TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA
2Ø12
Odrediti napone u betonu i armaturi za presek prikazan na skici desno. Presek je optereen momentima savijanja Mg = 29.6 kNm i M p = 26 kNm. MB 30, GA 240/360.
1.
a1
Z6/1
3 × 4.5 + 2 × 9.5
=
5
⇒ µ1 =
⇒
MB 30
E b = 31.5 GPa
a2
α2 = A a1 b × h
⇒ µ2 =
Aa2 = 2.26 cm2
2Ø12
= 6.5 cm ; a2 = 4.5 cm
h. = 40 – 6.5 = 33.5 cm ; Aa1 = 15.71 cm 2
UØ8/30
Aa2 b × h
⇒
h
4.5 33.5
= 2.34%
20 × 33.5
=
3Ø20
2.26
= 0.34%
20 × 33.5
=
Ea E b
210
=
2Ø20
= 0.134
15.71
=
n
=
31.5
= 6.67
2 s + 2 × n × (µ1 + µ2 ) × s – 2 × n × (µ1 + µ2 × α2 ) = 0
−2 −2 2 s + 2 × 6.67 × (2.34 + 0.34) × 10 × s – 2 × 6.67 × (2.34 + 0.34 × 0.134) × 10 = 0 2 s + 0.358 × s – 0.319 = 0 2
s J IIb = 2
⇒
s = 0.414
s 0.414 2 0.414 × 1 − = × 1 − = 0.074 2 3 3
Ma = M = Mg + M p = 29.6 + 26.0 = 55.6 kNm
σ b =
Ma b × h
σ b =
s
× 2
J IIb
55.6 × 10 2 20 × 33.5
σa1 = n × σ b × σa 2 = n × σ b × ε b = ε a1 =
σ b E b
σ a1 Ea
=
2
+ n × µ 2 × (s − α2 ) × (1 − α2 )
×
0.414 0.074 + 6.67 × 0.34 × 10
1− s s
= 6.67 × 1.29 ×
s − α2 s
3.15 × 103 12.23 21 × 10
1 − 0.414 0.414
= 6.67 × 1.29 × 0.414
× (0.414 − 0.134) × (1 − 0.134)
3
= 1.29 kN/cm2
= 12.23 kN/cm 2
− 0.134
0.414
1.29
=
−2
= 5.82 kN/cm 2
= 0.411‰
= 0.583‰ ;
εa 2 =
σa2 Ea
=
5.82 21 × 103
= 0.277‰
Napomene: U prakti#nim zadacima ni j e obavezno uvrstiti uvrstiti u prora #un površinu pritisnute armature u preseku (ukoliko obavezno nije ra#unski potrebna). Za slu#aj Aa2 = 0, sledi s = 0.424 , σb = 13.6 MPa, odnosno σa1 = 123.0 MPa . Potrebno je uo #iti da su vrednosti sra #unatih napona vrlo bliske vrednostima dopuštenih napona u betonu i armaturi. Naime, pored dimenzionisanja po teoriji grani #ne nosivosti (Godišnji zadatak, list 2), isti primer je dimenzionisan i u Zadatku Zadatku 1 - klasi #na teorija i u ra #unskom smislu bio JEDNOSTRUKO ARMIRAN).
Primeri za vežbe
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA
Z6/2 2Ø12
Odrediti napone u betonu i armaturi za presek na skici desno. Pored momenata savijanja Mg = 29.6 kNm i M p = 26 kNm, presek je optereen i silama zatezanja Zg = 48.3 kN i Z p = 42.6 kN. MB 30, GA 240/360.
2.
