Programación Lineal Contnua Programación Análisis de Dualidad y Sensibilidad ¿Cómo cambia la solución óptma de un problema de programación lineal contnua cuando cuando cambia cambia los paráme parámeros ros del modelo? modelo? Para Para responde responderr esa esa inerr inerroga ogane ne es necesario abordar la eoría de la dualidad. Hasa aquí el modelo de programación lineal desarrollado se conoce como el problema primal. El problema dual se deriva direcamene del problema primal con el que esá esrechamene relacionado. sí! por e"emplo! de la solución óptma del problema dual se obtene direcamene direcamene la solución óptma del problema primal. ¿Por qu# nos debe ineresar obener la solución del problema primal resolviendo el problema dual? $a respuesa es que puede ser más provechoso en #rminos de cálculo resolver el problema dual en ve% del problema primal. &ómese en cuena que el grado de di'c di'cul ula ad d en ob obener ener la solu soluci ción ón óptm óptma a de un de deermi ermina nado do prob proble lema ma de programación lineal depende positvamene del n(mero de resricciones más que del n(mer n(mero o de varia variable bles. s. Eno Enonce nces! s! si sucede sucede que el probl problema ema dual dual tene tene un n(mer n(mero o menor de resricciones que el problema primal! por lo general será más e'ciene resolver el problema dual! del cual se puede obener despu#s la solución óptma del problema primal.
FORMA CANÓNCA D! D"ALDAD )ea el siguiene problema de programación lineal denominado Primal* +a,imi%ar )u"eo a*
-C/ /
b
/
0
El problema 1ual se de'ne como* +inimi%ar )u"eo a*
23b 3
C
3
0
1onde 3 es un vecor 'la con anas variables duales como resricciones enga el problema primal.
!#em$lo% 1ado el siguiene problema de programación lineal primal*
+a, - 4/5 6 57/7 6 8/9 )u"eo a* /5 6 7/7 6 /9 7/5 : /7 6 9/9 /5! /7! /9
50 ;
0
+a, Z 5
X 1 4 X 2 X 3
12
)u"eo a*
1 2 2 1
X 1 1 X 2 3 X 3
10 8
X 1 0 X 0 2 X 3 0 )u correspondiene problema dual será* +in 2 50=5 6 ;=7 )u"eo a* =5 6 7=7 7=5 : =7 =5 6 9=7 =5! =7
4 57 8
0
+in
R
Y
)u"eo a*
1
Y 2
10 8
1
2
1
2
1
3
Y
1
Y 2
Y
Y 2
0
1
0
5
12
!#em$lo &% Problema Primal* +a, - 4/5 6 8/7 )u"eo a* >/5 6 8/7 5/5 6 7/7 :5/5 6 5/7 0/5 6 5/7 /5! /7
78 > 5 7
0
Problema 1ual* +in 3 78= 5 6 >=7 6 5=9 6 7=8 )u"eo a* >/5 6 5/7 : 5=9 6 0=8 8/5 6 7/7 6 5=9 6 5=8 =5! =7! =9! =8
4 8
0
!#em$lo '% Problema Primal* +a, 3 >0/ 5 6 90/7 6 70/9 ;/5 6 >/7 6 7/9 8/5 6 7/7 6 5.4/9 7/5 6 5.4/7 6 0.4/9 /5! /7! /9
>0 90 70
0
Problema 1ual* +in 3 >0= 5 6 90=7 6 70=9
4
;=5 6 8=7 6 7=9 >=5 6 7=7 6 5.4=9 7=5 6 5.4=7 6 0.4=9 =5! =7! =9
>0 90 70
0
!#em$lo (% Problema Primal* +a, 3 9/5 6 7/7 6 4/9 5/5 6 7/7 6 5/9 9/5 6 0/7 6 7/9 5/5 6 8/7 6 0/9
890 8>0 870
0
/5! /7! /9
Problema 1ual* +in 3 890=5 6 8>0=7 6 870=9 5=5 6 9=7 6 5=9 7=5 6 0=7 6 8=9 5=5 6 7=7 6 0=9 =5! =7! =9
9 7 4
0
!#em$lo )% 3inson! 5@@>A Pág. 709B Problema Primal* +a, - 9/5 6 7/7 )u"eo a* 7/5 6 /7 /5 6 / 7 5/5 6 0/7 /5! /7
500 ;0 80
0
Problema 1ual* +in - 500= 5 6 ;0=7 6 80=9
)u"eo a* 7=5 6 5=7 6 5=9 5=5 6 5=7 6 0=9 =5! =7! =9
9 7
0
óese que las variables D las resricciones del problema dual se pueden consruir sim#ricamene a partr del problema primal omando en consideración lo siguiene*
odo problema primal cuDa unción ob"etvo es de má,imo mínimoB le corresponde un problema dual cuDa unción ob"etvo es de mínimo má,imoB Fna variable dual se de'ne para cada una de las Gm resricciones del primal $os coe'cienes de la unción ob"etvo del problema dual son iguales al valor del lado derecho de las ecuaciones de las resricciones del primal. Fna resricción dual se de'ne para cada una de las Gn variables primalas. $os coe'cienes de las variables del lado i%quierdo de la resricción dual son iguales a los coe'cienes de la resricción columnaB de la variable primal asociada. El lado derecho de las resricciones del problema dual es igual a los coe'cienes de las variables de la unción ob"etvo primal.
