BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Matematika sebagai suatu disiplin ilmu memiliki berbagai macam cabang, salah satu diantaranya adalah aljabar. Aljabar merupakan suatu cabang matematika yang erat kaitannya dengan penjabaran-penjabaran suatu konsep pada matematika. Salah satu konsep yang terdapat pada aljabar al jabar adalah konsep fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat merupakan suatu persamaan dimana pangkat tertinggi variabelnya adalah 2 atau dalam bentuk matematis dapat ditulis yaitu ax2 + bx + c = 0, a, b, c R dan a ≠ 0. Selain fungsi kuadrat dalam sebuah fungsi matematika juga ditemui pertidaksamaan kuadrat. Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu kalimat terbuka yang memuat variabel dengan pangkat positif dan memiliki pangkat tertinggi dua serta dihubungkan dengan tanda. 1.2 Rumusan Masalah
1. Apa pengertian dari fungsi kuadrat ? 2. Bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan fungsi kuadrat ? 1.3 Tujuan
1. Mengetahui pengertian dari fungsi kuadrat. 2. Mengetahui cara menyelesaikan soal pertidaksamaan fungsi kuadrat.
1
BAB II PEMBAHASAN 2.1 Pengertian Fungsi Kuadrat
Fungsi f: R → R yang dinyatakan dengan f: x → ax 2 + bx + c dimana a, b, c R dan a ≠ 0 disebut fungsi derajat dua atau lebih lazim disebut fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat f = ax 2 + bx + c mempunyai persamaan y= ax 2 + bx + c dan grafiknya berupa parabola. Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2. Mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi. Fungsi kuadrat mempunyai bentuk umum: f(x) = ax² + bx + c, dengan a.b.c suatu bilangan real dan a ≠ 0. Sebuah fungsi selalu berhubungan dengan grafik, begitu pula dengan fungsi kuadrat. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Untuk menggambar sebuah grafik fungsi kuadrat harus ditentukan titik potong dengan sumbu kordinat dan titik ekstrimnya. Sebutan lain untuk titik ekstrim adalah titik puncak atau titik maksimum/minimum. 2.2 Elemen dalam menentukan grafik fungsi kuadrat
Untuk menentukan grafik fungsinya pada koordinat Cartesius, tentukan titik potong terhadap sumbu terlebih dahulu, dengan membuat f(x) = 0, kemudian cari akar-akarnya seperti pada persamaan kuadrat. Setelah itu, tentukan sumbu simetri grafiknya, yaitu garis yang membagi dua kurva fungsi tersebut pada sumbu x.
Sumbu simetri dapat dihitung dengan menggunakan rumus: x = − . Terakhir,
tentukan titik puncak grafiknya, yaitu titik di mana kurvanya berbalik arah, atau berada pada titik maksimum. Misalkan titik puncaknya adalah P, maka koordinat titik puncak dapat dihitung dengan menggunakan rumus: (−
2
−
4
) dengan D merupakan nilai-
nilai diskriminan fungsi tersebut. Setelah mendapatkan titik-titik di atas, maka kita
2
dapat menggambar grafik fungsi kuadrat dengan menghubungkan titik-titik diatas dengan garis yang berbentuk parabola. 2.2.1 Titik potong dengan sumbu koordinat
Titik potong dengan sumbu X diperoleh dengan cara mencari nilai peubah x pada fungsi kuadrat jika nilai peubah y sama dengan nol, sehingga akan diperoleh titik potong (x1,0) dan (x2,0), dimana x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat. Tapi perlu diingat bahwa akar-akar persamaan kuadrat tergantung dari diskriminan. Jika diskriminannya sama dengan nol maka akan diperoleh hanya satu akar dan ini berarti hanya ada satu titik potong dengan sumbu X. Kalau diskriminannya kurang dari nol persamaan kuadrat tersebut tidak memiliki akar real yang berarti tidak memiliki titik potong dengan sumbu X. Titik potong dengan sumbu Y diperoleh dengan cara mencari nilai y pada fungsi kuadrat jika nilai peubah x sama dengan nol, sehingga diperoleh titik (0,y1). 2.2.2 Titik Ekstrim
Titik ekstrim pada fungsi kuadrat merupakan koordinat dengan absisnya merupakan nilai sumbu simetri dan ordinatnya merupakan nilai ekstrim. Pasangan koordinat titik ekstrim pada fungsi kuadrat y = ax 2+bx+c adalah sebagai berikut :
(−
2
−
4
)
Keterangan : D adalah diskriminan D = b² - 4ac Seperti yang sudah disebutkan di atas, x = −
2
, adalah sumbu simetri dan −
4
merupakan nilai ekstrim fungsi kuadrat.