=
a1
3 × 4.5 + 3 × 9.5 6
2Ø12
= 7.0 cm ; a2 = 4.5 cm 3Ø20
A a1
Aa1 = 18.85 cm 2
⇒ µ1 =
Aa2 = 2.26 cm2
⇒ µ2 =
⇒
E b = 31.5 GPa
a2
α2 =
h. = 40 – 7.0 = 33.0 cm ;
MB 30
UØ8/30
b × h Aa2 b × h
⇒
h
= 2.86%
20 × 33
=
2.26 20 × 33
=
Ea E b
= 0.136
33
18.85
=
n
=
4.5
=
3Ø20
= 0.34% 210
31.5
= 6.67
e e e e e + 3 a1 − 1 s 2 + 6n a1 µ1 + a 2 µ 2 s − 6n a1 µ1 + a 2 µ 2 α 2 = 0 h h h h h M = M g + M p = 29.6 + 26 = 55.6 kNm M 55.6 × 10 2 ⇒ e = N = − 90.9 = −61.2 cm N = Zg + Z p = – (48.3 + 42.6) = – 90.9 kN s3
e a1
= e + y a1 =
d 40 + − a 1 = −61.2 + − 7 = –48.2 cm 2 2
M N
d 40 − − a 2 = −61.2 − − 4.5 = –76.7 cm N 2 2 e − 48.2 − 1 = –7.379 A = 3 × a1 − 1 = 3 × 33 h e e − 48.2 × 2.86 + − 76.7 × 0.34 × 10−2 = –1.986 B = 6n a1 µ1 + a 2 µ 2 = 6 × 6.67 × h 33 33 h e e − 48.2 × 2.86 + − 76.7 × 0.34 × 0.136 × 10 −2 = 1.711 C = −6n a1 µ1 + a 2 µ 2 α 2 = −6 × 6.67 × h 33 h 33 ea 2
s3
= e − ya2 =
M
+ As2 + Bs + C = s 3 − 7.379 × s 2 − 1.986 × s + 1.711 = 0 ⇒ 2
s J IIb = 2 Ma
s = 0.372
s 0.372 2 0.372 × 1 − = × 1 − = 0.061 3 2 3
d 0.40 − 0.07 = 43.78 kNm = M + N × y a1 = M + N × − a 1 = 55.2 − 90.9 × 2 2
σ b = σ b =
Ma b × h
× 2
s J IIb
43.78 × 10 2 20 × 33
Primeri za vežbe
2
+ n × µ 2 × (s − α 2 ) × (1 − α 2 ) ×
0.372 0.061 + 6.67 × 0.34 × 10
−2
× (0.372 − 0.136) × (1 − 0.136)
= 1.14 kN/cm2
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA
σa1 = n × σ b ×
1− s s
ε b = ε a1 =
σ b
=
E b
σ a1 Ea
s
1.14 3.15 × 103
=
12.87 21 × 10
1 − 0.372
= 6.67 × 1.14 ×
s − α2
σa 2 = n × σ b ×
3
Z6/3
0.372
= 6.67 × 1.14 ×
= 12.87 kN/cm 2
0.372 − 0.136 0.372
= 4.84 kN/cm 2
= 0.363‰
εa 2 =
= 0.613‰ ;
σa2 Ea
=
4.84 21 × 103
Napomena: Za slu#aj Aa2 = 0, sledi s = 0.383 , σb = 12.0 MPa , odnosno
3.
= 0.230‰
= 128.9 MPa .
σa1
Odrediti napone u betonu i armaturi za presek na skici desno. Pored momenata savijanja Mg = 29.6 kNm i M p = 26 kNm, presek je optereen i silama pritiska Ng = 64.4 kN i N p = 56.9 kN. MB 30, GA 240/360.
