13. Calculo Mercantil y Financiero

Cálculo Mercantil y Financiero

Diversificado

PROYECTO UNIDAD I............................................. 2

PROYECTO UNIDAD III .........................................69

UNIDAD 1 .............................................................. 4

UNIDAD 3.............................................................70

COMPETENCIA 1.1................................................. 4 INDICADOR 1.1.1 .................................................. 4 1.1.1 LOGARITMOS ............................................... 4 1.1.1.1 Bases de logaritmos más utilizadas. 5 1.1.1.2 Partes de un Logaritmo. ................... 7 1.1.1.3 Cálculo de la Característica de un logaritmo. .................................................... 7 1.1.1.4. Cálculo de la Mantisa. ..................... 8 1.1.1.5 Antilogaritmo. ................................. 9 1.1.1.6 Cologaritmo y su cálculo. ................ 9 1.1.1.7. Propiedades de los Logaritmos: ... 12 1.1.1.8 Aplicación de Logaritmos. .............. 14 ACTIVIDAD. ..................................................... 21 INDICADOR 1.1.2 ................................................ 25 1.1.2 PROGRESIONES ........................................... 25 1.1.2.1 Progresión aritmética:.................... 25 ACTIVIDAD. ........................................................ 32 1.1.2.2 Progresiones Geométricas: ........... 34 ACTIVIDAD. ........................................................ 40

COMPETENCIA 3.1.1 ............................................70 INDICADOR 3.1.1.................................................70 3.1.1 RENTAS Y ANUALIDADES. ..............................70 3.1.1.1 Cálculo de la Renta anual Constante(R):..............................................71 3.1.1.2. Rentas variables en progresión geométrica .................................................76 ACTIVIDAD.......................................................83 3.1.2 INDICADOR.................................................84 3.1.2 AMORTIZACIONES........................................84 3.1.2.1 Método de cuota de amortización constante método lineal:............................85 PROYECTO UNIDAD IV.........................................90 UNIDAD 4 ............................................................91 COMPETENCIA 4.1.1 ............................................91 4.1.1. INDICADOR................................................91 4.1.1 DESCUENTO BANCARIO. ...............................91 4.1.1.1. Descuento Racional Compuesto ....93 4.1.1.2 Valor nominal: ................................94 4.1.1.3 Valor actual: ...................................94 4.1.1.4 Formulas Descuento racional compuesto ..................................................94 ACTIVIDAD..........................................................97 4.1.2. INDICADOR................................................98 4.1.2.1 Depreciaciones de Activos. .............98 4.1.2.2 Método de línea recta ....................99 4.1.2.3 Método de las unidades producidas100 4.1.2.4 Porcentajes y Fórmulas. ...............101 4.1.3. INDICADOR..............................................102 4.1.3.1 Prorrateo de Facturas...................102 4.1.3.2 Costos. ..........................................105 4.1.3.3 Costos Unitarios (fijos). ................105 4.1.3.4 Costos Totales. .............................105 ACTIVIDAD.....................................................106

PROYECTO UNIDAD II.......................................... 43 UNIDAD 2 ............................................................ 44 COMPETENCIA 2.1.1............................................ 44 INDICADOR 2.1.1 ................................................ 45 2.1.1 INTERÉS..................................................... 45 2.1.1.1 Interés Simple. ................................ 45 2.1.1.2 Interés Compuesto: ........................ 46 2.1.1.3 Monto simple y compuesto (S) ....... 47 2.1.1.4 Tasa nominal y efectiva (j) ............. 48 2.1.1.5 Cálculo del monto con tiempo fraccionario: ............................................... 54 ACTIVIDAD ......................................................... 56 ACTIVIDAD ......................................................... 59 ACTIVIDAD ......................................................... 65

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Diversificado

Centro de Estudios Técnicos y Avanzados de Chimaltenango. Asignatura: Cálculo Mercantil y Financiero

Primera Unidad Ciclo Escolar / Profesor(a):

PLANIFICACION UNIDAD DE APRENDIZAJE SEMANA 1: ____/____/_____ al ____/____/____ ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Clase Magistral. Consulta libro de texto, e Internet, Introducción a la Estadística, Evolución e Historia. Características y Diferencias sobre Población y Muestreo. SEMANA 2: ____/____/_____ al ____/____/____

Declarativos: PROCEDIMIENTO

Prueba Objetiva

PUNTEO

FECHA

PUNTEO

FECHA

PUNTEO

FECHA

PUNTEO

Declarativos:

Declarativos:

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE PROCEDIMIENTO Clase Magistral. Consulta libro de texto, e Internet, Explicaciones Presentación Gráfica de Datos, Histograma y Polígono Interrogantes. de Frecuencias, ejercicios y su resolución final. Laboratorios Cortos. Ejercicios prácticos SEMANA 7: ____/____/_____ al ____/____/____

FECHA

Declarativos:

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE PROCEDIMIENTO Clase Magistral. Consulta libro de texto, e Internet, Explicaciones Ejercicios prácticos sobre la elaboración de marcas de Interrogantes. clase frecuencia acumulativa relativa. Laboratorios Cortos. Ejercicios prácticos SEMANA 6: ____/____/_____ al ____/____/____

PUNTEO

Declarativos:

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE PROCEDIMIENTO Clase Magistral. Consulta libro de texto, e Internet, Explicaciones Introducción al tema de la Distribución de Frecuencias. Interrogantes. Practica y definiciones Laboratorios Cortos. Ejercicios prácticos SEMANA 5: ____/____/_____ al ____/____/____

FECHA

Declarativos:

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE PROCEDIMIENTO Clase Magistral. Consulta libro de texto, e Internet, Explicaciones Investigación Científica, Planeamiento, Recolección y Interrogantes. Procesamiento y análisis. Laboratorios Cortos. Ejercicios prácticos SEMANA 4: ____/____/_____ al ____/____/____

PUNTEO

Explicaciones Interrogantes. Laboratorios Cortos. Ejercicios prácticos

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE PROCEDIMIENTO Clase Magistral. Consulta libro de texto, e Internet, Explicaciones Definición entre escalas de medición, nominales, Interrogantes. ordinales, de intervalos y razones o cocientes. Laboratorios Cortos. Ejercicios prácticos SEMANA 3: ___/____/_____ al ____/____/____

FECHA

EVALUACION FINAL DE UNIDAD Sobre contenido teórico y práctico visto en clase

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Diversificado

Proyecto Unidad I Instrucciones: A continuación debe desarrollar el Proyecto de Unidad en el cual se mostrará las capacidades aprendidas durante el bimestre.

Resuelva los Siguientes Ejercicios sobre:_________________________________________ 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Formato de Entrega: En hojas tamaño carta bond en blanco, incluir carátula con todos sus datos Debe ser realizado a mano y a lápiz, solo respuestas a lapicero. Solo debe engraparse.

Fecha de Entrega: Entrega: ____/____/________.

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Diversificado

Unidad 1

Competencia 1.1 Aplica los conocimientos de matemática financiera para la solución de problemas de tipo mercantil.

Indicador 1.1.1 Interpretarás la definición de un Logaritmo de base diez, como también los naturales, su . función y aplicación en el despeje de ejercicios de carácter aritmético y financiero.

1.1.1 Logaritmos El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar otra cantidad (tomada como base del sistema), para obtener el número dado. Los Logaritmos fueron creados en un principio con base de una cantidad entera y cuatro cifras decimales, pero con la invención de aparatos de cálculo como calculadoras, sumadoras, computadoras, etc. La base de los logaritmos se amplió en cantidades decimales hasta nuestros días, convirtiéndose en Logaritmos de base diez.

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Diversificado

Los sistemas de Logaritmos usados, generalmente son dos: El sistema de Logaritmos Vulgares o de Briggs, cuya base en diez, y el sistema de Logaritmos naturales o Neperianos creados por Napier, cuya base es el número inconmensurable. Napier era un terrateniente escocés (no era por lo tanto, un profesional de las matemáticas). Napier seguramente estudió las sucesiones de las potencias de un número y se percató que los productos y cocientes de dos números de dichas sucesiones son iguales a las potencias de las sumas o diferencias de los exponentes de dichos números (an.am = a(n+m)). Pero estas sucesiones no resultaban útiles para el cálculo porque entre dos potencias sucesivas había un hueco muy grande y la interpolación que había que hacer era muy imprecisa. Para conseguir que los términos de la progresión geométrica formada por las potencias enteras de un número estuviesen próximas, tomó un número muy próximo a 1 (Napier tomó el número 0,9999999 = 1- 10-7). Para evitar el uso de decimales multiplicó todas las potencias por 107. Entonces cualquier número a = 10 7(1-10-7)b . b sería el logaritmo de a.

Este sistema de cálculo fue aceptado con gran rapidez. Entre los más entusiastas estaba Henry Briggs. Briggs visitó a Napier en 1615 y entre los dos vieron la posibilidad de hacer algunas modificaciones. Briggs, en vez de tomar un número muy próximo a 1, partió de la igualdad log 10 = 1 y después fue calculando otros logaritmos tomando raíces sucesivamente (como la raíz cuadrada de 10 es 3,1622, entonces el logaritmo de 3,1622 es 2). En 1617 publicó Logarithnmorum chilias prima (Logaritmos de los números 1 al 1000) y en 1624 publicó Arithmetica logarítmica. 1.1.1.1 Bases de logaritmos más utilizadas. De lo visto hasta ahora se deduce fácilmente que el logaritmo de un número depende de la base que utilicemos. Las bases más utilizadas son 10 y e. Los logaritmos de base 10 se llaman logaritmos decimales y los de base e neperianos o naturales. El logaritmo decimal de un número (por ejemplo log 3510 = 3,545307...) tiene una parte entera y una parte decimal. A la parte entera se le llama

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Diversificado

característica del logaritmo y a la parte decimal mantisa del logaritmo. Para explicar la definición anterior, tomemos el siguiente ejemplo: 32 = 9 Tenemos la base (b) = 3 El exponente (x) = 2 El número (n)= 9 (resultado de elevar 3 al cuadrado). Diremos que el logaritmo de 9 en la base 3 es igual a 2, por que 2 es el exponente al que hay que elevar la base 3 para obtener 9. Es decir: Log3 9 = 2 Lo anterior se lee: “logaritmo de 9 en la base 3 es igual a 2” Para denotar un logaritmo se hace de la siguiente forma: log b a x y se lee: “El logaritmo de a en la base b es igual a c”. Consideremos los siguientes logaritmos usando la base 2: Ejemplo. 20 21 22 23

= 1 = 2 = 4 = 8

l0g2 log2 log2 log2

1 2 4 8

= = = =

0 1 2 3

Si tomamos como base el número 2 (ejemplo anterior), el logaritmo de 1 en la base 2 es cero porque cero es el exponente al que hay que elevar la base 2 para obtener 1. El logaritmo de 2 es 1, porque 1 es el exponente al que hay que elevar la base para obtener 2. Si usamos la base 6: Ejemplo. 60 = 1 log6 l =0 1 6 = 6 log6 6 =1 62 = 36 log6 36 =2 63 = 216 log6 216 = 3 Al momento de aplicar los Logaritmos en números naturales, la máquina de calcular (calculadora) ya está programada para calcular el Log, de base diez (10) por tal motivo en tu pantalla te aparecerá las letras “log “ en el extremo superior del lado izquierdo. Ejemplo. Log. 235 Log. 18 Log. 1,609 Log. 587

= = = =

2.371067862 1.255272505 3.206556044 2.768638101

NOTA: Puedes observar que los Logaritmos de los números dados, se componen de una cantidad entera y nueve decimales para completar diez dígitos, se cumple la ley de Logaritmos de base diez.

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Diversificado

(Para aplicar los Logaritmos, utilizarás la tecla Log de tu calculadora científica y luego ingresarás el número que desees despejar).

1.1.1.2 Partes de un Logaritmo. Todo logaritmo decimal consta de una parte entera y una parte decimal o fraccionaria. A la parte entera se le llama Característica y a la parte fraccionaria se le llama Mantisa.

Log. 735 = 2.866287339

Característica

Mantisa.

La característica de un logaritmo puede ser positiva o negativa. Será positiva cuando se trate del logaritmo de un número mayor que uno. Será negativa cuando corresponda al logaritmo de un número positivo menor que uno.

Log. 321 = 2.506505032 Log. 16 = 1.204119983 Log. 0.2889 = -0.539252458 Log. 0.9 = -0.04575749

La mantisa de un logaritmo siempre será positiva, por eso cuando la característica de un logaritmo sea negativa, siempre se escribe un signo negativo encima del número y nunca antes del mismo. Si se pusiera adelante del número indicaría que tanto característica como mantisa son negativas, es decir:

Log. 0.0025 = -3.397940009 incorrecto Log. 0.0025 = 3 . 397940009 correcto

1.1.1.3 Cálculo de la Característica de un logaritmo. a) Cuando se trata de un entero o entero con decimal: Se cuenta el número de cifras enteras y se le resta una unidad. El número obtenido es la característica.

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Diversificado

Ejemplo: Encontrar la característica de los logaritmos de los siguientes números: 1) 625 Como 625 tiene 3 cifras enteras, 3- 1 = 2, por lo tanto la característica del logaritmo de 625 es (2) 2) 7856.183 En este número los enteros son 7856, ya que 183 es decimal. Como para la característica se cuentan las cifras enteras tenemos 4- 1 = 3. Se define entonces que por lo tanto la característica del logaritmo de7856.183 es (3)… Número 3) 18 4) 2 5) 74846

característica 1. 0. (Una cifra entera menos 1 = 0) 4.

b) Cuando se trata de un decimal: Se cuenta el número de ceros que anteceden a la primera cifra significativa, tomando en cuenta el cero que representa a los enteros. El número obtenido será la característica, recordando que se le pone encima el signo menos.

Ejemplo: Calcular la característica de los logaritmos de los siguientes decimales: 1) 0.000083 El número anterior es un decimal. Contamos el número de ceros que van antes de 8 (primera cifra significativa) y tomando en cuenta el cero que representa a los enteros obtenemos el número 5. Entonces la característica de 0.000083 es (5).

01.)

Número 0.0000023

02.)

0.019

03.) 04.)

0.00000000400 0.25

característica del Log. 6

2 9 1

1.1.1.4. Cálculo de la Mantisa. La mantisa por lo regular estará compuesta por nueve cifras significativas a partir de la primera que se cuenta a partir del punto decimal lado derecho, en el despeje de ejercicios

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Diversificado

matemáticos resueltos en forma simultánea, aplicando logaritmos y aritmética, la exactitud que debe existir en ambos resultados será de la misma cantidad entera y por lo menos cuatro cifras decimales en común para determinar un procedimiento de despeje correcto. En la aplicación de ejercicios aritméticos, podrás observar esta definición en las cantidades numéricas despejadas.

1.1.1.5 Antilogaritmo. El antilogaritmo es el número que corresponde a un logaritmo dado. Por ejemplo:

El Log., de 525 = 2.720159303 El Anti log., de 2.720159303 = 525 Anti log., de 3.818753591 = 6588. Anti log., de 1.812913357 = 65. Anti log., de 2.737987326 = 547. Por lo tanto, dado un logaritmo se puede calcular su antilogaritmo, que no es más que el número que originó el logaritmo. (El cálculo del anti log se aplica utilizando la segunda función de tu calculadora científica y la tecla Log)

1.1.1.6 Cologaritmo y su cálculo. Se define con este nombre el logaritmo del inverso multiplicativo de un número. Por ejemplo el cologaritmo de 7 es el logaritmo de 1/7. El cologaritmo de 5 es igual al logaritmo de 1/5; o directamente con cantidades quebradas, quedará así:

a). 2 = 1 1 2

= 0.5 = Colg. 1.698970004

b). 2 = 3 3 2

= 1.5 = Colg. 0. 176091259

Cálculo de cologaritmo Para calcular el cologaritmo de un número se siguen los siguientes pasos:

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Diversificado

a) Se encuentra el logaritmo del número. b) A la característica del logaritmo encontrado se le suma una unidad y se le cambia de signo. Las cifras de la mantisa se restan de 9, exceptuando la última cifra significativa de la derecha que se restará de 10. Ejemplos, hallar el cologaritmo de los siguientes números:

1) 425.8 Encontramos su logaritmo:

Log 425.8 = 2.62921

A la característica le sumamos una unidad 2 + 1 = 3 y le cambiamos de signo 3 . Las cifras de la mantisa se restan de 9, exceptuando la última de la derecha que se resta de 10: 9999 10 6292 1 3707

9

Por lo tanto Colog. De 425.8 = 3 . 37079

2) Cologaritmo de 26.54 Log. 26.54 = 1.42390 1 + 1 = 2 cambio de signo 2 Haciendo la resta: 999 10 423 9 0

-------

576 1 0 Colog. 26.54 = 2 . 5760 En el ejemplo anterior la última cifra significativa es 9 por lo que se restó de diez. El cero se agrega al final. Colog. de 0.002

Log. 0.002 = 30103

10


Diversificado

3+1=2

cambio de signo = 2

Haciendo la resta: 9999 10 3010 3

-

6989 7 Colog. 0.002 = 2.69897

NOTA: Al utilizar la máquina de calcular (calculadora) en el procedimiento para obtener el Cologaritmo de un número, se ingresa a la calculadora el Logaritmo determinado, se presiona la tecla de la segunda función “shift” y seguidamente la tecla Log. Finalmente la tecla igual. a). 800

= Log. 2.903089987 = “shift”, “Log”, =

b). 0.125 = Log. -0.903089987 =

,

c). 2,436 = Log. 3.386677284 = , ACTIVIDAD.

