ASSEMBLAGES ASSEMBL AGES BOULONES BOULONES
CHEMINEMENT A ADOPTER LORS DU CALCUL DES ASSEMBLAGES 1. Détermination des efforts transmis par l’assemblage. 2. Coupe dans l’assemblage afin de déterminer la section résistante de l’assemblage. 3. Définition Définition des des parties parties de la section section résistante résistante affectée affectée à la reprise reprise de de chacun chacun des efforts sollicitants. 4. Déterminati Détermination on des contra contraintes intes dans dans la section section résista résistante nte (distribu (distribution tion des des efforts efforts sollicitants dans chacune des parties correspondantes de l’assemblage). 5. Vérifi Vérificat cation ion de de la valeu valeurr maximu maximum m des contr contrain aintes tes
Exercice 1:
Assemblage Assem blage à boulons ordinaires sollicités au cisaillement.
Déterminer, Déterminer, pour chacune des configurations suivantes d’assemblage boulonné, l’épaisseur des plats (et des couvre-joints), ainsi que le nombre de boulons nécessaires pour la transmission, en service, d’un effort N de traction, entre les
plats assemblés. Dans chaque cas, faire un croquis de l’assemblage.
Discuter, Discuter, enfin, les l es avantages et les inconvénients que peut présenter chacune de ces trois configurations par rapport aux deux autres. Données : - N = 200 kN (charge variable) - acier utilisé pour la réalisation des plats et des couvres joints joi nts : S235 - boulons non-préserrés de 20 mm de diamètre nominal (type 8.6) - les trous dans les plats et les couvres-joints sont forés à un diamètre 2 mm supérieur à celui des boulons; - la largeur des plats et des couvres-joints est égale à 150mm (a) N
N
(b) N
(c )
N
Solution
N 200 k N N * . N Charges variables
1,5 N * . N 1,5 200 200 300 k N
Déterminer la façon dont l’assemblage l’ assemblage travaille
Ici les boulons vont travailler en cisaillement. Boulons cisaillés La résistance de calcul Rs d’une section cisaillée d’un rivet (boulon) vaut par plan de cisaillement :
R s l . A s As : aire de la section résistante au cisaillement
l ub :
0.56 f ub M
Contrainte ultime en traction du fût du rivet ( boulon) bou lon)
On a des boulons 20 On a des boulons 8.6
R s
0.56 800 1.25
As =245 mm2 ub =8 x 100 = 800 MPa
245 87.8 kN
Si n est le nombre de boulons on doit avoir
nR s N * n
N * R s
300 87,8
3.4
Donc le nombre de boulons n= 4 boulons - La première chose à vérifier c’est la résistance du boulon - La deuxième chose à vérifier si le plat tient
Résistance des plats Section brute Ab =b.t=150.t t: épaisseur des plats Section nette An= (b-2. trou ).t trou = boulon + 2 mm =22 mm An= (150-2 x 22 ).t=106 .t
N brute Ab .
f y M
150 t
235 1.1
300.103 N ; m 1,1
t 9,4 mm N nette An .
0.8 f u M
160t
0.8 360 1.1
300.103 N
t 10.8 mm t 12 mm
Remarque : Dans la section nette on se permet de dépasser y et d’aller jusqu’à 0.8 Il reste à vérifier – la résistance à la pression diamétrale Pression diamétrale
R p pl .d .t t : épaisseur des plats = 12 mm d : diamètre du boulon =20 mm
pl
f y Dépend de la géométrie de l’assemblage
u
Une interprétation linéaire est acceptable. On peut approximer ces valeurs selon
1.25 1.25
e1 d p d
0.5 1.75
e1
; ;
d p
1,2
d
2
Si la nuance des pièces assemblées est différente de celle des organes d’assemblages, il faut considérer les valeurs correspondant à la nuance la plus
douce.
R p pl .d .t avec
pl
y
M
dépend de la géométrie d’assemblage
Selon que le boulon est en dernier ou en premier de la file - Première rangée de boulons ;
1.25
p
d
1.75
p : distance derrière les boulons , p = 50 50 soit:
1.25 - deuxième rangée de boulons ;
50 20
1.75 1,06
1.25
e1
0,5
d e1 distance derrière les boulons ; e1 =25 soit: 1.25 On prend
25 20
0,5 1,375
= min des deux valeurs
La zone critique sera située derrière la première rangée de boulons. L’assemblage
est constitué de 4 boulons
N 4. R p ; R P pl . d . t ; pl 3
1.06 235 1.1 3
226,45 k N
Attention : Attention : pour la pression pression diamétrale on prend d = diamètre diamètre des boulons
N * 300 4 . Donc à partir de m in
f y M
.d .t m in 1.46
1.25
p d
1,75 on calcule p= 52 mm
( p = distance entre deux boulons intérieurs à l’assemblage )
à partir de m in
1.25
e1
d
0,5 Avec =
min
on déduit
on déduit e = 32 mm ( distance entre le dernier boulon boul on et la fin du plat ) 1. b. N
N
Il s’agit tout simplement de deux assemblages en série qui fonctionnent comme l’assemblage (a) - Un assemblage est un endroit où l’effort passe d’un élément de structure à
un autre élément de structure - donc on remarque directement ici qu’on a en fait deux assemblages identiques à l’assemblage étudié en (a) N
N
1. c. N
N
coupe N
N/2 N/2
T couvre-joints = 6 mm
- Deux plans de cisaillement
nombre de boulons n , N= m . n . Rs m = nombre de plans de cisaillements Discuter les avantages et les inconvénients a/ non alignement des efforts
c/ pas de problème d’excentrement mais problème d’encombrement en (c) il y a
problème de pression diamétrale donc il faut garder les 4 boulons.
