Latihan untuk Subbagian 2.2 1.
Jika (a)
a , b ∈ R , dan
b ≠ 0 . maka berlaku:
|a|=√ a
(b)
2
||
a |a| = b |b|
2. Jika a , b ∈ R , maka berlaku |a + b|=|a|+|b| jika dan hanya jika ab ≥ 0 3. Jika x , y , z ∈ R dan x ≤ z , berlaku x ≤ y ≤ z jika dan hanya jika
| x − y|+| y − z|=| x − z| | x −a|<ε jika dan hanya jika
a −ε < x < a + ε 4. 5. Jika a < x < b dan a < y < b , maka | x x − y|< b− a 6. Carilah semua x ∈ R yang memenuhi peridaksamaan peridaksamaan (a) (b) |4 x −5|≤ 13 | x 2−1|≤ 3 !. Carilah semua x ∈ R yang memenuhi persamaan | x x + 1|+| x −2|=7 ". Carilah semua x ∈ R yang memenuhi peridaksamaan peridaksamaan (a) (b) | x −1|>| x + 1| | x|+| x +1|<2 #. $ualah skesa gra%k persamaan y =| x x|−| x x − 1| 1& Carilah semua x ∈ R yang memenuhi peridaksamaan peridaksamaan 4 <| x + 2|+| x −1|< 5 . 11 Carilah semua x ∈ R yang memenuhi peridaksamaan peridaksamaan |2 x −3|< 5 dan sekaligus . | x + 1|> 2 12 'enukan 'enukan dan gambarlah gambarlah skesa skesa himpunan pasangan pasangan beruruan ( x , y ) di R × R . yang memenuhi: (a) (b) | x | x|+| y|=1 x|=| y| () (d) | xy|=|2| | x|−| y|=2 13 'enukan 'enukan dan gambarlah gambarlah skesa skesa himpunan pasangan pasangan beruruan ( x , y ) di R × R . yang memenuhi: (a) (b) | x|≤| y| | x|+| y|≤ 1 | xy|≤|2| | x|−| y|≤ 2 () (d) 14 isalkan ε > 0 dan δ > 0 , dan a ∈ R . 'unjukkan 'unjukkan bah*a V ε ( a ) ∩ V δ ( a ) dan . V ε ( a ) ∪ V δ ( a ) merupakan lingkungan+ γ dari a , unuk suau γ U 15 'unjukkan 'unjukkan bah*a bah*a jika a , b ∈ R dan a ≠ b , maka erdapa lingkungan+ ε . dari a dan V dari b sedemikian hingga U ∩ V =∅ 16 'unjukkan 'unjukkan bah*a bah*a jika a , b ∈ R , maka . 1 1 (a) max { a , b }= ( a + b +|a −b|) dan min { a , b }= ( a + b −|a − b|) 2
2
(b) min { a , b , c }=min { min { a ,b } , c } 1! 'unjukkan 'unjukkan jika jika a , b , c ∈ R , maka nilai engah- adalah . mid { a , b , c }=min {max {a , b } ,max {b , c } ,max {c , a }}
Pembahasan 1.
(a)
(b) (b)
misalkan a ∈ R sebarang. ia ahu jika a ≥ 0 , maka kia dapakan |a|2=|a|∙|a|= a∙ a =a2 . 2 /an jika a < 0 , maka kia per0leh |a| =|a|∙|a|=(− a ) ∙ (−a )= a2 /an hal ini mengakibakan mengakibakan √ a2=|a| ek ekaran arang g per perhai haik kan un unuk uk b ≠ 0 , kia ahu bah*a b > 0 aau Jika
b > 0 , maka
1
b
> 0 . ebagai akibanya
| |= =| | 1
1
1
b
b
b
b <0 .
