9
Conducción y radiación de las paredes del aislante hacia el medio ambiente.
q
(T 3 − T a ) =
2π r 3 L (hc
+ hr )
(16)
Los flujos de calor considerados, se describen como:
Además se puede descomponer:
(T s − T a ) = Ts − T 1 + T 1 − T 2 + T 2 − T 3 + T 3 − T a (17)
Convección Interna. La corriente de fluido calienta las paredes internas de la tubería.
q
=
2 π r 1 L hc1 (T s − T 1
(T s − T 1 ) =
q 2 π r 1 L hc1
)
En flujo continuo, el flujo de calor que atraviesa el sistema completo de tuberías concéntricas equivalen al flujo de calor que atraviesa un componente del sistema en particular.
(13)
Con las ecuaciones (13), (14),m (15) y (16), se obtiene:
Conducción en la Tubería. El El calor atraviesa las paredes de la tubería. q
=
2π L λ t (T 1
− T 2 )
(T s − T a ) =
ln(r 2 / r 1 )
(T 1 − T 2 ) =
q Ln( r 2 / r 1 ) 2π Lλ t
q 2 π L
q
1
hc 1 r 1
+
Ln(r 2 / r 1 ) λ 1
+
Ln(r 3 / r 2 ) λ 2
+
r 3 (hc . + hr )
(14)
1
(18) Al resolver de la expresión (18) para el flujo de calor, se obtiene:
Conducción a través de las paredes del aislante.
(T 2 − T 3 ) =
q Ln( r 3 / r 2 ) 2π Lλ a
(15)
q=
1
r 1 hc i
+
2π L (T s − T a ) ln( r 2 / r 1 ) ln( r 3 / r 2 ) λ 1
+
λ a
+
1
(19)
r 3 ( hc + hr ) 9
10
La expresión para el flujo de calor, que atraviesa un sistema de tuberías concéntricas se suele escribir de la forma siguiente.
q = 2 π r * L U (T s − T a )
(20)
En expresión anterior, la variable U se conoce como coeficiente de transferencia de calor total. Al comparar las expresiones (19) y (20) se observa una expresión para el coeficiente U.
1
U =
*
r
r i hc i
*
+
r ln ( r 2 / r 1 ) λ t
+
r * ln( r 3 / r 2 ) λ a
+
r *
(21)
r 3 ( hc + hr )
En la expresión anterior, la variable r * se conoce como radio de referencia y puede tomar el valor de cualquiera de los radios que intervienen en las áreas de flujo de calor denotadas en el esquema inicial.
Procedimiento para obtener el flujo de calor en un Sistema de Tuberías concéntricas concéntricas en en superficie. superficie. Cuando se quiere aplicar la ecuación (20) para obtener el flujo de calor se requiere obtener el coeficiente U Sin embargo, . para hallar el coeficiente de transferencia total implica conocer la temperatura de la superficie externa del aislante, en este caso desconocida. El procedimiento propuesto se compone:
Suponer la temperatura T 3 .
Hallar los coeficientes de transferencia hc y hr . Obtener el coeficiente total U con expresión. (21). Hallar el flujo de calor con expresión (20). Hallar el coeficiente de transferencia U 2 con (23).
Resolver para T 3 de (22) y comparar con el valor supuesto.
2.2.2 CALCULO DE PERDIDAS DE CALOR EN EL POZO. Willhite plantea el siguiente esquema para desarrollar su propuesta de cálculo de pérdidas de calor en el pozo en el cual se inyecta un fluido con temperatura Ts.
Si solo se considera el flujo de calor hasta la superficie externa del aislante, entonces, el flujo de calor se obtiene con la expresión (20), escrita como: q2
=
2 π r L U 2 (T s − T 3 *
)
(22)
En este caso, el coeficiente de transferencia U 2 se calcula como: U 2
=
1
r * r i hc i
+
r * ln ( r 2 / r 1 ) λ t
+
r * ln( r 3 / r 2 ) λ a
(23) Suposiciones: Se desprecian pérdidas por efectos de energía cinética (Ek), energía potencial ( Ep) y fricción. 10
12
iterativo que, en este caso, depende de la presencia ó ausencia del aislante.