FORMA NORMAL !S*+NDAR D! D"ALDAD $a ormulación del problema 1ual para la orma normal esándar se deduce ácilmene pasando a su orma canónica el problema primal. 1ado el siguiene problema en orma maricial* +a,imi%ar )u"eo a*
-C/ /
b
/
0
El problema 1ual se de'ne como* +inimi%ar )u"eo a*
23b 3
C
3 $ibre o no resringido
!#em$lo% 1ado el siguiene problema primal en su orma normal esándar de má,imo* +a,imi%ar - 7/5 6 /7 6 /9
)u"eo a* 9/5 6 /7 6 /9 I /8 >0 /5 I /7 6 7/9 6 /4 50 /5 6 /7 I /9 6 /> 70 /5! /7! /9! /8! /4! />
0
)u correspondiene problema 1ual será* +inimi%ar 2 >0=5 650=7 6 70=9 )u"eo a*
7 5 5 0 0 0
9=5 6 =7 6 =9 =5 I =7 6 =9 =5 6 7=7 I =9 : =5 6 =7 : =9
/5! /7! /9! /8! /4! /> o resringida
FORMA M,*A D! D"ALDAD Para escribir el dual de un problema general! podemos escribir #se en orma canónica o esándar D una de las de'niciones aneriores. Jra posibilidad es ormular el dual utli%ando las siguienes reglas*
Ma-imi.ación
Res/ricciones
0ariables
o resringida
!#em$lo 1% Problema Primal* +a, - 4/5 6 57/7 6 8/9 )u"eo a* /5 6 7/7 6 /9
50
Minimi.ación
0ariables
o resringida
Res/ricciones
7/5 :
/7 6 9/9
/5! /7! /9
0
Problema 1ual* +in 3 50= 5 6 ;=7 )u"eo a* =5 6 7=7 7=5 : =7 =5 6 9=7 =5
4 57 8
0 =7 $ibre
!#em$lo &% Problema Primal* +in - 54/5 6 57/7 )u"eo a* /5 6 7/7 7/5 : 8/7 /5! /7
9 4
0
Problema 1ual* +a, 3 9=5 6 4=7 )u"eo a* /5 6 7/7 7/5 : 8/7 =5
54 57
0! =7 0
!#em$lo '% Problema Primal*
+a, - 4/5 6 >/7
;
)u"eo a*
/5 6 7/7 : /5 6 4/7 8/5 6 K/7 /5! /7
4 9 ;
0
Problema 1ual* +i, 3 4=5 6 9=7 6 ;=7 )u"eo a*
4 >
0!
