256487122-Concreto-Protendido

ECC 605 Prof Paulo Sarkis

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APRESENTAÇÃO A bibliografia recente sobre a técnica do concreto protendido apresenta uma grande lacuna. Não há abordagem de métodos que permitam ao aluno iniciante definir as dimensões e protensões necessárias para que uma peça possa atender a uma determinada finalidade. Os novos conceitos de dimensionamento do concreto protendido nos limites últimos, consagrados nas novas normas internacionais, inclusive na NBR-6118 (16), inibiram a difusão de métodos até então bastante utilizados. Entre estes métodos, o utilizado por Guyon (1) no seu curso no Centre des Hautes Études de Béton Armeé et Précontraint é sem dúvida o que mais se adapta ao objetivo de iniciação na arte de projetar peças protendidas, especialmente vigas. O que se buscará fazer ao longo deste caderno é mostrar como podem ser aplicados estes métodos tradicionais em harmonia com as novas especificações de normas. No fundo resgata-se o fato de, na essência, o concreto protendido continuar sendo um recurso basicamente voltado para a melhoria do desempenho na fase de utilização do concreto. Os aspectos referentes à execução do concreto protendido, suas vantagens sobre o concreto armado, principais utilizações, sistemas de protensão, são abordados de forma condensada permitindo uma visão abrangente desta tecnologia.

Bibliografia recomendada: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Y. Guyon, “Construction en Béton Précontraint”, Editions Eyrolles, 1966 Y. Lin, “Prestressed Concrete Structures”, Wiley International Edition, 1963 G. Dreux, “Pratique du Béton Précontraint”, Editions Eyrolles, 1973 Colin O’Connor, “Design of Bridge Superstrutures”, Wiley, 1971 J. Barrets, “Concreto Pré-esforzado”, Editora Reverté Mexicana, 1967 Curso “Tópicos de Concreto Protendido”, Prof. Lobo Carneiro, COPPE/UFRJ, 1969 7. Curso “Concreto Protendido”, Prof. Ervino Fritsch, UFSM, 1972 8. Publicação “Perdas da Força de Protensão”, VSL 9. Conferência “Blocos Parcialmente Carregados”, Aluizio Fontana Margarido, 1973, DNER, Seminário de Estruturas 10. J.C.Sussekind, “Curso de Concreto”, Editora Globo, 1984 11.M. 11.M. Franco, “Concreto Protendido em Edifícios”, III Jornadas Ibero-LatinoAmericana de Concreto Protendido, São Paulo, 1994 12.J.C. 12.J.C. Figueiredo Ferraz, “Perdas de Protensão para Carregamentos Permanentes, aplicados ao Longo do Tempo”, III Jornadas Ibero Latino Americana de Concreto Protendido, São Paulo, 1994

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13.A.C. 13.A.C. Vasconcelos, “Manual Prático para a correta Utilização das aços no Concreto protendido”, Cia Siderúrgica Belgo Mineira 14. R.C. Schwingel, “Dimensionamento Automático de Vigas Isostáticas com Protensão Total ou Parcial, por Aderência Inicial”, Dissertação de Mestrado, Escola de Engenharia, UFRGS, Porto Alegre, 1995 15.W. 15.W. Pfeil, “Concreto Protendido”, Editora Didática e Científica Ltda, 1991. 16.NBR 16.NBR 6118 “Projeto de Estruturas de Concreto - Procedimento”, ABNT, 2003 17.NBR 17.NBR 7482 “Fios de Aço para Concreto Protendido”, ABNT, 1991 18.NBR 18.NBR 7483 “Cordoalha de Aço para Concreto Protendido”, ABNT, 1991 19.CEB-FIP 19.CEB-FIP “Code Modèle CEB-FIP pour les Structures em Béton”, 1978 20.E.P. 20.E.P. Duarte, “Execução de Lajes Protendidas”, III Jornadas Ibero Latino Americana de Concreto Protendido, São Paulo, 1994 21.J.Mason, 21.J.Mason, “Concreto Armado e Protendido”, Editora Livros Técnicos e Científicos, 1976. 22.Rudloff,Manfred 22.Rudloff,Manfred T.S., “Perdas da força de protensão”, Publicações Técnicas Rudloff-VSL Industrial Ltda, 1994.

I.

Introdução:

a) Conceitos Gerais:

O concreto protendido apresenta inúmeras vantagens técnicas e econômicas sobre os diversos materiais que concorrem com ele na solução de problemas estruturais; Ao empregar, com racionalidade, as máximas tensões que a tecnologia dos materiais possa oferecer, ele permite que o projetista acompanhe o progresso na fabricação de novos materiais, mais resistentes, incorporando-os imediatamente à sua rotina de projeto. Em países mais desenvolvidos o emprego dos aços de protensão já chega a 7% dos aços de concreto armado. No Brasil este percentual é estimado de 1% a 2%. A tecnologia da protensão tem, portanto, um largo campo para sua difusão no Brasil. Os principais obstáculos à implementação do seu uso são a falta de divulgação do desenvolvimento técnico atingido e a capacitação profissional dos engenheiros e técnicos da construção civil. b) Natureza e Histórico:

A idéia da protensão é bastante antiga. Ao longo da civilização humana são muitos os exemplos de “estruturas” simples em que se criam tensões prévias (em geral de compressão) para se opor às tensões a serem geradas pelo carregamento ou uso futuro.

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São tradicionais os processos construtivos do barril e da roda de raios. Em ambos os casos coloca-se uma cinta metálica externa de diâmetro menor do que as madeiras a serem reunidas. Para colocar a cinta metálica a mesma é aquecida, dilatando-se ao resfriar a cinta provoca um esforço de compressão entre as partes de madeira. Ao serem utilizados, tanto o barril quanto a roda sofrerão um esforço de tração entre as peças de madeira. Este esforço produzirá um alívio nas tensões de compressão que haviam sido criadas previamente, mas ainda sobrará um esforço de compressão entre as peças de madeira. Assim, no concreto, com a sua característica de baixa resistência à tração, a idéia de se criar esforços prévios de compressão surgiu pouco depois da concepção do concreto armado. O engenheiro alemão Doerhing, em 1888, já tentou utilizar os aços existentes na época para aplicar a protensão no concreto. Mas, devido à baixa qualidade dos materiais, toda a protensão aplicada inicialmente era consumida pelas perdas provocadas pela deformação lenta e retração do concreto combinadas com a relaxação do aço. Em pouco tempo as peças executadas apresentavam problemas de resistência e tinham de ser abandonadas. Foi só na década de 1920 que o francês E. Freyssinet, após um longo estudo das propriedades reológicas do concreto e do aço, contando também com aços de melhor qualidade, relançou o concreto protendido como uma tecnologia moderna e avançada, capaz de superar os limites técnicos do concreto armado. c) A protensão no concreto:

O concreto é um material de boa resistência à compressão mas péssima resistência à tração. Se uma viga de concreto simples for submetida à flexão, a sua ruptura dar-se-á na zona tracionada enquanto na zona comprimida a tensão atingirá apenas 1/10 da sua capacidade. Para se contornar o problema existem duas soluções: No concreto armado dispõe-se uma armadura na zona tracionada, a qual impedirá a ruptura da viga quando o concreto romper por tração.

No concreto protendido aplica-se uma força que produza tensões de compressão na zona que ficaria tracionada quando a peça for carregada.

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Observe-se que na primeira solução a peça precisa fissurar (romper à tração) para que a armadura funcione. No segundo caso, a protensão (a força prévia aplicada) pode ser suficiente para evitar a fissuração. d)

Exemplo de fixação:

Para fixar idéias, tomemos um exemplo, desenvolvido por Dreux (3) , de uma viga de seção retangular, com b= 200 mm e h = 500 mm, sendo M= 80 kNm o momento atuante nesta seção. Supondo-se o concreto trabalhando à tração, a seção sem armadura, portanto homogênea, as tensões máximas, nas bordas, seriam: bh 3 0,2 × 0,53 I= = = 0,00208 m 4 ⇒ Momento de Inércia 12 12 v = v' = 0,25 m ⇒ Distância das bordas ao centro de gravidade I I ∴ = = 0,00833 m 3 v v' kN  M 80[kN.m] σ c = − =− = − = -9,6 MPa ⇒ fibra superior comprimida 9 600 3 2 I m 0,0083[m ] v σ c ' =

M 80[kN.m] kN  = = + 9 600 = +9,6 MPa ⇒ fibra inferior tracionada 3 2 I m 0,0083[m ] v'

Para o concreto esta tensão de tração é inaceitável (exigiria um concreto com fck da ordem de 200 MPa) enquanto a tensão de compressão é aceitável (necessita fck = 20  MPa). Suponhamos então que se aplique uma força normal à seção de P = 960 kN de compressão. Se P é centrada obtém-se uma tensão de compressão uniforme: kN  960[kN] 9600 σ  N  = − = − = −9,6 MPa 2 2 0,2 × 0,50[ m ] m  A combinação de tensões produzidas pelo momento fletor e pela força normal de  protensão nos fornece: σ c = -9,6 MPa

σ  N  =  = -9,6 MPa

σ  =  = -19,2 MPa

=

⊗  960 kN 

σ c’ = +9,6 MPa

σ  N ’ = -9,6 MPa

σ ’ = 0

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 Do que resulta uma tensão de compressão muito forte para para o concreto, embora tenham desaparecido as tensões de tração. O problema já poderia ser resolvido com um concreto de fck = 40 MPa. Se F coincide com a extremidade do núcleo central de inércia, obtemos: σ c = -9,6 MPa

σ  N  =  = 0

σ  =  = -9,6 MPa

= σ c’ = +9,6 MPa

σ  N ’ = -19,2 MPa

e

⊗

 960 kN 

σ ’ = -9,6 MPa

Se, nesta última hipótese, diminuímos à metade o valor da força de protensão (P = 480 kN) teremos: σ c = -9,6 MPa

σ  N  =  = 0

σ  =  = -9,6 MPa

= σ c’ = +9,6 MPa

σ  N ’ = -9,6 MPa

e

⊗

 480 kN 

σ ’ = 0

Solução melhor em relação às anteriores pois necessita apenas da metade da  força de protensão (e, (e, portanto, menor área de aço) e de um concreto de resistência resistência moderada (fck = 20 MPa)

CONCLUSÃO: Para equilibrar as tensões tensões produzidas pelas pelas cargas externas (M) (M) devemos variar dois parâmetros: a força P e a excentricidade e. II.

Meios para se obter uma protensão

Para que os princípios gerais da protensão possam ser aplicados é necessário dispor-se de meios físicos capazes de introduzir esforços prévios na estrutura para obter-se a protensão. Vários pesquisadores e profissionais tem se dedicado ao desenvolvimento de equipamentos e materiais para este fim. Os “sistemas de protensão” resultantes destes estudos são registrados, para obter a proteção dos direitos correspondentes a sua criação cr iação e explorados comercialmente.

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Entretanto todos estes sistemas estão fundamentados em procedimentos básicos comuns. A seguir ilustramos algumas das idéias básicas utilizadas para obter protensão. a) Por reações externas Os macacos de protensão, que vão introduzir os esforços na estrutura, reagem sobre apoios externos e comprimem a viga no ponto desejado. Conseguida a protensão, os esforços são transmitidos através de calços e os macacos serão retirados. macaco

calço

b) Por tração posterior de um cabo ou fio de aço A viga é concretada deixando-se no seu interior um conduto dentro do qual é colocado, sem aderência, um cabo de aço formado pela combinação de vários fios ou cordoalhas. Os macacos atuam, prendendo-se ao cabo de aço, comprimindo o concreto e tracionando o cabo. Atingido o esforço desejado, prende-se o cabo nas extremidades do conduto com o auxílio de cunhas ou outros dispositivos e liberam-se os macacos. cunhas

c) Por tração de um cabo ou fio de aço antes da concretagem O cabo é tracionado por meio de macacos que se apoiam sobre apoios ou bancadas. A seguir a viga é concretada com o cabo em seu interior. Após a cura do concreto, os cabos são liberados da bancada, transferindo para o concreto, por aderência, o esforço de protensão. forma formass e su ortes ortes

leito de rotensão

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leito de rotensão

A primeira idéia apresentada tem o defeito de exigir a existência de um ponto de reação externa suficientemente resistente para suportar as reações horizontais dos macacos que realizariam a protensão. Este sistema raramente é utilizado devido à dificuldade em dispor-se destes pontos para reação horizontal. A segunda idéia tem a vantagem de poder ser aplicada em qualquer local independente das condições externas dos apoios. A desvantagem deve-se ao custo e dificuldades para realizar-se as ancoragens nas extremidades dos condutos. Em geral os elementos utilizados para a ancoragem são fabricados em aço. Este meio para se obter a protensão é o mais usado e está na origem da maioria dos sistemas de protensão. É denominada protensão com pós-tração. A terceira idéia é mais apropriada para ser usada na pré-fabricação. Necessita para seu uso de uma instalação fixa onde sejam previstos os elementos para receber os esforços horizontais aplicados antes da concretagem. É conhecida pelo nome de protensão com pré-tração. Além dos sistemas gerais expostos acima existem outros de uso ainda reduzido. Entre estes sistemas podemos citar a Protensão Elétrica, Protensão Química, Protensão contra moldes, etc... Para maiores detalhes recomendamos T.Y.Lin (2).

