12A - Transverzalne Sile - Primeri

PRESECI NAPREZANI TRANSVERZALNIM TRANSVERZA LNIM SILAMA

P1/1

Primer 1. Dimenzionisati nosa  sistema sistema proste grede, raspona L = 6.0 m, optere # en en jednako raspodeljenim stalnim optere# enjem enjem g = 40 kN/m po  itavom itavom rasponu. U optere# enje enje je ura unata unata i sopstvena težina nosa  a. a. Popre ni ni presek je pravougaoni, dimenzija dimenzija b/d = 25/60 cm. Kvalitet materijala: MB 30, RA 400/500. Dimenzionisanje Dimenzionisanje prema momentima savijanja Pri prora unu unu nominalnog napona smicanja tn koristi se stati  k a visina h, pa je najpre ka potrebno sprovesti dimenzionisanje dimenzionisanje prema momentima savijanja. M g g = = 40×6.0 2 /8 = 180 kNm pretp. a1 = 7 cm 7 = 53 cm

Þ

M u = 1.6×180 = 288 kNm

Þ

h = 60 3RØ19

e b / e a = 3.5 / 9.018 ‰ 53 = Þ 2 . 236 m = 22 .633% 288 ´10 2 25 ´ 2 .05

k =

Aa = 22 .633 ´

25 ´ 53 2 .05 ´ = 15.37 cm2 100 40

usvojeno:

5 5 . 4

3RØ19 4.5 2x8=16 4.5

6RØ19 (17.01 cm2 )

25

3 ´ (4.5 + 9.5 ) a1 = = 7 cm 6 hstv. = 60 - 7 = 53 cm = h pretp. Odre% ivanje ivanje nominalnog napona smicanja T g g = = 40×6.0/2 = 120 kN

tn =

Þ

T u = T mu mu = 1.6×120 = 192 kN

T mu T mu 192 » = = 0.161 kN/cm2 = 1.61 MPa b ´ z b ´ 0 .9 ´ h 25 ´ 0 .9 ´ 53

MB 30

Þ

tr = = 1.1 MPa (  lan 89. Pravilnika BAB 87)  lan

Kako je u najoptere # enijem enijem preseku prekora  ena ena ra unska unska  vrsto vrsto# a betona pri  istom istom smicanju tr , to je potrebno osiguranje armaturom. Istovremeno, može se konstatovati da je

tn = 1.61 MPa < 5 tr = = 5.5 MPa pa nije potrebno korigovati dimenzije dimenzije popre nog nog preseka ili marku betona. Odre% ivanje ivanje dužine osiguranja Predstavlja dužinu na kojoj je prekora  ena ena ra ununska  vrsto vrsto# a tr , odnosno gde je potrebna ra  ununska popre na na i podužna armatura.

l=

L æ t r ö 6 .0 æ 1.1 ö ´ çç1 - ÷÷ = ´ ç1 ÷ = 0.95 m t n ø 2 è 1.61 ø 2 è

Zbog uo enog enog velikog broja grešaka u izradi zadataka, napominje se da ne postoji univerzalni izraz TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA

tn=1.61

tr =1.1

t

l = 0.95

[MPa]

l = 0.95

tr

3.00

3.00

tn

L = 6.00

PRIMERI ZA VEŽBE


P1/2

za odre% ivanje ivanje dužine dužine osiguranja, ve# je je potrebno na # i dužinu dela nosa  a na kome je na pon tn ve# i od  vrsto vrsto# e tr . Odre% ivanje ivanje potrebne armature Osiguranje se vrši popre nom nom (uzengije i, po potrebi, koso povijeni profili), i podužnom armaturom. Kako je nominalni napon smicanja

tn = 1.61 MPa < 3tr = = 3.3 MPa popre na na armatura se odre% uje uje iz redukovanog napona smicanja tRu. 1 ´ (3 tr - tn ) ´ b ´ z 2 1 T bu = ´ (3 ´ 0 .11 - 0 .161) ´ 25 ´ 0 .9 ´ 53 2 T bu =

t

tn=1.61

[MPa]

tr =1.1 =1.1

tRu=0.77

l = 0.95

T bu bu = 100.8 kN

3.00

T Ru Ru = T mu mu - T bu bu = 192 - 100.8 = 91.2 kN

tRu =

T Ru T Ru 91.2 » = = 0.077 kN/cm2 = 0.77 MPa , ili kra# e: e: b ´ z b ´ 0 .9 ´ h 25 ´ 0 .9 ´ 53

