TMS. TMS. 61619- MA MATEM TEMA ATIKA TIKA II II FARRADINA CHORIA SUCI 13 / 02/ 2017
1
Not Notasi Sigma Sigma (
)
2
Integral Tentu
3
Teore orema Dasar Kalkulus I
4
Teor eorema ema Dasar sar Kalk Kalkul ulu us II
5
Mini Test Test at atau Responsi
Not Notasi Sigma Sigma (
1
Notasi Sigma merupakan notasi yang digunakan untuk menyatakan penjumlahan bilangan penjumlahan bilangan. Notasi sigma :
=
=
⋯ dan ⋯ Sebagai contoh :
2 5 2 10 =
4 100 4 400 400 =
n suku
)
Sifat dan rumus sigma :
=
=
1. 1.
=
=
=
=
=
2. 2. ( ) ( ) =
3. 3. ( ) ( ) = = = = = = ( 1) 4. 4. 1 2 3 ⋯ ( 2 = 1)(2 1) 5. 5. 1 2 3 ⋯ ( 1)( 6 = ( 1) 6. 6. 1 2 3 ⋯ 2 = ( 1)(2 1) (2 1)(3 1) (3 3 3 1) 7. 7. 1 2 3 ⋯ 30 =
Contoh Soal:
6(7) 1. ( 1) 1 2 6 1 15 = = = (1) 2 (1)2 (1)2 (1)2 (1)2 (1)2 1154 2. ( 1) (31) (41) (5 1)1) (61) (71) 105 =
=
=
=
=
=
3. 3. ( 1)(4 3) 4 3 4 4 3 Cari rumus untuk :
= 4(385) = 1455
–
55
–
3(10)
=
=
=
=
=
4. 4. ( 2)( 2)( 5) 3 10 3 10 (+)(+)
= =
3 (+) 10
2 3 1 9 9 60 3 34) ( 34 ) 3
5. Seor Seoran ang g ped pedagan agang g jeru jeruk k men menyusu yusun n jeru jeruk k dalam tumpukan piramida seperti gambar di samping. Hitung berapa banyak jeruk dalam tump tumpuk ukan an ter tersebu sebut? t? Sele Selesa saik ikan an deng dengan an notasi sigma Penyelesaian:
1 2 3 ⋯7 ( ( 1 )(2 )( 2 1) 6 = 7(8)(15) 6 (56)(15) 6 140
Integral Tentu
2
Integral tentu dikonstruksi dengan jumlah Riemann yang menggambarka menggambarkan n luas daerah. daerah. Misal Misal fungsi f (x) terdefinisi pada
selang tutup [a, b]. Lang Langka kah h: 1.
Partisi selang [a,b] menjadi n selang dengan titik pembagian a
ck a
x
1
P
xk 1 x k
b
x0 x1 ... xn
{a
x0 , x1 , x2 ,..., b
2. Definisikan panjang partisi P, sebagai
|| P || Maks Maks | x k |, x k x k x k 1 1 k n 1
, xk ]
xn }
disebut disebut titik titik partisi partisi dari dari [a,b].
