20 torzer

20.Svođenje proizvoljnog prostornog sistema sila na torzer.  Ne ka na slob sl ob od no kr ut o te lo , u ta čk am a N, ,N 2... N n , dejstvuje proizvoljni prostorni sistem sila. Korišćenjem principa o paralelnom pomeranju sile u datu tačku, prenesemo sve sile u proizvoljno izabranu tačku O datog tela  pri o vom p omera nju važi d a je F 

Fi '  Fi ,

M i  M O i   ri  Fi

gde su r; vektori položaja napadnih tačaka N i sila u odnosu na redukcionu tačku tačku O. Sučeljni sistem sila može s e zameniti jednom silo m F R, koja  je j edna ka v ektors kom zbi ru svi h sila: n

FR 

 F i '  i 1

n 

 Fi  i 1

a isto tako svi spregovi se mogu zameniti n

 je dn im sp re go m M

, koj i je j edn ak vektorskom zbiru datih spregova spregova M O 

0

M i

n



i 1

Na ovaj način dejstvo proizvoljnog FR, koja se naziva glavni vektor O, i jednim spregom M 0 ,

 MO

F i 

n 



i 1

 r i  F  i

i 1

prostornog sistema sila na telo zamenjeno je jednom silom datog sistem sistemaa sila sa sa napadnom napadnom tačkom tačkom u redukcio redu kcio noj tački tač ki koji se naziva glavni moment datog sistema sila u odnosu na redukcionu tačku O. Ovakav statički element naziva se torzer. Ugao između glavnog vektora i glavnog momenta naziva se ugao torzera, a ravan koju čine ova dva vektora, naziva se ravan torzera. Određivanje glavnog vektora i glavnog momenta vrši se analitičkim putem na osnovu pravila o projekciji vektorskog zbira: komponente glavnog vektora su: X R  n

YR 

n 

 Yi



 Fcos  i   ZR i

i 1

i 1 2

FR 

n

n 

i 1

i 1

 X i   Fcos i   i

n



 Zi

n 



i 1 2

 Fcos i   i

i 1

2

X R  YR  ZR   intenzitet intenz itet glavnog vektora FR  

Uglovi koje glavni vektor FR zaklapa sa koordinatnim osama:

cos  R  

X R 

cos   R  

F R 

Y R  F R 

Proekcije glavnog momenta M n

M

x



n

F R 

koordinatne ose su:

n 

n

M

i 

i 1

n

z

0 na

Z R 

F   M ix   MOx    y i Zi  ziYi     i 1

M

cos  R  

  M iz 

i 1

n

n 

 M

M F 

i 

i 1

i 

  i 1

n 

 MOz    xiYi  y i X i     F i 

i 1

i 1

Uglovi koji M

y

i 1

0 zaklapa

 M  sa koor. osama cos  

M x 

cos   M 

M O 

M

y 

M O 

 M  cos  

M z  M O 

Ugao torzera određuje se iz definicije skalarnog proizvoda dva vektora FR  M O  FR M

cos    cos   

O

cos

F , M   F M O

R

X R M x  YR M y  Z R M z FR M

XR

M

x

FR M O



YR

R

O

y 

FR M O



Z R

cos    

FR M O  FR M O 

 

O

M



cos 

cos

M

z

FR M

O



cosR co cosM



cosR co cosM



cos R  cos M   

 

Ugao između glavnog vektora F R i glavnog momenta M 0, određen zbirom proizvoda kosinusa odgovarajućih uglova koje glavni vektor i glavni moment grade sa koordinatnim osama. U cilju određivanja ravni torzera uočimo u toj ravni proizvoljnu tačku M, koja je određena vektorom položaja r.





r  FR  M

Y M R

z

O

 

x

y

XR

YR

Z R   0

M

M

M

x

z 

y



z 



 ZR M y x   ZR M x  X R M z  y  X R M y  Y RM

x

z   0  

 jednačina ravni koja prolazi kroz koor. početak tj. redukcionu tačku