Exercice 2 :
Assemblage Assem blage à boulon H. R. précontraints résistant par friction
Considérer la configuration configuration (a) d’assemblage d’assemblage étudié à l’exercice 1, dans lequel les
boulons ordinaires de type type 8.6 sont remplacés remplacés par des boulons H. R. préserrés de type 10.9 Déterminer le nombre et l’emplacement l’emplacement des boulons pour deux valeurs valeurs
différentes du coefficient de frottement entre les pièces assemblées : = 0.3 et = 0.5 (a) N
N
(b) N
(c )
N
Solution
Les boulons précontraints
grande pression met les plats en contact et
empêche l’effort de traction N de faire glisser les plats
N* m.n.Rs RS : résistance par frottement n : nombre de boulons m: nombres de surfaces cisaillées
R s
k . .S M
= coefficient de frottement S = effort de preserrage; S = 0.8.Ab.fyb; k = 1 cas normal ; m = 1.25 S = 176 kN (voir tableau); m = 1 une seule surface de frottement
0.3 M 0.5 M
300 1.25 0.3 176 300 1.25 0 5 176
7.1 8 boulons
4.26 5 boulons
On doit de nouveau vérifier la pression diamétrale
N * n. pl .d .t f y pl . M
Ici la formule de change (boulon précontraint )= (boulon ordinaire ) + 0.5
e1 p f ( , ) 0.5 avec 3 d d . M N * Donc il faut que HR n. f y .d .t 0.73 (cas 8 boulons ) 1.17
(cas 5 boulons )
Pour comparer il faut retirer 0,5 pour avoir la valeur en boulon non précontraints et calculer les espacements comme pour l’Exercice 1
Exercice 3 :
Assemblage à boulons ordinaires sollicités à la traction ( éventuellement combinée au cisaillement )
Dans l'assemblage suivant, l'effort centré N de traction est transmis entre les plats A et B par l'intermédiaire de deux platines C et D boulonnées entre elles et soudées aux plats A et B perpendiculairement au sens de l'effort N. On demande : 1° de déterminer l'effort maximum transmissible par les plats A et B 2° de calculer le nombre de boulons nécessaires à la prise de l’effort déterminé en 1°, si on suppose les platines Cet D infiniment rigides pour la flexion dans leur plan 3° d'évaluer la valeur de l'effort de levier dans les boulons, pour différentes épaisseurs des platines C et D ( platines non-infiniment rigides ) : t = 10 mm, t = 20 mm, t = 40 mm Données : - boulons 20 mm de diamètre non-préserrés ( type 6.6 ) - acier utilisé pour les différents plats : S235 2t
A
B
N
N C
D
Solution N charge variable
N * 1.50
N charge permanente 1) N * b t
f y m
N * 130 12
1.1
1.33
m coefficien t de sécurité 1.1 pour l' acier
;
235
N *
333.33 kN ; N * charge maximale admissible charge de calcul
2) N * n Rt ; avec Rt l Ab ; n nombre de boulons ; Rt résistance à la traction d' un boulon
f yb f ub ; ;0.8 l min M M boulons 6.6 f yb 360 MPa et f ub 600 MPa 2 20 Ab 245 mm
Rt 70,6 kN n
N * Rt
300 70.6
4.7 6 boulons
on prend toujours un nombre pair de boulons pour garder une certaine symétrie ( 6 boulons
3/Effort de levier En fait ci-dessus on suppose implicitement que la platine était infiniment rigide
0,5
Wt 4
2 N * 30 ab A Q . 4 2 a a Wt 1 b 3b 6ab 2 A
N* : force extérieure; Q : effort de levier; A : Section du boulon; W : distance concernée par la rangée de boulons considérés (voir figure )
Rt
N * 2
Q
t 10 mm
Q 0.37
t 20 mm
Q 0.31
t 30 mm
Q 0.14
t 35 mm
Q 0.05
N 2 N 2 N 2 N 2
Exercice 4 Assemblage à boulons H.R précontraints sollicités à la traction . En se plaçant
dans les mêmes conditions que celles de l’exercice 3 ( même géométrie et même effort appliqué), on demande d’évaluer le nombre de boulons nécessaires à la prise de l’effort N si les plaques sont supposées suffisamment rigides et que l’on emploie cette fois des boulons H.R pré serrés de 20 mm de diamètre et de
type 10.9 Solution
N* n.S ; boulons précontraints on introduit une pression de contact Boulons 10.9 S=176 kN
n
N * S
n
333,33 176
n 2 boulons
On voit l’avantage des boulons précontraints c'est -à-dire qu’il en faut beaucoup
moins
Exercice 5 L’assemblage suivant doit transmettre un effort tranchant F * ainsi qu’un moment
de flexion M* (valeurs pondérées) de la poutre IPE200 à la colonne HE160B par l’intermédiaire d’un plat d’about soudé à la poutre et boulonné à la semelle de la
colonne. On demande de vérifier la résistance des boulons sous l’effet combinés des deux
efforts précités. Données: - F* = 40 kN et M* = 40 kN - acier utilisé pour la réalisation des éléments assemblés: S235 - boulons HR. préserrés M16, de type 10.9 - Coefficient de frottement =0,3 entre le plat et la semelle de la colonne
Solution On vu jusqu’ici des boulons quasi–isolés.
