MATEM TICAS GE- LIBRO N°2
LIBRO 2: ALGEBRA Y FUNCIONES
CONTENIDOS -
TÉRMINOS SEMEJANTES
-
REDUCCIÓN DE PARÉNTESIS
-
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
-
PRODUCTOS NOTABLES
-
FACTORIZACIÓN
-
FRACCIONES ALGEBRAICAS
1
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 ÁLGEBRA I EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las sustituir las letras por los valores numéricos valores numéricos dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entre paréntesis. TÉRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos que tienen idéntico factor literal, literal , es decir tienen las mismas letras, y los mismos exponentes, exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y mantener su factor literal. USO DE PARÉNTESIS
En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Los paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:
Si un paréntesis es precedido de un signo +, +, este se puede eliminar sin variar los signos de los términos que están dentro del paréntesis. Si un paréntesis es precedido por un signo , este se puede eliminar cambiando los signos de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis. –
Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez se encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a los paréntesis desde adentro hacia fuera. EJEMPLOS 1.
Si p = 3, q = -2 y r = 2, entonces -q2 + pr2 : q =
2.
x 4y 2z + 4 2x + 3y z 3 =
3.
a2b
–
–
–
1 3
ab2
–
–
1 2 ab 4
–
+
2 3
–
ab2 1 = –
2
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 4.
3x 2y {x [2x + (y 3x) + 2x] y} =
5.
-0,3a (1,4b + 2,25a) + b + a =
6.
(p + q) [2 + (-p q)] =
–
–
–
–
–
–
–
–
RESPUESTAS: 1. -10 2. -x y 3z +1 –
3.
–
3 2 1 2 a b + ab ab 1 4 3
4. 3x y 5. -1,55a 0,4b 6. 2p + 2q 2 –
–
–
3
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 OPERATORIA ALGEBRAICA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS
Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términos semejantes y uso de paréntesis. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
MONOMIO POR MONOMIO:
Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usando propiedades de potencias. Al multiplicar tres o más monomios, se agrupan todos los coeficientes numéricos y se multiplican entre sí; y los factores literales también se agrupan y se multiplican entre sí.
MONOMIO POR POLINOMIO:
Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Es decir: a(b + c + d) = ab + ac + ad
POLINOMIO POR POLINOMIO:
Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y se reducen los términos semejantes, si los hay.
EJEMPLOS 1.
Si A = 3m2
2.
Al aumentar el número -(1 a) en -(-a) + 2 unidades, se obtiene
3.
José tiene 5a b estampillas, le regala a su hermano Miguel 3a Cristina a + b. ¿Con cuántas estampillas quedó José?
–
m + 4 y B = -m2 + 3m
–
5, entonces -2(A B) = –
–
–
4
–
b y a su hermana
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 4.
2 2 25 2 -3 5 xy z 4 x y (-2yz )
5.
(a + 1) (an an + 1 + an + 2) =
6.
(m n) (m2 + mn + n 2)
7.
¿Cuál es el coeficiente de x3 en la expression (x2 2x + 3)(2x2 5x)?
=
–
–
–
RESPUESTAS: 1. -8m2 + 8m 18 2. 2a + 1 3. a b 4. -5x3y4z-2 5. an+3 + an 6. m3 n3 7. -9 –
–
–
5
–
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 PRODUCTOS NOTABLES
CUADRADO DE BINOMIO
El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más o menos el doble producto del primero por el segundo término, más el cuadrado del término. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a b)2 = a2 2ab + b2 –
–
EJEMPLOS 1.
(1 + 3x)2 =
2.
1 2 2w
3.
2
P=
=
2
3 2 x + 1
y Q
2
= - 3 x + 1 2
, entonces P Q = –
6
segundo
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2
4.
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) con (2 5x)2? –
I) II) III)
(5x 2)2 (5x + 2)2 40x 4 25x2 –
–
–
5.
(a 2n a-2n)2 =
6.
Si (a + a-1) = 3, entonces a2
7.