2Ø12
2Ø12
a1 = a2 = 4.5 cm
⇒ µ1 =
Aa1 = 9.42 cm2
MB 30
⇒
A a1 b × h
⇒ µ2 =
Aa2 = 2.26 cm2
E b = 31.5 GPa
a2
α2 =
h. = 40 – 4.5 = 35.5 cm ;
Aa2 b × h
⇒
h
4.5 35.5
9.42
=
20 × 35.5
= n
=
2.26 20 × 35.5
=
Ea E b
=
= 0.127 = 1.33%
3Ø20
= 0.32%
210 31.5
= 6.67
e e e e e + 3 a1 − 1 s 2 + 6n a1 µ1 + a 2 µ 2 s − 6n a1 µ1 + a 2 µ 2 α 2 = 0 h h h h h M = M g + M p = 29.6 + 26 = 55.6 kNm M 55.6 × 10 2 ⇒ e = N = 121.3 = 45.8 cm N = N g + N p = 64.4 + 56.9 = 121.3 kN s3
M
e a1
= e + y a1 =
ea 2
= e − ya2 =
N M N
d 40 + − a 1 = 45.8 + − 4.5 = 61.3 cm 2 2 d 40 − − a 2 = 45.8 − − 4.5 = 30.3 cm 2 2
ea1 − 1 = 3 × 61.3 − 1 = 2.183 35.5 h
A = 3×
ea1 µ + e a 2 µ = 6 × 6.67 × 61.3 × 1.33 + 30.3 × 0.32 × 10 −2 = 1.026 1 2 h h 35 . 5 35 . 5
B = 6n
Primeri za vežbe
UØ8/30
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA
Z6/4
e a1 µ + ea 2 µ α = −6 × 6.67 × 61.3 × 1.33 + 30.3 × 0.32 × 0.127 × 10−2 = –0.931 1 2 2 h 35.5 35.5 h s 3 + As 2 + Bs + C = s 3 + 2.183 × s 2 + 1.026 × s − 0.931 = 0 ⇒ s = 0.432 C = −6n
2
s J IIb = 2 Ma
s 0.432 2 0.432 × 1 − = × 1 − = 0.080 3 2 3
d 0.40 − 0.045 = 74.4 kNm = M + N × y a1 = M + N × − a 1 = 55.2 + 121.3 × 2 2
σ b =
Ma b × h
σ b =
s
× 2
J IIb
74.4 × 10 2 20 × 35.5
σa1 = n × σ b ×
ε a1 =
σ b E b
σ a1 Ea
=
× 2
0.432 0.080 + 6.67 × 0.32 × 10
1− s
σa 2 = n × σ b × ε b =
+ n × µ 2 × (s − α 2 ) × (1 − α 2 )
s
= 6.67 × 1.49 ×
s − α2 s
1.49 3.15 × 103
=
13.07 21 × 10 3
−2
1 − 0.432 0.432
= 6.67 × 1.49 ×
× (0.432 − 0.127) × (1 − 0.127)
= 1.49 kN/cm2
= 13.07 kN/cm 2
0.432 − 0.127 0.432
= 7.02 kN/cm 2
= 0.473‰
εa 2 =
= 0.623‰ ;
σa2 Ea
=
7.02 21 × 103
Napomena: Za slu#aj Aa2 = 0, sledi s = 0.442 , σb = 15.7 MPa , odnosno
= 0.334‰
= 132.1 MPa .
σa1
I ovaj primer je dimenzionisan u Zadatku 1 - klasi #na teorija i u ra #unskom smislu bio DVOSTRUKO ARMIRAN. To objašnjava znatnije odstupanje sra #unatog napona pritiska u betonu od dopuštenog rubnog napona, koji za beton MB 30 iznosi σr = 12 MPa. Nasuprot tome, napon u zategnutoj armaturi je u granicama dopuštenog napona od σa = 140 MPa.
Odrediti napone u betonu i armaturi za presek na skici desno. Pored momenata savijanja Mg = 47.4 kNm i M p = 41.9 kNm, presek je optere en i silama pritiska Ng = 146.6 kN i N p = 129.4 kN. MB 30, GA 240/360.