800

,

=

0.125

,

=

2,4236

En la siguiente hoja de trabajo, aplicando los cálculos necesarios localiza lo que se te pide en cada caso.

I.

Encuentre la característica del logaritmo de cada uno de los siguientes números:

1).83 __________________ 4)0.000048 ________________ 7) 5 _______________________

2) 245.83 _______________ 3) 0.425 _______________ 5)13 ____________________ 6) 13.5 ________________ 8) 345683.6 _____________ 9) 0.0000007____________

II. Hallar los siguientes logaritmos (interpolarlos) 19) 45.8975 _____________________ 22) 187.65433 ___________________

20) 0.0543287 __________________________ 21) 8643.75 ___________________________

IV) Hallar el antilogaritmo de los siguientes logaritmos: 23) 2.70252 _____________ 24) 3 .84161________________ 25) 1.75105________________

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Diversificado

26) 0,42959 _____________ 27) 1. 08422 _________________ 28 5 . 17026________________ 29) 1.17026______________30) 2.91206__________________ 31) 0.93374_______________ IV. Hallar el Antilog. de: 32) 3 . 16249

33.) 2 . 49740

34) 2.32233

35) 3.50845

VI. Hallar el Cologaritmo de: 36) 0.008 _________________37) 8610__________________38) 0.0057_________________ 39) 11.66 _________________40) 157.8__________________41) 432.17_________________ 42) 53.25 _________________43) 8______________________ 44) 43____________________ VII. Interpolar los logaritmos de los números: 45) 33.1825

46) 0.034168

1.1.1.7. Propiedades de los Logaritmos: La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativo es decir, que la base de un sistema de logaritmos siempre será mayor que cero (positiva) La base no puede ser negativa porque sus potencias pares serian positivas y las impares negativa obteniendo una serie alternativa de números positivos y negativos, con esto resultaría que algunos números positivos no tendrían logaritmo. Aclaremos esto tomando como base -2: -21= -2

log-2

-2 = 1

-22 = (-2) (-2) = 4

log-2

4 = 2

-23 = (-2) (-2) (-2) = -8

log-2

-8 = 3

-24 = (-2) (-2) (-2) (-2) = 16

log-2

16 = 4

-25 = (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) = -32 log-2 -32 = 5 Vemos por el ejemplo que el logaritmo de -8 es 3. porque 3 es el exponente al que hay que elevar -2 para obtener -8, pero el logaritmo de ÷8 no existe en la base -2, porque siempre que elevemos una base negativa a un exponente impar el resultado es negativo (-8) y nunca positivo (+8).

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Diversificado

b) Los números negativos no tienen logaritmo: Como en la propiedad anterior establecimos que la base no puede ser negativa sino positiva, todos los números que obtengamos serán positivos, ya que todo número positivo elevado a un exponente par o impar, su resultado será positivo. c) El logaritmo de uno es Igual a cero: En cualquier sistema de logaritmos, el logaritmo de 1 es igual a cero, ya que todo número diferente de cero elevado a la potencia cero es igual a uno. Por ejemplo: 2° = 1 10° = 1 k = 1

Log2 Log 10 Log 

1=0 1=0 1 = 0 donde K  0

d) El logaritmo de la base es uno: En cualquier sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es 1 porque todo número elevado a la potencia 1 es igual al mismo número. Es decir: b1 = b 31 = 3 51 = 5

Log b log3 log5

b= 1 3=1 5=1

e) Los números mayores que uno tienen logaritmo positivo: Todos los números mayores que 1 tendrán siempre logaritmo positivo, porque ya vimos que Log 1 = 0, entonces los logaritmos de los números mayores que 1 serán mayores que cero (positivo). Veamos: 3° 31 32 33

=1 =3 =9 = 27

log3 log3 log3 log3

1 = 3 = 9 = 27 =

0 1 2 3

> 0 (positivos)

f) Los números positivos menores que uno tienen logaritmo negativo: Lo anterior se explica viendo que como log 1 = 0 entonces los logaritmos de los números menores que 1, serán menores que cero, es decir, serán negativos. Por ejemplo usando la base 10, el logaritmo de0.01 = -2 (esto se ampliará más adelante). Según lo anterior, se puede concluir que cualquier número natural mayor que uno se puede tomar como base de un sistema de logaritmos. En este texto se usarán únicamente los logaritmos de base 10 (vulgares) ya que son los utilizan en la mayoría de los cálculos de Matemática financiera. Cuando se trabaja con los logaritmos vulgares o decimales no es necesario escribir la base, se sobreentiende. Es decir: Log10 1 = 0

se escribe así, log 1 = 0

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Diversificado

Algunos de los logaritmos decimales aparecen a continuación: 10° 101 102 103 104

= 1 = 10 = 100 = 1000 = 10000

log1 =0 log10 =1 log 100 =2 log 1000 =3 log 10000 = 4

Los logaritmos de algunos decimales se dan a continuación: 10-1 = 10-2 = 10-3 = 10-4 =

1/10 0.1 1/102 0.01 1/103 0.001 1/104 0.0001

log 0.1 log 0.01 log 0.001 log 0.0001

= -1 = -2 = -3 =-4

Recordemos que para convertir una potencia con exponente negativo en una potencia con exponente positivo, se escribe una fracción que lleva como numerador la unidad y como denominador la misma potencia con exponente positivo. Es decir: a-n = 1/an

a 0

1.1.1.8 Aplicación de Logaritmos. Siendo un ente de cálculo científico, y con base a lo aprendido sobre la naturaleza de los Logaritmos y sus propiedades, los mismos se fusionan para el despeje de ejercicios aritméticos como auxiliares en el proceso de verificación de un proceso correcto de cálculo matemático. Por lo tanto la aplicación de Logaritmos enriquece los conocimientos matemáticos para el desarrollo del intelecto escolar. a) Logaritmos de un producto: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores: Log (axb) = log a + log b Lo anterior significa que para hacer una multiplicación por medio de logaritmos se calculan los logaritmos de los factores, se suman y por último se encuentra el antilogaritmo. Por ejemplo, sabemos que: 9 x 7 = 63 Hagamos la multiplicación anterior por medio de logaritmos: Como la característica fue 1, separamos dos cifras enteras.

Log. ( 9x7 ) = 63 Log. 9 = 0.954242509 ₊ Log. 7 = 0.84509894 1.799341449 Antilog. = 63

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Diversificado

Otros ejemplos: 1) Hallar por logaritmos el producto: 0.5 x 36.8 x 45 log 0.5 = 1. 6989 log 36.8 = 1.56585 log 45 = 1.65321 2.91803

Antilog = 828.0

Calcular por logaritmos: 0.0456 x 354 x 5.23 x 800 = 2.65896 + 2.54900 + 0.71650 + 2.90309 = 4.82g55 Antilog = 67538.33 Logaritmo de un cociente: El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. log a/b = log a -log b Según lo anterior los logaritmos convierten la división en una resta. En repetidas ocasiones el signo menos produce problemas en su manejo. En el caso de los logaritmos, podemos cambiar un signo menos delante de un logaritmo por un signo más, sacando el cologaritmo de dicho logaritmo. Es decir. log a/b log a Cambiando el signo menos por más log ab = log a + colog b Por lo tanto para hacer una división por medio de logaritmos se le suma al logaritmo del dividendo el cologaritmo del divisor. Por último se saca el antilog. Ejemplo: Sabemos que 21 / 3 = 7 Hagamos esta división por medio de logaritmos log (21 / 3) = log 21 + colog 3 log (21 + 3) = log 21 + colog 3 Entonces:

log 21 = 1.32222

999910

colog 3 = 1. 52288 + 0.84510

log 3 = 0.47712 Colog. 3 = 1.52288

Antilog 0.84510=7.000 15


Diversificado

Otro ejemplo: Dividir 78.27 + 2.173 por logaritmos log (78.27 + 2.173) = log 78.27 + colog 2.173 por lo tanto:

1.89360 log 78.27 colog 2.173

= =

log 2.173 = 1.66294+ colog =

1.55654

999910 0.33706 1.66294

Antilog 1.55654= 36.019 c) Logaritmo de una potencia: El logaritmo de una potencia es igual al logaritmo de la base multiplicado por el exponente. Es decir: log (an) = (Iog a)n Lo anterior significa que para resolver una potencia por medio de logaritmos se multiplica el logaritmo de la base por el exponente. Veamos los siguientes ejemplos: Sabemos que 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 Hagamos la potencia 2 por medio de logaritmos: Log(24) = 16

= log 2 x 4 = 0.30103 x 4 = 1.20412 antlog = 16

Por lo tanto 2 = 16 Otro ejemplo; resolver por logaritmos: (425)5 log (4.25)5 = log 4.25 x 5 = 0.62839 x 5 = 3.14195 Antlog = 1386.59 d) Logaritmo de una raíz: El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad su radical dividido dentro del índice de la raíz: n

a = log a

n Sabemos que la raíz cuadrada de 225 es 15. Hagámosla por medio de logaritmos:

225

=?

El índice de la raíz cuadrada es 2.

16


Log

225

Diversificado

= log 225/2 = 2.35218/2 = 1.17609 Antilog 15

Explicación: Hemos sacado el logaritmo de la cantidad su radical (225) y lo dividimos dentro del índice de la raíz (2), por último sacamos el antilog. Hacer por logaritmos la raíz: 4

Log

4

13 .15

13 .15 = log 13.15/4 = 1.11893/4 = 0.27973

Antilog = 1.904

e) Operaciones combinadas por medio de logaritmos Ejemplos: Realizar por medio de logaritmos las siguientes operaciones 1)

Al hacer la operación anterior por medio de logaritmos vemos que en el numerador hay una multiplicación la cual se convierte en una suma de logaritmos. Todo está dividido dentro de 11, por lo tanto, hay que sumar el cologaritmo de 11 así:

= log 66 + log 0.5 + colog 11

Por último encontramos el antilog de 0.47712 =

3.000 = 3

2) = (log 28.75 + log 3.28) - (log 6 + log 0.71) = 1og 28.75 + log 3.28 - log 6- log 0.71 = log 28.75 + log 3.28 + colog 6 + colog 0.71 En el numerador hay una multiplicación (28.75 x 3.28) esto se convierte en una suma (log 28.75 + Iog 3.28). En el denominador hay otra multiplicación (6 x 0.71) que se convierte en una suma (log 6

17


Diversificado

+ log 0.71), por último está la división del numerador (log28.75 + log 3.28) dentro del denominador (log 6+109 0.71). Esta división se convierte en una resta: (log 28.75 + log 328) — (log 6 + log 0.71) Pero como el signo menos delante de un paréntesis le cambia de signo a lo que va dentro de paréntesis, queda: (log 28.75 + log 3.28 — log 6 — log 0.71) Y quitando los signos menos queda: log 28.75 + log 3.28 + colog 6 + colog 0.71 = 1.45864 ÷ 0.51587 + 122185 + 0.14874 = 1.34510 Antilog = 22.13

3) Resolviendo el numerador: log 154 x 7 = log 15 x 4 + log 7 = 1.17609 x 4 + 0.84510 = 420436 + 0.84510 = 5.54946 Como todo lo anterior está dividido dentro de 6, le sumamos a 5.54946 el cologaritmo de 6 5.54946 + 1.22185 = 4.77131 Extraemos la raíz cúbica Por último extraemos el antilog: Antilog 1.59043 = 38.94

4) = (log 0.75 x 2 + log 39.16) - (log 0.07 + log 3.89) = log 0.75 x 2 + log 39.16 - log 0.07 - log 3.89 = log 0.75 x 2 log 39.16 + colog 0.07 + colog 3.89 = 1.75012 + 1.59284 + 1.15490 + 1.41005 = 1.90791 Por la raíz cuadrada dividimos dentro de 2: 1.90791 ÷ 2 = 0.95395 Antilog 8.994 5)

18


Diversificado

En este caso tenemos un cociente elevado a una potencia. La división se convierte en una resta y la potencia es una multiplicación, así: 0.03163/2 0.1615 3/2 = (log 0.0316 x 3/2) — (log 0.1615 x 3/2) = 2.49969 x 3/2 — 1.20817 x 3/2

=

=

5.49907 3.62451   74953 - 1.81225 2 2

= 2.74953 + colog 1.81225 = 2.74953 + 0.18775 = 2.93728 Antilog 0.086552 Ecuaciones exponenciales: Se les llama ecuaciones exponenciales a aquellas en las que la incógnita aparece como exponente una cantidad. Por ejemplo la ecuación 3x = 243 es exponencial porque la incógnita “x” es el exponente de 3. Para resolver una ecuación exponencial se aplican logaritmos a ambos miembros de la ecuación y se despeja la incógnita. Resolvamos por ejemplo la ecuación: 3x = 243 Aplicando logaritmos tenemos: (log 3) x = log 243

Explicación: como 3’ es una potencia al aplicar logaritmos multiplicamos el logaritmo de la base (3) por el exponente (x). También a 243 le aplicamos logaritmos para que la igualdad no se altere, por último despejamos la incógnita. Prueba: 3x = 243  35 243

(35 = 3x3x3x3x3)

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales: 1)5x-2 625 Aplicando logaritmos:

19


3)

Diversificado

3X+1 = 87 (log 3) (x + 1) = Iog87

= 1 4)

23x+1 = 128

(log 2) (3x + 1) = log 128 Despejando:

20


Diversificado

ACTIVIDAD. Resuelve por medio de logaritmos las siguientes operaciones:

1) 458x256 ________________________ 2) 450+300______________________ 3) 450 x 2.5 _______________________ 4) (3.25)5 ________________________ 5) 600 x 0.05 x6.3 ___________________ 6) 2 7____________________________ 7) 634x12x0.42 _____________________ 8) 102___________________________________________ 9) 1950 x 0.25_______________________10) 153_________________________________________ 11) 18.76 x 0.0035 x 4131______________ 12) (6.534)4__________________________________ 13) 3366 + 82.5_______________________14) (0.36)4___________________________________

15) 525 + 2.5_________________________16) 8 256 _______________________

21


Diversificado

625

17) 750/0.5

18)

19) 453.7 + 34:5

20) 4 2401

21) 0.25 + 5

22)

166962

II: Resolver por logaritmos: 23) 294.2 x 4.75 x (1.93)5

25)

38 (5.6)5

27) 5

29)

5681 2210

28.25 x 3.5 x 2 53.8 x 48.5

31)52/3

24)

725 x 48.12 6.23

26) 8.26 x 9.14

28) 32/5 x 52/3

30) (0.56)2

32)

0.752 x 39.2 0.07 x 3.90

III. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales a través de logaritmos: 33) 4x = 1024

34) 6 x = 8

22


35) 3X = 60

Diversificado

36) 2 2x-3 = 2048

37) 52x-1 = 125

38)3x+1 = 729

39)82x-5 = 4096

40) 3 2x-1 = 2187

23


Diversificado

GLOSARIO 01).Exponente.

08). Característica.

02). Denominador.

09). Antilogaritmo.

03). Incógnita.

10). Ecuación.

04). Índice.

11). Denominador.

05). Factorización.

12). Decimal.

06). Semejante.

13). Base.

07). Mantisa.

14). Número.

