shembull: Të gjendet matrica inverse A1 e matricës
66
_______________ * MATEMATIKA II _*_ ___________ 1 1 2 1 A 2 1 1 2 1 nëse ekziston. Zgjidhje: Zbatojmë formulën për llogaritjen e matricës inverse të matricës A . 1 A1 A * nëse A 0 , prandaj po e gjejmë A . A
1 1 2 1 1 1 1 8 2 2 2 0 A 2 1 2 1 Me qenë se A 0 atëherë nuk ekziston matrica inverse A1 e matricës A .
Shembull: Të gjendet matrica inverse A1 e matricës 1 1 2 A 2 1 1 1 2 1 Zgjidhje: Zbatojmë formulën për llogaritjen e matricës inverse të matricës A . 1 * A1 A nëse A 0 , prandaj po e gjejmë A . A
1 1 2 A 2 1 1 1 1 8 2 2 2 6 0 1 2 1 Pra me qenë se A 0 , atëherë ekziston matrica inverse A1 e matricës A. Tani do të llogarisim matricën e adjunguar A* të matricës. Për këtë së pari e gjejmë matricën e transponuar të matricës A . 1 2 1 A 1 1 2 2 1 1 * Atëherë matrica e adjunguar A e matricës A do të jetë: 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 3 5 1 1 1 1 2 3 3 3 A* 2 1 2 1 1 1 3 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 t
67
_______________ * 3 5 * A 3 3 3 1
MATEMATIKA II _*_
___________
1 3 1
Zëvendësojmë A 6 dhe A* në relacionin A1
1 A
A* dhe do të fitohet matrica inverse
A1 e matricës A , rrjedhimisht:
3 5 1 1 A1 3 3 3 6 3 1 1
Shembull: Duke aplikuar matricën e njëjtë nga shembulli i sipërm. 1 1 2 A 2 1 1 1 2 1 Zgjidhje: 1 1 2 1 0 , A A E 2 1 10 1 1 2 1 0 0
zgjeruar të llogaritet matrica inverze e matricës së
0 R21 ( 2) 1 1 2 1 0 0 R32 (1) 0 1 3 2 1 0 0 1 R31 ( 1) 0 1 3 1 0 1
0 0 R13( 2) 1 1 2 1 0 0 R2 ( 1) 1 1 2 1 0 1 3 2 1 0 1 0 0 1 3 2 0 0 6 3 1 1 R ( 1 ) 0 0 1 1/ 2 1/ 6 1/ 6 R23( 3) 3 6 1/ 3 1/ 3 R12 ( 1) 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0 0 1 1/ 2 1/ 6 /1/ 6 0 0 1
1/ 2 5 / 6 1/ 6 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 6 1/ 6
1/ 2 5 / 6 1/ 6 3 5 1 1 A1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 3 3 3 1/ 2 1/ 6 1/ 6 6 3 1 1
Shembull: Duke aplikuar matricën e zgjëruar të llogaritet matrica inverze e matricës: 1 2 1 3 3 1 1 1 A 1 1 2 1 1 1 1 1
68
_______________ * MATEMATIKA
II _*_
___________
DETYRA: 1. Duke aplikuar rregullën e Sarussit të llogariten determinantat: 1 2 1 1 2 3 a ) | A | 3 1 2 ; b) | A | 4 5 6 ; 2 1 3 7 8 9 1 2 1 4 5 6 c) | A | 7 8 9 ; d ) | A | 3 4 5 10 11 12 5 2 1
2. Duke aplikuar rregullën e trekëndëshit të llogariten determinantat: 1 2 1 1 2 3 a ) | A | 3 1 2 ; b) | A | 4 5 6 ; 2 1 3 7 8 9 4 5 6 1 2 1 c) | A | 7 8 9 ; d ) | A | 3 4 5 10 11 12 5 2 1 3. Duke aplikuar vetit e determinantave të llogariten determinantat: 1 1 4 4 4 1 2 3 1 2 4 1 4 4 2 1 4 5 a) | A | ; b) | B | ; c) | C | 3 4 4 1 4 6 1 7 1 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1
4. Të zgjidhen ekuacionet: a)
x 2
2
1 0; x 4
b)
5. Janë dhënë matricat: 1 2 1 1 A 3 0 2 ; B 2 4 1 2 3 3 1 2 1 C 2 1 1 ; D 0 3 1 4 1 Të njehsohet:
2 1 1 3 2x 0 x 1 x x
1 2 1 3 ; 1 4 0 1 0 1 0 1 1 0 1
a) A B ?
b) C D ?
c) A B ?
d) B C ?
e)
BD ?
f ) DB ?
1 1 2 1 1
1 1 1 5 2
1 3 4 1 1
2 1 3 1 4
69
_______________ * MATEMATIKA
II _*_
___________
6. Të vërtetohet se: 1 x1 1 x2 1 x3
x2 x3 x1 x3 0 x1 x2
7. Të njehsohet: f ( A) A2 5 A 8
në qoftë se: 1 1 2 A 2 3 1 4 1 2 8. Të gjendet matrica e adjunguar A * e matricës A në qoftë se: 1 1 0 A 2 1 1 1 2 1
9. Të gjendet matrica inverse A1 e matricës: 1 2 1 4 a) A ; b ) A 4 1 1 3 10. Të llogariten matricat inverse të matricave: 2 4 3 2 1 1 A B C ; ; 1 3 1 3 2 1 1 3 1 D 2 1 1 ; 3 1 2 11. Të njehsohet :
1 2 1 E 3 1 2 2 1 1
2 3 f ( A) A2 3 A 2 A 1 3 në qoftë se: A 3 2 4 1 1 1 1 12. Të gjendet matrica inverse A e matricës: 3 1 4 1 0 0 a ) A 4 2 1 ; b) A 0 1 0 1 3 1 0 0 1 13. Duke aplikuar matricën e zgjeruar të gjendet matrica inverse A1 e matricës: 1 2 1 3 3 1 1 1 A 1 1 2 1 1 1 1 1 14. Të zgjidhet ekuacioni matricial:
70
_______________ * MATEMATIKA II _*_ ___________ A X B në qoftë se 1 3 5 3 A B ; 2 4 1 4 15. Të zgjidhet ekuacioni matricial: A X 3 B 3 X 2 C në qoftë se 1 3 5 3 1 1 ; B ; C 1 4 2 4 2 1 16. Të zgjidhet ekuacioni matricial: A X B C në qoftë se 1 3 5 3 1 1 A ; B ; C 2 4 2 1 1 4 17. Të caktohet rangu i matricës 1 1 2 3 3 1 2 1 1 2 1 a) A b) B 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 18. Me anën e transformimeve elementare të caktohet rangu i matricës 1 2 1 3 1 1 3 1 2 1 A 0 1 3 1 4 1 1 2 1 1 A
19. Të caktohet rangu i matricës për vlera të ndryshme të parametrit real 1 0 2 3 1 2 1 A 4 1 1 1 0 1 1
3.5. Disa lloje të matricave 1. Matrica katrore A (aij ) nn . 2. Matrica trekëndore e sipërme: aij 0; i j. 3. Matrica trekëndore e poshtme: aij 0; i j. 4. Matrica diagonale: aij 0; i j. 5. Matrica skalare (matrica diagonale ku aii k ).
.