On étudie à partir de cet exemple un assemblage complet
M * 40 kN .m F * 40 kN
Ici aussi il faut reprendre la démarche à suivre pour le calcul.
a / F * m.n.k . .
s
m m 1, n 6, k 1, 0.3 , S 113, M 1,25
F * 162.72 b/ La flexion dûe à M* peut être assimilée à un coulpe, tirant le haut et comprimant le bas. L’effort de traction va être repris par deux boulons au dessus, au bas de l’assemblage on aura une zone de compression .
M *
M I
y
Moment statique de la section des boulons tendus
2 Ab a 2 Ab (a 68,5) Moment statique de la zone comprimée
38,5 100 (157,5 a)
2 Ab a 2 Ab (a 68,5) 38,5 100 (157,5 a)
a 130,39 mm ne marche pas; car 130,9>123 On va changer la position de la fibre neutre nous avons trois rangées de boulons en traction . 2 Ab a'2 Ab (a'123) 2 Ab (a'123 68,5) 38,5 100 (34,25 a' )
a 6,91 mm L’effort de compression venant de la semelle inférieure de la poutre et passant
dans la platine
longueur de la zone de compression =longueur de la poutre
I 2 Ab a '2 2 Ab (a'123) 2 2 Ab (a'123 68,5) 2
100 (38,5)3 12
100 38,5 (34,25 a' ) 2 max
M
I 2102,87 cm4
y
40.106 (a'123 68,5)
I max 377,4 kN / m 2
I
N b Ab ma x 157 377,4 59,2 kN
Remarque: pour le calcul des moments statiques dans la zone de diffusion de contraintes, on suppose une diffusion de 45°
H e 2e'
Exercice 6 On demande d'assurer la reprise du moment M* par 1/ des boulons ordinaires non préserrés (type 6.8) 2/ des boulons préserrés (type 10.9 ) dans l'assemblage suivant. Dans les deux cas, faire un croquis de l'assemblage. Données • M* = 50 kNm • acier utilisé pour la poutre, la colonne et les plats : S235 • coefficient de frottement = 0.3
Solution 1° chose : repérer ce qui est exactement l’assemblage ( = l’endroit où deux élément sont liés entre eux)
M * F * .h 1
h 0.2 2 0.015 2 50 232.6 kN F * 1 0 2 2 0 015
Résistance au cisaillement
R s A s M 16 A s 157 mm 2 6.8 l 0.56
f u M
2 0.56 1600 269 N / mm .25
Condition qui va donner le nombre de boulons:
F * n R s n
232.6 103 157.269
5.5
donc n=6 boulons Le croquis de l’assemblage le plus simple est une vue en plan
Pression diamétrale 1 boulon
R p pl d t d 16 mm t 8.5 (semelle IPE 200)
pl
f y M
1,25.
avec 1,25.
R p 2,2.
235
60 16 35 16
1,75 2,2 0,5
.16 8,5 64kN
1,1 La condition à respecter est que l’effort est répartie équitablement entre les
six boulons F * 6
R p 231,6 6 64 384 ok
Résistance du plat Section brute
F * 100,15
f y M
soit
232,6 100,15
235 1,1
Section nette F * 100 2(16 2)
0,8
soit 242,25 262
f u 1,1 ok
La résistance du plat est la même que ce soit des boulons ordinaire ou des boulons preserrés. Ce n’est pas la peine de faire les calcul, donc ce qu’il faut vérifier c’est:
Résistance au glissement F * n.k . .S k 1 0,3
M 16
S 113 kN
10.9 n
232.6 0.3 113
6,86 n 8 boulons
On voit q’il faut plus de boulons. Les boulons preserrés sont meilleurs aux boulons ordinaires dans le cas d’une
sollicitation en fatigue.
Exercice 7 Calculer le moment de torsion maximum que peut reprendre l'assemblage suivant, en plus de l'effort tranchant F* auquel il est déjà soumis F* = 100 kN profil de la poutre : IPE200 profil de la colonne : IPE270 épaisseur du plat ; 20 mm boulons ordinaires M2Q non préserrés, de type 4.6
Solution
M * ?