⋅
Tubería Inyección Inyección Sin Sin Aislante. Aislante.En este caso la ecuación para obtener U se transforma a: U −1
Para flujo continuo, el calor que fluye a través del sistema de tuberías equivale al flujo de calor por conducción a través del cemento. Se iguala en flujo dado por la expresión (24) con el flujo a través del cemento y se resuelve para la temperatura en la cara interna del cemento T 4. 2π r * U (Ts − T h ) Z =
r * r * ln (r h / r 5 ) = + λ s (hc + hr )
= T h +
r * U (T s
temperatura en la cara interna del cemento T 4 . Se desarrolla un procedimiento de la forma siguiente. Para flujo continuo, el calor que fluye a través del sistema de tuberías equivale al flujo de calor a través de la formación. Se igualan, luego, la expresión (21) y (23) y se resuelve para T h.
− T r ) Z
f (t ) T h
=
= 2π r * U (Ts − T h ) Z
λ r T r + Ts f (t ) U r * λ r + U r f (t ) *
formación y λ r la conductividad de la formación.
(30)
Procedimiento Procedimiento para para el el Cálculo Cálculode de Calor. Calor El procedimiento usado propuesto de tubería sin aislante, se detalla. - Suponer T 4 y evaluar los coeficientes hc y hr . - Hallar el coeficiente U utilizando la ecuación (28). - Hallar T h utilizando la (29). - Hallar T 4 con la ecuación (30) y comparar con el valor supuesto. - Calcular el flujo de calor q . Tubería Inyección Inyección con con Aislante. Aislante. Para el cálculo de flujo de calor en tubería con aislante se ignoran las pérdidas a través del cemento. Así la expresión para hallar U varía a:
(29)
En las expresiones anteriores, la variable T r indica la temperatura de la
− T h ) ln (r h / r 5 ) λ s
Para obtener hc y hr se requiere la temperatura conocida del fluido y la
2π λ r (T h
Ln ( r h / r 5 )
(28) T 4
2π Z λ s (T 5 − T h )
U −1
=
r * ln ( r 2 / r 3 ) λ a
+
r * r 3 (hc
+ hr )
(31)
Para usar la ecuación (31) se requiere conocer la temperatura de la superficie externo del aislante y la correspondiente a la superficie del casing T 4 , en este caso, equivalente a la temperatura en la cara de la formación T h . 12
13
La expresión para el calor transmitido por conducción a través del aislante, se detalla como: q
=
2 π Z λ a (T 2
− T 3 )
ln(r 3 / r 2 )
(32)
Al igualar esta expresión con la correspondiente al flujo a través del sistema de tuberías completo y resolver para T 3 , se tiene:
2 π r U Z (T s *
− T h ) =
2π Z λ a (T 2
− T 3 )
ln(r 3 / r 2 )
*
T 3
= T 2 −
U r ln(r 2 / r 3 ) λ a
(33)
Para flujo continuo, el flujo de calor en la formación equivale al flujo de calor en el aislante, luego:
q=
2π λ r (Th − Tr ) Z f (t )
=
2π Z λ a (T 2
− T 3 )
T 4
=
− T 3 ) f (t )
ln(r 3 / r 2 )
.
λ r
+ T r
Suponer la temperatura externa del aislante T 3. Hallar la temperatura del revestimiento T con (34). 4 Hallar el coeficiente total U de (31). Hallar la temperatura del aislante con (33) y comparar con el valor supuesto.