24


Diversificado

Indicador 1.1.2 Determinarás los elementos de una progresión aritmética y geométrica, así como la construcción de las mismas aplicando las fórmulas determinadas. 1.1.2 Progresiones Se le llama progresión a una serie de términos, en los cuales prevalece cierto orden. Es decir, que progresión es una sucesión de números ordenados de acuerdo a una ley previamente establecida. Veamos los siguientes ejemplos: 1) 3, 6, 9, 12, 15... En la serie anterior vemos que existe un orden ya que cada número se obtiene sumándole al anterior. 3. (6 = 3 + 3. 9 = 6 + 3. 12 = 9 + 3. 15 = 12 + 3...) 2) 5. 10, 20, 40, 80... Esta progresión también presenta un criterio de ordenación, ya que cada número se obtiene multiplicando el anterior por 2. (5 x.2 = 10. 10 x 2 = 20. 20 x 2 = 40, etc.). 2)4. 75, 12, 5, 1, 103... Esta sucesión de números no es una progresión ya que los números no presentan ley de ordenación. Las progresiones se clasifican en: Aritméticas y Geométricas.

1.1.2.1 Progresión aritmética: Se le llama progresión aritmética a toda serie en la cual cada término después del primero se obtiene Sumándole al anterior una cantidad constante llamada diferencia o razón. A continuación tenemos dos ejemplos de progresión aritmética: a.

2. 6. 10. 14. 18... (razón o diferencia = 4)

Note que cada término después del 2 se obtiene sumándole al anterior 4. Por ejemplo lose obtiene sumándole al término anterior (6) la razón o diferencia (4). b.

7. 4. 1. —2. —5. —8... (razón —3)

Cada término se obtiene sumándole al anterior la razón (—3) así:

25


Diversificado

7 + (—3) = 4 4+ (—3) = 1 1 + (—3) = —2

—2 + (—3) = —5 —5+(—3) = —8

El signo de la progresión aritmética es P. A. o el signo de la división “.+“. Cada término se separa de otro con un punto. Para encontrar la razón de una progresión aritmética, basta con restarle a cualquier término el anterior. La razón la representaremos por “d”. Ejemplo: P. A. 2. 6. 10. 14. 18 Encontremos la razón ‘d” d = 10-6 = 4

o también d = 6-2 = 4

Otro ejemplo: +12. 7. 2. -3. -8 d = 2 -7 = -5 o también -8 -(-3) = -8 + 3 = -5 En toda progresión aritmética existen los siguientes elementos: Primer término (a1) Término enésimo (último término) (a,.) Razón o diferencia (d) Número de términos (n) Por ejemplo en la progresión; P.A. 2. 7. 12. 17. a1 = 2 primer término de la progresión an = 17 último término dado (término enésimo) n = 4 número de términos de la progresión d 5 razón no diferencia de la progresión (12 - 7 = 5)

Cálculo del término enésimo: Es posible tener una fórmula para calcular el último término de una P. A. Sea la progresión: P. A. a1. a2 a3 ... an En la que “a1” es el primer término, “a,, es el enésimo o último término y “d” es la razón o diferencia. Por definición de progresión aritmética el segundo término (a2) se obtiene sumándole al anterior la razón (d), es decir: a2=a1+d

26


Diversificado

El tercer término, se obtiene sumándole al anterior la razón a2 a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d El cuarto término: a3 a4 = a (a1 + 2d) 3 El quinto término: a4 a5

=a4

+d =

+

d = a1 + 3d

a1 + 3d+d = a1 + 4d

En resumen a2 = a1 + d a3= a1+2d a4 = a1 + 3d a5 = a1 + 4d...: Según lo anterior cada término es igual al primer término de la P. A. mas tantas veces la razón como términos hayan antes del considerado. Por ejemplo el quinto término (a 5) es igual al primer término (a1) más 4 veces la razón, ya que son cuatro términos los que van antes del quinto. Por lo tanto, el último término (a5) es igual al primer término de la progresión más tantas veces la razón como términos le preceden (n-1). Es decir: Fórmula del último término an= a1 + (n — 1). d Ejemplos: 1) ¿Cuál es el 12 (doceavo) término de la progresión?: P.A.2. 5.8...? a1 =2

n=12

d = 5 - 2 =3

an=?

Aplicando la fórmula an = a1 + (n- ). d = 2 + (12-1) 3 an = 2 ÷ (11) 3 = 2 + 33 = 35 En este problema n = 12 porque es el número de términos que nos interesa. Si por ejemplo se nos hubiera preguntado el 15 término, entonces “n” seria igual a 15. Note que la última operación a realizares la suma indicada por la fórmula. 2) Hallar el 14  término de la progresión: + 12. 5. -2....

27


Diversificado

La diferencia se obtiene restándole a cualquier término consecutivo el anterior, por ejemplo: a1=12 d= 5- 12 = -7 d= -7 n= 14

an = a1 + (n - 1) d = 12 + ( 14-1) (-7)

an = ?

an= 12+ (13) (-7) = 12 - 91 an = -79

3) Hallar el 12  término de la P. A. 1/2. 314. 1... a1=1/2 an=? d=1/4

n=12

Encontremos la razón: d=

3 1 32 1    2 2 4 4

an= a1 + (n-1). d = 1/2 + (12-1) (1/4) an = 1/2 + (11) (1/4) = 1/2 + 11/4 an= 13/4 = 3 1/4 De la fórmula del enésimo término se pueden obtener fórmulas para cada una de las restantes variables: a1 + (n—1). d = an Despejando a1 a1 = an - (n - 1).d

fórmula del primer término

En forma similar pueden despejarse las otras variables, cuyas fórmulas damos a continuación (2) d=

a n - a1  fórmula de la razón o diferencia. n -1

n=

a n - a1  d  fórmula del número de términos d

Ejemplos: 1) El 32 término de una P. A. es -18 y la diferencia -3. Hallar el primer término: a1 =?

an = -18

d = -3

n = 32

28


Diversificado

a1 = an - (n -1) d = -18 - (32 -1) (- 3) a1 = -18 - (31) (- 3) = -18 + 93 = 75 2) Hallar la razón de una P. A. cuyo primer término es 4 y el 15º término 46.

a1  4

a n  46

n  15

a n - a1 n1

d=

1) para comprobado, el estudiante puede hacer el despeje. d =

46 - 4 42  3 15  1 14

3) ¿Cuántos términos tiene la P. A. 1, 5. 9... 97? n =

an  a1  d 97  1  4 100 = 25   d 4 4 4) El tercer término de una P. A es -2 y el octavo es 3. ¿Cuál es esa progresión?

Para poder armar la progresión necesitamos conocer la razón. Para averiguar la razón podemos considerar lo que pasa del tercer término en adelante. Tomamos este tercer término como el primero y nuestra progresión quedaría de 6 términos:

a1  - 2

an  3

n 6

d ?

an  a1 3  (2) 3 2   1 n 1 6 1 5 Ahora conociendo la razón, podemos hallar el verdadero primer término para la progresión de 8 términos: a1 = a - (n - 1) d = 3 - (8 - 1) (1) a1 = 3 - 7 = - 4 Hagamos ahora la progresión: a1 = - 4 a4 = - 2 + 1 = - 1 a7 = 1 + 1 = 2

a2 = - 4 + 1 = - 3 a5 = - 1 + 1 = 0 a8 = 2 + 1 = 3

a3 = - 3 + 1 = - 2 a6 = 0 + 1 = 1

29


Diversificado

La progresión es entonces: P. A.

- 4. - 3. – 2. - 1. 0. 1. 2. 3.

Suma de los términos de una progresión aritmética: La suma de los primeros términos de una P. A. la representaremos por S n y viene dada por la fórmula: Sn =

(a1  an) n 2

Ejemplos: 1) Hallar la suma de los 11 primeros términos de: P. A.

3. 10. 17...

a1 = 3

d = 7

n = 11

a = ?

Sn = ?

Como no conocemos an que se necesita en Sn, empezamos por calcular an: an = 3 + (10) 7 = 3 + 70 = 73 Sn =

(a1  an)n (3  73)11 76 x11    418 2 2 2

2) Hallar la suma de los 10 primeros términos de la P. A. = 23. 21. 19. a1 = 23

d = 21 – 23 = - 2

n = 10

an = ?

Sn = ?

an = 23 + (9) (- 2) = 23 - 18 = 5 Sn =

an

(23  5)10 28x10 280    140 2 2 2

3) Una deuda puede ser pagada en 36 meses pagando Q. 24.00 el primer mes, 0.30.00 el segundo mes, 0. 36.00 el tercer mes y así sucesivamente. ¿De cuánto fue el último abono? ¿Cuál es la deuda total? = 24 + (35) 6 = 24 + 210 = Q. 234 (último abono)

Sn =

(24  234)36 258x36 9288    Q. 4644 2 2 2

Interpolación de medios aritméticos: 30


Diversificado

Esta operación consiste en encontrar los valores intermedios entre el primero y el último término de una P. A. Para interpolar medios en una P. A. basta con encontrar la diferencia de la progresión. Esta diferencia se sumará a cada término a partir del primero. Ejemplos: 1) interpolar 6 medios aritméticos entre 2 y 44. Aquí a1 = 2 d =

an = 44

n = 8

(6 que se calcularán más los dos extremos)

an  a1 44  2 42   6 n 1 7 7

Por lo tanto: a1 = 2 a2 = 2 + 6 = 8 a3 = 8 + 6 = 14 a4 = 14 + 6 = 20 a5 = 20 + 6 = 26 a6 = 26 + 6 = 32 a7 = 32 + 6 = 38 a8 = 38 + 6 = 44 La progresión queda entonces así: + 2. 8. 14. 20. 26. 32. 38. 44. 2) Encontrar 7 medios Aritméticos entre 9 y -7: a1 = 9

an = - 7

n = 9

d = an  a1   7  9   16  2 n 1

8

8

a1 = 9

a2 = 9 + (-2) = 7

a4 = 5 + (-2) = 3 a7 = -1 + (-2) = -3

a6 = 1 + (-2) = -1 a9 = -5 + (-2) = -7

a3 = 7 + (-2) = 5 a5 = 3 + (-2) = 1 a8 = -3 + (-2) = -5

La progresión queda así: P. A. 9. 7. 5. 3. 1. -1. -3. -5. -7

31


Diversificado

Actividad. En la siguiente hoja de trabajo, encontrarás ejercicios relacionados a los elementos de las Progresiones Aritméticas, despeja el o los términos que se te piden. 1) Hallar el13 término de la P. A 10.13.

2) Hallar la razón de -9. 7. 5. 3. L -L -3. -5

3) El 23 término de una P. A. es -101 y la razón -5. Hallar el primer término.

4) ¿Cuántos términos tiene la P. A. 9. 7. 5... -5?

5) El tercer término de una P. A. es 11 y el décimo es 21. Encuéntrese el primer término y la suma de los 15 primeros términos.

6) Interpolar 6 medios aritméticos entre -1 y 3.

7) Las ganancias anuales de un comerciante durante 11 años están en P. A. El primer año ganó Q. 1180.00 y el último Q. 6180. ¿Cuánto más ganó en cada año a contar del segundo año que en el anterior?

8) Una piedra dejada caer libremente desde la azotea de un edificio recorre 16.1 pies en el primer segundo, cada segundo posterior recorre 32.2 pies más que en el segundo anterior. Si la piedra tarda 5 segundos en llegar al suelo ¿Cuál es la altura del edificio? 9) Una máquina que costó Q. 5800.00 se deprecia 15% en el primer año. 13.5% en el segundo, 12% en el tercero y así sucesivamente. ¿Cuál es el valor de la máquina al cabo de 9 años?

10) Un operario trabajó durante 11 años y recibió un aumento de salario de Q. 20.00 cada año después del primero. Si su salario durante el primer año fue de Q. 480.00 encuéntrese el salario que devengó al final del último año y su ingreso total.

32


Diversificado

Sobre la línea correspondiente escriba la respuesta correcta: 11) Hallar el 50  32 término de + 9. 12. 15...

R _______________________

12) Hallar el 12  término de P. A 11. 6. 1... 1

R________________________

13) Hallar el 19 término de P. A 1/3. 7/8... .

R ________________________

14) Hallar la razón de la P. A. 3. 8. 13... 48.

R ________________________

15) El 92 término de una P. A. es 1050 y el primer término -42. Hallar la razón. R _________________ 16) Hallar la razón de una P. A. cuyo primer término es 1/2 y el 172 término — 3/8. R __________________ 17) Hallar el primer término de una P. A cuyo 152 término es 46 y la diferencia 3. R__________________ 18) ¿Cuántos términos tiene la progresión 3. 8. 13... 48. R_________________ 19) ¿Cuántos términos tiene la P. A 4. 6.. 30? R_________________ 20) Si a1 = 23, an = 5, d= -2 Hallar n y Sn R__________________ 21) Hallar la suma de los 12 primeros términos de P.A 7. 13. 19. R__________________ 22) Hallar la suma de los 80 primeros términos de P. A. -10. -6.. R________________ 23) Encuentre 4 medios aritméticos entre 15 y 0. R_________________

24) Hallar el 35  término de la progresión + 28. 25. 22. R_________________ 25 Hallar la suma de los primeros 15 términos del problema anterior. R_________________

33


Diversificado

1.1.2.2 Progresiones Geométricas: Se le llama progresión geométrica (P. O.) a toda serie en la cual cada término después se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad constante llamada razón. Por ejemplo la serie 1: 3: 9: 27: 81 es una P. O. ya que cada término después se obtiene multiplicando el anterior por la razón 3. En efecto: 1x3=3

3 x3 =9

9 x 3 = 27

27 x 3 = 81

Para representar una progresión geométrica se usan las letras PO. o el signo acostumbra separarlo del otro con dos puntos.

. Cada se

++

La simbología a usar es: a1 an n r Sn

= = = = =

primer término enésimo término o último término: número de términos razón Suma de términos

Fórmulas de las PG. Consideremos la progresión: ++

a1 : a2 : a3 : a4 … a n

Según la definición, cada término se obtiene multiplicando el anterior por la razón: a2 a3 a4 a5

= = = =

a1 r a2 r a3 r a4 r

= = =

a1rr a1r2r a1r3í

= a1r2 = a1r3 = a1r4

Es decir que un término cualquiera es igual al primero (a1) multiplicado por la razón elevada a una potencia igual al número de términos que lo preceden. Por lo tanto en el caso del último término tendremos: an = a1 rn-1 Ejemplos: 1) Hallar el 92 término de la progresión: PG. 2. 6. 18. a1 = 2

n = 9

r = 6 +2 = 3

34

a = ?


Diversificado

an = a1rn - 1 = 2 x 39 – 1 = 2 x 38 = 2 x 6561 = 13122 Explicación: En toda progresión geométrica la razón (r) se obtiene dividiendo cualquier término dentro del anterior. Primero hemos sustituido valores en la fórmula. Después hemos multiplicado 8 veces el 3 por sí mismo como lo indica la potencia. Por último multiplicamos por a,. 2) Hallar el 6º término de la PG. 1: 4 :16... a1 = 1 r = 16 + 4 = 4 n = 6 an = a1r n – 1 = 1 x 46 - 1 = 1 x 45 = 1 x 1024 an = 1024

an ?

3) Hallar el 9º término de 8 : 4 : 2... a1 = 8

n = 9 r = 2 + 4 = 2/4 = 1/2 n-1 an = a1 r = 8 x (1/2) 9 - 1 an = 8 x (1/2)8 = 8 x (1/256) = 8/256 = 1/32

an = ?

Las fórmulas de las demás variables se encuentran despejándolas del término enésimo, así: a1 r n - 1 = a

an

a1 = rn - 1

fórmula del primer término de una PG

a1 r n – 1 = an

an a1 an r = n 1 a1 r n–1

fórmula de la razón.

Para encontrar la fórmula para el número de términos lo podemos hacer a partir de: r n–1 =

an a1

Como “n” es exponente en este caso y ya vimos anteriormente que es una ecuación exponencial. Su resolución se hace aplicando logaritmos: r n–1 =

an a1

log (r n – 1 ) = log

an a1

log r (n —1) = log an -loga1

35


n 1 

Diversificado

log a n + colog a 1 log r

log a n + colog a 1 1 log r

n

Ejemplos: 1) Hallar el primer término de una PG cuyo 52 término es 162 y la razón 3. an= 162

n=5

r=3

a1 =?

an 162 162 162 162  5-1  5-1  4  2 n 1 8 r 3 3 3

a1=

2) En una PG. el 62 término es -729 y la razón -3. Hallar el primer término. an= -729

a1 

n=6

r =--3

a1=?

- 729 - 729  3 - 243 - 35

3) El primer término de una PG es 2 y el 60 término 64. Hallar la razón: a1=2 r=

n 1

an=64

an a1

=

6 1

64 2

n=6 =

5

32

r =?