III. Materiais Utilizados Os materiais aço e concreto utilizados no concreto protendido devem apresentar altas resistências para serem técnica e economicamente viáveis. Conforme se verá mais adiante, não é tecnicamente viável a realização de protensão com aços de concreto armado e, da mesma forma, ela deixa de ser econômica com concretos de baixa resistência. A norma NBR 6118 fixa em um  fck  mínimo   mínimo de 25 MPa e fator água/cimento água/cimento máximo de 0,60 a qualidade mínima que o concreto deve apresentar. A tendência atual

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é fixar valores ainda mais altos como 30 MPa. Em obra é possível trabalhar-se com até 50 MPa ou mesmo 60 MPa. Quanto aos aços utilizados para a realização da protensão no Brasil, a prática de uso atualmente privilegia o uso de fios de baixa relaxação de CP 175, com tensão de escoamento convencional ( fpyk ) de 1575 MPa e tensão de ruptura ( fptk ) de 1750 MPa, bem como de cordoalhas de baixa relaxação de CP190, com tensão de escoamento  fpyk ) de 1615 MPa e tensão de ruptura ( fptk ) de 1900 MPa. Os convencional ( fpyk  diagramas tensão-deformação são dados a seguir: CP 1 7 5 RB FIOS DE BAIXA RELAXAÇÃO RELAXAÇÃO f pt pt k =   17 5 0 E 1= 2 1 0A 0 0CO 0 NC RETO , 6ND 0 0% ε 1 =PRO PARA PAR RE TO PRO0TE TEND IDO 1800 fpyk=  15 7 5 E 2= 1 00 00 2 = 0 , 9 5 0 % ε CP 175 RB a = -2 , 3 E + 0 7 15 80 lim 0 2% = 1575 1575 MPa MPa 1600 b = 4 4 4 2 8 5 , 7 c = -5 8 2 , 8 5 7 ε σ 0 0 1400 0,300% 630 0,600% 12 6 0 1200 0,644% 13 3 0 0,688% 13 9 1 0,731% 14 4 4 1000 0,775% 14 8 8 0,819% 15 2 3 15 4 9 800, 806 3 % 0,906% 15 6 6 0,950% 15 7 5 610, 008 1 % 15 8 8 1,213% 16 0 1 Módulo de Elasticidade 1,344% 16 1 4 410, 407 5 % 210 GPa 16 2 8 1,606% 16 4 1 16 5 4 210, 703 8 % 1,869% 16 6 7 2,000% 16 8 0

0 0 ,0 % 0,2%

0 ,2 %

0

0 ,4 %

0 ,6 %

0 ,8 %

1 ,0 %

1 ,2 %

1 ,4 %

alongamento

1 ,6 %

1 ,8 %

2 ,0 %

10/ 68 68 CP 19 0 R B fptk =  190 0 esc=  171 0 2000 a = - 2 , 2 E + 0 7 b = 4 7 5 3 6 5 ,5 1800 c = - 9lim 0 3 , 500 7 2% = ε σ 0 1600 0 0 ,3 5 1 % 68 4 0 ,7 0 2 % 136 8 1400 0 ,7 4 8 % 144 4 0 ,7 9 5 % 151 1 1200 0 ,8 4 2 % 156 8 0 ,8 8 9 % 161 5 0 ,9 3 6 % 165 3 1000 0 ,9 8 3 % 168 2 170 1 810,00 3 0 % 1 ,0 7 7 % 171 0 1 ,1 9 2 % 172 2 610,03 0 8 % 173 3 1 ,4 2 3 % 174 5 410,05 3 8 % 175 6 1 ,6 5 4 % 176 8 177 9 210,07 6 9 % 1 ,8 8 5 % 179 1 2 ,0 0 0 % 180 2

E 1= E 2=

CORDOALHA DE BAIXA RELAXAÇÃO ε 1= 0,702% PARA CONCRETO PROTENDIDO ε 2= 1,077% CP 190 RB

1 95000 10000 1690

1615 1615 MPa

Módulo de Elasticidade 195 GPa alongamento

0

0,0 %

0,2%

0 ,2 %

0 ,4 %

0,6 %

0 ,8%

1 ,0 %

1,2%

1 ,4%

1,6 %

1,8%

2 ,0 %

0

De forma genérica, podemos usar o gráfico dado no Manual Prático para a Correta Utilização dos Aços no Concreto Protendido (13) para os aços de protensão em questão: σ P/fptk 1,00

50,0

0,90

9,0

0,80

7,7

EQUAÇÕES DOS DIVERSOS TRECHOS

0,70 0,60

5,4

0 ≤ ε P ≤ 5,4%o

⇒

σP

fptk

0,50 0,40 0,30

CP175 5,4 ≤ ε P ≤ 7,7%o

7,7 ≤ ε P ≤ 9%o

0,20 0,10 0,00

= 0,1130 × ε P

9 ≤ ε P ≤ 50%o

⇒

CP190 =

2

= −0,0198 × ε P + 0,328 × ε P − 0,592

fptk σP 2 = −0,0097 × ε P + 0,218 × ε P − 0,342 fptk

1 × ε P + 0,642 fptk 65 σP 1 = × ε + 0,760 ⇒ fptk 456 P ⇒

σP

σP

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Ou, usando a NBR 6118/2003:  Item 8.4.4 Módulo Módulo de Elasticidade O módulo de Elasticidade deve ser obtido em ensaios ou fornecido pelo fabricante. Na  falta de dados específicos, pode-se considerar o valor de 200 GPa para fios e cordoalhas.  Item 8.4.5 Diagrama tensão-deformação. 2 0 0 0σ ...Para cálculo nos estados fpyk limite de serviço e último podese utilizar o diagrama  fpyd simplificado da figura:

s

 fptk  fptd

Ep 0 0

uk ε uk

ε6P0

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CORDOALHAS PARA PROTENSÃO ESPECIFICAÇÃO DOS PRODUTOS CARGA CARGA A M NIMA NIMA ALONG. DI M. ÁREA ÁREA MASSA MÍNIMA CARG PRODUTO A 1% DE APÓS NOM. APROX. MÍNIMA APROX. DE ALONGAMENTO RUPT. RUPTURA SérieDe (mm) (mm2) (mm2) (kg/km) (kN) (kgf) (kN) (kgf) (%) CORD CP 190 RB 3x3,0 6,5 21,8 21,5 171 40,8 4.080 36,7 3.670 3,5 CORD CP 190 RB 3x3,5 7,6 30,3 30,0 238 57,0 5.700 51,3 5.130 3,5 CORD CP 190 RB 3x4,0 8,8 39,6 39,4 312 74,8 7.480 67,3 6.730 3,5 CORD CP 190 RB 3x4,5 9,6 46,5 46,2 366 87,7 8.770 78,9 7.890 3,5 CORD CP 190 RB 3x5,0 11,1 66,5 65,7 520 124,8 12.480 112,3 11.230 3,5 CORD CP 190 RB 7 6,4* 26,5 26,2 210 49,7 4.970 44,7 4.470 3,5 CORD CP 190 RB 7 7,9* 39,6 39,3 313 74,6 7.460 67,1 6.710 3,5 CORD CP 190 RB 7 9,5 55,5 54,8 441 104,3 10.430 93,9 9.390 3,5 CORD CP 190 RB 7 11,0 75,5 74,2 590 140,6 14.060 126,5 12.650 3,5 CORD CP 190 RB 7 12,7 101,4 98,7 792 187,3 18.730 168,6 16.860 3,5 CORD CP 190 RB 7 15,2 143,5 140,0 1.126 265,8 26.580 239,2 23.920 3,5 * Fabricação sob consulta Acondicionamento

As cordoalhas são fornecidas em rolos sem núcleo nas seguintes dimensões aproximadas: Peso Composição da Diâm. Int. Diâm. Ext. Altura do Nominal Cordoalha (cm) (cm) Rolo (cm) (kg) Cordoalha 3 ou 7 Fios 2800 76,2 139 76,2

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FIOS PARA PROTENSÃO TENSÃO TENSÃO ALONG. DI METRO ÁREA ÁREA MASSA MÍNIMA A 1% MÍNIMA DE APÓS PRODUTO NOMINAL APROX. M NIMA APROX. RUPTURA DE RUPTURA (mm) (mm2) (mm2) (kg/km) ALONGAMENTO (%) (MPa) (kgf/mm2) (MPa) (kgf/mm2) CP 145RBL 9,0 63,6 62,9 500 1.450 145 1.310 131 6,0 CP 150RBL 8,0 50,3 49,6 394 1.500 150 1.350 135 6,0 CP 170RBE 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.530 153 5,0 CP 170RBL 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.530 153 5,0 CP 170RNE 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.450 145 5,0 CP 175RBE 4,0 12,6 12,3 99 1.750 175 1.580 158 5,0 CP 175RBE 5,0 19,6 19,2 154 1.750 175 1.580 158 5,0 CP 175RBE 6,0 28,3 27,8 222 1.750 175 1.580 158 5,0 CP 175RBL 5,0 19,6 19,2 154 1.750 175 1.580 158 5,0 CP 175RBL 6,0 28,3 27,8 222 1.750 175 1.580 158 5,0 CP 175RNE 4,0 12,6 12,3 99 1.750 175 1.490 149 5,0 CP 175RNE 5,0 19,6 19,2 154 1.750 175 1.490 149 5,0 CP 175RNE 6,0 28,3 27,8 222 1.750 175 1.490 149 5,0 Acondicionamento Os fios para concreto protendido são fornecidos em rolos de grande diâmetro, obedecendo às seguintes dimensões aproximadas: Peso Diâmetro Nominal do Diâm. Int. Diâm. Ext. Altura do Nominal Fio (mm) (cm) (cm) Rolo (cm) (kg) 4 5-6-7-8-9

700 700

150 180

180 210

18 18

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IV.

Propriedades dos Materiais – Aço e Concreto – que interessam ao concreto protendido.

Como as tensões introduzidas pela protensão alteram-se com as deformações experimentadas pelo aço e pelo concreto, tudo que diz respeito às propriedades físicas capazes de influir na deformação do concreto e do aço interessa ao concreto protendido. O exemplo seguinte esclarece bem a questão: Viga com dois cabos de protensão. a) antes da protensão do primeiro cabo as deformações ocorridas não influem no valor da força de protensão. b)

c)

após a protensão do 1º cabo as deformações introduzidas por esta protensão também não influem no valor do esforço, pois a ancoragem se dá após a obtenção da força desejada. após a protensão do 2º cabo as deformações, introduzidas por esta segunda protensão, vão influir sobre o esforço que estava sendo aplicado pelo primeiro cabo.

∆εe1

encurtamento elástico da viga ∆εe1+ ∆εe2

encurtamento plástico da viga ∆εe1+∆εe2+ ∆ ∆ εs+∆εc

provoca a perda de tensão no primeiro cabo

provoca a perda de tensão em todos os cabos

d)

a retração(s) e a deformação lenta(c), que ocorrem após o término da operação de protensão, produzem um encurtamento da peça de concreto, reduzindo o valor da força de protensão.

e)

além dos fenômenos mencionados acima e simultaneamente, ocorre a chamada relaxação do aço, que também representa uma diminuição do valor da força de protensão. Quase todas as bibliografias de concreto (armado ou protendido) tratam dos problemas citados, ou seja: - deformação elástica do concreto e do aço; - retração do concreto; - deformação lenta ou fluência do concreto

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- relaxação do aço.

V.

Sistemas de protensão.

Existem vários sistemas ou processos de protensão, isto é, conjuntos de procedimentos e equipamentos que permitem a introdução de tensões prévias no concreto. Por isto é praticamente impossível conhecer todos os sistemas de protensão existentes (em torno de uma centena no mundo inteiro). No livro de Lin (2)  há uma abordagem sistemática destes processos, classificados conforme o mecanismo de introdução da protensão, dispositivos de ancoragem, etc. De todos os processos existentes, o sistema Freyssinet é o que mais se desenvolveu no mundo inteiro. Entre nós, no Brasil, são ou foram usados os sistemas Freyssinet ou STUP, Leonhard, Rudloff-VSL, Rudloff-VSL, Ferraz, MAC, Tensacciai, Tensacciai, além dos sistemas de protensão para pré-moldados. Os fundamentos gerais para o projeto de uma estrutura em concreto protendido não sofrem a influência do sistema de protensão. Apenas no cômputo das perdas por atrito, perdas de ancoragem, detalhes das extremidades dos cabos é que aparece a influência dos processos de protensão. O que diferencia um sistema de protensão dos outros são o método e equipamentos para aplicação de tensão, modo de ancoragem e os materiais utilizados, incluindo a composição dos cabos. Cada sistema de protensão apresenta vantagens e desvantagens, sendo muito difícil fazer uma comparação entre eles para determinar qual o melhor. Pode-se dizer que um sistema de protensão que tenha sido bem testado experimentalmente e aprovado por órgãos idôneos é um sistema em condições de uso. A escolha de um ou outro sistema de protensão dependerá de fatores comerciais (assistência do fabricante, vantagens, etc.) e de fatores técnicos (perdas por atrito, por ancoragem, compacidade dos equipamentos, etc.). Em geral, um sistema de protensão engloba vários detalhes, dos quais muitos são comuns a outros sistemas. Por exemplo, a maneira de executar os condutos no concreto, o tamanho, o número e a disposição dos aços, os princípios básicos para a colocação em tensão e os princípios básicos de ancoragem são comuns a vários sistemas. A seguir damos as características mais importantes dos sistemas utilizados no Brasil, para protensão com pós-tração.

VI.

Sistema Freyssinet ou STUP.

O processo Freyssinet ou STUP é o mais antigo do mundo, se bem que tenha sofrido muitos melhoramentos que o tornam diferente da concepção inicial de Freyssinet.

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Os dutos para o aço de protensão são obtidos com auxílio de folha metálica corrugada chamada bainha. Já existe hoje, no mercado, tubos plásticos para bainhas de protensão. Os aços podem ser enfiados antes da colocação da bainha no meio da forma, depois da fixação fixação da bainha bainha nas armaduras, armaduras, mas antes da concretagem, concretagem, ou após o término da concretagem. a)

Os fios e as cordoalhas de aço são reunidos em feixes chamados cabos.

1. Os fios são paralelos e reunidos em torno de uma mola central. 2. As cordoalhas podem ser reunidas em torno de molas ou não, conforme o comprimento do cabo. 3. Para cada tipo de cabo devem ser escolhidos os correspondentes macacos, cones de ancoragem e bainhas. b)

Os macacos são de duplo efeito. Possuem ranhuras laterais, onde se alojam e são ancorados os fios ou cordoalhas. Quando acionados, os macacos tracionam os fios apoiando-se nas bordas do cone fêmea de ancoragem. Atingida a tensão desejada (controla-se também o alongamento dos aços), o próprio macaco contém um dispositivo (duplo efeito) que força o cone macho para o lugar definitivo, ancorando os fios de aço.

c) As ancoragens são obtidas com o auxílio de dois dispositivos que são: cone fêmea e cone macho. Estes dispositivos podem ser fabricados em concreto altamente vibrado e cintado (para cabos de 12 φ5 mm e 12φ7 mm) ou em aço (todos os cabos). A tendência atual é fazê-los de aço. As ranhuras laterais existentes no cone macho destinam-se a alojar os fios ou cordoalhas dos cabos. O furo central destina-se a permitir a posterior injeção de argamassa.

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d)

Injeção de argamassa e fecho das d as extremidades. Após o término da operação de protensão deve-se injetar (através do furo existente no cone macho) uma massa de cimento e areia para se obter a aderência dos cabos e sua proteção. Esta injeção é feita com o auxílio de um misturador e de uma bomba a pistão. Acompanhando uma tendência geral, a STUP também oferece sistema de protensão com ancoragem individual de cordoalhas, semelhante aos sistemas apresentados na seqüência.

VII. Sistema Rudloff-VSL. O sistema de protensão Rudloff tem as suas unidades básicas definidas a partir de combinações de cordoalhas de ½”, podendo estas combinações serem as mais variadas, desde uma única cordoalha até cabos com 31 cordoalhas. A tração útil depende do número de cordoalhas do cabo. Cada cordoalha corresponde a valores entre 9 e 12 toneladas, aproximadamente. Estes valores de tração útil, tanto no caso do sistema Rudloff quanto no caso do sistema Freyssinet, são meras indicações. Os valores reais dependerão do tipo de aço e serão o resultado da aplicação de tensões definidas em norma para cada tipo. O macaco do sistema Rudloff-VSL permite a passagem dos fios por um espaço interno. Os fios tem ancoragem individual nos macacos. As ancoragens do sistema Rudloff são obtidas com o auxílio de uma placa metálica, colocada na extremidade do cabo, solidária ao concreto, que apresenta um furo individual para cada cordoalha do cabo e um furo que permanece livre para a futura injeção. Para se obter a fixação das cordoalhas na placa de ancoragem, elas são envolvidas por pequenas peças tronco-cônicas, partidas em três setores, que apertam a cordoalha quando forçadas para dentro dos furos da placa metálica. A figura a seguir ilustra a ancoragem do sistema.

