Antología de Probabilidad
2.3 AXIOMAS Y TEOREMAS TEOREMAS Tal vez f ue el e l afá afán n inext inguible del de l ho hombre por por l as as apuestas lo que condu j condu jo o al primer desarrol l desarrol l o de l a te teor oría ía de la pr prob obab abiilidad . En un esfuerzo por aumen aument t ar ar sus victor victor ias as,, ac acu ud ió a l os os matem mate máticos para qu q ue l e prop proporci orcio o naran estra estrateg teg ias ópt imas imas par par a d iver i verso soss ju juee g os o s de azar aza r . l l g unos unos d e los matemát icos que accedi acce dieron eron a este ped ido f ueron !ascal !asca l , "eibni "eibni z, z, #ermat $ %ames &ernoulli. 'o 'om mo resu resultado de este temprano s urg imiento imiento de la teor teo r ía ía de la probabil probabi l idad, idad, la inferen infere ncia estad estad ística, ística, con todas su s u s pr p r edi diccio ccion nes $ generalizac generaliza ciones , , se se ha ext ex t endi ndido do más al l lá de lo s s ju juegos egos d e azar par pa r a cubrir cubrir much uchos os otros campos que se relacio relacion nan con l os os su sucesos al al eator eator ios, com co mo la pol pol ítica, ítica, los negocios, el pronóst i pronóst ico del tiem tiempo po $ la investigació investigación n científica. científica. !ara que estas pred iccio ion nes $ generalizacio generalizaciones nes sean suf i suf icie cien ntemente exactas, resulta esenci esenc ial co cont nt ar co con n un un entendimi enten dimieent o clar clar o de la teoría bási bás ica de l a pr obabi abili lida dad. d. (u) se qui quiere decir cu c uando se hac ha cen afirm afi rmaciones aciones como *%uan probablemente ganará l a partida partida de tenis*, tenis*, * Tengo Tengo el ++ - de posibilidades de obtener un nme r o pa parr .al lanzar lanza r un d ad o*, o*, */o esto$ est o$ seg uro de gan ga nar en la lo lote ter r ía í a est est a no noch che* e* , o *"a ma $or ía de de nu nuest est r ros o s gr gra adu dua ado s proba prob abl ement e se habr á casado d ent r r o d e 0 a1 a 1os*. En cada caso s caso see expr expr esa esa un resultado d el el cu cual no se tiene pl p l ena ena certeza, pero en e n vi virt rtud ud de la información qu q ue se tien tie ne d el e l pasa pasado do o d e l a com p pre ren n sió sión n de l a est ruct ruct ura del ex p peeri rimen ment t o, o, se l og og r r a cierto2 cierto2 gra grad d o d e con con fianza en en la val id id e z d e l a asev aseverac eraciión. E n el res rest t o d e esta sección esta sección se co con n si sid d eran eran n niicamen ament t e aq aqu uel l los o s experimentos experimentos para l os os cual es es el espacio muestral muestra l co con nt iene un número fi nito de elementos. elementos. "a posibilidad posibilidad de que se presente un evento resultante de tal experimento estadístico estadístico se evala por medio de un conjunto de nmeros reales llamados pesos o probabilidades que caen en el rango de 0 a 1 . cada punto en el espacio muestral se le asigna una probabi l idad idad tal que la suma de todas las proailidades es 1 . 3i se tiene la razón para creer que un cierto punto muestral muestral tiene una gran posibilidad posibilidad de ocur ocurrir rir cuando cuand o el exper experimen imento to se lleva a cabo, la prob probabil abilidad idad que se le asigne deberá ser cercana cercana a 4. !or el contrario se le asigna un una a probabilidad cercana a cero a un punto muestral que es mu$ posible que no ocurra. En muchos experimentos, tales como l a l anzar una moneda o un dado, todos los puntos muestrales tienen la misma oportunidad de presentarse $ $ se se les asignan probabilidades iguales. los puntos fuera del espacio muestral , , esto es, a los eventos simples simples que no es posible que se den se les asigna una probabilidad de cero.