F * 100 kN
;
M t
Il faut déterminer le centre de gravité De nouveau on va écrire l’équilibre du moment statique 2 Ab (121,5 a) 2 Ab (70 a) 2 Ab a 2 Ab (70 a)
a 30,38 mm J T
ai r i2 Ab
A
2
x i
M *t .r i . Ab
2
y i 13363172mm 4
i
J
La structure est soumise à un effort vertical vers le bas F* Donc on supposant qu’il soit équitablement réparti, chaque boulon est soumis à F*/8
donc T Mt , y
M *t . Ab J
. xi , T Mt , x
M *t . Ab J
. yi
2
M *t .100,38 M *t .40 F * 2 12,51 T T Mt , x T Mt , y 8 54543,4 54543,4 2
T est don c max pour T Mt,xmax C à d pour yi max (yi =100,38) R s l Ab l
0,56 f ub M
R s 44,45 kN T R s M *t 19,32 k .m
2
Exercice 8 1° On demande de dimensionner la console ci-dessous (profils, couvres-joints et nombre de boulons des 2 assemblages ) pour que celle-ci résiste à une charge P*=25 kN (charge pondérée) Données : - acier S235 pour tous les éléments - Boulons H.R. 10.9 préserrés aussi bien pour le joint que pour l'encastrement -Surfaces traitées ( = 0.5) - caractéristiques des profils en U : voir catalogue de profilés - On suppose que le déversement est empêché par des dispositifs appropriés 2° Le dimensionnement étant effectué, on donnera !a charge maximale qui peut être reprise élastiquement par la console.
solution
Dimensionnement du profil
Pour dimensionner le profil on suppose que le moment agit seul M * seul 25 5 125kN .m
f y m
M * W
f y m
W
125.106 1,1 235
W 585 cm3
Pour un profilé en , W =293 cm3 , on prend un UPN 240
M * 2W V * 2 A'
125.106 3
2,300 10
25.103 2 200
W=300 cm3
208 N / mm 2
6,25 N / mm2
Si (M*) + (V*) critère de von mises c 2 3 2 (208) 2 3 (6,25) 2 208,6 N / mm2
235 1,1
214 N / mm2
Deux assemblages à vérifier 1/ Assemblage intermédiaire (voir coupe schéma) Cette section doit transmettre les efforts M * 25 2,5 62,5 kN .m V * 25 kN
V * Effort tranchant 20.h
moment , I
20 2403 12
max
M * I / v
f y 3 m
h 10 mm, On néglige l’effet de l’effort tranchant
2 3 190 t 2t 120 t 190, 12 2
f y m
214 MPa
Si on essaye une épaisseur de 3 mm
193 MPa 214 MPa
I=39869 mm4
Pour les boulons : plats supérieurs et inférieurs
F *
( M * / I ) 121,5 M
3 190 109 kN
Si on prends les M12 les plus petits qui existent 0,5 ; S 60kN R s
.S M
0,5 60 1,25
F * nR s n 4
Boulons pour plats vertical On appelle M** le reste du moment, V*= 25 kN M * * M * 109 0,243 36,08 k .m M * * 62,5 kN .m
109 h 2.
t 2
Équilibre vertical F v
V *
12,5 kN
2 F M 130 M V * .d (on estime d 70 mm)
Ce qui donne F M 284 kN
277kN ?
A partir de FM et Fv on peut calculer FT effort total F T 284,3 kN R s
m.n.k . .S M
,
m 2, n 1, k 1, 0,5
On doit exprimer F T R s S 355,3
M 20, M 30
Une autre solution
On doit exprimer F *
M *
h t F * R s
F M V
a b
Pression diamétrale R p
pl .d .t
pl
f y M
F t R p
R p : : min( a, b) 1,25
55
0,5 0,5 27 R p 293 284
Assemblage, encastrement
( H . R )
a/Mt
T M
avec
M t r J '
, J '
r a 2 , T M
xi2 yi2 8a 2
125 2
, a 65 mm
8a
b/V*
T v
F t
T cos 45 T M 2 T v . cos 452
R s m.k . .
S
S M
2 1 0,5
M
S 1,25
344
25 4
.6.26
Exercice 9 L'assemblage suivant est censé transmettre un effort de traction pondéré N* = 28k entre les deux plats A et B. On demande de vérifier la résistance de ces plats dans deux cas distincts : 1° l'effort N* est transmis par l'intermédiaire de 5 boulons ordinaires M20 ( type 4.6 2° l'effort est transmis par frottement entre les deux plats suite au préserrage de 5 boulons M20 ( type 10.9 ) Données : -Plat en acier S235 - Épaisseur des deux plats - Coefficient de frottement: =0,3
Solution N * 280 N Ce qu’on vérifie ici ce sont non pas les boulons mais les plats (on suppose donc que les boulons sont suffisants pour encaisser l’effort).
A1
N * A1
280 150 10
186,7 N / mm2
f y m
235 1,1
A2 A2 150 20 210 1280 mm2
On coupe: on regarde l’effort qui a été déjà transmis et celui qui reste
A’) Aucun boulon situé à gauche
effort à transmettre =effort total N*
502 2 A' 150 3 20 2 2 10 1118 mm 4 45 2
502 4 45
représente la projection verticale de la ligne oblique.