4.
a1
=
3 × 4.5 + 2 × 9.5 5
UØ8/30 2Ø12
= 6.5 cm ; a2 = 4.5 cm 2Ø20
α2 =
h. = 40 – 6.5 = 33.5 cm ;
A a1
Aa1 = 15.71 cm 2
⇒ µ1 =
Aa2 = 9.42 cm2
⇒ µ2 =
Primeri za vežbe
3Ø20
b × h Aa2 b × h
a2 h
= =
=
4.5 33.5
15.71 20 × 33.5 9.42 20 × 33.5
= 0.134 = 2.34% = 1.41%
3Ø20
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA
⇒
MB 30
E b = 31.5 GPa
⇒
n
=
Z6/5
Ea E b
=
210
M = Mg
+ M p = 47.4 + 41.9 = 89.3 kNm ⇒ N = N g + N p = 146.6 + 129.4 = 276 k N = e + y a1 =
ea 2
= e − ya2 =
e=
M N
=
89.3 × 10 2 276
= 32.4 cm
d 40 + − a 1 = 32.4 + − 6.5 = 45.9 cm 2 2
M
e a1
= 6.67
31.5
N M N
d 40 − − a 2 = 32.4 − − 4.5 = 16.9 cm 2 2
ea1 − 1 = 3 × 45.9 − 1 = 1.106 h 33.5
A = 3×
ea1 µ + e a 2 µ = 6 × 6.67 × 45.9 × 2.34 + 16.9 × 1.41 × 10−2 = 1.567 1 2 h 33.5 33.5 h
B = 6n
e a1 µ + ea 2 µ α = −6 × 6.67 × 45.9 × 2.34 + 16.9 × 1.41 × 0.134 × 10−2 = –1.322 1 2 2 h 33.5 33.5 h 3 2 3 2 s + As + Bs + C = s + 1.106 × s + 1.567 × s − 1.322 = 0 ⇒ s = 0.539 C = −6n
2
s J IIb = 2 Ma
s 0.539 2 0.539 × 1 − = × 1 − = 0.119 3 2 3
d 0.40 − 0.065 = 126.6 kNm = M + N × y a1 = M + N × − a 1 = 89.3 + 276 × 2 2
σ b =
Ma b × h
σ b =
s
× 2
J IIb
126.6 × 10 2 20 × 33.5
σa1 = n × σ b × σa 2 = n × σ b × ε b = ε a1 =
σ b E b
σ a1 Ea
=
2
+ n × µ 2 × (s − α 2 ) × (1 − α 2 ) ×
1− s s
0.539 0.119 + 6.67 × 1.41 × 10
= 6.67 × 2.00 ×
s − α2 s
2.00 3.15 × 103
=
11.41 21 × 10 3
−2
1 − 0.539 0.539
= 6.67 × 2.00 ×
× (0.539 − 0.134) × (1 − 0.134)
= 2.00 kN/cm2
= 11.41 kN/cm 2
0.539 − 0.134 0.539
= 10.01 kN/cm 2
= 0.635‰
= 0.544‰ ;
εa 2 =
σa2 Ea
=
10.01 21 × 103
= 0.477‰
Napomena: Za slu#aj Aa2 = 0 , sledi s = 0.572, σb = 24.4 MPa, odnosno σa1 = 121.5 MPa. Me %utim, ovde je o #ito da u preseku postoji ra #unska pritisnuta armatura, pa bi njeno zanemarivanje bilo nedopustivo. Sra #unati napona pritiska u betonu znatno premašuje vrednost dopuštenog rubnog napona, dok je napon u zategnutoj armaturi ponovo u granicama dopuštenog. Nešto manja vrednost napona σa1 se može objasniti usvajanjem nešto ve e površine armature od ra #unski potrebne (15.71 umesto 14.01 cm 2). Primeri za vežbe
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA
2Ø12
Odrediti napone u betonu i armaturi za presek presek prikazan na skici desno. desno. Presek je optereen momentima savijanja Mg = 29.6 kNm i M p = 26 kNm. Ra#unska aktivna širina plo#e B = 105 cm. MB 30, GA 240/360.
