FUNGSI NON LINEAR
Kuliah ke-2
Senin, 14 Mei 2012
1
Pendahuluan •
•
•
Kurva non linear → suatu persamaan yang grafiknya tidak berupa garis lurus. Sebagian dari model ekonomi linear merupakan penyederhanaan dari hubungan yang non linear → linearisasi dari model non linear.. linear Terdapat 4 macam bentuk fungsi non linear yang paling sering dijumpai yaitu fungsi kuadrat parabolik parabolik,, fungsi kubik, kubik, fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik. logaritmik. 2
I. Fungsi Kuadrat •
•
Fungsi kuadrat (fungsi berderajat 2) → fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua. Gambar dari fungsi kuadrat dapat berupa lingkaran, elips, hiperbola maupun parabola → tergantung dari posisi pemotongan suatu bidang kerucut.
3
Lanjutan Fungsi Kuadrat.....
•
•
•
•
Lingkaran → jika bidang kerucut dipotong dengan posisi mendatar. Elips → jika bidang kerubut dipotong dengan posisi menyerong. Hiperbola → jika bidang kerucut dipotong dengan posisi tegak lurus, tetapi bukan pada pertengahan kerucut. Parabola → jika bidang kerucut dipotong menyerong pada separuh bidang kerucut. 4
Lanjutan Fungsi Kuadrat.....
5
Identifikasi Persamaan Kuadrat •
Persamaan kuadrat yang umum adalah: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
•
Paling tidak salah satu A atau C ≠ 0 dapat diidentifikasi gambar dari persamaan:
Jika B = 0 dan A = C → kurvanya sebuah lingkaran
Jika B2 – 4AC < 0 → kurvanya sebuah elips
Jika B2 – 4AC = 0 → kurvanya sebuah parabola
Jika B2 – 4AC > 0 → kurvanya sebuah hiperbola 6
Lanjutan Identifikasi Persamaan Kuadrat.....
•
Apabila B = 0, dengan A atau B ≠ 0 → prosedur di atas dapat disederhanakan menjadi:
Jika A = C → kurva merupakan lingkaran
Jika A ≠ B, tetapi bertanda sama → kurva merupakan elips
Jika A = 0 atau C = 0, tetapi tidak keduanya → kurva merupakan parabola
Jika A dan C berlawanan tanda → kurva merupakan hiperbola 7
Kurva Lingkaran •
•
•
•
•
Lingkaran → tempat kedudukan titik-titik yang berjarak tetap terhadap sebuah titik tertentu yang disebut pusat. Jarak titik tersebut terhadap pusat → jari-jari lingkaran. Bentuk umum persamaan: Ax2 + Cy2 + Dx +Ey + F = 0 ( A = C dan B = 0) Dengan memanipulasi bentuk umum persamaan, diperoleh bentuk baku rumus lingkaran: (x-h)2 + (y-k)2 = r2 Dimana: (h, k) → titik pusat lingkaran → jarak pusat lingkaran terhadap sumbu vertikal –y dan sumbu horizontal –x ; r = radius atau jari-jari. 8
Lanjutan Kurva Lingkaran..... •
Dari nilai r-nya dapat diketahui bentuk kurva lingkaran:
Jika r2 < 0 → tempat kedudukannya tidak nyata → persamaan tidak dapat disajikan secara grafik.
Jika r2 = 0 → tempat kedudukannya akan berupa sebuah titik → lingkaran dengan jari-jari = 0.
Jika r2 > 0 → tempat kedudukannya berupa lingkaran. 9
Kurva Elips •
•
•
•
Elips → tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Elips mempunyai 2 sumbu simetri yang saling tegak lurus → yang panjang disebut mayor dan yang pendek disebut minor. Titik dimana kedua sumbu berpotongan disebut pusat elips. Bentuk umum persamaan: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 ; A setanda tapi tidak sama besar dengan C. 10
Lanjutan Kurva Elips..... •
Dengan memanipulasi bentuk umum persamaan, diperoleh bentuk baku rumus elips: 2 2 x h y k 2
r 1 •
r 2
2
1
Dimana: r1 → jari-jari panjang ; r2 → jari-jari pendek ; (h, k) → pusat elips: sumbu mayor sejajar dengan sumbu x jika r1 > r2 Sumbu mayor sejajar dengan sumbu y jika r1 < r2 11
Lanjutan Kurva Elips.....
