ADMISIÓN 2014 - 2
Créditos GERENTE GENERAL ADJUNTO:
Ricardo Campodonico Gómez JEFE DE OPERACIONES:
Mario Mendoza Gloria SUPERVISORA ED. ACADEMIA:
Mercedes Nunura Sánchez DIRECCIÓN GENERAL DE LÍNEA:
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Roberto Visurraga | Sergio Bautista | Jorge Manrique Juan Ramos Leyva | Cristehan Miguel | Jesús Bustillos Aaron Aaron Ramos Ramos | Ernes Ernesto to Quis Quispe pe Adriano Adriano Ynfanz Ynfanzon on Quis Quispe pe | Dehivy Dehivy Montiel Montiel Horna Horna PRE PRENSA DIGITAL DIAGRAMACIÓN UNI:
Linda Romero | Erika Cuadros | Robert Rayco COLABORADORES:
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© Derechos Reservados: Ediciones e Impresiones Paz S.A.C. Prohibido la reproducción total o parcial de este volumen | Edición 2014 www.pamer.edu.pe
ACADEMIAS
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Corporación Educativa Pamer
Examen de Admisión ACADEMIAS
Matemáticas
MATEMÁTICA PARTE 1
1. Una editorial ha realizado un estudio y concluye que si regala x libros a docentes universitarios, el número de ventas de estos libros es de 2000 – 1000e –0,001 x. Indique la secuencia correcta después de determinar la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. La venta de libros aumenta si se regalan más libros. II. Si no se regalan libros, se venden 1000 libros. III. El máximo número de libros a vender es 2000. A) VVV B) FVV C) FVF D) VFV E) FFV 2. Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): I. Si A = AT donde A es triangular superior, entonces A es matriz nula. II. Si A = –AT donde A es triangular inferior, entonces A es matriz diagonal. III. Si A es una matriz rectangular de orden m × n, entonces AA T es una matriz cuadrada de orden m × n y todos los elementos de su diagonal son negativos. A) VVV B) VFV C) FVV D) FFV E) FFF 3. Sea A, B y C matrices: J1 8N J –2 4 N J 1 –6 N A=K O; B = K O; C = K O 7 3 5 3 –2 –4 P P P L L L Si se tiene que: 5x = 3(A – 4(B + C) – X) + A, halle el determinante de X. A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 Primera
Prueba
UNI 2014 - II
4. Halle los valores de x e y respectivamente tales que: αx + βy = –1 (β – 1)x + (α + 1) y = 3 además se cumple que: α + 3β + 1 = 3α + β + x = α2 + α – β2 + β ≠ 0 A) 0 y 1 B) 1 y 0 C) 1 y –1 D) –1 y 1 E) 1 y 1 5. Si cada una de las series que se suman es convergente, halle: α α J 1 NK 1 S= (–1)K K + K O 2 2 K=0 K=0 L P A) S = 0 B) S = 2/3 C) S = 1 D) S = 2 E) S = 8/3
∑
∑
6. Halle la suma de la serie: 1 + 3 1 + 3 1 + 3 1 + 3 1 + ... 2 4 8 16 A) 1 B) 1 + 3 2 C)
3
3
2
D)
3
2 2 – 1
3
E)
3
2 2 + 1
7. Considere a > b > 0, determine el cociente entre la menor y mayor de las raíces de la ecuación en x: 1+1+1+ 1 x a b x+a+b A) a/b B) b/a C) ab D) a + b E) 1 8. Si S es el conjunto solución de la inecuación: 2x – 1 < 1, entonces S C = [a; b]. 1 – 3x Determine el valor de 3a + 5b, donde S C es el complemento de S. A) –2 B) –1 C) 0 D) 2 E) 3
4
Matemáticas
Examen de Admisión
Matemáticas
ACADEMIAS
9. Sea la función f que satisface la ecuación f(x)2 + 2f(x) = x + 1. Si f toma valores positivos en su dominio, halle tal dominio. A) 〈–1; +∞〉 B) [0; +∞〉 C) 〈–∞; 0〉 D) E) 〈–1; 1〉
UNI 2014 - II
13. Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado: I. Sean A, B, C eventos, entonces: P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) + P(B ∩ C) + P(A ∩ C) – P(A ∩ B ∩ C)
10. Sean los conjuntos: A = {(x; y) ∈ 2 /x – 1 ≤ y ≤ x + 1} B = {(x; y) ∈ 2 /1 ≤ x ≤ 3} Después de graficar A ∩ B se obtiene los vértices (a; b), (c; d), (e; f), (g; h). Calcule: a + b + c + d + e + f + g + h. A) 8 B) 2 C) 16 D) 20 E) 24
II. Sean: S = {(x; y)/x, y ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6} B = {(x; y) ∈ S/1 + y < x} 5 entonces P(B) = 12 III. Si B ⊂ A, entonces P(A\B) = P(A) – P(B). Donde P(x) representa la probabilidad del evento X.