280.00 1118,00
250,5
0,8 f u m
262 MPa
A3 A3 150 2 2210 1060 mm
Quand on fait la coupe A3 on voit qu’un boulon est déjà dépassé Ce boulon à déjà encaissé le 1/5 de l’effort total (puisqu’on a en tout 5 boulons et qu’on sait que l’effort se répartit équitablement 1 4 N A3 N * N * N * 224 kN 5 5 224000 A3 211,30 MPa 262 MPa 1000 A4 A3 2 N A4 N * N A3
Anette
Preserrage, si on fait une coupe Anette (à moitié de la zone de transmission) Au niveau de la section nette, il y’a déjà une partie de l’effort qui a été déj à
transmis ( a cause du preserrage) on fait alors l’hypothèse qu’il y a 40% de l’effort qui est passé avant
0,6 N * Anette
0,8 f u m
Rectangula ire;
A2 1280mm2
N A2 N * 0,4
N *
257,6 kN 5 201,25 Mpa (admissible ) A' 1118mm 2
N A' N * 3 0,4
N *
212,8 kN 5 190,3 Mpa ou (admissible)
A3 1060mm 2 N A3 N *
N *
2 0,4
N *
179,2 kN
5 5 169,1 Mpa (ok ) (admissible)
Théoriquement il haut aussi déterminer la résistance à la pression diamétrale comme pour les cas précédents, mais pas le but ici
Exercice 9 On demande de déterminer l’effort maximum T qui peut être transmis en traction
ou en compression, par les deux profils UPN 10 S de la figure suivante, au gousset d’assemblage de 10 mm d’épaisseur.
Données : - Les profils UPN sont reliés au gousset par 6 boulons préserrés M12 de type 10.9 ; f ub =1000 N/mm2 et f yb =900 N/mm2 - le gousset et les deux profils sont en acier Fe360; - le coefficient de frottement entre les pièces assemblées vaut =0,5.
Solution Plusieurs choses à vérifier 1) La résistance du fer en U proprement dit : (Vérification du profil en section brute) UPN 10 S A = 1350 mm2 avec f y = 235 MPa T max
f y m
A 288,4 kN
2) Vérification du profil en section nette
An A1 A2 avec A1 100 8,26 2 2 12 6 338,4 mm2 et A2 2 8,26 50 3 776,4 mm2 sachant que A
845 5
2
3 A1 3 A1 A2
0,6
max
0,8 f u m
261,8 MPa T ma x An ma x 221,4 kN
Boulons pré serrés
40% effort total déjà passé (transmis)
T max T tot 2 0,4
T tot 6
T max
T tot
0,4 1 3
3) Boulons M12 (10.9 préserrés) m n k
S M
S= 60 kN
1 6 1 0,5
4) Pression diamétrale
255,4 kN
60 1,5
144 kN
R p pl d t sachant que pl
f y m
avec d 12 mm et t 6mm
On prend l’épaisseur la plus fine des deux éléments gousset ou UPN ; car s’il y’a problème ; il sera dans l’élément le plus mince 25 0,5 2 1,25 12 m in min 1 , 2 2,1 50 1 25
préserrés min 0,5 T max 6 2,6
235 1,1
12 6 240,3 kN
5) Il faut vérifier que le gousset tient On part de la première rangée de boulons on trace deux droites à 30 °
l e 50 2 100 tg 30 2 14 137,5 mm T m ax l e t gousset
235 1,1
293,8 kN
6) On a toutes les chances pour que la section défavorable soit celle où les efforts sont transmis (voir section rouge sur la feuille d’exercices)
V 2 T cos 45 2T M h T cos 45 130 2T h 2 (80 50)
On suppose que la distribution des contraintes tangentielles est uniforme
V
A gousset
2 T 300 10
Navier M y 2
I
10 300
I
22500.103 mm 4
12 300 y 150 mm 2
130 2 T 150 3
En fin il faut voir Von Mises 3 2
2
f y m
T max 145 kN
Conclusion: 6 conditions à vérifier mais la condition principale est la résistance des boulons
Exercice 10 La poutre-console de la figure suivante, constituée d'un profil IPE400 et longue de 2 m, est soumise à une charge concentrée verticale P* ( charge pondérée ) à son extrémité libre. L'inertie de la console est accrue au niveau de son encastrement par l'ajout d'un bracon. Celui-ci est découpé hors d'un profil IPE400 et est soudé à la semelle inférieure de la poutre-console sur une longueur de 50 cm La section d’encastrement ainsi réalisée est soudée à un plat d’about, lui -même boulonné à la semelle d’une colonne IPE400. Les détails d’assemblage sont
repris aux figures suivantes On demande 1° de déterminer la charge P* maximale à laquelle peut être soumise la poutreconsole (si on suppose l’assemblage capable de résister à tout effort transmis
par la console) 2° de calculer le diamètre nécessaire que doivent posséder les boulons d'assembiage pour supporter les efforts auxquels est soumise la section d'encastrement, si la charge P* qui agit sur la console correspond à celle déterminée en 1° Données : - acier S235 - boulon ordinaires non-presserrés de type 4.6
Solution 1/ Charge maximale à laquelle peut être soumis le profil.
