A N Á L I S E C O M P U T AC AC I O N A L D E E S T R U T U R A S
Universidade Estadual Estadual de Campinas R Fernando Ferreira Costa C G U Edgar Salvadori de Decca
C E P Paulo Franchetti Alcir Pécora – Arley Ramos Moreno José A. R. Gontijo Gonti jo – José Roberto Roberto Zan Marcelo Knobel – Marco Antonio Zago Sedi Hirano – Yaro Burian Junior
Marco Lúcio Bittencourt
ANÁLISE COMPUTACIONAL DE ESTRUTURAS
Com aplicação do Método de Elementos Finitos
ficha catalográfica elaborada pelo sistema de bibliotecas da unicamp diretoria de tratamento da informação B8a
Bittencourt, Marco Lúcio. Análise computacional de estruturas : com aplicação do Método de Elementos Finitos / Marco Lúcio Bittencourt. – C, SP: E U, 2010.
1. Método de Elementos Finitos . 2. Análise estrutural. 3. Teoria das estruturas. 4. ANSYS (programa de computador). I. Tí. cdd 620.00151 624.171 005.43
isbn 978-85-268-0911-6 Í : 1. Método de Elementos Finitos 2. Análise estrutural 3. Teoria das estruturas 4. ANSYS (programa de computador)
C © M Lú B C © 2010 E U
N , z ô, , z â qq z .
E U R C G P, 50 – C U cep 13083-892 – C – sp – B T./Fx: (19) 3521-7718/7728 www... – @..
620.00151 624.171 624.171 005.43
Sum´ ario
Lista de Figuras
9
Lista de Tabelas
14
Nomenclatura
17
Pref´ acio
23
1 Introdu¸ c˜ ao
25
1.1
Conceitos b´ asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Barra em tra¸ c˜ ao e viga em flex˜ ao pura
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
2.6 2.7 2.8 2.9
29
Barra em tra¸ ca˜o simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Viga em flex˜ ao pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coeficientes de influˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento de mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento de barra plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Deforma¸ca˜o longitudinal espec´ıfica e tens˜ ao normal . . . . . . 2.5.2 Elemento de barra no sistema global de referˆencia . . . . . . . Determina¸ca˜o da equa¸ca˜o global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 C´alculo das deforma¸co˜es e tens˜ o es nos elementos de barra . . . Elemento de viga em flex˜ ao pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento de viga em tra¸ ca˜o e flex˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Introdu¸ c˜ ao ao programa ANSYS
3.1 3.2 3.3 3.4
Organiza¸ca˜o do ANSYS Treli¸ca . . . . . . . . . . Viga . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios propostos . .
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4 Equa¸ co ˜es b´ asicas de elasticidade
25
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29 31 32 34 36 37 37 40 46 47 54 57 59
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. 60 . 62 . 90 . 102 105
4.1 Estado geral de deforma¸ c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.2 Deforma¸co˜es t´ermicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
Conceito de tens˜ ao . . . . . . . . Estado de tens˜ ao em um ponto . Equa¸co˜ es diferenciais de equil´ıbrio Lei de Hooke . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios propostos . . . . . . .
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5 Equa¸ c˜ ao de movimento
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9
127
Trabalho e energia de deforma¸ ca˜o . . . . . . Identidade de Green . . . . . . . . . . . . . Princ´ıpio dos Trabalhos Virtuais . . . . . . . Discretiza¸ca˜ o de um sistema cont´ınuo . . . . Equa¸ca˜o de movimento . . . . . . . . . . . . Elemento de barra plana . . . . . . . . . . . Elemento de viga plana . . . . . . . . . . . . Forma fraca do problema de barra em tra¸ c˜ao Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . .
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6 Fun¸ co ˜es de interpola¸ c˜ ao
6.1 6.2 6.3
6.4 6.5 6.6 6.7 6.8
Sistemas de referˆe ncia global e local . . . . . . Fun¸co˜es de forma . . . . . . . . . . . . . . . . Elementos unidimensionais . . . . . . . . . . . 6.3.1 Elemento linear . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Elemento quadr´ atico . . . . . . . . . . 6.3.3 Elemento c´ ubico . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Elemento qu´ artico . . . . . . . . . . . Elemento bidimensional linear . . . . . . . . . Elementos isoparam´etricos . . . . . . . . . . . Jacobiano e c´ alculo das derivadas globais . . . Dedu¸c˜ao da matriz de rigidez de barra plana . Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . . .
7.3
Triˆangulo de Pascal . . . . . Quadrados . . . . . . . . . . 7.2.1 Elemento quadr´ atico 7.2.2 Elemento c´ ubico . . 7.2.3 Elemento qu´ artico . Hexaedros . . . . . . . . . . 7.3.1 Elemento linear . . . 7.3.2 Elemento quadr´ atico 7.3.3 Elemento c´ ubico . .
127 132 134 141 142 145 148 150 152 153
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7 Fun¸ co ˜es de forma para quadrados e hexaedros
7.1 7.2
111 114 119 122 126
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153 156 157 157 158 159 160 161 163 166 169 171 173
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173 176 176 181 183 185 185 187 188
8 Fun¸ co ˜es de forma para triˆ angulos e tetraedros
8.1 8.2
Coordenadas de a´rea . . . . . . . Triˆangulos . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Elemento linear . . . . . . 8.2.2 Elemento quadr´ atico . . . 8.2.3 Elemento c´ ubico . . . . . 8.2.4 Elemento qu´ artico . . . . 8.2.5 C´a lculo do jacobiano e das 8.3 Coordenadas de volume . . . . . 8.4 Tetraedros . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Tetraedro linear . . . . . . 8.4.2 Tetraedro quadr´ atico . . . 8.4.3 Tetraedro c´ ubico . . . . . 8.4.4 C´a lculo do jacobiano e das 8.5 Exerc´ıcios propostos . . . . . . .
193
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . derivadas globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . derivadas globais . . . . . . . . . .
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9 Integra¸ c˜ ao num´ erica
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5
Quadratura de Newton-Cotes . . . Quadratura de Gauss-Legendre . . Integra¸ca˜o num´erica bidimensional Integra¸ca˜o num´erica tridimensional Exerc´ıcios propostos . . . . . . . .
193 194 195 196 200 200 204 206 207 208 209 211 212 214 215
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10 Estudo de casos
215 217 220 225 225 227
10.1 10.2 10.3 10.4
Estado plano de tens˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . Estado plano de deforma¸ ca˜o . . . . . . . . . . . . . . Estruturas axissim´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . Considera¸co˜es sobre elementos finitos isoparam´etricos 10.4.1 Integra¸ca˜o num´erica . . . . . . . . . . . . . . 10.4.2 C´ alculo de tens˜oes . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.3 Considera¸co˜es sobre modelamento . . . . . . . 10.5 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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227 233 234 240 240 242 242 243
Referˆ encias bibliogr´ aficas
245
A Vetores e matrizes
247
A.1 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1 Matriz nula . . . . . . . . . . A.2.2 Matriz quadrada . . . . . . . A.2.3 Matriz diagonal . . . . . . . . A.2.4 Matriz unit´ aria ou identidade
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247 248 249 249 249 249
A.2.5 Matrizes diagonais superior e inferior A.2.6 Matriz banda . . . . . . . . . . . . . A.2.7 Matrizes sim´etrica e antissim´etrica . A.2.8 Particionamento de uma matriz . . . A.2.9 Matriz transposta . . . . . . . . . . . A.3 Opera¸co˜es matriciais . . . . . . . . . . . . . A.3.1 Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . A.3.2 Adi¸ca˜o e subtra¸ca˜o . . . . . . . . . . A.3.3 Multiplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . A.4 Sistema de equa¸c˜oes lineares . . . . . . . . . A.5 Problema de autovalor . . . . . . . . . . . .