5.
a1
Z6/6
=
3 × 4.5 + 2 × 9.5 5
UØ8/30 2Ø12
2Ø18
= 6.5 cm
h. = 40 – 6.5 = 33.5 cm a2 = 4.5 cm
⇒ α2 =
a2 h
=
3Ø18
4.5 33.5
= 0.134
Iz prakti#nih razloga se pretpostavlja da se neutralna linija nalazi u plo#i, pa se s odre odre%uje za pravougaoni presek širine B = 105 cm: Aa1 = 12.72 cm 2
⇒ µ1 =
Aa2 = 2.26 cm2
⇒ µ2 =
⇒
MB 30
E b = 31.5 GPa
A a1 B× h Aa 2 B× h
⇒
12.72
= =
n
= 0.36%
105 × 33.5 2.26 105 × 33.5
=
Ea E b
=
= 0.06%
210 31.5
= 6.67
2 s + 2 × n × (µ1 + µ2 ) × s – 2 × n × (µ1 + µ2 × α2 ) = 0
−2 −2 2 s + 2 × 6.67 × (0.36 + 0.06) × 10 × s – 2 × 6.67 × (0.36 + 0.06 × 0.134) × 10 = 0
s + 0.057 × s – 0.049 = 0 2
⇒
s = 0.196 <
δ=
d p h
=
10 33.5
= 0.299
Pretpostavka o položaju neutralne linije je ta#na, pa dalje sledi: 2
s J IIb = 2
s 0.196 2 0.196 × 1 − = × 1 − = 0.018 2 3 3
Ma = M = Mg + M p = 29.6 + 26.0 = 55.6 kNm
σ b = σ b =
Ma B× h
× 2
J IIb
55.6 × 10 2 105 × 33.5
σa1 = n × σ b × σa 2 = n × σ b × ε b =
s
σ b E b
=
2
+ n × µ 2 × (s − α 2 ) × (1 − α 2 )
×
1− s s
0.196 0.018 + 6.67 × 0.06 × 10
= 6.67 × 0.51 ×
s − α2 s
0.51 3.15 × 103
Primeri za vežbe
1 − 0.196 0.196
= 6.67 × 0.51 × = 0.162‰
−2
× (0.196 − 0.134) × (1 − 0.134)
= 13.97 kN/cm 2
0.196 − 0.134 0.196
= 1.06 kN/cm 2
= 0.51 kN/cm2
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA
σ a1
ε a1 =
=
Ea
13.97 21 × 10
3
Z6/7
εa 2 =
= 0.665‰ ;
σa2 Ea
=
1.06 21 × 103
Napomene: Za slu#aj Aa2 = 0, sledi s = 0.197 , σb = 5.1 MPa, odnosno
= 0.051‰
= 139.6 MPa .
σa1
Jasno je da kod preseka sa ovako velikom pritisnutom površinom betona doprinos armature smeštene uz pritisnutu ivicu preseka treba zanemariti. O#ekivano, sra#unati napon u betonu je znatno ispod dopuštenog rubnog napona, dok je napon u zategnutoj armaturi ponovo vrlo blizak dopuštenom. Ponovo se ukazuje da iz pretpostavljenog položaja neutralne linije sledi prora #un za presek pravouga- , koga karakteriše SAMO JEDNA širina (u konkretnom slu #aju, B=105 cm), bez obzira da li onog obli obli ka je u opštim izrazima za prora #un napona kod pravougaonog preseka ozna #ena malim ili velikim slovom. Za slu#aj da se neutralna linija na %e u rebru, prora #un se sprovodi za odgovaraju i presek oblika T.
5Ø20
Odrediti napon u armaturi za presek prikazan na skici desno. Presek je optereen silama zatezanja Zg = 305 kN i Z p = 337 kN. MB 25, GA 240/360.
6.
0 2
Aa = 47.12 cm 2 (15Ø20) Z = Zg + Z p = 305 + 337 = 642 kN Z
σa = εa =
Aa
σa
=
47.12
5Ø20
5 . 5 5 . 4
UØ8/30
5Ø20
= 13.62 kN/cm2
4.5 7.5
2x8=16
13.62 21×10 3
= 0.649‰
UØ8/15
Odrediti napone u betonu i armaturi za presek prikazan na skici desno. Presek je optereen silama pritiska Ng = 630 kN i N p = 398 kN. MB 25, GA 240/360.