xk
3. Pilih ck [ xk
b
k = 1, 2, ..., n
4. Bent Bentuk uk juml jumlah ah Riem Rieman ann n
f (ck )
n
Rp = f (ck ) xk
ck
a
x 2 xk 1 xk
b
k 1
xk
Jika Jika || P || 0 , maka maka diper diperole oleh h limit limit jumlah jumlah Riema Riemann nn n
f (ck ) xk 0
lim
|| P ||
k 1
Jika limit ini ada, maka dikatakan f terintegralkan Riemann pada selang [a,b [a,b], ], dan dan ditu dituli lis s seba sebaga gaii b
n
n
f (ck ) xk lim f (ck ) xk f ( x) dx lim n k 1 ||P||||0 k 1 a
2
Contoh: Hitung Jawab : Langkah
x 2 dx
0
(i) (i) Part Partis isii sela selang ng [0,2 [0,2]] menj menjad adii n bagi bagian an yang ang sama sama panj panjan ang, g, x
0
x 2
x
1
xi 1
x i
sehingga x
0
0
x1 0 x x
2
x
x
x
2 n
0 2 x
2.2 n
………………………
………………………
xi 0 ix
2i n
x
n
1
2
x
2 n
(ii) Pilih ci
xi
(iii) Bentuk jumlah reiman n
n
n
f ci xi ni 2 n 2
i 1
2
i 1
4i n
2
n 4
i 1
2 n( n 1 ) 4 n 2 2 n n 2 n 4
(iv) Jika
n
2
0
x 2 dx lim n
2 2 2 n
4 n
2
n
4
n
i n 1 i 1
i 1
Contoh Soal (1)
1
Hitung jumlah Riemann pada interval [-1,2] dengan menggunakan titik-titik partisi berjarak sama -1 < -0,5 < 0 < 0,5 < 1 < 1,5 < 2, dengan titik sampel berupa titik tengah dari interval bagian bagian ke-k .
Penyelesaian :
()∆ =
0, 0,75 75 0, 0,25 25 0,2 0,255 0,7 0,755 1,25 25 1,7 1,755 (0,5 (0,5)) 1,5625 5625 1,0625 0625 1,0625 0625 1,5625 5625 2,5625 5625 4,0625 0625 0,5 5,9375
Contoh Soal (2) Hitung jumlah Riemann (Rp) untuk
1 2 4 5 2 8
pada interval [0,5] dengan menggunakan partisi P dengan titik-titik partisi 0 < 1,1 < 2 < 3,2 < 4 < 5 dan titik-titik sampel yang berpadanan =0,5; =1,5; =2,5; =3,6; dan =5. Penyelesaian :
()∆ =
0,5 1,1 0 1,5 2 1,1 2,5 3,2 2 3,6 4 3,2 5 5 4 7,875 1,1 3,125 0,9 2,625 1,2 2,944 0,8 (18)(1) 23,9698
Catatan: Catatan: Integral tentu berkaitan dengan luas daerah. Jik Jika terda erdapa patt
fung fungsi si y = f(x) f(x) dan dan sumb sumbuu-xx dal dalam int interv erval
selang [a,b], maka yang bertanda positif dikaitkan untuk luas bagian-bagian yang berada diatas sumbu-x antara garis x = a dan dan x = b, seda sedang ngk kan ta tand nda a neg negat atif if dik dikaitk aitkan an untu untuk k luas luas bagian-bagian yang berada di bawah sumbu-x
y
ℎ
Aatas x
a
b
Abawah
Sifat ifat integra integrall tentu tentu b
1. Sif Sifat at line linear ar :
b
p f ( x) q g( x) dx p f ( x) dx q g ( x) dx a
a
c
2. Jika Jika a < b < c, maka maka a
3. f ( x) dx 0 dan a
b
b
a
b
c
f (x ) dx f ( x ) dx f (x ) dx a
a
a
b
f x dx f (x ) dx a
b a
4. Bila f Bila f (x) ganjil , maka
f ( x) dx 0 a
a
5. Bila f (x) genap, maka
a
a
f ( x ) dx 2 f ( x ) dx 0
Contoh Soal (3)
Hitung − 3
Penyelesaian Penyelesaian : Partisikan interval [-2,3] menjadi n interval bagian yang sama, masing-masing dengan panjang Δx= 5/n. Dalam tiap interval [xk-1, xk] gunakan ck=xk sebagai titik sampel, maka
xk
k
Δ x
-2 + xk
Jadi, f(xk) = xk + 3 = 1 + k(5/n), sehingga
f(ck) k=1
Δxk
Δxk
f(ck)
f(ck)
k=1 k k=1 k k=1
k=1
Δ xk
Contoh Soal (4)
Hitung − 2 8
Penyelesaian Penyelesaian : Partisikan interval interval [-1,3] menjadi n interval bagian yang sama, masing-masing dengan panjang Δx= 4/n. Dalam tiap interval [xk-1, xk] gunakan ck=xk sebagai titik sampel, maka
4 1 ∆ ∆ 1 4 16 32 2 8 2 1 8 6
Akibatnya,
∆ ∆ 6 16 32 4 = = = 24 64 128 1 = = = 1 128 ( 1)(2 1) 24 64 2 6 24 32 1 1 128 2 3 1
Sehingga dapat disimpulkan bahwa,
∆
=
Diperoleh hasil negatif, hal ini terbukti dengan grafik di samping, dimana daerah sumbu-x nampak lebih luas daripada yang di atas sumbu-x
3
Teorema Dasar sar Kal Kalkulu ulus I
TDK I atau atau dapat dapat disebu disebutt dengan dengan Pendif Pendifere erensi nsiala alan n Integr Integral al Tentu. entu.
