2018 Calculo Multivariado Primera Practica Actualizada

Código:

PROCESO GESTIÓN DOCUMENTAL

Fecha: Versión: 1-Ene-2016 1 Documento impreso no controlado

FACULTAD DE INGENIERÍA GUÍA DE LABORATORIO

Código del Curso:1029703

Semestre: III ó IV

No. De Guía: Guía: 1 1 Duración (Horas) 2 HORAS

Nombre del Curso: CALCULO MULTIVARIADO Relación con el micro currículo (tema de clase): Elementos de seguridad industrial: Cuáles Tapa oídos Overol Gafas Botas OTROS MATLAB R2016a. Espacio solicitado para la práctica.

Laboratorio

SI

NO

Tapa Bocas

Campus

Externo

PRÁCTICA No. 1 SUPERFICIES CUADRÁTICAS, CURVAS Y PLANOS EN EL ESPACIO. INTRODUCCIÓN Investigaciones recientes, muestran la necesidad de incorporar la tecnología en el aula de clase, para promover en los estudiantes un aprendizaje significativo y autónomo de los temas propios de la matemática, y para aportar en el desarrollo de competencias propias de la tecnología (Badía, 2016). En concordancia con lo anterior, el modelo pedagógico de la Universidad de San Buenaventura promueve la formación integral del estudiante, en el que la práctica pedagógica “se centra fundamentalmente en el proces o de aprendizaje del estudiante, desarrollando estrategias específicas para el aprendizaje autónomo y significativo” (Modelo Pedagógico, p. 62)

Desde esta perspectiva, para apoyar los procesos de enseñanza aprendizaje de las Ciencias Básicas, se brinda a los estudiantes la oportunidad de trabajar con el Software Matlab. Este programa está diseñado para resolver problemas de ingeniería y su lenguaje está basado en matrices, que es la forma natural de expresión de las matemáticas computacionales. Una de sus grandes ventajas es la facilidad de visualizar los datos gracias a su interfaz gráfica, lo que nos permite deducir, analizar e interpretar la información obtenida.1 En este laboratorio introducimos las gráficas en tres dimensiones, las curvas y planos en el espacio. 1

Recuperado: https://es.mathworks.com/produc https://es.mathw orks.com/products/matlab/index ts/matlab/index.html?s_tid=gn_loc_drop .html?s_tid=gn_loc_drop Elaboró: Ing. Hugo E Barrero M.

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OBJETIVO( S ) 





Utilizar los comandos del software software Matlab que permitan solucionar ejercicios propuestos en clase. Identificar la representación gráfica como una forma de solución alternativa a la representación algebraica. Resolver problemas contextualizados que requieren requieren los conceptos vistos vistos en clase y las funciones propias de Matlab.

EQUIPOS Y HARDWARE NECESARIOS SI NO

LABORATORIOS COMPUTADORES. SOFTWARE : SI NO

MATERIALES CONSUMIBLES

MATERIALES APORTADOS POR EL ESTUDIANTE

MATLAB R2016A. PROCEDIMIENTO :

1. S UPE R FICI FICIES ES CUADR CUADR ÁTI ÁTICAS CAS : Una superficie cuadrática, es la gráfica de una ecuación de segundo grado con tres variables: x,y,z.

        = 0       = 0

Que puede verse como: ó también:

En este Laboratorio vamos a graficar en MatLab algunas de las superficies cuadráticas, Elaboró: Ing. Hugo E Barrero M.

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la primera de ellas es el cono:

Ejemplo 1: (graficar en MatLab Medio Cono)

Con este código se Obtiene:

Elaboró: Ing. Hugo E Barrero M.