7.
MB 25
⇒
E b = 30 GPa
⇒
n=
Ea E b
4
= 210 = 7 30
6Ø12
2
Aa = 6.79 cm (6Ø12) A b
=
D2 × π 4
=
40 2 × π 4
4
40
Ai = A b + n×Aa = 1257 + 7 ×6.79 = 1304 cm 2 N = Ng + N p = 630 + 398 = 1028 kN
σ b = N = 1028 = 0.79 kN/cm2 ⇒ ε b = 1304
σ b E b
=
0.79 3 ×10 3
= 0.263‰ =
σ a = ε a × E a = n × σ b = 0.263 ×10 −3 × 21×10 3 = 5.52 kN/cm2 Primeri za vežbe
2 3
= 1257 cm 2
Površina idealizovanog preseka:
Ai
7.5 4.5
40
=
Ea
642
5 . 4 5 . 5
εa
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA
Z6/8 2Ø12
Za presek iz Primera 1 odrediti napone u betonu i armaturi, vodei ra#una o dugotrajnom dejstvu stalnog optereenja. Usvojeno: ϕ∞ = 2.5; χ∞ = 2.5 εs∞ = 0.4‰.
8.
UØ8/30
Pored geometrijskih karakteristika preseka, u Primeru 1 sra#unato, za UKUPNO G+P optereenje (trenutak t=0):
2Ø12
s0 = 0.414
2Ø20
σ bG0+ P = 12.9 MPa ⇒ ε bG0+ P = 0.411‰ σGa1+,0P = 122.3 MPa ⇒ εGa1+, 0P = 0.583‰ σGa 2+,0P = 58.2 MPa ⇒ εGa 2+,0P = 0.277‰
3Ø20
Od toga, usled dugotrajnog (stalnog) optere enja:
σ bG0 = 29.6 × 12.9 = 6.9 MPa σGa1,0 = σGa 2,0 =
⇒ ε bG0 = 0.219‰
55.6 29.6
× 122.3 = 65.2 MPa ⇒ εGa1, 0 = 0.311‰
55.6 29.6 55.6
× 58.2 = 31.0 MPa ⇒ εGa 2,0 = 0.148‰
Položaj neutralne linije u trenutku t &∞ odre%uje se iz jedna#ine oblika: A ⋅ s 3t + B ⋅ s 2t
+ C ⋅ st + D = 0
pri #emu je: at
= n × (1 + χ × ϕ) = 6.67 × (1 + 0.8 × 2.5) = 20
b t
= n × (1 − χ) × ϕ = 6.67 × (1 − 0.8) × 2.5 = 3.33
A = −(µ1 + µ 2 ) ⋅ ( b t σ b0
bh 2
+ E a εst ) ⋅
C = 6a t ⋅ (µ1 + µ 2 α 2 ) − 3 ⋅ (µ1 + µ 2 α
2 2
B = 3 + 4 ⋅ (µ1 + µ 2 α 2 ) ⋅ ( b t σ b 0
;
M
bh 2
)⋅ ( b σ + E ε ) ⋅ t
b 0
a
st
M
+ E a εst ) ⋅
A = −( 2.34 + 0.34) × 10
× (3.33 × 0.69 + 210 × 0.40) ×
B = 3 + 4 × ( 2.34 + 0.34 × 0.134) × 10 C=
−2
20 × 33.52 29.6 × 102
= −2.176
× (3.33 × 0.69 + 210 × 0.40) ×
6 × 20 × ( 2.34 + 0.34 × 0.134) × 10 −2
20 × 33.52 29.6 × 102
−2
D = −6 × 20 × ( 2.34 + 0.34 × 0.134) × 10 −2
20 × 33.52 29.6 × 102
= −2.502
= −2.868
− 2.176 ⋅ s3t + 10.754 ⋅ s2t − 2.502 ⋅ s t − 2.868 = 0 Primeri za vežbe
= 10.754
−