=2

La raíz quinta de 32 puede calcularse por logaritmos: Log

log 32 5

=

5

32

1.50515 = 0.30103 5

=

Antilog = 2

4) Hallar la razón de la progresión PG. 2…… -2048 donde -2048 ocupa el 6º término. Aquí r=

n 1

a1=2

an a1

=

5

 2048 2

n=6 =

an=-2048 5

 2048 = 2

5

r=?

 1024 2

36


Diversificado Antilog= -4  r =-4

log r=-1og 1024 + 5 = -(3.01103 + 5)= -0.60206 5) ¿Cuántos términos tiene la progresión?

PG. 2 …………….. 512. Sabiendo que la razón es 4.

a1 = 2

an = 512

r=4

n =?

Aplicamos la fórmula de n:

n

log an  co log an log 512  co log 2  5 log r log 4

6) Una PG tiene como primer término a 5 y como último término 1280. Cuál es el número de términos si la razón es 2?

n

log 1280  co log 5 log 2

1

n

3.10721 1.30103 1 0.30103

n

2.40824 1  8 1  9 0.30103

Suma de los términos de una progresión geométrica: Para encontrar la suma de los términos de una progresión geométrica se usa la fórmula

Sn

 an r  a r 1

Ejemplos: 1) Hallar la suma de los 5 primeros términos de la progresión: PG. 3 : -6… Datos: Como en la fórmula de Sn se necesita el último término, empezamos por calcular an a1-- = 3 r = -6 + 3 = -2 n =6 an = a1 rn-1 = 3 x (-2)5-1

37


Sn=?

Diversificado

an = 3 x (—2) = 3 x 16 an = 48

Encontramos ahora Sn

n

a n r  a 48x(2)  3  96  3    33 r 1  2 1 3

2) El 11 término de una PG es 5120 y el primer término es 5. Hallar la razón y la suma de los 11 términos.

r  111

1024 5120 = 10 5

log r 

log 1024 3.01030  10 10

Log r = 0.03010 Antilog =  r = 2

Calculamos ahora la suma:

Sn 

(5120x5)  5 10240  5   10235 2 1 1

M edios geométricos: Se leda el nombre de “medio geométrico” a cada uno de los términos que quedan entre dos extremos dados de una PG., por ejemplo en la progresión 6.15.45.135 los extremos son 5 y 135, mientras que los medios son 15 y 45. Para calcular los medios geométricos entre dos extremos, por definición de P.G. basta con calcular la razón. Esta razón se multiplicará por cada término para tener los medios deseados.

38


Diversificado

Ejemplos:

1) Interpolar 4 medios geométricos entre 1 y 7776. a=7776

r5

r

7776  1

a1 = 1

7776 5

=

n=6

r= ?

log 7776 5

3.89076 = 0.77815 Antilog = 6 r=6 5

Ahora encontramos los medios multiplicando cada término por la razón 6.

1x6=6

6 x 6 = 36

36 x 6 = 216

216 x 6= 1296

la progresión queda entonces así: -1 : 6 : 36 : 216 : 1296 : 7776.

2) Interpolar 5 medios geométricos entre 128 y 2

r  71

2  128

1

1 1 = 2 64

Multiplicamos cada término por la razón: 128 x 1/2 = 128 / 2 = 64

32 x 1/2 = 32/2 = 16

64 x 1/2 = 64 /2 = 32

16 x ½ = 16/2 = 8

8 x 1/2 = 8/2 = 4

39


Diversificado

Actividad. En la siguiente hoja de trabajo, encontrarás ejercicios relacionados a los elementos de las Progresiones Geométricas, despeja el o los términos que se te piden. 1) En los siguientes problemas de P.G. encuéntrese el término desconocido usando sus fórmulas: 1) 2) 3) 4) 5)

a1=3; r=2; a1=4; n=6; a1 3; a2=6; an= 162; r=3; a1-4; an =512;

n=5; an=? an = —128 r=? an = Sn= n =.5; a1= ? a2 = 8; n=?

II .Resolver los siguientes problemas 6) Interpolar 5 medios geométricos entre 2y 1458. 7) Interpolar 4 medios geométricos entre 96 y 3. 8) Hallar la suma de los 8 primeros términos de 4:- 8:16... 9) Hallar la suma de los 9 primeros términos de 5 :20 : 80.. 10) El 4  término de una PG. es 1/4 y el 7 o término 1/32. Hallar el 6  término. 11) Interpolar dos términos entre 3 y 24 de modo que formen una PG. 12) Un obrero puso 18 tornillos a una máquina, cobrando 2  por el primero,4  por el segundo, 8  por el tercero, 16  por el cuarto y así sucesivamente. ¿Cuáles serán los honorarios del obrero? 13) En una P.G. de 5 términos el cuadrado del tercer término es ¿Cuál es el primero?

40

4 8 Si el último término es 81 81


Diversificado

GLOSARIO 01). Signos.

08). Término.

02). Fórmula.

09). Aritmética.

03). Serie.

10). Aplicación.

04). Negativo.

11). Despeje.

05). Geométrico.

12). Simplificar.

06). Progresión.

13). Literal.

07). Interpolación.

14). Variable

41


Diversificado


Segunda Unidad Ciclo Escolar / Profesor(a):



Prueba Objetiva

PUNTEO

FECHA

PUNTEO

FECHA

PUNTEO

FECHA

PUNTEO

Declarativos:

Declarativos:


FECHA

Declarativos:


PUNTEO

Declarativos:


FECHA

Declarativos:


PUNTEO



FECHA


42


Diversificado

Proyecto Unidad II Instrucciones: A continuación debe desarrollar el Proyecto de Unidad en el cual se mostrará las capacidades aprendidas durante el bimestre.


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.



43


Diversificado

Unidad 2

Competencia 2.1.1 Distinguirás los distintos métodos de aplicación del Interés simple y compuesto, para utilizarlos en su entorno profesional.

44


Diversificado

Indicador 2.1.1 Resolverás en forma exacta problemas de cálculo de Interés simple y compuesto, determinando los montos generados por la naturaleza de cada uno de ellos y sus tasas de interés.

2.1.1 Interés 2.1.1.1 Interés Simple. Sabemos que el Interés simple se caracteriza en que los intereses que se pagan no se incorporan al capital para formar un nuevo capital. Es decir, que el interés es simple cuando la ganancia o interés no se suma al capital impuesto sino que se paga al final de cada período de tiempo o al final del contrato, pero siempre el capital permanece constante. Para recordar y explicar lo anterior veamos el siguiente ejemplo: Una persona hizo un préstamo de Q.100 al 12% anual. Al cabo de 5 años devolvió el capital prestado. ¿Cuánto pagó la persona de interés simple? Note que la persona pagará 12 por cada quetzal anualmente. Por lo tanto por Q. 100 pagará Q. 12.00 de interés. Al final del primer año Al final del segundo año Al final del tercer año Al final del cuarto año Al final del quinto año

interés pagado interés pagado interés pagado interés pagado interés pagado

Q.12.00 Q.12.00 Q.12.00 Q.12.00 Q.12.00

Total de interés pagado en los cinco años…………………..Q. 60.00 Pagó Q. 60.00 de interés en los 5 años y devolvió el capital prestado, es decir, Q. 100.00. El capital (Q.100.00) permaneció constante. Supongamos que la misma persona del ejemplo anterior hizo el mismo préstamo (100.00) durante el mismo tiempo pero a un Interés compuesto del 12% anual. Al final del primer año:

interés = 0. 12.00

Este interés (12) se le suma al capital 100 + 12 = 112. Ahora la persona no debe Q. 100.00 sino Q. 112.00 Al final del segundo año: P=112 I =12% = 0.12 t=1 Nuevo interés=? l = P x i x t = 112 x 012 x 1 = 13.44

45


Diversificado

Los Q. 112.00 produjeron Q. 13.44 de interés. Estos Q. 13.44 se suman a Q. 112 y forman el nuevo capital Q. 112.00 + 13.44 Q.125.44 Al final del tercer año: l = 125.44 x 0.12 x 1 = 15.05 Los 125.44 produjeron 15.05 que sumados al capital anterior hacen 125.44 + 15.05 = 140.49

Al final del cuarto año: l= 140.49 x 0.12 x 1 = 0.16.86 Los 140.49 produjeron un interés de Q.16.86 que sumados al capital anterior hacen 140.49 + 16.86 =157.35 al final del quinto año: l = 157.35 x 0.12 x 1 = Q.18.88 Los 157.35 produjeron de interés Q.18.88 que sumados al capital anterior hacen la suma de 157.35 + 18.88 = 176.23 Veamos la diferencia entre el interés simple y el compuesto: Monto (4) al final del quinto año 160.00 Capital constante del 1° al 5° año 100.00 Interés simple…….. 60.00 a) En el interés simple el capital (100.00) permanece constante. b) El interés simple aumenta en progresión aritmética (en nuestro ejemplo la razón es 12). 112: 124: 136: 148: 160 Final 1er. año

final 5to. año

2.1.1.2 Interés Compuesto: Monto al final del 5to. Año = 176.23 Capital al principio del primer año 100.00 Interés compuesto…………........ 76.23

a) En el interés compuesto el capital (100.00) no permanece constante sino que al final de cada año se le suma el interés para formar un nuevo capital.

46


Diversificado

b) El interés compuesto crece en progresión geométrica, en nuestro ejemplo la razón sería: r= monto final del 2° año ÷ monto final 1er. año. r= 124.44 ÷ 112 = 1.12 Recuerde que la razón en una PG., se obtiene dividiendo cualquier término dentro del anterior. Monto = capital + intereses Como en una PG. Cualquier término se obtiene multiplicando el anterior por la razón, se tiene:

100 x 1.12 = 112.00 112 x 1.12 = 125.44 125.44 x 1.12 = 140.49 140.49 x 1.12 = 157.35 157.35 x 112 = 176.23 Por lo tanto, el interés compuesto se da cuando los intereses que gana el capital se capitalizan (se suman) al capital inicial a intervalos iguales de tiempo, obteniéndose un nuevo capital al final de cada periodo. En el interés compuesto, como es lógico, los intereses producen intereses. El interés compuesto se aplica generalmente en transacciones a largo plazo. De aquí en adelante cuando digamos interés nos referimos a interés compuesto a menos que se indique lo contrario.

2.1.1.3 Monto simple y compuesto (S) Se le llama monto compuesto a la cantidad que resulta de sumar al capital inicial (P) todos los intereses (1) calculados al final de cada uno de los períodos contemplados en el lapso considerado. El monto compuesto lo representaremos por la letra “s”. En el problema anterior el monto es: Monto (S) = capital inicial (P) + interés (1) S = 176.23

Período de capitalización Es el intervalo al final del cual se reinvierten los intereses. Ejemplos: 1. Si el interés se capitaliza dos veces al año al periodo de capitalización es de 6 meses. 2. Si el interés se capitaliza 3 veces al año, el período de capitalización es de 4 meses.

47


Diversificado

Frecuencia de capitalización (m): Es el número de veces por año que el interés se suma al capital, es decir, el número de capitalizaciones por año. Se representa por la letra “m”. Ejemplos: a) Si el interés se capitaliza semestralmente la frecuencia de capitalización es m = 2. b) si el interés se capitaliza bimestralmente, m = 6 c) si el interés se capitaliza trimestralmente, m = 4.

2.1.1.4 Tasa nominal y efectiva (j) Cuando el interés se capitaliza más de una vez al año, la tasa anual dada se conoce como tasa nominal. La tasa nominal se representa con la letra “j”. Ejemplos: 1) Se presta un capital de Q.2000 a una tasa de interés del 9% anual, capitalizable cada 6 meses. La tasa nominal j = 9%. 2) Se tiene invertido un capital de Q.5000 a una tasa de interés del 18% anual capitalizable trimestralmente. La tasa nominal es j = 18%. El estudiante debe darse cuenta que no es lo mismo 9% anual capitalizable anualmente que 9% anual capitalizable trimestralmente. Ya que en el primer caso los intereses se suman cada 12 meses al capital. En el segundo caso los intereses se sumarán cada 3 meses; en el caso de la Tasa efectiva de interés: (i) Es la tasa de interés a la que efectivamente está colocado el capital y se representa por 1. Es decir, una tasa nominal anual del 8% capitalizable semestralmente no significa una tasa de interés del 8% cada semestre sino una tasa efectiva del 4% cada semestre. Veamos el siguiente problema que nos ilustra la diferencia entre tasa nominal y tasa efectiva: a) Un préstamo de Q.100 en un año producen Q.9 de interés al 9%. b) Por el contrario los mismos Q.100 prestados en un año al mismo 9% pero capitalizables semestralmente producirán Q.9.20, en efecto: Al final del primer semestre: 100 produjeron Q.4.50 de interés Al final del segundo semestre: 104.5 x 0.046 x 1 = 4.70 9% + 2 semestres 4.6% 0.045 Total intereses 4.50 + 4.70 = 0.9.20 Por lo tanto: La tasa nominal (j) es la tasa anual declarada. En este caso.

48


Diversificado

j =9% 0.09 La tasa efectiva (i) es aquella a la que en realidad estuvo colocado el capital por haberse capitalizado los intereses más de una vez al año. En este caso la tasa efectiva i = 9.20% = 0.092 l = P x i x n = 100 x 0.092 x 1= 9.20%

Fórmulas de interés compuesto: Fórmulas del monto: Sea “P’ el capital principal u original prestado a interés compuesto durante “n” años, a una tasa efectiva “i” de interés anual (tanto por uno anual). Cada quetzal gana “1 al año, por lo que al final del primer año se convierte en 1 + i y un capital P” quetzales se convierte en P (1 + i). De la misma forma al final de los siguientes años el capital se habrá convertido en: Final del segundo año:

P (1’ +i) (1’ +i) = P (1’ + i)2

Final del tercer año:

P (1 +1)2 (1 +i) = P(1 +1)3

Final del cuarto año:

P (1 +i)3 (1 +i) = P( 1 +1)4

Final del quinto año:

P (1 + i )4 (1 +i ) = P(1 +1)5

El razonamiento anterior aplicado sucesivamente, nos da como resultado que al final de “n” años el capital se habrá convertido en P (1 + i). Pero este nuevo capital, está formado por el capital inicial más los intereses ganados en el tiempo “n” a la tasa “i” de interés, es decir se ha convertido en el monto. Por lo tanto, la fórmula del monto es: S = p (l + i)n El factor (1+ i)n recibe el nombre de factor de acumulación. La fórmula anterior se usa cuando la tasa de interés es efectiva (una sola capitalización). Si la tasa de interés es nominal (más de una capitalización anual) el factor de acumulación es (1 + ji m)mn y la fórmula del monto “S” es:

j  S  P1    m 49

mn


Diversificado

Ejemplos: 1) Encontrar el monto compuesto sobre Q.5800 al final de 5 años si la tasa de interés efectiva es del 6% anual. P = 5800

i = 6% = 6/100 0.06

n=5

S=?

Aplicando la fórmula: S = P (1 + i)n = 5800 (1 + 0.06)5 = 5800 (1.06)5 S = 5800 x 1 .3382 = 0.7761.56 Note que: (1.06) = 1.06 x 1.06 x 1.06 x 1.06 x 1.06 = 1.3382 Por lo largo que resulta realizarla potencia, el monto también puede calcularse por logaritmos así: S = log P+[n log(1+i)] S = 1og5800 + (5 log 1.06] S 3.76343 + 5 x 0.02531 = 3.76343 + 0.12655 S = 388998 Antilog Q.7762.1 1 2) En cuánto se convertirán 0.12318 al 4 ½ % anual en 6 años? Como hay solamente una capitalización al año la tasa es efectiva

1 2

S= ? P= 12318 i  4 %  4.5% 

4.5  0.045 100

S = 12318 x (1 +0.045)6 log 12318 + log (1.045) x 6 S= 4.09054 + 0.01912 x 6 = 4.09054 + 0.11472 S= Q. 16042.06 3) En cuánto se convertirán Q. l 030 al final de 9 arios a una tasa de interés nominal del 8% anual capitalizable semestralmente. P=

1030 n =9

j  S  P1    m

mxn

m = 2(2 semestres al año) j=0.08 S=?

 1030 1 

0.08 2

2 x9

S= 1030 (1+0.04)18= 1030(1.04)18 Y aplicando logaritmos:

50


Diversificado

8 = log 1030 + log 1.04 x 18 = 3.01284 + 0.01703 x 18 5 = 3.01284 + 0.30654 = 3.31938 Antilog 2086.32 8 = 0.2086.32 4) ¿En cuánto se convertirán Q. 725.8 al 4% anual de interés compuesto en un ario capitalizando los intereses por trimestre? P=725.8 j=0.04 n=1 m=4. S=?