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B M´ etodo de Cholesky
250 250 251 251 252 252 252 252 252 253 253 255
B.1 Decomposi¸ca˜o de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 B.2 Aplica¸ca˜o do m´etodo de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 C Comandos do programa ANSYS
C.1 Comandos do ANSYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.1 N´os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.2 Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.3 Tipo de elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.4 Constantes reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.5 Carregamentos e condi¸co˜es de contorno . . . . . . . . C.1.6 Casos de carregamentos . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.7 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.8 Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.9 Reordenamento dos elementos . . . . . . . . . . . . . C.1.10 Tipo de an´alise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.11 Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.12 Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ C.1.13 Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.14 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.15 Gera¸ca˜o de malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.16 Aplica¸ca˜o de condi¸co˜es de contorno ao modelo s´ olido C.1.17 Sele¸ca˜o de entidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.18 Comandos / . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.19 Graus de liberdade masters . . . . . . . . . . . . . . C.1.20 Comandos de visualiza¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . C.1.21 P´os-processador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.22 Outros comandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
259
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259 259 260 260 260 261 261 261 262 262 262 262 263 264 264 265 265 266 266 266 266 267 267
D Exemplos analisados com o ANSYS
269
D.1 Estrutura reticulada . . . . . . . . . . . . . D.2 Deforma¸ca˜o em vigas . . . . . . . . . . . . . D.3 P´ortico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.4 Estudo de um eixo . . . . . . . . . . . . . . D.5 Viga: problema de estado plano de tens˜ ao . D.6 Problema com simetria . . . . . . . . . . . . D.7 M´ ultiplos carregamentos . . . . . . . . . . . D.8 Gera¸c˜ao autom´ atica de malhas em ´areas . . D.9 Gera¸c˜ao autom´ atica de malha em volumes . D.10 Simetria em volumes . . . . . . . . . . . . . D.11 Estrutura modelada por elementos de placa
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269 271 272 275 278 280 283 284 286 289 292
Corpo considerado como meio cont´ınuo e sua discretiza¸ c˜ao em elementos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Superposi¸ c˜a o das matrizes dos elementos na matriz global. . . . . . . .
26 27
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16
Barra submetida a uma for¸ ca de tra¸ca˜o P . . . . . . . . . . . . . . . . . Deforma¸ca˜o em vigas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estrutura el´ astica sob a¸ca˜o de for¸cas F 1 , . . . , Fn . . . . . . . . . . . . . . Mola de constante el´ astica k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estados de deslocamentos para a mola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¯. . . . Elemento de barra plana segundo o sistema de referˆencia local X Elemento da barra no sistema global XY . . . . . . . . . . . . . . . . . Treli¸ca analisada estaticamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numera¸ca˜o dos n´o s, graus de liberdade e elementos. . . . . . . . . . . . ¯ Y ¯. . . . Elemento de viga plana segundo o sistema de referˆencia local X Estados cinem´ aticos para a viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemplo de viga plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento de viga com flex˜ ao e tra¸ca˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transforma¸ca˜o global-local para o elemento de viga com tra¸ca˜o e flex˜ ao. Viga com esfor¸cos de flex˜ a o e tra¸ca˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios 2.1 e 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30 31 33 34 35 36 38 40 41 48 48 50 54 55 56 58
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
Interface gr´ afica do ANSYS. . . M´odulos do programa ANSYS. Defini¸ca˜o do t´ıtulo da an´alise. . Defini¸ca˜o do tipo de elemento. . Menu de tipos de elementos. . .
60 61 62 63 64
Lista de Figuras 1.1
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. . . . .
3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21 3.22 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 3.28 3.29 3.30 3.31 3.32 3.33 3.34 3.35 3.36 3.37 3.38 3.39 3.40 3.41 3.42 3.43 3.44 3.45 3.46 3.47
Finalizando a sele¸ca˜o do tipo de elemento. . . . . . . . . . . . . . . . . Defini¸ca˜ o das constantes reais para os elementos. . . . . . . . . . . . . . Defini¸ca˜o da a´rea da se¸c˜ao transversal das barras 1 a 4. . . . . . . . . . Defini¸ca˜o das constantes do conjunto 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Defini¸ca˜o da a´rea da se¸c˜ao transversal das barras 5 e 6. . . . . . . . . . Finalizando as defini¸co˜es das constantes reais. . . . . . . . . . . . . . . Defini¸ca˜o do modelo de material. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Defini¸ca˜o do m´ odulo de elasticidade do material. . . . . . . . . . . . . . Defini¸ca˜o dos n´ os usando a op¸ca˜o Working Plane . . . . . . . . . . . . . Defini¸ca˜o das coordenadas nodais do n´ o 1. . . . . . . . . . . . . . . . . Defini¸ca˜o das coordenadas nodais do n´ o 4. . . . . . . . . . . . . . . . . Defini¸ca˜o dos atributos dos elementos 1 a 4. . . . . . . . . . . . . . . . Cria¸ca˜o dos elementos 1 a 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cria¸ca˜o do elemento 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cria¸ca˜o do elemento 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Finalizando a defini¸ca˜o dos elementos 1 a 4. . . . . . . . . . . . . . . . Sele¸ca˜ o do segundo conjunto de constantes reais. . . . . . . . . . . . . . Cria¸ca˜o do elemento 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Malha final da treli¸ca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Janela para indicar os n´ umeros dos n´os com apoios. . . . . . . . . . . . Defini¸ca˜o dos apoios em UX e UY dos n´os 1 e 4. . . . . . . . . . . . . . Treli¸ca com os apoios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplica¸ca˜o da for¸ca sobre o n´ o 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mostrando a for¸ ca aplicada ao n´ o 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabela com as for¸ cas nodais na treli¸ca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . In´ıcio da solu¸ca˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclus˜ ao do processo de solu¸ca˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Defini¸ca˜ o da tabela de resultados dos elementos. . . . . . . . . . . . . . Leitura dos valores das for¸ cas axiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leitura dos valores da tens˜ ao normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabela final de resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometria deformada da treli¸ ca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Listagem da tabela de resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabela com os resultados de for¸ ca e tens˜ a o normais nos elementos. . . . Gr´ afico de for¸ca normal nas barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representa¸ ca˜o gr´ afica para os resultados de for¸ c as normais nas barras. . Sele¸ca˜o da coluna de resultados da tens˜ ao normal. . . . . . . . . . . . . Representa¸ ca˜o gr´ afica para a tens˜ ao normal nas barras. . . . . . . . . . For¸cas de rea¸ca˜o para os n´os 1 e 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabela com os valores das rea¸ co˜es de apoio. . . . . . . . . . . . . . . . Solu¸ca˜o nodal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Finalizando o programa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64 65 66 66 67 67 68 68 69 70 70 71 72 72 73 73 74 74 75 75 76 76 77 78 78 79 79 80 81 81 82 83 83 84 84 85 85 86 86 87 87 88
3.48 3.49 3.50 3.51 3.52 3.53 3.54 3.55 3.56 3.57 3.58 3.59 3.60 3.61 3.62 3.63 3.64 3.65 3.66 3.67 3.68 3.69 3.70
Tipo de elemento BEAM3 para a viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Defini¸ca˜o das propriedades geom´etricas dos elementos de viga. . . . . . Cria¸ca˜o do primeiro n´ o da viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cria¸ca˜o do quarto n´ o da viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uso do comando FILL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cria¸ca˜o dos n´ os com o comando FILL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Malha final da viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabela de resultados nos elementos da malha da viga. . . . . . . . . . . Geometria deformada da viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Listagem das for¸cas normal e cortante e do momento fletor para os n´ os dos elementos de viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Listagem das tens˜ oes normais para os n´ o s dos elementos de viga. . . . . Listagem das tens˜ oes normais resultantes para os n´ os dos elementos de viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Selecionando a for¸ ca cortante em cada n´ o dos elementos de viga. . . . . Diagrama da for¸ca cortante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sele¸ca˜o do momento fletor em cada n´ o dos elementos de viga. . . . . . Diagrama do momento fletor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resultados gr´ aficos para a coluna SDPI. . . . . . . . . . . . . . . . . . Resultados gr´ aficos para a coluna SDPJ. . . . . . . . . . . . . . . . . . Resultados gr´ aficos para a coluna SBI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resultados gr´ aficos para a coluna SBJ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . For¸ca nodal equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Treli¸ca do exerc´ıcio 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Viga do exerc´ıcio 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Corpo submetido a` a¸ca˜o de um sistema de for¸cas externas. . . . . . . . 4.2 Elemento infinitesimal de um corpo em torno do ponto P . . . . . . . . 4.3 Plano xy do elemento infinitesimal utilizado para a determina¸ca˜o das deforma¸co˜es espec´ıficas ǫxx , ǫyy e distor¸ca˜o γ xy . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Elemento infinitesimal submetido a um gradiente de temperatura ∆T . . 4.5 Distribui¸ca˜o de esfor¸cos internos na se¸ca˜ o transversal do corpo. . . . . . 4.6 Componentes de um estado geral de tens˜ ao em um ponto O do corpo tridimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Corpo s´ olido submetido a um sistema de for¸cas externas. . . . . . . . . 4.8 Partes inferiores do corpo s´ olido obtidas pelos cortes atrav´es dos planos mm e nn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Componentes de tens˜ a o no ponto O do corpo tridimensional. . . . . . . 4.10 Tetraedro elementar no ponto O e suas componentes m´edias de tens˜ ao. 4.11 Paralelep´ıpedo elementar com suas componentes m´edias de tens˜ ao. . . . 5.1
Diagrama for¸ca × deslocamento para a deforma¸ca˜o de um corpo.