tRu =

3 3 ´ (t n - t r ) = ´ (0 .161 - 0 .11) = 0.077 kN/cm2 2 2

Redukovani napon smicanja tRu nema potrebe upore% ivati ivati sa ra unskom unskom  vrsto vrsto# om om tr . Uobi  a jeno je da se kao popre  na na armatura, kad god je to mogu # e, e, koriste dvose  ne ne ajeno vertikalne uzengije. Stoga se usvaja: m = 2 ; q = 45º ; a = 90º i sra unava unava potreban razmak armature (uzengija), iz uslova da napon koji uzengije mogu prihvatiti bude jednak redukovanom naponu smicanja smicanja tRu: m ´ au( 1 ) ´ sv ´ (cos a + sin a ´ cot q ) eu £ b ´ tRu 2 ´ au( 1 ) ´ 40 ´ (cos 90 ° + sin 90 ° ´ cot 45 °) = 41.82 ´ au( 1 ) eu £ 25 ´ 0 .077 Mogu# nosti nosti izbora pre nika nika uzengija su sužene - na raspolaganju su prakti  no no profili Ø8, 1 10 i 12 , pa se redovno usvaja pre  nik nik armature a potrebno rastojanje sra unava: unava: pretp. RØ10 (a u(1) = 0.785 cm2 )

Þ

eu & 41.82×0.785 = 32.9 cm

Nosivost preseka bi bila zadovoljena i usvajanjem razmaka od 30 cm. Ipak, maksimalno rastojanje uzengija uzengija na dužini osiguranja se osiguranja se ograni  a va na: ava

1

Šipke ve# ih ih pre nika nika od 12 mm se ne mogu na propisan na  in in oblikovati (za detalje pogledati odeljak "Oblikovanje armature" u Pravilniku BAB 87,  lanovi lanovi 139-147), dok se šipke pre nika nika manjeg od 8 mm prakti  n o ne mogu nabaviti, pogotovu traženog kvaliteta RA 400/500. no TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA

PRIMERI ZA VEŽBE


P1/3

b = 25 cm ì ü ïh ï eu ,max = min .í 2 = 53 2 = 26 .5 cm ý = 25 cm ï ï 25 cm î þ Usvajanje maksimalnog dopuštenog rastojanja od 25 cm, uz zadržavanje zadržavanje pretpostavljenog pre nika nika uzengija, rezultiralo bi usvajanjem (32.9-25)/25×100% = 31% ve # e armature od ra unski unski potrebne. Stoga je racionalno smanjiti pretpostavljeni pre  nik nik uzengije. Sledi: pretp. RØ8 (a u(1) = 0.503 cm2 ) Þ eu & 41.82×0.503 = 21.0 cm < 25 cm = e u,max. Pored maksimalnog rastojanja, Pravilnik BAB 87 u  lanu lanu 94 propisuje i minimalni procenat armiranja uzengijama uzengijama na dužini osiguranja: osiguranja: m ´ au( 1 ) m uz = ³ 0 .2 % b ´ eu m ´ au( 1 ) 2 ´ 0 .503 = URØ8 Þ eu £ = 20.1 cm > eu,ra . = 21.0 cm b ´ m uz ,min . 25 ´ 0 .2 ´ 10 -2 usvojeno:

URØ8/20 (m=2) (m=2) na dužini l = 1 m

Crveno ozna en en tekst " na na dužini osiguranja" osiguranja " sugeriše da van dužine osiguranja, odnosno na delu nosa  a na kome je tn & tr , nije potrebno zadovoljiti prethodno navedene uslove u pogledu maksimalnog rastojanja ili minimalnog minimalnog procenta armiranja uzengijama. Dodatna podužna zategnuta zategnuta armatura se odre % uje uje iz izraza:

D Aa =

T mu (cot q - cot a ) 2 sv

Posebno se naglašava da je u  lanu lanu 93. Pravilnika BAB 87 u injena injena štamparska greška, pa u izrazu izrazu za D Aa stoji T Ru Ru umesto T mu mu. Greška je navedena na kraju teksta Pravilnika.

D Aa =

192 (cot 45 ° - cot 90 °) = 2.40 cm2 2 ´ 40

Ova armatura se sabira sa postoje # om om armaturom sra unatom unatom za momente savijanja. U preseku sa maksimalnom maksimalnom transverzalnom transverzalnom silom, za koji je armatura sra unata, unata, moment savijanja M=0, pa je D Aa jedina stati  k i potrebna armatura. U ostalim presecima na dužini osiguki ranja ova armatura se smanjuje proporcionalno smanjenju sile T u. Superponira se sa ranja armaturom potrebnom za prihvatanje M, što se, po pravilu, radi grafi  ki ki (  l an 167. Pravilnika lan BAB 87).

usvojeno:

2RØ19 (5.68 cm2 )2

Konstrukcija linije zatežu# ih ih sila Armatura za prihvatanje momenata savijanja sra unava unava se prema izrazu: Aa =