•
Gambar a → kondisi r1 > r2
•
Gambar b → kondisi r1 < r2
12
Kurva Hiperbola •
•
•
•
•
Hiperbola → tepat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap 2 fokus selalu konstan. Hiperbola mempunyai 2 sumbu simetri yang saling tegak lurus dan sepasang asimtot. Perpotongan antara sumbu-sumbu simetri (antara asimtot-asimtot) disebut pusat hiperbola. Sumbu simetri yang memotong hiperbola → sumbu lintang. Sumbu lintang dapat berupa garis yang sejajar dengan sumbu -x atau sejajar dengan sumbu –y → tergantung bentuk hiperbolanya. 13
Lanjutan Kurva Hiperbola..... •
Bentuk umum persamaan hiperbola: Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 A berlawanan tanda dengan B
•
Dengan memanipulasi bentuk umum diperoleh bentuk baku rumus hiperbola:
x i
2
m •
•
2
y j
persamaan,
2
n
2
1
Dimana: (i, j) adalah koordinat titik pusat hiperbola. Sumbu lintang sejajar sumbu –x → lihat gambar a (di slide 18) 14
Lanjutan Kurva Hiperbola..... •
Atau:
y j
2
n •
•
2
x i
2
m
2
1
Dimana: (i, j) adalah koordinat titik pusat hiperbola. Sumbu lintang sejajar dengan sumbu -y →lihat gambar b (di slide 18)
15
Lanjutan Kurva Hiperbola.....
•
Gambarnya:
16
Kurva Parabola •
•
•
•
Parabola → tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direktriks. Setiap parabola mempunyai sebuah sumbu simetri dan sebuah titik ekstrem. Sumbu simetri parabola dapat garis yang sejajar dengan sumbu vertikal –y atau berupa garis yang sejajar dengan sumbu horizontal –x. Titik ekstem parabola → titik potong antara sumbu simetri dan parabola itu sendiri. 17
Letak Titik Ekstrem Kurva Parabola •
Terdapat 4 kemungkinan letak titik ekstrem, yaitu:
18
Persamaan Parabola •
•
•
•
•
Bentuk umum persamaan: Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 Salah satu, A atau B, sama dengan nol. Jika sumbu simetri sejajar dengan sumbu vertikal maka: y = Ax2 + Bx + C ; A ≠ 0 Parabola terbuka ke bawah jika A < 0 ; parabola terbuka ke atas jika A > 0. Jika sumbu simetri sejajar dengan sumbu horizontal maka: x = Ay2 + By + C ; A ≠ 0 Parabola terbuka ke kanan jika A > 0 ; parabola terbuka ke kiri jika A < 0. 19
Titik Ekstrem Parabola •
Titik ekstrem parabola (i, j):
b b 2 4ac 2a , 4 a •
Dimana:
-b/2a → jarak titik ekstrem dari sumbu vertikal –y
b2-4ac/-4a → jarak titik ekstrem dari sumbu horizontal –x.
20
II. Fungsi Kubik •
•
•
•
•
Fungsi kubik (fungsi berderajat tiga) → fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat tiga. Bentuk umum: y = A + Bx + Cx2 + Dx3 ; D ≠ 0 Setiap fungsi kubik setidak-tidaknya mempunyai sebuah titik belok → titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atau dari cembung menjadi cekung. Setiap fungsi kubik mempunyai 1 titik ekstrem (maksimum atau minimum) atau 2 titik titik ekstrem (maksimum atau minimum). Keberadaan titik ekstrem tergantung pada nilai B, C dan D dalam persamaan → menentukan bentuk kurva. 21
Kurva Fungsi Kubik (Tanpa Titik Ekstrem)
22
Kurva Fungsi Kubik dengan Titik Ekstrem
23
III. Aplikasi dalam Ekonomi •
Penerapan persamaan non linear dalam ekonomi:
Permintaan, penawaran dan keseimbangan pasar
Fungsi biaya
Fungsi penerimaan
Keuntungan, kerugian dan Pulang-pokok
Fungsi utilitas
Fungsi produksi
Transformasi produk 24