El área de un cubo de arista a es A = 6a2, ¿cuál es el área de un cubo de arista (2x 5)?
–
+
1 = a2
RESPUESTAS 1. 1 + 6x + 9x2 2 1 + w 4w2
2.
4
3. 4. 5. 6. 8.
6x I y II a4n 2 + a-4n 7 24x2 120x + 150 –
–
7
–
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 SUMA POR DIFERENCIA El producto de la suma por la diferencia entre dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. (x + y)(x y) = x2 y2 –
–
BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN
El producto de dos binomios con un término común es igual al cuadrado del término común, más el producto del término común con la suma algebraica de los otros dos términos, más el producto de los términos no comunes. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab EJEMPLOS 1.
(m
2.
(x 6)(x + 3) =
3.
(5a2 b)(5a2 + b) =
–
3)
(m + 3 ) =
–
–
8
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 4.
(2z + 1) 2z
5.
(5m 2n)(5m + 2n) =
6.
(xy 2) (xy + 6) =
7.
¿Cuál es el área de un rectángulo de lados (2ab
1 = 2
–
–
RESPUESTAS 1. m2 3 2. x2 3x - 18 3. 25a4 b2 –
–
–
4.
2
4z
2m
+
z
1 2 2n
5. 5 2 6. x2y2 + 4xy 12 7. 4a2b2 + 4ab 24 –
–
–
9
–
4) y (2ab + 6)?
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 CUADRADO DE TRINOMIO
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
CUBO DE BINOMIO
(a
b)3 = a3
EJEMPLOS 1.
(x + y 2)2 =
2.
(2a b + 3)2 =
3.
(x + 1)3 =
–
–
10
3a2b + 3ab2
b3
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 4.
(a 3)3 =
5.
(x2 y2)3 =
6.
1 a 1
7.
El volumen de un cubo de arista a es a 3. ¿Cuál es el volumen de un cubo de arista (5x + 2)?
–
–
3
=
RESPUESTAS 1. x2 + y2 + 4 +2xy 4x 4y 2. 4a2 + b2 + 9 4ab + 12a 6b 3. x3 + 3x2 + 3x + 1 4. a3 9a2 + 27a 27 5. x6 -3x4y2 + 3x2y4 y6 –
–
–
–
–
–
–
6.
1
3
3
a
2
3
a
+
3 1 a
7. 125x + 150x2 + 60x + 8 11
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 FACTORIZACIÓN FACTORIZAR
Es el proceso de escribir un polinomio como producto de sus factores.
FACTOR COMÚN MONOMIO:
ac + ad = a(c + d)
BINOMIO:
(a + b)c + (a + b)d = (a + b)(c + d)
EJEMPLOS 1.
72 18x =
2.
Al factorizar -5x4y2 + 15x2y2 10xy4 se obtiene
3.
m(a + 2) + n(a + 2) =
4.
Si en la expresión x2n + xn uno de sus factores es x n, entonces el otro factor es
–
–
12
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 5.
a 2 x(a 2) =
6.
c(1 x) + c2x(1 x) =
7.
Al factorizar la expresión 4a ab 8a2 + 2a2b se obtiene
8.
56 + 54 + 53 =
–
–
–
–
–
–
–
RESPUESTAS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
18(4 x) -5xy2(x3 3x + 2y2) (a + 2)(m + n) xn + 1 (1 x)(a 2) c(1 + cx) (1 x) a(1 a)(4 b) –
–
–
–
–
–
–
3
131 ×5
13
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2
DIFERENCIA DE CUADRADOS:
a2 b2 = (a + b) (a b)
DIFERENCIA DE CUBOS:
a3 b3 = (a b) (a2 + ab + b2)
SUMA DE CUBOS:
a3 + b3 = (a + b) (a2 ab + b2)
–
–
–
–
–
EJEMPLOS
1.
a2 289 =
2.
Al factorizar 16x2 9y2 su resultado es
3.
a3 + 1 =
–
–
14
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 4.