11. Sea f: → una función, tal que cumple: f(ax + by) = af(x) + bf(y) para cualquier a, b, x, y ∈ , donde f(1) = 1. Si y f(2) + 6y + f(9) = n2. Halle un valor de y. A) 3 – n B) n – 3 C) n = 2 D) 2 – n E) n – 1
A) VVV C) FVV
B) VFV D) FFV
E) FFF 14. Sea N = 111111(3). Calcule la suma de dígitos al multiplicar en base 3, N consigo mismo.
12. Señale el gráfico de R1 ∩ R2, donde: R = {(x; y) ∈ 2 /y ≥ (x + 1)Log(x+1)(x)} R = {(x; y) ∈ 2 /y ≤ 1 + Log(x + 2)}
A) 100 (3) C) 110(3)
B) 101(3) D) 111(3)
E) 112(3) A)
B) O
O
C)
15. Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falasa (F) según el orden dado. I. Si y ∈ \ {0}, x ∈ , entonces x/y ∈ .
D)
–2
II. Si a, b son irracionales, entonces a + b y a • b son racionales. III. Si a ∈ y b es irracional entonces a • b es un número irracional. A) VVV B) VFV
O
O
E)
C) VFF O
Primera
Prueba
D) FVV
E) FFF
5
Matemáticas Matemática
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Matemáticas
ACADEMIAS
16. Sea 1 7 ab cd 9 * * * * 17abcd9 –7a ** –8bc *** –26d9 **6* –––e donde a, b, c, d y e corresponden a un solo dígito y * puede tomar diferentes valores de un dígito. Determine el valor de: E = e + d – c + b –a A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 17. Las magnitudes "x" e "y" son tales que (y – 4) y (x2 – 4) son inversamente proporcionales, Si el par (–1; –2) satisface esa relación, determina la ecuación de proporcionalidad. A) y= 218 + 4 x – 4 B) y= 218 – 4 x – 4
19. Dos capitales han sido colocados a interés simple durante el mismo tiempo; el primero al 6% y el segundo al 10%. El primero ha producido S/. 825 y el segundo ha producido S/. 1850, sabiendo que el segundo capital excede al primero en S/. 7125. Calcule la suma de dos montos obtenidos (en nuevos soles). A) 48375 B) 51050 C) 52110 D) 53030 E) 54100 20. Una encuesta realizada en la ciudad de Lima muestra la table siguiente: N° de hijos N° de familias 0–2 1 200 3–6 400 7–9 150 10 – 12 30 13 – 15 15 Calcule el número de familias que tiene de 4 a 11 hijos A) 380 B) 470 C) 480 D) 570 E) 580 MATEMÁTICA PARTE 2
21. En la circunferencia de radio R de la figura determine el ángulo α de modo que l = R.
C) y= 218 + 4 x – 4
α
D) y= 2–18 – 4 x + 4 E) y= 218 + 4 x – 4
l
18. Si la diferencia entre la media aritmética y la media armónica de dos números naturales a y b es 1. Determine el menor valor de a2 + b2 asumiendo que a > b. A)
10
C) 2 10 E) 6 5 Primera
Prueba
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B)
13
D) 2 13
A) 15° D) 36°
B) 18° E) 45°
C) 30°
22. Determine la cónica que representa la ecuación polar: 8 r= 4+3Cosq A) Hipérbola B) Parábola C) Elipse D) Circunferencia E) Un punto
6
Matemáticas
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Matemáticas
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26. Calcule M = Sen 4q + Sen42q +Sen43q; si q = p /7. A) 21/13 B) 21/14 C) 21/15 D) 21/16 E) 21/17
23. Sea "q" un ángulo en el III cuadrante que satisface: (Cotq)2Tanq = 8 27 Determine el valor de E = 3cos q + 2Senq. A) 9 B) 8 C) –3 12 13 13 D) –12 13
27. Calcular el número de vueltas que da una rueda de radio r = 0,5 cm; al rodar (sin resbalar) en un arco circular AB de radio R = 6 cm y ángulo central 60° (ver figura). O
E) –13 12
24. Determine cuál de los siguientes intervalos pertenecen la solución de la ecuación trigonómetrica. A) B)
p
4 p
3
C)
p
D)
3p
E)
5p
2
60°
p
< x <
3 2
A) 1 D) 4
5p
6
< x < 5p 4 6 6
25. La figura adjunta representa sectores circulares en el triángulo rectángulo isósceles ABC. Calcule (en cm) la suma de las longitudes de los arcos DEy EF si AC = 1 cm.