VIII. Sistema Tensacciai. Este sistema, na sua concepção original, adota cabos com saídas individuais para cada elemento, cordoalha de 1/2” e 5/8” , que são tracionadas por macacos independentes que atuam de forma simultânea. si multânea. As ancoragens são compostas de cunhas e porta-cunhas externas às placas de ancoragem.

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As unidades, cabos, são disponíveis até 27 cordoalhas de 15,2 mm (5/8”). (5/8”) . Numa outra alternativa do sistema Tensacciai, o macaco é único para todas as cordoalhas de um cabo. A ancoragem é feita com cunhas que reagem contra um bloco único apoiado por sua vez na placa de ancoragem. Neste último caso, os cabos podem conter até 36 cordoalhas de 15,2 mm (5/8”). As figuras a seguir ilustram o sistema.

IX.

Sistema MAC.

Sistema concebido para cabos formados por até 31 cordoalhas de 1/2” ou 22 de 5/8”, protendidas por um único macaco. A ancoragem se dá com cunhas tronco-cônicas partidas em três setores que se acomodam em furos na placa de ancoragem em aço. No site da empresa podemos obter algumas informações úteis para projetistas, embora de forma simplificada, sobre os principais tipos de ancoragens ativas injetadas para cabos com cordoalhas de φ12,7 mm e φ15,2 mm. O desenho abaixo indica os tamanhos e disposições constantes nas tabelas:

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Cordoalha φ 12 ,7 mm Cabo 1 2 4 6 7 12 19 Nicho a(mm) 140x140 184x164 240x240 285x285 285x285 344x344 420x420 b(mm) 100x100 140x120 160x160 205x205 205x205 270x270 340x340 c(mm) 100 100 100 110 110 120 150 Trombeta d(mm) 50x25 62 85 85 126 180 e bainha e(mm) 32 35x20 42 50 50 66 80 Disposições f(mm) 80 90 100 130 130 200 225 Construtivas g(mm) 110 140 160 200 200 300 390 p(mm) 80 90 100 130 130 200 225 q(mm) 110 120 160 200 200 300 390 Espira k(mm) 5 5 8 8 8 12,5 10 h(mm) 90 110 140 170 170 250 350   m i(mm) 35 35 35 35 35 35 35   e   g   a x(mm) 1150 1400 2200 2700 2700 5500 9900    t   e   r Barra n(mm) 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4 5 4,2    F  j(mm) 120 120 160 160 160 230 280 z(qtd.) 2 3 3 3 3 3 4

20/ 68 68 Cordoalha φ 15,2 mm Cabo 1 2 4 6 9 12 16 Nicho a(mm) 175x175 245x245 290x290 350x350 350x350 420x420 440x440 b(mm) 125x125 195x195 200x200 240x240 270x270 340x340 360x360 c(mm) 100 100 110 120 150 150 150 Trombeta d(mm) 60x25 80 90 126 160 180 e bainha e(mm) 32 40x20 46 60 66 80 90 Disposições f(mm) 85 108 120 140 200 225 225 Construtivas g(mm) 125 175 210 230 300 390 390 p(mm) 85 93 120 140 200 225 225 q(mm) 125 145 210 230 300 390 390 Espira k(mm) 6,3 6,3 10 10 12,5 12,5 12,5 10 10 h(mm) 110 120 150 170 250 250 350   m i(mm) 35 35 35 35 35 35 35   e   g   a x(mm) 1350 1510 2400 2700 5500 5500 9900    t   e   r Barra n(mm) 3,4 4,2 4,2 3,4 5 5 4,2    F  j(mm) 140 120 160 160 230 230 280 z(qtd.) 2 3 3 3 3 3 4

Também são apresentadas, de forma simplificada, informações sobre os seus macacos de protensão, para cordoalhas de φ12,7 mm e φ15,2 mm.

Para Cordoalha Injetada: Macaco

a

b

c

d

e

Peso

MAC- (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (kg) 1 4 7 12 19 31

120 215 250 350 460 550

480 443 450 480 180 700

770 525 535 630 670 850

50 152 180 250 280 320

180 295 340 430 550 950

38 70 130 240 350 700

Comp. de Curso Área cordoalha Perda por Atrito para a acomodação interno 2 (mm) (cm ) protensão (mm) (%) (mm) 250 40,77 700 6 3 150 152,01 800 6 3 160 240,00 700 6 3 150 392,90 750 6 3 150 732,76 780 6 3 150 780,00 800 6 3

  :   s   e    õ   ç   a   v   r   e   s    b   o 1 2 3 4 5 6

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observações: 1. para 1 cordoalha de φ 12,7 mm ou φ 15,2 mm; 2. para 4 cordoalhas de φ 12,7 mm; 3. para 7 cordoalhas de φ 12,7 mm ou 4 à 6 de φ 15,2 mm; 4. para 12 cordoalha de φ 12,7 mm ou 9 de φ 15,2 mm; 5. para 19 cordoalha de φ 12,7 mm ou 10 à 15 de φ 15,2 mm; 6. para 31 cordoalha de φ 12,7 mm ou 22 de φ 15,2 mm;

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X.

Dimensionamento Dimensionamento à flexão de uma seção de concreto protendido.

As seções de uma peça de concreto protendido devem ser dimensionadas ou verificadas para as solicitações em serviço, com tensões admissíveis especificadas nas Normas ou nas condições especiais especiais de projeto, e pelos critérios de limite último último ou de ruptura. Ao contrário do concreto armado, que mesmo em uso trabalha fissurado, no concreto protendido a verificação das tensões em serviço nas seções baseia-se nas teorias elásticas. Admite-se a seção de material homogêneo, submetida a cada instante às solicitações de flexão (provenientes das solicitações externas e da excentricidade da força de protensão) e de compressão (proveniente da força de protensão). Desta forma os procedimentos de cálculo baseiam-se inteiramente nas teorias da Resistência dos Materiais ou teoria da elasticidade. A verificação em serviço de uma seção consiste, portanto, em aplicar para cada fase característica da vida da peça, as teorias de presso-flexão para o cálculo das tensões de borda, não devendo estas tensões ultrapassar as tensões admissíveis. Na vida útil de uma peça protendida devem ser identificadas todas as combinações possíveis de carregamento e força de protensão, levando-se em conta que esta última varia ao longo do tempo em função das perdas. Em geral, as seguintes fases características podem ser encontradas na vida de uma peça: 1º caso)

Protensão numa única fase:

1ª fase: protensão total inicial + peso próprio 2ª fase: protensão total inicial + cargas totais 3ª fase: protensão total final após perdas + cargas permanentes 4ª fase: protensão total final após perdas + cargas totais 2º caso)

Protensão em várias fases:

1ª fase: protensão parcial 1 inicial + peso próprio 2ª fase: protensão parcial 1 após as perdas + peso próprio + parte 1 das cargas permanentes 3ª fase: 2ª fase + protensão parcial 2 inicial 4ª fase: 2ª fase + protensão parcial 2 após perdas + parte 2 das cargas permanentes 5ª fase: 4ª fase + protensão parcial 3 inicial ... nª fase: todas as protensões parciais após as perdas + carga total. É usual admitir-se diferentes limites para as tensões no concreto nas diversas fases. Isto aumenta a complexidade das verificações, embora a finalidade de se usar limites diferentes seja para permitir um melhor aproveitamento do material. Por outro

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lado, as perdas de protensão dependem da idade decorrida desde a aplicação de cada protensão e também da idade do concreto quando da aplicação de cada protensão.

XI.

Fixação das tensões admissíveis.

Para fixação das tensões admissíveis necessitamos primeiramente caracterizar os diversos tipos de protensão previstos na NBR 6118 (16)  . São previstos: nível 1Protensão parcial, nível 2-Protensão limitada e nível 3-Protensão completa. completa. Para a protensão parcial (nível 1) admite-se fissuração para a combinação freqüente de ações, com abertura característica de fissura f issura w ≤ 0,2 mm. Para protensão limitada (nível 2) deve-se ter tensões de compressão ou nula (estado limite de descompressão) para as combinações quase permanentes de ações, admitindo-se tensões de tração limitada à tensão característica à tração do concreto  fctk  (limite de formação de fissura) para par a as combinações freqüentes de ações. Finalmente, para protensão completa (nível 3) a peça deve apresentar tensões normais à seção sempre de compressão ou nula (estado limite de descompressão) e, apenas para as chamadas combinações raras de ações (sismo, vento, etc.), é admitida tensão de tração limitada à tensão característica à tração do concreto, fctk  (estado  (estado limite de formação de fissura). Podemos montar a seguinte tabela: Classe de agressividade Nível de Protensão ambiental (CAA) mínimo I com pré-tração 1 I ou II com pós-tração II com pré-tração 2 III ou IV com pós-tração III ou IV com pré-tração 3

fck mínimo cobrimento mínimo (MPa) (mm) 20 30 25

35

35

45

Em todos os casos, a NBR 6118 fixa o valor máximo da tensão de compressão, para garantir a segurança no momento da protensão, em 0,70  fck ou 0,70  fckj  se a protensão for em idade inferior à 28 dias. Já a tensão máxima de tração do concreto não deve ultrapassar 1,2 vezes a resistência à tração  fctm  correspondente ao  fckj especificado. Estas tensões devem ser obtidas através das solicitações ponderadas de γ P = 1,1 e γ f f =   1,0. As tensões no concreto são maiores no momento da protensão, em nenhuma etapa posterior a tensão obtida quando da aplicação da força de protensão será suplantada e esta verificação visa a segurança neste momento crítico. Na técnica de projeto desenvolvida neste caderno didático, adotaremos o critério de projetar a peça para que ela satisfaça os limites de Norma ou de projeto no tempo infinito. As perdas de protensão serão compensadas previamente por uma força

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maior no ato da protensão. Desta forma temos a necessidade de projetar no tempo infinito para limites máximos inferiores a 0,70  fck.  Quanto maior for a perda de protensão a ser compensada na força inicial, maior será a diferença entre as tensões máximas no concreto no momento inicial e no tempo infinito. Com base em experiência de projetos será adotado 0,40  fck   quando for usado aço de relaxação normal (RN) e de 0,45 fck  quando  quando for usado aço de baixa relaxação (RB). Para a tensão mínima com a viga descarregada, recomenda-se utilizar 10% do valor adotado para a tensão máxima, de modo a evitar que apareçam tensões de tração no momento da protensão. De qualquer forma se, na compensação das perdas, chegar-se a tensões muito diferentes do limite de 0,70  fck , para maior ou para menor, o projeto poderá ser retomado com tensões diferentes das propostas acima para o tempo infinito. Para tensões de tração ou limite de descompressão, a relação entre a tensão no tempo infinito e no ato da protensão dependerá da natureza da peça. No caso de vigas (flexão), a protensão, isoladamente, produz tensões de tração na face oposta aos cabos. Assim as tensões, no instante inicial, apresentarão mais tração ou menos compressão do que no tempo infinito. Para projetar com tensões no tempo infinito e garantir os limites da NBR 6118 no momento inicial, é necessário impor-se limites de projeto acrescendo-se pequenas tensões de compressão aos limites da norma. Estes acréscimos são diferentes conforme se trate de vão inferior ao crítico ou superior ao crítico definidos adiante. Para armaduras de protensão, a NBR 6118 fixa os seguintes valores, válidos para o momento da aplicação da protensão: 

Na pré-tração com cabos de relaxação normal (RN) deve ser atendido o menor dos dois valores 0,77 fptk e 0,90 fpyk. Com aços de baixa relaxação (RB) os limites são 0,77 fptk e 0,85 fpyk.



Na pós-tração com cabos de relaxação normal (RN) deve ser atendido o menor dos dois valores 0,74 fptk e 0,87 fpyk. Com aços de baixa relaxação (RB) os limites são 0,74 fptk e 0,82 fpyk.

Permite-se, por ocasião da aplicação da força de protensão, a elevação da força de protensão, limitados a 10 % dos valores acima em até 50% dos cabos, se forem constatadas irregularidades na protensão decorrentes de falhas executivas nos elementos estruturais. Para definição do número e tipo de cabo durante o projeto, quando se conhece inicialmente apenas a protensão no tempo infinito, pode-se utilizar valores 20% inferiores aos determinados acima, para aços de relaxação normal e 16% para aços de baixa relaxação.

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XII. Equilíbrio de forças numa viga protendida No caso da protensão com pós-tração, onde o traçado do cabo pode ser curvo, no momento em que é feita a protensão não existe solidariedade entre o concreto e o cabo. Desta forma, o equilíbrio de forças é obtido pelas ações e reações entre o cabo e o concreto. Tomemos um trecho de viga com cabo curvo: f’

PA

f’ f’ f’ f’ f’

PA’ PB’

PB

As forças e tensões assinaladas com ( ’ ) atuam sobre o elemento de concreto e as forças sem sinal atuam sobre o cabo. Verifica-se, pelo conjunto de forças ativas e reativas que atuam no concreto, que, para que haja equilíbrio, temos que considerar as tensões existentes na seção com resultante igual à força no no cabo e ponto de aplicação da resultante resultante em cima do ponto de passagem do cabo. Logo, podemos admitir, em cada seção, o concreto solicitado por uma força de valor igual à força atuante no cabo e tangente ao cabo na seção. No caso da pré-tração o cabo é reto ou poligonal, se forem usados pinos para desviar a direção, mas o princípio de equilíbrio na seção é o mesmo.