Antología de Probabilidad !ara encontrar la probabilidad de un evento , se suman todas las probabilidades asignadas a los puntos muestrales en . Esta suma se llama la probabilidad de $ es expresada por !56.
!efini"i#n 2.3.1. "a probabilidad de un evento es la suma de los pesos de todos los puntos
muestrales de . !or lo tanto,
3e lee7 "a probabilidad de se encuentra entre $ 4,
"a probabilidad de que no suceda es
igual a $ "a total probabilidad de que suceda es igual a 4.
E$emplo 2.3.1.
8na moneda se lanza dos veces al aire. 9'uál es la probabilidad de que caiga
cuando menos una vez en cara:
Solu"i#n% El espacio muestral para este experimento es7
3 ; <==, =T, T=,TT>
3i se equilibra la moneda , sería igualmente posible que ocurriera cada uno de estos resultados. !or lo tanto, se le asigna una probabilidad de ? a cada punto muestral. Entonces, @? ; 4 o
? ; 4A@.
3i representa el evento de que se presente cara al menos una vez , entonces
; <==, =T, T=>
E$emplo 2.3.2. 3e carga un dado de tal manera que un nmero par tiene el doble de posibilidades de
presentarse que un non. 3i E es el evento en el que se da un nmero menor que @ en un solo lanzamiento, encuentre !5E6. 3olución7 El espacio muestral es 3 ; <4, B, 0, @, +, C>. 3e le asigna una probabilidad de ? a cada nmero non $ de B? a cada par . Dado que la suma de las probabilidades debe ser 4, se tiene E? ; 4 o ? ; 4A. De aquí que las probabilidades de 4A $ BA se le asignan a cada nmero non $ par,
respectivamente. !or lo tanto,
E
=
{l, 2, 3}
Antología de Probabilidad E$emplo 2.3.&.
En el ejemplo B.0.B. sea el evento de que el dado caiga en un nmero par $ & el
evento de que resulte uno divisible entre 0. Encuentre !5 &6 F !5
&6.
Solu"i#n% !ara los eventos ; $ & ; <0, C> se tiene que U & ; $
& ; . l asignarle una probabilidad de 4A a cada impar $ de BA a cada par, entonces
$ 3i el espacio muestra l para un experimento tiene / elementos, de los cuales todos tienen la misma posibilidad de presentarse, a cada uno de los / puntos se le asigna una probabilidad igual a lA/. "a probabilidad de cualquier ev ento que contiene n del total de / puntos muestrales es, entonces , el cociente del nmero de elementos en $ el nmero de elementos en 3 .
Teorema 2.3.1. 3i un ex perimento puede tener cualquiera d e / resultados diferent es igualmente
factibles, $ si e xactamente n d e estos r e sultados corr es pond en al evento , entonces la probabilidad de est e ltimo e s7
E$emplo 2.3.'. 8na mezcla de dulces contiene C 2 mentas, @ chiclosos $ 0 chocolates, 3i una persona real i za una selección al azar de uno de ellos , encu)ntrese la probabilidad de obtener7 a6 una menta, o b6 un chicloso o un chocolate.
Solu"i#n% 3ean G, T $ ' los eventos en que la persona selecciona una menta, un dulce de melcocha o un chocolate, re s pectivamente, E l nmero tot al de dulces es 40, todos con la misma posibil idad de que se l es escoja.
a6
Dado que C de los 40 dulces son de menta, la probabilid ad del
evento G 5seleccionar una menta al azar6 es7
Antología de Probabilidad
b6
E$emplo 2.3.(.