Uno de los factores de 8z3 27 es
5.
x2
6.
a6 y12 =
–
1 –
w
2
=
–
4 4 1 = 12 7 . Si a b
a2b2
1 y ab = 3, ab
entonces ab +
RESPUESTAS 1. (a + 17)(a 17) 2. (4x + 3y)(4x 3y) 3. (a + 1)(a2 a + 1) 4. (2z 3)(4z2 + 6z + 9) –
–
–
–
5.
1 1 x w x + w
6. (a + y2)(a y2)(a4 + a2y4 + y8) 7. 4 –
15
1 = ab
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
a2
2ab + b2 = (a
b)2
TRINOMIO DE LA FORMA:
x2 + px + q = (x + a) (x + b) con p = a + b, q = ab
TRINOMIO DE LA FORMA:
ax2 + bx + c =
(ax + p)(ax + q) con a
b = p + q, ac = pq
OBSERVACIÓN: El trinomio de la forma x 2 + px + q es un caso particular del trinomio de la
forma ax2 + bx + c, en el primer caso a = 1.
EJEMPLOS 1.
a2 + 2a + 1 =
2.
Al factorizar x2 x
3.
2x2 + 5x + 2 =
4.
Si a = x2
–
–
–
12 se obtiene
xy y b = y2 xy, entonces a + b es igual a –
16
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 5.
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) factor(es) de la expresión algebraica x2 7x + 12? –
I) II) III)
6.
8.
–
–
–
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a 6x2 5x 6? –
I) II) III)
7.
x 4 x 1 x 3
–
(3 2x)(-2 + 3x) (2x 3)(3x + 2) (3 2x)(-3x 2) –
–
–
–
Al factorizar el trinomio 9 + 4x2 12x resulta –
Si el volumen de un paralelepípedo de dimensiones a, b y c es V = a b c , entonces ¿cuáles pueden ser las dimensiones (distintas de 1) de un paralelepípedo de volumen V = 2x3 + 5x2 3x? –
RESPUESTAS 1. (a + 1)2 2. (x 4)(x + 3) 3. (x + 2)(2x + 1) 4. (x y)2 5. I y III 6. II y III 7. (3 2x)2 8. x, (x + 3) y (2x 1) –
–
–
–
17
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Para factorizar polinomios de cuatro o más términos, éstos se deben agrupar convenientemente de manera de hacer factorizaciones parciales y llegar a una factorización final. OBSERVACIÓN:
Los casos anteriores de factorización nos conducen a la siguiente estrategia general para factorizar un polinomio.
1. 2. 2.1. 2.2.
Intente factor común. Cuente los términos del polinomio. Si tiene 2 términos, intente: suma por diferencia, suma de cubos o restas de cubos. Si tiene 3 términos, intente cuadrado de binomio inicialmente, si no, aplique trinomios que no son cuadrados. 2.3. Si tiene más de 3 términos agrupe convenientemente.
EJEMPLOS 1.
ax + ay + bx + by =
2.
ax bx + by + cy cx ay =
3.
a2 b2 c2 + 2bc =
–
–
–
–
–
RESPUESTAS 1. (x + y)(a + b) 2. (x y)(a b c) 3. (a + b c)(a b c) –
–
–
–
–
–
18
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 FRACCIONES ALGEBRAICAS Se llama fracción algebraica a toda expresión de la forma
P(x) Q(x)
, donde P(x) y Q(x) son
polinomios. La variable x puede tomar cualquier valor real, siempre que no anule al denominador. SIMPLIFICACIÓN DE UNA FRACCIÓN ALGEBRAICA
Para ello se debe considerar lo siguiente:
Si el numerador y el denominador son monomios, se cancelan los factores comunes. Si el numerador y/o denominador no son monomios, se factoriza el numerador y/o el denominador y se cancelan los factores comunes.
EJEMPLOS
1.
2a3 b2 6ab 5
=
2.
x2 + x = x+1
3.
4a 4b = 2b 2a
19
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 4.