M u M u » z ´ sv 0 .9 ´ h ´ sv

2

lanom 168. Pravilnika BAB 87 odre % eno eno je da se preko " slobodnog slobodnog krajnjeg oslonca oslonca ili krajnjeg oslonca oslonca ' lanom sa delimi  nim uklještenjem" uklještenjem" mora prevesti NAJMANJE TRE ) I NA UKUPNE ARMATURE U POLJU.  nim )INA

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA

PRIMERI ZA VEŽBE


P1/4

Usvajanjem konstantne vrednosti kraka unutrašnjih sila z duž duž nosa a, a, potrebna površina armature u potpunosti pot punosti odgovara promeni momenta savijanja duž nosa  a. a. Sila zatezanja zatezanja u armaturi arm aturi se odre % uje uje kao: Z au = Aa ´ sv =

M u M u » z 0 .9 ´ h

odnosno, dijagram sile zatezanja u armaturi usled M i eventulalno N (linije " M/z M/z ", ",  lan lan 167. BAB 87) je afin sa dijagramom grani  unskog momenta savijanja M u. U konkretnom nog nog ra unskog slu aju, aju, ima oblik kvadratne parabole, sa strelom: M u ,max 288 ´10 2 = f = Z au ,max = = 603.8 kN 0 .9 ´ h 0 .9 ´ 53 Sada je potrebno izvršiti pomeranje linije " M/z M/z " duž ose nosa  a za veli  inu v ,  ija ija vrednost  inu zavisi od na ina ina prihvatanja glavnih napona zatezanja. U primeru se za osiguranje koriste samo vertikalne uzengije, pa je, prema  lanu lanu 167: v = 0.75×h = 0.75×53 =39.75 * 40 40 cm Dobijena je linija zatežu# ih ih sila, sila, prema kojoj se vrši usvajanje armature, odnosno odre % uje uje potrebna dužina dužina pojedinih profila. Razlika Razlika ordinata ove linije i linije " M/z M/z " orijentaciono prikazuje prikazuje potrebnu armaturu D Aa.

Vo% enje enje armature duž nosa  a Armatura je sra unata unata i usvojena u karakteristi  n im presecima (polje - prema M, oslonac nim prema T). U ostalim presecima duž nosa a njeno usvajanje se sprovodi grafi  ki, ki, prema konstruisanoj liniji zatežu# ih ih sila. Usvojena armatura u preseku u polju je RØ19. Sila zatezanja koju može prihvatiti jedna šipka ovog pre nika nika i kvaliteta jednaka je: ( 1 ) = aa( 1 ) ´ sv = 2 .84 ´ 40 = 113.4 kN Z au


PRIMERI ZA VEŽBE


P1/5

Ukupno usvojenih 6 profila mogu prihvatiti silu zatezanja zatezanja Z au = 6 ´113.4 = 680 .4 kN , što je više od potrebne sile Z au,max. ene iz maksimalnog momenta savijanja au,max. = 603.8 kN, odre % ene 3 PRIBLIŽNIM postupkom. Da bi bile odre % ene ene stati  k i potrebne (a time i ukupne) dužine ki svake pojedina  ne ne šipke, potrebno je preko linije zatežu # ih ih sila konstruisati familiju linija koje predstavljaju nosivost armature armat ure (isprekidane ekvidistantne horizontalne linije linije na skici).

Prese ne ne ta ke ke linije zatežu # ih ih sila (potrebna armatura) sa linijama nosivosti (usvojena armatura) ozna ene ene su slovima A do D. Može se uo  iti iti da je Izme% u ta  aka aka D potrebno više od 2RØ19, izme izme% u ta aka aka C više od 3RØ19, izme% u ta  aka aka B više od 4RØ19 i izme% u taaka A više od 5RØ19. Ove stati  ke zahteve potrebno je uklopiti sa konkretnim raspore aka  ke dom armature u preseku i na logi  in ukidati pojedine šipke, vode # i ra una una da: an an na in - u preseku ne može može biti biti manje od dva profila; profila; - raspored armature u odnosu na vertikalnu osu osu preseka treba da bude bude simetri  a n an (izuzetno, i to na vrlo maloj dužini, od toga se može odstupiti kod usvajanja koso povijenih profila); - šipke se iz iz preseka ukidaju obrnutim redosledom od dodavanja dodavanja - najpre se ukidaju ukidaju srednje šipke iz gornjih redova armature, pa redom do dve ugaone. U usvojenom preseku je neparan broj profila u jednom horizontalnom redu, što omogu # aava ve# u fleksibilnost - mogu# e je ukinuti jedan, dva ili sva tri profila odjednom. Mogu# i rasporedi armature nakon ukidanja pojedinih profila prikazani su na narednoj skici. Šipke koje se ukidaju su obeležene praznim kruži # e m. #em. 6RØ19