Section A Contrainte de flexion A
M A * W
P * 1500 1160000
Contrainte de cisaillement A
T * Aame
P * 373 8,6
P * 3207,8 A2 3 A2
Critère de VON MISES Section B
f y m
P * 152,5 kN
Contrainte de flexion B
M B * W sec tionB
Centre de gravité 8450 700 (500 19,1) 8,6 259,55 180 19,1 9,55 yG 8450 (500 19,1) 8,6 180 19,1
yG 438,18
Inertie 3
2
I 23. 1300000 8450700 438,18
8,6 480,5 12 3
2
8,6 480,9 438,18 259,55
2
180 19,1 12
' B
M * B p * 2000 I 1653061,941 v
Contrainte de cisaillement B
P * Aame
P * 373 8,6 (800 19,1) 8,6
Critère de VON MISES
A2
3 A2
f y m
P * 7507,8
P * 353,5 kN
Donc charge maximale permise par le profil P *ma x 152,5 kN Pas de problème pour les sections comprise entre A et B 2/ Détermination des diamètres des boulons à placer Effort de cisaillement dans les boulons On suppose que chaque boulons supporte 1/10 de l’effort P* de cisaillement
Pb (cisaillement) =P*/10 =15,3 kN Effort de traction dans les boulons Section résistante supposée yG 450,45 mm yG 49,55 mm
5 4 , 6 3 8
5 9 , 3 4 5 5 4 , 0 5 4
G
y
t+2d=19,1+2x40 =99,1 mm 180
Centre de gravité 2 A2 450,45 2 A3 443,95 2 A4 336,95 2 A5 930,45 yG 8 A s 180 99,1 yG
5,5236 A s 8 A s 17,838
Inertie 2
2
2
I 450,45 yG 2 A s 543,95 yG 2 A s 836,95 yG 2 A s 2
930,45 yG 2 A s 180 99,1
yG2
180 (99,1) 3 12
Boulon le plus sollicité s
M * B 930,45 yG
Effort normal maximum
I
P b (traction ) s A s
Critère de détermination du diamètre des boulons Résistance du boulon au cisaillement R s l A s ou l 0,567 181 4 N / mm 2
400 1,25
181,4 N / mm2
Résistance du boulon en traction f yb 0,8 f ub min 192,256 Rt min , l A s avec l mb mb Rt 192 A s
Critère
2
2
pb (cis ) pb (traction ) 1 Rt R s 2
2
15250 b A s 1 181,4 A s 192 As
Détermination du diamètre des boulons
12 16 20 24 27
yG 25,15 45,42 68,354 94,368 117,868
I Condition Condition 933,95 1,283493 1,611443
Boulon de 27 mm de diamètre
b
Pas vérifiée Pas vérifiée 909,6 217,64 169,13
critère
2,72>1 1,34>1 0,81<1
2/ Méthode alternative plus simple (et plus exacte) de détermination du diamètre des boulons Ci-dessus la part reprise par chaque boulon cisaillé est de P*/10 , alors que la longueur de l’assemblage en cisaillement est supérieur à 15d Hypothèse d’équipartition des efforts de cisaillement ne peut donc s’appliquer .
Méthode alternative Les boulons supérieurs sont affectés à la reprise du moment (effort de traction) Les boulons situés dans la zone comprimée sont seul considéré pour la reprise de l’effort de cisaillement. Pas d’interaction d’efforts dans les fûts de boulons
Dimensionnement des boulons tendus b
192
1
2 boulons M27
Boulons de 27 mm de diamètre résistance au cisaillement
2 R s 2 181,7 A s 166,5 kN
Effort tranchant appliqué
P*=152,5 kN
(OK)
Exercice 11 Une console support de pont roulant est fixée à une colonne à l'aide d'un assemblage à 10 boulons H.R. préserrés de type 8.8 comme indiqué à la figure. Les charges indiquées sont les charges de service; les coefficients de pondération sont de 1.33 pour les charges permanentes et de 1.5 pour les surcharges. On demande si des boulons de diamètre 20 mm conviennent pour la réalisation d'un assemblage qui ne peut glisser, sachant que la contrainte de compression transversale est limitée à 265 MPa dans la partie comprimée de l'assemblage. On négligera le poids propre de la console. Données : - On calculera la largeur b de la zone comprimée par analogie avec la valeur ( t + 2d ) de la formule ( 3.41 ) du cours. - Pour la recherche de y ( hauteur de la zone comprimée ), on admettra utilement que la rangée inférieure de boulons se situe dans la zone comprimée - Plats et double-té sont en acier S235. - Le coefficient de frottement u est pris égal à 0.45
Solution 1ère chose: déterminer l’assemblage On a une charge excentré Flexion P*
P*
* Cisailleme nt : P efforts * * Moment : M 0,28 P
P* = 1,33 x charges permanentes + 1,5 x charges variables P* = 1,33 x 160 + 1,5 x 110=378 kN M* = 0,28 x 378 =106 kN.m On rappelle que si on a un assemblage soumis au cisaillement et à flexion, dans le cas de boulons pré serrés ; on fait une vérification séparée au cisaillement et une à la flexion (car si l’assemblage résiste indépendamment au cisaillement et à la flexion il
Résistance au cisaillement R s m n k
S M
avec S 0,8 A s f y
M 20 A s 245mm 2 et f y 640 N / mm 2
R s 452 kN . 378 kN
Pression diamétrale
min 1,25
R p 3
235 1,1
100 20
1,75 0,5 ;1,25
0,5 0,5 3 20
80
20 20 10 2564 kN 378 kN Section résistante
P*
0 0 1
P*
agrandissement
0 0 1 0 0 1
0 7 1
zone de compression
15+2x20 =55 mm
On peut supposer que la zone de compression va inclure la 1ère rangée de boulons Calcul du moment statique , détermination de y b y
y 2
2 A s 170 y 270 y 370 y 470 y
27,5 y 2 1960 y 627200 0 y 120mm racine négative à rejeter
Calcul du moment d’inertie I y 3
y 55 y I 2 A s 170 120 270 120 370 120 470 120 55 12 2 I 134580000mm2 2
2
2
2
2
En général on ne se tracasse pas des valeurs limites des contraintes en compression Mais ici on demande une vérification.