2.3 BALANCE DE CALOR DURANTE LA INYECCIÓN DE UN FLUIDO MONOFÁSICO. En las secciones anteriores se presentan las ecuaciones y procedimientos para obtener el flujo de calor hacia el medio circundante desde un sistema de tuberías concéntricas en el cual fluye un fluido a alta temperatura. Cuando el fluido se trata de vapor húmedo saturado, la temperatura se mantiene constante é igual a la temperatura de saturación del vapor. Las pérdidas de calor ocurren a expensas del calor latente de vaporización, es decir, la calidad del vapor disminuye en la dirección de flujo. Cuando se trata de agua caliente ó vapor sobrecalentado, las pérdidas de calor permiten la disminución de temperatura debido a la pérdida de calor sensible a lo largo de tubería de inyección y se requiere, entonces, conocer la distribución de temperatura para luego calcular el contenido de calor a la profundidad de inyección. 2.3.1 Distribución De Temperatura Con Con Distancia. Distancia. Dada la situación descrita en el siguiente esquema, hallar la distribución de temperatura en función de la posición x.
ln(r 3 / r 2 )
Al resolver para T 4 , se obtiene: h , igual a T
λ a .(T 2
(34)
Procedimieno Procedimieno Para Para Obtener Obtener El El Flujo Flujo De De Calor. Calor Un procedimiento propuesto se detalla.
Blce Energía ∆Ec = 0 ∆Ev = 0 Pérdidas fricción = 0
13
14
donde: Ta = Temperatura ambiente ∆x = Longitud tramo Tf = T2. = Temperatura del fluido al final del tramo T2. T1 = Temperatura del fluido al comienzo tramo
.
q
Se obtiene un balance energético entre los dos extremos del tramo ignorando: cambios en energía cinética, cambios en energía potencial, pérdidas de energía por fricción, pérdidas de calor por trabajo involucrado en el flujo, pérdidas energéticas por eventos de depositación etc.
U2
.
q
= 2 π r , U ∂ x (T − Ta ) = − m Cp ∂ T
Al separar variables, se obtiene:
Ecuación de balance de energía.
2 π r , U ∂T = − ∂ x . (T − Ta ) m Cp
P2 V2 ) − (U1
+ P1 V1 ) = q = H2 − H1 = ∆ H
(32)
donde: : Energía interna del fluido. Ui
Se aplica el siguiente reemplazo para simplificar el desarrollo: A =
: Volumen específico. : Entalpía. : Calor que atraviesa el sistema.
x
= 2 π r , U ∆X (T − Ta )
−
.
(33)
m Cp 2 π r , U
dx A
(36)
T
dT (T − Ta ) x = ln = − A − ( T Ta ) − T Ta ( ) 0 T0
=∫
al resolver para Tf de la ecuación anterior, se encuentra que:
T
= Ta + (T0 − Ta )
l
− x A
(37)
∆H .
.
∆H = m Cp ∆T = m Cp (T2 − T1 )
∫ 0
De la definición del calor específico se resuelve para C p y se encuentra una expresión alterna para el cambio de la entalpía
(35)
.
El flujo de calor hacia el ambiente se representa como:
q
al considerar el incremento en distancia lo suficiente pequeño de forma que el incremento se iguale al diferencial, se obtiene:
− U1 + P2 V2 − P1 V1 = q
(U2 +
Vi Hi q
= 2 π r , U ∆X (T − Ta ) = − m Cp (T2 − T1 )
(34)
Con la expresión anterior se obtiene la temperatura del fluido monofásico cuando este fluye a través de un sistema de tuberías concéntricas en superficie. El procedimiento propuesto consiste:
la comparación las expresiones anteriores se puede encontrar que: 14
15
Procedimiento Propuesto para encontrar el perfil de temperatura. temperatura. Fijar un tramo de longitud ∆X Suponer una temperatura del fluido T al final del tramo considerado. Hallar la temperatura promedio en el tramo T .
Hallar el coeficiente de transferencia de calor U con T como temperatura del fluido. Calcule la variable muda A con ecuación (36). Calcular la temperatura del fluido T y comparar con el valor supuesto.