C0pyrigh 2&11 upaa Creaie /esign. ll righs resered. 'his d0umen an be disribued 0r n0n+0mmerial purp0sed 0nly.
emudian, jika
b < 0 , maka
1
b
< 0 . ebagai akibanya
|| ( ) 1
b
=−
1
b
ekarang, karena seiap kemungkinan nilai b ≠ 0 berlaku bah*a selanjunya kia per0leh
||| | ||
|a| 1 1 1 a = a ∙ =|a|∙ =|a|∙ = b b b |b| |b|
=
1
=
1
.
−b |b|
| | || 1
b
=
1
b
,
.7./.
2.
nggap |a + b|=|a|+|b| . 2 2 2 2 ⇒ ia per0leh |a + b| =(|a|+|b|) ⇒ ( a + b ) 2=|a| +|b| + 2|a||b| . /an selanjunya kia ) per0leh a2 + b 2+ 2 ab =a 2+ b 2+ 2|ab| . /an hal ini berari ab =|ab| . /ari de%nisi nilai mulak, kia ahu bah*a ab ≥ 0 ( ekarang, anggap bah*a ab ≥ 0 . aka erdapa iga kemungkinan, yakni: a =0 dan b =0 , aau a > 0 dan b > 0 , aau a < 0 dan b < 0 . ⇐¿ 8erhaikan bah*a jika a =0 dan b =0 , maka |a + b|=|0 + 0|=0 =|0|+|0|=|a|+|b| . emudian, jika a > 0 dan b > 0 , kia ahu bah*a a + b > 0 . elanjunya kia dapakan |a + b|= a + b =|a|+|b| . /an erakhir, jika a < 0 dan b < 0 , kia ahu bah*a a + b < 0 . elanjunya, kia per0leh |a + b|=−( a + b )= (−a )+ (−b )=|a|+|b| . /ari semua kemungkinan ersebu, kia dapa simpulkan bah*a (
|a + b|=|a|+|b|
.7./. dan z − y ≥ 0 . elanjunya | y − z|=| z − y|= z − y . /an hal ini
nggap x ≤ y ≤ z . ia ahu bah*a y − x ≥ 0 ⇒ ¿ perhaikan bah*a | x − y|=| y − x|= y − x dan mengakibakan | x − y|+| y − z|=( y − x )+( z − y )= z − x =| z − x|=| x − z| ( ekarang anggap bah*a | x − y|+| y − z|=| x − z| . ndaikan idak benar ⇐ x ≤ y ≤ z . 9al ini berari y < x aau z < y . ) Jika y < x , maka y < x ≤ z . 9al ini berari x − y > 0 dan y − z < 0 . elanjunya perhaikan bah*a | x − y|=| x − z|−| y − z|= ( z − x )− (−( y− z ) )= y − x . kan eapi hal ini idak benar, menginga bah*a y − x < 0 dan semenara kia ahu bah*a | x − y|≥ 0 . Jadi pengandaian y < x idak benar. emudian jika z < y , maka x ≤ z < y . 9al ini berari y − x > 0 dan y − z > 0 . elanjunya perhaikan bah*a | y − z|=| x − z|−| x − y|= ( z − x )−( y− x )= z − y . kan eapi hal ini juga idak benar karena z − y < 0 , padahal kia ahu | y − z|≥ 0 . Jadi pengandaian bah*a z < y idak benar. /ari dua kemungkinan ersebu, kia ahu bah*a idak benar bah*a y < x aau z < y . ehingga haruslah x ≤ y ≤ z . .7./. 4. ia ahu bah*a berlaku | x − a|< ε jika dan hanya jika – ε < x −a < ε . 8erhaikan bah*a jika – ε < x −a , maka a −ε < x dan jika x −a < ε , maka x < a + ε . /an dua hal ini ekialen dengan a −ε < x < a + ε .7./. 5. isalkan a < x < b dan a < y < b . enuru sia rik00mi bilangan real, kia ahu bah*a x = y aau x > y aau x < y . Jika x = y , maka x − y = 0 . ehingga kia per0leh | x − y|= x − y = 0 . emudian karena a < b , maka 0 < b −a . /an dua hal ini mengakibakan | x − y|< b− a . ekarang anggap x > y . elanjunya kia per0leh x + b > y + a . /an hal ini mengakibakan | x − y|= x − y > a −b . amun hal ini ekialen dengan | x − y|<−( a − b )= b − a . 'erakhir, jika x < y . elanjunya kia per0leh x + a < y + b . dan sebagai akibanya kia per0leh | x − y|= y − x > a −b . namun hal ini juga ekialen dengan | x − y|<−( a − b )= b − a . 3.