90 91 92 92 93 93 94 94 95 95 96 96 97 98 98 99 99 100 100 101 101 103 103 106 106 107 111 112 113 115 116 117 117 120
. . . 128
5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9
Diagrama de tens˜ ao × deforma¸ca˜o. . . . . . . . . Momento fletor na se¸ ca˜o transversal da viga. . . . Proje¸ca˜o da a´rea elementar dS sobre o plano yz . . Esfor¸cos externos em uma barra. . . . . . . . . . Esfor¸cos externos em uma viga. . . . . . . . . . . Meio cont´ınuo discretizado por elementos finitos. . Polinˆo mios de Hermite e suas derivadas. . . . . . Vigas do exerc´ıcio 5.2. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
129 130 133 137 138 141 149 152
6.1 Mapeamento entre os sistemas de referˆencia global X e local ξ . . . . . . 6.2 Transforma¸ca˜o entre os sistemas de referˆ e ncia global e local. . . . . . . 6.3 Transforma¸ca˜o entre os sistemas de referˆencia global e local utilizando fun¸c˜oes de forma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Pontos no sistema de referˆencia local ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Elemento unidimensional linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Elemento unidimensional quadr´ atico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Elemento unidimensional c´ ubico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Elemento unidimensional qu´ artico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Elemento quadrangular linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10 Elementos lagrangianos quadrangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11 Elementos finitos subparam´etrico, isoparam´etrico e superparam´etrico. . 6.12 Exemplo de transforma¸ ca˜o entre os sistemas de referˆencia local e global utilizando-se as fun¸co˜es de forma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13 Exemplo de transforma¸ca˜ o de um arco de c´ırculo. . . . . . . . . . . . . 6.14 Condi¸ca˜o para que os elementos quadrangulares linear e quadr´ atico n˜ ao apresentem distor¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.15 Exerc´ıcios 6.2, 6.4 e 6.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153 154
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
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Triˆangulo de Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementos planos da fam´ılia serendipity. . . . . . . . . . . . . . . . Fun¸ca˜o de forma para os n´ os do quadrado linear. . . . . . . . . . . Elemento quadr´ a tico da fam´ılia serendipity. . . . . . . . . . . . . . Fun¸co˜es de forma para os n´os do elemento quadr´ atico. . . . . . . . . Elemento quadrangular c´ ubico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fun¸co˜es de forma do elemento c´ ubico. . . . . . . . . . . . . . . . . . Fun¸co˜es de forma para os elementos quadr´ a tico e c´ ubico da fam´ılia grangiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento quadrangular qu´ artico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fun¸co˜es de forma para os n´os do elemento qu´ artico. . . . . . . . . . Elementos espaciais linear, quadr´ atico e c´ ubico. . . . . . . . . . . . Elemento espacial linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento espacial quadr´ atico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . la. . . . . . . . . . . .