3
2.2.3
Sumbu Simetri
Sumbu simetri merupakan garis yang ditarik dari nilai x titik ekstrem sejajar dengan sumbu y yang membelah parabola menjadi 2 bagian yang sama besar. Persamaan untuk sumbu simetris adalah x = −
2
2.3 Sifat-Sifat Grafik Fungsi Kuadrat
Jika a > 0, maka grafiknya terbuka ke atas dan mempunyai titik balik minimum (titik puncaknya mempunyai nilai terkecil) Jika a < 0, maka grafiknya terbuka ke bawah dan mempunyai titik balik maksimum (titik puncaknya mempunyai nilai terbesar) Jika D merupakan diskriminan suatu fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c, maka: Jika D < 0, maka grafik y= f(x) memotong sumbu pada dua titik yang berbeda Jika D = 0, maka grafik y= f(x) menyinggung sumbu x pada satu titik. Jika D > 0, maka grafik y= f(x) tidak memotong sumbu x 2.4 Langkah-langkah dalam membuat sketsa grafik fungsi kuadrat/parabola ( y = ax2 + bx + c ) 1.
menentukan titik potong grafik dengan sumbu x → y = 0. kemudian difaktorkan sehingga diperoleh akar-akarnya yaitu x1 dan x2 . jika kesusahan dalam memfaktorkan coba di cek dulu nilai D nya. ax 2 + bx + c = 0
jika D < 0 maka fungsi tersebut memang tidak mempunyai akar-akar persamaan fungsi kuadrat sehingga sketsa grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x jika D > 0 maka fungsi tersebut mempunyai akar-akar persamaan fungsi kuadrat namun kita kesulitan dalam menentukannya. bisa jadi karena angkanya yang susah difaktorkan atau faktornya dalam bentuk desimal. Akar-akarnya dapat kita cari dengan rumus abc : x1,2 = -b ± √ b2 – 4 2a
4
setelah kita mendapatkan nilai x1 dan x2 maka titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x : ( x1 , 0 ) dan ( x 2 , 0 ) 2.
menentukan titik potong grafik dengan sumbu y → x = 0 karena x = 0 maka y = c dan titik potong dengan sumbu y = ( 0 , c )
3.