(
C0pyrigh 2&11 upaa Creaie /esign. ll righs resered. 'his d0umen an be disribued 0r n0n+0mmerial purp0sed 0nly.
6.
(a)
|4 x −5|≤ 13 jika dan hanya jika −13 ≤ 4 x −5 ≤ 13 bah*a
(b)
.7./. . elanjunya kia per0leh
−8 ≤ 4 x ≤ 18 . /an hal ini mengakibakan −2 ≤ x≤
9 2
| x −1|≤ 3
jika dan hanya jika x 2− 1 ≥ −3 dan x 2−1 ≤ 3 . 9al ini mengakibakan x 2 ≥−2 dan x 2 ≤ 4 . arena x 2 ≥ 0 unuk semua x , maka x 2 ≥−2 selalu benar unuk semua x . elanjunya ugas kia inggal menari x yang memenuhi x 2 ≤ 4 . ia ahu x 2 ≤ 4 jika dan hanya jika | x|≤ 2 . /an hal ini berari −2 ≤ x ≤ 2 . !. 'erdapa iga kemungkinan x yang memenuhi | x + 1|+| x −2|=7 , yakni unuk kasus (i) x ≥ 2 , (ii) −1 ≤ x < 2 dan (iii) x <−1 (i) ;nuk x ≥ 2 , kia per0leh x + 1 ≥ 0 dan x −2 ≥ 0 . selanjunya, kia ahu bah*a | x +1|+| x −2|= x + 1+ x −2=2 x −1=7 dipenuhi 0leh x =4 (ii) ;nuk −1 ≤ x< 2 , kia per0leh x + 1> 0 dan x −2 < 0 . elanjunya, hal ini idak mungkin menginga | x + 1|+| x −2|= x + 1− x + 2=3 ≠ 7 . (iii) ;nuk x <−1 , kia per0leh x + 1< 0 dan x −2 < 0 . elanjunya, kia ahu bah*a | x +1|+| x −2|=− x −1− x + 2=−2 x + 1 =7 dipenuhi 0leh x =−3 /ari iga kasus ersebu kia simpulkan bah*a | x + 1|+| x −2|=7 dipenuhi 0leh x =−3 aau x =4 ". (a) ia ahu bah*a | x −1|>| x + 1| jika dan hanya jika ( x − 1 )2 > ( x + 1 )2 dan hal ini mengakibakan x 2−2 x + 1 > x 2 + 2 x + 1 . elanjunya kia per0leh 4 x < 0 . /an hal ini dipenuhi 0leh x < 0 . (b) ia ahu bah*a 2 >| x|+| x + 1|≥|2 x +1| jika dan hanya jika −2 < 2 x + 1 < 2 . /an 2
hal ini ekialen dengan −3 < 2 x < 1 aau dengan kaa lain #.