 0.04  P = 725.8 1   4  

4 x1

 7251  0.01  7.58(1.01) 4 4

P = log 725.8 + (log 1.01 x 4) = 2.86082 + 0.00432 x 4 P = 2.86082 + 0.01728 = 2.87810

Antilog = Q.755.27

Resolución de problemas de interés compuesto usando tablas financieras: Los problemas de interés compuesto también pueden realizarse por medio de tablas donde algunas constantes de las fórmulas han sido calculadas. Al final del libro se encuentran las tablas necesarias para estos cálculos. Cálculo del monto usando tablas financieras: Para este cálculo se usa la tabla No. 1 (ver sección de tablas) Sabemos que el monto se calcula por la siguiente fórmula: S = P (1 +i)n La tabla nos da el valor de (1 + i) como vemos en el siguiente ejemplo: (problema 1 de la página N2 47 ya resuelto por logaritmos). 1) Encontrar el monto compuesto sobre Q.5800 al final de 5 años si la tasa de interés efectiva es del 6% anual. P = 5800 n=S i = 6% n=? La fórmula a usar es: S = P (1 + l)n la tabla nos da directamente los valores de (1 + i) para encontrar estos valores, buscamos en la tabla 1 los valores de la siguiente forma: a) Buscamos en la columna “ti’ el tiempo, en este caso 5.

51


Diversificado

b) Buscamos el valor de “i” en las restantes columnas, en este caso la columna 6% porque en este problema i = 6%. b) Donde se cruzan estos dos valores está el valor de (1 + i)n = 1.338226

Tabla 1 Monto de Q. 1 a interés compuesto 5 = (1 + i)n

Resolvamos el problema: Tabla S = P (1 + i)n = 5800 x 1.33822558 = Q. 7761.71

Resolver usando tablas financieras: 2) ¿En cuánto se convertirán Q. 12318 al

1 4 % 2

anual en 6 años?

1 2

Buscamos en la tabla el valor de (1 + i)n. En este caso n = 6, 1 = 4 % = 1.30226012 S = P (1+i)n = 12318 x 1.30226012 = 0.16041.24 3) ¿En cuánto se convertirán Q. 1030 al final de 9 años a una tasa de interés nominal del 8% anual capitalizable semestralmente? Como se trata de tasa de interés nominal usamos la formula:

S  P(1 

j mn 0.08 2 x 9 )  1030(1  ) m 2

S = 1030 (1 + 0.04)18 Buscamos en la tabla n = 18

i = 4%

= 2.02581652

S = 1030 x 2.02581652 = 0.2086.59

52


Diversificado

Explicación: Cuando se usa la fórmula anterior primero se hace el cociente j/m, en el caso anterior = 0.04 (4%) y el producto mn = 18. Buscamos en la tabla 1 en S = (1 + ¡)n para n = 18 e i = 4% 4) ¿En cuánto se convertirán Q. 1528 al 7.5% anual de interés compuesto en 5 años capitalizando cada 4 meses? P=1528 j=7.5%=0.075 n=5 m=3 5=? S = 1528 (1 

0.075 3 x 5 ) = 1528 3

(1 + 0.025)15

S = 1528 x 1.44829817 = 0.2212.99 Hemos buscado para n = 15 e i = 2.5 = 2 1/2 en la tabla y nos ha dado el valor 1.44829817 Resolución con calculadora: Estos problemas también pueden resolverse utilizando una calculadora científica, haciendo las operaciones indicadas directamente. Si resolvemos el problema anterior: S= 1528 (1 + 0.025)15 = 1528 x 1.448298166 S = Q.2212.99

También se pueden leer los logaritmos en una calculadora, omitiéndose su lectura así: 5S= log 1528 ÷ [5 x log 1.025]

Casos especiales: a) Cálculo del monto cuando “n” rebasa el límite de la tabla: En las tablas que se dan al final del libro el mayor valor de “n” es 50. Sin embargo cuando el interés se capitaliza varias veces al año, el valor de “n” puede ser mayor de 50. Si quisiéramos resolver por ejemplo (1 + 0.05)70, equivaldría a buscar i = 5 % y n = 70. Este problema se puede resolver usando el principio: am x an = am+n o también am+n = am x an Entonces

(1 + 0.05)70 = i=5%

n=50

(1 + 0.05)50

x

i=5%

(1 + 0.05)20 n=20

53


Diversificado

Cuyos valores si se encuentran en la tabla 1: S = 25,000 (1 

0.06 12 x 6 ) = = 25.000 (1 + 0.005)96 12

S = 25,000 (1 + 0.005)50 x (1 + 0.005)46 S = 25,000 x 1.28322581 x 1.25787892 S = Q. 40353.57 Nota: 0.005 = 0.005 x 100 = 0.5% =- 1/2 %

2.1.1.5 Cálculo del monto con tiempo fraccionario: (Días, meses, años, anticipado y vencido) Los problemas que hemos resuelto han sido para años exactos. Pero se pueden presentar problemas con tiempos fraccionarios, es decir años y fracciones de años, por ejemplo; 6 años y 7 meses. Los procedimientos usados son dos: 1) Primer procedimiento: se calcula interés compuesto para el periodo exacto e interés simple para la fracción de tiempo: “n” exacto (interés compuesto) fracción de “n” (interés simple) 5 = P [(1 + l)n x (1+ n l)] Ejemplos: ¿En cuánto se convertirán Q. 15,000 depositados al 6% anual de interés compuesto durante 7 años y 6 meses? “n” exacto = 7 años

6* “n” fracción 6 meses 12

S = P [(1+0)n x (1+ni)] = 15,000[(1+0.06)7 (1+ x 0.06)] S = 15,000 [(1 + 0.06)7 (1 + 0.03)] S = 15,000 x 1.50363026 x 1.03 S = Q. 23231.09 El valor de (1 = 006)7 lo hemos leído en la tabla l.

54


Diversificado

2) Segundo procedimiento: en este procedimiento se aplica interés compuesto para el tiempo exacto y para la tracción de tiempo. Este es el método más recomendable. Siendo la tracción 1/p, donde el numerador indica 1 año y p el número de partes en que se ha dividido el año, el monto para tiempo fraccionario se calcula así:

S  P (1  i) n (1  i) p 1



n

(1 + i) se lee en la tabla 1

(1  i)

1 p

Se lee en la tabla VII (el numerador debe ser 1)

Ejemplos: 1) ¿En cuánto se convertirán 0. 15,000 depositados al 6% anual de interés compuesto durante 7 años y 6 meses?

S  (1  i) n (1  i) p  1



  15,0001  0.06) 7 (1  0.06)  6 12

1

S = 15,000 [(1 + O.06)7 (1  0.06) 2 ] S = 15,000 x 1.50363026 x 1.02956302 S = Q. 23221.23

Si el exponente h/p no tiene como numerador la unidad se aplica la regla de multiplicación de potencias de igual base.

2) Determinar el monto de Q.100 al 5% anual en 6 años y 9 meses. Notar que

9 12

(1  0.05)  (1  0.05) 3 4

3 4

1 4

1 4

(1 + 0.05) = (1 + 0.05) (1 + 0.05) (1. + 0.05) Ya que

l/4 ÷ 1/4 + 1/4 = ¾

Por lo tanto: tabla VII 1

1

1

S = 1001(1+ 0.05)6 (1 + 0.05)4 (1 + 0.05)4 (1 + 0.05)4

55

1 4


Diversificado

S = 100 x 1. 34009564 x 1.01227224 x 1.01227224 x 1.01227224 S = Q. 139.00 6 12

Porque son 6 meses de los 12 que tiene el año

Actividad Resolver los siguientes problemas por logaritmos. 1) Calcular el monto que se obtiene al depositar Q. 10,000 al 10% de interés anual durante 4 años. 2) Una persona obtuvo un crédito de Q. 20.000 al 10% anual de interés compuesto capitalizable semestralmente. ¿Cuánto habrá que pagar a los 15 años? 3) En cuánto se convertirán Q. 918.54 al 4% de interés compuesto en un año, capitalizando los intereses por trimestres. 4) 4. Calcular el monto que se produce con un capital de Q. 10,000 colocado al 12% anual durante 8 años que se capitaliza: a) semestralmente b) bimestralmente c) trimestralmente. 5) Cuál será el monto de Q. 13,000 invertidos durante 5 años al 18% anual capitalizable mensualmente. 6) ¿En cuánto se convertirán Q. 1030.00 al final de 9 años al 8% anual capitalizable semestralmente?

Capital inicial o valor actual a) Para la tasa efectiva (una sola capitalización anual) Sabemos que: P (1 + i)n = S Despejando P, nos queda:

56


P

S j (1  ) mn m

Diversificado

ó log P = log S - [n log(1)



b) Para la tasa nominal: (más de una capitalización anual) Sabemos que:

P  (1 

j mn ) S m

Despejando

P

S j (1  ) mn m

ó log P = log S - [mn log(1  j / m)



1) ¿Cuál es el valor actual de una deuda de Q. 3500 a pagar dentro de 25 años al interés del 8% anual? Ejemplos: S = 3500

i= 0.08

n = 25

Como no se dice lo contrario, las capacitaciones son anuales, usando por lo tanto la fórmula:

P

S 3500  n (1  i ) (1  0.08 ) 25

Cálculo del valor actual o capital inicial usando tablas financieras. a) Para la tasa efectiva sabemos que:

P

S 1 Ó también P  S x n (1  i ) n (1  i )

Es decir que para encontrar el capital inicial basta ton multiplicar el monto por el inverso multiplicando de (1 + i)n. Esto resulta muy sencillo ya que la tabla nos da el valor de

1 Tabla II de este libro (1  i) n 1) Cuál es el valor actual de una deuda de 0. 3500 a pagar dentro de 25 años al interés del 7 % anual?

S = 3500

n = 25 i = 7% = 0.07

57


PSx

Diversificado

1 1  3500 . n (1  i ) (1  0.07 ) 25

Buscamos en la tabla II el valor de (1I1.07)25. Primero buscamos 25 en “n” y 7 en el lugar correspondiente. Donde estos dos valores se interceptan es el valor buscado: Entonces: P = 3500 x 0.18424918 = Q.644.87

2) Se presta cierta suma al 3 1/2 % anual compuesto y en 12 años se convierte en 0. 53525.48 ¿Cuál fue la suma prestada? – 4 n = 12 i =31/2 % P =? P = 53525.48 x 0.661783 = Q. 35422.25 b) Cuando la lasa es nominal: Sabemos que:

P

S j (1  ) mn m

ó también

PSx

1 j (1  ) mn m

Ejemplos: 1) ¿Cuál es el valor actual de una deuda de 0. 1500 a pagar dentro de 5 años con un interés del 8 % anual compuesto capitalizable semestralmente? S = 1500

n = 5

j = 8% =

1 = 1500 x j mn (1  ) m 1 P  1500 x (1  0.04 )10

PSx

0.08

m = 2

1 0.08 25 (1  ) 2

Buscamos en la tabla (II) el valor para n = 10 e i = 4 % 0.67556417 P = 1500 x 0.67556417 = Q. 1013.35 2) Se presta cierta suma el 14% anual y en 6 años se convierte en Q. 19380.50 ¿Cuál fue la suma prestada? Los intereses se capitalizaron trimestralmente.

j = 14%

= 0.14

n=6

m = 4

S = 19380.50

58


PSx

Diversificado

1 1 = 19380.50 x j 0.14 4 x 6 (1  ) mn (1  ) m 4

P = 19380.50 x

1 = 19380.50 x 0.43795713 (1  0.035 ) 24

P = Q. 8487.82 Si se tiene un tiempo fraccionario, se utiliza el método ya estudiado en el monto.

Ejemplo: En 5 años y 6 meses un capital depositado al 8% anual se ha convertido en 0. 5000. ¿Cuál es el capital depositado? S = 5000

PSx

i = 8%

n = 51/2 años

1 =5000 x (1  i ) n (1  0.08) 5 tabla I

1 (1  0.08) tabla VII

P = 5000 x

1 1.47745544 x 1.03923048

P = 5000 x

1 1.535416726

1

2

P = 5000 x 0.651288984 = Q. 3256.44

Actividad Resuelve en forma correcta los siguientes ejercicios, dejando el procedimiento utilizado. 1) Don Roberto Arriaza deposita una suma tal que al 24% anual con capitalización trimestral de intereses le permite retirar Q. 52000.00 en 3 años. ¿Calcular la suma inicialmente depositada? (hacerlo por logaritmos).

59


Diversificado

2) 2. Se presta cierta suma al 4.5% anual y en 6 años se convierte en Q. 1893.50 ¿cuál fue la suma prestada?

3) 3. ¿Cuál es el valor actual de una deuda de Q.6500.00 a pagar dentro de 6 años con un interés del 4.25 anual, capitalizable trimestralmente?

4) 4. En 8 años y 6 meses un capital se convierte en Q. 20,000. Si se ha depositado al 6%, ¿Cuál fue el capital original?

5) 5. ¿Cuál es el valor actual de una deuda que dentro de 6 años ascenderá a Q.22500 con un interés del 5% anual compuesto capitalizable semestralmente?

Cálculo de la tasa de interés a) Para la tasa efectiva: P (1 + i)n = S Despejando i,

s P

(1 + i)n 1+i = I=

n

n

S P

S -1 P

b)

Para la tasa nominal:

Sabemos que:

P  (1 

j mn ) S m

Despejando j:

(1 

j mn ) m



S P

60


1

j m

j m



mnn





j

S P S mn P

mn



Diversificado

S P 1

 1 m

Cálculo del tiempo (n) a) Con la tasa efectiva de interés: Anteriormente establecimos que: P (1+i)n S =  (1+i)n

=

S P

Como la expresión anterior es una ecuación exponencial. b) Con tasa nominal de interés: Sabemos que:

P(1 

j mn j S )  S  (1  ) mn  m m P

1) ¿En qué tiempo un capital de Q. 2000 se convertirá en Q. 3500 si la Tasa de interés efectiva es del 4 % anual? n =?

P = 2000

S = 3500

¡= 4% = 0.04

Convertir los 14.27 años: en años, meses y días: Hay 14 años completos y 0.27 de año, entonces:

61


Diversificado

x= 0.27 x 12 = 3.24 meses Hay 3 meses exactos y 0.24 de mes, entonces: x = 0.24 x 30 = 7.2 días Por lo tanto n = 14 años, 3 meses y 7 días. Cálculo del tiempo y de la tasa de interés usando tablas financieras. a) Cuando la tasa de interés es electiva: P (1 + i)n = S Pasando “P” al segundo miembro: (1 + i) n = Ejemplo explicativo: 1) Se han invertido 0. 12318 al 4 1/2% de interés anual compuesto. Al final del plazo se recibieron 0. 16041.24. ¿Cuál fue el tiempo que estuvo invertido el capital? P = 12318

¡ = 4 1/2

S = 16041.24

n = ?

Aplicamos nuestra fórmula: (1 + i)n = S → (1 + 0.045)n

=

P

(1 + 0.045)n = 1.3022601

Explicación: Hacemos la división S+ P (16041.24 + 12318 = 1.3022601). Después buscamos en la tabla del 4 1/2 % el número 1.3022601. (Tabla 1). Al encontrarlo vemos que corresponde a un valor n = 6, por lo tanto: n = 6 años Veamos la parte de la tabla correspondiente a lo anterior. (Basta con 6 decimales) N 1 2 3 4

3 1/2

4%

4 1/2% 5%

i

62

5 1/2%


5 6

Diversificado

n

1 .302260

2) ¿A qué tasa de interés anual se tendría que invertir un capital de 0.5800 para que al final de 5 años se convirtiera en Q. 7761 .71? P = 5800

n = 5 (1 + i) n

S = 7761.71

i =?