E
A) p /4 C) p E) 2p Primera
Prueba
F
B) 2 E) 5
C) 3
q
B
A
A
B
B
28. Calcule el valor de x para que el ángulo sea máximo. C 1 M 1
< x
D
l
A
p
< x < < x <
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A)
2
B)
3
D)
7
E)
11
C)
5
29. Se tiene el triángulo equilátero ABC cuyo lado mide 12 m. Por el vértice C se traza CD perpendicular al plano que contiene dicho triángulo. Si el ángulo entre los planos determinados por ABD y ABC es 60°, entonces la distancia de C al plano ABD, en metros, es: A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
C B) p /2 D) 3p /2
7
Matemáticas Matemática
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Matemáticas
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30. Se tiene la siguiente figura formada por dos J RN círculos de radios R y r K r= O. Determine la L 2P longitud de arco de circunferencia AC . r A C
UNI 2014 - II
A) 4 5 (p – 2)m3 3 B) 8 5 (p – 2)m3 3 C) 13 5 (p – 2)m3 3
R
D) 6 5 (p – 2)m3 5
J A) 2r.arcsenK L J B) 2r.arcsenK L J C) 4r.arcsenK L J D) 4r.arcsenK L J E) 6r.arcsenK L
15 N O 4 P 15 N O 8 P 15 N O 4 P 15 N O 8 P 15 N O 4 P 31. La figura representa un cubo de arista a cm. Calcule el ángulo que forman las rectas CS y BD.
P
Q A A) 30° D) 75°
C B) 45° E) 90°
D
Prueba
A) 1 2
B) 3 2
D) 5 2
E) 3
C) 2
34. En un cilindro circular recto, de radio 2 cm y altura 6 cm, se inscribe un paralelepípedo rectangular. El máximo volumen (en cm 3) que puede tener tal paralelepípedo es:
C) 60°
32. Una pirámide de base cuadrada y un cono tienen el vértice común “O”, la base de la pirámide está inscrita en la base del cono. Halle el volumen comprendido entre las caras de la pirámide y la superficie del cono, si el lado de cuadrado mide 2 m y la generatriz del cono 9 m. Primera
33. Por el vértice B de un triángulo ABC se traza BD perpendicular al plano ABC, el punto D se une con los vértices A y C. Además se traza BH perpendicular a AC (H ∈ AC). Si BH = 36 , BD = 36 3 , entonces 5 5 Si ADC es: Si ABC
S R
B
E) 8 5 (p – 2)m3 5
A) 44
B) 45
D) 49
E) 51
C) 48
35. En un triángulo equilátero ABC, sobre la altura AH (H ∈ BC) se toma el punto E y en la prolongación de AC se toma el punto D (C ∈ AD), tal que EC = CD y AC = ED. Halle m∠HED.
8
A) 40°
B) 45°
D) 50°
E) 52°
C) 48°
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Matemáticas
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36. En un trapezoide dos ángulos interiores opuestos se diferencia en 24°. Calcule el ángulo formado por las bisectrices interiores de los otros dos ángulos. A) 196° B) 186° C) 175° D) 168° E) 123°
A) 2 D) 3,5
A
M
B
C) 12
C D
A
O
A) 2,6 D) 5,9
O’
Prueba
B) 10 E) 16
40. En el gráfico mostrado BD es paralelo AE y T es punto de tangencia. Calcule AB (en cm), si CT = 5 cm y BC = 3 cm. T
38. En la figura mostrada, si AB = 4 2 m. Halle R (en metros). A B
Primera
D
C
A) K 1 + 1 < 2 B) K 1 + 1 < 1 K 2 K 2 K + K 2 1 C) 1 < D) K 1 + K 2 < 2 K 2 2 K 1 E) K 2 + 1 < 1 2 K 1
R
C) 3
F
A) 8 D) 14
R
A
B) 2,5 E) 4
39. En la figura mostrada, se tiene que AB + CD = 30 m y BC + AD = 50 m, calcule EF. B E C
37. En la figura M es punto medio de AC y las circunferencias están inscritas en los triángulos. Si AB = k 1r, R = k 2r, entonces se cumple la relación: B
r
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9
E B) 3,7 E) 6,5
C) 4,8
Matemáticas Matemática
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Solucionario
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RESOLUCIÓN 1 TEMA: Función exponencial
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III. Verdadero Según propiedad de A y A T, la proposición es verdadera.