5.
6.
7.
x2 9 x2 7x + 12
3x2 x 2 x2 + 2x 3
=
=
ax bx + ay by = x+y
x3 y3 5x2 + 5xy + 5y2
=
RESPUESTAS 1.
a2 3b3
2. x
3. -2
4.
x+3 x 4
5. 20
3x + 2 x+3
6. a b –
7.
x 3 5
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Si A y C son fracciones algebraicas, donde B 0 y D 0, entonces: B
D
La multiplicación A . C = B
A B
La división
:
C D
=
D A·D B·C
A·C B·D
(C 0)
EJEMPLOS 1.
y2 y y + 1 = . 1 y y
2.
a b b2 a2 : a ab
3.
x2 + y2 + 2xy 2
x
2
y
=
:
x+y x y
=
21
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 x2 + x 2
4.
x2 2x 8
.
x2 x 12 x2 + 5x + 6
5.
6x2 5x 6 3x + 2 = : x 1 1 x2
6.
La expresión
a3 b3 a+b
La expresión
1 + p 1 p2
7.
RESPUESTAS 1. y 1 2. –
–
-b b+a
1 q 1
=
: (a2 + ab + b2) es equivalente a
=
q2
3. 1
4. x 1 x+2
5. (2x 3)(1 + x) –
22
6.
7.
a b a+b
1 q p
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
En la adición o sustracción de fracciones algebraicas, tal como en las fracciones numéricas, pueden ocurrir dos casos:
Si
Fracciones de igual denominador A B
y
C B
son fracciones algebraicas, donde B 0, entonces
Fracciones de distinto denominador
Si
A B
y
C D
A C B B
=
son fracciones algebraicas, donde B 0 y D 0, entonces
EJEMPLOS
1.
3x2 4x2 5 15
2.
x 1 x+1 = 2x x
3.
3a 2b + = bc ac
=
23
AC B
A C D B
=
AD BC BD
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 4.
2x2 + 5 6x 5 = + x+3 x+3
5.
Para p 0,
6.
El denominador del resultado de (x2 3x + 2) -1 + (x2 1)-2 es
7.
Para x 5,
1 p3
1 + p2 p5
=
–
–
x+3 8x + 40 = 2 x 5 x 25
RESPUESTAS 1. 2. 3.
x2 3 x+3 2x 3a2 + 2b2 abc
4. 2x 5.
-
1 p2
6. (x 2)(x 1) (x + 1) 7. 1 –
–
24
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 EJERCICIOS ADICIONALES ALGEBRA I Tabla Nº1
1. 2.
Tabla Nº2 Evalúe la expresión y 3x2 + 5y = 1 3(2) 2 + 5(1) = 12 + 5 = 17 3
1.
2 3
-5
2.
2 x + 4y = 3
2 3
2
3.
3 3 x + y= 3 4
x 2 -2
Para x = 3 e y = -2 evalúe 5x + 3y = 5(3) 2 + 3(-2) = 5 · 9 6 = 39 5x + 3y 2 = 5(3) + 3(-2)2 = 15 + 3 · 4 = 27 2x y2 = 2
–
–
3.
-
4.
-4
-
4 5
4.
x2 y2 =
5.
a
-6
5.
(x + y)2 =
6.
a
b
6.
(x + 2)(y + 3) =
–
Tabla Nº 3 x
y
1.
1
1
2.
2
-1
3.
-3
4
4.
3 5
2 3
5.
8
3
x y
y2 1 x
25
x y2 xy
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 Cuadrado de binomio b)2 = a2
(a
Suma por su diferencia
Ejemplo resuelto (3t
(a + b)(a b) = a2
2ab + b2
–
1 t 2
–
–
1. 2. 3. 4. 5. 6.
k
1 t +k 2
= =
2
(5x + y) = (t c)2 = (-t + c)2 = (3m 5t)2 = (5t 3m)2 =
1 t 2 1 4
2
(k)2
–
t2 k2 –
–
1. 2. 3. 4. 5.