5RØ19

4RØ19

4RØ19

3RØ19

3RØ19

2RØ19

2RØ19

1RØ19

3RØ19

3RØ19

2RØ19

3RØ19

3RØ19

3

Grafi  k o dimenzionisanje je PRIBLIŽAN postupak i ne služi dimenzionisanju karakteristi  n ih, ve# svih svih ostako nih, lih preseka duž nosa a. a. TA' NA NA vrednost kraka unutrašnjih sila (a time i sile Z au uje dimenzionisaau ) se odre% uje njem. Ukoliko se pri grafi  k oj konstrukciji pojave prividne nedoslednosti vezane za dimenzionisane preseke, koj ignorišu se i prednost daje analiti  k i sprovedenom rešenju, o  emu emu # e u narednom primeru biti više re  i.i. ki TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA

PRIMERI ZA VEŽBE


P1/6

Presek armiran sa 5RØ19 ima dovoljnu nosivost na delu od oslonca sve do ta  ke ke A. Ukoliko se, pak, ukinu dva profila odjednom, preostala armatura je dovoljna od oslonca do ta ke ke B, odnosno šest profila u preseku bi zadržali izme % u ta aka aka B. Pri tome nijedan od dva mogu# a rasporeda ne spada u "idealne". Ukidanje tri profila odjednom bi zahtevalo da se maksimalno potrebna armatura vodi gotovo po  itavom itavom rasponu nosa  a (izme% u ta aka aka C), i  eš eš# e se koristi kada je u pitanju armiranje gornje zone, gde je momentni dijagram strmiji, odnosno razlike razlike u dužinama dužinama pojedinih šipki manje. U primeru je odabrano da se ukine jedan profil. Mesto ukidanja je u ta  ki ki A, odnosno stati  k i potrebna dužina šipke je (premereno sa crteža) 228 cm. Šipka je ozna  ena ena brojem ki 4, koji predstavlja njenu jedinstvenu oznaku u planu i rekapitulaciji armature.

Postupak se u potpunosti ponavlja. U preseku je, na delu izme% u oslonca i ta ke ke A, preostalo 5 profila. Mogu# e je ukinuti srednju šipku iz donjeg reda (ta  ka ka B), ili odjednom dve šipke iz gornjeg reda (ta  ka ka C), što je u primeru odabrano kao rešenje. Stati  k i potki rebna dužina ovih šipki je (mereno) 476 cm. Šipke su ozna ene ene brojem 3.

5RØ19

3RØ19 2RØ19

3RØ19

3RØ19

Kona no, no, izme% u oslonca i ta ke ke C preostala su tri profila u preseku. Mogu# e je ukinuti srednju šipku (ta  ka ka D). Stati  k i potrebna dužina ove šipke je 554 cm, a ozna  ena ena je broki jem 2 . Preostale dve šipke su potrebne celom dužinom nosa a i ozna ene ene su brojem 1.


PRIMERI ZA VEŽBE


P1/7

Na stati  ki potrebne dužine potrebno je dodati i dužine sidrenja, odre % ene ene prema  lanovilanovi ki ma 148-153 Pravilnika BAB 87. Za uslove dobre adhezije (  lan 149 BAB, šipke u donjoj  lan polovini preseka, odnosno udaljene više od 30 cm od gornje ivice pri betoniranju), za usvojen kvalitet materijala sledi: MB 30 ; RA 400/500 Ls1 =

Þ t p = 1.75 MPa

sv Ø Ø 400 ´ = ´ = 31.7×Ø = 31.7×1.9 = 60.3 * 60 60 cm 4 1.8 ´ t p 4 1.8 ´ 1.75


PRIMERI ZA VEŽBE


P2/1

Primer 2. Dimenzionisati

nosa  sistema proste grede, raspona L = 4.5 m, optere# en en koncentrisanim povremenim optere # enjem enjem P = 300 kN koje deluje u tre# ini ini raspona. Sopstvenu težinu nosa  a zanemariti. Popre ni ni presek je pravougaoni, dimenzija dimenzija b/d = 30/65 cm. Kvalitet materijala: MB 25, RA 400/500. 400/ 500. P=300 kN

Dijagrami prese nih nih sila A p = 300×1.5/4.5 = 100 kN

3.00

A

1.50 4.50

B p = 300 - 100 = 200 kN

B

M p,max = = 200×1.5 = 300 kNm Dimenzionisanje Dimenzionisanje prema momentima savijanja

MB 25

Þ

T p

100

M u = 1.8×300 = 540 kNm a1 = 7 cm Þ

M p

300

h = 65 - 7 = 58 cm 200

f B = 17.25 MPa

eb / ea = 3.5 / 3.82 ‰ 58 = Þ k = 1 . 796 m = 38 .709% 540 ´10 2 30 ´ 1.725 30 ´ 58 1.725 ´ Aa = 38 .709 ´ = 29.05 cm2 100 40 usvojeno:

(29.45 6RØ25 (29.45

2RØ25

5 . 5 5 . 4

cm2 )