menentukan harga ekstrim atau titik puncak rumus menentukan harga ekstrem (xp,yp) = (-b/2a, D/4a)
untuk mengetahui apakah itu titik minimum atau maksimum tergantung dari nilai a. Jika a>0 maka maksimum, jika a<0 maka nilai minimum. 2.3.1 Titik Puncak
Titik puncak dari fungsi kuadrat f( x) = a x2 + b x + c adalah titik yang diperoleh dengan mengambil koordinat dari pasangan nilai ekstrem dengan absisnya. Koordinat puncak dari fungsi kuadrat adalah titik P (-b/2a, D/4a). Titik P dinamakan maksimum jika a > 0 dan dinamakan titik minimum jika a < 0. Dari penentuan sumbu simetri ( xp ) dan nilai eksterm ( yp ) diperoleh titik puncak grafik fungsi kuadrat/parabola : ( Xp , Yp ) Posisi grafik fungsi kuadrat/parabola terhadap sumbu x ada 3 kemungkinan : a) Jika nilai D > 0, maka parabola memotong sumbu x di dua titik yang berbeda. b) Jika nilai D = 0, maka parabola meotong sumbu x di satu titik atau bisa dikatakan parabola (grafik fungsi kuadrat) menyinggung sumbu x (titik puncak) c) Jika D < 0, maka parabola tidak memotong di sumbu x (melayang di atas atau di bawah sumbu x)
dalam hal D < 0 dan a > 0 maka f( x) = a x2 + b x + c, akan menghasilkan nilai selalu positif (melayang di atas sumbu x)
dalam hal D < 0 dan a < 0 maka f( x) = a x2 + b x + c, akan menghasilkan nilai selalu negatif (melayang di bawah sumbu x)
5
2.4 Pertidaksamaan Kuadrat Semua pertidaksamaan yang ekuivalen dengan salah satu dari tiga bentuk pertidaksamaan berikut : ax +
2
+
2
bx + c < 0, ax
+
2
bx + c ≤ 0, atau ax
+
bx
c ≠ 0, dengan a ≠ 0 disebut dengan pertidaksamaan kuadrat
Sebelum masuk ke pertidaksamaan kuadrat, siswa perlu diajak untuk mengingat kembali penyelesaian persamaan kuadrat, yang dalam pertidaksamaan kuadrat menjadi pembuat nol bentuk kuadratnya. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini langkah-langkahnya : -
Jadikan ruas kanan nol
-
Uraikan bentuk itu atas faktor-faktor linear dan tentukan harga-harga nolnya (dengan menyelidiki, apakah diskriminan bentuk kuadratnya positif, nol atau negatif. Dan jika bentuk kuadratnya tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian bentuk linear, berarti bentuk kuadratnya tidak mempunyai pembuat nol, yaitu karena D < 0 maka: jika D < 0 dan a < 0, maka bentuk kuadratnya definit negatif.
-
jika D < 0 dan a > 0, maka bentuk kuadratnya definit positif
-
Jika D ≥ 0, faktorkan bentuk kuadratnya menjadi perkalian bentuk linear. Pembuat nol yaitu x1 dan x2 akan menjadi batas interval. Penyelesaian pertidaksamaan tersebut diperoleh dari hasil perkalian komponennya yaitu (x – x1) dan (x – x2), dengan mengingat: hasil kali dua bilangan bukan nol
adalah bilangan positif ji ka tandanya sama, dan bilangan negatif jika
tandanya berbeda. -
Atau setelah harga nol itu dilukis pada garis bilangan, kemudian periksa dengan sebarang nilai misal nol untuk menetapkan tanda “ + “ atau “ – “
-
Dapat juga penyelesaian persaman kuadrat didasarkan pada grafik fungsi kuadrat.
6
BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan
Fungsi f: R → R yang dinyatakan dengan f: x → ax 2 + bx + c dimana a, b, c R dan a ≠ 0 disebut fungsi derajat dua atau lebih lazim disebut fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat f = ax 2 + bx + c mempunyai persamaan y= ax 2 + bx + c dan grafiknya berupa parabola. Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2. Pertidaksaman kuadrat yaitu semua pertidaksamaan yang ekuivalen dengan : 2
ax
+
bx
+
c
<
0, ax
2
+
bx
+
2
c ≤ 0, atau ax
+
bx
+
c ≠ 0, dengan a ≠ 0. Dalam
penyelesaian soal pertidaksamaan ini dapat dilakukan dengan mengikuti tahaptahap yang sudah penulis paparkan diatas.
3.2 Saran
Makalah ini adalah review dari beberapa sumber yang kami cantumkan sumbernya di daftar pustaka. Jika masih ditemukan kesalahan maupun kritika n dalam penulisan makalah ini, penulis menerima setiap masukkan yang pembaca berikan.
7
DAFTAR PUSTAKA
https://www.slideshare.net/lylabetavoice/makalah-fungsi kuadrat?from_action=save http://meetabied.wordpress.com Aldres, C.J. 1987. Aljabar Untuk SMTA Dan Yang Setingkat Jilid 2. Jakarta : Pradnya Paramita.
8