–
–
2
t 2
2n
(k + p)(k p) = (x y)(x + y) = (2t + 3k)(2t 3k) = (3t2 + 5)(3t2 5) = (1 z2)(z2 + 1) = –
–
–
–
–
t 2
t + 3r 2
7. (4 3 2)2 = 8. (5k 5-k)2 =
6.
Binomio con término común
Cubo de binomio
3r
=
7. (-2 + x)(x + 2) = 8. (-k3 + n2)(n2 + k3) =
–
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab Ejemplo resuelto
b)3 = a3
(a
3a2b + 3ab2
(2x 5y)3 = = (2x)3 3(2x)2 · (5y) + 3(2x)(5y)2 (5y)3 = 8x3 3(4x2) · (5y) + 3(2x)(25y2) 125y3 = 8x3 60x2y + 150y2 125y3 –
–
–
–
–
–
–
–
1. (x + 5)(x + 2) = 2. (t + 2)(t + 3) = 3. (k + 3)(k 4) = –
4. (m 1)(m + 6) = –
5. (2x 5)(2x + 3) = –
2
2
6. (3t + 2)(3t x + 4 4
x 4
b3
Ejemplo resuelto
(x + 8)(x 3) = x2 + (8 + (-3))x + 8 · (-3) = x2 + 5x 24
7.
b2
Ejemplo resuelto
u)2 = (3t)2 2(3t) · (u) + (u)2 = 9t2 6tu + u2
–
–
1) =
–
1. (t + 1)3 = 2. (3x2 + 2)3 = 3. (y 2)3 = –
4. (5 6k2)3 = –
–
6
5. (x-2 + y-3)3 =
= 6.
26
1 2
3
k
=
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 Factor Común
Diferencia de cuadrados
ab
ac = a(b
a2 b2 = (a + b)(a b)
c)
–
Ejercicio resuelto
–
Ejercicio resuelto
3a 18ab2 = (3a · 1 –
–
m2n2 t4 = (mn)2 (t2)2 = (mn + t2)(mn t2)
3 · 6ab2) = 3a(1 6b2) –
–
–
–
1. t2 + tk =
1. y2 x2 =
2. r r2 =
–
–
2. x2 16y2 =
3. 4x 12xy =
–
–
3. 25a2 4b2 =
4. m2n2 + mn m3n3 =
–
–
4. 0,01a2 b2 = –
5.
2 2
3 3
x y a
2 2
x y
x y
+
2
=
3
a
5. t2q4 r2 = –
a
6. 1 4x2 = –
2
6. 6(a + 1) + 3(a + 1) =
7. a4 b4 = –
7. m(b + 3) + b + 3 =
8.
8. t(k 1) + 1 k = –
0,4
x2 =
–
–
9. a2x b2y =
9. a(x 10) + b(x 10) c(x 10) = –
–
–
–
–
10. (1 q)2 (p + q)2 = –
Diferencia de cubos
Suma de cubos
a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2) –
–
a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2)
–
–
Ejemplo resuelto
Ejemplo resuelto
27x3 125y3 = (3x)3 (5y)3 = (3x 5y)((3x)2 + (3x · 5y) + (5y)2) = (3x 5y)(9x2 + 15xy + 25y2) –
27x3 + 125y3 = (3x)3 + (5y)3 = (3x + 5y)((3x)2 (3x · 5y) + (5y)2) = (3x + 5y)(9x2 15xy + 25y2)
–
–
–
–
–
1. z3 w3 =
1. x3 + y3 =
2. 8 x3 =
2. a3 + 8 =
3. 8y3 27x3 =
3. 27x3 + 125y3 =
4. m3 1 =
4. 64x3 + y6 =
5. 0,001 k3 =
5. k3 + 1 =
–
–
–
–
–
6.
1 y
3
64x3 =
6.