O cálculo das tensões normais nas bordas de uma seção transversal de concreto protendido é feito pelas fórmulas da resistência dos materiais levando-se em conta todos os esforços que solicitam a seção. Para o momento externo positivo atuante na seção:

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M v na borda superior I M σ c ' = 2) v' na borda inferior I Para força excêntrica de compressão: P P×e σ cp = − + 3) v na borda superior A I P P×e ' σ cp = − − 4) v' na borda inferior A I Entendido que o sinal (-) representa compressão e que valores positivos da excentricidade são contados do centro de gravidade da seção em direção à borda inferior. 1)

σ c = −

XIII. Compensação do peso próprio – Seção retangular. Com um exemplo numérico, adaptado de Guyon (1) vamos demonstrar uma das grandes vantagens do concreto protendido que é equilibrar o peso próprio (total ou parcialmente) sem custos. Como as seções retangulares não são muito convenientes para uso em concreto protendido (ver Capítulo XVIII - Rendimento de uma Seção) para termos um exemplo mais real de seção retangular podemos imaginar faixas de 1 metro de largura de uma laje armada numa só direção. Seja, pois, um projeto com as características ilustradas abaixo: Com o concreto fck = 25 MPa, protensão completa da NBR 6118, com aço de relaxação q = 13,33 kN/m baixa, RB. Deseja-se determinar as dimensões 12 m (altura) da seção, valor e ponto de aplicação da  protensão.  A tensão limite no tempo infinito será de σ adm   11,25 MPa, para adm= 0,45 fck ≅  11,25 evitar dificuldades na verificação na ruptura (Capítulo XI). Considerando-se o momento produzido pela carga acidental M q teríamos: 13,33 × 12 2 ≅ 240 kNm Mq = 8

 Inicialmente, sem considerar o peso próprio, para o máximo aproveitamento do material, resultaria o seguinte esquema de tensões:

σ P =-1,125

σ q = -10,125

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  =-11,25 σ  =-11,25

= σ ’P =-11,25

σ ’q =10,125

Protensão Pura

Cargas Acidentais

σ ’ = -1,125

Tensões Resultantes

Para obter o diagrama de tensões devido às cargas acidentais devemos ter: M M h 240 × = 10125kN/m 2 ⇒ × 6 = 10125 v = 10,25 MPa; I bh 3 2 1× h 2 12

∴ h = 0,377 m

O esforço de protensão deve ser igual à resultante das tensões devidas à  protensão pura: P=

0,377 × 1,0 × (11250 + 1125) = 2333 kN 2

 A armadura de protensão deve estar localizada no ponto de passagem da resultante das tensões de protensão. Desta forma, pelas tensões nos bordos: σ P = −

2333 2333 × e 0,377 P P×e + × v ⇒ −1,125 × 10 3 = − + ×  A  I  1 × 0,377 1 × 0,377 3 2 12

σ ' P = −

P P×e 2333 2333 × e 0,377 − × v' ⇒ −11,25 × 10 3 = − − ×  A  I  1 × 0,377 1 × 0,377 3 2 12

e = 0,051m do centro da seção s eção  Resumindo: Seção de 1,0 ×  0,377  0,377 m Força de protensão P = 2333 kN Ponto de aplicação ≅  0,14  0,14 m da face inferior.

Consideremos agora a ação do peso próprio. O momento gerado pelo peso  próprio será: 0,377 × 1,0 × 25 × 12 2 ≅ 170 kNm Mg = 8

Ora, se mantivéssemos a protensão com as mesmas características vistas acima, teríamos os seguintes diagramas de tensões:

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Protensão

+

σ P =-1,125

peso próprio σ q = -7,177

  =-8,302 σ  =-8,302

= σ ’P =-11,25

σ ’q =7,177

σ ’ = -4,073

(Protensão + peso próprio) + sobrecarga σ  =-8,302  =-8,302 MPa

σ q = -10,125

σ  =-18,427   =-18,427

= σ ’ =-4,073 MPa

σ ’q =10,125

σ ’ = 6,052

Observe que a fase anteriormente chamada de protensão pura só existe teoricamente.  Na prática, quando aplicamos a protensão, a viga se deforma liberando o escoramento e mobilizando desde o início o peso próprio.  Antes da protensão

 Após a protensão Verificamos também que as tensões finais saem dos limites pois vamos ter uma tensão de compressão na borda superior de 18,427MPa >11,25 e uma tensão de tração de 6,052 MPa >0.  À primeira vista pode nos parecer que a única maneira de trazer as tensões  para os limites admissíveis admissíveis é alterar a seção e/ou a força de protensão.  Na realidade a solução solução é mais simples.

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 Da figura análoga à da primeira parte do problema vemos que o diagrama que deve ser somado ao produzido pelas cargas externas para se obter as tensões limites quando atuar a sobrecarga é um diagrama triangular. σ P=-1,125

σ q = -10,125

σ  =-11,25  =-11,25

= σ ’P =-11,25

Protensão + peso próprio

σ ’q =10,125

σ ’ =-1,125

Cargas Acidentais

Tensões Resultantes

Ora, se encontrarmos um diagrama para o estado de protensão pura que, somado ao diagrama devido ao peso próprio, produza o mesmo diagrama utilizado acima, teremos resolvido o problema. σ =? =?

σ g = -7,177

? σ =?

σ  =-1,125   =-1,125

= σ ’g =7,177

σ ’ =-11,25

 Deste esquema, tiramos o valor do diagrama da da protensão pura, que é: σ  =6,052  =6,052

σ ’ =-18,427

 Resta saber se o diagrama pode ser produzido sem alterarmos as dimensões dimensões da  peça. Observemos em primeiro lugar que a resultante do diagrama acima é a mesma do diagrama triangular usado anteriormente, ou seja, a força de protensão necessária  para obtê-los é a mesma. mesma.

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Para obtermos a excentricidade do ponto de aplicação da força de protensão  podemos utilizar as fórmulas fórmulas já apresentadas: P P×e + v na borda superior A I P P×e σ'cp = − − v' na borda inferior A I σ cp = −

+ 6,052 × 10 3 = −

2333 6 × 2333 × e + 0,377 × 1,0 1,0 × 0,377 2

  2333 6 × 2333 × e   −  − 28,427 × 10 3 = − − 0,377 × 1,0 1,0 × 0,377 2    

___________________________________ 6 × 2333 × e + 24,479 × 10 3 = + 2× ∴ e = 0,124m 2 1,0 × 0,377

Ora, no caso anterior a excentricidade era de 0,051m. 0 ,051m.  Logo, conseguimos equilibrar o peso próprio da estrutura apenas com um deslocamento do ponto de aplicação da força de protensão. Observemos ainda que a excentricidade encontrada e = 0,124 m é compatível com a seção, pois podemos dar a excentricidade de 0,124 m ao cabo e ainda sobra 0,065 m = 6,5 cm do centro de gravidade do cabo até a borda da seção. s eção. 0,189 0,377 0,124 0,065

Se comparadas a solução final com a solução intermediária, obtida sem consideração do peso próprio, observa-se que a seção global, bem como a força de  protensão são iguais. A única alteração é o ponto de aplicação. Constata-se, pois, que o peso próprio foi absorvido sem custos adicionais.  Resta ainda saber se a solução encontrada funcionará em t 0 , ou seja, quando da aplicação da protensão. Neste instante a máxima tensão de compressão na borda inferior não pode exceder 0,70 fck, conforme especifica a norma. Se estivermos trabalhando com aços de baixa relaxação, podemos estimar a  perda de protensão entre 16 e 20% do valor de P aplicado no instante da protensão.

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 Assim sendo, para obtermos o valor desejado para P (neste exemplo de 2333 kN) devemos aplicar uma força em torno de 20% maior. Logo: Po = P + 0,20 × Po

∴ Po =

P 2333 = ≅ 2916kN  0,80 0,80

E as tensões nas bordas da seção ficam:  M g 1,1Po 1,1Po × e 1,1P0 1,1P0 × e h  Mg h σ P = − + ×v− ×v = − + × − × =  A  I   I  b × h b × h3 2 b × h3 2 12 12 1,1 × 2916 1,1 × 2916 × 0,124 0,377 170 0,377 =− + × − × 1 × 0,377 2 2 1 × 0,377 3 1 × 0,377 3 12 12 σ P = +1106 kN  / m 2 ≅ 1,11 MPa σ ' P = −

 M g 1,1Po 1,1Po × e 1,1P0 1,1P0 × e h  Mg h − × v'+ × v' = − − × + × =  A  I   I  b × h b × h3 2 b × h3 2 12 12 1,1 × 2916 1,1 × 2916 × 0,124 0,377 170 0,377 =− − × + × 1 × 0,377 2 2 1 × 0,377 3 1 × 0,377 3 12 12 σ P = −18122 kN  / m 2 ≅ −18,1 MPa

 Neste caso, 18,1 MPa é maior que o limite da norma, de 0,7x25 = 17,5 MPa, o que seria inaceitável. Já se a perda de protensão ficasse em torno de 18%, conseguiríamos tensão igual igual àquela da norma, pois: Po = P + 0,18 × Po

∴ Po =

2333 P = ≅ 2845kN  0,82 0,82

E as tensões nas bordas da seção ficariam: σ P = −

σ ' P = −

 M g 1,1Po 1,1Po × e 1,1P0 1,1P0 × e h  Mg h + ×v − ×v = − + × − × =  A  I   I  b × h b × h3 2 b × h3 2 12 12 1,1 × 2845 1,1 × 2845 × 0,124 0,377 170 0,377 =− + × − × 1 × 0,377 2 2 1 × 0,377 3 1 × 0,377 3 12 12 σ P = +904 kN  / m 2 ≅ +0,90 MPa  M g 1,1Po 1,1Po × e 1,1P0 1,1P0 × e h  Mg h − × v'+ × v' = − − × + × = 2 b × h3 2  A  I   I  b × h b × h3 12 12 1,1 × 2845 1,1 × 2845 × 0,124 0,377 170 0,377 =− − × + × 1 × 0,377 2 2 1 × 0,377 3 1 × 0,377 3 12 12

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Que é igual ao limite de compressão especificado pela Norma. O valor de fctm é dado pela equação  fct , m = 0,33  fck 2  , sendo da ordem de 2,56  MPa. Logo, o limite de Norma para tração é de 1,2x2,56 =3,07 MPa. O valor obtido na borda superior foi de 0,90 MPa, inferior, portanto, ao máximo permitido nesta ocasião. Observemos que a conclusão do problema proposto só poderá ser obtida quando for considerado e calculado o valor real das perdas diferidas (retração, deformação lenta e relaxação). Se ele for igual ou pouco inferior a 18%, a peça estará bem dimensionada, atendendo às especificações de norma e sem desperdício de material. Se o valor das perdas for superior a 18% as tensões de borda estarão fora dos limites de Norma, devendo o problema ser recomeçado. Novas tensões admissíveis no tempo infinito sevem ser adotadas, diminuindo o valor absoluto adotado inicialmente  para as tensões máximas de compressão. Por exemplo, em lugar de 0,45 fck, pode-se recomeçar com 0,42fck ou, em valores numéricos, em lugar de 11,25 MPa adotar 10,5  MPa.  No sentido contrário, se o resultado da perda de protensão for inferior aos 18% e se desejar economizar material, o problema pode ser recomeçado com valores absolutos superiores para as tensões admissíveis no tempo infinito da vida da peça.

XIV. Cabo médio fictício equivalente ou simplesmente cabo equivalente. No exemplo anterior, concluímos ser necessário aplicar uma determinada força de protensão com uma determinada excentricidade. Entretanto, não se dispõe (para protensão normal) de cabos suficientemente potentes para uma tração de 2333 kN. No exemplo dado, tratando-se de uma seção de um metro de largura, podemos optar por vários cabos, um ao lado do outro. Mas no caso mais geral, podemos ter uma largura limitada, o que nos conduziria a uma disposição em várias camadas. Neste caso chamaríamos de cabo equivalente a um cabo fictício cujo ponto de passagem seria o centro de gravidade dos cabos individuais e cuja força de tração seria a soma das forças aplicadas nos cabos individuais. Em geral toda a referência de cálculo é sempre com relação ao cabo equivalente, na fase de anteprojeto. No detalhamento final, o cabo equivalente é substituído pelos cabos que forem necessários.

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No exemplo anterior foi feito o dimensionamento da seção mais solicitada da viga, no caso, a seção do meio do vão. Vimos também a excentricidade que deveríamos dar ao cabo para obtermos a compensação de peso próprio da viga. Vejamos agora como se comporta o cabo equivalente ao longo da viga. Imaginemos inicialmente, o mesmo exemplo, isto é, a viga de seção constante em todo o vão de 12 metros, e vamos nos preocupar, nesta fase, apenas com o momento fletor. Tem-se, nas seções distando quatro metros dos apoios: 12 × 13,33 × 4 − 13,33 × 4 × 2 = 213,3 kNm 2 12 × (1 × 0,377 × 25) × 4 − (1 × 0,377 × 25) × 4 × 2 Mg = 2 Mq =

Momento devido a carga acidental

Momento devido a carga permanente (peso próprio)

M g = 150,8 kNm

Imaginemos que tivéssemos mantido as mesmas condições do centro do vão: P = 2333 kN e = 0,124 m M  P P×e v − g v + A I I  Protensão + cargas permanentes  P P × e Mg  σ ' P+g = − − v'+ v' A I I  (M + M q )  P P×e σ P +g +q = − + v− g v  A I I  Totalidade das  tensões P P × e (M g + M q )  σ ' P+g+q = − − v'+ v' A I I  σ P +g = −

Aplicando o formulário acima, tiramos: 2333 2333 × 0,124 × 6 150,8 × 6 + − = −342 kN/m 2 = −0,34 MPa > -1,125 2 2 0,377 1,0 × 0,377 1,0 × 0,377 2333 2333 × 0,124 × 6 150,8 × 6 σ' P + g = − − + = −12035 kN/m 2 = -12,03 MPa < −11,25 2 2 0,377 1,0 × 0,377 1,0 × 0,377 2333 2333 × 0,124 × 6 (150,8 + 213,3) × 6 σ P +g + q = − + − = −9346 kN/m 2 = −9,35 MPa 2 2 0,377 1,0 × 0,377 1,0 × 0,377 2333 2333 × 0,124 × 6 (150,8 + 213,3) × 6 σ' P + g + q = − − + = −3030 kN/m 2 = -3,03 MPa 2 2 0,377 1,0 × 0,377 1,0 × 0,377 σ P +g = −

Graficamente: σ  =-0,34MPa   =-0,34MPa

P+g

σ  =-9,35MPa   =-9,35MPa

P+g+q

           

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Analisando os resultados obtidos verificamos que, para a situação final P + g + q, a seção está trabalhando com folga dentro dos limites admissíveis. Entretanto, para a fase P + g, verificam-se tensões incompatíveis com os limites especificados. Para reconduzirmos as tensões da fase P + g aos limites estabelecidos dispomos de duas alternativas: 1) 2)

Diminuir o valor da força de protensão, ou Variar a excentricidade desta força. Em geral, as duas alternativas são viáveis e podemos lançar mão de qualquer uma delas. Quando se trabalha com pré-tração e cabos retos a solução possível é a variação da força de protensão que pode ser obtida, conforme Schwingel (14), envolvendo-se parte da extremidade de alguns cabos com uma bainha plástica não aderente. Assim, quando os cabos são liberados do leito de protensão, eles não terão afeito nos trechos onde estão envoltos pela bainha. Cabo ativo em toda a extensão

Cabo ativo apenas na região central

Entretanto, a diminuição da força de protensão, que só pode ser obtida pelo abandono (ancoragem) de parte dos cabos de protensão, faz-se por saltos o que não é conveniente para todas todas as seções da peça. Já a variação da excentricidade excentricidade do cabo de protensão não apresenta inconvenientes, podendo ser feita suavemente de seção para seção. É a solução mais adequada para a pós-tração. Em qualquer caso, o problema consiste em se achar um diagrama de protensão pura que, somado ao diagrama de tensões produzidos por M g, resulte no diagrama já conhecido, ou seja, no terço do vão, σ =? =?