Ubicación de incógnita Determinar el valor de verdad
Respuesta: D) FFV
Análisis de los datos o gráficos x 1 f(x)= 2000 – 1000 1000 e
(
)
Operación del problema I. Verdadero si x aumenta, f(x) aumenta II. Verdadero f(0)= 2000 – 1000 = 1000 III. Verdadero Si x → ∞, entonces f(x) → 2000
RESOLUCIÓN 3 TEMA: Matrices Ubicación de incógnita Determinante de la matriz X Análisis de los datos o gráficos 5X = 3 (A – 4 (B + C) – X) + A 2X = A – 3B – 3C Operación del problema
2X =
6 –12 –3 1 8 + –15 –9 + 6 7 3
RESOLUCIÓN 2 TEMA: Matrices
2X =
4 –2
Ubicación de incógnita Determinar el valor de verdad
2 X = –1
Análisis de los datos o gráficos I. Falso Por un contra ejemplo, sea: 1 a b A = 0 3 c 0 0 4 Como A = AT: a = 0 ∧ b = 0 ∧ c = 0 Nótese que A no es una matriz nula. II. Falso En una matriz diagonal al menos un elemento de la diagonal principal debe ser diferente de cero. Como A = –AT (matriz antisimétrica) necesariamente todos los elementos ubicados en la diagonal principal son ceros.
Conclusiones y respuesta ∴ X = 13
Respuesta: A) VVV
(
Primera
Prueba
( ( ( (
(
(
14 6 7 3
(
((
18 12
(
( X =6+7
Respuesta: C) 13 RESOLUCIÓN 4 TEMA: Sistema de ecuaciones Ubicación de incógnita Determinar los valores de x ∧ y. Análisis de los datos o gráficos α x +β y = – 1 (β – 1)x + (α +1) y = 3 α + 3β + 1 = 3α + β + x = α2 + α – β2 + β ≠ 0
10
Matemáticas
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Solucionario
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Operación del problema Según Cramer: – (α + 3β + 1) =–1 x = xs = 2 α + α – β2 + β
y = y = s
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Análisis de los datos o gráficos
S=1+ 3
3α + β – 1 = 1 α2 + α – β2 + β
1 2
+
1 3
2
+
2
3
1 3
+ ...
2
Operación del problema 3 1 S= = 3 2 2–1 1 – 31 2 Conclusiones y respuesta
Conclusiones y respuesta ∴ x = – 1 ∧ y = 1 Respuesta: D) –1 y 1
∴S=
3
3
2 2–1
RESOLUCIÓN 5 TEMA: Series
Respuesta: D)
3
2
3
2 – 1
Ubicación de incógnita Determinar S
RESOLUCIÓN 7 TEMA: Ecuaciones
Análisis de los datos o gráficos
Ubicación de incógnita Calculo de x1 ÷ x2, tal que x1< x2
∞
S = Σ (– k=0
1)k
∞
1 +Σ 2k k=0
J1 N k K 2O L P
Análisis de los datos o gráficos
1 1+1+ 1 = x + a + b x a b
Operación del problema
1
S=
1 +
1 2
+
1 1 –
=
1 2
2 +2 3
Operación del problema Según implicancia: x = – a ∨ x = – b Por condición: a > b > 0 – a< – b < 0
Conclusiones y respuesta S=8 3 Respuesta: E)
Aquí reconocemos que : x1= – a ∧ x2 = – b
8 3
x1 a = x2 b
RESOLUCIÓN 6 TEMA: Series Ubicación de incógnita Valor de la suma S Primera
Prueba
Respuesta: A) a b
11
Matemáticas Matemática
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RESOLUCIÓN 8 TEMA: Valor absoluto (VA)
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Conclusiones y respuesta Por lo tanto Dom(f) = 〈–1, +∞〉
Ubicación de incógnita El valor de 3a + 5b; S c = [a;b] Análisis de los datos o gráficos 2x – 1 < 1 ⇔ 2x – 1 < 1 3x – 1 1 – 3x Operación del problema |2x – 1| < |3x – 1|; x ≠ 1/3 (5x – 2)(x) > 0
0
2/5
Conclusiones y respuesta Nótese que: Sc = [0; 2/5] a = 0 ∧ b = 2 5 ∴ 3a + 5b = 2
Respuesta: A) 〈–1, +∞〉 RESOLUCIÓN 10 TEMA: Relaciones gráficas Ubicación de incógnita a+b+c+d+e+f+g+h Análisis de los datos o gráficos A = {(x; y) ∈ 2 /x – 1 ≤ y ≤ x + 1} B = {(x; y) ∈ 2 /1 ≤ x ≤ 3} A ∩ B = {(a; b), (c; d), (e; f), (g; h)} Operación del problema Graficando A ∩ B
y=x+1 y=x–1
Respuesta: D) 2
1
RESOLUCIÓN 9 TEMA: Funciones
–1 0
Ubicación de incógnita Dom(f) Análisis de los datos o gráficos f 2(x) + 2f(x)= x + 1 ................(1) f(x) > 0; ∀x∈Dom(f) ................(2) Operación del problema De (1): (f(x) + 1)2 = x + 2 f(x) + 1∈{ x + 2 ; – x + 2 } f(x)∈ { x + 2 – 1; – x + 2 – 1}