Observación: De acuerdo a la expresión (37) la temperatura del fluido se aproxima a la temperatura ambiente cuando la distancia cuando la distancia ∆X toma un valor alto. Se puede diseñar un método alterno que involucre en forma simultánea las pérdidas de calor y presión en flujo monofásico. 2.3.2 Variación De La Temperatura Con La Profundidad. Profundidad.Se considera el La Temperatura siguiente esquema descriptivo en el cual se selecciona un tramo de tubería dado (∆Z):
( H 2
− H 1 ) + m
g (Z 2 gc
− Z 1 ) +
m( V 22
− V 12 )
2 gc
= Q 2 − Q1
Al asumir el incremento en profundidad igual al diferencial se encuentra que: g m dH + m dz + Vd v = dQ gc g al desprecia luego el cambio en energía cinética, se llega entonces a: mgdZ = dQ dH + gc Ahora de las relaciones fundamentales en termodinámica se conoce que: dH = dU + PdV +VdP pero para fluidos incomprensibles no se presenta cambio en volumen específico (dV = 0) y por lo tanto la ecuación desarrollada se simplifica a: g dU + m dZ + VdP = dQ gc ahora, en flujo flujo vertical, despreciando fricción, las perdidas de presión son equivalentes al efecto gravitacional lo cual permite simplificar aún más la expresión anterior: g g dU + m dZ − m dZ = dQ gc gc dU = dQ
Ecuación de balance de Energía.
H 1 + m
g
2 mV 1
−Q Z 1 + gc 2 gc
= H 2 +
mg Z 2 gc
+
2 mV 2
2 gc
se puede utilizar además una expresión equivalente para el cambio en energía interna:
− Q2 →
dU = -m . Cv dTf
15
16
se reconoce, por lo tanto, al igualar las dos últimas expresiones que: dQ = -m . Cv dTf al dividir la ecuación diferencial anterior por el diferencial de profundidad se obtiene: dQ dZ
.
= −Cv . m .
dT f dZ
f ( t ) 1 dTf − mCv + + (Tr − Tf ) = 0 2π λ r 2π r U dZ r U f ( t ) + λ r dTf − mCv + (Tr − Tf ) = 0 2π λ r r U dZ
(38) para simplificar el manejo de la ecuación anterior se presenta una variable A:
r U f ( t ) + λ r 2π λ r r U
se conoce igualmente que :
A = mCv
dQ = 2πr. U . dZ (Tf - Th) resolviendo para la temperatura en la cara de la formación Th, se obtiene: dq Th = T f − (39) . 2π r U dZ de la expresión (4.23) para hallar el flujo de calor hacia la formación se conoce que:
dq =
(43)
se puede ahora reescribir la ecuación anterior (42) como:
− A
dTf dZ
+ Tr − Tf = 0
(44)
La temperatura de la formación se podrá escribir como: Tr = Ta + a.Z (45) donde Ta representa la temperatura de superficie y la variable a, el gradiente geotérmico. La ecuación (45) se reemplaza en la ecuación (44) y se llega a:
) 2π dZ .λ r .( Th− Tr
f ( t ) dq. f ( t ) Th = Tr − ) dZ 2π r λ ( r
(4.40)
al operar la ecuación (4.40) menos la ecuación (4.39) se encuentra :
dq f ( t ) 1 + (T r − T f ) = 0 + dZ 2π λ r 2π r U
(42)
− A
dTf
dZ dTf
al reemplazar la expresión (4.38) en la (4.41), se encuentra:
+ aZ + Ta − Tf = 0
Al dividir por la constante A, se obtiene dTf
(41)
dZ
dZ
a
Ta
A
A
a
Ta
A
A
+ Z + − Z −
−
Tf
−
Tf
A
A
=0 = 0
(46)
la ecuación diferencial (46) permite encontrar una función que determina la temperatura del fluido en fución de la profundidad Z. La siguiente es la 16