4RØ25 4.5

3x7=21

Osiguranje na delu uz oslonac B

4.5

30

usvojeno: z % 0.9h 0.9h = 0.9×58 = 52.2 cm = const. B T u,max. u,max. = T u = 1.8×200 = 360 kN

T uB 360 kN tn = = = 0 .230 2 = 2 .30 MPa b ´ z 30 ´ 52 cm

ì > tr = 0 .95 MPa í î< 3 tr = 2 .85 MPa

Kako je napon tn konstantan i ve # i od tr , dužina osiguranja je lb = 150 cm. B tRu =

Usvojeno:

3 kN ´ (0 .230 - 0 .095 ) = 0 .202 2 = 2 .02 MPa 2 cm m = 2 ; q = 45º ; a = 90º

2 ´ au( 1 ) ´ 40 ´ (cos 90 ° + sin 90 ° ´ cot 45 °) = 13.18 ´ au( 1 ) eu £ 30 ´ 0 .202 pretp. RØ10 (a u(1) = 0.785 cm2 ) usvojeno:

D Aa =

Þ

eu & 13.18×0.785 = 10.35 cm

URØ10/10 (m=2) (m=2) na dužini

lb = 1.5 m

360 (cot 45 ° - cot 90 ° ) = 4.50 cm2 2 ´ 40 usvojeno:


(9.82 2RØ25 (9.82

cm2 ) PRIMERI ZA VEŽBE


P2/2

t An =1.15

Osiguranje na delu uz oslonac A T u A = 1.8×100 = 180 kN

t An =

180 kN = 0 .115 2 30 ´ 52 .2 cm

t ARu=0.30

t

ì > tr í< t î 3 r

[MPa] B =2.02 tRu

Kako je napon tn konstantan i ve # i od tr , dužina osiguranja je la = 300 cm.

la = 3.00

3 kN t ARu = ´ (0 .115 - 0 .095 ) = 0 .030 2 2 cm

tnB=2.30 lb = 1.50

2 ´ au( 1 ) ´ 40 ´ (cos 90 ° + sin 90 ° ´ cot 45 °) = 89.15 ´ au( 1 ) eu £ 30 ´ 0 .030 Usvajaju# i iz prakti  n ih razloga isti profil uzengija kao na delu uz oslonac B, sledi: nih pretp. RØ10 (a u(1) = 0.785 cm2 )

Þ

eu & 89.15×0.785 = 70.0 cm

Kako je na dužini osiguranja propisano maksimalno rastojanje uzengija od 25 cm, logi  no no je, me' utim, utim, usvojiti manji pre nik nik armature. Me' utim, utim, ovako veliko ra unski unski potrebno rastojanje uzengija upu # uje uje da treba proveriti minimalni procenat armiranja uzengijama: uzengijama: m ´ au( 1 ) 2 ´ au( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) muz = ³ 0 .2 % Þ eu £ - 2 = 33.3 ´ au < 89.15 ´ au b ´ eu 30 ´ 0 .2 ´10 U ovom slu aju aju merodavne su minimalne, a ne ra  unski unski potrebne uzengije. Nosivost uzengija se odre' uje uje iz izraza:

tu ,u =

m ´ au( 1 ) ´ sv ´ (cos a + sin a ´ cot q) = muz ´ s v ´ (cos a + sin a ´ cot q) b ´ eu

Usvajaju# i uobi  a jene vrednosti uglova ( a = 90º, q = 45º) izraz u zagradi postaje jednak jedinici. ajene Kako procenat armiranja MORA biti barem 0.2% (  l an 94. Pravilnika BAB 87), to nosivost lan minimalno potrebnih uzengija na dužini osiguranja iznosi:

ì0 .2 % ´ 400 = 0 .80 MPa za RA 400 / 500 tu ,u ,MIN = m uz ,MIN ´ s v = 0 .2 % ´ s v = í î0 .2 % ´ 240 = 0 .48 MPa za GA 240 / 360 Princip osiguranja uzengijama da je nosivost usvojenih uzengija u,u barem jednaka maksimalnom redukovanom naponu Ru na dužini osiguranja. Lako je zaklju  iti iti da, ukoliko je napon tRu manji od napred sra  unatih unatih vrednosti (0.8 MPa za rebrastu, odnosno 0.48 MPa za glatku armaturu), MORAJU biti usvojene MINIMALNE uzengije.

URØ10 (au(1) = 0.785 cm2 )

Þ

eu & 33.3×0.785 = 26.2 cm > 25 cm = eu,max.