Pero de (2): f(x) > 0
Primera
Prueba
↔
x + 2 – 1 > 0 x > –1 x ∈〈–1, +∞〉
1 x=1
3 x=3
Conclusiones y respuesta Los puntos de intersección son: (1; 0), (1; 2), (3; 2), (3; 4) por lo tanto a + b + c + d + e + f + g + h = 16 Respuesta: C) 16 RESOLUCIÓN 11 TEMA: Funciones Ubicación de incógnita Un valor de y
12
Matemáticas
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Análisis de los datos o gráficos f: R → R f(ax+by) = a.f(x)+b.f(y) ∀ a,b,x, y ∈ R .... (1) f(1) = 1 ..... (2) yf(2) + 6y + f(9) = n 2 .... (3)
R2
–2
Operación del problema De (1): f(x) = mx con m ∈ R De (2): f(1) = 1 ↔ m = 1, luego f(x) = x De (3): y2 + 6x + 9 = m 2 (y + 3)2 = n2 y + 3 ∈ {n; –n} y ∈ {n–3; –n–3}
–2
0
Respuesta: C)
Respuesta: B) n – 3 RESOLUCIÓN 12 TEMA: Sistema de inecuaciones
x
0
RESOLUCIÓN 13 TEMA: Probabilidades Ubicación de incógnita Determinar el valor de verdad de las proposiciones: I. Falso: P[(A ∪ B) ∪ C] = P(A ∪ B) + P(C) – [(A ∪ B) ∩ C] = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) + P(C) – P[(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)] = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) + P(C) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) ∴P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) II. Falso n(S) = 6.6 = 36 B = {(x; y)∈ S/1 + y < x} y = 1 → x = 3, 4, 5, 6 y = 2 → x = 4, 5, 6 y = 3 → x = 5, 6 y = 4 → x = 6 10 n(B) = 10 ⇒ P(B) = 36
Ubicación de incógnita R1 ∩ R2 Análisis de los datos o gráficos R1 = {(x, y) ∈ R 2 /y ≥ (x+1)log(x+1)(x)} = {(x, y) ∈ R 2 /y ≥ x, x > 0} R2 = {(x, y) ∈ R 2 /y ≤ 1+ Log(x+2)} Operación del problema Graficando: R1 y=x
0
Prueba
0
Conclusiones y respuesta R1 ∩ R2: y
Conclusiones y respuesta Por lo tanto un valor de “y“ es n – 3.
Primera
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Matemáticas Matemática
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Solucionario
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III. Verdadero
A B
B ⊂ A ⇒ n(A\B) = n(A) – n(B) ⇒ P(A\B) = P(A) – P(B) Respuesta: D) FFV RESOLUCIÓN 14 TEMA: Cuatro operaciones Ubicación de incógnita Calcular la suma de cifras de N×N
Análisis de los datos o gráficos I. Verdadero. x ∈ Q → x = a , b ≠ 0 b y ∈ Q \{0} → y = c ; c ≠ 0, d ≠ 0 d x = ad ∈ Q y bc Operación del problema II. Falso Contra ejemplo: Para a = 2 , b = 3
a+b = 2 + 3
Conclusiones y respuesta ∴ La suma de cifras de N 2 12 = 110(3) Respuesta: C) 110(3) RESOLUCIÓN 15 TEMA: Racionales Ubicación de incógnita Determinar el valor de verdad de las proposiciones. Primera
Prueba
∈i
ab = 6 ∈ i III. Falso Contra ejemplo a = 0, b = 2
Análisis de los datos o gráficos Se tiene N = 111111(3) Operación del problema N × N = N2 = [111111(3)]2 111111(3) × 111111(3) 111111(3) + 111111(3) 111111(3) 111111(3) 111111(3) 111111(3) 20201202021(3)
UNI 2014 - II
⇒ ab = 0 ∈ Q
Respuesta: C) VFF RESOLUCIÓN 16 TEMA: Radicación Ubicación de incógnita Identificación de dígitos desconocidos. Operación del problema Reconstruyendo por el método de extraer raíz cuadrada:
17abcd9 1331 1 2 3 × 3 = 69 -7a 2 6 3 × 3 = 789 69 8bc 2 6 6 1 × 1 = 2661 7 89 26d9 2661 8 Identificando: a = 7; b = 1; c = 5; d = 6; e = 8 ∴ El valor de: E=e+d–c+b–a E = 8 +6 – 5 + 1 –7 = 3 Respuesta: B) 3
14
Matemáticas
Examen de Admisión
Solucionario
ACADEMIAS
(a – b)2 = 2(a + b) ⇒ a + b = 8; 18; ...
RESOLUCIÓN 17 TEMA: Magnitudes proporcionales
a + b = 8 (mínimo) ⇒ (a – b)2 = 2(8) ⇒ a – b = 4 ⇒ a = 6 ∧ b = 2
Ubicación de incógnita Determinar la ecuación de proporcionalidad
a2 + b2 = 62 + 22 + 40 = 2 10 Respuesta: C) 2 10
Análisis de los datos o gráficos Sean las magnitudes x e y (y – 4) I.P. (x 2 – 4) El par (–1; –2) satisface la relación.