–
1 x
3
+ y3 =
7. a6 + b6 =
7. b6 a6 = –
27
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 Trinomio cuadrado perfecto (Caso 1) a2
2ab + b2 = (a
Trinomio de la forma (Caso 2)
b)2
x2 + px + q = (x + a)(x + b) con p = a + b , q = ab
Ejemplo Resuelto: 49x2
–
Ejemplo resuelto:
28xy + 4y2
El cuadrado El doble de 7x producto de 7x por 2y
Buscamos dos números que: La suma sea -5 y el producto sea 6
El cuadrado de 2y
x2
(7x)2 2(7x 2y) + (2y)2 = (7x 2y)2 –
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
–
x2 + 8x + 7 = ( )( 2 a + 14a + 40 = ( )( 2 x x 30 = ( )( 2 a 3a 40 = ( )( x2 + x 6 = ( )( -36 5a + a 2 = ( )( -12 + t4 t2 = ( )(
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
–
)
–
–
–
) ) ) )
–
–
) )
–
)
–
Factorización por agrupación
ax + p ax + q
ax + bx + c =
–
–
Trinomio de la forma (Caso 3) 2
–
Estos números son (-2) y (-3)
–
a2 + 16a + 64 = ( ) x2 10x + 25 = ( ) q2 + 14q + 49 = ( ) 16x2 + 40xy + 25y 2 = ( 9x2 + 1 6x = ( ) 2 12a + 4a + 9 = ( ) 4 2 t + 2t + 1 = ( )
5x + 6 = (x 2) (x 3)
–
a
, con p + q = b q·p=a·c
Ejemplo resuelto: a2 + b2 4c2 2ab = a2 2ab + b2 4c2 = (a b)2 (2c)2 = (a b + 2c) · (a b 2c) –
–
–
Ejemplo resuelto:
–
–
–
–
Se buscan dos números que: su producto sea -30 = 2 (-15) y su suma sea 7. 2
(2x
15 =
(
1. 2x2 + 5x + 2 = 2. 8x2 2x 1 = –
)
(
4. 25x2 15x + 2 =
(
)
(
3. 6x2 + 13x + 6 = –
)( )(
–
1. -1 + pq p + q =
3)(2x + 10) 2 3) · 2(x + 5) = (2x 2
(2x
=
)
(
)
(
)( (
(
) )
)( (
(
) )
–
3)(x + 5)
)( )(
( (
–
Factorizar completamente
∙
2x + 7x
–
2. r + tq + rp tp rq t =
)
–
) )( )(
28
) )
–
–
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 Simplificación de monomios
Simplificar las fracciones algebraicas (Caso 1)
Ejemplo resuelto: 9a2b2c
=
27ab3c2
Ejemplo resuelto:
9 a2 b2 c 1 1 1 · · · = ·a· · 27 a b3 c2 3 b c =
a) Determinar factor común en el numerador y/o denominador. b) Simplificar para obtener la fracción irreductible.
1 a 3 bc
Simplificar las siguientes fracciones algebraicas
1. 2. 3. 4. 5.
4m5n6 = 12mn
36(a
b)5
81(a
3
=
b)
35a7b8c9 45a4b3c7 72x4y-5
1.
8p 4q
4q = 8p
2.
7a + a+ m 2n
14b = 2b n = 2m
3.
=
4.
7 8
-32x y
=
125a-9b-5c7d4 -250a8b5c 4d4
x2 (x 4) 4x2 = = x2 4 x 4
x3 x
5. =
6.
29
x3 + x 3x2 + x 5a2b 2
=
5ab2
4a
4ab
2k + 3
2k
2k + 1
=
=
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 Simplificar las fracciones algebraicas (Caso 2)
Ejemplo resuelto:
Multiplicación algebraicas
y
división
(x + 5) (x x2 25 = x+5 x+5
5)
=x
3a3b 2ab4 6a4b5 1 · = = a2b 4 2a 9ab 3 18a2b
a)
16a2
5
1
a2
b)
(4a 1)(4a + 1) 2a 2a = · 4a+1 2 4a+1 a
·
=
1. 2.