S → (1 + i)s = P

(1 + i)5 = 1.338226 Buscamos a lo largo de la tabla 1 el valor 1.338226 en n = 5. Al encontrarlo nos damos cuenta que corresponde a i = 6% Por lo tanto: i = 6%, veamos la tabla: n

6%

1 2 3 4 5

i

6 1/2%

7%

8%

1.338226

b) Cuando la tasa es nominal: Sabemos que: P (1 + j ) mn =

Pasando P al segundo miembro (1 + j )mn

=

1) Se han invertido Q. 1030.00 al 8% anual capitalizable semestralmente, habiéndose recibido al final del plazo Q. 2086.59. ¿Cuál es el tiempo que el capital estuvo invertido? P=1030.00

¡=8%

m=2

S=208659

63

n=6


Diversificado

Como hay más de una capitalización anual usaremos la fórmula:

(1 

J mn s )  M p

(1 

0.08 2 n 2086.59 ) = 2 1030

(1  0.04 ) 2 n  2.02581 Buscamos en la tabla el valor 2.02581 en la columna del 4 % (0.04) en la tabla 1. Al encontrarlo nos damos cuenta que corresponde a 18 en “n”, pero según la fórmula: 2n = 18;

n =

despejando n:

18 = 9 años 2

2) ¿Cuál es la tasa de interés capitalizable cada 4 meses a la que se ha invertido un capital de 0.1528 para que al final de 5 años se convierta en Q. 2213? n=5

m=3

P=1528

(1 

j mn S )  m P

(1 

j 3*5 2213 )   1.448298 m 1528

S=2213

Buscamos en la tabla (1) 1.448298 en cualquier n = 15 y al encontrarlo observamos que equivale a 2 1/2 % = 0.025, pero este valor corresponde a 15 períodos de capitalización, por lo tanto:

j  0.025 3

Despejando j

j = 0.025 x 3 = 0.075 = 7.5%

64


Diversificado

Actividad Resuelve en forma correcta los siguientes ejercicios, dejando el procedimiento utilizado. 1. Una persona hizo un préstamo por Q. 700.00 de interés compuesto durante 5 años. Al final tuvo que pagar Q. 851.65. ¿A qué tasa anual se hizo el préstamo?

2. Un capital de Q. 5000.00 ha producido Q: 2600.00 de interés al final de 8 años de estar prestado. Si los intereses se han capitalizado bimestralmente. ¿Cuál es la tasa de interés?

3. Una suma de Q. 8500.00 ha producido Q. 3080.00 de interés al final de 4 años. ¿A qué tasa de interés anual se impuso?

4. ¿En cuántos años una suma de Q. 834.00 prestada al 8% anual de interés compuesto: convertirá en Q. 1323.46?

5. Calcular en cuánto tiempo un capital de Q. 648,000 se convierte en Q. 925,000 al 24 % de interés anual.

6. Una suma prestada al 3.5% de interés compuesto durante 9 años, se ha convertidas en Q. 3254.60. ¿Cuál es la suma prestada?

7. Una persona hizo un préstamo por Q.700 al 4% anual de interés compuesto pagando al final de Q. 851.65. ¿Cuántos años duró el préstamo?

8. Una persona deposita Q. 7,200 en una Institución de crédito que paga el 12% semestral de interés. Sabiendo que el capital permanece depositado 4 años, se desea saber, cuánto se retirará al final del período estipulado.

9. Hallar el capital y el interés que resultan si se imponen Q.280000 durante 8 años a interés compuesto del 5% acumulándose los intereses al capital cada 3 meses.

65


Diversificado

10. ¿Cuál será la tasa efectiva de interés equivalente a una tasa nominal del 6% capitalizable semestralmente?

11. ¿Cuál será la tasa efectiva de interés equivalente a una tasa nominal del 8%, capitalizable trimestralmente?

12. Encontrar la tasa nominal capitalizable semestralmente equivalente a una tasa efectiva del 4% anual.

66


Diversificado

Glosario

01). Interés

08). Monto.

02). Capital

09). Período.

03). Simple.

10). Capitalización.

04). Contrato.

11). Tasa.

05). Constante.

12). Nominal.

06). Compuesto.

13). Fraccionario.

07). Prestado.

14). Electivo.

67


Diversificado


Tercera Unidad Ciclo Escolar / Profesor(a):



Prueba Objetiva

PUNTEO

FECHA

PUNTEO

FECHA

PUNTEO

FECHA

PUNTEO

Declarativos:

Declarativos:


FECHA

Declarativos:


PUNTEO

Declarativos:


FECHA

Declarativos:


PUNTEO



FECHA


68


Diversificado

Proyecto Unidad III Instrucciones: A continuación debe desarrollar el Proyecto de Unidad en el cual se mostrará las capacidades aprendidas durante el bimestre.


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.



69


Diversificado

Unidad 3

Competencia 3.1.1 Aplicarás y desarrollarás tus habilidades matemáticas y financieras para resolver problemas sobre intereses, rentas y amortizaciones que se presentan como operaciones de giro normal en las empresas del país.. Indicador 3.1.1. Realiza cálculos relacionados a rentas y anualidades que se producen en las operaciones de tipo financiero.

3.1.1 Rentas y Anualidades. Una Anualidad es una sucesión de pagos, depósitos o retiros, generalmente iguales, que se realizan en períodos regulares de tiempo, con interés compuesto. El nombre de anualidad no implica que las rentas tengan que ser anuales, sino que se da a cualquier secuencia de pagos, iguales o diferentes, a intervalos regulares de tiempo, independientemente que tales pagos sean anuales, semestrales, trimestrales o mensuales.

70


Diversificado

Cuando en un país hay relativa estabilidad económica, es frecuente que se efectúen operaciones mercantiles a través de pagos periódicos, sea a interés simple o compuesto, como en las anualidades. Cuando las cuotas que se entregan se destinan para formar un capital, reciben el nombre de Imposiciones o fondos; y si son entregadas para cancelar una deuda, se llaman amortizaciones. Las anualidades nos son familiares en la vida diaria, como: las rentas, sueldos, pagos de seguro social, pagos a plazos y de hipotecas, primas de seguros de vida, pensiones, pagos para fondos de amortización, alquileres, jubilaciones y otros, aunque entre unas y otras existen distintas modalidades y muchas diferencias. Sin embargo, el tipo de anualidad al que se hace referencia es el de anualidad de inversión, que incluye interés compuesto, ya que en otras clases de anualidad no se involucra el interés. En una anualidad intervienen los siguientes elementos: Renta Es el pago, depósito o retiro, que se hace periódicamente. Renta anual Suma de los pagos hechos en un año. Plazo Es la duración de la anualidad. Tiempo que transcurre entre el inicio y el fin de la anualidad. Periodo de pago Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro. Tasa Es el tipo de interés que se fija en la operación. Puede ser efectiva o capitalizable una vez en el año; o bien, nominal, si se capitaliza más de una vez en el año.

3.1.1.1 Cálculo de la Renta anual Constante(R): La renta “R” a pagar al final de “n” años a una tasa efectiva “i” de interés en función del monto es:

(1 + i) n -1 Rx  S ni 1 Sabemos que i R S x (1  i ) n  1 Despejando R: El valor correspondiente a

i (1  i ) n  1

se obtiene en la tabla No y de este texto

71


Diversificado

Ejemplo: Una persona desea acumular Q. 50.000 dentro de 5 años para comprar una computadora. ¿Cuánto deberá depositar al final de cada año, si el banco le otorga un interés del 8% anual? S = 50,000

n=5

i = 0.08

R =?

0.08 (1 + 0.0B) — 1

i R=Sx = 50,000 x (1 + i) n — 1

Tabla V N=5 i = 8%

La tabla y nos da para n = 5, i = 8 el valor 017045645, por lo tanto: R = 50,000 x 017045645 = Q. 8522.82

Cálculo del tiempo “n” Para establecer el número de años requeridos para formar un capital a una tasa efectiva de interés se despeja n del monto así: -

R

(1 + 1)” — 1 i = S

s. i (1 + i) = R + 1 n

S. i + R R (1 + i)n =

aplicando logaritmos:

log(1 + i)n = log(S.i + R) - log R

n =

log (S.i  R) - log R log (1 + i)

Ejemplo: ¿En cuántos años se logra reunir Q. 62322.71 sabiendo que se hacen pagos vencidos anuales de Q. 1000 cada uno, al 5% anual? S = Q.62322.71

R = 1000

i = 0.05

72

n=?


Diversificado

log (62322.71 x 0.05 + 1000) - log 1000 log (1 + 0.05) n = Se resuelven las operaciones del paréntesis para luego aplicar logaritmos:

log 4116.1355 - log 1000 3.61449 - 3 log 1.05 0.02119 n = = n = 28.99 = 29 años Por tablas financieras el cálculo se simplifica:

(1 + i) n - 1 i

Sabemos que:

=

S R

Se realiza el cociente S/R = 62322.71 / 1000 = 62.32271

(1  i ) n  1 i =

62.32271

(1 + 0.5) n - 1 0.05

=

este valor lo podemos leer en la tabla III

62.32271

En la tabla III buscamos el cociente S/R = 62.32271 en la columna del 5% porque i = 5%. Al encontrar el valor mencionado vemos que corresponde a n = 29 N 1 2 . . . 29

5%

5½ %

n = 29 años 62.32271191

En ocasiones se obtiene un tiempo fraccionario. Discutiremos dos formas de resolver el problema: ¿En cuánto tiempo podrán reunirse Q. 40,000 si se depositan Q. 3,000 al final de cada año al

73


Diversificado

4% de interés anual efectivo? n = ?

S = Q. 40,000

R = Q. 3000

i = 0.04

Primer método: se calcula por logaritmos el valor de n,

log (40,000 x 0.04 + 3000) - log 3000 log (1. + 0.04) n =

log 4600 - log 3000 log 1.04 n = 3.66276 - 3.47712 0.01703 n = =

0.18564 0.01703 = 10.90 años

Se tienen 4 años + 0.90 …………………..4 años 0.90 x 12 = 10.8 meses ……………….. 10 meses 0.8 x 30 = ……………………………..24días n = 4 años, 10 meses y 24 días Segundo método: Este método es más exacto que el anterior. El problema resuelto nos indica que el valor del número de períodos es n = 10.90, o sea que debieron depositarse 10.90 cuotas para reunir los 0. 40,000. Por tanto: 0.90 no es solo una tracción de tiempo, sino también una fracción de cuota. Es decir, si para reunir un capital determinado se tarde 10.90 períodos, quiere decir que después del último período (el décimo) habrá otro que equivale a 0.90 y que es una fracción de tiempo. Además, tardar 10.90 períodos para formar n capital significa que habrá que depositar 10.90 cuotas para formar el capital. Es decir que después de pagar la cuota 10, habrá otra cuota que equivale a 0.90 del período restante. a) Consideremos que tenemos 11 períodos en vez de los 10.90 y calculamos la nueva cuota (R), es decir: S n] i = 40,000 i= 0.04 n = 11 R = ? Por las tablas.

R

s

  1 x  n  (1  i)  1

Tabla V



40000

x

0.07414904



2965.96

Es decir que si tenemos 10.90 de tiempo para reunir Q 40,000 debemos depositar cuotas de Q. 3, 000, pero si en lugar de 10.90 tenemos 11 períodos para reunir Q 40,000; debemos depositar Una cuota menor de Q.3000 o sea Q. 2965.96

74


Diversificado

a) Consideremos que tenemos 10 períodos en vez de los 10.90 S n] i = 40,000 n = 10

R

n]ij

i = 0.04

i (1  i )n  1



R =?

0.04 (1  0.09 )10  1

40 ,000

Buscando en la tabla V n = 10 e i 4% obtenemos 0.08329094 R = 0.08329094 x 40000 = Q. 3331 .63 Para n = 10 la cuota resulta mayor porque se dispone de menor tiempo. Otro ejemplo: Sn]i = 30,000 i= 3 1/2%

=

0.035 R =

x i  R)  log (1  i )

n

log

(S

n

log

(30 ,000

n

3.48430

log

R

0.035  2,000 )  log (1.035 )

x

 3.30103  0.01494

Tomamos n= 12 Para n =13 Sn] i = 30,000

2000 n = ?

12.267

y n= i = 0.035

13 =



x

log

2000



31/2 13

R =?

Por tablas:

R

Sn]i

Para n = 12

i (1  i ) n  1

3000

S n] i = 30,000 = 0.035 = 3 ½

0.06206157 R =?

R = 30,000 x 0.06848395 = 0. 2054.49 En conclusión para reunir Q. 30,000 al 15% pueden hacerse: a) 13 depósitos de Q. 1861.83 b) 12 depósitos de Q. 2054.49

75



1861 .83


Diversificado

3.1.1.2. Rentas variables en progresión geométrica Este tipo de rentas sirve para valorar un conjunto de capitales equidistantes en el tiempo cuyas cuantías son variables siguiendo una ley en progresión geométrica, esto es, cada término es el anterior multiplicado por un mismo número (que se denomina razón de la progresión geométrica) y que notaremos por q. Para calcular cualquier término basta con conocer, por tanto, el primero de ellos (c) y la razón de la progresión (q). Renta Fraccionada en progresión geométrica, temporal, pos pagable, inmediato y entero. Vamos a estudiar una renta variable (términos que siguen una progresión geométrica), temporal (tiene un número determinado de capitales), pos pagable (los términos vencen al final del período), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (términos y tanto están en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calculará en régimen de compuesta (renta compuesta). Cálculo del valor actual La representación gráfica de la renta anteriormente citada es la siguiente:

Se trata de valorar en el origen todos los términos que componen la renta. Para ello llevaremos, uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde está cada capital hasta el origen, obteniéndose el valor actual, que se nota con la siguiente terminología: A(c; q) nùi, expresión que recoge la información de la renta (n términos al tanto i) y también datos de la progresión que siguen los capitales (primer término –c– y razón de la progresión –q–):

76


Diversificado

Sacando factor común: c ---------(1 + i) Se obtiene:

Donde el corchete es la suma de n términos en progresión geométrica creciente de razón:

Aplicando la expresión que suma términos que siguen esta ley:

Siendo a1 el primer término de la progresión, an, el último término y r, la razón. Aplicando dicha fórmula a los términos actualizados de la renta, el valor actual de la renta queda de la siguiente forma:

77


Diversificado

De donde finalmente se puede obtener:

Expresión que solamente se podrá utilizar cuando q ≠ 1 + i. Cuando se cumple: q = 1 + i, la expresión del valor actual quedará de la siguiente forma:

Sacando factor común:

El corchete, al simplificarse, no es más que la suma aritmética de n veces la unidad, quedando el valor actual así:

78


Diversificado

Cálculo del valor final: A partir del valor actual se podrá calcular el valor de la renta en cualquier otro momento, utilizando la relación que existe entre los valores financieros en los diferentes momentos de tiempo. En concreto, el valor final será el resultado de capitalizar el valor actual antes calculado.

EJEMPLO: Hallar el valor actual y final de los ingresos anuales vencidos de un trabajador que el primer año va a ganar Q 20.000.00 y espera que crezcan un 5% anual de forma acumulativa para un horizonte temporal de 4 años. a) Suponiendo una tasa de valoración del 7%. b) Suponiendo una tasa de valoración del 5%.

79


Diversificado

a) Valorando al 7%:

b) Valorando al 5%:

Nota. A idénticos resultados se hubiera llegado si desplazamos uno a uno los capitales a la fecha de estudio. Calculo de la tasa: Sólo se establecen fórmulas de la tase en función del valor actual, las cuales se obtienen por transposición de términos. Así para una renta perpetua caso un pago al año y tase efectiva de Interés. Simbolización; R= valor de las rentas. р= Numero de pagos en el contrato. j= tasa de interés nominal m= Numero de capitalizaciones en el año. A= valor actual Fórmulas a utilizar: Valor actual

80


Diversificado

Pagaderas cada "K" años Anticipación. Diferimiento mk –my ================================= A= W (1+j/m) –1 (1+j/m) mk (1+j/m) –1 Pagaderas anualmente o en periodos menores de un año Anticipación. Diferimiento m/p -my ================================ A= R (1+j/m) –1 (1+j/m) m/p (1+j/m) –1 Rentas. Pagaderas cada"k" años. mk -mk my W= A [(1+j/m) -1] (1+j/m) –1 (1+j/m) Pagaderas anualmente o en periodos menores a un año. m/p -m/p my W= A [(1+j/m) -1] (1+j/m) –1 (1+j/m) Formulas del interés Pagaderas cada K años 1/mk

81


Diversificado

j= m [W/A+1]-1 Pagaderas anualmente en periodos menores de un año. P/m j= m[(R/A+) -1] Ejemplo del cálculo de un valor actual en una renta perpetúa. Una empresa hizo cálculos de que puede instalar salinas que le producirán a perpetuidad 20000.00 quintales de sal anuales y estima que por cada quintal ganara Q 0.50 al final de cada año. ¿Cuánto puede pagar por un terreno de las dimensiones necesarias para el producto si la tasa de interés del mercado es del 14% anual capitalizable semestralmente? Datos. A= R = 10000 R= 10000 ĵ= 0.14 m/p 2/1 m= 2 (1+j/m)-1 (1.07) -1 A= ? P=1 A= 10000 0.1449 A= Q 69013.11 R// se puede pagar por el terreno Q69013.11.