=9
=5 : =7 6 8=9 7=5 I 4=7 6 K=9 =5 $ibre! =7
0
!#em$lo (% Problema Primal* +a, - 7/5 6 5/7 )u"eo a* /5 6 /7 7/5 : /7 /5 : K/7 /5
7 9 5
0 /7 libre
Problema 1ual* +in - 7= 5 6 9=7 6 =9 )u"eo a* 5=5 6 7=7 6 5=9 5=5 : 5=7 : K=9 =5 $ibre! =7
!#em$lo )%
7
5
0! =9 0
Problema Primal* +in - 7/ 5 6 8/7 6 >/9 )u"eo a*
/5 6 7/7 6 /9 /5 : /9 /7 6 /9 7/5 6 /7 6 /5 libre /7! /9
7 ; 5 9
0
Problema 1ual* +a, 3 7=5 6 ;=7 6 5=9 6 9=8 5=5 6 5=7 6 0=9 6 7=8 7 7=5 6 0=7 6 5=9 6 5=8 8 5=5 : 5=7 6 5=9 6 0=8 >
=5
0! =7 0! =9 $ibre! =8 0
!#em$lo 2% Hillier and $ieberman! 5@@K! Pág. 759B Problema Primal* +a, - : 0.8/ 5 : 0.4/7 0.9/5 6 0.5/7 0.4/5 6 0.4/7 0.>/5 6 0.8/7 /5! /7
7.K
>
>
0
Problema 1ual* +in 3 7.K=5 6 >=7 6 >=9 0.9=5 6 0.4=7 6 0.>=9 : 0.8 0.5=5 6 0.4=7 6 0.8=9 : 0.4 =5 0! =7 $ibre! = 9 0
!#em$lo 3% Hillier and $ieberman! 5@@K! Pág. 758B Problema Primal* +in - 0.8/ 5 6 0.4/7
0.9/5 6 0.5/7 0.4/5 6 0.4/7 0.>/5 6 0.8/7 /5! /7
7.K
>
>
0
Problema 1ual* +a, 3 7.K=5 6 >=7 6 >=9 0.9=5 6 0.4=7 6 0.>=9 0.8 0.5=5 6 0.4=7 6 0.8=9 0.4 =5 0! =7 $ibre! = 9 0
!#em$lo 4% 3inson! 5@@>A Pág. 70@B Problema Primal* +a, 3 8/5 6 >/7 6 K/9 6 ;/8 )u"eo a* /5 6 /7 6 /9 6 /8 0/5 6 0/7 6 0/9 6 5/8 7/5 6 9/7 6 8/9 6 K/8 9/5 6 8/7 6 4=9 6 >=8 /5! /7! /9! /8
@40
800 8>00 4000
0
Problema 1ual* +in 3 @40=5 6 800=7 6 8>00=9 6 4000=8 )u"eo a* 5=5 6 0=7 6 7=9 6 9=8 5=5 6 0=7 6 9=9 6 8=8 5=5 6 0=7 6 8=9 6 4=8 5=5 6 5=7 6 K=9 6 >=8 =5 $ibre! =7
8 > K ;
0! =9 0! =8 0
!#em$lo 5% 3inson! 5@@>A Pág. 750B Problema Primal*
+in - 54/5 6 50/7 6 @/9 6 K/8 )u"eo a* /5 6 /7 6 /9 6 /8 0/5 6 0/7 6 5/9 6 0/8 7/5 6 9/7 6 8/9 6 4/8 9/5 6 8/7 6 4=9 6 >=8 /5! /7! /9! /8
5000 800 9900 8000
0
Problema 1ual* +a, 3 5000=5 6 800=7 6 9900=9 6 8000=8 )u"eo a* 5=5 6 0=7 6 7=9 6 9=8 5=5 6 0=7 6 9=9 6 8=8 5=5 6 5=7 6 8=9 6 4=8 5=5 6 0=7 6 4=9 6 >=8 =5 $ibre! =7
54 50 @ K
0! =9 0! =8 0
!#em$lo 16% Problema Primal* +a,imi%ar - ;/5 6 4/7 I 9/9 )u"eo a* 4/5 I ;/7 6 8/9 74 >/5 6 K/7 I 4/9 48 7/5 6 >/7 I 8/9 9> 9/5 6 7/7 6 K/9 5; /5
0! /7 0! /9 o resringida
Problema 1ual* +inimi%ar 2 ;/5 6 4/7 I 9/9 )u"eo a* 4=5 6 >=7 6 7=9 6 9=8 :;=5 6 K=7 6 >=9 6 7=8
; 4
8=5 : 4=7 I 8=9 6 K=8 : 9 =5
0! /7 o resringida! =9 0! =8 o resringida
!#em$lo 11% Problema Primal* +inimi%ar - @/5 I 8/7 6 55/9 6;/8 )u"eo a* : 8/5 6 7/7 6 >/9 I 9 /8 5> @/5 6 50/7 6 59/9 6 55/8 74 57/5 6 50/7 6 54/9 6 58/8 98 /5! /9
0! /7! /8 o resringidas
Problema 1ual* +a,imi%ar 2 5>=5 674=7 6 98=9 )u"eo a* : 8=5 6 @=7 6 57=9 @ 7=5 6 50=7 6 50=9 : 8 >=5 6 59=7 6 54=9 55 : 9=5 6 55=7 6 58=9 ; /5 0! =7 o resringida! =9
0