5q2
p2 + 2pq + q2 2
x2 + 2xy + y2 a3
3.
=
1.
b3
2
2
=
4. 5.
a6
b6
a2 + ab + b2 x2
5x + 6 2
x
x2
3.
a + ab + b
=
·
25
=
x+5 = x 1
2
a
7a + 10 a 2 : = a 5 a2 4a + 4 1 1 : = m2 36 m2 12m + 36
5.
4
35m3n4
·
6x + 5 x2
4.
=
2(4a 1) a
25m7n6 18m4n7 1 1 : = 2a b b 2a
2.
=
3m6n7
-
2
x y + xy
fracciones
Ejemplo resuelto:
Factorizar y simplificar numeradores y/o denominadores. Obtener la fracción irreductible
5p2
de
Mínimo común múltiplo (m.c.m) de dos o más expresiones algebraicas
Adición y Sustracción de fracciones algebraicas de igual denominador (Caso 1)
Determinar el m.c.m de las siguientes expresiones
Ejemplos resueltos:
Tabla 1
a)
Expresiones algebraicas
m.c.m
(a2 b2)
3(a + b)(a
b)
x+8 x+6 x+8+x+6 2x + 14 + = = 3 3 3 3 2x 3x 5x + = x+5 x+5 x+5
(3a + 3b) 3(a + b)
(a + b)(a b)
1. x2 2xy + y2
2x 2y
Sumar o restar las fracciones algebraicas y obtener la fracción irreductible.
2. 3a
4a 4b
1.
m2 + 3m 4
2.
a2 b2
3.
–
–
3b
3. m2 9 –
4. a2 2ab + b2 –
5. m3 8 –
–
–
b)
2a
c)
–
2
a
–
–
–
–
m2 5m + 6 –
4.
b
2
2
2
a
=
b
2a
2b
2
2
a
p2 2
6p 9
2
p
2 (a
9 p
2
b)
(a + b)(a
5x + y = 2x + y
+ 9
=
b
m 2 4m 3 + = 5m 5m a 1 = a2 1 a2 1 4x + 3y 3x y + 2x + y 2x + y
p
30
2b
= 9
b)
=
2 a+b
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 Adición y sustracción de fracciones algebraicas de distinto denominador (Caso 2)
Fracciones algebraicas combinadas (Caso 3)
Ejemplo resuelto:
Ejemplo resuelto:
a+b a+b (a + b)(a b) (a + b)2 = a+b a b (a + b)(a b) =
a2 ab + ab b2 a2 2ab b2 (a + b)(a b)
=
2.
=
-2b (a b)
3. 4.
p+1 p+5
9
x +3 3x
3x (x+5) (x+ 3) (x
3)
·
x +3 3x
2x x2 - 4 x + 2 = · : 2 x + 2 3x 6x 3a a a2 + 4a + 4 · = a + 2 a a + 2
2.
3b = a+b
p 1 p 5 + p+3 p2 + 8p + 15
·
1.
3 4 5 = + + 6m 3m 2m a2 + 2ab + b2
2
Realizar las operaciones indicadas
3x 5 2x 14 = + x 3 2x 6
2a
3x2 +15x x
Sumar o restar las fracciones algebraicas 1.
operaciones
x+3 x +3 3x 6x 3x(x + 3) + 6x + · = · 3x 2 3x x 3 x2 9 x 9
-2b(a + b) -2ab 2b2 = = (a + b)(a b) (a + b)(a b) =
con
=
31
3.
p2 + pq 1 : + 1 = p p
4.
a+b a+b + a a 1 a
=
=
x +5 x 3
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 RESPUESTA EJERCICIOS ADICIONALES
Tabla 1 1. 27 71 3 34 3
2.
-
3. 4. 5. 6.
Tabla 2 1. 2 2. -6 3.
44 3a2 30 3a2 + 5b –
4. 5. 6.
3
3 2
5 1 5
Cuadrado de binomio
1.
1
2.
- 2
1 2
-1 2
3.