Boulons tendus M
106 106 350
M
v 275,7 MPa I / v I I N A s 275,7 245 87,5 kN S 125,4 kN
Zone comprimée
M I / v
En effet
106 10 6
m=1,1
I
y
106 10 6 I
120 49,5
265
m 1,1
241 MPa
parce que c’est l’acier qui est écrasé et non les bou lons auquel
Exercice 12 La figure ci-dessous représente le détail d'assemblage des deux tronçons de poutre A ( profil IPE330 ) à l'endroit de leur intersection avec la poutre B ( profil IPE330 ) . Chacune des extrémités des tronçons de poutre A est soumise à un moment de flexion M* et à un effort tranchant T* ( valeurs pondérées ) dont les sens d'application sont indiqués sur la figure. Le rôle de l'assemblage est de transmettre ces efforts respectivement d'un tronçon A à l'autre, et des tronçons A à la poutre B. Pour ce faire : a) une plaque d'about de 10 mm d'épaisseur est soudée sur l'âme des tronçons de poutre A et est ensuite boulonnée sur l'âme de la poutre B par l'intermédiaire de 4 boulons ordinales non-préserrés de 12 mm de diamètre. b) des couvre-joints de 12 mm d'épaisseur et de 160 mm de largeur relient entre elles les semelles des tronçons de poutre A et de la poutre B par l'intermédiaire de boulons ordinaires non-préserrés de 16 mm de diamètre. On demande: 1/ de déterminer, du point de vue résistance, le nombre minimum de boulons de 16 mm de diamètre nécessaires pour relier le couvre-joint aux semelles des différents tronçons de poutres A et B, ainsi que leur disposition. 2/ d'effectuer l'ensemble des vérifications permettant de s'assurer de la résistance de l'assemblage aux efforts sollicitants M* et T*. Données : - M*=110 Nm et T*=60kN - acier Fe 360 pour les poutres, les couvres- joint et la plaque d’about - boulons ordinaires non préserrés de type 4.6
Solution
M*
T*
zone critique
T*
M*
Comme précédemment on va supposer que l’effort tranchant vient de l’âme passe par l’âme et le moment de flexion vient des semelles passe donc par les
semelles Effort tranchant R s m n Ab l avec m 1; n 4 ; Ab 84,3mm2 M 12; l 0,56
400 1,25
R s 1 4 84,3 0,56
400 1,25
60,34 kN 60 kN
Pression diamétrale
min 1,25
R 2 1
25 12
235
0,5 ; 1,25
1,75 2,1 12 50
10 12 54 kN
T *
15 kN
âme IPE 1,25
50 12
1,75 3,45 3 R p 3
235 1,1
7,5 12 57 15
Moment de flexion M *
F
330 2
12
322 kN
2
F F t
R s m n A s l 1 n 157 0,56 20
40
400 1,25
F 322 kN n 11,4 12 boulons
90
35
Pression diamétrale en section nette à faire bien sur ! Résistance du plat section brute don' t sleep Man!
Exercice 13 La section transversale de poutres mixtes acier-béton ( voir figure 1 ) est constituée d’un profil IPE 360 en acier surmonté d’une dalle en béton armé large de 1,2 m et haut
de 12 cm La collaboration parfaite de l’acier et du béton est assurée par un nombre suffisant de
goujons connecteurs Deux nappes de six armatures chacune (diamètre des barres : 10 mm) sont disposées dans la dalle en béton comme indiqué à la figure 1. Ces poutres sont assemblées à des colonnes HE200B par l’intermédiaire de deux
cornières 150x90x12 (figure 2) : - la première est boulonnée ( boulons de 24 mm de diamètre) à la semelle inférieure des poutres et à l’une des semelles des colonnes; sa largeur est égale celles des
semelles des poutres. - la seconde relie ( boulons de 20 mm de diamètre ) l'âme des poutres à l’une des semelles des colonnes. On demande de déterminer les moments de flexion négatifs et efforts tranchants maximums (figure 2) repris par les assemblages colonne-poutre mixte si l’on suppose que ces efforts agissent dans un rapport constant : M (kNm) = 2,5T (kN) Données : - acier Fe 360 pour les cornières, les poutres et la colonne ( =1,1) - Ea = 210.000N/mm2 - boulons utilisés : boulons H.R. 8.8 préserrés - coefficient de frottement entre les organes en acier : f = 0,5 - le béton est supposé avoir une résistance nulle en traction, sa résistance en compression est de 30 N/mm2; m = Ea/Eb = 1 - la largeur collaborante de la dalle est égale à sa largeur réelle, soit 1,2m
Solution Dans une poutre le moment est transmet par les semelles et le cisaillement par l’âme