Jika fungsi f kontinu pada [a,b] dan x sebuah (variabel) titik dalam [a,b], a,b], maka
Seca Secara ra umum umum
x D x f (t ) dt f ( x) a u( x) '( x) D x f (t ) dt f u ( x) u '( a
v( x) D x f (t )dt f v( x) v '( '( x) f u( x) u '( x) u ( x)
Contoh: Hitung G’(x) dari x
a. G( x)
x
1 t 3
dt
b. G ( x )
1
x
2
1 t 3
dt
c.
G ( x)
4
a.
f (t ) 1 t
3
b. f (t ) 1 t 2 u ( x ) x
G ' ( x )
1 x
c.
f (t ) 1 t ( )
u x
( )
v x
f u ( x) 1 x 2
3
2 f u ( x) 1 x
2
x
3
3 f v( x) 1 x
x
G '( x)
G ' ( x)
2
2
1 ( x 2 ) 3
2 x 1 x 6
3
3
1 ( x3 ) 3
3 x
1 t 3 dt
3
3
x
Jawab: 3
3
1 x9
Dx( x 2x
3
) 1 ( x 2) 3 1 x6
Dx( x
2
)
Dx( x
2
)
4
Teorema Dasar sar Kalkulu ulus II
Misal f (x) kontinu pada [ a,b [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f (x).
Maka
b
f ( x) dx F (b) F ( a ) a
5
Contoh : Hitung
| x 2 | dx 1
Jaw Jawab :
x 2, x 2 f ( x) | x 2 | ( x 2) , x 2 5
2
5
1
1
2
| x 2 | dx x 2 dx x 2 dx 2
1 x 2 2 x 2 1
5
1 x2 2x 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 .2 2.2 .1 2.1 .5 2.5 .2 2.2 2 2 2 2 1 25 2 4 2 10 2 4 2 2 3 5 2 2 5 2 2
Met Metode ode subs substi titu tusi si untu untuk k Int Integra egrall Tentu entu
5
Mini Test Test at atau Responsi
Dalam lam soal soal 1-8, cari cari nilai nilai jumla jumlah yang yang ditunju ditunjukka kkan n
Dalam lam soal soal 9-14, guna gunakan kan rumus rumus nota notasi sigma sigma, untuk untuk menca mencari ri masing masing--masing masing jumla jumlah 9.
10.
11.
12.
13.
14.
Dalam lam soal soal 15-18, hitung integra integrall tentu tentu menggun mengguna akan kan definisi definisi s ep ep er er ti ti c on on to to h s oa oal 3 da dan 4 15.
16.
17.
18.
Dalam soal 19-24, tentukan nilai dan
19. x
20.
G ( x )
1
2
1
1 t x
21. 12.
G ( x )
2
1 2
x t
23.
24.
dt
1
dt
′() dari
Dalam soal 25-27, gunakan TDK II untuk menghitung masing-masing masing-masing integral tentu berikut. 25.
27.
26.
Dalam soal 28-30, gunakan metode substitusi untuk mencari mencari masing-masing integral tak tentu berikut. 28.
29.
30.