19 3
19 12
4.
3 15 10
7 27
7 18
5.
2 6 3
5 8
5 3 24
25x2 + 10xy + y 2
1. k2 p2
t2 2tc + c2
2. x2 y2
3.
t2 2tc + c2
3. 4t2 9k2
4.
9m2 30mt + 25t2
4. 9t4 25
5.
9m2 30mt + 25t2
5. 1 z4
6.
t2 4
6. 9r2
7.
34 24 2
8.
0
Suma por su diferencia
1. 2.
–
–
–
–
–
2tn + 4n2
k
Tabla 3 0
–
t2 4
7. x2 4 –
-k
25 2 + 25
8. n4 k6 –
Binomio con término común 1. 2. 3. 4. 5. 6.
x2 + 7x + 10 t2 + 5t + 6 k2 k 12 m2 + 5m 6 4x2 4x 15 9t4 + 3t2 2
7.
x2 x 24 16 2
–
Cubo de binomio 1. 2. 3. 4. 5. 6.
–
–
–
–
–
32
t3 + 3t2 + 3t + 1 27x6 + 54x4 + 36x2 + 8 y3 6y2 + 12y 8 125 450k2 + 540k4 216k6 x-6 + 3x-4y-3 + 3x-2y-6 + y-9 –
–
–
1 3 3 k + k2 k 3 8 4 2
–
MATEM TICAS GE- LIBRO N°2 Factor común
Diferencia de cuadrados
1. 2. 3. 4.
1. (y + x)(y x) 2. (x + 4y)(x 4y) 3. (5a + 2b)(5a 2b)
t(t + k) r(1 r) 4x(1 3y) mn(mn + 1 1m2n2)
–
–
–
–
–
–
5.
x y xy 1 + 1 a a a2
6. 7. 8. 9.
3(a + 1)(3 + a) (b + 3)(m + 1) (k 1)(t 1) (x 10)(a + b c) –
b
5. (tq2 + r)(tq2 r) 6. (1 + 2x)(1 2x) 7. (a2 + b2)(a2 b2) –
–
–
2 8. 2 + x x 3 3
–
–
a a + b 10 10
4.
2 2
–
x
y
x
9. (a + b )(a by) 10. (1 + p)(1 2q p) –
–
–
Diferencia de cubos
Suma de cubos
1.
(z w)(z2 + zw + w2 )
1.
(x + y)(x2 xy + y2 )
2.
(2 x)(4 + 2x + x2 )
2.
(a + 2)(a2 2a + 4)
3.
(2y 3x)(4y2 + 6xy + 9x2 )
3.
(3x + 5y)(9x2 15xy + 25y2 )
4.
(m
1)(m2 + m + 1)
4.
(4x + y 2 )(16x 2 4xy 2 + y4 )
5.
(k + 1)(k2 k + 1)
5.
1 k 1 k + + k2 10 10 100
6. 7.
7.
(a2 + b2 )(a4 a2b2 + b4 )
(b2 a2 )(b4 + a2b2 + a4 )
Trinomio cuadrado perfecto (caso 1)
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
y 1 + y + y2 x x x2
6. 1
1 1 4x 2 4x + + 16x 2 y y y
(a + 8)2 (x 5)2 (q + 7)2 (4x + 5y)2 (3x 1)2 (2a + 3)2 (t2 + 1)2 –
–
Trinomio (caso 2)
Trinomio (caso 3)
1.(x + 7)(x + 1) 2.(a + 10)(a + 4) 3.(x 6)(x + 5) 4.(a + 5)(a 8) 5.(x + 3)(x 2) 6.(a + 4)(a 9) 7.(t2 + 3)(t2 4)
1. 2. 3. 4.
–
–
–
–
–
33
(x + 2)(2x + 1) (2x 1)(4x + 1) (2x + 3)(3x + 2) (5x 1)(5x 2) –
–
–
Factorización por agrupación 1. (q 1)(p + 1) 2. (1 + p q)(r t) –
–
–