σ  =  = -6,366MPa

? σ =?

σ  =  = -1,125MPa

= σ ’ =6,366MPa

Resultando que o diagrama necessário é:

σ ’ =-11,25MPa

σ  =5,241MPa   =5,241MPa

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σ ' =-17,616 MPa

E para a excentricidade teremos: P P×e v na borda superior + A I P P×e v' na borda inferior σ' cp = − − A I 2333 6 × 2333 × e + 5,241 × 10 3 = − + 0,377 × 1,0 1,0 × 0,377 2 σ cp = −

  2333 6 × 2333 × e   −  − 17,616 × 10 3 = − − 0,377 × 1,0 1,0 × 0,377 2    

___________________________________ 6 × 2333 × e + 22,857 × 10 3 = + 2× ∴ e = 0,116 m 1,0 × 0,377 2

Quando a seção está carregada o problema passa a ser determinar um diagrama de protensão pura que, somado ao diagrama de tensões produzidos por M g + Mq , resulte no outro diagrama já conhecido, ou seja, no terço do vão, =? σ =?

 = -15,37MPa σ  =

? σ =?

 = -11,25MPa σ  =

= σ ’ =15,37MPa

Resultando que o diagrama necessário é: σ  =4,12MPa   =4,12MPa

σ ' =-16,495 MPa

σ ’ =-1,125MPa

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E para a excentricidade teremos: P P×e + v na borda superior A I P P×e σ'cp = − − v' na borda inferior A I 2333 6 × 2333 × e + 4,12 × 103 = − + 0,377 × 1,0 1,0 × 0,377 2 2333 6 × 2333 × e    −  − 16,495 × 103 = − − 2 0,377 1,0 1,0 0,377 × ×     __________ __________ __________ _____ 6 × 2333 × e + 20,615 × 103 = + 2× ∴ e = 0,104m 1,0 × 0,377 2 σ cp = −

A variação da excentricidade pode ser obtida facilmente utilizando-se o conceito de centro de pressão.

XV. Centro de pressão. Chamamos centro de pressão relativo a um determinado carregamento (protensão + cargas externas) ao ponto de aplicação da resultante das tensões que se desenvolvem na seção. Geralmente caracterizamos o centro de pressão pela sua excentricidade e em relação ao centro de gravidade da seção. Observamos que o centro de pressão desloca-se conforme as solicitações que atuam na peça. Assim, no estado de protensão pura (muito raro de acontecer) o centro de pressão coincide, é obvio, com a posição do cabo equivalente. À medida que vão intervindo os diversos carregamentos, o diagrama de tensões vai mudando de posição. Se os carregamentos provocam esforços de flexão pura, o deslocamento do centro de pressão é obtido dividindo-se o momento devido ao carregamento pela força de protensão:  M  P

∆e0 = −

Assim, por exemplo: Na primeira parte do exemplo, o centro de pressão estava a ≅ 0,140 m da face inferior, ou seja, e0  = (0,377/2)-0,140 = 0,051 m abaixo do centro de gravidade da seção e coincidindo com o cabo de protensão, pois tratava-se de d e protensão pura. Com a atuação do Momento M q = 240 kNm, verificamos, tanto na borda superior quanto na inferior:

37/ 68 68 σ P = −

2333 × e0 P P×e 2333 0,377 240 0,377 − × v ⇒ −11,25 × 10 3 = − − × − × =  A  I  1 × 0,377 1 × 0,377 3 2 2 1 × 0,377 3 12 12 − 11250 = −6188,33 − 98487 ,99e0 − 11235,60 ∴ e0 = −0,051m

σ ' P = −

2333 × e0 P P×e 2333 0,377 240 0,377 + × v ' ⇒ −1,125 × 10 3 = − + × + × =  A  I  1 × 0,377 1 × 0,377 3 2 2 1 × 0,377 3 12 12 − 1125 = −6188,33 + 98487 ,99e0 + 11235,60 ∴ e0 = −0,051m

tendo se deslocado de ∆e0 ≅ - 0,051- 0,051 =-0,102 m. Como a força de protensão era de 2333 kN, verificamos que o mesmo valor pode ser determinado por: ∆e 0 = −

240 ≅ −0,102 m 2333

Já na etapa seguinte (com a consideração do peso próprio) pelo cálculo do centro de gravidade das áreas pode-se verificar que o centro de pressão desloca-se conforme o esquema a seguir: σ  = -1,125 MPa

P

e = 0,051- 240 2333

σ ’ =-11,25 MPa

σ  = -11,25 MPa

σ   = -18,427MPa e = -0,124

e = -0,051- 170 2333

σ ’ =-1,125 MPa

σ ’ =6,052 MPa

No estudo em desenvolvimento, no item anterior, pode-se utilizar o conceito e as propriedades do centro de pressão para calcular mais facilmente a excentricidade do cabo. Partindo do pressuposto que o que se deseja é manter, em todas as seções, as tensões resultantes da atuação combinada do peso próprio e da força de protensão nos mesmos limites determinados para a seção do meio do vão, devemos deslocar o eixo do cabo equivalente de maneira a que o centro de pressão permaneça indeslocável. Já vimos que o centro de pressão se desloca de

∆ Mg

P

.

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Para manter o centro de pressão indeslocável nas diversas seções devemos deslocar a excentricidade do cabo equivalente no sentido contrário e num valor igual a

∆ Mg

P

.

De fato, observando o exemplo analisado da seção no terço do vão, a excentricidade do cabo deveria ser de 0,116m. No centro tínhamos uma excentricidade de 0,124 m. A variação de excentricidade foi de e = 0,124-0,116 = 0,008 m. O mesmo valor obteríamos analisando a variação de M g, ∆ Mg = 170 kNm – 150,8 kNm =19,2 kNm e dividindo-a pela força de protensão P ∆e =

19,2 ≅ 0,008 m 2333

Por outro lado, com a atuação de todas as cargas (protensão, peso próprio e carga acidental) o centro de pressão deve se deslocar no máximo até o limite superior do terço central da seção. Como houve alteração do valor de M q entre a seção do meio do vão e a seção do terço do vão, a diferença d iferença do momento Mg+q entre as duas seções é de ∆ Mg +q = 240 kNm +170 kNm – 213,3 kNm –150,8 kNm = 45,9 kNm. Desta forma, o deslocamento do cabo calculado para atender esta condição daria ∆e = 45,9 ≅ 0,020 m . Resultando e = 0,124 - 0,020 = 0,104m. 2333

Assim, o valor de e calculado para atender os casos limites externos conduziria a valores diferentes. Isto significaria que estes valores seriam limites para a posição do cabo equivalente, sendo claro que qualquer posição intermediária do cabo satisfaria. Tomemos a seguir a seção a 2 metros do apoio: 12 × 13,33 × 2 − 13,33 × 2 × 1 = 133,33 kNm 2 12 × (0,377 × 1,0 × 25) Mg = × 2 − (0,377 × 1,0 × 25) × 2 × 1 = 94,25 kNm 2  ∆M g = 170 − 94, 25 = 75,75 kNm Mq =

 ∆

M (g +q ) = 170 + 240 − 133,33 − 94,25 = 182,42 kNm

para atender as tensões limites na viga descarregada:  ∆

e=

75,75 = 0,032 m 2333

e = 0,124 − 0,032 = 0,092 m

∆

39/ 68 68

na viga carregada:  ∆

e=

182,42 = 0,078 m 2333

e = 0,124 − 0,078 = 0,046 m

∆

No apoio teríamos: ∆M g = 170kNm

∆M (q+g) = 410 kNm

170 = 0,073 m 2333 410  ∆e = = 0,175 m 2333  ∆

e=

e = 0,124 − 0,073 = 0,051 m

∆

e = 0,124 − 0,175 = −0,051 m

∆

Nas seções calculadas ao longo da viga temos: -0,051 0,046 0,104 0,051 0,092 0

2

0,116 4

0,124 0,124 6

Na figura abaixo apresentam-se detalhes de parte de uma viga da ponte sobre o Rio do Mel, com os cortes ao longo do vão e a posição dos cabos de protensão em cada seção, além do detalhe das ancoragens dos cabos na cabeceira:

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XVI. Dimensionamento Dimensionamento de uma viga com vão superior ao crítico. Seja a viga da figura abaixo (faixa de um metro, pertencente a uma laje) com largura fixada em 1 metro e a qual queremos dimensionar com altura mínima, em  protensão completa.

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 fck = 25 MPa, usando aço RN

⇒ 

σ adm adm = 10 MPa

q = 13,74 kN/m g = peso próprio + 2,7 kN/m 19 m

a) conduzindo o cálculo inicial como se fosse possível equilibrar a carga permanente sem gasto com concreto ou força de protensão, teríamos: 13,74 × 19 2 Mq = ≅ 620kNm 8 σ P=-1,0MPa

σ q = -9,0MPa

σ  =-10MPa   =-10MPa

= σ ’P =-10MPa

σ ’q =9,0 MPa

Protensão + peso próprio

σ  =

Mq Mq v= I W

Cargas Acidentais

⇒ 9 ×10 3 =

620 × 6 1,0 × h 2

σ ’ =-1,0MPa

Tensões Resultantes

(0,643 ×1,0 × 25 + 2,7 )×19 2 620 × 6 ⇒ Mg = h = ∴ h ≅ 0,643 m ≅ 847kNm 9000 8 0,643 ×1,0 × (10000 + 1000) P= ≅ 3536,5 kN 2 3536,5 3536,5 × e i aplicada com a excentrici dade e i de : - 1×103 = − + × 6 ∴ ei = 0,088 m 1× 0,643 1× 0,6432 847 acréscimo de excentrici dade devida a M g : ∆e = = 0,240 m 3536,5 e = 0,240 + 0,088 = 0,328 m 2

0,322 0,643 0,328

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O que é incompatível com a seção utilizada pois não há espaço para colocação da bainha, estribo e nem mesmo o cobrimento mínimo necessário no interior da seção. b) adotando-se a distância até o centro de gravidade dos cabos t = 3,5 (mínimo cobrimento de concreto compatível com o fck utilizado) + 1,0 (bitola adotada para a armadura transversal) + 4,0/2 (raio da bainha) = 6,5 cm. Procuramos atingir o estado limite de tensões no caso da atuação de todas as cargas, e colocamos o cabo na máxima excentricidade possível, isto é: h h − t = − 0,065 2 2 (1,0 × h × 25 + 2,7 )×19 2 Mg = = 122 + 1128h 8 M q = 620 kNm

e=

4452 6768 (620 + 122 + 1128h )× 6 = − − b× h2 b×h 2 b× h (620 + 122 + 1128h )× 6 4452 6768 σ ' g +q = =+ + b× h2 b×h 2 b× h  h   P ×  − 0,065  × 6 − P P×e×6 −P  2   σ P = + = + 2 2 b×h b×h b×h b×h  h   P ×  − 0,065  × 6 −P  2   σ ' P = + − 2 b×h b×h

σ  =  = -10MPa

σ g + q = −

com todas as cargas atuando, teremos: − 10 × 10 3 = σ P + (σ g + σ q ) − 1 × 10 3 = σ' P +(σ' g +σ' q )

  h   × − 6P 0,065    P 4452 6768 2     − 10000 = − + − − 2 2 b×h b×h  b×h b×h   h    6P ×  − 0,065   P  2   + 4452 + 6768 − − 1000 = − b× h b × h2 b× h2 b× h 

σ ’ =- 1,0MPa  N + M  g + M q

43/ 68 68 sendo b = 1 m P 3P 0,39P 4452 6768  − 10000 = − h + h − 2 − 2 − h h h  − 1000 = − P − 3P + 0,39P + 4452 + 6768  h h h h2 h2 ___________________________________ 2P − 11000 = − ∴ P = 5500 h h

Substituindo o valor de P encontrado na segunda equação de tensões: 5500h 3 × 5500h 0,39 × 5500h 4452 6768 − + + 2 + h h h h2 h 2145 4452 6768 + 2 + - 1000 = −5500 − 16500 + h h h 4452 8913 - 1000 = −22000 + 2 + h h ∴ h = 0,72 m 0 = −21000h 2 + 8913h + 4452 e a máxima excentricidade de : h 0,72 − 0,065 = 0,295 m e = − 0,065 = 2 2 e Mg  torna - se : - 1000 = −

(1,0 × 0,72 × 25 + 2,7 )×19 2 ≅ 934 kNm Mg = 8 1,0 × 0,72 × (10000 + 1000) P= ≅ 3960 kN 2

Fazendo a verificação das tensões: 3960 3960 × 0,295 × 6 + = 8021kN/m 2 ≅ 8,02 MPa 2 1× 0,72 1× 0,72 3960 3960 × 0,295 × 6 − = −19021 kN/m 2 ≅ −19,02 MPa σ' P = − 2 1× 0,72 1× 0,72 σP = −

44/ 68 68

peça descarregada : 934 × 6 2 σ P + g = 8021 − 2789 kN/m = − ≅ −2,80 MPa 1 × 0,72 2 934 × 6 σ' P + g = −19021 + = −8211 kN/m 2 ≅ −8,21 MPa 2 1 × 0,72 peça carregada : (934 + 620) × 6 2 σ P + g + q = 8021 − 9965 kN/m = − ≅ −9,97 MPa 1 × 0,72 2 (934 + 620 ) × 6 σ' P + g + q = −19021 + = −1035 kN/m 2 ≅ −1,04 MPa 2 1 × 0,72

 As pequenas diferenças (para mais ou para menos) são devidas aos arredondamentos do processo. Se for necessário reduzi-las, basta corrigir a força de  protensão. Com P = 3945 kN σ P = 7990 kN/m2 σ ’P = -18949 kN/m2  -2,82 MPa σ P+g = -2820 kN/m2 ≅  -2,82 σ ’P+g = -8283 kN/m2 ≅  -8,28  -8,28 MPa σ P+g+q =-9996 kN/m2 ≅  -10,0  -10,0 MPa σ ’P+g+q =-1107 kN/m2 ≅  -1,11  -1,11 MPa σ  =-2,82MPa   =-2,82MPa

c) resumindo:

 P + M  g

σ  =  = -10,0MPa

 P + M  g + M q

σ ’ =-8,28MPa

σ ’ =-1,11MPa

d) comparando com a seção encontrada antes da consideração do peso próprio houve um aumento na altura da seção, de 64,3 para 72 cm (11%), e um aumento de  protensão de 3536,5 para 3945 kN (10%). (10%).

XVII.Dimensionamen XVII. Dimensionamento to de uma seção qualquer com vão inferior ao crítico. Como por hipótese as cargas permanentes podem ser compensadas, o conhecimento de Mq basta para o seu s eu dimensionamento.