17
propuesta de solución: al multiplicar por dZ, la ecuación (46) asume la siguiente forma: dTf −
a A
Ta
zdZ −
A
dZ +
Tf A
dZ = 0
Ti = Ta ¨-aA + C C = Ti - To + aA
Se construye el factor integrante l Z / A ; luego: Z / A
l
dTf + l Z / A
Z / A
Tf l
=
aZ
∫ A
aZ
∫ A
Tf A
l
dZ +
Tf l Z / A
=
Tf l Z / A
= To l Z / A + a
l
Z/ A
To
∫ A dZ
l
Z/ A
dZ + Tol Z / A
∫
Z l Z / A A
dZ
(47)
Al tratar de resolver la integral del término a la derecha en la ecuación (47) se obtiene: a
∫
a
∫
Z l Z / A A
dZ
Z / A
l
A
ZdZ
⇒ U=Z, dU = dZ, dV =
= a Zl Z / A −
∫
l
Z/ A
Z / A
l
A
(50)
Se puede observar de la ecuación (49) y (50) que:
aZdZ Ta dZ = l Z / A dZ l Z / A → + A A
Z/ A
para encontrar la constante C se nota que cuando Z = 0 ⇒ Tf = Ti = temperatura del Fluido en superficie. Por lo tanto, de la ecuación (49) se obtiene:
dZ y V = l Z / A
dZ
Tf l Z/ A = To l Z/A + aZ l Z/A - aA l Z/A + [Ti - To + aA ]
(51)
finalmente se obtiene que: Tf = Ta (t) + a Z - a A + [ Ti - To + a A] l -Z/A
(52)
Tf (z,t) = Ta + a(Z-A) + [Ti - Ta + a A]l -Z/A
(53)
La ecuación (53) es válida para líquidos a través de la tubería inyección en la cual: Tf(z,t) :Temperatura a cualquier profundidad Z en pies t : tiempo en días luego de iniciar la inyección. a gradiente geotérmico To :temperatura de la tierra en superficie Ti :temperatura inicial ó del fluido en Superficie m :tasa inyección de líquido (lbs/día) Cv :calor específico líquido :conductividad de la tierra λr r* :radio referencia, generalmente radio interno de la tubería. Además, se nota que de la ecuación (40):
= a[ Zl Z / A − Al Z / A ]
(48)
dq dZ
=
(Th − Tr ) − 2πλ r f (t )
(54)
luego se obtiene al reemplazar la ecuación (48) en la (47): al reemplazar la ecuación (59) en la (44), se obtiene: Tf l Z/A = Ta l Z/A + aZ l Z/A - aA l Z/ A + C
(49) 17
18
(Th − Tr )2πλ r , f ( t ) λr Trλ r (Th − Tr )λ f = Tf − Th = Tf − → Th1 + f (t )r *U r * U f (t ) r * U f (t ) Th = Tf −
Th =
1
2π r * U
+ Tr λ r (r *U f (t ) + λ r )
r * U f ( t )Tf
(55)
Al plantear el equilibrio térmico se tiene: H1 = H2 +Q .
Procedimiento propuesto. - Asumir un Tf. - Calcule Tf promedio y Tr - Calcule U - Calcule A. Ecuación (43) - Calcule Tf con ecuación (53) y compare - Calcule Th - Incremente Z.
.
.
m h1 = m h2 + m q .
m (h1-h2)
.
= m q = Q
.
m (hf 1 + X 1. hfg1 - hf 2 -X 2. hfg2) = 2πr* U L (Tf - Ta)
Considerando que las pérdidas de presión son despreciables se puede simplificar: hf 1 = hf 2, hfg1 = hfg2 .
Nota: observar ejercicios planteados del libro 3.
m hfg (X 1 - X 2) =2πr* ∆L.U (Tf - Ta)
X 1 - X 2 = 2πr*.L .U(Tf- Ta) 2.3.3 Calculo de la variación variación de de la la calidad. calidad. (X). (X). Cuando se tiene vapor húmedo saturado la temperatura del fluido permanece constante siempre que la calidad - contenido de vapor - sea mayor que cero a medida que transcurre el flujo ya sea en la línea ó en la tubería. Se presentan a continuación los métodos para obtener la variación de la calidad en la dirección de flujo para la situación descrita.