155 156 157 158 160 161 162 163 163 165 166 168 171 175 177 177 178 179 181 183 184 185 186 186 187 189
7.14 Elemento espacial de terceiro grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14 8.15 8.16
Coordenadas de a´rea para triˆ angulos. . . . . . . . . . Elementos triangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento triangular linear. . . . . . . . . . . . . . . . Fun¸co˜es de interpola¸ca˜o para o triˆ angulo linear. . . . Elemento triangular quadr´ atico. . . . . . . . . . . . . Fun¸co˜es de interpola¸ca˜o para o triˆ angulo quadr´ atico. Elemento triangular c´ ubico. . . . . . . . . . . . . . . Fun¸co˜es de interpola¸ca˜o para o triˆ angulo c´ ubico. . . . Elemento triangular qu´ artico. . . . . . . . . . . . . . Fun¸co˜es de interpola¸ca˜o para o triˆ angulo qu´artico. . . Coordenadas de volume: componente L1. . . . . . . . Tetraedros linear, quadr´ atico e c´ ubico. . . . . . . . . Tetraedro linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tetraedro quadr´ atico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tetraedro c´ ubico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcio 8.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
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9.1 Pontos igualmente espa¸cados para a t´ecnica de integra¸ ca˜o de NewtonCotes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Pontos de integra¸ca˜o de Gauss-Legendre para os elementos unidimensionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Pontos de integra¸ca˜o para os elementos quadrangulares planos. . . . . . 9.4 Pontos de integra¸ca˜o para os elementos triangulares planos. . . . . . . . 10.1 Chapa sob estado plano de tens˜ ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Muro de arrimo sob press˜ ao lateral e um rolamento sob compress˜ ao diametral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 S´ olido axissim´etrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Componentes de deforma¸ c˜a o em coordenadas cil´ındricas. . . . . . . . . 10.5 Elemento infinitesimal no plano rθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Plano rz para um elemento infinitesimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Elemento de volume infinitesimal para um s´ olido de revolu¸ca˜o. . . . . . 10.8 Problema de estado plano de tens˜ ao calculado com esquemas de integra¸ca˜o consistente e reduzida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194 195 196 197 197 199 201 201 203 203 207 208 208 210 212 213 216 217 223 223 227 234 235 236 236 237 239 242
A.1 Sistema cartesiano de referˆe ncia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 D.1 D.2 D.3 D.4
Treli¸ca analisada. Viga em estudo. . P´ortico analisado. Eixo analisado. .
. . . .
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. . . .
270 271 273 276
D.5 Sistema de vigas equivalente ao eixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.6 Viga analisada com malha de quadrados e estado plano de tens˜ ao. . . D.7 Chapa com furo submetida a um press˜ ao interna uniforme. . . . . . . D.8 Gera¸ca˜o autom´ a tica de malha em problema plano. . . . . . . . . . . . D.9 Viga analisada como problema espacial utilizando cubos de oito n´ os. . D.10 Disco gerado utilizando a simetria do problema. . . . . . . . . . . . . D.11 Estrutura modelada por elementos de placa. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
277 279 281 284 287 290 292
Lista de Tabelas 2.1 Coordenadas nodais da treli¸ ca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Incidˆencia, comprimento, a´rea e cossenos diretores dos elementos de barra. 2.3 Graus de liberdade correspondentes as ` linhas e colunas nas quais devem ser superpostas as matrizes dos elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Deforma¸ca˜o espec´ıfica e tens˜ao normal nos elementos da treli¸ca analisada. ´ 2.5 Areas das barras a cada itera¸ca˜o do dimensionamento. . . . . . . . . . 2.6 Tens˜ oes nas barras a cada itera¸ca˜ o do dimensionamento. . . . . . . . . 2.7 N´ umeros dos n´ o s e graus de liberdade do exemplo da viga. . . . . . . . 2.8 Solu¸ca˜o anal´ıtica calculada nos n´ os do exemplo da viga. . . . . . . . . .
41 41 42 46 47 47 51 53
6.1
Rela¸ca˜o entre os ´ındices a, b e c para o elemento quadrangular linear. . 162
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6
Rela¸ca˜o entre os ´ındices a, b e c para o elemento quadr´ atico. . . . . . . Rela¸ca˜o entre os ´ındices a, b e c para o elemento c´ ubico. . . . . . . . . . Rela¸ca˜o entre os ´ındices a, b e c para o elemento qu´ artico. . . . . . . . Rela¸ca˜o entre os ´ındices a, b, c e d para o elemento espacial linear. . . . Rela¸ca˜o entre os ´ındices a, b, c e d para o elemento espacial quadr´ a tico. Rela¸ca˜o entre os ´ındices a, b, c e d para o elemento espacial de terceiro grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
Rela¸ca˜o Rela¸ca˜o Rela¸ca˜o Rela¸ca˜o Rela¸ca˜o Rela¸ca˜o Rela¸ca˜o
196 198 201 202 209 209 211
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7
entre entre entre entre entre entre entre
os ´ındices os ´ındices os ´ındices os ´ındices os ´ındices os ´ındices os ´ındices
a, a, a, a, a, a, a,
b, b, b, b, b, b, b,
c e d para o elemento linear. . . . . . atico. . . c e d para o elemento quadr´ ubico. . . . . c e d para o elemento c´ artico. . . . c e d para o elemento qu´ c, d e e para o tetraedro linear. . . . atico. c, d e e para o tetraedro quadr´ ubico. . . . c, d e e para o tetraedro c´
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
176 182 185 188 189
9.1 Coeficientes de pondera¸ c˜ao para as f´ormulas de quadratura de NewtonCotes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 9.2 Pontos de integra¸ c˜ao e coeficientes de pondera¸ca˜o para a quadratura de Gauss-Legendre para o intervalo (−1, 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.3 9.4
Ordem de integra¸ ca˜ o para os elementos unidimensionais. . . . . . . . . Pontos de integra¸ ca˜o e coeficientes de pondera¸ca˜o para elementos quadrangulares planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Ordem de integra¸ ca˜o para os elementos quadrangulares planos. . . . . . 9.6 Pontos de integra¸ca˜o e coeficientes de pondera¸ca˜o para elementos triangulares planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Pontos de integra¸ca˜o e pondera¸co˜ es para os tetraedros. . . . . . . . . .