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R2

R’1

No caso mais geral de termos tensões limites, para o concreto, diferentes nos casos de peça carregada e descarregada, teríamos os seguintes estados limites:

 P + M  g

 P + M  g + M q

R1

R’2

Supondo fixada a altura h da peça, precisamos determinar a seção de concreto Ac e os módulos de resistência I  e I , isto é, 3 incógnitas. v

v'

Precisamos determinar a protensão, isto é, P e a excentricidade e ( mais duas incógnitas). Temos, portanto, cinco incógnitas. Se escrevermos as condições limites (quatro limites) em forma de equação, teremos quatro equações. Na realidade, se fixarmos uma certa forma e relação de medidas da seção (por exemplo, T ou duplo T), o valor de Ac é conhecido quando conhecemos I  e I . Desta forma devemos fixar a forma for ma da seção (em geral duplo T). a)

v

v'

Dimensionamento Dimensionamento do concreto: As tensões limites sendo atingidas para a peça descarregada e carregada, teremos:  R’1

 R2

σ q

=  R1 σq = −

Mq I v

σ ’q

e

Pela figura vemos que:

σ 'q = +

 R’2

Mq I v'

46/ 68 68 σ q = R 2 − R'1

e

σ' q = R 1 − R' 2

Donde :  I ∆M Mq  I =  v = ∆R  v R 2 − R'1   ou, de uma maneira geral,  Mq  I  I ∆M =  = v' R 1 − R' 2   v' ∆R'

das fórmulas acima, tiramos a relação v v' , o que torna conhecidos v e v’ pois conhecemos h e devemos ter: v + v’ = h e também tiramos I, pois I = ∆M × v . ∆R

Trata-se, portanto, de determinar uma seção duplo T, conhecendo-se a sua altura h, a posição de seu centro de gravidade dada por v e v’ e conhecendo-se o seu momento de inércia I. Procuraremos, por questão de economia, determinar uma seção que satisfaça estas condições com o mínimo de despesa possível, isto é, minimizando o valor de Ac. Isto significa obter os máximos valores para as relações: I

v Ac

b)

I

e

v' Ac

ou seja

r2 v

e

r2 v'

Determinação da protensão:

Para a determinação da protensão, considera-se já conhecida a seção. Se (recordando a Resistência dos Materiais) escrevermos as tensões que se desenvolvem na seção transversal (para um ponto qualquer) a uma distância y do centro de gravidade, temos:  R’1  R2 σ ( y ) =

P  M  +  y  Ac  I 

v

σ  σCG  G C

No Centro de Gravidade da seção: y=0

e

σ CG = σ y = 0 =

P Ac

v’

O que mostra que a tensão no centro de gravidade da seção permanece constante em todos os  R’2  R1 estados de cargas, pois independe do momento M. Obviamente haverá um estado de cargas tal que a tensão seja uniforme em toda a seção. Como o valor de σCG não varia, este será o valor da tensão e, em conseqüência, P = σCG × Ac.

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O valor de σCG pode ser obtido por relações geométricas na figura acima, por exemplo, σ CG = R'1 + (R 1 − R'1 ) ×

v h

Para determinar a excentricidade, podemos raciocinar como segue: Imaginemos que o estado inicial corresponde a uma protensão pura. Neste caso deveremos ter:  

 

 

 

 

 

 

 

 e1  e1  P P × e1 P  =− R'1 = − − 1 + 2  = −σ CG 1 + 2  I Ac Ac  r   r  v v   v      

 e1  e1  P P × e1 P  =− R1 = − + 1 − 2  = −σ CG 1 − 2  I Ac Ac  r   r  v' v'  v'     

-De onde tiramos que: r 2   R'1    e1 = 1 − v   σ CG   expressões que são equivalentes pois, R 1 − σ CG σ CG − R'1  2 = r   R 1   v' v − 1 e1 =  v'  σ CG   r2 r2 Os valores e , são as excentricidades do bordo inferior e superior do v v'

núcleo central de inércia. No caso de termos R 1 = R2 e R’1 = R’2  as fórmulas se simplificam pois v = v’. Exemplo numérico:  Dimensionar uma seção em protensão completa, admitindo-se vão inferior ao crítico e com um momento devido a sobrecarga sobrecarga M q = 1000 kNm. Altura de 80cm. Aço  RB.  fck = 40 MPa ⇒ σadm = 18 MPa  R’1=0,10R1=-1,8 MPa

σ q = -17,4 MPa

R2 =-19,2MPa

v

= v'  R1 =-18 MPa  P+g

σ q =18 MPa q

R’2 = 0 MPa P+g+q

σCG

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 A rigor, o limite R2 não é fixado pela Norma, que só se refere à tensão máxima de compressão no momento da protensão (0,70fcj), calculada com 1,1 P 0 , o que  permite definir o limite R1 (0,40 a 0,45 fck ou fcj) como foi discutido no Capítulo Capítulo XI. Para a tensão R2 não há limite máximo de utilização. O seu limite será conseqüência do dimensionamento ou verificação para o limite último. A regra adotada foi a de  fixar o limite de 0,48 fcj para R 2 para que se tenha folga de tensões de compressão na verificação ao limite último.  Aplicando as fórmulas: fórmulas:  I  M q 1000 3 0 , 0575 m = = =  v ∆ R (19,2 - 1,8)) × 10 3  ∴  I  M q 1000  = = = 0,0556 m 3  3 v' ∆ R' (18 - 0 ) × 10 

0,0575v = 0,0556v'

v + v' = h = 0,8 m ⇒ 0,0575 × (0,8 − v' ) = 0,0556v' ∴v' = 0,407m Mq I = ' × v' = 0,0556 × 0,407 = 0,0226m4 ∆ R

 Adotando a espessura da alma de 16 cm e a espessura da mesa de 10 cm, 16 obteremos: 0,5b 0,5b cm

   3    4    3  ,    0

   0   m    1   c    3    9    3  ,   m    0

S

   ’    d

S’

   7    0    4  ,   m    0

C 16 0,5b’ cm 0,5b’

Para I = 0,0226 m4 devemos ter

0,16 * 0,83 + 0,16 × 0,8 × (0,4 − 0;393) 2 + 0,343 2 × S + d' 2 ×S' = 0,0226 12

Efetuando as operações numéricas: 0,1176 S + S’d’ 2 = 0,0158  Igualando os momentos estáticos acima e abaixo do centro de gravidade da seção: 0,343 S + 0,16 x 0,393x 0,393/2 0 ,393/2 = S’ d’ + 0,16 x 0,407 x 0,407/2 0,343 S = S’d’+0,0009 ∴ S = 0,0026 + S’d’/0,343 Substituindo este valor de S na fórmula anterior, tem-se:

49/ 68 68  

0,1176 ×  0,0026 +  

S ' d '    + S ' d ' 2 = 0,0158 0,343 

∴ S ' =

0,0155 (0,343d '+d ' 2 )

 Atribuindo-se valores à d’ obtemos através das duas últimas ú ltimas equações todas as dimensões da seção. No quadro abaixo relacionamos três possíveis soluções correspondentes a três valores diferentes arbitrados para d’. C d' S’ b’ S b Ac 1ª sol 0,3 0,257 0,101 0,337 0,078 0,78 0,307 ∴ 2ª sol 0,2 0,307 0,078 0,390 0,072 0,72 0,278 ∴ 3ª sol 0,1 0,357 0,062 0,620 0,067 0,67 0,257 ∴  Adotando-se a primeira ou a segunda solução por serem as que melhor  permitem o posicionamento dos cabos de protensão ter-se-ia, respectivamente, seções das vigas de 0,307m2  e 0,278 m2. A terceira solução (mesa inferior com 10 cm)  permitiria maior economia de concreto (Seção de 0,257 m2) mas tornaria muito difícil a colocação dos cabos. Observemos que a solução que for escolhida implicará não apenas no menor consumo de concreto mas também no menor valor da força de protensão (P = σ CG CG ×   Ac) e valor do peso próprio. Admitindo-se, por exemplo, um vão de 10 m, e sendo no caso: -19,2 MPa

-1,88 MPa

σCG

   3    9    3  ,   m    0

σ CG CG

   7    0    4  ,   m    0

σ CG

−19,2

× 0,407 0,8 = −9,77 MPa

σ CG =

-18,8 MPa 0

Levando aos seguintes valores da área total, força de protensão e momento máximo devido ao peso próprio: A(m2) P(kN) Mg(kNm) 1ª sol 0,307 2999 95,9 2ª sol 0,278 2716 86,9 3ª sol 0,257 2510 80,3 Evidentemente a terceira solução é a mais econômica.

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Infelizmente ela não permite uma execução satisfatória, pois deveríamos ter uns 5 ou 6 cabos de protensão na face inferior da viga e a mesa inferior não permite (apenas 10 cm de espessura) a distribuição dos cabos fora da alma. Por isso adota-se a segunda solução. Se, para esta solução, forem consideradas todas as inércias das mesas, tem-se: ΣI(m4) PARTE: I0(m4) A(d-CG)2 mesa superior 6,00E-05 8,47E-03 8,53E-03 alma 6,83E-03 6,27E-06 6,83E-03 total: mesa inferior 2,60E-04 7,35E-03 7,61E-03 0,0230 A inércia encontrada difere de 1,63% do valor inicial, comprovando que o erro cometido por desprezar as inércias das mesas em relação ao próprio centro não foi grande. Pela posição da linha neutra na seção escolhida sabe-se se podem vir a ocorrer problemas quando da análise no Estado Limite Último, assim tem-se:

 M d  = 1,4 ×  M g + M q = 1,4 × (86,9 + 1000) ≅ 1522 kNm 0,36

0,16

0,36    0   m    1   c    3    9    3  ,    0

   3    4    3  ,   m    0    7    9    3  ,   m    0

   7    0    4  ,    0

0,20 0,195

0,16

0,195

Supondo que a linha neutra cai na mesa:  M d  = 0,85 fcd × bf  × 0,8 x × (d − 0,4 x ) 40000 × 0,88 × 0,8 x × (0,7 − 0,4 x ) 1522 = 0,85 × 1,4  x = 0,14m 1522 = 11968 x − 6839 x 2 ∴  1  x2 = 1,61m Como x > 10 cm, a linha neutra cai na alma, então:

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40000 × 0,72 × 0,1 × (0,7 − 0,05) = 1136,6kNm 1,4 ∆M d = 1522 − 1136,6 = 385,4kNm  ∆ M d  = 0,85 ×  fcd × bw × 0,8x × (d  − 0,4x) 40000 385,4 = 0,85 × × 0,16 × 0,8x × (0,7 − 0,4x ) 1,4 x1 = 0,20m 2 385,4 = 2176x − 1243x ∴   x 2 = 1,55m M d ,mesa sup = 0,85 ×

a linha neutra está a 20 cm do bordo superior da seção, ou seja, acima do centro de gravidade da seção e com x/d = 0,286, Domínio 3. Desta forma, não deverá apresentar dificuldades na verificação no ELU. Uilizando-se o aço CP 190 RB tem-se, por norma, que a tensão no instante de aplicação da carga não deve ser maior que 0,74  fptk  (0,74  (0,74 x 1900 = 1406 MPa) ou 0,82  fpyk (0,82 x 1615 = 1324,3 MPa). No instante da aplicação da carga, portanto, não deve exceder 1324,3 MPa. Avaliando-se as perdas em 18%, desde o instante da aplicação da carga até o tempo em que estamos calculando a seção, a tensão não deverá ser maior que (1 - 0,18) x 1324,3 = 1085,9 MPa neste instante. Se cada cabo for composto por 6 cordoalhas cordoalhas de 12,7 mm, pode pode fornecer 6 x 98,7 x 1085,9 1085,9 = 643085 N ≅  643 kN de força de protensão e necessita de uma bainha de 50 mm. Assim, são necessários 2716/643 = 4,2 ⇒ 5 cabos. Elaborando mais esta solução, poder-se-ia modificar ligeiramente a forma da seção das mesas, de modo a diminuir os ângulos entre as faces e a compensar os furos de passagem dos cabos de protensão: 0,16

0,32

0 32

   0    1    0

0,16

0,36

0,36

0,05 0 18

0 20 0,195

0,195

0,215

0,215

0,09 0,02

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Determinação da excentricidade do cabo de protensão Tratando-se de protensão completa, sem cargas permanentes, o cabo deveria passar na extremidade do núcleo limite para que tivéssemos as condições abaixo no estado de carga P + g (com Mq=0). Podemos chegar ao resultado empregando as expressões deduzidas em (b). r 2   R'1    e = 1 − v   σ CG   R 1 = −18 MPa ,

r 2   R 1   − 1 ou e =   R’1 =-1,8 MPa v'  σ CG   R'1 = −1,8 MPa e σ CG = −9,77 MPa I 0,0226 P+g v = 0,393 m, v' = 0,407 m, r 2 = = = 0,0813m 2 A 0,278 0,0813   − 1,8    e= 1 −  0,393   − 9,77    expressões que são evidentemente equivalentes  R1 =-18 MPa ou  ∴ e = 0,169m 0,0813   − 18    e= − 1  0,407  − 9,77   

No caso de termos um momento Mg  atuando na seção deveremos dar uma excentricidade adicional de

Mg  para equilibrar este momento. P

Verifiquemos qual o valor máximo de M g. Este valor está ligado à máxima excentricidade que podemos dar ao cabo. Considerando um cobrimento de 3,5 cm, as bainhas de φ = 5 cm e um espaçamento pelo menos igual a φ entre duas bainhas, tem-se, para os cinco cabos: t=

4 × (3,5 + 1 + 2,5) + 1 × (3,5 + 1 + 5 + 5 + 2,5) = 9,0 cm = 0,090 m 5

10 cm t = 9,0cm

7,0 cm 7,0

13,6

13,6

13,6

7,0

emáx = 0,407 – 0,090 = 0,317 m ∆emáx = 0,317 – 0,169 = 0,148 m Mg,máx = ∆emáx × P = 0,148 × 2716 kN = 402 kNm

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Para uma viga simplesmente apoiada, considerando-se o momento devido à carga acidental fixo, teríamos um vão máximo de : l

8 × 402 = 463 ≅ 21,5m 0,278 × 25

=

XVIII. Rendimento de uma seção. Os cálculos desenvolvidos, seja diretamente pela consideração das variações de tensões, seja pelo auxílio do núcleo limite, nos permitem obter os módulos de resistência I  e I . v

v'

É preciso obter estes módulos da maneira mais econômica possível, isto é, com a menor área. Isto representaria uma economia de concreto e de protensão (P = σCG ×  I  Ac). Logo devemos procurar fazer com que as relações v  Ac 2 2 r e mesma coisa, r  sejam o maior possível. v v'

r v’

r2 Ora,  é sempre menor que v’. Teoricamente, v r2 o máximo valor de   é v’. Pode-se pois definir a v r2 r2 v economia da seção pela relação . A mesma = v' v × v'

v

r v

 I  e v'   ou, o que é a  Ac

v'

relação seria obtida raciocinando-se com a parte superior da seção. A esta relação  ρ  =

r2 v × v'

, chamamos

de rendimento de uma seção. Na prática é possível conhecer faixas aproximadas de variação do rendimento para cada tipo de seção, além, é claro, de algumas formas, como a retangular, que podem ser determinadas matematicamente. matematicamente. Para a seção retangular, tem-se: bh 3 I= , 12 v = v' =

h 2

h2 2 Ac = bh ⇒ r =

12

h2

∴ ρ=

12 = 1 = 0,333 = 33,3% (h 2 )× (h 2 ) 3

A seção duplo T atinge, na prática, rendimentos em torno dos 50% ( de 45 a 55%).