Ejemplo del cálculo de la tasa de interés. Una persona tiene una inversión que producirán a perpetuidad, la rentabilidad que ahora producen. En vista del alza de la tasa de interés en el mercado, quiere saber qué tasa de interés anual le producen tales inversiones, y sobre esa base decidir si las sustituye por otras más productivas. La inversión será de Q19500.00, rentas de Q390.00 al final de cada trimestre y tasa capitalizable semestralmente.

82


Diversificado

Datos p/m A=19500 j= m[(R/A+) -1] R= 390 4/2 P=4 j= 2[(390/19500+1) -1] m=2 j=? j= 0.0808 R// la tasa de rendimiento es del 8.08% anual capitalizable semestralmente En un negocio fue invertida la cantidad de Q62497.50, anualmente produce Q7500.00. ¿A qué tasa anual de interés equivale esa renta si se supone que la misma se va a recibir en forma indefinida? Calculo de la tasa efectiva vencida, un pago al año Datos: A=62497.50 i= R = 7500 R=7500 A 62497.5 i=? i=0.12 R// Equivale a una tasa de interés efectiva del 12% anual.

ACTIVIDAD En el siguiente espacio, se te proporcionan ejercicios relacionados a las Rentas, despeja en forma correcta el elemento que se te solicita. 01). Cuál es el valor final de una Renta mensual de Q 500.00, durante dos años, a una tasa del 1% mensual. 02). Cuál es el valor presente de una Renta quincenal de Q. 254.00, durante un año, a una tasa del 1.5% mensual. 03). Cuál es el valor de una Renta mensual, que acumuló Q 18,000.00 en dos años, aplicando una tasa del 1% mensual.

83


Diversificado

04). Cuál es el valor de una Renta mensual, que acumuló Q. 180,000.00 en diez años, aplicando una tasa del 20% anual. 05). Cuál es el valor de una Renta mensual, que pagó un crédito de Q. 280,000.00 en quince años, aplicando una tasa del 20% anual. 06). Cuál es el valor de una Renta quincenal, que pagó un crédito de Q. 3,500.00 en un año, aplicando una tasa del 1.5% mensual.

3.1.2 Indicador. Conocerás los diferentes métodos empleados para restituir o recuperar el capital de un préstamo.

3.1.2 Amortizaciones. Se definen como las cantidades acordadas en contratos de promesa de pago ya sea Evidentemente, en un préstamo con cuota constante, las cuotas de intereses y de amortización no son constantes: la más fácil de calcular es la cuota de intereses. Los intereses se calculan siempre sobre el capital vivo, es decir, sobre lo que nos queda por pagar. Así, si nos prestan Q 12.00 al 7%, el primer año del préstamo pagaremos el 7% de Q. 12.00 = Q 0.84 ( = I1). La cuota de amortización sería el resto de la cuota, es decir, A1=2.926,69-840=2.086,69 quetzales. Para resumir los pagos, se suele construir un cuadro de amortización como el que sigue: Año Cuota Intereses 0 --1 a1 I1 2 a2 I2 3 …. …

Amortización -A1 A2 …

Capital Vivo C0 C1 C2 …

En nuestro caso, quedaría así: Año 0 1 2 3 4 5

Cuota -2.926,69 2.926,69 2.926,69 2.926,69 2.926,69

Intereses -840,00 693,93 537,64 370,41 191,47

Amortización -2.086,69 2.232,76 2.389,05 2.556,28 2.735,22

84

Capital vivo 12.000,00 9.913,31 7.680,56 5.291,51 2.735,22 0,00


Diversificado

El cuadro se genera siguiendo el procedimiento descrito: Calcular la cuota (anualidad o mensualidad): 2.926,69. Calcular los intereses sobre el capital vivo: 7% de 12.000 = 840. Calcular el capital amortizado como el resto de cuota: 2.926,69-840 = 2.086.69 Calcular el nuevo capital vivo, restando el capital amortizado al capital vivo anterior: 12.0002.086,69=9.913,31.

3.1.2.1 Método de cuota de amortización constante método lineal: En este tipo de préstamos, el prestatario se compromete a devolver todos los períodos la misma cantidad de capital, esto es, la cuota de amortización (A k) se mantiene constante durante todo el préstamo. Considerando que el importe del préstamo es C 0, con un tipo de interés constante i, y amortizable en n períodos, en este caso debe cumplirse que: A1 = A 2 = A3 = … = A n = A PASOS A SEGUIR En este caso, se calcula en primer lugar todo lo que tenga que ver con las cuotas de amortización, fáciles de calcular, a continuación los intereses y, finalmente, los términos amortizativos.

Cálculo de la cuota de amortiz ación (A) Sabiendo que la suma de todas las cuotas de principal es el importe del préstamo y que, además, éstas se mantienen constantes se debe cumplir: C0 = A1 + A2 + A3 + … + An = A x n De donde se obtiene: C0 = n

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Diversificado

Cálculo del total amortizado después de N períodos (mk)

Si se conoce lo que se amortiza en cada momento, el total amortizado hasta una fecha será la suma aritmética de las cuotas ya practicadas. mk = A1 + A2 + … + Ak = A x k

Cálculo del capital vivo a principios del período k+1 (C k ) Se realizará a través de las cuotas de amortización (pasadas o futuras).

Cálculo de cuota de interés del período k+1 (I k+1 ) Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de la deuda pendiente a principios de ese período, al tanto efectivo vigente durante el mismo. Ik+1 = Ck x i

86


Diversificado

Cálculo de los términos amortizativ os: ley de recurrencia (a k ) Puesto que los términos amortizativos son la suma de la cuota de interés (decrecientes porque se calculan sobre capitales cada vez menores) y la cuota de amortización (en este caso constantes), los términos variarán como lo hacen las cuotas de interés y seguirán una ley matemática. EJEMPLO. Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 300.000 euros, al 10% de interés anual, amortizable en 3 años, con cuotas de amortización anuales constantes.

Años

(5)

(4)

(1)

(2)

(3)

Término amortizativo

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Capital vivo

0 1 2 3

130.000,00 120.000,00 110.000,00

30.000,00 20.000,00 10.000,00

100.000,00 100.000,00 100.000,00

Total

360.000,00

60.000,00

300.000,00

87

300.000,00 100.000,00 200.000,00 200.000,00 100.000,00 300.000,00


Diversificado

GLOSARIO 01). Renta.

08). Anualidad.

02). Contrato.

09). Mercantil.

03). Crédito.

10). Cálculo.

04). Hipoteca.

11). Cuota.

05). Fiduciario.

12). Ganancia.

06). Capital.

13). Mensualidad.

07). Finanzas.

14). Superávit.

88


Diversificado


Cuarta Unidad Ciclo Escolar / Profesor(a):



Prueba Objetiva

PUNTEO

FECHA

PUNTEO

FECHA

PUNTEO

FECHA

PUNTEO

Declarativos:

Declarativos:


FECHA

Declarativos:


PUNTEO

Declarativos:


FECHA

Declarativos:


PUNTEO



FECHA


89


Diversificado

Proyecto Unidad IV Instrucciones: A continuación debe desarrollar el Proyecto de Unidad en el cual se mostrará las capacidades aprendidas durante el bimestre.


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.



90


Diversificado

Unidad 4

Competencia 4.1.1 Determina eficientemente los diferentes descuentos generados en diversas transacciones, aplicando las fórmulas necesarias para el despeje de ejercicios matemáticos de naturaleza financiera.

4.1.1. Indicador. Realizarás cálculos financieros para argumentar e identificar la clasificación de los tipos de descuentos que se producen en las operaciones bancarias.

4.1.1 Descuento Bancario. El descuento bancario es una operación financiera que consiste en la presentación de un título de crédito en una entidad financiera para que ésta anticipe su importe y gestione su cobro. El tenedor cede el título al banco y éste le abona su importe en dinero, descontando el importe de las cantidades cobradas por los servicios prestados.

91


Diversificado

CLASIFICACIÓN Según el título de crédito presentado a descuento, distinguimos:    

Descuento bancario, cuando el título es una letra de cambio. Descuento comercial. Cuando las letras proceden de una venta o de una prestación de servicios que constituyen la actividad habitual del cedente. Descuento financiero. Cuando las letras son la instrumentalización de un préstamo concedido por el banco a su cliente Descuento no cambiario, cuando se trata de cualquier otro derecho de cobro (pagarés, certificaciones de obra, facturas, recibos).

CÁLCULO FINANCIERO DEL DESCUENTO El importe anticipado por la entidad al cliente se denomina efectivo o líquido, y se obtiene restando del importe de la letra (nominal) el importe de todos los costes originados por el descuento (intereses, comisiones y otros gastos). Intereses: cantidad cobrada por la anticipación del importe de la letra. Se calcula en función del nominal descontado, el tiempo que se anticipa su vencimiento y el tipo de interés aplicado por la entidad financiera.

Siendo: N: Nominal del efecto. t: Número de días que el banco anticipa el dinero. d: Tipo de descuento anual, en tanto por uno. Comisiones: también denominado quebranto o daño, es la cantidad cobrada por la gestión del cobro de la letra que realiza el banco. Se obtiene tomando la mayor de las siguientes cantidades:  

Un porcentaje sobre el nominal. Una cantidad fija (mínimo).

92


Diversificado

Otros gastos: son los denominados suplidos, donde se pueden incluir los siguientes conceptos: el timbre, correspondiente al correo, según la tarifa postal. EJEMPLO Se desea descontar una letra de Q 3.250.00 cuando aún faltan 60 días para su vencimiento en las siguientes condiciones:   

Tipo de descuento: 14% anual. Comisión: 3%. Otros gastos: 2 quetzales.

Se pide: Conocer el efectivo recibido por el cedente. Nominal

3.250,00

Intereses (3.250 x 0,14 x 60/360) 75.83 Comisión protesto (3.250 x 0,003) 97.50 Otros gastos 2.00 Total gastos

175.33 -----------3.074.67

Efectivo

4.1.1.1. Descuento Racional Compuesto Recordemos que el pago de una letra o pagaré no puede exigirse al deudor sino hasta el día de su vencimiento. Por ejemplo: Don Juan Pérez ha recibido mercadería de Don Jacinto López y por no contar con dinero ha firmado una letra el 10 de junio y vence el 30 de agosto del mismo año. Pero Don Jacinto López necesita hacer efectiva la letra el 15 de julio. Como es de esperarse, no puede exigir el pago a Don Juan, pues la letra vence el 30 de agosto- Por tanto; se dirige a otra persona o entidad; generalmente a un banco, para que éste le pague la letra. El banco se lo paga, pero no le da la cantidad escrita en el documento, sino algo menos; es decir que le rebaja un porcentaje de interés calculado sobre el valor nominal y el tiempo que media entre el día que el banco paga la letra y el día de su vencimiento. A esta rebaja que se hace es a lo que se le llama descuento.

93


Diversificado

4.1.1.2 Valor nominal: Es el valor escrito en el documento. Lo representamos por (s)

4.1.1.3 Valor actual: Es el valor recibido por el documento, al haberlo negociado antes de su vencimiento. Es decir que, es el valor del documento el día que se negocia (antes del vencimiento). Se lo representa con la letra (P), como se puede ver, el valor actual es menor que el valor nominal. Hay varios tipos de descuento. El que interesa en nuestro curso es el descuento racional (D,).

4.1.1.4 Formulas Descuento racional compuesto Se le llama descuento racional compuesto (D,) de una deuda que vence en el futuro, a la diferencia entre el valor nominal (S) y su valor actual (P), es decir: D = S –P

P  Sx

1 (1  I ) n

Podemos escribir

Dr  S  S

1 y (1  i ) n

 1 D,  S 1  (1  i ) n 

factorando :

  

Esta fórmula es para calcular el descuento racional cuando hay una sola capitalización. Cuando hay más de una capitalización al año se usa la fórmula:

 1 D,  S 1  mn ( 1  j / m ) 

  

Ejemplos 1) Calcular el descuento racional de Q. 5000.00 al 8% de interés compuesto capitalizable trimestralmente a pagar dentro de 5 años.

S  5000

n5

j  0.08

m4

94


Diversificado

  1  D  S 1  (1  j / m) mn  

1 1  ( j / m) mn para n 20 e i = 0.02 = 2% En la tabla No. II encontramos el valor de D = 5000 [1 - 0.67297133] D = 5000 x 0.32702867 = Q.1635.14 2) Una deuda cuyo valor a 6 años plazo será de 0. 15,000.00 se descontará racionalmente el día de hoy, si la tasa de interés es del 7 % anual ¿Qué suma se recibirá hoy por esta deuda? S = 15.000 n = 6 i = 0.07 Como hay una sola capitalización al año, usamos la formula.

 1 D  S 1  (1  i) n 

  

 1 D  15.000 1   (1  0.07) 6 

   

Como el valor al vencimiento es de 0. 15,000 y el descuento por cobrarlo hoy es de 0. 5004.87, entonces el valor a recibir es: 15,000 — 5004.87 = 0. 9995.13 También se pueden calcular el resto de variables así: 1. Calcular el valor nominal de un documento que vence dentro de 3 años, sabiendo que hoy se pagó por él la suma de Q. 1327.10 al 4% anual. Como el valor nominal es el monto a interés compuesto del valor actual, entonces usamos la fórmula del monto así: S =?

n = 3 años

P = 1327.10

i = 0.04

S  P 1  i   1327 .10 1  0.04  n

3

La tabla No I para n = 3 i =4% da el valor 1.12486400

95


S = 1327.10 x 1.12486400 =

Diversificado

Q. 1492.80

El alumno puede comprobar los resultados por logaritmos 1) ¿Cuántos años antes de vencer se descontó un documento de Q. 80000 sabiendo que al 8% semestral sufrió un descuento de Q.16.500.00? S = 80,000;

P = S – Dr = 80000 – 16500 = 63500; i = 0.08

ComoS  P 1  i   n

n

log S  log P log 80000  log 63500  log(1  i ) log 1.08

n

4.90309  4.80277  3años 0.03342

Fórmula de la tasa: Sabemos que: S  P 1  i 

n

 log S  log P  i  anti log    1 n  Por tanto: Ejemplo: 1) determinar a qué tasa de interés se descontó un documento que siendo su valor nominal de Q.57795 y que 20 meses antes de vencer valía Q. 32000 P = 32000

S = 57795

n = 20

 log S  log P  i  anti log    1 n   log 57795  32000 i  anti log  20 

   1

 4.76189  4.50515 i  anti log  20   0.25674  i  anti log  1  20 

   1

96

i =?


Diversificado

i  anti log0.01284   1

i  1.03  1  0.03 Mensual = 3% mensual Finalmente consideremos el siguiente problema: 2) Una persona posee un documento que vence dentro de 10 meses. A los 4 meses se lo entrega a otra persona que lo negocia & 3% bimestral de interés. Determinar cuánto recibe esta última persona, sabiendo que el valor del documento en el momento de vencer es de Q. 50000. S = 50000

P

i = 0.03 bim.

S 1  i n



50000 (1  0.03) 3 P

 Log Log P  4.69897 Log P  4.66045

N = 6 meses = 3 bim

50000 1.03 3





P =?

50000 (1.003 ) 3 log 50000  (log 1.03 x3)

 (0.01284 x3)  4.69897  0.03852

Anti log  Q.45756 .20

Actividad 1) Un documento tendrá un valor de Q. 6000 dentro de 8 años. Se descontará el día de hoy al 5% anual capitalizable semestralmente. Qué cantidad se recibirá por este documento? ¿Cuál será el descuento racional? (Hacerlo por logaritmos y por tablas).

2) ¿Cuántos días antes de vencer se descontó un documento de Q. 70000 sabiendo que al 8% semestral sufrió un descuento de Q. 15,000? 3) Se compra una máquina pagando Q. 1500 de enganche y Q. 3200 dentro de 8 meses. Se desea saber cuál es el valor al contado de dicha máquina, si el interés es del 24% anual con capitalización mensual.

97


Diversificado

4) Una deuda vence dentro de 13 meses. ¿Qué cantidad de recibirá si se negocia hoy al 2% mensual sabiendo que el valor nominal del documento es de Q. 5700? Además calcule el descuento racional. 5) Calcular el valor nominal de un documento que vence dentro de dos años sabiendo que hoy se pagó por él la suma de Q. 10000 al 24% anual de interés con capitalización bimensual. 6) Averiguar el descuento racional de una letra cuyo valor nominal es de Q. 7600 que vence dentro de 1 año 4 meses, sabiendo que se descuenta al 8% cuatrimestral 7) Un documento de Q. 6300 se descontó el día de hoy, recibiéndose Q. 5100.00 a un interés compuesto de 2% mensual. ¿Cuánto tiempo antes de su vencimiento se descontó? 8) P = 5300; n = l4meses; i = ?, S = 6400

4.1.2. Indicador. Aplicarás en forma correcta los métodos de depreciación de Activos, especificando parámetros en ley o indicaciones del fabricante.