RESOLUCIÓN 19 TEMA: Regla de Interés Ubicación de incógnita Calcular la suma de los montos obtenidos.
Operación del problema De las magnitudes: (y – 4)(x2 – 4) = k ....... (1) pero (–1, –2) satisface la relación x = –1 y = –2
Análisis de los datos o gráficos • Sean C1 y C2 los dos capitales depositados a interés simple.
En (1): (–2 –4)[(–1)2 – 4] = k → k = 18 Conclusiones y respuesta La ecuación: (y – 4)(x2 – 4) = 18 y = 218 + 4 x –4
RESOLUCIÓN 18 TEMA: Promedios
Las tasas de interés 6% y 10%.
•
El interés producido es S/. 825 y S/. 1850.
•
C2 excede a C 1 7125.
Además: C2 – C1 = 7125
Análisis de los datos o gráficos MA = a + b 2 MH = 2 = 2ab 1+1 a+b a b a > b (naturales) ⇒ a + b > 2
19k = 7125 → k = 375
Luego: M1 = (55k) + 825 = 21450 M2 = (74k) + 1850 = 29600
Operación del problema MA – MH = a + b – 2ab = 1 2 a+b
∴ La suma de los montos obtenidos:
M1 + M2 = 51050 Respuesta: B) 51050
⇒ (a + b) 2 – 4ab = 2(a + b)
Prueba
•
Operación del problema El interés de cada capital C1 x 6% x T = 825 ..... (1). C2 x 10% x T = 1850 .... (2). dividiendo: C1 55k C2= 74k
Respuesta: A) 218 + 4 x – 4
Primera
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15
Matemáticas Matemática
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RESOLUCIÓN 20 TEMA: Estadística
Conclusiones y respuesta O
Ubicación de incógnita Calcular el número de familias que tienen de 4 hasta 11 hojas.
R A
Análisis de los datos o gráficos Se tiene la variable discreta (N° de hijos), usando el diagrama de bastones. Operación del problema N° familias: 400
150
10 1 0
N° de hijos: 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N° familias = 470 Conclusiones y respuesta N° familias que tiene de 4 hasta 11 hijos es 470 Respuesta: B) 470
Operación del problema Recordando:
2α = 60° α = 30°
B
R
Respuesta: C) 30°
Ubicación de incógnita 8 r= 4 + 3Cosq Análisis de los datos o gráficos
4r+3rCosq = 8, r = x2 + y2 ∧ x = rCosq 4 x2 + y2 + 3x = 8 Operación del problema
Completando cuadrados.
R
N2 J 1024 24 7 Kx + O +16y2= 7 7 P L J 24 N 2 7 Kx + O 7 P y2 L + =1 J 32 J2 J 8 J2 K K K K L 7 L L 7 L
O 2q R
En el problema α
l=R
⇒
(4 x2 + y2 )2 = (8 – 3x) 2 16x2 +16y2 = 64 + 9x 2 – 48x 7x2 + 48x + 16y 2 = 64
RESOLUCIÓN 21 TEMA: Ángulo Trigonométrico
A
R
30
10
O R 2α
2α
RESOLUCIÓN 22 TEMA: Coordenadas polares
100 100 100 100 50 50 50
q
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Conclusiones y respuesta La ecuación representa una elipse.
R B
Respuesta: C) Elipse Primera
Prueba
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RESOLUCIÓN 23 TEMA: Razones Trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud
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Cosx = 1 – 2
= 1+ 2
(No)
2 5p 6 C.T.