−3 2
< x < 1
ilai+nilai y akan sanga erganung pada iga selang beriku: (i) elang x ≥ 1 ;nuk x > 1 , selanjunya kia per0leh y =| x|−| x − 1|= x −( x − 1 )= 1 (ii) elang 0 ≤ x < 1 ;nuk 0 ≤ x <1 , kia ahu bah*a x ≥ 0 dan x −1 < 0 . elanjunya, hal ini mengakibakan y =| x|−| x −1|= x −(− ( x −1 ) )=2 x − 1 (iii) elang x < 0 ;nuk x < 0 , kia ahu bah*a x −1 < 0 . /an hal ini mengakibakan bah*a y =| x|−| x − 1|=− x − (−( x − 1 )) =− 1
/ari keiga kasus ersebu, kia bisa simpulkan bah*a gra%k y =| x|−| x −1| berupa: (i)
0 dan x −1 ≥ 0 . elanjunya, kia dapa uliskan 4 <| x + 2|+| x −1|=( x + 2 )+ ( x − 1 ) =2 x + 1 < 5 . /an hal ini mengakibakan
<
3 2 x
< 4 aau ekialen dengan
3 2
< x < 2
;nuk −2 ≤ x< 1 , kia ahu bah*a x + 2 ≥ 0 dan x −1 < 0 . elanjunya hal ini idak mungkin menginga 4 <| x + 2|+| x − 1|=( x + 2 )+ (−( x − 1 ) )= 3 (iii) ;nuk x <−2 , kia ahu bah*a x + 2< 0 dan x −1 < 0 . /an hal ini berari 4 <| x + 2|+| x −1|=−( x + 2 ) + ( −( x −1 ) ) =−2 x −1 < 5 aau dengan kaa lain 4 <−2 x −1 < 5 . /an hal ini mengakibakan 5 <−2 x < 6 . /an hal ini dipenuhi (ii)
C0pyrigh 2&11 upaa Creaie /esign. ll righs resered. 'his d0umen an be disribued 0r n0n+0mmerial purp0sed 0nly.
−3 < x< − 5
0leh
2
/ari iga kemungkinan ersebu kia ahu bah*a 3 2
< x < 2 aau −3 < x <
−5
4
<| x + 2|+| x −1|< 5 memiliki s0lusi
2
8erhaikan bah*a |2 x −3|< 5 jika dan hanya jika −5 < 2 x −3 < 5 . /an hal ini ekialen dengan −2 < 2 x < 8 . /an hal ini berari bah*a |2 x −3|< 5 dipenuhi 0leh −1 < x < 4 . (ii) elanjunya, perhaikan bah*a unuk x ≥ −1 , kia ahu bah*a x + 1 ≥ 0 . /an hal ini mengakibakan | x + 1|= x + 1 > 2 . /an hal ini ekialen dengan x > 1 . emudian jika x <−1 , kia ahu bah*a x + 1< 0 . emudian | x + 1|=− x −1 < 2 . /an hal ini ekialen dengan x >−3 . /ari semua kemungkinan yang ada kia simpulkan bah*a nilai x yang memenuhi | x +1|>2 adalah x >−3 aau x > 1 . /an hal ini ekialen dengan x >−3 /ari (i) dan (ii), kia dapakan nilai+nilai x yang memenuhi |2 x −3|< 5 sekaligus | x + 1|> 2 adalah −1 < x < 4 12 (a) 8erhaikan bah*a jika x ≥ 0 , kia dapakan x =| y| . /an hal ini berari . y = x unuk y ≥ 0 dan y =− x unuk y < 0 . emudian, jika x < 0 , kia dapakan | x|=− x =| y| . /an hal ini berari y =− x unuk y ≥ 0 dan y =−(− x )= x unuk y < 0 . (b) ;nuk x ≥ 0 dan y ≥ 0 . ia per0leh | x|+| y|= x + y =1 . ;nuk x ≥ 0 dan y < 0 . ia per0leh | x|+| y|= x − y =1 . ;nuk x < 0 dan y ≥ 0 . ia per0leh | x|+| y|=− x + y =1. ;nuk x < 0 dan y < 0 . ia per0leh | x|+| y|=− x − y =1 . () ;nuk x > 0 dan y > 0 . ia per0leh | xy|= xy =2 aau ekialen dengan 11 (i) .
