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FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRÓNICA Y MECATRÓNICA
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6
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f x ntegrale −0 s 17
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA MOMENTOS Y CENTROS DE MASA (CENTRO DE GRAVEDAD) Profesor: Freddy Acosta 2013
MOMENTOS DE MASA Y CENTRO DE GRAVEDAD 1
El momento de masa de una partícula respecto a una recta L, se define como el producto de su masa y su distancia a la recta L. Así, si “m” es la masa de la partícula y “d” su distancia a la recta L (fig. 1), entonces el momento de la partícula respecto a la recta L está dado por: M L = m.d
y
m
y d
x
m y
L
o
x
x
Fig. 2
Fig. 1
Es conveniente considerar la partícula localizada en un plano de coordenadas y determinar el momento de la partícula respecto a un eje de coordenadas (o a una recta paralelas a un eje de coordenadas). En este caso se usan las distancia dirigidas, así el momento será positivo o negativo o cero, según la ubicación de la partícula; por ejemplo si la partícula de masa “m” está en el punto (x;y) (Fig. 2) entonces sus momentos M x ; M y respecto a los ejes x e y, respectivamente son: M x = m.y
Sean
;
M y = mx
m1 , m2 , m3 ,.........mn ,
n-masas de magnitudes
situado en el plano con coordenadas ( x 1 ; y 1 ) , ( x 2 ; y 2 ) , ( x 3 ; y 3 )......... .....( x n ; y n ) , los momentos de masa con respecto a cada una de los ejes: M x = m1 y 1 + m2 y 2 + m3 y 3 + .............. + mn y n M x =
n
∑m
k
y k
k =1
M x = m1 x 1 + m2 x 2 + m3 x 3 + .............. + mn x n M y =
n
∑m x k
k
k =1
CENTRO DE MASA ( x ; y ) x =
M y M
,
y =
M x M
M = m1 + m2
+
m3 + .....................mn
MOMENTOS Y CENTRO DE GRAVEDAD DE UNA REGIÓN PLANA Sea la región plana que está limitada por y=f(x) ; y=g(x) ; x=a ; x=b ;
g(x) ≤f(x). 2
Considere que esta región plana forma una lámina homogénea, cuya densidad es constante e igual a ρ
El centro de gravedad de R k ( x k ; y k ) . x k = c k =
1 2
( x k 1 + x k )
y k =
−
1 2
( f ( x k ) + g ( x k ) )
Entonces: M y (R k ) = ρ c k ( f ( c k ) − g ( c k ) )
x
k
1
[ f ( c k ) + g ( c k ) ] ρ [f ( c k ) − g ( c k ) ] k x 2 1 = ρ[ f ( c k ) + g ( c k ) ] [ f ( c k ) − g ( c k ) ] k x 2 1 = ρ[f 2 ( c k ) − g 2 ( c k ) ] . k x 2
M x (R k ) = y k .m =
1 M x = ρ 2
b
∫ (f a
2
( x ) − g 2 ( x ) )dx
M y = ρ
;
b
∫ x ( f ( x ) − g ( x )) dx a
Entonces: b
x =
M y M
=
ρ ∫ x (f ( x ) − g ( x )) dx a
b
ρ ∫ (f ( x ) − g ( x )) dx
b
⇒ x =
M y M
a
x (f ( x ) − g ( x )) dx ∫ = ∫ (f ( x ) −g ( x )) dx a
b
a
De manera similar para la coordenada “y” b
M 1 y = x = 2 M
∫ (f ( x ) −g ( x )) dx ∫ (f ( x ) −g ( x )) dx 2
2
a
b
a
Es necesario tener en cuenta los siguientes puntos. - Una lámina es homogénea si dos porciones de igual área tienen el mismo peso.
3
- La densidad ρ de una lámina es la masa de una unidad cuadrada de lámina. Si una lámina es homogénea, entonces su densidad (de área) ρ es constante y si A es el área de dicha lámina, entonces su masa es m ρ A . =
- El centro de masa de una lámina homogénea, puede pensarse como el punto de balance de la lámina; si esta lámina tiene un centro geométrico, este será también el centro de masa o centro de gravedad. Por ejemplo, el centro de masa de una lámina circular homogénea es el centro del círculo; el centro de una masa de una lámina rectangular homogénea es el centro del rectángulo (intersección de las diagonales). Se define el momento de una lámina de masa “m” respecto una recta, como el momento de una partícula de masa “m” situado en el centro de masa de la lámina. - Si una lámina se corta en trozos, el momento de la lámina es la suma de los momentos de sus partes.
OBSERVACIÓN. Si la región plana F esta limitada por las gráficas de: x = f(y) ; x=g(y)
;
y=c ; y=d
donde f y g son funciones continuas [c ; d ] y f ( y ) ≥ g ( y ) ∀y ∈[c ; d ] en, las coordenadas del centro de gravedad ( x ; y ) de la región F son: d
x =
{[f ( y )] 1 ∫ c
2
d
∫
c
2
− [ g ( y )] 2 } dy
[ f ( y ) − g ( y )] dy
d
∧
y =
∫ y [f ( y ) − g ( y )] dy ∫ [f ( y ) − g ( y )] dy c
d
c
Ejemplos: 1. Encuentre el centroide de la región acotada por las curvas y = x 3 ; y = 4 x en el primer
cuadrante. 2. Halla el centro de gravedad la región acotada por x ∈[ 0;1] , y = x 3
; y = − x 2 + 2 x
3. Halle el centro de gravedad de la región limitada por las curvas x 2 − 8y = 0 ; x 2 +16y = 24 4. Encuentre el centroide de la región limitada por las curvas x = 2y − y 2 ; x = 0
5. Halle el centro de gravedad de la región infinita, en el primer cuadrante, comprendido entre la curva y = xe − x y el eje x.
TEOREMA DE PAPPUS (Guldin) PARA VOLUMENES Si un sólido S es obtenido al hacer rotar una región plana F en torno de una recta del mismo plano, que no sea secante a la región F, entonces el volumen de S es igual al área de la región F multiplicado por 2π r , siendo “r” la distancia del centro de gravedad de la región F al eje de rotación, esto es, 4
V = 2π r . A
donde A es el área de F
y
F ()
L
x
o
Ejemplos: 1. Calcule el volumen del sólido S generado por la rotación de la región F limitada por la parábola y = x 2
y la recta
y = x + 2
en torno a esta última.
2. La región limitada por las gráficas de y 2 = 20 x ; x 2 = 20 y gira alrededor de la recta 3 x + 4 y +12 = 0 . Calcule el volumen del sólido generado. 3. Sea R la región del plano limitado por la parábola y = x 2 −1 y la recta y = x −1 . Determine el volumen del sólido obtenido por la rotación de la región R alrededor de la recta y = x −1 . 4. Sea R la región limitada por la semicircunferencia y = 4 − x 2 , y el eje “x”. Calcular el volumen V del sólido de revolución generado por la rotación de R alrededor de la recta L : y = x − 2
5