–0,86 Cosx 0 1 2 3
y
–0,615
q
–2
5
p
N
J 3 N 2K 32 O 2Tan q (Tanq) = K O L P L2 P Comparando: Tanq = 3 ∧ q ∈ III C 2
–3
∨ Cosx
Cosx = –0,615
Operación del problema (Cotq)2Tanq = 8 27 J2 N3 q –2Tan (Tanq) = K O L3 P J
5
Respuesta: C) p < x < 5p 2 6
x 13
RESOLUCIÓN 25 TEMA: Ángulo trigonométrico
Nos piden: E = 3Cosq + 2Senq N N J J E = 3K – 2 O + 2K – 3 O L 13 P L 13 P E = – 12 13
Operación del problema
Nos piden: “l1 + l2” A
Respuesta: D) – 12 13
45° a E
D RESOLUCIÓN 24 TEMA: Circunferencia trigonométrica
l1
Prueba
45°
C
Aplicando:
2 ± (–1) –4(–1) 1 Cosx = 2
Primera
b l2
Operación del problema Cos2x – Cosx – 1 = 0
Cosx = 1 ± 2
1
R qrad
5
l
⇒
l = q.R
R
17
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⇒
p
l1 = a 4 p
(+)
l2 = b 4 l1 + l2 = p (a + b); del gráfico: a + b = 1 4 l1 + l2 = p (1) = p cm 4 4 Respuesta: A) cm 4
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Resumen 8M = 9 – 3(–1/2) = 9 + 3/2 = 21/2 M = 21/16 Respuesta: D) 21/16 RESOLUCIÓN 27 TEMA: Aplicaciones del ángulo Trigonométrico
p
Ubicación de incógnita O
60° R–r R–r r r
RESOLUCIÓN 26 TEMA: Transformaciones Trigonométricas Ubicación de incógnita M = Sen4q + Sen42q + Sen43q Reemplazamos: q = p /7 Análisis de los datos o gráficos M = Sen4 p + Sen4 2p + Sen4 3p 7 7 7
Aplicamos: 8Sen4x = 3 – 4Cos2x + Cos4x Operación del problema 8M = 8Sen4 p + 8Sen4 2p + 8Sen4 3p 7 7 7 8Sen4 p = 3 – 4Cos 2p + Cos 4p 7 7 7
8Sen4 2p = 3 – 4Cos 4p + Cos 8p ; 7 7 7 pero: Cos 8p = Cos 6p 7 7 8Sen4 3p = 3 – 4 Cos 6p + Cos12p ; 7 7 7 pero: Cos12p = Cos 2p 7 7
A
B
d
Operación del problema p (R – r) d 3 ⇒ h v = n v = = R – r 2pr 2p.r 6r pero: R = 6 ∧ r = 1 2
Reemplazando, resulta: 6– 1 2 = 11 = 1,83 ≈ 2 h v = 6 6. 1 2 Respuesta: B) 2 RESOLUCIÓN 28 TEMA: Identidades Trigonométricas del Arco Compuesto Ubicación de incógnita
C
Conclusiones y respuesta Sumando, resulta: 8M = 9 – 3 (Cos 2p + Cos 4p + Cos 6p ) 7 7 7 Propiedad = –1/2 Primera
Prueba
1 x
M 1 A
18
α β q
B Matemáticas
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Análisis de los datos o gráficos Nos ayudamos de α y β en la figura.
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D H
Operación del problema Nótese que: Tanq = Tan(α – β) Tanα – Tanβ Tanq = 1 + Tanα.Tanβ
x C 30°
12 6
3
60°
12
6
T
6
B
A x = 3 3( 3)
Conclusiones y respuesta
2 1 – x x Tanq = 2 1 1 + . x x
Conclusiones y respuesta x=9 Respuesta: D) 9
1
→ Tanq =
x+
2 x
RESOLUCIÓN 30 TEMA: Aplicaciones del ángulo trigonométrico
Resumen q es máximo cuando Tan q es máximo y esto 2 ocurre cuando x + es mínimo. x 2 2 x+ es mínimo cuando: x = (propiedad) x x
(
(
Análisis de los datos o gráficos
)
)
r P
A
C
q q 2r
x= 2
O
Respuesta: A) x = 2 RESOLUCIÓN 29 TEMA: Geometría espacio I
Operación del problema m AC = (2q) (r) ... (I)
Ubicación de incógnita X: distancia de C a ∆ ABC
Conclusiones y respuesta r
2r
Análisis de los datos o gráficos ∆ ABC CT = 6 3
q
8
Operación del problema CHT (notable 30°, 60°) Primera
Prueba
2r
q
19
4r2 + 4r2 – r2 7 Cosq = = 8 2 (2r)(2r)
15 7 Matemáticas Matemática
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x = 60°
15 Senq = 8 N J q = arc sen K 15 O L 8 P
Respuesta: C) x = 60° RESOLUCIÓN 32 TEMA: Cono
Reemplazando en (I)
J 15 N O mAC = 2r. arc sen K 8 P L J Respuesta: B) 2r.arc senK L
15 8
N O P
RESOLUCIÓN 31 TEMA: Poliedros Ubicación de incógnita
Medida del ángulo formado por BD y SC. Análisis de los datos o gráficos
Trazamos BP//CS asi tambien PD.
Ubicación de incógnita Vx: Volumen pedido Vx: Vcono – Vpirámide Análisis de los datos o gráficos Si: CD = 2 ⇒ R = 1 h=4 5 Operación del problema Vx: p12.h – ( 2 )2h 3 3 Vx: 4 5 (p– 2) 3
O
P
S
Q
R
h 9
a 2 a 2
B
A
a
D
x
A
a 2
B
C
1 C R
2
D
Respuesta: A) 4 5 (π–2) 3
Operación del problema Resultando que: BP = PD = BD = a 2 , ademas m∠PBD = x
RESOLUCIÓN 33 TEMA: Geometría del Espacio
es la medida del ángulo que forman CS y BD.