4.1.2.1 Depreciaciones de Activos. Como todos sabemos, al pagar por alguna cosa, cualquiera que esta sea, que jamás haya sido utilizada, se debe desembolsar una cantidad mayor de dinero que si estuviésemos comprando un artículo de esos que llaman comúnmente "de segunda mano". Esto es porque, al igual que todas las cosas en este mundo, los bienes materiales también se desgastan y al hacerlo, ya no funcionan correctamente como lo hacían al principio. Este hecho ocasiona que su valor se deteriore de la misma manera. Por lo que al final de su vida útil, es decir, cuando queremos deshacernos de él, lo que nos pagaría otra persona por adquirirlo sería sólo un porcentaje de lo que nosotros pagamos. Sin embargo, esa cantidad que se va a recibir casi siempre es calculada de acuerdo a lo que cada dueño supone que su bien debe valer en ese momento, sin detenerse a pensar si en realidad está pidiendo la cantidad correcta o se encuentra en un error. Por ese motivo existe la depreciación contable, la cual nos ayuda a encontrar ese valor a través de ciertos métodos. Éstos nos brindan resultados exactos y que toman en cuenta todo lo necesario para que la cantidad a la que vamos a vender el bien sea la indicada; así mismo, cuando se van a pagar los impuestos por las inversiones que se han realizado, es posible que paguemos menos, no obstante, debemos conocer algo sobre la depreciación fiscal, la cual nos indica qué es lo que podemos dejar de pagar y qué no.

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Diversificado

La depreciación es un reconocimiento racional y sistemático del costo de los bienes, distribuido durante su vida útil estimada, con el fin de obtener los recursos necesarios para la reposición de los bienes, de manera que se conserve la capacidad operativa o productiva del ente público. Su distribución debe hacerse empleando los criterios de tiempo y productividad, mediante uno de los siguientes métodos: línea recta, suma de los dígitos de los años, saldos decrecientes, número de unidades producidas o número de horas de funcionamiento, o cualquier otro de reconocido valor técnico, que debe revelarse en las notas a los estados contables. Para calcular la depreciación imputable a cada período, debe conocerse: Costo del bien, incluyendo los costos necesarios para su adquisición. Vida útil del activo que deberá ser estimada técnicamente en función de las características del bien, el uso que le dará, la política de mantenimiento del ente, la existencia de mercados tecnológicos que provoquen su obsolencia, etc. Valor residual final. Método de depreciación a utilizar para distribuir su costo a través de los períodos contables. Se han desarrollado varios métodos para estimar el gasto por depreciación de los activos fijos tangibles. Los cuatro métodos de depreciación más utilizados son: El de la línea recta. El de unidades producidas. El de la suma de los dígitos de los años. El del doble saldo decreciente. METODOS DE DEPRECIACIÓN

METODO

CARGO DE DEPRECIACION

Línea recta

Igual todos los años de vida útil

Unidades producidas

De acuerdo a la producción

Suma de los dígitos de los años Mayor los primeros años

Doble saldo decreciente

Mayor los primeros años

4.1.2.2 Método de línea recta En el método de depreciación en línea recta se supone que el activo se desgasta por igual durante cada periodo contable. Este método se usa con frecuencia por ser sencillo y fácil de calcular. EL

99


Diversificado

método de la línea recta se basa en el número de años de vida útil del activo, de acuerdo con la fórmula: Costo – valor de desecho

monto de la depreciación para cada año de =

vida del activo o gasto de depreciación anual

Años de vida útil

Ejemplo: La depreciación anual para un camión al costo de Q33 000 000 con una vida útil estimada de cinco años y un valor de recuperación de Q3 000 000, usando el método de la línea recta es:

Q33 000 000 - Q3 000 000 = Gasto de depreciación anual de Q6 000 000 5 años

ó

100% = 20% x Q30 000 000 (Q33 000 000 - Q3 000 000) = Q6 000 000 5 años

4.1.2.3 Método de las unidades producidas El método de las unidades producidas para depreciar un activo se basa en el número total de unidades que se usarán, o las unidades que puede producir el activo, o el número de horas que trabajará el activo, o el número de kilómetros que recorrerá de acuerdo con la fórmula.

Costo – valor de desecho Unidades de kilómetros

uso,

horas

o

=

Costo de depreciación de una unidad hora o x kilómetro

100

Número de unidades horas o kilómetros usados durante el periodo


=

Diversificado

Gasto por depreciación del periodo

Por ejemplo, suponga que el camión utilizado en el ejemplo anterior recorrerá 75 000 kilómetros aproximadamente. El costo por kilómetro es: Q33 000 000 - Q3 000 000 = 75 000 kilómetros

Q400 de costo de depreciación por kilómetro

Para determinar el gasto anual de depreciación, se multiplica el costo por kilómetro (Q400) por el número de kilómetros que recorrerá en ese periodo. La depreciación anual del camión durante cinco años se calcula según se muestra en la tabla siguiente: Año

Costo por kilómetro X

Kilómetros

Depreciación anual

1

Q400

20 000

Q8 000 000

2

400

25 000

10 000 000

3

400

10 000

4 000 000

4

400

15 000

6 000 000

5

400

5 000

2 000 000

75 000

$30 000 000

Los métodos de depreciación en línea recta y de unidades producidas distribuyen el gasto por depreciación de una manera equitativa. Con el método de línea recta el importe de la depreciación es el mismo para cada periodo fiscal. Con el método de unidades producidas el costo de depreciación es el mismo para cada unidad producida, de cuántas horas se emplean o de los kilómetros recorridos, durante el periodo fiscal.

4.1.2.4 Porcentajes y Fórmulas.

101


Diversificado

Los porcentajes para realizar las depreciaciones de activos corrientes y no corrientes, se aplicarán conforme a lo que estipule el Código de Comercio y sus reformas vigentes del País.

4.1.3. Indicador Aplicarás los métodos y porcentajes en el cálculo matemático de valores de productos y servicios debidamente facturados.

4.1.3.1 Prorrateo de Facturas. En el cálculo de facturas, especialmente las que provienen del extranjero, es necesario tener en cuenta distintos elementos y factores del costo. Estos elementos algunas veces están en una sola factura y otras no. Cuando un comerciante recibe mercaderías de su proveedor, el costo de la misma no está constituido solamente por el precio de origen, sino también intervienen ciertos gastos que aumentan dicho costo. Estos gastos se relacionan: con el importe de la factura (impuestos etc,) con el peso de las mercancías (fletes, acarreos, etc.). Por lo que es natural que cada una de las mercancías amparadas por las facturas, se vea afectada proporcionalmente con dichos gastos. El reparto de distribución de los gastos ocasionados por las mercancías amparadas por la factura se llama “prorrateo de factura”. Los elementos que intervienen y que influyen en el prorrateo de facturas son: 1. Precio de compra. 2. Precio de costo. 3. Gastos sobre el valor de la factura o gastos al valor como: comisiones, seguro en tránsito y almacén, ciertos derechos de aduana y consulares. 4. Gastos relacionados con el peso de la mercancía o gastos al peso. 5. Impuestos. Con respecto a los pesos, es necesario tener presente lo que indica el Arancel General de Aduanas. Peso Bruto: es el peso total de la mercancía, que viene empacada o envasada. Tara: es el peso de los envases o empaques, en que viene la mercancía. Peso Neto: es el peso de la mercancía sin el peso del empaque. Peso Legal: es el precio sobre el que fija los derechos aduanales al arancel correspondiente ya sea nacional o extranjero. Cálculo de los gastos al Valor: ( primer caso ) Cuando es de una sola clase de mercadería. Ejemplo.

102


Diversificado

1. Una factura ampara 350 quintales de cemento, cuyo valor es de Q 17.00 el quintal y se paga por empaque en costales a razón de Q 0.20 por quintal; acarreo Q 180.00 y por gastos diversos Q 82.00. ¿Cuál fue el precio de costo y a cuánto debe venderse el quintal para tener una ganancia del 25%? La disposición de los datos será la siguiente: Valor factura 350 qq x Q 17.00 = Q 5,950.00 Empaque 350 qq x Q 0.20 = Q 70.00 Acarreo Gastos diversos

Q 180.00 Q 82.00 Q 6,282.00

Q 6,282.00 / 350 qq = Q 17.95 Precio por quintal. El 25% sobre el precio por quintal es de:

Respuesta: el precio de venta será de Q 17.95 + Q 4.49 = Q 22.44 el quintal. 2. Una Factura ampara 5,000 libras de avena, cuyo valor es de Q 2.75 la libra, se paga por acarreo Q 105.00 y de gastos diversos Q 25.00 ¿Cuál es el precio de costo por libra y a cuánto debe venderse la libra para tener una ganancia del 18%. Valor factura 5,000 x Q 2.75 = Q 13,750.00 Acarreo = 105.00 Gastos diversos = Q 25.00 Q. 13,880.00 Precio de costo: Q 13,880.00 / 5,000 = Q 2.78 la libra. Ganancia: Q 2.78 x 0.18 = 0.50 por libra. Precio de venta: Q 2.78 + 0.50 = Q 3.28 la libra. Respuesta: el precio de costo es de Q 2.78 la libra y se debe vender a Q 3.28 la libra. Cálculo de los gastos al Valor: (segundo caso) Cuando las partidas de mercancías que figuran en la factura, ocasionan los mismos gastos al valor por unidad. Ejemplo:

103


Diversificado

1) Una factura ampara la compra de 144 televisores de 21” con valor de Q 2,005.00 cada uno y 48 televisores de 14” con valor de Q 1,500.00 cada uno. Los gastos fueron: Seguro, 4 al millar sobre el valor de la factura. Comisión, 3% sobre el valor de la factura. Derecho de aduana, 19% sobre la compra. Transporte, almacenamiento y fletes, Q 15.00 por cada unidad. Gastos diversos, Q 900.00 Se necesita saber el precio de costo para fijar el precio por cada clase de televisor, teniendo una ganancia del 17.5%. Valor de la factura: 144 x Q 2,005.00 = Q 288,720.00 48 x Q 1,500.00 = Q 72,000.00 192 Q 360,720.00 Gastos al valor: Seguro, 4 al millar sobre Q 360,720.00 Comisión, 3% sobre Q 360,720.00 Derechos de aduana, 19% sobre Q 360,720.00 Trans, almacén, y fletes Q 15.00 x 192 Gastos diversos TOTAL

= Q = Q = Q = Q = Q Q

1,442.88 10,821.60 68,536.80 2,880.00 900.00 84,581.28

Estos gastos los reducimos a la unidad es decir, a lo que corresponde a cada Q 1.00 y se obtiene lo que se llama “factor de prorrateo.”. F. P. Q 84,581.28 Q 360,720.00

=

0.234479

Distribución o prorrateo de gastos: Q 288,720.00 x 0.234479 = Q 67,698.78 Q 72,000.00 x 0.234479 = Q 16,882.49 Q 84,581.27 El costo de los televisores de 21” es de: Q 288,720.00 + Q 67,698.78 = Q 356,418.78 El costo de los televisores de 14” es de: Q 72,000.00 + 16,882.49 = Q 88,882.49 El costo por unidad es de: Televisores de 21” = Q 356,418.78 / 144 =

Q 2,475.13

Televisores de 14” = Q 88,882.49 / 48 =

Q 1,851.72

104


Diversificado

Para tener una ganancia del 17.5% por unidad, deben venderse en: Televisor de 21 “ Q 2,475.13 + Q 433.15 = Q 2,908.28 Televisor de 14” Q 1,851.72 + Q 324.05 = Q 2,175.77 NOTA: Porcentajes para productos terminados sujetos al arancel aprobado por el Gabinete Económico y sus publicaciones.

4.1.3.2 Costos. La determinación de costos es una parte importante para lograr el éxito en cualquier negocio. Con ella podemos conocer a tiempo si el precio al que vendemos lo que producimos nos permite lograr la obtención de beneficios, luego de cubrir todos los costos de funcionamiento de la empresa. Los costos nos interesan cuando están relacionados directamente con la productividad de la empresa. Es decir, nos interesa particularmente el análisis de las relaciones entre los costos, los volúmenes de producción y las utilidades. La determinación de costos permite conocer: Cuál es el costo unitario de un artículo, esto es, lo que cuesta producirlo Cuál es el precio a que debemos venderlo Cuáles son los costos totales en que incurre la empresa. Cuál es el nivel de ventas necesario para que la empresa, aunque no tenga utilidades, tampoco tenga pérdidas. Es decir, cuál es el punto de equilibrio. Qué volumen de ventas se necesita para obtener una utilidad deseada. Cómo se pueden disminuir los costos sin afectar la calidad del artículo que se produce. Cómo controlar los costos.

4.1.3.3 Costos Unitarios (fijos). Son periódicos. Se suele incurrir en ellos por el simple transcurrir del tiempo. Por ejemplo:  Alquiler del local  Salarios  Gastos de mantenimiento  Depreciaciones y amortizaciones Cualquiera sea el volumen de producción que se pretenda lograr no se pueden evitar estos costos. Son independientes del nivel de producción.

4.1.3.4 Costos Totales.

105


Diversificado

Por definición, y como se mencionó anteriormente, los costos totales incurridos en la operación de una empresa durante un periodo dado, se cuantifican sumando sus costos fijos y variables, expresándose esta relación según se indica a continuación: COSTOS TOTALES = COSTOS UNITARIOS (fijos) + COSTOS VARIABLES Así, en el ejemplo que nos ocupa la siguiente gráfica, ilustrando el comportamiento de los costos fijos, variables y totales de la empresa durante el año de operación

Meses

Costos Fijos

C. Variables

Costos Totales

Enero

6

0

6

Febrero

6

5

11

Marzo

6

8

14

Abril

6

10

16

Mayo

6

12

18

Junio

6

12

18

Julio

6

12

18

Agosto

6

12

18

Setiembre

6

12

18

Octubre

6

12

18

Noviembre

6

12

18

Diciembre

6

12

18 191000

ACTIVIDAD

106


Diversificado

Resuelve los siguientes problemas, dejando constancia del procedimiento utilizado. Primer caso: 01). Una factura ampara 1,500 quintales de azúcar, cuyo valor es de Q 120.00 el quintal y se paga por empaque en costales a razón de 0.18 por quintal, por acarreo 0.12 por libra y por gastos diversos Q 50.00 ¿ cuál fue el precio de costo y a cuánto debe venderse el quintal para tener una ganancia del 15%?

02). Una factura ampara 400m de azulejo, cuyo valor es de Q140.00 el m, de gastos diversos paga por empaque en cajas Q145.00, por acarreo Q 220.00 y otros Q40.00 ¿cuál fue el precio de costo por m, y a cuánto debe venderse el m, para tener una ganancia del 18%? Segundo caso:

03). Una factura ampara la compra de 30 televisores de 20” con un valor de Q 1,990.00 cada uno, 100 hornos tostadores con un valor de Q 200.00 cada uno y 30 faxes con un valor de Q 450.00 cada uno. Los gastos fueron: Seguro, 6 al millar sobre el valor de la factura. Comisión, 2.5% sobre el valor de la factura. Derechos aduanales, 19% sobre la compra. Transporte, almacenamiento y fletes, Q 8.00 por cada unidad. Gastos diversos, Q 800.00 Se necesita saber el precio de costo para fijarle el precio a cada artículo y tener una ganancia del 16%.

04). Una factura ampara la compra de 40 equipos de sonido con un valor de Q 2,800.00 cada uno, 12 minicomponentes con un valor de Q 700.00 cada uno y 18 videograbadoras con un valor de Q 1,380.00 cada una. Los gastos fueron: Seguro, 7.2 al millar sobre el valor de la factura. Comisión, 1.6% sobre el valor de la factura. Derecho de aduana, 19% sobre la compra Transporte y almacenamiento, q 1,990.00 Gastos diversos, Q 900.00 Se necesita saber el precio de costo para fijar el precio de venta a cada clase de mercadería y obtener una ganancia del 20%.

107


Diversificado

Glosario 01 Factura

08 Tangible

02 Impuesto

09 Moneda

03 Costos

10 Prorrateo

04 Descuento

11 Raíz

05 Racional.

12 Divisor

06 Reparto

13 Parámetro

07 Coeficiente

14 Amortización

108

13. Calculo Mercantil y Financiero

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