2
y = x
;nuk x > 0 dan y < 0 . ia per0leh y =
−2 x
;nuk x < 0 dan y > 0 . ia per0leh y =
−2 x
;nuk x < 0 dan y < 0 . ia per0leh y =
(d)
| xy|=− xy =2 aau ekialen dengan | xy|=− xy =2 aau ekialen dengan | xy|=− xy =2 aau ekialen dengan
−2 x
;nuk 0 < y < x , maka ;nuk x > 0 dan y < 0 dengan y =− x + 2 ;nuk x < 0 dan y > 0 dengan y =− x − 2 ;nuk y < x < 0 , maka
| x|−| y|= x − y =2 aau ekialen dengan y = x −2 , maka | x|−| y|= x −(− y )= x + y = 2 aau ekialen , maka
| x|−| y|=− x − y = 2 aau dengan ekialen
| x|−| y|=− x −(− y )=− x + y = 2
aau ekialen dengan
y = x + 2
14 (i) .
isal a ∈ R . ;nuk sebarang ε > 0 dan δ > 0 . Jika ε =δ , pilih γ = ε =δ , sehingga kia per0leh V ε ( a ) ∩ V δ ( a )=V ε ( a )=V δ ( a )= V γ ( a ) . Jika ε > δ , pilih γ =δ , sehingga diper0leh V ε ( a ) ∩V δ ( a )=V δ ( a ) =V γ ( a ) . Jika ε < δ , pilih γ = ε , sehingga diper0leh V ε ( a ) ∩V δ ( a )= V ε ( a )= V γ ( a ) . eara umum, unuk seiap ε > 0 dan δ > 0 yang diberikan, pilih
C0pyrigh 2&11 upaa Creaie /esign. ll righs resered. 'his d0umen an be disribued 0r n0n+0mmerial purp0sed 0nly.
γ =min {ε , δ } , sedemikian hingga berlaku
V ε ( a ) ∩V δ ( a )= V γ ( a ) .
/engan ara yang sama kia bisa unjukkan bah*a unuk seiap ε > 0 dan δ > 0 yang diberikan kia bisa memilih γ =max {ε , δ } , sedemikian sehingga
(ii)
V ε ( a ) ∪ V δ ( a ) =V γ ( a )
15 nggap .
a < b , jika dipilih
|a− b|> 0
ε=
seandainya ada x memenuhi 2
2
2
|a− b|
|a −b|
2
2
b−
< x < a +
V ε ( a ) ∩V ε ( b )=∅ , karena jika
|a− b| |a− b| | x −a|< ε = dan | x −b|< ε = , maka
|a− b|< < + |a −b| x a dan
a−
berlaku
, maka
2
2
|a− b|< < + |a −b| x b . 9al ini mengakibakan
b−
2
2
. elanjunya, kia dapakan
2b
−|a −b| 2
<
2a
+|a −b| 2
aau
−|a− b|< 2 a +|a−b| . kemudian, hal ini mengakibakan 2 b−( b − a ) =a + b < a + b=2 a +( b −a ) . /an hal ini idak mungkin pernah erjadi. |a− b| > 0 , maka V ε ( a ) ∩V ε ( b ) =∅ , karena ekarang anggap a > b , jika dipilih ε = ekialen dengan
2b
2
andaikan ada x memenuhi
2
|a− b|< < + |a −b| x a dan
a−
berlaku
2
2
|a− b|
|a −b|
2
2
a−
|a− b| |a− b| | x −a|< ε = dan | x −b|< ε = , maka
< x < b +
2
|a− b|< < + |a −b| x b . 9al ini mengakibakan
b−
2
. elanjunya, kia dapakan
2
2a
−|a −b| 2
<
2b
+|a −b| 2
aau
−|a− b|< 2 b +|a−b| . kemudian, hal ini mengakibakan 2 a−( a− b ) =a + b < a + b=2 b +( a −b ) . /an hal ini idak mungkin pernah erjadi.
ekialen dengan
2a
/ari kedua kemungkinan ersebu, maka dapa disimpulkan jika a ≠ b , ada
|a− b|
ε=
2
sedemikian hingga
V ε ( a ) ∩V ε ( b )=∅ .