Ubicación de incógnita Nos piden: S(3 ADC) S(3 ABC)
Conclusiones y respuesta Como el 9BPD es equilátero. Primera
Prueba
20
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Análisis de los datos o gráficos Aplicando el teorema de las 3 perpendiculares:
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Operación del problema En la base a = b = 2 2
DH ⊥ AC Operación del problema En el DBH: DH = 72/5.
6
a b
b
AC . DH y 2 AC . BH S(3 ABC) = 2 Luego: S(3 ADC)= DH S(3 ABC) BH Como: S(3 ADC) =
a
2
Conclusiones y respuesta
Vx = ab6 Vx = ( 2 2 )( 2 2 )6
D Resumen
36 3 5
B
Vx = 48
72 5
C
36 5
Respuesta: C) 48
H
RESOLUCIÓN 35 TEMA: Congruencia de triángulos
A
Ubicación de incógnita mHED = x Sea: AB = BC = AC = 2a
Conclusiones y respuesta 72 5 De donde S(3 ADC) = = 2 S(3 ABC) 36 5
Análisis de los datos o gráficos
B
S(3ADC) Respuesta: C) = 2 S(3ABC)
a 2 a
RESOLUCIÓN 34 TEMA: Cilíndro
° 3 0
A
Ubicación de incógnita Vx: Volumen máximo del paralelepipedo.
Prueba
30°
2a
H a αa α 2α
M
2 a
a C
α
D
Puesto que AH es altura → BH = HC = a Según el gráfico: x = 30 + α ..... (1)
Análisis de los datos o gráficos Para que el volumen sea maximo: a = b(cuadrado) Primera
E x
21
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Operación del problema En el 9ECD: mCED = mCDE = α → mECA = 2α
Conclusiones y respuesta 2x = 360 – (a – b) J a–bN x = 180 – K O 2 L P x = 168°
Trazamos CM ⊥ ED → EM = MD = a EHC ≅
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Respuesta: D) 168°
CMD
Luego: mECH = mCDM = α
RESOLUCIÓN 37 TEMA: Circunferencia
Conclusiones y respuesta En C: 3α = 60 → α = 20
Ubicación de incógnita Determinar una relación entre K y K 2 Análisis de los datos o gráficos
Sustituyendo en (1): x = 30 + 20 = 50 Respuesta: D) x = 50
Puesto que BM es mediana BM = AM = MC = a Por propiedad de las tangentes: TH =r y HS=R B
RESOLUCIÓN 36 TEMA: Cuadrilátero
K 1 r A
Ubicación de incógnita X: Medida del ángulo formado por bisectrices
C a q
A b
q
x P
Operación del problema x + a + α + q = 360° x = a + q + b Primera
Prueba
α
α
R r T r H RS a
M
C
Operación del problema Aplicando el postulado de la distancia entre A y B: AB < 2a... (1) Del gráfico: TS < a →r + R < a ... (2)
Análisis de los datos o gráficos OABP lBCDP y a – b = 24°.
B
a
D
Conclusiones y respuestas Dividiendo (2) ÷ (1): r+k2r < 1 k1r 2 1+k2 < 1 ∴ k1 2 Respuesta: E) 1+k 2 < 1 k1 2
22
Matemáticas
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RESOLUCIÓN 38 TEMA: Relaciones métricas 1
Operación del problema Aplicamos el teorema de Pithot ABEF: AB + X = BE + AF FECD: CD + X = EC + FD Sumando y agrupando tenemos: AB+CD+2X=(BE+EC)+(AF+FD) → AB+CD + 2X=BC+ AD
Ubicación de incógnita R Análisis de los datos o gráficos A, T y Z colineales A R
Conclusiones y respuesta Como: AB+CD = 30 y BC+ AD = 50 → 30 + 2X = 50 ∴X = 10
B
4 2 2q T
R 2
q
R
O
C
q
Respuesta: B) X = 10
Z
RESOLUCIÓN 40 TEMA: Proporcionalidad
Operación del problema Teorema de la tangente (4 2 )2 = AZ(AT) ∆ ACZ (antiparalelas) (R 2 )2 = AZ(AT)
Ubicación de incógnita AB = x
(R 2 )2 = (4 2 )2 R = 4
Análisis de los datos o gráficos
BD//AE Respuesta: E) 4
CD//BE
T
RESOLUCIÓN 39 TEMA: Circunferencia
x Ubicación de incógnita EF = x
E
Primera
Prueba
F
a D b E
Operación del problema a=5 b 3 a=8 b x
C
Conclusiones y respuesta ⇒ a =8 =5 b x 3 x = 4,8
x A
B
3
C
5
A
Análisis de los datos o gráficos Reconocemos en el gráfico dos cuadriláteros circunscritos.
B
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D
Respuesta: C) 4,8
23
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