Universidad Tecnológica de Chile SEDE CALAMA
Esfuerzo de Torsión APUNTES Y EJERCICIOS
Guía de Apuntes y Ejercicios
CONCEPTOS BÁSICOS Torsión: Consideraremos
una
barra
sujeta
rígidamente en un extremo y sometida en el otro a un par aplicado en un plano perpendicular al eje, como se ve en la figura. Se dice que la barra está sometida a torsión. Par de Fuerza o Torsor: Toda fuerza aplicada a un cuerpo en libertad de movimiento, determina que éste se mueva en la misma dirección de la fuerza. El efecto producido por una fuerza aplicada mediante una palanca. La rotación del extremo libre de la barra es proporcional al par.
Efectos de la Torsión: Los efectos de la aplicación de una carga de torsión a una barra son: a) Producir un desplazamiento angular de la sección de un extremo respecto al otro. b) Originar tensiones cortantes en cualquier sección de la barra perpendicular a su eje. Momento Torsor: Se define para cada sección de la barra, como la suma algebraica de los momentos de los pares aplicados, situados a un lado de la sección considerada. Naturalmente, la elección de lado es arbitraria en cada caso.
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Momento Polar de Inercia: El momento de inercia respecto a un punto es igual al momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la figura, que pase por dicho punto. También será igual al momento de
inercia
respecto
a
un
plano
perpendicular a él que le corte en dicho eje. La inercia es la propiedad de la materia que hace que ésta resista a cualquier cambio en su movimiento, ya sea de dirección o de velocidad. Esfuerzo o Tensión Cortante de Torsión: Para un árbol circular, macizo o hueco, sometido a un momento de torsión
,
la tensión cortante de torsión a una
distancia del centro del eje está dada por: = . Deformación por Torsión: Si se marca una generatriz en la superficie de la barra sin carga, y luego se aplica el momento torsor, esa recta se traslada como se ve en la figura. El ángulo , medido en radianes, entre la posiciones inicial y final de la generatriz, se define como la deformación por cortante en la superficie de la barra: Módulo de Elasticidad en Corte: Es la relación entre la tensión cortante y su deformación . Depende de cada material y se define como: =
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Desplazamiento Angular o Ángulo de Torsión: Si un árbol de longitud L está sometido a un momento de torsión constante T en toda su longitud, el ángulo que un extremo de la barra gira respecto del otro es: = Si a lo largo de un eje el momento torsor cambia o la sección cambia, el giro de la sección se calcula por tramos y finalmente se suman todos los giros: = ∑ . Nota: En muchas aplicaciones prácticas, los árboles se utilizan para transmitir potencia. Del estudio de la dinámica se sabe que la potencia transmitida por un par cortante que gira a una velocidad angular constante está dada por: = ∙ , donde es la velocidad angular y se define como: = 2 . Así el momento torsionante . transmitido puede expresarse como: =
EJERCICIOS 1) Calcular el mínimo diámetro de un árbol de acero que, sometido a un momento torsor de 14 kN m, no debe experimentar una deformación angular superior a 3° en una longitud de 6 m. ¿Cuál es entonces el esfuerzo de torsión máximo que aparecerá en él? Usar G=83 GN/ m 2. Resp: d=118 mm – =43,4 MPa.