⋅
Variación Variación De La Calidad en Las Lineas Superficiales. Superficiales. Considere la situación descrita a continuación y calcule la calidad del vapor al final del tramo:
X 2
= X 1 −
2π r * ∆L.U (Tf
− Ta )
.
m ( hfg ) .
X 2
= X 1 −
Q .
(56)
m ( hfg )
⋅
Cambio de Calidad Del Vapor Con Profundidad. Profundidad. Se presenta la propuesta de Satter 9 para obtener la pérdida de contenido de vapor calidad - del fluido inyectado con la profundidad cuando este es vapor saturado húmedo.
Al realizar un balance energético entre los puntos 1 y 2 del gráfico señalado a continuación se puede obtener: 18
19
al recordar el procedimiento para obtener las pérdidas de presión y al utilizar la ecuación (4.26) en la anterior se obtiene:
.
E 2 - E1 = Q
λ rTr + r*.U . Tf . f (t ) = λ r + r*.U f ( t )
q = 2π r*.U dZ Tf −
λ rTf − Tf r * U f ( t ) + λ rTr + r * U Tf f ( t ) λ r + r * U f ( t )
2π r * .U .dZ
λ rTf + λ rTr 2πr *U .dZ .λ r .(Tf − Tr ) (59) = λ r + r *U f (t ) λ r + r * U f ( t )
dq = 2π r * U .dZ
En cada uno de los puntos señalados se identifican los siguientes estados energéticos: - Energía Interna, Energía Presión, Energía Cinética, Energía Potencial. No obstante, al despreciar los cambios en energía cinética y las pérdidas de fricción y considerando flujo descendente y pérdidas de calor flujo que sale-: H 2
− H 1 +
dq = - ( h2
mg 778 gc
− h1 ) +
( Z2 − Z1 ) Sen (270) = g 778 gc
al igualar la ecuación (58) y la (59), se obtiene: 2π r * U dZ λ r (Tf − Tr ) λ r + r * U f ( t )
. g = − hfg dX − dZ m 778gc
- dQ
( Z2 − Z1 ) = − dh +
g 778 gc
.
dZ
(57)
se conoce igualmente que dh se puede aproximar a:
dZ (Tf − Tr ) = −
(λ r + r * U f ( t ))hfg .mdX
+
2π r * U λ r
g
.
mdZ 778gc
[λ r + r * U .f ( t )]
2π r * U .λ r
dh = - m hfg dX
para simplificar el manejo algebraico se reemplaza las variables siguientes en la ecuación anterior:
la ecuación (4.57) se transforma al usar el reemplazo anterior como:
[ λ r + r *U × f (t )]hfg. m y B = A =
.
.
.
.
dq = - m . hfg dx + m
g 778 gc
además, se conoce que: dq = 2πr* U (Tf - Th)dZ
dZ
2πr * U . λ r
(58) dZ(Tf - Tr)= - AdX + B . A dZ
g gc × hfg × (778)
(60) (61)
se reemplaza luego en la ecuación (61); la ecuación (45) para la temperatura de la, formación : 19
20
dZ(Tf - aZ - Trzo) + AdX - B.A dZ = 0 AdX = B. A.dZ - dZ(Tf - aZ - Trzo) = BAdZ - TfdZ + aZ dZ + Trzo dz
A X
= ( B A − T + Trzo ) Z +
a Z 2 2
A X
= ( B A − T + To + a Zo ) Z +
A X
=
a Z 2 2
( (To − T ) + BA + a Zo ) ∆Z A
+
a ( ∆Z )
2
2 A
X − Xo ( (To−T )+ B A+ aZo ) a(∆Z ) = (62) + A 2 A ∆ Z En estas ecuaciones se tiene: X
: Calidad del fluido en el pozo.
∆Z
: Incremento en distancia.
m
: Tasa de inyección. (libm/t)
hfg
: Calor latente de vaporización.
G Gc. Zo T0
: gravedad. : constante de conversión. : profundidad a la cual se conoce X.o : temperatura en superficie. : temperatura del fluido.
T
778= Factor de conversión. 1 BTU = 1.055kJ = 778 Pie - Lbf 20