− 3 × ( 2.34 + 0.34 × 0.134 ) × 10 × (3.33 × 0.69 + 210 × 0.40) × 2
M
D = −6a t ⋅ (µ1 + µ 2 α 2 )
;
Zamenom sra#unatih vrednosti sledi: −2
bh 2
⇒
st = 0.710
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA
Z6/9
Naponi Naponi u betonu betonu i armaturi: armaturi:
σ bt = J IIb,t
M bh
=
σ bt =
2
s 2t 2
⋅
( b t σ b 0 + E a ε st ) ⋅ µ 2 ⋅ (s t − α 2 ) ⋅ (1 − α 2 ) J IIb, t + a t ⋅ µ 2 ⋅ (s t − α 2 ) ⋅ (1 − α 2 ) J IIb, t + a t ⋅ µ 2 ⋅ (s t − α 2 ) ⋅ (1 − α 2 ) st
−
s t 0.7102 0.710 × 1 − = × 1 − = 0.192 2 3 3
29.6 × 10 2
0.710
× 2
−
20 × 33.5 0.192 + 20 × 0.34 × 10 2 × (0.710 − 0.134 ) × (1 − 0.134 ) (3.33 × 0.69 + 210 × 0.40 ) × 0.34 × 102 × (0.710 − 0.134) × (1 − 0.134)
−
0.192 + 20 × 0.34 × 10
= 0.33 kN / cm 2
× (0.710 − 0.134 ) × (1 − 0.134 ) × + × ε bt = 1 × (a t × σ bt + b t × σ b0 ) + εst = (20 3.3 3.333 6.9) + 0.4 × 10−3 = 0.828‰ Ea 210 × 10 σa1t = (a t σ bt + b t σ b0 + E a εst ) ⋅ 1 σa 2 t = (a t σ bt + b t σ b0 + E a εst ) ⋅ ε a1t = εa 2 t =
σ a1t Ea
σa 2 t Ea
= =
71.0
− st st
st
2
= (20 × 3.3 + 3.33 × 6.9 + 210 × 0.40) ⋅ 1
− α2 st
− 0.710
= (20 × 3.3 + 3.33 × 6.9 + 210 × 0.40) ⋅
0.710
= 71.0 MPa
0.710 − 0.134 0.710
= 141.0 MPa
= 0.338‰
210 × 10 3 141.0 210 × 10 3
= 0.671‰
Ukupno, od optere enja G+P, u trenutku t &∞:
σ btG+P = 12.9 + (3.3 − 6.9) = 9.4 MPa ⇒ ε btG+ P = 0.411 + (0.828 − 0.219) = 1.020‰ σGa1+,tP = 122.3 + (71.0 − 65.2) = 128.3 MPa ⇒ εGa1+,tP = 0.611‰ σGa 2+,tP = 58.2 + (141.0 − 31.0) = 168.2 MPa ⇒ εGa 2+,tP = 0.801‰ U donjoj tabeli su prikazane vrednosti napona i dilatacija po fazama, usled dugotrajnog, odnosno ukupnog dugotrajnog i kratkotrajnog optere enja, sa i bez udela skupljanja betona:
t∞ sa skupljanjem
t=0
σ b σa1 σa2 ε b εa1 εa2
Primeri za vežbe
G0
(G+P)0
G',s
(G+P)
[MPa]
6.9
12.9
3.3
[MPa]
65.2
122.5
[MPa]
31.0
[‰]
t∞ bez skupljanja
G'
(G+P)
9.4
4.4
10.4
71.0
128.3
69.6
126.9
58.3
141.0
168.2
86.2
113.5
0.219
0.411
0.828
1.020
0.526
0.718
[‰]
0.311
0.583
0.338
0.611
0.331
0.604
[‰]
0.148
0.277
0.671
0.801
0.411
0.540
,s
!
!