220 222 223 224 225
10.1 Ordem de integra¸ ca˜o consistente e reduzida para o c´ alculo da matriz de rigidez dos elementos quadrangulares planos. . . . . . . . . . . . . . . . 241
Nomenclatura
S´ımbolos latinos a,b,c,d,e cij det[J ] dA dV eV eX , eY , eZ eX ¯ , eY ¯ , eZ ¯ k kc kij lP , mP , nP (n) la n r u,v,w
¯, v¯, w¯ u A L1 , L2 , L3 , L4 (Ll1 , Ll2, Ll3 , Ll4) E F i ¯i F G H l I z
´ındices de tensoriza¸c˜ao coeficientes da matriz de flexibilidade determinante da matriz do jacobiano diferencial de a´rea diferencial de volume dilata¸ca˜o versores do sistema global de referˆencia versores do sistema local de referˆencia constante el´ astica da mola fator de cisalhamento coeficientes da matriz de rigidez cossenos diretores da normal a um plano P polinˆ omio de Lagrange unidimensional de ordem n associado ao n´o a n´umero de n´ os coordenada radial componentes de deslocamento segundo o sistema de referˆencia global componentes de deslocamento segundo o sistema de referˆencia local ´area da se¸ca˜o transversal ou a´rea do elemento coordenadas baricˆentricas coordenadas dos pontos de integra¸ c˜ao para triˆ angulos e tetraedros m´odulo de elasticidade longitudinal do material for¸cas concentradas aplicadas aos pontos i = 1, . . . , n ¯ for¸ca transversal externa aplicada ao n´ o i na dire¸ca˜o local Y m´odulo de elasticidade transversal do material pondera¸co˜es dos pontos de integra¸ca˜o momento de in´ercia da se¸ca˜o transversal da viga com rela¸ca˜o ao eixo Z do sistema de referˆencia
17
18
S´ımbolos latinos P ¯i P L ¯i M M z N a N a,x , N a,y , N a,z N a,ξ , N a,η , N a,ζ N int N x i P T x , T y , T z ˜t T t T U i ¯i U V y W X , Y , Z ¯ , Y ¯ , Z ¯ X X a , Y a , Z a Ra , Θa , Z a
for¸ca externa ¯ for¸ca axial externa aplicada ao n´ o i na dire¸ca˜o local X comprimento do elemento ¯ momento fletor externo aplicado ao n´ o i na dire¸ca˜o local Z momento fletor nas se¸co˜es de uma viga com rela¸ca˜o ao eixo Z do sistema de referˆencia fun¸ca˜o de interpola¸ca˜o associada ao n´o a do elemento derivadas da fun¸ca˜o de interpola¸ca˜o associada ao n´o a em rela¸ca˜o a X , Y , Z derivadas da fun¸ca˜o de interpola¸ca˜o associada ao n´o a em rela¸ca˜o a ξ , η , ζ n´umero de pontos de integra¸ca˜o for¸ca normal nas se¸co˜es de uma barra ou viga na dire¸ca˜o do eixo X do sistema de referˆencia vetor de for¸ca concentrada no ponto i componentes do vetor tens˜ ao vetor tens˜ ao m´edia vetor tens˜ ao energia de deforma¸ca˜o densidade de energia de deforma¸ ca˜o for¸ca cortante nas se¸co˜es de uma viga na dire¸ca˜o do eixo Y do sistema de referˆencia trabalho eixos do sistema de referˆencia global eixos do sistema de referˆencia local coordenadas nodais no sistema de referˆencia global XY Z coordenadas nodais no sistema de referˆencia global polar RΘZ
19 S´ımbolos gregos α αt ξ,η,ζ ξ l , ηl , ζ l δ i δ ab δA δu,δv,δw δ P ¯i δ U δW δW Φi δW χi ǫ ǫT ǫxx , ǫyy , ǫzz ǫT xx , ǫT yy , ǫT zz ǫrr , ǫθθ , ǫzz γ xy , γ xz , γ yz γ rz λ µ ν σ ¯ σ σn σxx , σyy , σzz