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2) En un árbol macizo de 5 m de longitud, en el que el ángulo total de torsión es de 4°, el esfuerzo de torsión máximo es de 60 MPa. Si G=83 GPa, calcular su diámetro. ¿Qué potencia podrá transmitir a 20 rps? Resp: d=104 mm – P=1,67MW. 3) Calcular la longitud de una varilla de bronce de 2 mm de diámetro para que pueda torcerse dos vueltas completas sin sobrepasar el esfuerzo cortante a torsión admisible de 70 MPa. Usar G=35 GPa. Resp: 4) UN gran árbol de transmisión para la hélice de un barco tiene que transmitir 4,5 MW a 3 rps sin que el esfuerzo de torsión exceda de 50 MN/m 2 y sin que el ángulo de torsión sea superior a un grado en una longitud de 25 diámetros. Determinar el diámetro más apropiado si G=83 GN/ m 2. Resp: 5) Un árbol de acero de diámetro constante e igual a 60 mm está cargado mediante pares aplicados a engranes montados sobre él, según se muestra en la figura. Usando G=83 GN/ m 2, calcular el ángulo de torsión del engrane D con respecto al A. Resp:
6) Un árbol compuesto consta de una varilla de bronce de Cada una de ellas tiene
60 .
6
de diámetro. El límite de y el de la proporcionalidad del bronce en corte es 1.050 , debiéndose aplicar un coeficiente aleación de aluminio 1.550 de seguridad de dos en cada caso. Si el ángulo de torsión en el extremo derecho no debe exceder de 1° , ¿cuál es el máximo momento torsor que puede soportar el árbol? Se supone que está sujeto rígidamente en su extremo superior. Considerar para el y para el aluminio = 2,810 . bronce = 3,510
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7) Un árbol circular macizo tiene un diámetro uniforme de En su punto medio se transmiten
5 y una longitud de 3.
65 por medio de una correa que pasa por una
polea. Esta potencia se usa para mover dos máquinas, una en el extremo izquierdo del árbol que consume
25 y otra en el derecho, que consume los 40
restantes. Calcular el esfuerzo cortante máximo en el árbol y el ángulo de torsión relativo entre sus dos extremos. La velocidad de giro es de 200 y el material ). es de acero ( = 8,410 8) Considerar un árbol circular macizo y otro hueco cuyo diámetro interior es los 3/4 del exterior. Comparar los pesos de igual longitud de estos árboles, necesarios para transmitir una carga torsional dada, si son iguales las tensiones cortantes producidas en ambos. 9) Un árbol hueco de acero de 3 m de longitud debe transmitir un par de 250.000 kg cm. El ángulo de torsión en esta longitud no debe exceder de 2,5 y la tensión . Calcular los diámetros interior y exterior del árbol cortante admisible es de 850 si = 8,410 10) La figura muestra un árbol macizo de dos materiales y diámetros distintos, firmemente unidos y perfectamente empotrado en sus extremos. La parte de aluminio tiene 75mm de diámetro y =28109 y la de acero tiene 50mm de diámetro = 83109 . El par torsor aplicado es de 1.000N m, y como se observa en la figura, se aplica en la unión de las dos partes. Calcular el máximo esfuerzo cortante en el acero y en el aluminio.
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11) Un árbol macizo de un tren de laminación tiene que transmitir una potencia de
20 a 2. Determinar su diámetro de manera que el esfuerzo cortante máximo no exceda de 40 y que el ángulo de torsión , en una longitud de 3, sea como . máximo de 6°. Emplee un valor de =83 12) Considerar un árbol compuesto fabricado con uno macizo de 5cm de diámetro , rodeado por otro de acero circular de aleación de aluminio con = 2,810 . Los dos hueco, de diámetro exterior 6,5cm e interior 5cm, con = 8,410 metales están rígidamente unidos entre sí. Si el árbol está cargado con un momento torsor de 14.000 , calcular la tensión cortante en las fibras extremas del acero y en las del aluminio. 13) Un árbol de sección constante, de
50 de
diámetro está sometido a los pares torsores que se indican en la figura a través de engranes montados sobre él. Si = 8310 . Calcular, en grados, el ángulo total de torsión entre y . 14) Un árbol compuesto está construido con tres materiales diferentes y sujeto a dos partes aplicados según se ilustra en la figura. a) Calcule el máximo esfuerzo cortante desarrollado en cada material. b) Calcule el ángulo de rotación del extremo libre del árbol. , =83 , =35 . Use los siguientes valores: =28
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