Dado que H de los 40 dulces son chiclosos o chocolates, se tiene que
En una mano de póquer consistente de + cartas, encuentre la probabilidad de
tener B ases $ 0 sotas. Solu"i#n
El nmero de formas de obtener B ases de @ es7
$ el nmero de formas de tener 0 sotas de @ es7
!or la regla de la multiplicación, ha$ n ; 5C65@6 ; B@ manos con B ases $ 0 sotas. El nmero total de manos de póquer de + cartas, todas igualmente probables, es7
!or lo tanto, la probabilidad del evento '7 tener B ases $ 0 sotas en una mano de 4 póquer de + cartas, es7
-5
3i los resultados de un experimento no tienen la misma posibilidad de ocurrir, las probabilidades deben asignarse sobre la base de un conocimiento previo o una evidencia experimental . !or ejemplo, en el lanzamiento de una moneda, se puede estimar la probabil idad de caras $ cruces al repetirlo un gran nmero de veces $ registrar los resultados. De acuerdo con la definición de frecuencia relativa de probabilidad, las probabilidades reales serían las fracciones de caras $ cruces que ocurren en el largo plazo. !ara encontrar un valor num)rico que represente adecuadamente la probabi l idad de
Antología de Probabilidad victorias en tenis, se depende del comportamiento pasado como jugador $ del que ha$a mostrado el oponente , así como, hasta cierto punto, de la creencia de que se es capaz de ganar . De la misma manera, para encontrar la probabilidad de que un caballo gane una carrera, se debe llegar a una probabilidad basada en los registros previos de todos los caballos que participan en la carrera, así como en los antecedentes de los jinetes que los montan. "a intuición , indudablemente, juega tambi)n un papel importante en la determinación del monto de la apuesta que se estuviera dispuesto a colocar . El uso de la intuición, de las creencias personales $ de alguna otra información indirecta para determinar probabil idades forma parte de la definición subjetiva de probabilidad .
En la ma$or parte de las aplicaciones de la probabilidad, se utiliza la interpretación de la frecuencia relativa de la probabilidad. 3u fundamento descansa en e l experimentó estadístico más que en la subjetividad . 3e le considera más bien como fre"uen"ia relati)a limitante. En consecuencia, muchas aplicaciones de probabilidad en las 'iencias $ en la Ingeniería deben basarse en experimentos que pueden repetirse. 3e encuen tran nociones menos objetivas de
probabilidad cuando se asignan probabilidades con base en información previa $ en opiniones. 'omo ejemplo se presenta la afirmación *Es mu$ posible que los "eones pierdan el supertazón* . 'uando tales datos difieren de un individuo a otro, la probabilidad subjetiva se convierte en una herramienta de gran relevancia.
Re*las aditi)as
#recuentemente es más fácil calcular la probabilidad de algn evento a partir las probabilidades de otros. Esto puede ser cierto si el evento en cuestión puede representarse como la unión de otros dos eventos o como el complemento de alguno. Enseguida se presentan varias le$es importantes que a menudo simplifican el cálculo de las probabilidades. "a primera, llamada la re*la de adi"i#n+ se aplica a las uniones de los eventos.
Teorema 2.3.2.
3i $ & son dos eventos cualquiera , entonces !5
&6 !56 + !5&6 – ! ( =
&6.
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!emostra"i#n 'onsid)rese el diagrama de Jen n de la figura 4 .H. "a !5
probabilidades de los puntos muestrales en
&.
&6 es la suma de las
!56 K !5&6 es la suma de todas las
probabilidades en más la suma de todas las probabilidades en &. !or lo tanto , se han sumado dos vece s las probabilidad e s en 5
&6. Dado que )stas se suman para dar !5
&6 , se d ebe
restar esta probabilidad una vez, para obtener la suma d e las probabilidades en
&, es decir,
!5
&6.
A∩
Figura 1.7 Regla aditia de probabilidad! Corolario 1
3i $ & son mutuamente exclu$entes, entonces !5
&6 ! 56 + !5& 6. =
El corolario 4 es resultado inmediato del teorema B.0.B., $a que si $ & son &6 ; !5 6 ; . En general mutuamente excl u$entes, & ; $ entonces !5 se escribe
Corolario 2
3i ,l B , 0 , !!! ,n son mutuamente e,"lu-entes , entonces
!54 U B U L.. U n 6; !54 6K!5B 6KLLK!5n 6.
Corolario 3
3i ,l B , 0 , !!! , ,n
es una partición de un espacio muestral ", entonces
!54 U B U L.. U n 6; !54 6K!5B 6KLLK!5n 6. ; !536 ;4
#omo p$ede esperarse, el teorema 2!3!2! se generali%a de manera an&loga!