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Ahora la gráfica de un cono completo, en física nos sirve para describir nuestro espacio tiempo:


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Ejemplo 2: (Grafica de un paraboloide elíptico) Para hacer esto basta con usar el comando ezsurf, así:

De lo cual Resulta: 2

x + y

2

8 7 6 5 4 3 2 1 0 2 1.5 1

2 0.5

1

0

1.5

0.5

-0.5

0 -0.5

-1

-1

-1.5 -2 y

-1.5 -2 x

Además de las superficies cuadráticas, podemos usar los mismos comandos para graficar funciones que contienen términos complejos;

Ejemplo 3: (Grafica de la parte real de atan(x+iy): Para hacer esto usaremos el mismo comando ezsurf, así: Elaboró: Ing. Hugo E Barrero M.

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Y de este simple código, podemos obtener:


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Ejemplo 3 (Grafica de una superficie f(x,y): Dado que: , graficar la superficie dada por :

 = √     

siguiente código que utiliza el comando meshgrid:

 Mediante el 

Lo cual da el siguiente resultado:

C UR V A S E N E L E S P A C I O:  Toda curva en el espacio  se puede considerar como la imagen de una función vectorial r(t) : [a, b] →   que es una función vectorial de variable Real; 2.

 =< ,, >

Esta última forma recibe el nombre de parametrización de la

curva. Estas curvas se pueden representar en MatLab usando diversos comandos que aprenderemos a usar en esta práctica; Para realizar curvas en el espacio se Elaboró: Ing. Hugo E Barrero M.

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utilizan los comandos plot3 o comet3, existe un comando vectores velocidad sobre las curvas quiver3. Ejemplo 4. (Gráfica de una Hélice) Se dibujara la hélice:

para dibujar

 =< cos,, >    0 ≤  ≤ 10

Aplicamos el siguiente código:

Y se genera:


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Ejemplo 5 (Vectores tangentes a la curva en cualquier punto dado) . Para dibujar los vectores velocidad sobre la curva emplearemos el comando quiver de la siguiente manera: quiver3 (Vector posición, vector velocidad). Dibujaremos los vectores velocidad para:

 

    

( ) = sen( ) + cos( ) + ’( ) = cos( ) - sen( ) + 1 Usando el siguiente código: (z no la cambiamos para que me grafique en cada punto vectores)

Lo que genera:


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Ejemplo 6 (Exponencial Negativa f(x,y)) a. Para dibujar gráficos de funciones de dos variables z = f(x; y), en primer lugar hay que generar tablas de valores para las variables x e y, en realidad, ahora lo que tenemos que hacer es generar un mallado Sobre un rectángulo del plano XY. Para eso se utiliza el comando meshgrid. Por ejemplo, si queremos dibujar la gráfica de la función: En la región del plano:

 

 = −(+) 

= {( , ), −2 ≤ ≤ 2, −2 ≤



≤ 2}

Generamos un enmallado llamado meshgrid, mediante el siguiente código:

Y se obtiene la siguiente gráfica:

b. Podemos hacer la misma grafica el comando surf que me plantea mejor la superficie, Usando el siguiente código: Elaboró: Ing. Hugo E Barrero M.

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Se genera:

Ejemplo 7.

Curvas de nivel: Una curva de nivel es un mapa de dos dimensiones de una superficie de 3d en donde cada curva se encuentra a una diferente altura z. Para ejemplificar esto realizaremos las curvas de nivel de la siguiente función:

 =   

Esta función es un paraboloide con centro en el origen cuya grafica es:


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En donde vemos que el punto central está a menor altura y a medida que nos alejamos del origen en el plano x-y subimos en el eje Z. Si utilizamos el siguiente código podemos hacer las curvas de nivel para este paraboloide:

Este código nos genera:


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Ejemplo 8. Curvas de nivel en 3D: Para esta misma función podemos identificar sus curvas de nivel en tres dimensiones si hacemos el siguiente código que nos confirma la forma vista anteriormente:


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Código:



En esta grafica podemos ver como las curvas de nivel interiores tienen la menor altura en Z; mientras que las más alejadas ganan altura.