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A seção caixão pode chegar a rendimentos em torno de 60% (de 55 a 65%). Nas lajes pode-se melhorar o rendimento aliviando o miolo da seção retangular com furos circulares (obtidos com tubos na concretagem). Os rendimentos podem chegar a 50%, quando a dimensão dos furos atingir 70% da espessura da laje.

XIX. Dimensionamento de uma viga de seção qualquer com vão superior ao vão crítico. No caso de viga viga com vão superior ao crítico, já vimos, para o caso de seção retangular, que não nos é possível tirar o máximo proveito do material quando da viga descarregada. No caso mais geral da seção duplo T, em que várias dimensões são deixadas no nosso arbítrio, podemos escolher entre os quatro limites de tensões a serem satisfeitos, com a viga carregada e descarregada, três a serem atingidos, permanecendo o quarto sem ser atingido. Mantendo a referência a uma seção com os momentos positivos onde R’ 1 e R1; R2 e R’2 são as tensões limites para a peça descarregada descarr egada e carregada, na fibra superior e inferior teríamos as seguintes situações possíveis:  R’1

 R2

 R’2  R1 (a)

 R’1

 R2

 R’2

 R1 (b)

 R’1

 R2

 R’2

 R1 (c)

 R’1  R2

 R’2

 R1 (d)

Em geral, fazemos o projeto de uma seção em protendido tentando atingir os limites ilustrados na situação (d). Procuramos atingir os dois limites R2 e R’2  com a viga carregada e apenas o limite máximo de compressão na viga descarregada. Com a seção obtida fazemos uma verificação para vermos se não foi ultrapassado o limite de tração (ou de compressão mínima) R’1 com a viga descarregada. Se chamarmos de t a v r 2   R'2   A2 distância mínima entre o centro de 1 −  v'   σCG  CG gravidade do cabo e a face inferior da viga, 2 r   R1   A'1 A2 o núcleo limite, teríamos, para que o  − 1 v'  σCG   peso próprio pudesse ser compensado, a v' A’1 seguinte situação: t

Mg ≤ v'−t − CGA'1 P

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O centro de pressão percorre o núcleo limite A'1 A2  sob o efeito do momento Mq. Logo Mq = A'1 A2 P

∴P =

Mq A'1 A2

Substituindo esta expressão na equação anteriormente apresentada: Mg v'−t − CGA'1 ≤ Mq A'1 A2

Como Mg e Mq  são proporcionais às cargas g e q  (em se tratando de cargas distribuídas), g v'−t − CGA'1 ≤ q A'1 A2

Se fixarmos o valor de q, o valor de g aumentará a medida que aumentarmos o vão. A desigualdade apresentada acima acima cessa de ser verificada verificada para um vão superior ao crítico ( o que pode ser identificado com a fórmula f órmula acima ou tentando dimensionar a seção como se fosse uma viga de vão inferior ao crítico) passamos a adotar o dimensionamento do presente item. Tal como no caso de vão inferior ao crítico, aqui também o problema resulta indeterminado admitindo, portanto, várias soluções. Realmente, assumindo-se que desejamos atingir os três limites propostos na hipótese (d), teremos três equações. Com estas três equações procuraremos determinar os seguintes s eguintes parâmetros: I v

I v'

I

P

e

Portanto, cinco incógnitas e três equações. Realmente, se considerarmos que o que se procura é a satisfação das condições com o mínimo de Ac, isto nos daria uma quarta equação. Com as limitações físicas que devemos impôr a algumas das dimensões da peça, o problema torna-se praticamente determinado. Cumpre salientar que as limitações de forma e de dimensões pode, por exemplo, tornar impossível que seja atingida a tensão limite R1 como se propõe em (d). É o caso já estudado, da seção retangular. Imaginemos, por exemplo, que se fixe a altura h da viga e as tensões limites R2 e R’2 (viga carregada) e R1 e R’1 (viga descarregada). Como desejamos atingir as tensões R’2 e R1 na face inferior da viga, tiramos imediatamente:  M q  I  = v'  R1 − R' 2

 R” 1  R2

v

Por outro lado, se chamarmos de R”1  a tensão a ser realmente atingida na face superior com a viga descarregada,v’ podemos dizer que, uma vez conhecida a tensão R” 1, o t problema recai no caso de seção com vão inferior ao crítico.

σ  σCG  G C

 R’2

 R1

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Observemos ainda que R”1  resulta conhecido a partir do momento em que conhecemos σCG (simples relação de triângulos ). Além disso, como a tensão R 1  é atingida na viga descarregada, o centro de pressão se situa, sob a influência de M g  , no limite inferior do núcleo limite, cuja excentricidade é dada por: r 2    R1   − 1 e =  v'   σ CG   Designando por t a distância do centro dos cabos à borda inferior, devemos ter a seguinte igualdade que traduz o deslocamento do cabo em relação ao núcleo limite para equilibrar a carga permanente: Mg r 2   R1   = v'− t −  − 1 P v'  σ CG   Chamando D a densidade do concreto (em geral D = 25 25 kN/m3) tem-se, no  Ac × D × l 2 caso de viga simplesmente apoiada  M g = . 8

Por outro lado, como P =  Ac × σ CG

⇒  Ac =

P σ CG

 M g  D × l 2 O que, substituindo na fórmula anterior, nos dá: = P 8σ CG Se arbitrarmos (estimativamente) um rendimento ρ para a seção a ser obtida, r2  R” 1  R2 teremos: = ρ × v v' v

Da figura, tiramos que: R − σ  σ  − R '2 v = h × 2 CG e v' = h × CG R 2 − R'2 R 2 − R '2

v’

σ  σCG  G C

t  R’2

Substituindo todos os valores obtidos acima em

 R1

Mg   R r 2    1 − 1 , = v'− t − P v'  σ CG  

obtemos uma equação em σCG:   R − σ CG    R1 − σ CG   σ − R' 2 D × l2   ×  = h × CG − t − ρ ×  h × 2 8σ CG R 2 − R' 2 R 2 − R' 2     σ CG     Realizando-se todas as operações necessárias, obtemos:

57/ 68 68 2  σ CG    σ      R   R' t  R − R'2    R 2  Dl 2  R 2 − R' 2     × (1 − ρ ) +  CG  ρ1 + 2  − 2 −  2  − ρ   = 0 − R R R R h R R 8hR R 1   1 1    1 1   1     1     1       

(utilizando as tensões com os respectivos sinais) com esta equação obtemos σ CG  e, conseqüentemente, σCG. Com σCG podemos tirar o R1

valor de R”1. h × σ CG − v × R1 v' Desta forma podemos completar o dimensionamento da seção como se se tratasse de vão inferior ao crítico, com limites R1, R”1, R2 e R’2  para as tensões extremas. Teremos: R"1 =

 v R 2 − R"1  v' = R − R 1 2 Mq Mq  I I e = =  v R 2 − R"1 v' R1 − R 2  v + v' = h   I Obtemos ainda Ac = v' que é uma condição ρ×v

que não havia no caso de vão

inferior ao vão crítico. A pesquisa da seção pode ser conduzida da mesma forma que fizemos para o vão inferior ao crítico, isto é, trata-se de determinar uma seção que tenha um h dado, a posição do centro de gravidade determinada (v e v’), momento de inércia conhecido I. Pode ser que as seções que se possam determinar desta maneira não tenham a área desejada em face de termos de atender dimensões mínimas das mesas e alma para ser exequívela seção. Se isto acontecer significa que o valor de ρ estimado não é atingível, devendo-se corrigir este valor e resolver-se novamente a equação de σ CG . R1

XX

Esforço cortante reduzido.

No cálculo de esforço cortante V, para cada condição de carregamento, deve-se considerar que a resultante Pα  do esforço de protensão, não sendo perpendicular à seção, mas tendo uma inclinação α  em relação ao eixo da viga, apresentará uma componente normal à seção e outra tangente à seção V. N = Pα cos α

e

V = Pα sen α

A componente tangente à seção irá se somar algebricamente (em geral será uma diminuição) ao esforço cortante produzido pelas cargas externas. Ao esforço cortante

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resultante chamamos de esforço cortante reduzido. Desta forma, o cálculo do τ  será feito para os valores: Vredg = Vg - Pα sen α (peça descarregada) Vredg+p = Vg + Vp - Pα sen α (peça carregada) O melhor aproveitamento da seção será conseguido com valores iguais de Vg e de Vg+p, apenas de sinais contrários. Para que tal ocorra devemos buscar obter que Pαsen α = Vg + 0,5×Vp e, neste neste caso, caso, teremos: teremos: Vredg = -0,5×Vq Vredg+p = 0,5×Vq Desta forma nós anulamos o esforço cortante devido ao peso próprio e reduzimos à metade o esforço cortante devido à sobrecarga para efeitos de dimensionamento dimensionamento da seção. Esta seria uma solução ideal, dificilmente atingida. Na prática os valores do esforço cortante reduzidos são considerados aceitáveis quando ficamos entre os limites: (Vg + 0,33Vq) ≤ Pα sen α ≤ (Vg + 0,67Vq) αi

XXI Lançamento dos Cabos O lançamento dos cabos pode seguir uma das seguintes curvas: Ri – variação  parabólica natural da flexão com carga uniformemente distribuída;   e   o    d   é   o   t   a    ã   i   ç    i   s   o   )   o   b   a   g   p   a   i   c   v   a    d   o   a   a   d   d    i   c   m  o   p   n   e   o   g    â    t    t   s   a   r    i   o    d    (   c    i   n    d   a

αi αi χi(distância da cabeceira ao ponto em

que o cabo i começa a subir)

 

catenária – fácil de ser obtida em obra; circular – fácil de calcular ( a mais comum).

 R  i  

 c   o  s   (  

 α α

i    )   =  (  

 R  i  

 y i    )  

 y i   =

h   t   i    d  i  

 c   t    a i    b   (    o  d  i   i    s   t    â   a  t   n  é   c  i    o  a f    d   u n  a  d   p  o  o  d   s  i    a  ç   ã   v  o i    g  d   a  o  )  

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Na etapa de lançamento dos cabos, devem ser observados os seguintes parâmetros: 

os cabos devem começar a subir o mais próximo possível da seção central sem, no entanto, comprometer a qualidade da concretagem da peça. Quando na alma, os cabos devem distar pelo menos um diâmetro entre si (dois diâmetros entre os seus eixos) e na mesa inferior deve ser garantido que haja pelo menos a mesma distância entre eles, embora sua projeção vertical seja menor;



as distâncias em que os cabos podem ficar uns dos outros na cabeceira de ancoragem, bem como as distâncias entre os cabos e as faces laterais da viga, são dadas pelo sistema sistema de protensão protensão de acordo com o equipamento a ser utilizado (devem ser obtidos no manual do sistema);



o centro de gravidade mecânico dos cabos em cada seção deve encontrar-se entre os limites calculados para o cabo fictício equivalente. Desta forma, utilizam-se as projeções Pαcosα da força de protensão em cada um dos cabos para o cálculo da posição do cabo fictício equivalente;



o cortante encontrado deve estar entre os limites práticos aceitáveis em algumas seções chave. Desta forma, utilizam-se as projeções Pαsenα da força de protensão em cada um dos cabos para verificar a observância a estes limites.

De acordo com os valores encontrados, os cabos serão movidos até obter-se uma solução que esteja entre ambos os limites, do cabo fictício equivalente e do cortante. Neste ponto, o lançamento dos cabos é considerado satisfatório e pode-se prosseguir com este traçado.

XXII Perdas progressivas As perdas progressivas decorrem da natureza intrínseca dos materiais aço e concreto e são devidas a uma diminuição de volume de concreto, decorrente dos fenômenos de retração e deformação lenta. São devidas também à fluência do aço, à qual corresponde uma relaxação, isto é, perda de tensão. “A.2.2 - Fluência do concreto (NBR 6118/2003) A.2.2.1 Generalidades: Generalidades:

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A deformação por fluência do concreto (εcc) compõe-se de duas partes, uma rápida e uma lenta. A parte rápida (εcca) é irreversível e ocorre durante as primeiras 24 horas após a aplicação aplicação da carga que a originou. A deformação deformação lenta é composta composta por duas outras parcelas: a deformação lenta reversível (εccd) e a deformação lenta irreversível (ε ccf ).” Portanto: εcc = ε cca + ε ccf  + ε ccd Se considerarmos também a deformação elástica inicial εc, a deformação total do concreto devida à ação das d as forças externas aplicadas será εct = εc + εcc denomina-se φ ο coeficiente de deformação lenta que permite expressar a deformação ε cc em função da deformação elástica, ou seja: εcc = ϕ εc O coeficiente φ se compõe de três partes: ϕ = ϕa + ϕ f  + ϕ d, sendo: ϕa = coeficiente de deformação rápida – depende da resistência do concreto; ϕ f  =  = coeficiente de deformação lente irreversível – depende da umidade relativa do ambiente, da consistência do concreto, da espessura fictícia e da idade fictícia do concreto; ϕd = coeficiente de deformação lenta reversível. Considerando-se pois que o concreto tem uma idade fictícia t no instante considerado e tinha uma idade fictícia to ao ser aplicada a carga, a expressão acima fica: ϕ (t , t 0) = ϕ a + ϕ  f ∞  β  f  (t ) − β  f  (t 0) + ϕ d ∞ β d 

Na maioria dos casos da prática, porém, interessa-nos apenas a deformação final (no tempo t∞ ) e o coeficiente correspondente pode ser retirado da tabela 8.1 da Norma.  NBR6118 – Tab. 8.1 – Valores particulares particulares para estimativas estimativas preliminares preliminares ou para obras correntes realizadas com concreto plástico, correspondente a abatimentos de 5 a 9cm.