.7./. 16 (a) .
nggap
a < b , maka
1
1 1 a + b +|a − b|)= ( a + b + b − a )= ( 2 b ) = b = max { a , b } ( 2 2 2
1
1 1 a + b −|a−b|)= ( a + b −( b −a ) ) = ( 2 a )=a =min { a , b } ( 2 2 2
maka kia per0leh 1
. emudian, jika
1
1 1 a + b +|a −b|)= ( a + b + a −b )= ( 2 a ) =a =max { a , b } ( 2 2 2
1 1 a + b −|a−b|)= ( a + b −( a −b ) ) = ( 2 b )=b =min { a , b } ( 2 2 2
. erakhir, jika
1
1 1 1 a + b +|a − b|)= ( a + b + 0 )= ( a + a )= ( 2 a ) =a =b =max { a , b } ( 2 2 2 2 1
1 1 1 a + b −|a− b|)= ( a + b + 0 )= ( a + a )= ( 2 a )= a= b = min { a , b } ( 2 2 2 2
dan
a>b ,
dan
a =b , maka
dan .
.7./. (b) nggap a ≤ b , kia ahu bah*a min { a , b }= a . elanjunya, jika a ≤ c , maka kia per0leh min { a , b , c }= a = min { a , c }= min {min {a ,b } , c } . /an jika a > c , maka kia per0leh min { a , b , c }=c = min { a , c }= min { min { a , b } , c } . ekarang, anggap b < a , kia ahu bah*a min { a , b }= b . selanjunya, jika b ≤ c , maka kia per0leh bah*a min { a , b , c }= b = min { b , c }= min {min { a ,b } , c } . /an jika b > c , maka kia per0leh min { a , b , c }=c = min { b , c }=min { min { a , b } , c } . .7./. 1! Jika a ≤ b ≤ c , maka mid { a , b , c }= b = min { b , c , c }= min { max { a , b } ,max { b , c } ,max { c , a } } . . Jika a ≤ c ≤ b , maka mid { a , b , c }=c =min {b , b , c }= min { max { a , b } ,max { b , c } ,max { c , a } } . C0pyrigh 2&11 upaa Creaie /esign. ll righs resered. 'his d0umen an be disribued 0r n0n+0mmerial purp0sed 0nly.
Jika Jika Jika Jika
, , , ,
b≤a≤c b≤c≤a c≤a≤b c≤b≤a
maka maka maka maka
mid { a , b , c }= a = min { a , c , c }= min { max { a , b } ,max { b , c } ,max { c , a } } mid { a , b , c }=c =min {a , c , a }= min { max { a , b } ,max { b , c } ,max { c , a } } mid { a , b , c }= a = min { a , b , b }= min { max { a , b } ,max { b , c } ,max { c , a } } mid { a , b , c }=b =min { a , b , a }=min { max { a , b } ,max { b , c } ,max { c , a } }
=ampiran gra%k. 3.
. . . . .7./.
| x − z| | x − y|
x
| y − z|
z
y
|a −b|
4.
| x − y|
a
x
y
b
#.
12.. C0pyrigh 2&11 upaa Creaie /esign. ll righs resered. 'his d0umen an be disribued 0r n0n+0mmerial purp0sed 0nly.
12b
12
C0pyrigh 2&11 upaa Creaie /esign. ll righs resered. 'his d0umen an be disribued 0r n0n+0mmerial purp0sed 0nly.
12d
13
C0pyrigh 2&11 upaa Creaie /esign. ll righs resered. 'his d0umen an be disribued 0r n0n+0mmerial purp0sed 0nly.
13b
13
C0pyrigh 2&11 upaa Creaie /esign. ll righs resered. 'his d0umen an be disribued 0r n0n+0mmerial purp0sed 0nly.
13d
C0pyrigh 2&11 upaa Creaie /esign. ll righs resered. 'his d0umen an be disribued 0r n0n+0mmerial purp0sed 0nly.