Théorème statique : Lorsqu’on trouve une distribution d’efforts qui est en équilibre, même si ce n’est pas
vraie, on est sécuritaire Armatures
M*
T*
Moment de flexion 3 6 4
3 0 4
G
y
26 mm
Calcul du moment statique et détermination de yG d
2
170 13 16.5 403
4
d
2
6 463
4
2 d 6 y G 170 13 12 4
d 2 mm y G 134 mm I
170 133 12
170 13 134 6,5 6 2
d 2
4
463134 403 134 2
I 121064124 mm 4
Contraintes barres superieures zone comprimée σ cornièreinférieure
M 463 134 I
f y m
M 134 6,5
235 1,1
I
400 1,15
M 128 kN .m
2
Si diffusion : zone comprimée N zone comprimée zone comprimée Azone comprimée cornière
N zone
comprimée
Acornière
M 128 kM .m
F Acornière
f y m
128 127,5
I 298 kN
135 N / mm 2
Assemblage poutre / cornière inférieure F
F t
R s m n k
S M
1 4 1 0,5
S 1,25
ce ne sont pas des boulons 10.9 il faut donc calculer S S 0,8 640 353 180,7 kN R s 360 kN 298 kN
Pression diamétrale: F
O.K zones critiques en cas de compression
F
1,25
55 24
1,75 0,5 1,61
R p 4 1,61
235 1,1
24 12,7 420,5 kN 298 kN
12,7 mm est l' epaisseur la plus faible
Reprise de l’effort tranchant T
M 2,5
128 2,5
51,2 kN
apparition de torsion supplémentaire Soit le plat (dont le schéma rendu libre est) : Pour équilibrer la torsion F Equilibre de rotation du plat Ici l’effort tranchant n’est pas sur l’axe
F
T/2
F a T b F T
b a
T
0,8 T
a
Effort sur les boulons
F T/2
T/2
F T
0,5 T 0,8 T 48,3 kN 2
2
F b
T/2
Résistance au glissement R s k
S M
1 0,5
125,4 1,25
50,16 kN 48,3 kN
Pression diamétrale cornière
1 1,25 2 1,25
35 20 65
R p 2,18
0,5 0,5 2,18 0,5 0,5 4,06 3 3
20 235 1,1
20 13 121,5 kN 48,3 kN
Ceci concerne l’assemblage cornière / poutre Il reste l’assemblage poutre/colonne mais ce n’est pas la peine de vérifier
Exercice 13 Deux profilés HE260A sont assemblés de la manière indiquée à la figure suivante. Des plats de 7,5 mm d'épaisseur sont soudés sur les semelles de la poutre, afin d'en augmenter l'inertie. La section ainsi reconstituée est reliée à la colonne par l'intermédiaire de deux cornières 90 x 65 x 6 boulonnées, de 51 cm de long. On demande : 1) de déterminer le moment de flexion maximum transmissible de la poutre à la colonne 2) de déterminer les efforts sollicitants les cordons de soudure en fonction l'effort appliqué à la poutre. Données : - Acier constituant la poutre et la colonne : Fe 360 (fy =235 MPa) - Acier constituant les cornières et les plats : : Fe 510 (fy =355 MPa) - Boulons M16 préserrés de type 10.9 - données géométriques : voir figure - coefficient de frottement entre les pièces assemblées = 0,5 Rq : on négligera tout effort de levier et on considérera qu’aucun effort ne diffuse dans les congés de raccordement des cornières
Solution section résistante
section résistante
M*
On a deux assemblages en fait 1/ cornière/ colonne 2/ poutre+plat/cornière
Diffusion à 45°
section résistante
Zone comprimée se trouve au droit de la cornière + diffusion à 45°
Attention il n'y a pas de solidarisation
Section résistante
y? 2b y
y
2 A s [195 y 235 y
2 275 y 315 y 405 y 445 y 485 y ]
12 y 2 2198 y 739470 0 y 173 105,195 I 2 b b=6+6=12 mm
y 3 2
2 b y 3 4
2 157(222 622 1022
1422 2322 2722 3122 ) 123076808 mm 4
max
M 312 I
S A s
113 157
(kN / mm2)
Car on sait que pour les boulons préserrées l’effort max admissible = effort de
préserrage S M max
S I
312 A s
284 kNm 1
2
Car par boulon on a 2 plans de frottement 2F* 2F*x190 230 2F*x150 230
on fait l’hypothèse d’une distribution
2F*x 60 230
triangulaire des contraintes
2F*x 2 0 230
M*
M * 2 F * 460 F * k
S
190 230
380
1 0 5
150 230
113
300
60 230
45 2 kN
120
20 230
40
M *
90 8 kNm
Pression diamétrale Cornière:
1,25
65 40 16
0,5 0,5 1,95
Car dist. de boulon à bord libre R p 1,95 plat:
355 1,1
16 6 60,5
1,25
R p 3
Car boulons préserrées
40 16
355 1,1
45,2
0,5 0,5 3,125 3
7,5 16 116,2
2 F * 90,4
On 2 cornières mais un seul plat l’éffort sur la plat = 2 x effort sur l es cornières (il y a 2 plans de cisaillement
mais un plat 1,25
40 16
0,5 0,5 3