Ejemplo 9 (Problema de la intersección de dos planos) Grafique la recta intersección entre los planos:

a) b)

   = 1 2  3 = 1

{  = 11   = 32  = =<<1,2, 1,1,13>>

Primero, debemos despejar las ecuaciones de los dos planos para z, así:

Los vectores normales a los planos serán:

Sabemos que una recta en el espacio esta dada por: Donde el punto

 =      = 1,0,0


, que es la solución del sistema de ecuaciones, y:

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V estará dado por el producto cruz entre los dos vectores normales:

 =  ×  =< 5,2,3 >  =  =< 5 1,2,3 >

Ahora si encontramos la Recta intersección de los planos Será: Que podemos graficar usando el siguiente código en MatLab:

Este código nos da como resultado la gráfica de la intersección de los dos planos:


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En Matlab podemos también usar funciones que ya están diseñadas, que se pueden introducir como nuevas funciones de archivos .m, como el siguiente: (Creado por Jeffery Cooper) function y = arrow(P,V,color) if nargin < 3 color = 'b'; end x0 = P(1); y0 = P(2); a = V(1);b = V(2); l = max(norm(V), eps); u = [x0 x0+a]; v = [y0 y0+b]; hchek = ishold; plot(u,v,color) hold on h = l - min(.2*l, .2) ; v = min(.2*l/sqrt(3), .2/sqrt(3) ); a1 = (a*h -b*v)/l; b1 = (b*h +a*v)/l; plot([x0+a1, x0+a], [y0+b1, y0+b], color) a2 = (a*h +b*v)/l; b2 = (b*h -a*v)/l; plot([x0+a2, x0+a], [y0+b2, y0+b], color) if hchek == 0 hold off end

Debe introducirse esta función mediante: new, function. Y guardarse como arrow.m


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EJEMPLO 10: En Matlab podemos trabajar con vectores, en dos o tres dimensiones podemos usar las funciones*: arrow.m y arrow3.m para representar vectores en dos y tres dimensiones respectivamente, por ejemplo si queremos ver los vectores: v=[1,2]; w=[-2,2] a partir del punto Po=(2,6). Se puede escribir el comando:

Al hacer esto obtenemos como resultado diagrama de los dos vectores que se han programado en la función arrow.m; así:


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ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS:

Son los parámetros o datos tomados para realizar el análisis y aplicación de los conceptos de estudio, consistentes con los resultados observados. Dé una explicación al respecto. Pruebe si es posible, variar el dominio, o alguno de los parámetros o factores y observe cómo estos cambios afectan los resultados. Dé una explicación al respecto.


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Escriba sus observaciones y conclusiones generales sobre la práctica: ¿qué dificultades se le presentaron en el desarrollo de la guía?, ¿reforzó los conceptos tratados en esta práctica?, ¿aprendió y comprendió todos los parámetros y modos de utilizar los comandos y/o scripts de Matlab requeridos en el estudio de las temáticas tratadas en la práctica? ¿Considera que son apropiados los ejemplos planteados así como los ejercicios propuestos para el estudio de los temas tratados en la práctica?, ¿sí o no y por qué? BIBLIOGRAFÍA:

1. CALCULO MULTIVARIABLE (JAMES STEWART; CUARTA EDICION), 2002. 2. MATLAB CON APLICACIONES A LA INGENIERIA FISICA Y FINANZAS. (DAVID BÁEZ LOPEZ), 2007. 3. HTTP://WWW-USERS.MATH.UMD.EDU/~JMR/241/MATLABMATERIALS.HTML 4. HTTP://FACULTYMEMBER.IAUKHSH. AC.IR/IMAGES/UPLOADED _ FILES/VECTOR%20C ALCULUS%

INFORME DE PRÁCTICA DE LABORATORIO

Para la entrega del informe de la práctica de laboratorio los estudiantes deben seguir los siguientes pasos: 

Diligenciar el formato (Word) del informe de laboratorio



GUARDAR EL ARCHIVO DE MATLAB (.M) DE LA PRÁCTICA



Ingresar al aula virtual de la universidad USBBOG



Ingresar al curso o asignatura a la cual corresponde el laboratorio



Ingresar al foro correspondiente a la práctica

Publicar en el foro el informe de la práctica (Word) y el archivo de Matlab (.m)


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