coeficiente de expans˜ ao t´ermica fun¸ca˜o teste para a forma fraca coordenadas locais normalizadas do elemento coordenadas dos pontos de integra¸ca˜o para quadrados e hexaedros deslocamentos nos pontos i = 1, . . . , n delta de Kronecker ´area da superf´ıcie elementar componentes de deslocamento virtual ao longo dos eixos x, y e z do sistema de referˆencia global vetor da resultante das for¸cas internas na vizinhan¸ca de um ponto densidade de energia de deforma¸ca˜o virtual trabalho virtual das for¸cas concentradas trabalho virtual das for¸cas externas de superf´ıcie trabalho virtual das for¸cas externas de corpo deforma¸ca˜o normal deforma¸ca˜o normal t´ermica componentes de deforma¸ c˜ao normal em um ponto nas dire¸co˜es X , Y e Z componentes de deforma¸ca˜o normal t´ermica em um ponto nas dire¸co˜es X , Y e Z componentes de deforma¸ca˜o normal em um ponto nas dire¸co˜es polares R, Θ e Z componentes de deforma¸ca˜o cisalhante total em um ponto segundo os planos XY , XZ e Y Z componente de deforma¸ c˜ao cisalhante total em um ponto segundo o plano polar RZ coeficiente de Lam´e coeficiente de Lam´e coeficiente de Poisson tens˜ao normal tens˜ao normal admiss´ıvel do material tens˜ao normal segundo o plano N componentes de tens˜ ao normal em um ponto nas dire¸co˜es X , Y , Z
τ n θz δθz θ
tens˜ao de cisalhamento segundo o plano N rota¸ca˜o nas se¸co˜es de uma viga em rela¸ca˜o ao eixo z do sistema de referˆencia rota¸ca˜o virtual nas se¸co˜es de uma viga em rela¸ca˜o ao eixo z do sistema de referˆencia ˆangulo de rota¸ca˜o dos elementos de barra e viga em rela¸ca˜ o ao eixo Z do sistema de referˆencia global
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S´ımbolos gregos τ xy τ yx τ xz τ zx τ yz τ zy χx , χy , χz ω ∆T
Φx , Φy , Φz
componente de tens˜ ao de cisalhamento em um ponto segundo plano XY componente de tens˜ ao de cisalhamento em um ponto segundo plano Y X componente de tens˜ ao de cisalhamento em um ponto segundo plano XZ componente de tens˜ ao de cisalhamento em um ponto segundo plano ZX componente de tens˜ ao de cisalhamento em um ponto segundo plano Y Z componente de tens˜ ao de cisalhamento em um ponto segundo plano ZY componentes das for¸cas de volume nas dire¸co˜es X , Y , Z frequˆencia natural de vibra¸ca˜o varia¸c˜ao de temperatura componentes das for¸cas de superf´ıcie nas dire¸c˜oes X , Y , Z
o o o o o o
Matrizes e vetores
{u} {δu } {u¯e } {ue } ¯e } {F
{F e } {F } {P p } {Q} ¯ e} {Q
vetor com as componentes de deslocamento (u , v , w) nas dire¸co˜es X , Y , Z vetor com as componentes de deslocamento virtual (δu,δv,δw) nas dire¸co˜es X , Y , Z vetor de deslocamentos nodais do elemento segundo o sistema local de referˆencia vetor de deslocamentos nodais do elemento segundo o sistema global de referˆencia vetor de for¸cas equivalentes nodais do elemento segundo o sistema local de referˆencia vetor de for¸cas nodais equivalentes do elemento segundo o sistema global de referˆencia vetor global de carregamentos nodais vetor com os cossenos diretores da normal ao plano gen´erico p vetor global de carregamento nodal t´ermico equivalente vetor de carregamento t´ermico equivalente nodal do elemento segundo o sistema local de referˆencia