Umidade ambiente (%) Espessura equivalente 2Ac/u (cm) 5 ϕ(t∝,t0) t0(dias) 30 60

40% 55% 75% 90% 20 60 20 60 20 60 20 60 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4

A.2.3 - Retração do concreto (NBR 6118/2003)

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Retração é o encurtamento do concreto devido à evaporação da água desnecessária à hidratação do cimento. A retração depende da umidade relativa do ambiente, da consistência do concreto no lançamento e da espessura fictícia da peça. O valor da retração entre os instantes to e t é dado no item A.2.3.2 da Norma pela expressão: ε cs (t , t 0) = ε cs∞ [ β s (t ) − β s (t 0)]

Também aqui, na maioria dos casos interessa apenas a retração final ε cs∞ , cujo valor para obras correntes pode ser tirado da tabela 8.1 em função da idade fictícia do concreto (to = 5, 30 ou 60 dias) no instante em que o efeito da retração começa a ser considerado.  NBR6118 – Tab. 8.1 – Valores particulares particulares para estimativas estimativas preliminares preliminares ou para obras correntes realizadas com concreto plástico, correspondente a abatimentos de 5 a 9cm.

Umidade ambiente (%) 40% Espessura equivalente 20 60 2Ac/u (cm) 5 -0,44 -0,39 εcs(t∝,t0) t0(dias) 30 -0,37 -0,38 % 60 -0,32 -0,36 o

55% 20 60

75% 20 60

90% 20 60

-0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0,09 -0,31 -0,31 -0,20 -0,20 -0,09 -0,09 -0,27 -0,3 -0,17 -0,19 -0,08 -0,09

Fluência do aço Fluência do aço vem a ser o alongamento que o mesmo sofre no decorrer do tempo quando mantido sob tensão constante. Há tratamentos térmicos que permitem amenizar o valor destas perdas (aços de relaxação baixa RB). A perda de tensão (relaxação) ∆σpr (t,to) = ψ (t, (t, to) σpi (NBR6118 – 9.6.3.4.5) na qual: ψ (t, (t, to) = coeficiente de relaxação do aço entre os tempos to e t; σpi = tensão na armadura de protensão resultante da força de protensão efetiva, isto é, após o desconto das perdas imediatas (atrito e cravação). Os valores de relaxação são fixados nas especificações dos aços de protensão empregados. A tabela a seguir (Tab. 8.3 NBR 6118) fornece os valores de relaxação para os aços que a 20ºC foram submetidos durante 1000h a tensão de 0,60fptk, 0,70fptk e 0,80fptk respectivamente.

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NBR 6118 – Tab. 8.3 Valores de ψ 1000 (em %) (para 1000 horas e 20ºC) cordoalhas fios barras σp0 RN RB RN RB 0,50 f ptk 0 0 0 0 0 0,60 f ptk 3,5 1,3 2,5 1,0 1,5 0,70 f ptk 7,0 2,5 5,0 2,0 4,0 0,80 f ptk 12,0 3,5 8,5 3,0 7,0 Para σp0 < 0,5f ptk ptk, admite-se não haver perdas de tensão por relaxação. Para tempos diferentes de 1000h, porém sempre a 20ºC, os coeficientes de relaxação podem ser determinados pela expressão,com t em dias:   t − t 0   ψ (t , t 0 ) = ψ 1000   41 , 67    

0,15

Assim, por exemplo, após 5 anos = 1825 dias:   1825   ψ (t , t 0) = ψ 1000    41,67 

0,15

= 1,76 ×ψ 1000

Como quase sempre interessa apenas o valor final, pode-se considerar que, para o tempo infinito, ψ(t,t∞) ≅ 2,5 ψ 1000 (item 9.6.3.4.5). Na expressão ∆σpr(t,to) = ψ (t, (t, to) σp0 considerou-se o comprimento da armadura constante, o que não corresponde à realidade, uma vez que a retração e a fluência do concreto alteram as dimensões iniciais. Relaxação do aço Os valores finais das perdas de tensão na armadura ativa resultarão da soma dos valores acima abordados: ∆σp,csr = ∆σp,cs + ∆σpr •

Aplicação prática Reunindo os efeitos da fluência e da retração do concreto, a conseqüente perda de tensão na armadura ativa em cada seção pode ser obtida pela expressão do item 9.6.3.4.2 da NBR 6118, aplicável quando a concretagem do elemento estrutural, bem como a protensão, são executadas, cada uma delas, em fases suficientemente próximas para que se desprezem os efeitos recíprocos de uma fase sobre a outra e os cabos possuam entre si afastamentos suficientemente pequenos em relação à altura da seção do elemento estrutural, de modo que os seus efeitos possam ser supostos equivalentes ao de um único cabo, com seção transversal de área igual à soma das áreas das seções •

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dos cabos componentes, situado na posição da resultante dos esforços neles atuantes (cabo resultante). Nesse caso, admite-se que no tempo t as perdas progressivas na posição do cabo resultante, com as tensões no concreto σc,pog positivas para compressão e as tensões no aço σpo positivas para tração, sejam dadas por: onde: ε cs ( t ,t 0 ) E p − α p σ c ,pog ϕ(t, t 0 ) − σ po χ(t , t 0 ) ∆σp(t,t0) é a variação da ∆σ p ( t , t 0 ) = χ p + χ c α p η ρp tensão no aço de protensão entre t0 e t; χ(t , t 0 ) = − ln[1 − ψ (t , t 0 )] εcs(t,t0) é a retração no instante t, descontada a retração χ c = 1 + 0,5ϕ(t, t 0 ) ocorrida até o instante t0, conforme 8.2.11; χ p = 1 + χ( t , t 0 ) Ep é o módulo de elasticidade da armadura ativa; σc,pog  é a tensão no concreto adjacente ao cabo resultante, 2 Ac η = 1 + ep provocada pela protensão e pela carga permanente mobilizada no Ic instante t0, sendo positiva se de compressão; Ap ϕ(t,t0) é o coeficiente de fluência do concreto no instante t para ρp = Ac protensão e carga permanente, aplicadas no instante t0; σpo  é a tensão na armadura ativa devida à protensão e à carga Ep αp = E ci 28 permanente mobilizada no instante t0, positiva se de tração; χ(t,t0) é o coeficiente de fluência do aço; ep é a excentricidade do cabo resultante em relação ao baricentro da seção do concreto; ρp é a taxa tax a geométrica da armadura de protensão; Ap é a área da seção transversal do cabo resultante; resultante; Ic é o momento central de inércia na seção do concreto. Ac é a área da seção transversal do concreto.

XXIII Perdas por atrito. Devido ao atrito entre o cabo e a bainha, a força de protensão, aplicada na extremidade do cabo, perde-se em parte. Nos trechos curvos do cabo, podemos aplicar a fórmula tradicional da Mecânica que nos fornece o valor da força PB em uma extremidade da curva quando aplicamos uma força PA na outra extremidade:

PB = PA × e −µα onde: µ é o coeficiente co eficiente de atrito cabo-bainha; α é o ângulo de desvio do cabo. Nos trechos retos, teoricamente, não existiriam perdas por atrito. Entretanto, devido as ondulações que a bainha experimenta durante a execução, este atrito existe.

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Admitindo-se que as ondulações na fixação da bainha sejam responsáveis por uma desviação parasita, teríamos entre o ponto B e o ponto C uma variação da força de protensão de PC = PB e − k× d onde k   é um pseudo coeficiente de atrito em linha por metro de cabo. l

PA

A

lc

ld

PB

α

B

PC

C

l

Desta forma:

PB = PA × e − µα − k c l

ou a perda entre A e C seria :

PC = PB × e − k d = (PA × e − µα − k c ) × e − k d PC = PA × e − µα − k c − k d = PA × e − µα − k( c + d ) ∴ PC = PA × e − µα − k l

l

l

l

l

l

l

l

onde: co mprimento em curva e lc é o comprimento ld é o comprimento reto Valores da Norma (item 9.6.3.3.2.2)

Nas peças pós-tracionadas a perda por atrito pode ser determinada pela expressão da Norma:

∆P( x) = Pi 1 − e − ( µ Σα + kx ) onde: ∆P(x) = perda da força de protensão no cabo na seção de abscissa x; Pi = força máxima aplicada à armadura de protensão pelo equipamento de tração; Σα = soma dos ângulos de desvio desvio previstos, previstos, no no trecho compreendido entre as abscissas 0 e x; µ = coeficiente de atrito aparente entre cabo e bainha; na falta de dados experimentais, pode ser estimado como segue: µ = 0,50 entre cabo e concreto (sem bainha); µ = 0,30 entre barras ou fios com mossas ou saliências e bainha metálica; µ = 0,20 entre fios lisos paralelos ou traçados e bainha metálica; µ = 0,10 entre fios lisos paralelos ou trançados e bainha metálica lubrificada; µ = 0,05 entre cordoalha e bainha de polipropileno lubrificada. lubrificada.

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k = µγ  =  = coeficiente de perda por metro provocada por curvaturas não intencionais do cabo, na falta de dados experimentais pode ser adotado o valor 0,010µ.

XXIV Perdas por escorregamento Na ocasião da transferência do esforço de protensão dos macacos para os cones de ancoragem, apesar do cone macho ter sido coagido contra as armaduras de protensão e o cone fêmea, ocorre um escorregamento da armadura de protensão que provoca uma perda de protensão. Devido ao atrito dos cabos contra a bainha, esta perda diminui a medida que nos afastamos da seção de ancoragem. A partir de uma seção suficientemente afastada das cabeceiras dos cabos esta perda não existe. Para cada sistema de protensão este recuo do cone de ancoragem adquire valores diferentes. Para o sistema MAC, a acomodação das cunhas nas ancoragens (cravação) provoca uma perda de 6 mm no alongamento inicial ao qual se chegou antes da cravação. Admitindo-se que o valor da variação de deformação para cada cabo decresça conforme mostrado no gráfico abaixo:

Tem-se que determinar até que ponto esta perda afetou as tensões no cabo, ou seja, até que distância o atrito permitiu a perda da tensão original no cabo. Assim, calcula-se a área do gráfico entre entre a seção da cabeceira e o meio do vão, obtendo-se um um valor δ (em m). Deve-se encontrar o ponto, ao longo do cabo retificado, em que a área do gráfico compreendida entre a deformação final e a inicial na cabeceira igualem a perda conseguida pelo sistema.

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Considerando-se Considerando-se que as áreas podem ser aproximadas por triângulos e que estes são proporcionais , pode-se deduzir a seguinte equação:  χ × ( χ × tgα )  χ 2 × tgα  = =

δ anc

2

l r 

lr

2 δ  = lretificado do cabo até o meio do vão 2×

anc 2

δ χ

2

l r  l r    ×   × tgα        × tgα  2   2   =   2  

2

 χ 

α

2

 χ  =   

l r 

 

=

2

2 × δ   l r        2  

2

  × δ anc 2   δ 

δanc

Se  χ  ≤ l r  2  a perda não atinge o meio do vão, não afetando a força de protensão que foi calculada para esta seção no tempo infinito. Neste caso, não há necessidade de aumento da força de protensão na cabeceira; Se  χ  > l r  2  a perda atinge o meio do vão, afetando a força já calculada. Neste caso deve-se recalculá-la na cabeceira de forma o obter-se novamente a força prevista para o meio do vão. O acréscimo de força na cebeceira será de: ∆P =

XXV

(δ anc − δ ) l r 

Perdas no equipamento equipamento de protensão.

× E P

2

As perdas por atrito que ocorrem internamente no macaco de protensão podem ser avaliadas em 3 % do esforço da protensão. Portanto, o projetista deve levar em conta este valor por ocasião do cálculo final do esforço da protensão

XXVI Verificação no Estado Limite Último Na seção mais carregada, faz-se uma verificação idêntica àquela realizada em concreto armado. Esta verificação é feita considerando-se tensão nula em toda a seção e aplicando-se um momento fletor de cálculo Md = γ g.Mg + γ q.Mq, com o qual deve-se determinar a posição da linha neutra e, portanto, o Domínio em que a deformada da seção se encontra. Tendo-se definido a posição da linha neutra, obtém-se obtém-se a deformação no centro de gravidade da armadura de protensão (εP).

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εc

x Md

t

εP

Considerando-se que, se necessária a colocação de armadura passiva, esta seria de aço CA 50, supondo-se a deformada como posicionada abaixo, estaria no Domínio 3 e 2,07% < εP < 10% : o

o

2%

o

10%

o

εP

3,5%

o

2,07%

o

No Concreto Protendido, porém, tem-se um alongamento prévio ( dito préalongamento) que deve ser adicionado a este. O cálculo de pré-alongamento é feito com a força de protensão no tempo infinito, como mostra a equação: P∞ ε PP =  AP × E P A deformação total no aço será dada por εPtotal = εP + εPP que, utilizando-se o gráfico tensão-deformação tensão-deformação (de cálculo) da cordoalha ou fio empregado, levará ao valor da tensão que age na armadura (σP), cujo valor não deve exceder o valor de  fpyd. Obtida a tensão, a força de protensão (FP) é: F P = σ P × AP Por outro lado, sabendo-se a posição da linha neutra pode-se calcular a resultante de compressão no concreto (Fc), bem como seu ponto de aplicação. A forma da seção, composta por retângulos e triângulos, torna mais simples trabalhar-se com o diagrama retangular simplificado. A distância entre o centro de gravidade das

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armaduras de protensão e o ponto de aplicação da resultante de compressão dá o braço de alavanca "z" do momento resistente. Para saber se há ou não necessidade de armadura passiva, faz-se o cálculo do Momento Resistente da seção M'R = FP  x z. Sendo este momento maior que o solicitante (Md), não haverá necessidade de armadura passiva. No caso do momento resistente ser inferior ao momento solicitante (M'R < Md), adiciona-se armadura passiva suficiente para criar um momento  M  R, pas = M d  − M  R' ,

ou seja, uma área de  As, pas

 M d  − F  P F  − F P  z = = c . σ s , pas

σ s , pas

A tensão na armadura passiva é obtida através do diagrama tensãodeformação do aço utilizado, considerando-se considerando-se apenas a deformação εP. cálculo dos estribos: Calculados de forma semelhante ao concreto armado, sendo que, para a determinação de VSd tem-se duas situações: 1. Viga descarregada - atuando somente protensão e peso próprio. Considerando-se os coeficientes de combinação da NBR6118/2003, tem-se: V Sd  = 1,0V g − 1,2ΣP0,i sen α 1 , ocorrendo a situação mais crítica no instante i nstante de aplicação da protensão, logo com P0. 2. Viga carregada - atuando protensão, peso próprio e carga acidental. Com os coeficientes de combinação tem-se: V Sd  = 1,4(V g + V q ) − 0,9ΣPi sen α 1 , ocorrendo no tempo infinito. Os estribos serão calculados utilizando-se o maior valor absoluto observado em cada seção ao longo da viga. Na verificação da biela é necessário reduzir-se a largura da alma (bw) conforme citado na Norma: " bw é a menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil d; entretanto, no caso de elementos estruturais protendidos, quando existirem bainhas injetadas com diâmetro φ >bw /8, a largura resistente a considerar deve ser (bw-1/2Σφ), na posição da alma em que essa diferença seja mais desfavorável, à exceção do nível que define o banzo tracionado da viga"