URØ8 (au(1) = 0.503 cm2 )

Þ

eu & 33.3×0.503 = 16.8 cm

usvojeno:

D Aa =

(m=2) URØ8/15 (m=2)

na dužini lb = 3.0 m

180 (cot 45 ° - cot 90 °) = 2.25 cm2 2 ´ 40 usvojeno:

(9.82 2RØ25 (9.82

cm2 )1

1

Minimalno tre# ina ina armature iz polja,  lan lan 168. Pravilnika BAB 87


PRIMERI ZA VEŽBE


P2/3

Osiguranje na delu uz oslonac B - varijanta

t

Na dužini osiguranja je potrebno postaviti barem minimalno propisane uzengije (  l an 94. BAB), što je u [MPa] lan ovom slu aju aju URØ8/15 (usvojeno na delu uz oslonac A). Napon koji mogu prihvatiti ove uzengije je:

tu ,u

2 ´ 0 .503 = ´ 40 ´ (cos 90 ° + sin 90 ° ´ cot 45 °) 30 ´15

tu ,u = 0 .089

tu,u=0.89 B =2.02 tRu

tnB=2.30 lb = 1.50

kN = 0 .89 MPa cm2

Deo napona smicanja koji prihvataju uzengije ozna  en en je vertikalnom šrafurom. Preostali deo napona tRu, ozna en en ukrštenom šrafurom, prihvata se koso povijenim profilima. To je deo armature iz polja (usvojeni profili RØ25 ), povijen pod uglom ak . Deo dijagrama koji nije šrafiran (razli (r azlika ka tn i tRu ) ) predstavlja deo napona smicanja koji prihvata beton. Sledi: H vu ,k = (0 .202 - 0 .089 ) ´150 ´ 30 = 508 .4 kN

ak = = 45º Þ Aa ,k =

H vu ,k 508 .4 = = 8.99 cm2 sv ´ (cos a k + sin ak ´ cot q) 40 ´ (0 .707 + 0 .707 ´1) usvojeno:

(9.82 2RØ25 (9.82

cm2 )

Kod prora una una dodatne zategnute armature u ovom slu  aju aju potrebno je razdvojiti nosivost uzengija uzengija i betona ( a = 90º) od nosivosti koso povijenih povijenih profila ( a = 45º). Sledi: T bu =

1 ´ (3 ´ 0 .095 - 0 .230 ) ´ 30 ´ 52 .2 = 43.2 kN 2

T u ,u = tu ,u ´ b ´ z = 0 .089 ´ 30 ´ 52 .2 = 139.9 kN

D Aa =

43.2 + 139.9 (cot 45 ° - cot 90 °) = 2.29 cm2 2 ´ 40 usvojeno:


2RØ25 (9.82 (9.82

cm2 )

PRIMERI ZA VEŽBE


P3/1

P=240kN

Primer 3

Dimenzionisati nosa  siste sistema proste grede,  iji iji su optere# enje enje i popre ni ni presek prikazani na skici. MB 30, RA 400/500.

g=40kN/m

STATI  K KI I UTICAJI

a. stalno optere # enje enje

b. povremeno optere# enje enje

Ag = = Bg = = 40.0 ´ 6.0 / 2 = 120 kN

A p = 2.0 ´ 240.0 240.0 / 6.0 = 80 kN

M g,max = 40.0 ´ 6.0 6.0 2 / 8 = 180 kNm g,max =

B p = 4.0 ´ 240.0 240.0 / 6.0 = 160 kN M p,max = = 160 ´ 2.0 2.0 = 320 kNm (x = 4.0 m)

g=40kN/m

P=240kN

A

B Ag=120

Bg=120

0 6 1

A

B Ap=80

Bp=160

Mg

0 2 3

Mp

m N k 0 2 3 =

m N k 0 8 1 = g

p

M .

M .

Tg

x a m

0 4 0 2 1

x a m

0 2 1

0 6 1

0 8

Tp 0 6 1

0 8

DIMENZIONISANJE PREMA MOMENTIMA SAVIJANJA

MB 30

Þ f B = 2.05 kN/cm2

Mu 2 3 8

RA 400/500 Þ sv = = 40 kN/cm2 Maksimalni moment savijanja M u, merodavan za dimenzionisanje, je u preseku u kome je za odgovaraju # u kombinaciju uticaja T u=0. Sa dijagrama desno jasno je da je to presek na x = 4.0 m od oslonca A, gde je:

2 3 8 = u

M . x a m

2

M g = 80 ´ 4 .0 - 40 ´ 4 .0 /2 = 160 kNm ´4.0 ´4.0 g = M p= 80 ´ 4 .0 = 320 kNm = M p,max. ´4.0 M u = 1.6 ´ 1 60 + 1.8 ´ 3 20 = 832 kNm ´160 ´320

PRIMERI ZA VEŽBE

2 5 3 6 3 3

0 8

Tu 0 8 4


P3/2

Pritisnuta je gornja ivica nosa  a, a, pa je oblik pritisnute zone preseka ili pravougaoni, širine B, ili, za slu aj aj da je neutralna linija u rebru, oblika T . Pretpostavlja se da je neutralna linija u plo i:i:

ìb + 20 ´ d p = 25 + 20 ´15 = 325 cm ü B = min. í ý = 175 cm + ´ = + ´ = b 0 . 25 l 25 0 . 25 600 175 cm 0 î þ pretp. a1 = 9 cm Þ h h = 65 - 9 = 56 cm k =

2RØ25

56 = 3.677 2 832 ´10 175 ´ 2 .05

2RØ12 URØ10/25 2RØ25

eb / ea = 1.558/10‰ ; m = 7.775% ; s = 0.135 x = s´ h = 0.135 ´ 5 6 = 7.55 cm < 15 cm = d p ´56 Pretpostavka o položaju neutralne linije je dobra, pa se potrebna površina zategnute armature odre% uje uje iz izraza:

3RØ25

3RØ25

175 ´ 56 2 .05 ´ = 39.05 cm2 100 40 usvojeno: 8 RØ 25 (39.27 cm2 )

Aa , potr . = 7 .775 ´

a1 =

3 ´ 4.5 + 3 ´10 + 2 ´15 .5 = 9.3 cm Þ h hstv. = 65 - 9.3 = 55.7 cm » 56 56 cm = h pretp. 8

DIMENZIONISANJE PREMA GLAVNIM NAPONIMA ZATEZANJA

MB 30

Þ

tr = = 1.1 MPa MPa (  l an 89. Pravilnika BAB 87) lan

Usvojeno je za sve preseke z b = 0.9´ h = 0.9´ 56 56 = 50.4 cm. a. levi deo nosa a (A-C)

88.5

T u A = 1.6 ´ 1 20 + 1.8 ´ 8 0 = 336 kN ´120 ´80

t An =

336 = 0.267 kN/cm2 > tr 25 ´ 50 .4

T uC,levo = 1.6 ´ ( -40) + 1.8 ´ 8 0 = 80 kN ´(-40) ´80

tC n ,levo

80 = 0.063 kN/cm2 < tr = 25 ´ 50 .4

88

tnA=2.67

t

A tRu =2.35

[MPa] 1 5 . 2 =

) u 1 , ( u t

8 6 . 1 =

) u 2 , ( u t

tr =1.1 =1.1 tCn =0.63

1 0 . 1 =

) u 3 , ( u t

l=308.4

2 .67 - 1.1 = 308.4 cm 2 .67 - 0 .63

Osiguranje se vrši vertikalnim uzengijama, a prema dijagramu tRu.

tn A = 2.67 MPa < 3tr PRIMERI ZA VEŽBE

91.6 400

t An - tr l1 = L A-C ´ A C ,levo t n - tn l1 = 400 ´

131.9

Þ

tRu A =

3 ´ (2 .67 - 1.1) = 2.35 MPa 2


P3/3

m = 2 ; q = 45° ; a = 90° ; URØ10 (au(1)=0.785 cm2 )

usvojeno:

2 ´ 0 .785 (1) ´ 40 ´ (1 + 0 ´ 1) =13.62 ´ = 10.69 cm Þ usvojeno eu = 10 cm ´a u 25 ´ 0 .235 Odgovaraju# i napon koji nose ove uzengije je: eu =

t

( 1 ) u ,u

m × au( 1 ) 2 ´ 0 .785 = × sv × (cos a + sin a cot q) = ´ 40 ´ (1 + 0 ´ 1) = 0.251 kN/cm2 > tRu,max. b × eu 25 ´ 10

Više kao prikaz prakti  nog postupka nego stvarne potrebe za uštedom armature, izvršeno  nog je prore% ivanje ivanje uzengija na pojedinim delovima dužine osiguranja. Za usvojene uzengije Ø10 maksimalno rastojanje, odre% eno eno iz zadovoljenja muz,min.= 0.2% je: eu £

( 1 ) u

m ×a b × m uz ,min .

ì b = 25 cm ü 2 ´ 0 .785 ï ï = = 31.4 cm ; eu £ min .íh 2 = 28 cm ý Þ usv. eu = 25 cm -2 25 ´ 0 .2 ´ 10 ï 25 cm ï î þ

Odgovaraju# i napon koji nose ove uzengije je:

t

( 3 ) u ,u

m × au( 1 ) 2 ´ 0 .785 = × sv × (cos a + sin a × cot q) = ´ 40 ´ (1 + 0 ´ 1) = 0.101 kN/cm2 b × eu 25 ´ 25

Deo na kome su potrebne uzengije guš # e od minimalih odre % uje uje se iz dijagrama tRu:

æ t( u3,u ) ö 0 .101 ö ÷ = 308 .4 ´ æ x 3 = l1 ´ çç1 1 ç ÷ = 176.5 cm ÷ t 0 . 235 è ø Ru ,max . ø è Dodatno prore% ivanje ivanje je u injeno injeno usvajanjem uzengija URØ10/15: m × au( 1 ) 2 ´ 0 .785 ( 2 ) tu ,u = × sv × (cos a + sin a × cot q) = ´ 40 ´ (1 + 0 ´ 1) = 0.168 kN/cm2 b × eu 25 ´15 Deo nosa a na kome su potrebne uzengije guš # e od ovih odre% uje uje se iz dijagrama tRu:

æ t( u2 ,u ) ö 0 .168 ö ÷ = 308 .4 ´ æ x 2 = l1 ´ çç1 1 ç ÷ = 88.5 cm ÷ t 0 . 235 è ø Ru ,max . ø è Kona no, no, usvojeno je: usvojeno: URØ 10/10 (m=2) na dužini 90 cm > x 2 2 URØ 10/15 (m=2) na dužini 90 cm > x 3-x 2 2 (m=2) na ostalom delu dužine l1 URØ 10/25 dodatna zategnuta armatura: D Aa =

T mu 336 ´ (cot q - cot a) = ´ (1 - 0 ) = 4.20 cm2 2 sv 2 ´ 40 usvojeno:

1

3 RØ 25 (14.73

cm2 )1

Usvojene su 3RØ25 kao MINIMALNO TRE & I NA šipki iz polja koje se moraju prevesti preko slobodnog &INA oslonca (  lan 168. Pravilnika BAB 87)  lan PRIMERI ZA VEŽBE


P3/4

b. desni deo nosa a (deo C-B) TuB =

1.6 ´ 1 20 + 1.8 ´ 1 60 = 480 kN ´120 ´160

100.3 B tnB=tRu =3.81

[MPa]

tCn =2.79

480 t = = 0.381 kN/cm2 > tr 25 ´ 50 .4 C ,desno

t

3tr

B n

Tu

99.7

At

tCRu=2.54

= 1.6 ´ 4 0 + 1.8 ´ 1 60 = 352 kN ´40 ´160

tC n ,desno =

352 = 0.279 kN/cm2 > tr 25 ´ 50 .4

8 6 . 1 =

) u 1 , ( u t

Kako je na  itavom itavom delu nosa a prekora ena ena vrednost tr , to je dužina osiguranja l2 = = 2.0 m. Osiguranje se vrši vertikalnim uzengijama i koso povijenim profilima, a prema dijagramu tRu.

t nB > 3tr Þ TbuB = 0

Þ

l=200

B tRu = tnB = 0.381 kN/cm2

Napon 3tr je je prekora en en na delu nosa  a dužine l 3 = 200 ´ 3 ´ (0 .279 - 0 .11) = 0.254 kN/cm2 2 Usvojene su na  itavoj itavoj dužini osiguranja vertikalne uzengije

3.81 - 3.3 = 100.3 cm 3.81 - 2 .79

tC n ,desno < 3tr Þ tC Ru,desno =

tu ,u

URØ10/15 :

m ´ au( 1 ) 2 ´ 0 .785 = ´ sv ´ (cos a + sin a ´ ctg q) = ´ 40 ´ (1 + 0 ´1) = 0.168 kN/cm2 b ´ eu 25 ´15

Na dijagramu tRu u prilogu je deo napona koji prihvataju uzengije šrafiran vertikalnom, a deo koji je potrebno prihvatiti koso povijenim profilima ukrštenom šrafurom. Sledi:

éæ 0 .381 + 0 .33 ù 0 .33 + 0 .254 ö ´100 .3 + ´ 99.7 ÷ - 0 .168 ´ 200 ú ´ 25 = 781.5 kN H vu ,k = êç 2 2 ø ëè û usvojeno: Aa ,k =

= 45° (ugao pod kojim se povijaju profili) q = 45° ; ak =

H vu ,k 781.5 = = 13.81 cm2 sv ´ (cos ak + sin a k ´ cot q) 40 ´ (0 .707 + 0 .707 ´ 1.0 )

2 3 RØ 25 (14.73 cm ) usvojeno: Ta na na mesta povijanja kosih profila odre % uju uju se grafi  ki, konstrukcijom integralne krive.  ki, dodatna zategnuta armatura:

T u,u 2 5 ´ 5 0.4 = 211.1 kN ´25 ´50.4 u,u = tu,u´ b´ z = 0.168 ´ red. T mu = T u,u mu u,u + T bu bu = 211.1 + 0 = 211.1 kN red . T mu 211.1 D Aa = ´ (cot q - cot a ) = ´ (1 - 0 ) = 2.64 cm2 2 sv 2 ´ 40 2 2 3 RØ 25 (14.73 cm ) usvojeno:

2

Videti napomenu za deo A-B (  lan 168. Pravilnika BAB 87)  lan

PRIMERI ZA VEŽBE

12A - Transverzalne Sile - Primeri

Recommend Documents