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Teorema 2.3.3.
!5
!ara tres eventos , & $ '
'
#( = !56 + !5&6 + !5'6 - !5
E$emplo 2.3..
&6 M !5
#( - !5&
#( + !5
&
#(!
"a probabilidad de que !aula apruebe matemáticas es de BA0 $ la de que
apruebe ingl ) s es de @A. 3i la probabilidad de que apruebe ambos cursos es de 4A@, 9cuál es la probabilidad de que !aula apruebe al menos uno de ellos:
Solu"i#n% 3i G es el evento *aprobar matemáticas* $ E el de *aprobar ingl)s*, entonces, por la regla de adición, se tiene que
! 5G
E6
=
!5G6 + !5E6 - !5G
E6
E$emplo 2.3./. 9'uál es la probabil idad d e obtener un total de H u 44 cuando se l anza un par de dad os:
Solu"i#n 3ea el evento de que ocurra el H $ & el de que se d) el 44. El H resulta en C de los 0C puntos muestrales $ el 44, en sólo B de ellos. Dado que todos los puntos muestrales son igualmente
posibles, se tiene que !56 ; 4AC $ !5&6 ; 4A4N. "os eventos son mutuamente exclu$entes, dado que H $ 44 no pueden presentarse en el mismo lanzamiento. !or lo tanto,
!5
&6
=
!56 + !5&6
Este resultado tambi)n pudo obtenerse contando el nmero total de puntos para el evento
&,
o sea N, $ escribir
El teorema B.0.B. $ sus tres corolarios deben a$udar al lector a tener un ma$or conocimiento
de la probabil idad $ de su interpretación. "os corolarios 4 $ B sugieren el res ultado mu$
Antología de Probabilidad int uitivo de la probabilidad de que se presente al menos uno del total de eventos, sin que puedan darse dos al mismo tiempo. "a probabilidad de que al menos uno suceda es la suma de las probabilidades de que ocurran los eventos individuales. El tercer corolario establece, simplemente, que el valor más alto de una probabilidad 5uno6 se asigna al espacio muestra l entero S .
E$emplo 2.3.10 .
3i las probabilidades de que una persona, al comprar un nuevo automóvil,
seleccione el color verde, blanco, rojo o azul, son, respectivamente, ., .4+, .B4 $ .B0 9cuál es la probabilidad de un comprador dado adquiera un automóvil en uno de esos colores:
Solu"i#n% 3ean O, P, Q $ & los eventos de que un comprador seleccione, respectivamente, un automóvil verde, blanco, rojo o azul . Dado que estos cuatro son mutuamente exclu$entes, la probabilidad es7
)(* U U R U ' =)(* +)( +)(R +)(' ;. K.4+ K.B4 K.B0 ;.CN.
Guchas veces es más difícil calcular la probabilidad de que un evento suceda que de que no lo haga. 3i )ste es el caso para cierto evento , simplemente se encuentra la !526 primero $ despu)s se utiliza el teorema B.0.@., para encontrar !56 por substracción.
Teorema 2.3.4.
3i $ 2 son eventos complementarios, entonces !56 + !526 =
!
!emostra"i#n% ado .$e ∪ 2 = " y los /on0$ntos y 2 son dis0$ntos, enton/es
4 ;! 536 ; ! 5 82 6 ; ! 56 + ! 526.
E$emplo 2.3.11.
3i las probabil idades de que un mecánico automotriz repare 0, @. +, C, H , N o
más vehícul os en un día hábil cual quiera de la semana son , respectivamente , .4B , .4, .BN , .B@, .4 F .H, 9cuál e s l a probabilidad de que le d) servicio al menos a + carr os el siguiente día de traba jo: Solu"i#n 3ea E el evento de que se arre g len al menos + carros. Entonces , l a
!5E6
; 4 M !5E2 6 ,
d ond e E 2 es el event o de que se reparen menos de + autos. Dado que ! 5E26 ; .4B K .4 ; .04, se sigue con la a$uda del teorema B.0.@. que
!5 E6
;
4 M .04
;
.C.
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